FREQUÊNCIAS COMPLEXAS PRÓPRIAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - CAMPUS DE SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 
PROFESSOR: MARCUS ROGERIO DE CASTRO 
 
 
 
 
FREQUÊNCIAS COMPLEXAS PRÓPRIAS 
 
 
 
 
ALUNO MATRÍCULA 
ANDERSON ALEXANDRE CARVALHO DE ARAÚJO 397729 
 
 
 
 
 
Sobral – CE 
2020.1 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 3 
2. OBJETIVOS ................................................................................................. 4 
3. PROCEDIMENTOS / RESULTADOS .......................................................... 4 
3.1. Medição das Frequências Complexas Próprias .................................... 4 
3.2. Medição da Capacitância Parasita (Cp) do Indutor ............................... 6 
3.3. Comparação com o Regime Permanente Senoidal .............................. 9 
4. CONCLUSÃO ............................................................................................ 11 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de figuras 
Figura 1: Circuito RLC paralelo .......................................................................... 3 
Figura 2: Resposta de Frequência do Circuito Ressonante Paralelo ................. 4 
Figura 3: Circuito RLC para a medição de frequências complexas próprias ...... 5 
Figura 4: Forma de onda v(t). ............................................................................. 5 
Figura 5: Amplitude máxima de duas ondas consecutivas. ................................ 6 
Figura 6: Capacitância parasita em um indutor .................................................. 7 
Figura 7: Simulação do circuito RLC com capacitância parasita ........................ 7 
Figura 8: Forma de onda v(t). ............................................................................. 8 
Figura 9: Amplitude máxima de duas ondas consecutivas Cp. .......................... 9 
Figura 10: Circuito com fonte senoidal ............................................................... 9 
Figura 11: Amplitude da tensão com uma fonte senoidal ................................. 10 
Figura 12: Frequência para amplitude igual a de v(t). ...................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 3 
 
Frequências complexas próprias 
 
1. INTRODUÇÃO 
Um circuito ressonante, também chamado de circuito sintonizado, 
consiste em um indutor e um capacitor junto com uma fonte de tensão ou 
corrente. É um dos circuitos mais importantes usados em eletrônica. Por 
exemplo, um circuito ressonante, em uma de muitas formas, nos permite 
sintonizar uma estação de rádio ou televisão desejada a partir do vasto número 
de sinais que estão ao nosso redor a qualquer momento. 
Uma rede está em ressonância quando a tensão e a corrente nos 
terminais de entrada da rede estão em fase e a impedância de entrada da rede 
é puramente resistiva. 
Figura 1: Circuito RLC paralelo 
 
Fonte: (JONHSON, 1993) 
Considere o circuito RLC paralelo da Fig. 1. A admitância em regime 
permanente oferecida pelo circuito é: 
𝑌 =
1
𝑅
+ 𝑗 (ω𝐶 −
1
ω𝐿
) (1) 
A ressonância ocorre quando a tensão e a corrente nos terminais de 
entrada estão em fase. Isso corresponde a uma admissão puramente real, de 
modo que a condição necessária é dada por: 
ω𝐶 −
1
𝑤𝐿
= 0 (2) 
A condição ressonante pode ser alcançada ajustando L, C ou ω. 
Mantendo L e C constantes, a frequência ressonante ω0, é dado por: 
ω𝑜 =
1
√𝐿𝐶
𝑟𝑎𝑑/𝑠 (3) 
f𝑜 =
1
2𝜋√𝐿𝐶
𝐻𝑧 (4) 
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Frequências complexas próprias 
Assim a resposta em frequência é um gráfico da magnitude da 
tensão de saída de um circuito de ressonância em função da frequência. A 
resposta, é claro, começa em zero, atinge um valor máximo na vizinhança da 
frequência ressonante natural e, em seguida, cai novamente para zero quando 
ω se torna infinito. A resposta de frequência é mostrada na figura 2. 
Figura 2: Resposta de Frequência do Circuito Ressonante Paralelo 
 
Fonte: (JONHSON, 1993) 
As duas frequências adicionais ωc1 e ωc2 também são indicadas, as quais 
são chamadas de frequências de meia potência. Essas frequências localizam os 
pontos da curva em que a resposta da tensão é 
1
√2
 ou 0,707 vezes o valor 
máximo. Eles são usados para medir a largura de banda da curva de resposta. 
Isso é chamado de largura de banda de meia potência do circuito ressonante e 
é definido como: 
𝛽 = ωc2 − ωc1 (5) 
2. OBJETIVOS 
Determinação das frequências complexas próprias de uma rede utilizando 
o transitório repetitivo. 
3. PROCEDIMENTOS / RESULTADOS 
3.1. Medição das Frequências Complexas Próprias 
Montou-se o circuito mostrado esquematicamente na figura 3, no 
simulador MULTISIM, na qual: R1 = 330 Ω, L1 = 400mH, C = 30µF e o gerador 
de sinais com onda quadrada com 1,5 V (pico) e 1,5 V (offset). 
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Frequências complexas próprias 
Figura 3: Circuito RLC para a medição de frequências complexas próprias 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Então após montado, ajustou-se a frequência do gerador de sinais para 
500Hz e observou-se a forma de onda de v(t), como mostrado na figura 4. 
Figura 4: Forma de onda v(t). 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Percebe-se que os valores observados na figura 4, condizem com as 
características do circuito. Onde esta onda mostra que as bordas da parte 
quadrada foram cortadas, caracterizando um filtro passa-faixa. 
Ainda observando a figura 4, mediu-se o período equivalendo a 2ms e 
calculou-se os valores de ω𝑑 e 𝑓𝑑. 
Antes de calcular ω𝑑 precisa-se descobrir qual o valor da frequência de 
ressonância ω𝑜 e de α. 
ω𝑜 =
1
√𝐿.𝐶
=
1
√400𝑥10−3 . 30𝑥10−6
= 288,67 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (6) 
∝=
𝐺
2 .𝐶
=
1
330
2 .30𝑥10−6
= 50,5 [𝑠−1] (7) 
Agora calculando ω𝑑, 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 6 
 
Frequências complexas próprias 
ω𝑑 = √(288,67)² − (50,5)² = 284,22 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (8) 
Percebe-se que a equação (8) e a equação (6) são praticamente 
equivalentes. 
Para calcular 𝑓𝑑, aplica-se a seguinte equação. 
𝑓𝑑 =
ω𝑑
2.𝜋
=
284,22
2.𝜋
= 45,23 𝐻𝑧 (9) 
Por último calculou-se o índice de mérito Q, para circuitos RLC altamente 
oscilatórios. 
𝑄 =
ω𝑜
2 .∝
=
288,67
2 .50,5
= 2,85 (10) 
Na figura 5, mostra a medição da amplitude máxima de duas oscilações 
consecutivas, equivalendo a um valor de 38 mV. 
Figura 5: Amplitude máxima de duas ondas consecutivas. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
3.2. Medição da Capacitância Parasita (Cp) do Indutor 
Pelo fato da pratica ter sido feita em um simulador de circuitos, o indutor 
é considerado real, assim não possui uma capacitância parasita. 
Como conceito a capacitância parasita em um indutor ocorre quando dois 
condutores são aproximados, mas separados por um dielétrico, onde colocado 
uma diferença de tensão entre os dois, forma-se um capacitor. Logo, como existe 
uma resistência no fio do indutor, uma queda de tensão ocorrerá entre os 
enrolamentos fazendo com que pequenos capacitores sejam formados 
(SBROGIO, 2018). 
Na figura 6, mostra esse efeito com mais detalhes.UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 7 
 
Frequências complexas próprias 
Figura 6: Capacitância parasita em um indutor 
 
Fonte: (BOWICK, 2011) 
Logo, para representar a capacitância parasita, foi colocado um capacitor 
em paralelo com o indutor equivalendo a 10nF. E em série com uma resistência 
R1 = 10 KΩ, como mostrado na figura 7. 
Figura 7: Simulação do circuito RLC com capacitância parasita 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Então após montado, ajustou-se a frequência do gerador de sinais para 
500Hz e observou-se a forma de onda de v(t), como mostrado na figura 8. 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 8 
 
Frequências complexas próprias 
Figura 8: Forma de onda v(t). 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Observando a figura 8, mediu-se o período equivalendo a 500µs e 
calculou-se os valores de ω𝑑 e 𝑓𝑑. 
Antes de calcular ω𝑑 precisa-se descobrir qual o valor da frequência de 
ressonância ω𝑜 e de α. 
ω𝑜 =
1
√𝐿.𝐶
=
1
√400𝑥10−3 . 10𝑥10−9
= 15811 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (11) 
∝=
𝐺
2 .𝐶
=
1
10000
2 .10𝑥10−9
= 5000[𝑠−1] (12) 
Agora calculando ω𝑑, 
ω𝑑 = √(15811)² − (5000)² = 15000 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (13) 
Para calcular 𝑓𝑑, aplica-se a seguinte equação. 
𝑓𝑑 =
ω𝑑
2.𝜋
=
284,22
2.𝜋
= 45,23 𝐻𝑧 (14) 
Por último calculou-se o índice de mérito Q, para circuitos RLC altamente 
oscilatórios. 
𝑄 =
ω𝑜
2 .∝
=
15811
2 .5000
= 1,58 (15) 
Na figura 9, mostra a medição da amplitude máxima de duas oscilações 
consecutivas, equivalendo a um valor de 1,5 V. 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 9 
 
Frequências complexas próprias 
Figura 9: Amplitude máxima de duas ondas consecutivas Cp. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
3.3. Comparação com o Regime Permanente Senoidal 
Montou-se o mesmo circuito da figura 3, com uma fonte senoidal de valor 
1,5 V (pico) e 0V (offset), como mostrado na figura 10. 
Figura 10: Circuito com fonte senoidal 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Após a montagem variou-se a frequência até obter a amplitude máxima 
de v(t), como pode ser observado na figura 11. 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 10 
 
Frequências complexas próprias 
Figura 11: Amplitude da tensão com uma fonte senoidal 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Assim, tendo a mesma amplitude de tensão que em v(t), a frequência 
encontrada para esse circuito foi de 2,5 Hz, como mostra a figura 12. 
Figura 12: Frequência para amplitude igual a de v(t). 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 Calculando o valor de fo, 
𝑓𝑜 =
1
2.𝜋.√𝐿.𝐶
=
1
2.𝜋.√400𝑥10−3 . 30𝑥10−6
= 45,94 𝐻𝑧 (16) 
Percebe-se que as equações (9) e (16) possuem resultados iguais. Onde 
esses resultados são maiores que a frequência com uma fonte senoidal. 
 
 
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Frequências complexas próprias 
4. CONCLUSÃO 
Conclui-se então que a figura 3 é um filtro passa-faixa, onde passa as 
frequências centradas no entorno de ω𝑜, na qual é a frequência que a amplitude 
máxima ocorre. 
Também foi visto que para calcular os zeros do polinômio característicos 
é preciso saber os valores dos componentes presentes no circuito. 
Onde assim poderá ser calculado o índice de mérito que também pode 
ser chamado de fator de qualidade, e é conceituado sendo a exatidão do pico 
em um circuito ressonante. E é definido sendo a relação entre a frequência de 
ressonância e a largura de faixa. 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BOWICK, C. RF circuit design. Indianapolis: Newnes, 2011. 
ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de 
circuitos elétricos. 5. ed. New York: Bookman, 2013. 894 p. 
SBROGIO, Fernando. Caracterização de Parâmetros de Indutores e 
Capacitores Aplicados ao Modelamento de Resposta em Frequência de 
Fontes Chaveadas. 2018. 97 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia 
Elétrica, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2018. Disponível em: 
http://www.uel.br/ctu/deel/TCC/TCC2017_FernandoSbrogio.pdf. Acesso em: 01 
out. 2020. 
JOHNSON, David E. et al. Fundamentos de análise de circuitos 
elétricos. 4. ed. New York: Prentice Hall, 1993.