Relatório: Circuitos RLC em Regime Permanente

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Circuitos RLC em Regime Permanente
Laboratório de Circuitos I
Introdução
Circuitos RLC (compostos por resistores, indutores, e capacitores) são os circuitos
básicos de toda a engenharia. Com esses três simples componentes, variando a sua
configuração e arranjo, pode-se criar uma infinidade de circuitos, com diferentes funções e
aplicações práticas, como filtros, osciladores, divisores de tensão e corrente, etc.
Assim, vemos a necessidade de verificar e analisar as variáveis de circuitos de
interesse para tais configurações.
Objetivos
Observar o comportamento de circuitos RLC série e paralelo quando submetidos a
tensões senoidais de diferentes frequências, determinar variáveis de interesse nas
diferentes configurações de circuito, quantificar e converter unidades para tornar mais
legíveis os dados obtidos, e observar o peculiar fenômeno de ressonância.
Materiais
Resistores de 56 Ω;
Indutor de 1.5mH;
Capacitor de 100nF;
Simulador de circuitos e osciloscópio digital (LTspice).
Métodos
Após nossos desenvolvimentos teóricos-analíticos para circuitos RC e RL
individualmente, podemos nos debruçar sobre a análise de circuitos RLC em série e
paralelo. Essencialmente, tais circuitos apresentam os mesmos componentes básicos
(resistores, indutores e capacitores), apesar de possuírem diferentes aplicações e
equações. Dessa forma, faremos uma análise em blocos, para melhor detalhamento de
cada uma das possíveis configurações.
a) Circuito RLC série
De início, começaremos por um simples circuito série (figura 1),
figura 1: simples circuito RLC
onde a impedância total do circuito é simplesmente a soma das impedâncias
individuais de cada elemento. Sendo assim:
𝑍(ω) = 𝑅 + 𝑗(ω𝐿 − 1ω𝐶 )
Onde é a reatância indutiva e é a reatância capacitiva.𝑋(ω) = 𝑗ω𝐿 𝑋(ω) =− 𝑗 1ω𝐶
Indicamos que a impedância do sistema (e de cada elemento individual) é uma
função da frequência angular . Assim, para cada valor de interesse de frequência daω 𝑓
fonte de alimentação do circuito (em Hertz), podemos analisar a impedância total em função
de sua frequência angular (em rad/s). A relação entre e é dada a seguir:ω 𝑓
equação 1ω = 2π𝑓
Para cada valor de frequência também, podemos também determinar a𝑓
impedância do circuito de forma experimental: configuramos a fonte de alimentação
senoidal para uma frequência conhecida, simulamos, e em seguida coletamos valores de𝑓
pico da corrente, a defasagem em segundos entre os picos de tensão e corrente. Isso pode
ser feito analisando, num mesmo gráfico, curvas Vin(t) e Ic(t), que correspondem a tensão
de alimentação e corrente (comum) do circuito. As figuras X a Y correspondem a tais curvas
em função do tempo.
A defasagem em segundos, entre tensão e corrente, em tais circuitos (RLC
série e paralelo) pode não ser clara em sua forma pura, por isso, transformamos em
uma grandeza angular (radianos e graus) para melhor compreensão. A conversão
pode ser feita através da relação a seguir:
ou equação 2ϕ(𝑟𝑎𝑑) = 2π ∆𝑡𝑇 ϕ(𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠) = 2π
∆𝑡
𝑇 ·
180
π
Sendo a defasagem em segundos, e o período do sinal, também em∆𝑡 𝑇
segundos. Também podemos utilizar a relação abaixo, que evita a utilização do
período, deixando mais prática a dedução de ângulo.
ou equaçãoϕ(𝑟𝑎𝑑) = 2π𝑓 · ∆𝑡 ϕ(𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠) = 2π𝑓 · ∆𝑡 · 180π
3
Para cada simulação, utilizamos os cursores disponibilizados pelo LTspice,
para medir a defasagem em segundos, entre dois pontos de máximo adjacentes,
entre corrente e tensão. Os dados coletados a partir da simulação, como defasagem
em segundos, radianos e graus, além da amplitude da corrente, estão tabelados a
seguir (tabela 2) para melhor efeito de comparação, e os resultados individuais
estão listados a seguir, entre as figuras 4 e 9.
b) Circuito RLC paralelo
Analisaremos o seguinte circuito:
figura 2: circuito RLC paralelo
De início, calcularemos os seguintes valores da impedância do circuito: módulo e
fase e calcularemos a frequência de ressonância do circuito. Utilizaremos as
equações:
; equação 4|𝑍
𝑅𝐿𝐶
| = 𝑅
𝑖𝑛
+ ( 1𝑅 )
2 + 𝑋
𝐿𝐶
2
; equação 5Φ = 𝑡𝑔−1( 1𝑋
𝐿𝐶
/( 1𝑅 + 𝑅𝑖𝑛)
; equação 6ω = 2π𝑓
; equação 7Φ(𝑟𝑎𝑑) = 2π Δ𝑡𝑇
A equação 4 nós dá o módulo da impedância, enquanto a equação 5 nós dá a fase
e a equação 6 nós dá a frequência angular e a equação 7 transforma a fase em
radianos.
Além disso, sabemos que
; equação 8𝑍
𝑅𝐿𝐶
(ω) = 𝑉
𝐼𝑁
(ω)/𝐼
𝑐
(ω)
Simulamos, como em RLC em série, o circuito para cada valor de frequência (1kHz,
2kHz, 5kHz, 10kHz, 15kHz, 20kHz e 25kHz.
Em seguida, iremos repetir o que foi feito para o circuito RLC em série, ou seja,
montaremos o circuito no LTSpice e faremos as simulações no transiente de forma a
visualizar a tensão de entrada e corrente para cada uma das frequências da fonte
de alimentação. Depois, em um segundo momento, mediremos a amplitude da
tensão e da corrente e da defasagem da tensão de entrada em relação a corrente.
Utilizaremos a fórmula para converter a defasagem para radianos e utilizaremos os
valores medidos para determinar as impedâncias em cada caso.
Resultados
a) Circuito RLC série
Assim, para um circuito com resistência R=56Ω, L=1.5 mH e C=100nF em série,
para os diferentes valores de frequência , temos os dados resumidos na tabela 1, abaixo.𝑓
Frequência
(em Khz)
Módulo da
Impedância (em Ω)
Fase da Impedância
(em graus)
Fase da Impedância
(em radianos)
1 1583.2 -88.0 -1.54
2 779.0 -85.9 -1.50
5 276.9 -78.3 -1.37
10 85.7 -49.2 -0.86
15 66.2 32.2 0.56
20 122.5 62.8 1.10
25 180.8 72.0 1.26
Tabela 1. Valores encontrados matematicamente para o circuito RLC série.
A partir dos valores tabelados acima, vemos que o módulo da impedância tende a
um valor mínimo entre os valores de frequência de 10 e 20 kHz. Também, sabendo que a
resposta em frequência da fase de um circuito é uma função contínua, sabemos que em
algum ponto, também no intervalo de 10 a 20 kHz, onde há inversão de sinal, o valor da fse
deve se anular, ou seja, a tensão e corrente do circuito se encontram em fase.
Para circuitos RLC, existe um valor de frequência em específico (chamado
frequência de ressonância), no qual a influência do capacitor e do indutor no circuito se
anulam, de forma que este aparenta ser puramente resistivo. Isso acontece quando a parte
imaginária da impedância do circuito se anula. Ou seja:
𝐼𝑚(𝑍(ω)) = 0 ω𝐿 − 1ω𝐶 = 0 ω =
1
𝐿𝐶
Substituindo os valores de indutância e capacitância utilizados no projeto,
encontramos um valor aproximado da frequência de ressonância em
. Como esperado, tal valor se localiza entre 10 eω
0
= 81. 65 𝑘𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑜𝑢 𝑓
0
= 12. 9995 𝑘𝐻𝑧
20 kHz.
Abaixo, seguem as curvas obtidas pelo osciloscópio digital do LTspice, para cada
uma das frequências específicas: 1, 2, 5, 10, 15, 20 e 25 Khz.
Figura 3. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 1 𝑘𝐻𝑧
Todas as anomalias nos primeiros ciclos são decorrentes do período
transitório. Foram utilizados os 4º e 5º ciclos para obter os valores em regime
estacionário, de forma a minimizar efeitos do transitório.
Figura 4. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 2 𝑘𝐻𝑧
Figura 5. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 5 𝑘𝐻𝑧
Figura 6. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 10 𝑘𝐻𝑧
Figura 7. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 15 𝑘𝐻𝑧
Figura 8. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 20 𝑘𝐻𝑧
Figura 9. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC série, com .𝑓 = 25 𝑘𝐻𝑧
Para cada uma das figuras acima, a defasagem em segundos está indicada
no campo “Diff(Cursor2-Cursor1)-Horz”, já a amplitude de corrente está visível no
campo “I(C)-Vert”. Assim, segue abaixo a tabela que resume os valores encontrados
em cada simulação.
RLC
série
Defasagem em
segundos (s)
Defasagem em
radianos (rad)
Defasagem
em graus (º)
Amplitude da corrente
, em ampères (A)𝐼
𝐶
1 kHz 246.95 μ 1.55 88.9 1.263 m
2 kHz 119.31μ 1.5085.9 2.567 m
5 kHz 44.68 μ 1.40 80.4 7.220 m
10 kHz 14.12 μ 0.89 50.9 23.308 m
15 kHz -5.72 μ -0.54 -30.9 30.264 m
20 kHz -8.86 μ -1.11 -63.8 16.519 m
25 kHz -7.97 μ -1.25 -71.7 10.893 m
Tabela 2. Valores obtidos experimentalmente a partir da análise das curvas V(Vin) e
I(C) do osciloscópio.
A partir da tabela acima (tabela 2), podemos obter o valor da impedância do circuito
de forma experimental (como estamos em Ensino Remoto Emergencial, experimentalmente
significa com base em simuladores, e não em valores calculados). Assim, tendo o módulo
(amplitude) e a fase da fonte de alimentação e da corrente (defasagem), determinamos a
impedância da seguinte forma:
ou seja equação 9𝑉
𝑚
= 𝑍
𝑚 
𝐼
𝑚 
𝑍
𝑚
=
𝑉
𝑚
𝐼
𝑚
Sendo a amplitude da fonte, e a amplitude de corrente e o módulo da𝑉
𝑚
𝐼
𝑚
𝑍
𝑚
impedância do circuito. Na tabela 3, esse valor está indicado na coluna listada como
“Impedância medida”.
e ou seja equação 10ϕ
𝑉
= ϕ
𝑍
+ ϕ
𝐼
ϕ
𝑍
= ϕ
𝑉
− ϕ
𝐼
Sendo designando o ângulo de fase da grandeza , sendo a tensão (V),ϕ
𝑋
𝑋 𝑋
corrente (I), ou impedância (Z). Esse valor está localizado em “Fase medida”, na tabela 3,
abaixo. Assim, temos:
RLC
série
Impedância
medida (Ω)
Impedância
calculada (Ω)
𝐸𝑟𝑟𝑜
%
 𝑛𝑎
𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎
Fase
medida (º)
Fase
calculada (º)
𝐸𝑟𝑟𝑜
%
𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒
1 kHz 1583.5 1583.2 0.02% -88.9 -88.0 1.0%
2 kHz 779.1 779.0 0.01% -85.9 -85.9 0.0%
5 kHz 277.0 276.9 0.04% -80.4 -78.3 2.7%
10 kHz 85.8 85.7 0.12% -50.9 -49.2 3.5%
15 kHz 66.1 66.2 0.15% 30.9 32.2 4.0%
20 kHz 121.1 122.5 1.14% 63.8 62.8 1.6%
25 kHz 183.6 180.8 1.55% 71.7 72.0 0.4%
Tabela 3. Comparação entre valores calculados e “medidos”, encontrados a partir de dados
do simulador LTspice. O cálculo do erro percentual é dado por
𝑒𝑟𝑟𝑜
%
= |𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜|𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 · 100%
Adicionalmente, podemos realizar a simulação para a frequência específica de
ressonância, já determinada anteriormente. Para tal frequência, observamos que a corrente
e tensão estão em fase, mostrando que a influência dos elementos armazenadores de
energia (capacitor e indutor) se anulam.
Figura K. Formas de onda em fase, revelando condição de ressonância.
Para a frequência de ressonância, medimos uma defasagem de 213
nanossegundos, um equivalente a 0.017 rad ou 1º. Idealmente dever-se-ia encontrar o valor
nulo, mas devido a erros de truncamento de unidades encontramos esse valor, não
atrapalhando o entendimento sobre o funcionamento do fenômeno.
b) Circuito RLC paralelo
Agora o circuito possui Rin = 100Ω, R = 100Ω, C = 100nF, L = 1,5mH e a tensão de entrada
senoidal com amplitude de 4Vpp e frequências de 1, 2, 5, 10, 15, 20 e 25 kHz.
Temos a frequência de ressonância do circuito igual a:
equação 11ω
0
= 1
𝐿𝐶
= 81649, 66 𝑟𝑎𝑑/𝑠
A impedância do circuito dado é dado pela equação:
equação 12𝑍(ω) = 𝑅
𝐼𝑁
+ ( 1𝑅 +
1
𝑗ω𝐿 + 𝑗ω𝐶)
−1
Que, para os valores dados, fica:
equação 13𝑍(ω) = 100 + ( 1100 −
𝑗
ω.1,5𝐸−3 + 𝑗ω𝐸 − 7)
−1
DADOS SOBRE IMPEDÂNCIA
Frequência Módulo Fase (graus) fase (radianos)
1 kHz 101.3 5.3 0,9
2 kHz 105.2 10.2 1,8
5 kHz 130.5 19.0 3,3
10 kHz 187.8 11.1 1,9
15 kHz 196.0 -6.5 -1,1
20 kHz 172.2 -16.0 -2,8
25 kHz 151.5 -19.0 -3,3
Tabela 4. Valores encontrados matematicamente para o circuito RLC paralelo.
A partir dos valores tabelados acima, vemos que o módulo da impedância tende a
um valor mínimo quanto menor a frequência. Também, sabendo que a resposta em
frequência da fase de um circuito é uma função contínua, sabemos que em algum ponto,
também no intervalo de 10 a 15 kHz, onde há inversão de sinal, o valor da fase deve se
anular, ou seja, a tensão e corrente do circuito se encontram em fase.
DADOS SOBRE CORRENTE
RC Defasagem em
segundos (s)
Defasagem em
radianos (rad)
Defasagem
em graus (º)
Amplitude da corrente
, em ampères (A)𝐼
𝐶
1 kHz 3.76 μ 3.2 184.0 19.618 m
2 kHz 1.89 μ 3.3 189.8 18.911 m
5 kHz 759.6 μ 3.4 196.9 15.250 m
10 kHz 378.59 μ 3.3 192.6 10.589 m
15 kHz 248.6 μ 3.01 172.5 10.154 m
20 kHz 185.3 μ 2.8 165.3 11.561 m
25 kHz 148.08 μ 2.8 163.9 13.151 m
Tabela 5. Valores obtidos experimentalmente a partir da análise das curvas V(Vin) e
I(C) do osciloscópio.
RC Impedância
medida (Ω)
Impedância
calculada (Ω)
𝐸𝑟𝑟𝑜
%
 𝑛𝑎
𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎
Fase
medida (º)
Fase
calculada (º)
𝐸𝑟𝑟𝑜
%
𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒
1 kHz 101.3 101.3 0.0 5.3 5.3 0.0
2 kHz 105.2 105.2 0.0 10.2 10.2 0.0
5 kHz 130.5 130.5 0.0 18.9 18.9 0.0
10 kHz 187.8 187.8 0.0 11.2 11.2 0.0
15 kHz 196.0 196.0 0.0 -6.5 -6.5 0.0
20 kHz 172.2 172.1 0.1 -16.0 -16.0 0.0
25 kHz 151.5 151.5 0.0 -19.0 -19.0 0.0
Tabela 6. Comparação entre valores calculados e “medidos”, encontrados a partir de dados
do simulador LTspice. O cálculo do erro percentual é dado por
𝑒𝑟𝑟𝑜
%
= |𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜|𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 · 100%
Abaixo, seguem as curvas obtidas pelo osciloscópio digital do LTspice, para cada
uma das frequências específicas: 1, 2, 5, 10, 15, 20 e 25 Khz.
Figura 10. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 1 𝑘𝐻𝑧
Figura 11. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 2 𝑘𝐻𝑧
Figura 12. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 5 𝑘𝐻𝑧
Figura 13. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 10 𝑘𝐻𝑧
Figura 14. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 15 𝑘𝐻𝑧
Figura 15. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 20 𝑘𝐻𝑧
Figura 16. Osciloscópio digital referente ao circuito RLC paralelo, com .𝑓 = 25 𝑘𝐻𝑧
Discussão e conclusão
Sabendo a equação da impedância e fase do circuito em função da frequência
angular para uma configuração RLC série, podemos fornecer tal relação a um software de
mapeamento gráfico, resultando em uma curva contínua, ilustradas abaixo, que mostra
claramente que temos um valor mínimo de impedância do circuito (módulo), próximo da
frequência de 13 Khz. Como temos um gráfico milimetrado, podemos verificar que o valor
mínimo alcançado se encontra entre 40 e 80 Ω (um quadrado menor e uma fração de outro,
onde cada quadrado representa 40 Ω).
Figura 17. Gráfico da Impedância (em Ω) versus frequência (em Hertz), para o circuito RLC
série.
De forma análoga, vemos o ponto de interesse no gráfico de fase (abaixo) em
aproximadamente 13 kHz, em que a tensão e a corrente estão em fase (defasagem 0º).
Figura 18. Gráfico da fase (em radianos) versus frequência (em Hertz), para o circuito RLC
série.
Analisando as tabelas referentes ao circuito RLC série e ao circuito RLC paralelo,
em especial a tabela número 3 e número 6, que apresenta um comparativo de impedância
do circuito, entre as formas descritiva-matemática do circuito, e sua versão experimental,
vemos, no quesito módulo da impedância, baixo erro (inferior a 2%). Para tal erro,
atribuímos a dois fatores de baixa relevância, que portanto, culminam em baixo erro geral:
erro de truncamento (obtido ao utilizar menos algarismos significativos que o valor
apresentado pela calculadora, tanto para tabulações quanto para cálculos posteriores,
propagando assim, esse erro) que favoreceu um valor impreciso; mas, em contrapartida,
por se tratar de um sinal senoidal, próximo ao ponto de pico buscado (valor máximo, ou
amplitude), os limites da função convergem para o mesmo valor, tanto à esquerda, quanto a
direita, facilitando assim, a aquisição de tal dado.
Figura 19. Gráfico da Impedância (em Ω) versus frequência (em Hertz), para o circuito RLC
paralelo.
Ao analisarmos o gráfico plotado em relação a equação 13, vemos que para ω
variando de -5.3 para 5.3, temos um comportamento próximo de linear. Por motivos
computacionais não foi possível fazer uma análise mais profunda da impedância do RLC
em paralelo.
Já na análise relativa à fase de tais circuitos, encontramos um erro também
reduzido, mas desigual para algumas frequências (sempre inferior a 5%) sem nenhum
motivo aparente. Atribuímos esseerro ao fator humano, responsável pela seleção manual
dos valores de pico (amplitudes das senóides), para que o simulador possa calcular a
defasagem temporal entre tais dois pontos. Soma-se a isso a resolução limitada do
simulador, que apresenta a curva de tensão e corrente de forma contínua, mas
internamente só realiza o cômputo de alguns valores discretos, e em seguida traça a curva
que melhor satisfaz tais pontos.
Para ambos os circuitos (RLC em série e em paralelo), a tensão atrasada ou
adiantada em relação a corrente é de suma importância pois é o parâmetro para analisar o
comportamento do circuito. Quando , temos um circuito resistivo-indutivo, e quandoΦ > 0
Φ<0, temos um circuito resistivo-capacitivo. Em ambos os circuitos, (série e paralelo), para
f=1kHz até f=10kHz, o circuito é resistivo-capacitivo e, a partir de f=15kHz, a tensão passa a
estar atrasada se comparado à corrente, logo temos um circuito resistivo-indutivo.
Para o RLC em paralelo, o valor máximo da magnitude foi para f=15kHz e o valor
máximo da fase para f=5kHz.
Conclusão
Dessa forma, após todo desenvolvimento matemático-analítico, chegamos aos
mesmos resultados obtidos analisando parâmetros físicos (através das simulações),
comprovando e verificando assim o comportamento em conjunto dos componentes
armazenadores de energia num circuito real, e pontos críticos da função impedância, nesse
caso, um ponto de mínimo. Assim, cumprimos o objetivo do presente relatório, uma vez que
realizamos uma completa abordagem sobre o comportamentos de circuitos RLC série e
paralelo sob diferentes frequências de excitação.