Estudo dirigido 4 limites (1)

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Universidade Federal do Agreste de Pernambuco 
Unidade Acadêmica de Garanhuns 
Engenharia de Alimentos 
Disciplina: Cálculo 1 
Estudo Dirigido 4 
Docente:​ Hudson Cavalcante da Silva 
Discentes: Agnys Mikaelly de Lima Silva, Jessica Porfírio Severo, João Paulo Alves 
Marinho e Lindembergson Carlos Monteiro Moreno. 
 
 
ASSÍNTOTA 
 
Dizemos que uma reta é uma assíntota de uma curva, quando um ponto ao mover-se ao 
longo da parte extrema da curva se aproxima dessa reta. Em outras palavras a reta 
assintótica e a curva fica arbitrariamente próximas a medida que se afastam da origem do 
sistema de coordenadas. Freqüentemente no esboço de curva surgem estas retas que 
podem dar significados importantes na interpretação. 
 
Assíntota Horizontal 
 
Dizemos que a reta y = b (b constante) é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função 
f, se pelo menos uma das afirmações for verdadeira: 
 
 
 
Assíntota Vertical 
 
Dizemos que a reta x=a (a constante) é uma assíntota da vertical do gráfico de uma função 
f, se pelo menos uma das afirmativas forem verdadeira: 
 
 
 
Exemplos: 
 
Exemplo 1:​ F(x)= x−2
x −x2 
 
Encontrar o domínio da função f (x) : 
 
Sabendo que o denominador da fração: deve ser diferente de 0, logo temos:x−2
x −x2 
 
x − ≠ 2 0 ⇒ x ≠ 2 
 
Logo o domínio D da função f (x) é: D x x = ∈ ≠ { ℝ | 2} 
 
calcular o limite de f (x) quando x tende a 2. Se esse limite for igual a ± ∞ tem-se uma 
assíntota vertical: 
 
= = f(x)=lim
x→2 
± x−2
x −x2 lim
x→2 
± 0
2 ± ∞ ⇒ lim
x→2 
±
± ∞ 
 
Logo se tem uma assíntota vertical de equação x = 2 . 
 
Para encontrar assíntotas horizontais, basta calcular o limite de f (x) quando x tende a ± ∞ : 
 
lim
x→∞ x−2
x −x2 
 
Para calcular este limite, pode-se utilizar a regra para cálculos de limites com divisão de 
polinômios e x tendendo a ± ∞ : 
 
x f(x)=lim
x→∞ x
x2 ⇒ lim
x→∞
⇒ lim
x→∞
∞ 
Logo não existe assíntota horizontal para esta função. 
 
Com relação a assíntota vertical de f (x) , pode-se dizer que quando x se aproxima de 2, a 
função f (x) aumenta muito ou diminui muito, dependendo se nos aproximarmos de x pela 
esquerda ou pela direita 
 
Exemplo 2:​ y = x −32
(x−1)2
 
 
Para não confundir a função com uma equação, irá ser escrito y(x)y = x −32
(x−1)2
 
 
Encontrando o domínio da função y(x): 
 
Sabendo que o denominador da fração ​deve ser diferente de 0, logo tem:x −32
(x−1)2
 
 
( 1) 0 x − ≠ ⇒ x ≠ 1 
 
Logo x = 1 não faz parte do domínio da função y(x), então calcula-se o limite da 
função y(x) quando x se aproxima de 1 para ver o que ocorre com a função. Caso a 
função se aproxima de ± ∞ , x = 1 será assíntota vertical. 
 
Calculando o limite de y(x) quando x se aproxima de 1 pela direita: 
 
= = y(x)=lim
x→1 
±
x −32
(x−1)2
lim
x→1 
± 0
−2 ± ∞ ⇒ lim
x→1
− ∞ 
 
Portanto tem-se uma assíntota vertical de equação x =1. 
 
Para encontrar assíntotas horizontais, basta calcular o limite de y(x) quando x tende 
a ± ∞ : 
 
lim
x→∞
x −32
(x−1)2
⇒ lim
x→∞
x −32
x −2x+12 
 
Para calcular este limite, basta usar a regra de cálculos de limites com polinômios 
quando x tende à ± ∞ : 
 
y(x)=lim
x→∞ x
x2 ⇒ lim
x→∞
1 
 
Portanto a equação y = 1 representa uma assíntota horizontal. 
 
Interpretação Geométrica 
 
 
1. Considerando y=f(x)=x​2​. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 
f no ponto (1,1) é 2. 
 
 
2 Considerando agora y=f(x)=x​3​. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
de f no ponto (-1,-1) é 3. 
 
 
considere a situação geral, para chegar a uma conclusão também geral. 
 
A taxa de variação média de uma função num intervalo [x​0​, x​0​+Dx] contido em seu 
domínio, é o quociente . Geometricamente, o significado desse quociente, como 
podemos ver na figura, é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
(x​0​,f(x​0​)) e (x​0​+Dx, f(x​0​+Dx)). Uma vez que esses dois pontos pertencem ao gráfico 
da função, dizemos que essa reta é secante ao gráfico. Observe que o coeficiente 
angular da reta é a tangente trigonométrica do ângulo - medido no sentido 
anti-horário - que a reta forma com o eixo horizontal. 
 
 
 
Quando fazer-se Dx®0, a reta secante genérica tende à posição limite de reta 
tangente ao gráfico de f no ponto (x​0​, f(x​0​)) e o quociente tende ao coeficiente 
angular da reta em sua posição limite. 
 
Dessa maneira, diz que, se existe o limite e é finito, 
 
ele é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto de 
abscissa x​0​, isto é, (x​0​, f(x​0​)) é o ponto de tangência. 
 
Chamando q o ângulo que a reta tangente forma com o eixo horizontal, medido no 
sentido anti-horário, temos 
 
 
Finalmente, como a equação da reta que passa por um ponto (x0,y0) e tem coeficiente 
angular m é dada por, 
 
pode-se, através da taxa de variação instantânea da função num ponto de seu domínio, 
obter a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x​0​, f(x​0​)), que é, portanto: 
 
 
 
Bibliografia 
 
Carneiro, Camila de Paula, et al. “Laboratório de Matemática : Turma 15A” 
Laboratório de Matemática : turma 15 A, UFLA, 19 July 2018, 
http://www.dex.ufla.br/Ivana/funcoesdefinicao/html/Assintotas.html. 
 
BIZELLI, Maria Helena S. S. Lista de Exercícios 4 – Cálculo I. [​S. l.​], 6 nov. 2014. 
Disponível em: ​http://www.calculo.iq.unesp.br/PDF/Lista4resolucao.pdf​ Acesso 
em: 16 set. 2020. 
 
GOVERNO DE SÃO PAULO (SP). Universidade de São Paulo. Cálculo Diferencial e 
integral: Interpretação geométrica da taxa de variação em um ponto do gráfico de 
uma função: a solução do problema da reta tangente a uma curva. [​S. l.​], 12 dez. 
2000. Disponível em:  
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/pop-ups/interp_geom.htm#:~:text=Interpreta%C
3%A7%C3%A3o%20geom%C3%A9trica&text=Consideremos%20y%3Df(x)%3D,1%2
C1)%20%C3%A9%202.​ Acesso em: 16 set. 2020. 
http://www.dex.ufla.br/Ivana/funcoesdefinicao/html/Assintotas.html.
http://www.calculo.iq.unesp.br/PDF/Lista4resolucao.pdf
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/pop-ups/interp_geom.htm#:~:text=Interpreta%C3%A7%C3%A3o%20geom%C3%A9trica&text=Consideremos%20y%3Df(x)%3D,1%2C1)%20%C3%A9%202.
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