Prova de Cálculo Mat-22-ITA- 2015

Prévia do material em texto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MAT-22 - Cálculo Diferencial e Integral II
1a. Prova - 2o. Semestre 2015 - 23/09/2015
Duração da Prova: 2,5 horas
Nome: Turma: /2019.
Questão 1: Questão 2: Questão 3: Questão 4:
Questão 5: Questão 6: Total: .
Questão 1. (20 pontos) Seja f(x, y) =
1
x2 + 2y2
.
a) Descreva as curvas de nível de f e faça uma esboço do grá�co f ;
b) Determine o plano tangente e a reta normal ao grá�co de f no ponto (−1,−1, f(−1,−1)) e o ponto
onde a reta norma intercepta ao pano xy;
c) Determine a derivada direcional de f no ponto (−1,−1) na direção do vetor ~v = (−35 ,
4
5);
d) Em que direção ~u a derivada direcional de f em (−1,−1) é mínima?
Questão 2. (20 pontos) Suponha que T (x, y) = 24 − 3x2 + 2y2 é uma distribuição de temperatura numa
placa plana e que uma formiga se encontra inicialmente na posição P = (4, 2). Qual a trajetória ela descreve
se ela anda sempre em direção de máxima taxa de variação da temperatura?
Questão 3. (15 pontos) Suponha que f : R2 → R é diferenciável num ponto (x0, y0). Seja ~v um vetor
não-nulo, tangente ao grá�co Gf de f em P = (x0, y0, f(x0, y0)). Mostre que existe uma curva γ : I → R3
de�nida num intervalo aberto I contendo t0 que satisfaz as seguintes condições:
a) o traço de γ está contido em Gf e γ(t0) = P ;
b) γ é diferenciável em t0 e γ
′(t0) = ~v.
Questão 4. (15 pontos) Seja D ⊂ R2 um subconjunto aberto que contém (0, 0). Prove que f(x, y) =
(x2 + y2)2/3 é de classe C1 em D mas não é de classe C2 em D.
Questão 5. (15 pontos) Determine o(s) plano(s) tangente(s) à superfície xy + yz + xz = −12 que é(são)
perpendiculares à reta x−13 =
y
2 = 1− z.
Questão 6. (15 pontos) Suponha que f : R2 → R é uma função de classe C2 que satisfaz
f(1, 2) = 1 ,
∂f
∂x
(1, 2) = 4 ,
∂f
∂y
(1, 2) = −1
2
,
∂2f
∂x2
(1, 2) = −1 , ∂
2f
∂x∂y
(1, 2) =
3
2
e
∂2f
∂y2
(1, 2) = −2.
De�na g : R→ R por
g(t) = f(t2 + 1, 2et).
a) Mostre que g é de classe C2 em R;
b) Determine g(0), g′(0) e g′′(0).
1