3. Incerteza_GABARITO

Prévia do material em texto

1 
 
 
Universidade Federal Fluminense 
Laboratório de Microeconomia III – 2019.2 
Professora: Rosane Mendonça 
Tutora: Roberta Mendes – rmendes@id.uff.br 
Data: 10/09/2019 
 
Lista 3 – Escolha sob Incerteza (cap. 12) 
 
1. Três indivíduos, com uma riqueza de R$100,00, tem que escolher entre duas 
alternativas: 
 Não apostar, mantendo-se assim com R$100,00 em sua conta; 
 Apostar a totalidade da sua renda, com 90% de probabilidade de terminar com 
R$144,00, e 10% de chance de ficar sem nada. 
Indivíduo A: u(x) = x2 
Indivíduo B: u(x) = x1/2 
Indivíduo C: u(x) = x1/4 
Responda para cada um deles: 
a) O indivíduo aposta ou não? 
b) Indique a probabilidade de ganho na loteria que o tornaria indiferente entre 
apostar e não apostar. 
c) Este indivíduo é neutro, propenso ou avesso ao risco? 
 
Solução 
Útil para resolver as questões 1 e 2 
Utilidade esperada da loteria/de apostar: UE = π1.u(x1) + π2.u(x2) 
Valor esperado da loteria: VE = π1.x1 + π2.x2 
Utilidade do valor esperado: U(VE) = U(π1.x1 + π2.x2) 
 
 Indivíduo A: u(x) = x2 
a) O procedimento para resolução deste item é: comparar a utilidade 
esperada da loteria (UE), com a utilidade da riqueza certa (não apostar): 
UE(apostar) = π1.x1² + π2.x2² = 0,9.(144²) + 0,1.(0²) = 18.662 
2 
 
U(não apostar) =(100²) = 10.000 
Portanto, neste caso, este indivíduo racional decide apostar, uma vez que a 
UE de apostar é maior que a U de não apostar. 
 
b) Agora, trata-se de encontrar π1 tal que UE(apostar) = U(não apostar). 
UE(apostar) = π1.x1² + π2.x2² = π1.(144²) + (1 – π1).(0²) = 20.736 π1 
U(não apostar) = (100²) = 10.000 
 
UE(apostar) = U(não apostar) 
20.736 π1= 10.000 
π1 ~ 0,48. 
 
Portanto, somente no caso de haver probabilidade de ganho menor que 
48%, tal indivíduo decidiria não apostar. 
 
c) Definir se indivíduo é propenso, avesso ou neutro ao risco: Comparar a 
utilidade do valor esperado da loteria [U(VE)] com a utilidade esperada da 
loteria (UE): 
Função de utilidade 
Em relação ao 
risco 
 Prefere 
Côncava Avesso U(VE) > UE 
Riqueza 
certa 
Convexa Propenso U(VE) < UE Loteria 
Linear Neutro U(VE) = UE 
Indiferente 
entre os 
dois 
 
Valor esperado (VE) = π1.x1 + π2.x2 = 0,9 * 144 + 0,1 * 0 = 129,6. 
U(VE) = 16.796 
U(VE) = 16.796 < 18.662 = UE -> propenso ao risco 
 
 Indivíduo B: u(x) = x1/2 
a) UE(apostar) = π1.c11/2 + π2.c21/2 = 0,9.(1441/2) + 0,1.(01/2) = 10,8 
U(não apostar) = π1.c11/2 + π2.c21/2 = 1.(1001/2) = 10 
3 
 
UE(apostar) > U(não apostar) -> Aposta 
 
b) UE(apostar) = π1.x11/2 + π2.x21/2 = π1.(1441/2) + (1 – π1).(01/2) = 12π1 
U(não apostar) = (1001/2) = 10 
 
UE(apostar) = U(não apostar) 
12π1= 10 
π1 ~ 0,83 
 
Portanto, somente no caso de haver probabilidade de ganho menor que 
83%, tal indivíduo decidiria não apostar. 
 
c) Definir se indivíduo é propenso, avesso ou neutro ao risco: Comparar a 
utilidade do valor esperado da loteria [U(VE)] com a utilidade esperada da 
loteria (UE). 
Valor esperado (VE) = π1.x1 + π2.x2 = 0,9 * 144 + 0,1 * 0 = 129,6. 
U(VE) = 129,61/2 = 11,3 
 
EU = 10,8 < 11,3 = U(VE) -> avesso ao risco 
 
 Indivíduo C: u(x) = x1/4 
a) UE(apostar) = π1.c11/4 + π2.c21/4 = 0,9.(1441/4) + 0,1.(01/4) = 3,12 
U(não apostar) = π1.c11/4 + π2.c21/4 = 1.(1001/4) = 3,16 
UE(apostar) < U(não apostar) -> Não aposta 
 
b) UE(apostar) = π1.x11/4 + π2.x21/4 = π1.(1441/4) + (1 – π1).(01/4) = 3,46π1 
U(não apostar) = (1001/4) = 3,16 
 
UE(apostar) = U(não apostar) 
3,46π1= 3,16 
π1 ~ 0,91 
4 
 
Note-se que somente para o Indivíduo C, o valor de probabilidade relativo à 
indiferença (91%) é maior que o valor mencionado no enunciado (90%). 
Portanto, somente no caso de haver probabilidade de ganho maior que 
91%, tal indivíduo decidiria apostar. 
 
c) Definir se indivíduo é propenso, avesso ou neutro ao risco: Comparar a 
utilidade do valor esperado da loteria [U(VE)] com a utilidade esperada da 
loteria (UE). 
Valor esperado (VE) = π1.x1 + π2.x2 = 0,9 * 144 + 0,1 * 0 = 129,6. 
U(VE) = 129,61/4 = 3,37 
 
EU = 3,12 < 3,37 = U(VE) -> avesso ao risco 
 
2. Morando em um vilarejo isolado, não há muito a fazer na loja do comerciante 
Eduardo. Então, ele decide usar seu tempo para estudar melhor a sua própria 
função de utilidade esperada. Um amigo economista lhe explicara que sua função 
de utilidade esperada poderia ser expressa da seguinte maneira: u(c1, c2, π1, π2) = 
π1√c1 + π2√c2. Ele dispõe de R$10.000 na sua conta corrente. 
a) Primeiro, Eduardo pensa em apostas altas. Ele quer entender que 
comportamento adotaria se fosse convidado a apostar a totalidade dos 
R$10.000 num jogo de cara ou coroa, no qual terminaria com R$20.000,00 
se saísse cara, e com nada caso saísse coroa. Qual seria sua utilidade 
esperada no caso de apostar? Qual seria a utilidade se não apostasse? Qual 
é a sua conclusão: a aposta vale ou não a pena? 
b) Depois, Eduardo pensa num caso diferente, em que receberia R$50.000 na 
hipótese de sair cara e nada se saísse coroa. Qual seria sua utilidade 
esperada no caso de apostar? Qual seria sua utilidade no caso de não 
apostar? Qual é a sua conclusão sobre esta aposta? 
c) Se Eduardo faz uma aposta na qual perde tudo quando sai coroa, qual é o 
menor valor que ele teria que receber na eventualidade de sair cara, para 
que a aposta fosse atrativa para ele? (Eduardo usou a estratégia de 
tentativa e erro para chegar à resposta, mas você pode usar outra mais 
5 
 
elaborada: escrever uma equação com uma incógnita e resolvê‐la.) Qual é a 
equação? Qual é a sua solução? 
Solução 
a) UE(apostar) = π1√c1 + π2√c2 = ½.√20.000 + ½.√0 = 70 
U (não apostar)=√10.000 = 100 
Não vale a pena apostar, porque a utilidade esperada de apostar é menor 
do que a utilidade de não apostar. 
b) UE(apostar) = π1√c1 + π2√c2 = ½.√50.000 + ½.√0 = 111 
U (não apostar) =.√10.000 = 100 
Neste caso, vale a pena apostar. 
c) A estratégia consiste em escrever uma equação que indique a situação de 
indiferença entre apostar e não apostar. 
UE(apostar) = π1√c1 + π2√c2 = ½.√x + ½.√0 = ½.√x 
U (não apostar) =√10.000 = 100 
Portanto: 100 = ½.√x  x = 40.000. Qualquer valor acima de R$40.000 
tornaria interessante a aposta para Eduardo. 
 
3. Sabrina possui uma lancha que vale R$200 milhões. Se a lancha afunda, ela perde a 
integralidade dos R$200 milhões. A probabilidade de que isto aconteça é 0,02. A 
riqueza total de Sabrina, incluindo o valor da lancha, são R$225 milhões. Ela é uma 
maximizadora de utilidade esperada, com uma função de utilidade esperada igual à 
raiz quadrada de sua riqueza w. 
a) Escreva a utilidade esperada de Sabrina, considerando dois estados da 
natureza: (i) Ca: “a lancha afunda”, e (ii) Cna“a lancha não afunda”. 
b) Uma seguradora oferece a Sabrina um seguro total da sua lancha ao preço 
de R$29 milhões. Escreva a utilidade esperada de Sabrina se contratasse o 
seguro. Ela aceita a proposta da seguradora? 
c) Outra seguradora oferece um seguro total ao preço de R$3 milhões. Escreva 
a utilidade esperada de Sabrina se contratasse o seguro. Ela aceita esta 
proposta? 
6 
 
d) Monte uma equação, em que houvesse uma incógnita representando o 
valor do seguro para o qual Sabrina é indiferente entre contratar um seguro 
e não o contratar. 
e) Agora resolva a equação do item (d). 
 
Solução 
Útil para resolver as questões 3 e 4 
Seguro: Altera a distribuição de probabilidades com a qual o indivíduo lida 
Indivíduo tem X e tem π% probabilidade de perder L (acidente). Se comprar K de 
seguro e pagar 𝛾𝐾 de prêmio, a loteria é: 
ACIDENTE probabilidade π% de Ca = X – L + K - 𝛾𝐾 
NÃO ACIDENTE probabilidade (1-π)% de Cna= X - 𝛾𝐾 
 
Razão de preços: −
𝑝𝑛𝑎
𝑝𝑛
=
𝛾
1−𝛾
 (
∆𝐶𝑛𝑎
∆𝐶𝑎
=
𝛾𝐾
𝐾− 𝛾𝐾
 -> ideia é o consumo que perder em caso 
de não acidente dividido pelo consumo que ganha em caso de acidente) 
RO 𝛾𝐶𝑎 + (1 − 𝛾)𝐶𝑛𝑎 = 𝑋 − 𝛾𝐿 
 
a) UE = 0.02*(25)1/2 + 0.98*(225)1/2 = 0.1+ 14.7 = 14.8 
b) UE = 0.02*(25-29+200)1/2 + 0.98*(225-29)1/2 = 0.02*(196)1/2 + 
0.98*(196)1/2 = 14 (< 14.8). Não aceita. 
c) UE = 0.02*(25-3+200)1/2 + 0.98*(225-3)1/2 = 0.02*(222)1/2 + 0.98*(222)1/2 
= 14.9. (> 14.8). Aceita. 
d) UE = 0.02*(25-x+200)1/2 + 0.98*(225-x)1/2 = 14.8 
e) UE = (225-x)1/2 = 14.8  x = 6 (arredondando a conta) 
 
4. Miranda é dona de uma pequena fábrica de biscoitos localizada às margens de um 
rio que ocasionalmente inunda no verão, com consequências desastrosas. Em 
meados do ano que vem, Miranda pretende vender a fábrica e se aposentar. A 
única renda que ela terá será proveniente da venda da fábrica. Se não houver 
inundação, a fábrica valerá R$500.000; se houver, o que restar dela valerá apenas 
R$50.000. Miranda pode comprar seguro contra inundação ao custo de R$0,10 
7 
 
para cada R$1,00 de cobertura. Miranda acredita que a probabilidade de que haja 
inundação no próximo verão é de 10%. Seja CI o bem contingente “reais se houver 
inundação” e CNI, o bem contingente “reais se não houver inundação”. Miranda 
tem uma função de utilidade esperadaU(CI, CNI) = πI√(CI) + πNI √(CNI). 
a) Se ela não contratar seguro, então em cada ocorrência possível, o valor 
disponível para consumo de Miranda será exatamente igual ao valor da 
fábrica. Assim, qual é a cesta (CI, CNI) correspondente à sua dotação inicial? 
b) Para contratar um seguro que lhe pagaria R$k em caso de inundação, 
Miranda precisaria pagar 0,1*R$k. Escreva uma expressão para CI e CNI no 
caso em que ela decida contratar um seguro no valor de R$K em caso de 
inundação. 
c) Agora elimine R$k das expressões do item anterior, substituindo uma na 
outra. Com isso, você obterá a restrição orçamentária contingente de 
Miranda. Qual é ela? 
d) Qual é a cesta de consumo ótima? 
e) Qual será a cobertura do seguro escolhido por Miranda? Quanto ela terá de 
pagar por isso? 
 
Solução 
 
a) (CI, CNI) = (50.000, 500.000) 
b) 
𝐶𝐼 = 𝑋 − 𝐿 + 𝐾 − 𝛾𝐾 
𝐶𝐼 = 500.000 − 450.000 + 𝐾 − 0,1𝐾 
𝐶𝐼 = 50.000 + 𝐾 − 0,1𝑋 
𝐶𝐼 = 50.000 + 𝐾(1 − 0,1) 
𝐶𝐼 = 50.000 + 0,9𝐾 
 
𝐶𝑁𝐼 = 𝑋 − 𝛾𝐾 
𝐶𝑁𝐼 = 500.000 − 0,1𝐾 
 
 
8 
 
c) Isolando o K nas duas expressões acima 
𝐶𝐼 = 50.000 + 0,9𝐾 
𝐾 =
𝐶𝐼 − 50.000
0,9
 
 
𝐶𝑁𝐼 = 500.000 − 0,1𝐾 
𝐾 = 
500.000 − 𝐶𝑁𝐼
0,1
 
 
𝐾 = 𝐾 
𝐶𝐼 − 50.000
0,9
=
500.000 − 𝐶𝑁𝐼
0,1
 
 
0,9𝐶𝑁𝐼 + 0,1𝐶𝐼 = 455.000 
 
 
d) Achando a TMS 
𝑇𝑀𝑆 = 
𝜕𝑈𝐸
𝜕𝐶𝑁𝐼
⁄
𝜕𝑈𝐸
𝜕𝐶𝐼
⁄
 
𝑇𝑀𝑆 =
1
2
∗ 0,9 ∗ 𝐶𝑁𝐼
−1/2
1
2
∗ 0,1 ∗ 𝐶𝐼
−1/2
 
𝑇𝑀𝑆 =
0,9 ∗ 𝐶𝐼
1/2
0,1 ∗ 𝐶𝑁𝐼
1/2
 
 
Achando razão de preços 
𝑝𝑁𝐼
𝑝𝐼
=
𝛾
1 − 𝛾
 
𝑝𝑁𝐼
𝑝𝐼
=
0,1
0,9
 
 
Igualar TMS com a razão de preços 
𝑇𝑀𝑆 =
𝑝𝑁𝐼
𝑝𝐼
 
0,9 ∗ 𝐶𝐼
1
2
0,1 ∗ 𝐶𝑁𝐼
1
2
=
0,1
0,9
 
Multiplicando os dois lados por 10 
9 
 
9 ∗ 𝐶𝐼
1/2
𝐶𝑁𝐼
1/2
=
1
9
 
81𝐶𝐼
1/2
= 𝐶𝑁𝐼
1/2
 
√81√𝐶𝐼
1/2
= √𝐶𝑁𝐼
1/2
 
9𝐶𝐼 = 𝐶𝑁𝐼 
 
Substituindo na RO 
0,9𝐶𝑁𝐼 + 0,1𝐶𝐼 = 455.000 
0,9 ∗ 9𝐶𝐼 + 0,1𝐶𝐼 = 455.000 
8,1𝐶𝐼 + 0,1𝐶𝐼 = 455.000 
8,2𝐶𝐼 = 455.000 
𝐶𝐼 = 55.487 
 
9𝐶𝐼 = 𝐶𝑁𝐼 
9 ∗ 55.487 = 𝐶𝑁𝐼 
𝐶𝑁𝐼 = 499.383 
 
e) 
CI= 50.000 + 0,9K 
55.487 = 50.000 + 0,9K 
0,9K = 55.487 - 50.000 
0,9K = 5.487 
K = 6.096 -> A cobertura escolhida é de: $6.096 
O valor pago é 0,1*K: = 0,1*6.096 = 609. 
 
5. Suponha que Natasha tenha sido aceita em duas universidades, denominadas A e 
B, e precisa decidir qual universidade cursar. Suponha que as duas universidades 
são indiferentes à Natasha, exceto pela possível influência delas em sua carreira 
profissional. A universidade “A” é muito mais prestigiada que “B”, mas sua 
conclusão é muito mais difícil. Caso opte pela faculdade A e conclua o curso, 
Natasha terá um excelente trabalho, com uma perspectiva de renda de $100 mil. 
Entretanto, caso não consiga concluir o curso (probabilidade de 40%), Natasha terá 
um trabalho ruim, com perspectiva de renda igual a $ 25 mil. Caso opte por B, 
Natasha não terá dificuldades para se formar e conseguirá um trabalho adequado, 
10 
 
com uma perspectiva de renda a $ 69 mil. Seja 𝑈(𝑀) = √𝑀a função de utilidade 
referente a sua renda esperada. Responda: 
a) Qual universidade Natashairá escolher? 
b) Qual deveria ser a perspectiva de renda do trabalho adequado para tornar 
as duas universidades igualmente atrativas? 
 
Solução 
a) Natasha escolherá a universidade que apresentar a maior utilidade 
esperada. 
𝑈𝐸(𝐴) = 𝜋1 ∗ 𝑈(𝐴) + 𝜋2 ∗ 𝑈(𝐴) 
𝑈𝐸(𝐴) = 0,6 ∗ √100 + 0,4 ∗ √25 
𝑈𝐸(𝐴) = 0,6 ∗ 10 + 0,4 ∗ 5 
𝑈𝐸(𝐴) = 8 
𝑈𝐸(𝐵) = 𝜋1 ∗ 𝑈(𝐵) + 𝜋2 ∗ 𝑈(𝐵) 
𝑈𝐸(𝐵) = 1 ∗ √69 
𝑈𝐸(𝐵) = 8,3 
Logo, ela escolherá cursar a universidade B. 
Obs: Repare que ela escolherá B, apesar do valor esperado de cursar a 
universidade A ser maior do que o da B. 
b) Ou seja, para tornar as duas opções indiferentes para Natasha. Para as duas 
opções serem igualmente atrativas (indiferentes), elas devem possuir a 
mesma utilidade esperada. No caso, qualquer combinação que gere uma 
UE(A) = 8,3 ou UE(B) =8. 
𝑈𝐸(𝐵) = √𝑀 = 8
(√𝑀)2 = 82
𝑀 = 64𝑚𝑖𝑙
 
 
11 
 
6. Maria das Couves possui uma fazenda de repolhos (apesar do nome). Sua 
produção prevista para a próxima safra é de $50 mil e sua riqueza embaixo do 
colchão é de $50 mil. O agrônomo de sua fazenda calculou que o risco de perder a 
safra devido ao excesso de chuvas é 2%. Caso a safra seja perdida, Maria das 
Couves embolsará $0 da sua plantação. Maria é uma maximizadora de utilidade 
esperada e sabe que sua função utilidade é dada por uma função Von-Neumann 
Morgenstern𝑢=√𝑤, com w sendo sua renda. Uma seguradora se dispõe a segurar 
todo valor da safra. Qual o valor máximo que Maria está disposta a pagar pelo 
seguro? 
 
Solução 
A função de utilidade esperada de Maria é: 
𝑈𝑒=𝑝.𝑤11/2+(1−𝑝).𝑤21/2 
Sabendo que a probabilidade de quebra de safra é de 2%: 
𝑈𝑒=0,2.𝑤11/2+0,98.𝑤21/2 
Sem seguro, a utilidade esperada de Maria é 
𝑈𝑒=0,2 .(50.000)1/2+0,98 .(50.000+50.000)1/2 
𝑈𝑒=314.3753 
Com seguro, a riqueza de Maria é dada por 
𝑤=𝑤𝑐𝑜𝑙𝑐ℎã𝑜+𝑤𝑟𝑒𝑝𝑜𝑙ℎ𝑜𝑠−𝑥𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜 
Portanto, 
𝑈𝑒=0,2.(50.000+50.000−𝑥)1/2+0,98 .(50.000+50.000−𝑥)1/2 
Basta igualar a Utilidade Esperada com seguro à Utilidade Esperada sem seguro para 
encontrar o ponto em que Maria é indiferente à contratação do seguro. 
0,2.(100.000−𝑥)1/2+0,98 .(100.000−𝑥)1/2= 314.3753 
(100.000−𝑥)1/2=314.3753 
100.000−𝑥=98.831,86 
𝑥=$1168,141