tensão de saída para o circuito RL

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Calculando a tensão de saída de um circuito RL 
Autor: José Pedro da Silva Júnior 
Considerando o circuito: 
 
Considerando a malha como: 
𝑉𝑖𝑛 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 0 
𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝑜𝑢𝑡 
Considerando o sinal de entrada alternado então podemos considera-lo como 
um sinal senoidal: 
𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
A tensão no resistor R é dada por: 
𝑉𝑅 = 𝐼. 𝑅 
Como Vout é o sinal no indutor então: 
𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝐿.
𝑑𝐼
𝑑𝑡
 
Sendo assim temos: 
𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝐼. 𝑅 + 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
 
Considerando que o circuito possui tensão, corrente e carga variável com o 
tempo, podemos derivar estas impedâncias: 
𝑑
𝑑𝑡
𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡²
 
Como a corrente é variação da carga no tempo, então: 
𝑑
𝑑𝑡
𝑉𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡²
 
Considerando que a corrente alternada se comporta de maneira senoidal, 
como a tensão de entrada com o acréscimo de uma fase, então: 
𝐼 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Sendo assim: 
𝑑
𝑑𝑡
𝑉𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑅
𝑑
𝑑𝑡
𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐿
𝑑²𝐼𝑝
𝑑𝑡²
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Derivando os termos: 
𝜔𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡) = 𝑅𝜔𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) − 𝐿𝜔²𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Para facilitar o cálculo deverão ser usadas duas identidades trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). cos(𝜑) + cos(𝜔𝑡) . 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = cos(𝜔𝑡) . cos(𝜑) − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). sen(φ) 
Onde tem seno e cosseno nos substituiremos por essas identidades, assim 
algumas se anularam. Antes de substituirmos é interessante dividir tudo por 
𝑅𝜔𝐼𝑝: 
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
cos(𝜔𝑡) = cos(𝜔𝑡 + 𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
cos(𝜔𝑡) = [cos(𝜔𝑡) . cos(𝜑) − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). sen(φ)] −
𝐿𝜔
𝑅
[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). cos(𝜑) + cos(𝜔𝑡) . 𝑠𝑒𝑛(𝜑)] 
Colocando 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) e 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) em evidência e igualando a equação à zero, 
temos: 
(cos(𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜑) −
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + (−𝑠𝑒𝑛(𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
cos(𝜑)) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 0 
Como é um sinal periódico, existem duas condições de contorno: uma quando 
o período 𝜔𝑡=0 e quando 𝜔𝑡 =
𝜋
2
, sendo assim para cada período teremos duas 
situações, na primeira: 
cos(𝜔𝑡) = cos(0) = 1 
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 
cos(𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜑) −
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
= 0 
cos(𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜑) =
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
 
Para a segunda temos: 
cos(𝜔𝑡) = cos (
𝜋
2
) = 0 
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1 
−𝑠𝑒𝑛(𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
cos(𝜑) = 0 
−
𝐿𝜔
𝑅
=
𝑠𝑒𝑛(𝜑)
cos (𝜑)
 
Ou seja, a tangente de 𝜑 é: 
𝑡𝑔(𝜑) = −
𝐿𝜔
𝑅
 
Fazendo uma relação com os teoremas da trigonometria: (Agora tudo vai se 
encaixar) 
 
A hipotenusa é: 
𝐻 = √𝑅² + (−𝐿𝜔)² 
O seno é dado por: 
𝑠𝑒𝑛(𝜑) =
𝐶. 𝑂
𝐻
 
𝑠𝑒𝑛(𝜑) =
−𝐿𝜔
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
 
 
E o cosseno é dado por: 
𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝐶. 𝐴
𝐻
 
𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑅
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
 
Voltando para a primeira condição de contorno: 
cos(𝜑) −
𝐿𝜔
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜑) =
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
 
Agora que já conhecemos os senos e os cossenos, podemos substituir: 
𝑅
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
+ −
𝐿𝜔
𝑅
−𝐿𝜔
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
=
𝑉𝑝
𝐼𝑝𝑅
 
Resolvendo a soma das frações a corrente 𝐼𝑝 é dada por: 
𝐼𝑝 =
1
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
𝑉𝑝 
Como foi definido lá no começo que a corrente é: 
𝐼 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Então: 
𝐼 =
1
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝐼 =
1
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
𝑉𝑖𝑛 
 
Lembrando que: 
𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
 
𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝐿𝐼𝑝𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 
 
Como: 
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = −𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 −
𝜋
2
) 
Para que a exista carga o seno tem q ser diferente de zero, sendo assim : 
|𝑉𝑜𝑢𝑡|
|𝑉𝑖𝑛|
=
𝐿𝜔
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
 
Cheguei até ai para segunda questão, para o resistor é só substituir: 
𝑉𝑅 = 𝐼. 𝑅 
𝑉𝑅 =
𝑅
√𝑅² + (−𝐿𝜔)²
𝑉𝑖𝑛