2ª Lista de Exercícios - Resolvida 2019

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UNIPAMPA

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Ketolyn Raylla

25/10/2020

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Resistência dos Materiais I

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Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
1 
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDA (2019) 
 
A) Calcular as reações de apoio nas vigas isostáticas: 
 
 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HA – 8.cos 60º + 10.cos 60º = 0 ⇒ HA = 4 – 5 = -1t 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB = 8.sen 60º + 4 + 10.sen 60º + 5 ⇒ VA + VB = 24,6t 
 ∑ MA = 0 ⇒ - 4.2 – 10.sen 60º.5 + 6.VB -5.8 = 0 ⇒ VB = 15,2t 
 
 VA + VB = 24,6t ⇒ VA = 24,6 – 15,2 ⇒ VA = 9,4t 
 
 
 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE = 4,0t 
 ∑ FV = 0 ⇒ VE = 6 + 6,9 + 5 = 0 ⇒ VE = 17,9t 
 ∑ ME = 0 ⇒ ME = 6.2 + 6,9.4 + 5.6 ⇒ ME = 69,7t.m 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HA = 3,0t 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB = 4 + 4 + 4 ⇒ VA + VB = 12t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 4.2 + 4.4 + 6 + 4.10,5 = 6.VB ⇒ VB = 6,0t 
 
 VA + VB = 12,0t ⇒ VA = 12,0 – 6,0 ⇒ VA = 6,0t 
 
5t 10t 4t 
A B 
 2m 3m 1m 2m 
8t 
60º 60º 
VB 
HA 
VA 
8.sen 60º 
8.cos 60º 10.cos 60º 
10.sen 60º 
5t 8t 6t 
E 
 2m 2m 2m 
60º 
VE 
HE 
ME 
8.sen 60º 
8.cos 60º 
4t 5t 
A B 
2m 2m 3,5m 3m 1,5m 
4t 
6t.m 
3 
4 
4 
3 
VA VB 
HA 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
2 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 = dxx ⋅∫
4
0
2
4
 = 
3
16
3.4
4
3.4
3
4
0
3
==




 x
 ⇒ Q1 = 5,33 t Q2 = (3.4)/2 = 6 t 
 
M1 = Q1 . d = dxxx∫
4
0
2
..
4
 = dxx∫
4
0
3
.
4
= 
4.4
4
4.4
4
4
0
4
=




 x
 ⇒ M1 = 16 t.m 
 
 
∑FH = 0 ⇒ HA = 3,0t 
 
∑FV = 0 ⇒ VA + VB = 5,33 + 6 + 8 + 6.sen 60º ⇒ VA + VB = 24,5 t 
 
∑MA = 0 ⇒ - Q1.d + 6.5 + 8.8 + 5,2.10 = 10.VB ⇒ 16 + 30 + 64 + 52 = 10.VB 
 
 VB = 16,2t 
 
VA + VB = 24,5t ⇒ VA = 24,5 - 16,2 ⇒ VA = 8,3t 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = 5 . 7 = 35t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HA = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 3 – 35 = 0 ⇒ VA + VB = 38t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 3,5 . 3,5 – VB . 5 = 0 ⇒ VB = 24,5t 
 
 VA + VB = 38t ⇒ VA = 38 – 24,5 ⇒ VA = 13,5t 
 
 
 
 
 
q = 5t/m 
3t 
5m 2m 
VA VB 
HA 
A 
B 
X
2
 = 4y 
 4m 3m 1m 2m 
q = 4t/m 
6t 
60° 
8t 
Q2 = 6 t Q2 = 5,33 t 
 x 1 6.cos 60º 
6.sen 60º 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
3 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = 2 . 2 = 4t Q2 = 4 . 6 = 24t Q3 = 2 . 2 = 4t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HA = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 4 – 24 – 4 – 3 = 0 ⇒ VA + VB = 35t 
 ∑ MA = 0 ⇒ - 4 . 1 + 24 . 3 + VB . 6 + 4 . 7 + 3 . 8 = 0 ⇒ VB = 20t 
 
 VA + VB = 35t ⇒ VA = 35 – 20 ⇒ VA = 15t 
 
7) 
 
 
 
 Q = 2 . 3 = 6t 
 
 
 
 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE – 2,5 = 0 ⇒ HE = 2,5t 
 ∑ FV = 0 ⇒ VE – 4,33 – 4 – 6 = 0 ⇒ VE = 14,33t 
 ∑ ME = 0 ⇒ ME = 4,33 . 1 + 6 . 3,5 + 4 . 3,5 ⇒ ME = 39,33t.m 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = 3 . 5,5 = 16,5t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HA = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 16,5 = 0 ⇒ VA + VB = 16,5t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 16,5 . 4,75 – VB . 6 + 3 - 5 = 0 ⇒ VB = 12,73t 
 
 VA + VB = 16,5t ⇒ VA = 16,5 – 12,73 ⇒ VA = 3,77t 
 
q = 2t/m 
 2m 6m 2m 
q = 2t/m q = 4t/m 3t 
VB VA 
HA 
VB VA 
q = 3t/m 
3tm 
 2m 4m 1,5m 
5tm 
HA 
q = 2t/m 
 1m 1m 1,5m 1,5m 
5t 
4t 
60º 
VE 
HE 
5.sen 60º 
5.cos 60º 
ME 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
4 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = 4 . 6 = 24t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ 7 . cos 65º – HA = 0 ⇒ HA = 2,96t 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 8 – 7. sen 65º – 24 = 0 ⇒ VA + VB = 38,34t 
 ∑ MA = 0 ⇒ – 8 . 2 + 24 . 3 – VB . 6 ⇒ VB = 9,3t 
 VA + VB = 38,34 ⇒ VA = 38,34 – 9,33 ⇒ VA = 29,01t 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = 3 . 4,5 = 13,5t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HB = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 4 – 5 – 13,5 = 0 ⇒ VA + VB = 22,5t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 4 . 1,5 + 13,5 . 4,75 – VB . 4,5 ⇒ VB = 22,25t 
 
 VA + VB = 22,5 ⇒ VA = 22,5 – 22,25 ⇒ VA = 0,25t 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = 3 . 9,5 = 28,5t Q2 = (3 . 5) / 2 = 7,5t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VE – 3 – 28,5 – 7,5 = 0 ⇒ VE = 39t 
 ∑ ME = 0 ⇒ ME = 3 . 2,5 + 4,75. 28,5 + (4,5 + 2/3 . 5) . 7,5= 0 
 ME = 7,5 + 135,375 + 58,75 ⇒ ME = 201,6tm 
 
 2m 6m 
q = 4t/m 8t 7t 
65º 
7.cos 65º 
7.sen 65º 
VB VA 
HA 
 1,5m 1m 2m 1,5m 1m 
5t 3t/m 
4t 
VA VB 
HB 
 2,5m 2m 5m 
3t 
3t/m 
6t/m 
VE 
HE 
ME 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
5 
12) 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = (4 . 4) / 2 = 8t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VE – 8 – 2 = 0 ⇒ VE = 10t 
 ∑ ME = 0 ⇒ ME = 8 . (2 + 1/3 . 4) + 2 . 6 + 5 ⇒ ME = 43,67t.m 
 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = 5 . 6 = 30t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 7 – 8 – 30 – 6 = 0 ⇒ VA + VB = 51t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 8 . 3 + 30 . 3 – 6VB – 2 . 7 + 6 . 8 = 0 
 6VB = 24 + 90 – 14 + 48 ⇒ VB = 24,7t 
 
 VA = 51 – VB = 51 – 24,7 = 26,3t 
 
 
14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = 2 . 4 = 8t Q2 = (1 . 2) / 2 = 1t Q3 = (3 . 3) / 2 = 4,5t 
 ∑ FH = 0 ⇒ HB = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 8 – 1 – 4,5 = 0 ⇒ VA + VB = 13,5t 
 ∑ MA = 0 ⇒ (2/3 . 3) . 4,5 + (3+1/3 . 2) . 1 + 5 . 8 – 7 . VB = 0 
 7VB = 9 + 3,66 + 40 ⇒ VB = 7,5t 
 
 VA = 13,5 – VB = 13,5 – 7,5 = 6t 
 2m 3m 3m 2m 
8t 
5t/m 7t 
6t 
VA VB 
HA 
 3m 2m 2m 
2t/m 
3t/m 
VA VB 
HB 
 2m 4m 1m 
2t 4t/m 
5tm HE 
VE 
ME 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
6 
15) 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = (3 . 3)/2 = 4,5t Q2 = 3 . 2 = 6t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VE – 4,5 – 6 = 0 ⇒ VE = 10,5t 
 ∑ ME = 0 ⇒ ME = (2/3 . 3) . 4,5 – 7 + 6,5 . 6 ⇒ ME = 41t.m 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = 3 . 2 = 6t Q2 = 2 . 1 = 2t Q3 = 2 . 2 = 4t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HB = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 6 – 2 – 4 – 5 = 0 ⇒ VA + VB = 17t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 6. 1,5 – 2 . 1 – 5 . 2 – 4 . 3 + 4 . VB = 0 
 4VB = – 9 + 2 + 10 + 12 ⇒ VB = 3,75t 
 
 VA = 17 – VB = 17 – 3,75 = 13,25t 
 
17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = (3 . 3)/2 = 4,5t Q2 = 6 . 2 = 12t Q3 = (2 . 2)/2 = 2t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HB = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 4,5 – 12 – 2 = 0 ⇒ VA + VB = 18,5t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 4,5 . (1/3 .3) – 12 . 3 – 4 . VB – 2 . (4 + 2/3. 2) = 0 
 4VB = 42,2 ⇒ VB = 10,5t 
 
 VA = 18,5 – VB = 18,5 – 10,5 = 8t 
VE 
 3m 2m 2m 
5t 
2t/m 
2t/m 1t/m 
VA VB 
HB 
 3m 4m 2m 
3t/m 
4t/m 
2t/m 
VA VB 
HB 
 3m 1m 1m 3m 
2t/m 3t/m 
7tm 
HE 
ME 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
7 
18) 
 
 
 Q = 3 . 3 = 9t 
 
 
 
 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HE = 5.cos 45º ⇒ HE = 3,5 
 ∑ FV = 0 ⇒ VE + 4 – 5.sen 45º – 2 – 9 = 0 ⇒ VE = 10,5t 
 ∑ ME = 0 ⇒ ME = – 4 . 6,5 + (5.sen 45º) . 5 + 2 . 1,5 + 9 . 1,5 
 ME = 8,2 t.m 
 
19) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = (3 . 2)/2 = 3t Q2 = 6 . 2 = 12t Q3 = (6 . 2)/2 = 6t Q4 = (3 . 4)/2 = 6t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HB = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 3 – 12 – 6 – 6 = 0 ⇒ VA + VB = 27t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 3 . 1 – 12 . 3 – 6 . 4 + 6 . VB – 6 . 7 = 0 
 6VB = 99 ⇒ VB = 16,5t 
 
 VA = 27 – VB = 27 – 16,5 = 10,5t 
 
20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q1 = 3 . 4 = 12t Q2 = 5 . 4 = 20t Q3 = (4 . 3)/2 = 6t 
 
 ∑ FH = 0 ⇒ HB = 0 
 ∑ FV = 0 ⇒ VA + VB – 12 – 20 + 6 = 0 ⇒ VA + VB = 26t 
 ∑ MA = 0 ⇒ 12 . 0 – 20 . 4,5 + 6 . 3 – 7 . VB = 0 ⇒ 7 VB = 72 ⇒ VB = 10,3t 
 
 VA = 26 – VB = 26 – 10,3 = 15,7t 
 
VE 
 1,5m 2m 3m 
5t 3t/m 
2t 
4t 
VE 
5.sen 45º 
45º 
5.cos 45º ME 
4t/m 
 3m 6m 3m 
2t/m 
VA VB 
HB2m 2m 3m 2m 
4t/m 
3t/m 
4t/m 
VB VA 
HB 
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8 
B) Calcular as reações de apoio nos triarticulados: 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑FH = 0 ⇒ HB + 6 = HA ⇒ HB - HA = - 6t 
 
 ∑FV = 0 ⇒ VA + VB = 0,0 
 
 ∑MA = 0 ⇒ 5.VB = 6.2 ⇒ VB = 2,4t ⇒ VA + VB = 0,0 ⇒ VA = -2,4t 
 
 ∑MRa = 0 ⇒ VA.5 + HA.6 = 6.4 ⇒ 5VA + 6HA = 24 ⇒ 5.(- 2,4) + 6HA = 24 
 
 ⇒ HA = 6t 
 
 ∑MRb = 0 ⇒ 6.HB = 0 ⇒ HB = 0t 
 
22) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B R 
6t 
A 
5m 
 1m 1m 1m 3m 1m 
6t 
y = x2 
90º 
A 
R 
q = 2t/m 
B 
6m 
5m 
VA VB 
HA HB 
2m 
Q1 = 6t 
Elementos de Resistência dos Materiais – Prof. Ildomar S. Tavares 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tg α = 3/5 
 
 α = Arc tg 3/5 
 
 α = 31º 
 
 
 
 
 Q = dxx∫
3
0
2 = 
3
3
3
3
3
0
3
=




 x
 ⇒ Q = 9 t 
 M = Q . d = dxxx∫ +
3
0
2
).1.( = dxxx∫ +
4
0
23
. = 
3
3
4
3
34
34
3
0
34
−=





+ xx = 29,25 t.m 
 
 
∑FH = 0 ⇒ HR + 6.cos α = HA ∑FH = 0 ⇒ HR - HB = 0 
 ⇒ HR – HA = -5,15t 
 ∑FV = 0 ⇒ VR + VB = 9 
∑FV = 0 ⇒ VA = 6 + 3,1 + VR 
 VA - VR = 9,1 ∑MB = 0 ⇒ VR.4 = 29,25 
 
 VR = 7,3t 
 
∑MA = 0 ⇒ 3,1.1 + 5,5.1,67 + 6.2 + HR. 5 + VR.3 = 0 
 5 HR + 3 VR = 24,4 
 
 
 VR + VB = 9 ⇒ 7,3 + VB = 9,1 ⇒ VB = 1,7t 
 
 VA - VR = 9,1 ⇒ VA - 7,3 = 9,1 ⇒ VA = 16,4t 
 
 5 HR + 3 VR = 24,4 ⇒ 5 HR = 24,4 – 3.7,3 ⇒ HR = 0,5t (HB = 0,5t) 
 
 HR – HA = -5,15t ⇒ 0,5 + 5,15 = HA ⇒ HA = 5,65t 
 
B 
y = x2 
 3m 1m 
R 
VB 
VR 
HR 
HB 
5m 
3m 
α 
R 
6t 
A 
5m 
 1m 1m 1m 
6t 
HR 
VR 
VA 
HA 
α 
6. sen α = 3,1t 
6. cos α = 5,15t h = 1/tg α 
 
h = 1,67 
ME