video aula introdutoria (PARTE 6 - Tensor desviador e invariantes)

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Conceitos Básicos sobre
Análise de Tensões
Tensor Hidrostático e Desviador
Invariantes do Tensor Desviador 
Relação entre tensões principais e os invariantes
Introdução Geral
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Definição Matemática: Todo tensor simétrico de segunda ordem pode ser decompôs to na seguinte soma de dois tensores:
onde é a chamada parcela hidrostática (ou esférica), definida por
 = = 
 é o traço da matriz (soma dos termos da diagonal principal)
 e representa o produto escalar entre dois tensores
 é o primeiro invariante do tensor
Tensores Hidrostático e Desviador
Introdução Geral
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e é a chamada parcela desviadora (ou antiesférica), definida por
 
Um volume elementar de material quando submetido a esforços tende a mudar tanto seu volume quanto sua forma. Assim, sob o ponto de vista mecânico, associamos a parte do tensor das tensões que tende a alterar o volume do corpo ao tensor hidrostático e a parte que tende a distorcer o corpo é associada ao tensor desviador.
Tensores Hidrostático e Desviador
Introdução Geral
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Tensores Hidrostático e Desviador
Introdução Geral
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Invariantes de um Tensor de Segunda Ordem
Em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um conjunto de transformações. Ou seja, uma entidade é considerada invariante sob um conjunto de transformações se a imagem transformada da entidade é indistinguível da entidade original. 
Todo tensor de segunda ordem (como o tensor tensão e o tensor deformação) tem três quantidades invariantes independentes associadas. 
Um conjunto de tais invariantes estão associados as tensões principais do tensor tensão, que são exatamente os autovalores do tensor tensão. Assim, lembrando o polinômio característico...
Introdução Geral
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Invariantes de um Tensor de Segunda Ordem
Polinômio Característico
onde , são coeficientes dados por
 
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Invariantes de um Tensor de Segunda Ordem
Exemplo: Considerando o tensor , faça o que se pede:
calcule o estado de tensões considerado igual a 25º e 48,72º
Determine os invariantes de tensão para S, S(25º), e S(48,72º) 
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Invariantes de um Tensor de Segunda Ordem
A) calculo o estado de tensões considerado uma rotação de graus
 
Recorrendo as equações de transformação teremos
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Invariantes de um Tensor de Segunda Ordem
B) Determine os invariantes de tensão para S, S(25º), e S(48,72º) 
 
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Invariantes do Tensor Desviador
Considerando que o tensor desviador assume a forma , onde 
 
onde , são coeficientes dados por
 
 
, e o polinômio característico relacionado a assume a seguinte forma: 
 
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Relação entre tensões principais e os invariantes
Usando a relação de Cardano para solução de equações cúbicas(*), podemos relacionar as tensões principais aos invariantes do tensor das tensões usando as seguintes relações: 
(*) https://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/13/resolucao-da-equacao-do-3-%C2%BA-grau-ou-cubica/
onde: 
e 
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Relação entre tensões principais e os invariantes
Estrutura
Modelo
Esforços Internos
Seccionais
Normais
Cortantes
Fletores
Torsores
Esforços Internos Locais
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