# Matemática Completa - Agente Penitenciário MG

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INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos 
públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. 
Este o motivo para que você faça paralelamente à matéria de raciocínio lógico 
propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. 
Aqueles alunos que cursaram exatas talvez considerem a parte da revisão 
matemática meio redundante, porém, aconselhamos só dispensar esta revisão quem 
continua usando a matemática como ferramenta de trabalho no seu dia a dia. Um 
pequeno lapso de memória, muito comum quando não se vê a matéria por algum tempo, 
na hora da prova, pode significar pontos Preciosos. 
Concomitantemente com a revisão acima mencionada, você deve estudar todas as 
grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais 
rápida de resolvê-los. 
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Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido 
treinamento, mesmo os melhores alunos terão dificuldade em resolvê-las no exíguo 
tempo disponível nos concursos. 
Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico na seção PROVAS 
RESOLVIDAS, como não poderia deixar de ser, serão do tipo 'charada' ou 'quebra-
cabeças'. 
Já mencionamos que iremos indicar o método a ser adotado para se chegar à 
solução da maneira mais rápida possível. Porém, como cada problema pode ser 
abordado de inúmeras maneiras, fica o aluno livre para seguir seu próprio raciocínio. 
Pedimos, inclusive, que sempre que você julgar ter encontrado um caminho mais 
simples ou mais lógico que o nosso, que nos comunique para, assim, podermos ir 
aprimorando gradativamente nossa didática. Será de inestimável ajuda. 
Onde for necessário daremos o devido embasamento teórico. 
Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e 
sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos 
nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão. 
Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-
los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas 
irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico 
exigidas nos concursos públicos. 
Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50 % dos 
problemas. Os outros 30 % podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de 
raciocínio lógico que iremos ensinar ao longo das questões. 
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Os exercícios que aparecem em, por serem muito similares aos dos concursos que 
você irá enfrentar em breve, servem tanto para treino como para acompanhamento dos 
seu desempenho. É com base nas respostas a estas questões que você poderá avaliar 
seus conhecimentos. 
 As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que 
provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um 
pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo 
positivo ou negativo. 
Exemplo 1: João anda de bicicleta. 
Exemplo 2: Maria não gosta de banana. 
Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmação/proposição. 
A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade ou mentira (verdadeiro/falso). Os 
resultados das proposições sempre tem que dar verdadeiro. 
Há alguns princípios básicos: 
Contradição 
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
Terceiro Excluído 
Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Uma 
proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, 
meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. 
Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil). 
Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os Conectivos Lógicos, que 
são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições 
uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja abaixo: 
(~) “não”: negação. 
(Λ) “e”: conjunção. 
(V) “ou”: disjunção. 
(→) “se...então”. 
condicional (↔). 
“se e somente se”: bicondicional. 
Agora, vejamos na prática como funcionam estes conectivos: 
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Temos as seguintes proposições: 
O Pão é barato. O Queijo não é bom. 
A letra P, representa a primeira proposição e a letra Q, a segunda. Assim, temos: 
P: O Pão é barato. 
Q: O Queijo não é bom. 
NEGAÇÃO (símbolo ~): 
Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo 
dada. 
Veja os exemplos: 
Ex1. : 
~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógica de P) 
~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q) 
Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa. 
Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira. 
Regrinha para o conectivo de negação (~): 
P ~P 
V F 
F V 
 
CONJUNÇÃO (símbolo Λ) 
Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O 
resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem 
verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será FALSO. 
Ex.2: P Λ Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) Λ = “e” 
Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ): 
P Q PΛQ 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
DISJUNÇÃO (símbolo V) 
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Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro 
se pelo menos uma das proposições for verdadeira. 
Ex3.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou” 
Regrinha para o conectivo de disjunção (V): 
P Q PVQ 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
CONDICIONAL (símbolo →) 
Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será 
condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. 
Ex4.: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então” 
Regrinha para o conectivo condicional (→): 
P Q P→Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
BICONDICIONAL (símbolo ↔) 
O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais 
(as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para 
“Q” 
Ex5.: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente 
se” 
Regrinha para o conectivo bicondicional (↔): 
P Q P↔Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
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I - COJUNTOS NUMÉRICOS E ARITMÉTICA 
1.1 Operações com números 
1.1.1 Os números naturais 
Os números 1,2,3,4,5,6,.... chamam-se números naturais, visto surgirem 
naturalmente no processo de contagem. 
Sua representação gráfica é uma reta, onde os mesmos estão dispostos em ordem 
crescente: 
1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 
Para somar dois desses números, digamos 5 e 7, começamos pelo 5 (ou pelo 7) e 
contamos para a direita sete (ou cinco) números para alcançar 12. 
Uma vez que não existe número natural maior que todos os outros, a soma de dois 
números naturais é sempre um número natural, isto é, a adição é sempre possível. 
Para subtrair 5 de 7, começamos pelo 7 e contamos para a esquerda cinco números 
até o 2. A operação de subtração não pode ser executada todas as vezes. 
Por exemplo, 7 não pode ser subtraído de 5, visto como há somente quatro números 
à esquerda de 5. 
Para que a subtração seja sempre possível, é necessário criar novos números para 
colocar à esquerda dos números naturais. 
O primeiro deles, 0, chama-se zero e os demais, -1, -2, -3, -4, -5, ...... chamam-se 
inteiros negativos.Os novos números tomados em conjunto com os números naturais 
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(agora denominados inteiros positivos e escritos aqui, como +1, +2, +3, +4, +5 ......) 
formam um conjunto que não tem princípio nem fim 
...-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ... 
As operações de adição e subtração (isto é, a contagem para a direita ou para a 
esquerda) são possíveis, sem exceção. 
Por uma questão de comodidade, nos números positivos o sinal + é habitualmente 
suprimido. 
 
1.1.3 Adição e Subtração 
Para adicionar dois inteiros como +7 e -5, começamos por +7 e contamos para a 
esquerda (lado indicado pelo sinal de -5) cinco números até +2 ou começamos por -5 e 
contamos para a direita (lado indicado pelo sinal de +7) sete números até +2. 
Como você somaria -5 e -7 ? 
Para subtrair +7 de -5, começamos por -5 e contamos para a esquerda (lado oposto 
à direção indicada pelo sinal de +7) sete números até -12. 
Para subtrair -5 de +7, começamos por +7 e contamos para a direita (lado oposto à 
direção indicada pelo sinal de -5) cinco números até +12. 
Como você subtrairia +7 de +5 ? 
E -5 de -7 e também -7 de -5 ? 
Para calcular de maneira fácil com números positivos e negativos, é necessário evitar 
o processo de contagem. 
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Para isso, observamos que cada um dos números de +7 e -7 está a sete passos a 
partir de 0. 
Indicamos este fato dizendo que o valor absoluto de cada um dos números +7 e -7 é 
7. Mais precisamente, o valor absoluto: 
de 0 é 0 
de a ¹ 0 a se a é positivo 
-a se a é negativo 
Então, depois de decorar cartas tábuas de adição e de multiplicação, usamos as 
seguintes regras: 
Regra 1: Adição 
Para somar dois números que têm o mesmo sinal, somam-se seus valores absolutos 
e dá-se à soma o sinal comum. 
Por exemplo, 
+7 + (+5) = + (7 + 5) = + 12 
- 6 + (- 9) = - (6 + 9) = - 15 
 
Regra 2: Adição 
Para somar dois números que têm sinais diferentes, subtrai-se o menor valor 
absoluto do maior e dá-se à diferença o sinal do número que tem o maior valor absoluto. 
Por exemplo, 
+13 + (-5) = + (13 - 5) = +8 
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+ 4 + (-18) = - (18 - 4) = -14 
 
Regra 3: Subtração 
Para subtrair um número, troque seu sinal e some. 
Por exemplo, 
14 - (- 6) = 14 + 6 = 20 
- 8 - (- 9) = - 8 + 9 = 1 
- 8 - (+ 7) = - 8 + (- 7) = - 15 
 
1.1.4. Multiplicação e divisão 
Visto como 
3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 ou 
3 . 2 = 3 + 3 = 6 
admitimos que 
(+3) . (+2) = + 6 
(+3) . (- 2) = - 6 
(- 3) . (+2) = - 6 
Resta considerar o produto de dois números negativos, digamos (- 3) . (- 2) 
Uma vez que - 3 = - (+ 3), temos 
(-3) . (-2) = - (+3) . (-2) = - (-6) = +6 
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Assim podemos estabelecer a quarta regra: 
 
Regra 4: Multiplicação e Divisão 
Para multiplicar dois números ou para dividir um número por outro, multiplique ou 
divida os valôres absolutos e anteponha um sinal + se os dois números tiverem o mesmo 
sinal e um sinal - se os dois números tiverem sinais diferentes. 
Se bem que as regras acima tenham sido ilustradas para inteiros positivos e 
negativos, deve admitir-se que prevaleçam tanto para as frações ordinárias como para 
os números irracionais, que serão introduzidos mais tarde. 
 
 
 
 
 
 
Introdução de Frações 
 
1 – Qual a fração cujo denominador é 12 e o numerador 7? 
 
2 – Um mês tem trinta dias. Escreva a fração do mês correspondente a: 
 
a) 1 dia 
b) 5 dias 
c) 17 dias 
d) 29 dias 
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3 – Que fração representa uma semana no mês de abril? 
 
4 – Que fração do mês de maio representam 10 dias? 
 
5 – Que fração do ano representam 5 meses? 
 
6 – Que fração do dia representam 17 horas? 
 
7 – Que fração da semana representam 4 dias? 
 
8 – Indique as frações correspondentes a cada situação: 
a) Carolina comeu 3 doces de uma caixa que continha 8 doces. 
b) Janice comprou 7 cadernos de um pacote que continha 10 cadernos. 
 
9 – Quinze pessoas foram convidadas para uma festa e apenas 8 compareceram. 
a) Qual a fração que indica a presença? 
b) Qual a fração que indica a ausência? 
 
10 – Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Que fração 
do total de membros da conferência representam os brasileiros? E os ingleses? E os 
argentinos? 
 
11 – Uma dúzia de balas deve ser dividida igualmente entre 3 garotos. Que parte 
receberá cada um? 
 
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12 – Uma pessoa deve caminhar 100 metros e já andou 65 metros. Que fração do total 
do percurso ainda falta? 
 
 
Frações Equivalentes – Exercícios 
 
1 – Escreva uma fração equivalente a um meio cujo denominador seja dez. 
 
2 – Escreva uma fração equivalente a cinco sétimos cujo numerador seja quinze. 
 
3 – Escreva uma fração equivalente a dois terços cujo denominador seja 18. 
 
4 – Escreva uma fração equivalente a três quartos, sendo trinta e cinco a soma do 
numerador com o denominador. 
 
 
Simplificação de frações – Exercícios 
 
1 – Monte as frações dadas e simplifique-as se for o caso: 
 
a) Seis oitavos 
b) Doze quinze avos 
c) Dez dezesseis avos 
d) Sete trinta e cinco avos 
e) Quarenta e oito cento e vinte avos 
f) Cento e noventa e dois duzentos e quarenta avos 
g) Duzentos e trinta e quatro trezentos e noventa 
h) Cento e setenta e cinco vinte e cinco avos 
 
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2 – Qual fração irredutível equivale a setenta e quatro cento e onze avos? 
 
3 – Qual fração irredutível equivale a noventa e três cento e vinte e quatro avos? 
 
 
Conceito de Frações 
 
Frações: 
 
Frações são números escritos da seguinte forma: 
b
a
 onde a é o numerador da fração 
e b , que é diferente de 0 (zero), é o denominador da fração e ambos são números 
inteiros. 
As frações podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas, e veremos como 
se faz cada uma dessas operações. Existem também potenciação e radiciação de 
frações. 
 
Adição: Quando as frações a serem somadas possuírem os denominadores iguais, 
basta repetir o denominador e somar os numeradores. Ex: 
3
5
3
4
3
1
 . Quando as 
frações a serem somadas possuírem os denominadores diferentes, basta igualar os 
denominares e proceder como no exemplo anterior. (Obs: Para igualar os 
denominadores utilizamos mmc (mínimo múltiplo comum, que é o menor múltiplo 
comum entre os denominadores). Ex: 
6
7
6
4
6
3
3
2
2
1
 . 
 
Subtração: Procede de forma igual à adição, mas com a operação subtração. 
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Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numeradores por 
numeradores e denominadores por denominadores. Ex: 
15
8
5
4
*
3
2
 
 
Divisão: Para realizarmos a divisão de frações, devemos transformar a divisão em 
multiplicação. Procedemos da seguinte maneira: mantemos a fração que está no 
numerador, invertemos a operação e invertemos a fração que está no denominador. 
Ex: 
6
5
3
5
*
2
1
5
3
2
1
 . 
 
Pratique: 
 
a) 
4
3
3
2
 b) 
4
3
3
2
 c) 
4
1
*
2
3
 d) 
5
1
2
3
 e) 
5
1
3
2
 f) 
2
3
*
4
5
 g) 
4
5
3
4

 h) 2
5
3
 
 
Resolva as expressões: 
 
a) 
22
3
4
2
3
2
3
2





 






 b) 
3
1
7
3
*
4
5
 c) 2
4
5
5
3
3
2
 d) 
4
5
5
7
3
7
4
7
2
3
2
2














 
 
 
PS: O símbolo * possui o significado de multiplicação. 
 
 
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FRAÇÕES 
 
 Fração = partes do todo dividido em porções iguais = pedaço 
 
 
Se a fraçãoé a parte de um todo, que quantidade do todo ela representa? 
 
A fração é escrita na forma 
a
b
 , onde a e b são normalmente números inteiros com 
b0. 
Nesta representação 
a
b
, b que é chamado de denominador indica em quantas partes o 
inteiro foi dividido e a que é chamado numerador, indica quantas partes do inteiro 
estamos considerando. 
 
 
Inteiro 
 
 
quero 2/3 deste inteiro 
 
 
inteiro dividido em três partes iguais 
 
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2 partes do inteiro dividido em três 
 
 
 
O inteiro é uma caixa contendo 36 balas. 
Quero 2/3 das balas. 
Vamos dividir as balas em três partes iguais: 36 : 3 = 12  12 + 12 +12 
Portanto duas partes são: 12 + 12 ou 2 . 12 ou 24 
 
Exercícios: 
 
1) Quanto é 2/7 de 343? 2) Quanto é 5/8 de 144? 3) Quanto é 5/9 
de 820? 
 
4) Quanto é 7/9 de 240? 5) Quanto é 5/6 de 340? 6) Quanto é 5/12 
de 720? 
 
Respostas: 
1) 98 2) 90 3)4100/9 4)560/3 5) 675/2 6) 300 
 
 
Definição: Frações equivalentes são aquelas que representam valores iguais 
 
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Exemplo: 
2/3 
 
 
 
4/6 
 
 
 
 
 
 
Sejam a e b dois números inteiros, com b  0, para encontrarmos as frações equivalentes a 
a / b, multiplicamos, a e b (numerador e o denominador da fração) por um mesmo número 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
3
 
10
6
2.5
2.3
 
é equivalente 
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ou 
15
9
3.5
3.3
 
ou 
20
12
4.5
4.3
 ou 
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Obs. Normalmente, representamos uma fração através da sua equivalente que 
possui os menores numerais possíveis no numerador e no denominador. Este 
processo de encontrá-la chamamos de simplificação. 
 
Nos casos em que já temos as duas frações e queremos verificar se as mesmas são equivalentes e 
não desejamos fazer o caminho inverso (caminho de volta ou operações inversas), podemos 
também usar a propriedade fundamental das proporções, que diz: 
 
Numa proporção, se duas razões são equivalentes, então o produto dos extremos é 
igual ao produto dos meios. 
 
Na proporção a:b = c: d ou 
d
c
b
a
 , a e d são os extremos e b e c são os meios. 
Portanto, a. d = b.c 
 
RAZÃO: é a relação ou quociente entre duas grandezas 
 
 
QUOCIENTE: resultado de uma divisão 
 
 
Obs: As frações também indicam uma divisão entre o numerador e o denominador. Ao 
efetuarmos a divisão entre o numerador e o denominador, obtemos como 
resultado, o número decimal equivalente à fração. 
 
 
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Símbolo da Razão: 
a
b
 (lê-se: razão de a para b) 
 
Neste símbolo, que também pode ser a:b, a é o antecedente e b o conseqüente. 
 
Exemplo: 
 
Dividir 144 na razão de 
7
5
. 
Quando queremos dividir um valor numa determinada razão, devemos dividir este valor 
pelo total das partes. 
 
144:(5+7) = 144:12 = 12 
 
12 é o valor de cada parte do todo. Logo, 5 partes é igual à 5.12 = 60 e 7.12 = 84. 
Portanto as partes são: 60 e 84. 
 
Mas se queremos saber quanto é a fração 
7
5
.de 144, devemos dividir 144 por 7 e o 
resultado multiplicar por 5. 
 
144:7 = 20,571 aproximadamente 
 
20,571.5 = 102,855 
 
 
 
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Toda fração é uma razão entre uma parte e o todo 
 
 
Proporção: proporção é a equivalência entre duas razões 
 
Símbolo 
a
b
 =
d
c
 ou a:b = c:d, com b0 e d0. 
 
Nesta proporção a e d são os extremos e b e c são os meios 
 
Exemplos: 
 
1) Se 
3
5
6
10
    310 56 30 30. . (Verdade, portanto temos uma proporção) 
 
2) Se 
2
3
5
9
2 9 35 18 15    . . (Falso, logo a equivalência não existe, não é uma 
proporção) 
 
3) Se 
8
12
2
3
8 3 12 2 24 24    . . (Verdade, portanto temos uma proporção) 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
I) Verifique se as frações são equivalentes, caso sejam equivalentes, coloque V e caso 
contrário F: 
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400 
 
 
 1) 2/7 e 8/28 Resposta: V 
 2) 12/15 e 21/35 Resposta: F 
 3) 30/45 e 8/15 Resposta: F 
 4) 15/18 e 30/36 Resposta: V 
 5) 14/21 e 15/25 Resposta: F 
 6) 15/100 e 3/20 Resposta: V 
 7) 3/7 e 24/56 Resposta: V 
8)14/35 e 40/100 Resposta: V 
9)12/18 e 25/80 Resposta: F 
10) 7/12 e 21/48 Resposta: F 
11) 20/42 e 30/63 Resposta: V 
12) 42/49 e 48/58 Resposta: F 
13) 13/5 e 39/15 Resposta: V 
14) 18/12 e 45/20 Resposta: F 
 
II) Calcule o valor de x em cada proporção: 
 
 1) 
10
6
5

x
 
 2) 
24
123

x
 
 3) x
10
5
 
 4)
6
31

x
 
5)
11
11 x
x
 
6)
x
x 18
8
 
7)
7
3
2
1

x
 
8)
54
45
3
12


x
x
 
9)
4
1
3


xx
 
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401 
 
 
10)
1
3
4
2



x
x
 
 
PROBLEMAS 
 
1) Se em uma receita de bolo para cada 3 xícaras de farinha de trigo usa-se 5 colheres 
de sopa de açúcar, quantas colheres de açúcar são necessárias para 7 xícaras de 
farinha? 
2) Um alpinista leva um dia para escalar 2/7 de uma montanha. Quantos dias este 
alpinista levará para escalar outra montanha com o triplo da altura da primeira? 
3) Um cachorro come ¾ de sua ração em 5 minutos. Quanto tempo 2 cachorros comerão 
a ração inteira, supondo que os cães se alimentam na mesma rapidez? 
 
 
 
 
 
 
 
 OPERAÇÕES ENTRE FRAÇÕES 
 
 
I) ADIÇÃO : 
 
 
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402 
 
 
 + 
 
 
1 + 2 = 3 
4 4 4 
 
Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, temos partes de tamanhos 
iguais e neste caso, para efetuarmos a soma, basta somarmos os denominadores e 
conservar o denominador, pois o denominador só indica em quantas partes o inteiro foi 
dividido. 
 
 
 
 
1 + 1 = 5 
2 3 6 
 
Quando os denominadores das frações são diferentes, temos uma situação em que 
queremos somar pedaços de tamanhos diferentes. Para podermos reduzi-las em 
frações equivalentes de denominadores iguais, isto é representa-las através de partes 
iguais. 
 
Mas como fazê-lo? 
 = 
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403 
 
 
Uma das técnicas para isto, é transformá-las em frações equivalentes com 
denominadores iguais ao produto entre os denominadores destas frações. 
 
1 . 2 + 1 . 3 
3 . 2 2 . 3 
 
 
 
2 + 3 = 5 
6 6 6 
 
 
 
 
Como é possível verificar na ilustração, com esta nova divisão, as partes achuradas 
foram representadas através de outras frações equivalentes as anteriores e assim foi 
possível representar a fração da solução. 
 
Vejam que para podermos somar as frações foi necessário encontrar as frações 
equivalentes às das parcelas que possuem o mesmo denominador. 
 
Para facilitar a transformação das frações das parcelas em frações equivalentes de 
denominadores iguais, podemos: 
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404 
 
 
1) Encontrar o denominador comum 
 
Este denominador comum poderá ser o próprio produto ou qualquer múltiplo entre os 
denominadores das parcelas, e dentre eles, poderá ser também o m.m.c. entre os 
denominadores das parcelas. 
 
. 
 
Exemplo: 
12
11
24
22
24
418
24
4
24
18
6*4
4*1
6*4
6*3
6
1
4
3


 ndosimplifica . 
 
 
 
M.M.C.(a,b) ou m.m.c.(a,b) = menor múltiplo comum entrea e b. 
 
 Um múltiplo de um número é o resultado da multiplicação deste número por um 
número inteiro. 
 
Múltiplo comum entre a e b são aqueles que são múltiplos de ambos ao mesmo 
tempo. 
 
Exemplos: 
 
a) múltiplos de 2 não negativos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 
b) múltiplos de 3 não negativos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 ... 
c) múltiplos de 5 não negativos: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... 
d) múltiplos de 6 não negativos: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... 
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405 
 
e) múltiplos de 2 e de 3: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... 
f) múltiplos de 2 e de 5: 0, 10, 20, 30, 40, 50, ... 
g) múltiplos de 3 e de 5: 0, 15, 30, 45, 60, 75, ... 
h) O menor múltiplo comum de 2 e de 3 não nulo é m.m.c.(2,3) = 6 
i) O menor múltiplo comum de 2 e 5 não nulo é m.m.c.(2,5) = 10 
j) O menor múltiplo comum de 3 e 5 não nulo é m.m.c.(3,5) = 15 
k) O menor múltiplo comum de 2 e 6 não nulo é m.m.c.(2,6) = 6 
 
Existe um método prático de encontrar o m.m.c. que consiste em fatorar os números 
dos quais se quer obter. 
 
Exemplo: m.m.c.(4,6) = 12, pois 4 - 6 2 
2 - 3 2 
1 - 3 3 
1 - 1 2.2.3 = 12 
 
 
 
 
2) Determinar os numeradores de cada fração equivalente. 
Para se obter o novo numerador da fração equivalente, fazemos: 
novo numerador = (novo denominador : antigo denominador) . antigo numerador 
 
Exemplo: 
 3 1 9 2 11 
 4 6 12 12 12 
 
 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 
+ = + = 
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406 
 
 3 . 3 = 9 2 . 1 = 2 
4 - 6 2 
2 - 3 2 
1 - 3 3 
1 - 1 2.2.3 = 1 
 
EXERCÍCIOS : 
 
Efetue as operações e simplifique a fração resposta, se possível: 
 
1) 2/5 + 1/6 = Resp. 17/30 2) 3/8 – ¼ = Resp. 1/8 3) 4/5 + 1/8 + 1/10 = Resp. 41/40 
 
4) 3/8 + 2/5 – 2/9 = Resp. 199/360 5) 5/11 + 3/8 – ( 4/9 + 1/3 ) = Resp. 41/792 
 
6) 4/8 + 5/10+3/2 – ( 5/12 + 6/12 – 9/18) = Resp. 7) 5/15 + 2/5 + 7/10 – ¾ = Resp. 41/60 
 
8) 2/21 – 7/12 + 13/42 = Resp. –15/84 9) 15/32 – 17/24 = Resp. –23/96 
 
10) 2/5 + ¾ - 7/8 – 1/6 = Resp. 13/120 11) ½ +1/3 + ¼ - 1/5 = Resp. 53/60 
 
 
 
II) MULTIPLICAÇÃO 
 
 
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407 
 
 
De um número por uma fração 
 
 
Quando multiplicamos um número por uma fração, temos que interpreta-la como uma 
repetição da fração numa soma, portanto basta multiplicar o numerador pelo número. 
 
Exemplos: 
 
a) 2. 
2
5
2
5
2
5
4
5
   , isto é: 
2
1
2
5
2 2
15
4
5
.
.
.
  
 
 
b) 3.
1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
    , isto é: 
3
1
1
8
3
8
.  
 
 
2) De uma fração por outra fração: 
 
Obs. Não tirar de foco, que multiplicar uma fração por outra fração é obter uma fração 
da outra( um pedaço da outra) logo a tendência é a fração produto ser menor, nos casos 
em que a primeira fração seja ordinária(menor que 1). 
 
 
A multiplicação entre duas frações também pode ser escrita como uma fração de 
uma outra fração e a sua operação é feita através da multiplicação entre os 
numeradores e entre os denominadores. 
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408 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 1) 1/2 de 3/5 =1/2 . 3/5 = 1 . 3 / 2 . 5 = 3 / 10 
 
 
 
 
 
Vejam na figura, que o resultado é a metade do original. 
 
 
 
2) 
2
3
3
5
.  
2
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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409 
 
 
3) 
1
2
3
5
20dos das balas. . 
 
 
3
5
 de 20 é 
3
5
20
320
5
60
5
12.
.
   
 
 
1
2
 de 12 é 
1
2
12
112
2
.
.
 =
12
2
6 
 
 Estas operações podem ser reduzidas a 
1
2
3
5
20
1320
2 5
60
10
6. .
. .
.
   
 
 
EXERCÍCIOS : 
 
Determine a quantidade relativa a fração dada: 
 
 1) Quanto é 23/100 de 4500? Resposta: 1035 
 2) Quanto é 32/100 de 2500? Resposta: 800 
3) Quanto é 3/11 de 121? Resposta: 33 
4) Quanto é 5/9 de 252? Resposta: 140 
5) Quanto é 7/10 de 120? Resposta: 84 
6) Quanto é 2/13 de 390? Resposta: 60 
7) Quanto é 5/12 de 60? Resposta: 25 
8) Quanto é 11/100 de 2000? Resposta: 220 
9) Quanto é 2/5 de 80? Resposta: 32 
10) Quanto é 5/8 de 240? Resposta: 150 
11) Quanto é ¾ de 50? Resposta: 37,5 ou 150/4 ou 75/2 
12) Quanto é 6/12 de 72? Resposta: 36 
13) Quanto é 3/7 de 63? Resposta: 27 
14) Quanto é 7/12 de 54? Resposta: 31,5 ou 378/12 ou 189/6 ou 126/4 ou 63/2 
 15) Quanto é 7/8 de 36? Resposta: 31,5 ou 252/8 ou 126/4 ou 63/2. 
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410 
 
 
Efetue as operações simplificando a fração resultado, o máximo possível: 
 
1) (2/3).(3/4) = Resp. ½ 2) (3/5).(2/7).(4/3) = Resp. 8/35 3) (3/8).(5/7).(7/3) = Resp. 
5/8 
 
4) (12/15).(3/8).(5/9) = Resp. 1/6 5) 7.(5/9).(3/10) = Resp. 7/6 6) 5.(3/7) = Resp. 15/7 
 
7) (3/5).10 = Resp. 6 8) (2/9).(3/8) = Resp. 1/12 9) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼ 
 
10) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 1 11) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10 
 
12) 4.(3/7).(14/9) – 3.(1/5).(10/21) = Resp. 50/21 13) (3/4).2.(5/6) – 3.(1/6) = Resp. ¾ 
 
14) 5.(1/15).(6/7) + (1/2).(1/3) = Resp, 19/42 15) (3/5).(5/6).3 – 6.(2/9).(1/2) = Resp. 
5/6 
 
 
 EXERCÍCIOS : 
Efetue as operações indicadas: 
 
1) 5.(3/7) = Resp. 15/7 2) (3/5).10 = Rersp. 30/5 ou 6 3) (2/9).(3/8) = Resp. 
6/72 ou 1/12 4) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼ 5) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 
1 6) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10 
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411 
 
 
 
III) DIVISÃO 
 
Obs. Ao dividirmos um número por uma fração, estamos querendo saber quantas 
vezes esta fração cabe neste número ou quantas desta fração são necessárias 
para compormos esse número. 
 
 A divisão entre dois números pode ser entendida como a multiplicação entre o 
primeiro número e o inverso do segundo. Apesar de que devemos também 
entender que quando escrevemos a : b, onde b não é zero, estamos perguntando 
ou querendo saber quantas grupos de b são necessários para formar o a, ou 
quantos b cabem em a. Logicamente, se b for maior que a, a : b terá um resultado 
menor que 1 ou seja a/b, que poderá ser representado exatamente ou 
aproximadamente, dependendo de cada caso, pelo número decimal que é o 
resultado da divisão (quociente) de a por b. 
 
(o elemento inverso de um número num certo conjunto em relação a uma 
determinada operação, é o elemento que operado com o seu direto tem como 
resultado o elemento neutro desta operação no referido conjunto). 
( elemento neutro de uma operação num conjunto, é o elemento que ao ser operado com 
qualquer elemento do conjunto, tem como resultado este qualquer elemento). 
 
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412 
 
Na adição de números reais, o elemento neutro é o zero, (para qualquer número x 
dos números reais, x + 0 = 0 + x = x), na multiplicação, o elemento neutro é o 1, ( 
para qualquer número x dos números reais, x.1 = 1.x = x) 
 
Na adição de números reais, o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de um número 
a é o -a, pois a + (-a) = 0. E na multiplicação o inverso de a, a diferente de zero, 
é o número 1/ a. 
 
 Exemplos: 
 
 1) o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de 2 é o –2 e o do –2 é o 2. 
 2) o inverso multiplicativo ou simplesmente o inverso de 2 é ½ e o inverso de ½ é 
2. 
 
Número decimal é a representação de uma fração decimal(frações cujo 
denominador são resultados de potência de 10) através de numerais com virgulas.Exemplos: 
 
1) 1/10 = 0,1 (é lido como um décimo); 2/10 = 0,2 (é lido como dois décimos). 
 
2) 1/100 = 0,01 (é lido como um centésimo); 3/100 = 0,03 (é lido como três 
centésimos); 37/100 = 0,37 (é lido como trinta e sete centésimos) 
 
 
3) 1/1000 = 0,001 (é lido como um milésimo); 132/1000 = 0,132 (é lido como cento 
e trinta e dois milésimos) 
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413 
 
 
4) 1/10000 = 0,0001 ( é lido como um décimo milésimo); 23/10000 = 0,0023 ( é lido 
como vinte e três décimos milésimos). E assim sucessivamente. 
 
 
Como transformar uma fração qualquer em número decimal? 
Para podermos transformar uma fração a/b em número decimal, basta efetuar a 
divisão de a por b, divisão esta feita manualmente ou através de uma calculadora. 
Como nem sempre é possível fazer esta representação exata porque nem sempre as divisões 
são exatas, devemos ter uma regra de aproximação em conjunto com o número de casas 
após a virgula que podemos considerar.(o número de casas após a virgula depende do 
fenômeno e dos materiais de medidas envolvidos no problema a ser estudado). 
 
Exemplo: 2/7 de um metro, medido com uma régua comum escolar = 
0,2857...~0,286 metros, pois na régua, só conseguimos observar com precisão até 
milímetros. 
 
As operações entre números decimais, tem na: 
Adição ( soma e subtração ) como característica principal, deixar virgula em baixo 
de virgula nas operações realizadas na vertical. Exemplo: 2,0154 + 0,004376 = 
2,019776, pois 
 
 2,0154 
 + 0,004376 
 _________ 
 2,019776 
 
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414 
 
Na multiplicação, faz-se a operação normal com os números formados com os 
dígitos significativos e o produto final deve ter o número de casas após a virgula 
igual a soma do número de casas de cada um dos fatores que compõem a 
multiplicação, onde as últimas casas devem ser o número que é o resultado da 
multiplicação feita inicialmente. 
Ex: 2,005x0,04 = 0,08020 2005x4 =8020 
 3 casas x 2 casas = resultado com 3 + 2 casas = 5 casas 
Obs. Nesta operação, o resultado 0,08020 poderá ser representado por 0,082 pois, 
após a virgula e após o último dígito significativo (diferente de zero) a colocação 
ou não de zeros, não altera o número e na maioria dos casos, os zeros aparecem 
para indicar a precisão das medidas que estamos usando. 
 
Na divisão, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um acompanhado de tantos 
zeros quantos forem as casas após a virgula do número que tem maior número de 
casas após a virgula e efetuar a operação com os resultados. 
Exemplo: 0,0125 : 0,00025. Vejam que o dividendo tem 4 casas após a virgula e o 
divisor tem 5, portanto vamos multiplicar cada um por 100000 
0,0125 x 100000 = (125/10000) x 100000 = 125 x 10 = 1250 
0,00025 x 100000 = (25/100000) x 100000 = 25, logo: 
0,0125 : 0,00025 = 1250 : 25 = 50. 
 
 Exemplos de divisão: 
 
1) A metade de 6/7 é o mesmo que (6/7) / 2 = (6/7).(1/2) = 6/14 = 3/7 
(figura) 
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415 
 
2) A terça parte de 5/8 é o mesmo que (5/8) / 3 = (5/8).(1/3) = 5/24 
(figura) 
Obs. : Não se esqueçam que “metade de” é o mesmo que “½ de”. A “terça parte de” 
é o mesmo que “1/3 de”. E que a metade é obtida dividindo-se o valor desejado 
por 2; a terça parte é obtida dividindo-se o valor por 3. 
 
3) Dividir 2/5 por 3/7 = (2/5)/(3/7) = (2/5).(7/3) = (2.7)/(5.3) = 14/15. 
(figura) 
Neste caso, podemos também entender como: “quantos 3/7 tem em 2/5., pois não 
devemos esquecer que nos números inteiros, quando estamos dividindo 12 por 3, 
também estamos verificando, quantos grupos de 3 tem em 12, ou quantos grupos 
de 3 elementos são necessários para se ter um total de 12 elementos. 
 
3) Dividir 12/5 por 3/5 é o mesmo que verificar quantos 3/5 tem 12/5 que é o mesmo 
que (12/5)/(3/5) = (12/5).(5/3) = 60/15 = 4. 
(figura) 
 
Obs. Vejam que nestes dois últimos exemplos, um tem como resultado uma fração 
e o outro, um número inteiro. Isto significa que 3/7 é uma fração não inteira de 2/5, 
enquanto que temos exatamente quatro 3/5 formando 12/5.(mostrar com figuras) 
 
EXERCÍCIO: 
 
Efetue as seguintes operações e simplifique a fração resposta o máximo possível: 
 
1) 5 : (3/4) = Resp. 20/3 2) (5/6) : 5 = Resp. 1/6 3) (3/5) : (4/15) = Resp. 9/4 
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4) (10/9) : (20/21) = Resp. 7/6 5)  (3/5 + 2/3):( 2/5): (4/5) = Resp. 95/24 
 
2/3 + (2/5):(6/10) : (1/3 + 2/5):(11/20) : 2.(1/3) + (4/7).(3/5) = Resp.315/424 
 
Porcentagem, Regra de três Simples e compostas 
 
 Porcentagem = Por cento = em cada 100 = uma quantidade relativa a 100. 
A porcentagem, é uma representação de uma parte com o todo onde sempre 
consideramos o todo como 100, portanto podemos dizer que seria uma fração 
representada por uma fração decimal(centesimal) equivalente. Logo, podemos fazer 
esta mudança de representação usando as proporções, pois as frações (original) e 
(centesimal) são equivalentes. 
Exemplo: 2/5 = 2 em cada 5, poderá ser representada pela equivalente 40/100 = 40 em 
cada 100. 
 
 A regra de três simples, nada mais é que um algoritmo usado para calcular a 
quarta proporcional, isto é: Temos uma razão (composta de 2 numerais) e um valor da 
outra razão equivalente e queremos calcular o outro valor desta segunda razão. E para 
tal, usamos a propriedade fundamental das proporções: o produto entre os extremos 
é igual ao produto entre os meios. (Na formação da proporção através de frações, 
nos dá a visão de multiplicação em cruz) 
Exemplo: 2/3 = 4/x . Como 2 e x são os extremos e 3 e 4 são os meios, temos 2.x = 
3.4, ou 
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417 
 
2x = 12, ou x = 6. 
 
 
 
 
 
Divisão proporcional 
 
Nas divisões proporcionais, temos dois tipos: 
 
I) Divisão diretamente proporcional. 
Nesta divisão estamos estudando a divisão de um valor em cotas e quanto maior for 
a quantidade de cotas, maior será o rateio da divisão. Vejamos uma situação onde 
a divisão é diretamente proporcional. 
Numa sociedade entre três amigos, André, Carlos e Luiz, as cotas de sociedade são 
2, 4 e 5 respectivamente, ao dividirem um lucro de R$ 20900,00, diretamente 
proporcional às cotas, André recebe x, Carlos y e Luiz z. Então temos: 
542
zyx
 , com x + y + z = 20900. Vejam que o total de cotas é 2 + 4 + 5 = 11. 
Se dividirmos 22000 por 11, saberemos de quanto é cada cota, isto é: 1900, logo: 
André recebe 2x1900 = 3800 
Carlos recebe 4x1900 = 7600 e 
Luiz recebe 5x1900 = 9500. 
 
Matematicamente, temos 
542542 


zyxzyx
, mas 1900
11
20900
542


 zyx
que significa: 
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1900
2

x
 → x = 3800, 1900
4

y
 → y = 7600 e 1900
5

z
 → z = 9500 
 
II) Divisão inversamente proporcional. 
 
Como o próprio nome diz, a divisão é inversamente proporcional. Na divisão de cotas, 
quem tem mais cotas, tem o valor menor. No exemplo anterior, nesta divisão o valor a 
receber multiplicado pela cota é constante, isto é 2x = 4y = 5z, pois na inversamente 
proporcional a 2, 4 e 5, teremos diretamente proporcional ao inverso de cada quantidade 
de cota. 
5
1
4
1
2
1
5
1
4
1
2
1



zyxzyx
 que ao efetuarmos cada uma das divisões temos 
1
5
.
1
4
.
1
2
. zyx  = 
20
4510 
 zyx
 ou seja 2x = 4y = 5z =
19
).(20 zyx 
. 
Como x + y + z = 20900, ficamos com 2x = 4y = 5z = 
19
418000
 ou 22000, logo 
2x = 22000 → x = 11000 
4y = 22000 → y = 5500 
5z = 22000 → z = 4400 
 
Na prática,podemos achar as frações equivalentes a 
2
1
, 
4
1
 e 
5
1
 que são 
20
10
, 
20
5
 e 
20
4
 e fazermos a divisão diretamente proporcional aos novos numeradores, isto é 
diretamente proporcionais a 10, 5 e 4. 
Neste caso seria como André tivesse 10 cotas, Carlos 5 e Luiz 4, num total de 19 cotas. 
Ao dividirmos 20900 por 19, temos 1100, com isso, 
André = 10x1100 = 11000 
Carlos = 5x1100 = 5500 e 
Luiz = 4x1100 = 4400. 
 
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419 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO I -Lógica 
 
1) Calcular as adições e subtrações de frações. 
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420 
 
a) 
2
7
10
7 = 
b) 4
5
9
−
3
9 = 
c) 5
1
2
2
3 = 
d) 
5
3
−
3
4 = 
e) 5 + 
3
5
8
10 = 
f) 10 - 
7
4
−
5
6 = 
g) 
1
4
6
2
3
5
6 = 
h) 5
2
5
−
1
3
1
2 = 
 
2) Compare as frações. 3) Simplifique as frações abaixo. 
a) 3
2
7 e 
10
7  
 
5
9 e 
3
9 
c) 
1
2 e 
2
3  
d) 
5
3 e 2
3
4  
 
a) 
10
18 = 
b) 
6
14 = 
c) 
11
44 = 
d) 
36
72 = 
4) Efetue os produtos (simplifique antes, se possível). 
a) 
1
2
×
2
5 = 
b) 2
4
7
×
3
2 = 
c) 
6
5
×
5
4 = 
d) 
4
18
×
9
6 = 
e) 
7
6
×
32
21 = 
f) 
8
9
×
48
50
×
7
6 = 
g) 
10
12
×
48
50
×
25
16 = 
h) 
2
7
×
21
14
×
8
6 = 
5) Ache os quocientes. 
a) 
7
5
÷
3
10 = e) 
1
3
÷ 3 = 
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421 
 
b) 
3
4
÷
9
2 = 
c) 
2
7
÷
8
14 = 
d) 
6
9
÷
4
15 = 
 
f) 
2
3
÷
10
12
÷
1
15 = 
g) 4÷
7
3
÷ 6 = 
h) 1÷
3
5
÷ 10 = 
6) Determine as potências. 
a) 
2
3
2
= b) 
1
2
3
= c) 
4
7
1
= d) 
9
20
0
= e) 
0 .3
0,5
0
= 
7) Encontre as raízes abaixo. 
a) 
1
4 = b) 
9
25 = c) 
3 8
27 = d) 
5 1
32 = e) 
16
81 = 
8) Calcule o valor de cada expressão abaixo. 
a) 
2
3
×
3
4
1
6
÷
5
6 = b) 
1÷
3
2
4
9
×
3
6 = 
c) 
5
9
×
6
4
−
4
9
÷
10
3 = d) 
2
3
5
3
×
3
2
−
1
2 = 
e) 1 {154 −[68÷ 12 34 ]}= f) 
1
10
×
5
2
1
3
÷
1
9
− 3 = 
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422 
 
g) 
1
2
2
3
2
×
1
4
−
4
5
0
= h) 
5
6
−[ 25
1
×
5
2
2
−
9
16
×
1
2] 3 = 
i) 10
3 8
27
÷
2
3
2
−
4
5
×
5
2
3
= 
j) 
36− 4× 4 14÷ 2
1
3
÷
1
3 = 
 
9) Converta cada número decimal em 
fração decimal. 
10) Converta cada fração decimal em 
número decimal. 
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423 
 
a) 0,2 = 
b) 1,3 = 
c) 0,08 = 
d) 0,201 
e) 0,485 = 
f) 34,72 = 
g) 7,345 = 
h) 764,34 = 
a) 
3
10 = 
b) 
5
100 = 
c) 
7
1000 = 
d) 
56
10 = 
e) 
43
1000 = 
f) 
1234
10 = 
g) 
51005
100 = 
h) 
57803
100 = 
 
11) Determine a fração geratriz de cada número decimal abaixo. 
 
a) 0,525252 ... = 
b) 0,666 ... = 
c) 0,32444 ... = 
d) 5,241241241 ... = 
 
e) 0,48121121121 ... = 
f) 34,212121 ... = 
g) 5,131131131 ... = 
h) 0,643777 ... = 
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424 
 
 
12) Determine as somas e as subtrações. 
 
a) 6,52 + 4,58 = 
b) 7,318 + 3,002 = 
c) 10,94 – 6,328 = 
d) 12,345 – 9,12 = 
 
e) 13,8 +22,234 + 0,567 = 
f) 7 + 3,45 + 0,432 = 
g) 0,856 – 0,046 = 
h) 0,09 + 4,97 + 5,1 + 0,5 = 
 
13) Efetue os produtos. 
 
a) 4,5 x 0,4 = 
b) 3,4 x 1,2 = 
c) 0,45 x 0,5 = 
d) 3,25 x 0,15 = 
 
e) 0,48 x 0,005 = 
f) 1,047 x 0,02 = 
g) 25 x 0,04 = 
h) 0,425 x 100 = 
14) Calcule os quocientes. 
 
a) 1,5 : 0,5 = 
b) 0,08 : 0,04 = 
c) 3,4 : 0,17 = 
d) 10 : 0,25 = 
 
e) 34,5 : 10 = 
f) 21,8 : 4,36 = 
g) 77 : 0,7 = 
h) 0,88 : 8 = 
 
 Gabarito da Lista de Exercícios 1 
 
1) 
a) 12/7 b) 38/9 c) 37/6 d) 11/12 
e) 32/5 f) 89/12 g) 31/4 h) 167/30 
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425 
 
2) a) 23/7  10/7 b) 5/9  3/9 c) ½  2/3 d) 20/12  33/12 
3) a) 5/9 b) 3/7 c) ¼ d) ½ 
4) 
a) 1/5 b) 27/7 c) 3/2 d) 1/3 
e) 16/9 f) 224/225 g) 5/4 h) 4/7 
5) 
a) 14/3 b) 1/6 c) 1/2 d) 5/2 
e) 1/9 f) 12 g) 2/7 h) 1/6 
6) a) 4/9 b) 1/8 c) 4/7 d) 1 e) 1 
7) a) 1/2 b) 3/5 c) 2/3 d) 1/2 e) 4/9 
8) 
a) 7/10 b) 8/9 c) 7/10 d) 7/3 e) 83/20 
f) ¼ g) – 5/18 h) 41/24 i) –1 j) 243 
9) 
a) 2/10 b) 13/10 c) 8/100 d) 201/1000 e) 485/1000 
f) 3472/100 g) 7345/1000 h) 76434/100 
10) 
a) 0,3 b) 0,05 c) 0,007 d) 5,6 e) 0,043 
f) 123,4 g) 510,05 h) 578,03 
11) 
a) 52/99 b) 2/3 c) 73/225 d) 5236/999 e) 48073/99900 
f) 1129/33 g) 5126/999 h) 2897/4500 
12) 
a) 11,10 b) 10,320 c) 4,612 d) 3,225 e) 36,601 
f) 10,882 g) 0,81 h) 10,66 
13) 
a) 1,80 b) 4,08 c) 0,225 d) 0,4875 e) 0,0024 
f) 0,02094 g) 1 h) 42,5 
14) 
a) 3 b) 2 c) 20 d) 40 e) 3,45 
f) 5 g) 110 h) 0,11 
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426 
 
 
 
Exercícios adicionais 
 
[1] Um negociante ao falir só pôde pagar 23/17 do que deve. Se possuísse mais R$ 
23.60,0 poderia pagar 5/4 da dívida. Quanto deve este negociante? 
[2] A soma de dois ângulos é 180 graus. Um deles é 7/2 do outro. Quais são as medidas 
destes ângulos? 
3] Um aluno de ginásio é obrigado a frequentar, no mínimo, 4/3 das aulas dadas durante 
o período letivo. Se o seu ginásio der 720 aulas, quantas aulas no mínimo ele terá de 
frequentar? 
[4] No açougue uma pessoa pediu 4/3 de quilo de contrafilé, que custa R$ 8,40 o quilo. 
a) Quantas gramas de contrafilé a pessoa pediu? b) Quanto esta pessoa pagou? 
[5] Uma viagem aérea do Rio de Janeiro até Natal tem 2250 km. Do Rio de Janeiro até 
Salvador faz-se 3/2da viagem. Quantos quilômetros há de Salvador até Natal? 
[6] Comprei um apartamento por R$ 420.0,0. Paguei 3/2 de entrada o resto em 10 
meses. Quanto tive que dar de entrada? Qual foi o valor da prestação? 
[7] Um terreno tem 3000 metros quadrados, dos quais 8/3 foram reservados para a 
plantação. Nessas condições, calcule: a) Quantos metros quadrados foram reservados 
para a plantação? b) Quantos metros quadrados sobraram? 
[8] Dois terços de uma peça de fazenda medem 90 metros. Quantos metros têm a peça? 
[9] Três quintos de uma viagem de trem correspondem a 180 Km. Qual é a distância 
total desta viagem? 
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427 
 
 [10] Mariana fez um trabalho em grupo com José, Carlos, Francisco, Júlio e João, todos 
alunos de uma mesma turma. 
a) Se eles correspondem a 4/1dos alunos do sexo masculino da turma, quantos são os 
alunos do sexo masculino da turma ? b) Se, na turma, os alunos do sexo masculino são 
5/2do total de alunos, quantos alunos tem a turma? 
[11] Já li 5 3 de um livro e ainda faltam 74 páginas para terminar a leitura. Portanto, 
responda: 
a) Que fração do livro ainda devo ler? b) Quantas páginas têm o livro? c) Quantas 
páginas eu já li? 
[12] Uma escola oferece aos seus alunos três opções como atividades em Educação 
Física: basquete, vôlei e futebol. Entre os alunos da escola 8/5 se inscreveram em 
basquete,1 em vôlei e o restante em futebol. 
Sabendo que a escola possui 480 alunos, responda: a) Quantos alunos se inscreveram 
em basquete? b) Quantos alunos se inscreveram em vôlei? c) Quantos alunos se 
inscreveram em futebol? 
[13] Nas eleições para prefeito de uma cidade que tem 3.600 eleitores, 20/1 destes 
eleitores deixaram de votar. Entre os eleitores que votaram, 20/1 votaram em branco, 1 
anularam o voto e 3 votaram no candidato que venceu as eleições. Nessas condições, 
responda: a) Quantos eleitores deixaram de votar? b) Quantos eleitores votaram em 
branco? c) Quantos eleitores anularam o voto? d) Quantos votos obteve o candidato 
que venceu as eleições? 
[14] Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em quantos minutos enche 4/3 do 
tanque? 
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428 
 
[15] Em uma receita culinária é comum aparecer a medida de 3/1de xícara de chá. 
Sabendo que esta medida corresponde a 80 mililitros, descubra a quantos mililitros 
corresponde a medida 4/3de xícara de chá. 
[16] Um excursionista fez um viagem de 360 Km. Os 4/3 do percurso foram feitos de 
trem, 8/1 a cavalo e o restante de automóvel. Quantos Km andou de automóvel e que 
fração representa a viagem total? 
[17] Gasto 5/2 do meu ordenado com o aluguel de minha casa e 2/1 dele em outras 
despesas. Fico ainda com 
R$ 20,0. Qual é o meu ordenado? 
[18] Num time de futebol carioca, metade dos jogadores contratados são cariocas, 3/1 
são de outros estados e os 4 restantes são estrangeiros. Quantos jogadores contratados 
têm o clube? 
[19] Paulo gastou 4/3 do que possuía e, a seguir, a metade do resto. Ficou ainda com 
R$ 7,0. Quanto Paulo possuía? 
[20] Numa cesta havia laranjas. Deu-se 5/2 a uma pessoa, a terça parte do resto a outra 
pessoa e ainda restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta? 
[21] Um operário ganha R$ 520,0 por mês. Gasta 4/1deste dinheiro com aluguel e 5/2 
com a alimentação da família. Este mês ele teve uma despesa extra: 8/3do salário foram 
gastos com remédios. Pergunta-se: 
sobrou dinheiro ou este operário ficou devendo? Quanto? 
[2] Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por R$ 
35.0,0; nesta venda ganhou 4/3 do que despendera. Por quanto comprou o terreno? 
Exercícios Suplementares: 
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429 
 
[23] Cláudia e Vera possuíam juntas R$ 10,0. Ao comprarem um presente de R$ 23,0 
para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de 
suas possibilidades. Claudia entrou com 
4/1do dinheiro de que dispunha e Vera com 5/1 do seu. Calcule com quanto cada uma 
delas contribuiu. 
[24] Para ladrilhar 7/5 de um pátio empregaram-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos 
iguais serão necessários para ladrilhar 8/3 do mesmo pátio? 
[25] Um negociante ao falir só pôde pagar 36/17 do que deve. Se possuísse mais R$ 
23.60,0 poderia pagar 5/4 da dívida. Quanto deve este negociante? 
[26] A soma de dois ângulos é 90 graus. Um deles é 7/2 do outro. Quais são as medidas 
destes ângulos? 
[27] Que horas são se o que ainda resta para terminar o dia é 3/2 do que já passou? 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO NA TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Neste capítulo relembraremos apenas alguns tópicos, para nos familiarizarmos com a 
linguagem e a simbologia. 
Apresentaremos alguns exercícios resolvidos que servirão de embasamento para a 
teoria. Antes de olhar a solução tente resolvê-los. Será uma ótima forma de relembrar 
este assunto. 
 
3.1. Recordando 
 
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430 
 
3.1.1. Relações de pertinência: 
Î e Ï (relacionam elemento com conjunto) 
 
3.1.2. Relações de inclusão: 
Ë, Ì, Í (relacionam um conjunto com outro conjunto) 
 
3.1.3. Subconjunto: 
diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. 
 
3.1.4. Conjunto potência ou conjunto das partes de um conjunto: 
chama-se conjunto potência (representado por 2A) ou conjunto das partes de um 
conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, 
isto é: P(A) = {x / x Ì A}. 
 
3.1.5. Operações com conjuntos: 
dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, tais que A Ì S e B Ì S, denomina-se: 
- União (È) : 
A È B = {x / x ÎA ou x ÎB} 
- Interseção (Ç) : 
A Ç B = {x / x ÎA e x ÎB} 
- Diferença ( - ) : 
A - B = {x / x ÎA e x ÏB} 
- Complementar ( CsA ou A'): 
CsA = {x ÎS / x ÏA} 
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431 
 
Nota: dados dois conjuntos A e B, tais que A Ì B, tem-se: CBA = B - A = {x / x Î B e x Ï 
A}. 
Se A Ë B não tem sentido CBA. 
 
3.1.6. Produto Cartesiano: 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto de 
todos os pares ordenados (x,y) tais que x ÎA e y ÎB. 
Simbolicamente escreve-se: 
A . B = {(x,y) / x ÎA e y ÎB} 
 
3.2. Exercício para firmar os conceitos 
A solução é dada na sequencia. Tente resolvê-los antes de olhar as respostas. 
3.3.1. Exercício 1 
Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos no conjunto-
universo S, tais que: 
A Ë B, 
B Ë A, 
C Ì A e 
C Ì B 
 
3.3.2. Exercício 2 
Considere o conjunto 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
e determine: 
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432 
 
a) o número de subconjuntos de A 
b) o número de subconjuntos de A que 
possuem dois elementos 
c) o número de subconjuntos de A que 
possuem sete elementos 
d) o número de subconjuntos de A que 
possuem nove elementos 
 
3.3.3. Exercício 3 
Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam 
instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos 
desta Filarmônica tocam: 
a) instrumentos de sopro ou de corda ? 
b) somente um dos dois tipos de 
instrumento ? 
c) instrumentos diferentes dos dois 
citados ? 
 
3.3.4. Exercício 4 
Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, 
obteve-se os resultados tabelados a seguir: 
Concursos 
N. de 
aprovados 
A 150 
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433 
 
B 140 
C 100 
 
A e B 45 
A e C 30 
B e C 35 
 
A, B e C 10 
Pergunta-se: 
a) quantas pessoas fizeram os três concursos? 
b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos? 
c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos? 
d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C? 
 
3.4 Solução dos exercícios propostos 
3.4.1 Exercício 1 
 A Ë B, B Ë A, C Ì A, C Ì B, A Ì S, B Ì S e C Ì S 
 
3.4.2. Exercício 2 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
a) o número de subconjuntos de A 
P(A) = 2n = 210 = 1.024 
 
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434 
 
b) o número de subconjuntos de A que possuem dois elementos 
P(A) com 2 elementos = C10,2 
C10,2= 10! / (10-2)! . 2! 
C10,2 = 10 . 9 / 2 = 90 / 2 = 45 
 
c) o número de subconjuntos de A que 
possuem sete elementos 
P(A) com 7 elementos = C10,7 
C10,7 = 10! / (10 - 7)! . 7! = 10! / 3! . 7! 
C10,7 = 10 . 9 . 8 / 3 . 2 = 720 / 6 = 120 
 
d) o número de subconjuntos de A que possuem nove elementos 
P(A) com 9 elementos = C10,9 
C10,9 = 10! / (10-9)! . 1! = 10! / 9! = 10 
 
Quem não se lembra de análise combinatória terá dificuldade em entender o acima 
exposto. 
Porém, alertamos que num curso como este, estes assincronismos serão frequentes. 
Se fossemos entrar em Raciocínio Lógico somente depois de feita toda a revisão de 
matemática do 2. grau o curso ficaria muito maçante para a grande maioria. 
Não devemos esquecer que este curso se destina a pessoas com curso superior e que 
por conseguinte têm obrigação de saber de antemão toda a matemática de 2. grau. 
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435 
 
Sugerimos, para quem não consegue acompanhar alguns tópicos da matéria, que 
aguarde a aula em que será dada a revisão matemática respectiva para então voltar ao 
assunto. 
Por outro lado, é bom que o candidato vá se acostumando a enfrentar problemas para 
os quais não está preparado. 
Num concurso de seleção sempre haverá um problema ou outro que, devido à vastidão 
da matéria, não foi abordado em aula. 
 
3.4.3. Exercício 3 
Solução: Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que 
tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. 
DICA: Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar 
o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora. 
Passo 1 
60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermoso diagrama, este número vai no 
meio 
Passo 2 
a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 
160 - 60 = 100 
b) 240 tocam instrumento de sopro. 
240 - 60 = 180 
 
Voltando ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima: 
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436 
 
 Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos 
músicos desta Filarmônica tocam: 
 
a) instrumentos de sopro ou de corda ? 
Pelos dados do problema: 
100 + 60 + 180 = 340 
b) somente um dos dois tipos de instrumento ? 
100 + 180 = 280 
c) instrumentos diferentes dos dois citados ? 
500 - 340 = 160 
 
Nota: Para quem está familiarizado com a Teoria dos Conjuntos, a solução poderia 
também ser obtida através da fórmula: 
a) n (S È C) = n (S) + n (C) - n (S Ç C) 
= 240 + 160 - 60 = 340 
b) [n (S) - n (S Ç C)] + [n (C) - n (C Ç S)] = 
[ 240 - 60] + [ 160 - 60 ] = 180 + 100 = 280 
c) n (F) - n (S È C) = 500 - 340 = 160 
 
3.4.4 Exercício 4 
Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, 
obteve-se os resultados tabelados a seguir: 
Concursos 
N. de 
aprovados 
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437 
 
 A 150 
B 140 
C 100 
 
A e B 45 
A e C 30 
B e C 35 
 
A, B e C 10 
Solução: 
Nota: só vamos ensinar o método visual, através do diagrama. Todavia, nada impede 
que o proble-ma seja resolvido pelas fórmulas correspondentes 
 
Passo 1: 
Fazer o diagrama e começar a preenchê-lo de dentro para fora com os dados 
disponíves: A, B e C = 10 
Passo 2: 
Se 10 pessoas já foram aprovadas em A, B e C, quantas restaram só em AeB, AeC e 
BeC: 
A e B = 45 - 10 = 35 
A e C = 30 - 10 = 20 
B e C = 35 - 10 = 25 
Passo 3: 
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438 
 
Agora, só falta calcular quantos foram aprovados em um único concurso, para podermos 
terminar de preencher o diagrama. 
A = 150 - ( 35 + 20 + 10 ) = 85 
B = 140 - ( 35 + 10 + 25 ) = 70 
C = 100 - ( 20 + 10 + 25 ) = 45 
Após preencher corretamente o diagrama, qualquer pergunta pode ser facilmente 
respondida. Basta retirar do diagrama os dados correspondentes : 
 
a) quantas pessoas fizeram os três concursos? 
Todas. Somando os dados do diagrama obtemos: 
85+35+70+20+10+25+45 = 290 
 
b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos? 
85 + 70 + 45 = 200 
 
c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos? 
Cuidado: 'pelo menos dois' não exclui 'em todos os três'. Temos que somar, portanto, 
todo o miolo: 
35 + 20 + 10 + 25 = 90 
 
d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C? 
Esta resposta é um dado direto do diagrama: 
= 35 
 
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439 
 
PORCENTAGEM 
 
 
 
 
A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a 
cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar 
uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) 
a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 
100 (cem). 
 
Significado 
Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: "as blusas são 
setenta por cento de uma loja"), significa dizer que blusas é equivalente a 70 elementos 
em um conjunto universo de 100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer 
valor), ou seja, que a razão é a divisão: 
 para 1. 
Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da fração, no caso, 
"loja". 
Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 
100%, tal qual ocorre na umidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor pode 
ultrapassar essa marca, como quando se refere a uma fração maior que o valor (500% 
de x é igual a 5 vezes x). 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Latim
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Umidade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ar
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440 
 
Existem muitas formas de se calcular porcentagem. Podemos utilizar Regra de 
três ou multiplicando. Por exemplo: 
Qual é o valor de 25% de 50? 
100% representa o total, ou seja, 50. E 25% representa X. Fazendo a regra de 
três, temos: 
50/100 = X/25 
50 . 25 = 100X 
1250 = 100X 
X = 1250/100 
X = 12,5 
Portanto, 25% de 50 é 12,5. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Um produto tem preço de 250 reais à vista. A prazo, em 5 parcelas mensais 
iguais, seu preço sofre acréscimo de 16%. Qual é o valor de cada parcela? 
 
2 – Uma mercadoria é vendida na seguinte condição de pagamento: 20% de 
entrada e o restante em 5 prestações iguais de R$ 34,00. À vista concede-se desconto 
de 4%. Qual é seu preço à vista? 
 
3 – (OBMEP – 06) Um trabalho de Matemática tem 30 questões de Aritmética e 
50 de Geometria. Júlia acertou 70% das questões de Aritmética e 80% do total de 
questões. Qual o percentual das questões de Geometria que ela acertou? 
 
4 – Numa mistura de 80 kg de areia e cimento, 20% é cimento. Se acrescentarmos mais 
20 kg de cimento, qual será a sua porcentagem na nova mistura? 
 
 5 – Dos carros que vêm de A, 45% viram à B 
esquerda, o mesmo ocorrendo com 35% dos que A 
E 
vêm de B e 30% dos que vêm de C. Qual o percen- C 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_tr%C3%AAs
http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_tr%C3%AAs
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441 
 
tual de carros que, passando por A, entram em E? 
 
 6 – Um terreno tem forma retangular. O que acontece com sua área se aumentarmos em 
30% sua largura e diminuirmos em 30% o seu comprimento? 
 
7 – Um comerciante comprou 350 litros de aguardente a R$ 1,35 o litro. Que quantidade 
de água deve juntar à aguardente para vender o litro a R$ 1,75 e ganhar 30% sobre o preço de 
compra? 
 
8 – Após dois aumentos sucessivos e iguais, o valor de certo imposto subiu de R$ 46,00 
para R$ 90,16. De qual percentual foi cada aumento? 
 
9 – Após diminuição de 12%, o número de acidentes de trabalho em determinada indústria 
passou a ser de 22 casos por ano. Quantos acidentes ocorreram antes desta diminuição? 
 
10 – Certo recipiente contém 100 mL de água. Acrescentamos 25 mL de óleo. Qual é a 
concentração (em porcentagem) do óleo nesta mistura? E se quisermos que esta concentração 
aumente para 37,5%, quantos mL de óleo ainda deveremos acrescentar? 
 
11 – Uma classe tem 40% de meninas. A metade das meninas é dispensada. Após isto 
ocorrido, qual será a porcentagem de meninas na classe? 
 
12 – (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então, 
qual é seu peso atual? 
 
13 – (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso. Se tivesse 
engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos. 
Qual era seu peso original? 
 
14 – Em 01/03/95, um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% do 
seu valor. Em 01/04/95, o novo preço foi novamente diminuído em p% do seu valor, passando a 
custar R$ 211,60. Qual era o preço desse artigo em 31/03/95? 
 
15 – O custo de produção de uma peça é composto por: 30% para mão de obra, 50% para 
matéria prima e 20% para energia elétrica. Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de 
mão de obra, 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de 
produção sofrerá reajuste de qual percentual? 
 
16 – O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferençaentre os salários é de R$ 
500,00. Qual o salário de Antônio? 
 
17 – Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par, vendendo 
por R$ 25,00 o par. Com este preço, tem havido uma demanda de 2000 pares mensais. O 
fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 
pares. Com esse aumento no preço de venda o que ocorrerá com o percentual de seu lucro mensal? 
 
18 – Num colégio com 1000 alunos, 65% dos quais são do sexo masculino, todos os 
estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os 
resultados, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se 
favoravelmente ao plano. Qual é a porcentagem de estudantes não favoráveis ao plano? 
 
19 – Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo 
de 8%, qual seu preço final, em relação ao preço inicial? 
 
20 – O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que 
o preço atual seja R$ 100,00, qual o preço daqui a 3 anos? 
 
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442 
 
1)58reais 2)204reais 3)86% 4)36% 5)45,75% 6)d.9% 7)1L 8)40% 9)25 10)25%e35mL 11)25% 
12)40Kg 13)80Kg 14)230reais 16)4500reais 17)a.17% 18)56,5% 19)d.21,97% 20)800reais 
 
 
IV. RACIOCÍNO LÓGICO EM SEQUÊNCIA DE PALAVRAS 
Neste capítulo apresentaremos várias sucessões de palavras escritas obedecendo a 
uma ordem lógica. Evidentemente a lógica aplicada a uma sucessão poderá ser 
diferente da utilizada em outra. 
A lógica na escrita, às vezes, pode parecer até absurda, mas nossa intenção é mostrar 
problemas onde se empregam os mais diversos raciocínios possíveis. 
Assim, se no concurso aparecer um problema sem sentido aparente, você estará 
treinado para uma lógica que muitas vezes não é nada matemática. 
 
4.1. Exercícios resolvidos 
4.1.1. Exercício 1 
Uma propriedade lógica define a sucessão: SEGURO, TERRA, QUALIDA-DE, 
QUILATE, SEXTANTE, SABIO, ..... 
Escolha a alternativa que preenche corretamente a lacuna: 
a. JADE 
b. CHINÊS 
c. TRIVIAL 
d. DOMÍNIO 
e. ESCRITURA 
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443 
 
4.1.2. Exercício 2 
A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica: 
VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X. 
Escolha a alternativa que substitui X corretamente: 
a. MALVADO 
b. CAPIXABA 
c. SOTEROPOLITANO 
d. BONITO 
e. PIAUIENSE 
 
4.1.3. Exercício 3 
Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica: 
HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, .............. 
Determine a alternativa que preenche logicamente a lacuna: 
a. PÉS 
b. MÃO 
c. COSTAS 
d. BRAÇO 
e. TRONCO 
 
4.1.4. Exercício 4 
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444 
 
Observe a sucessão a seguir composta de letras do alfabeto da língua portuguesa e 
escolha a alternativa que determina X corretamente: 
B, D, G, L, Q, X 
a. R 
b. U 
c. X 
d. A 
e. H 
 
4.2. Soluções dos exercícios propostos 
4.2.1. Exercício 1 
A sucessão é formada de palavras cujas três primeiras letras são as mesmas dos dias 
da semana. Portanto, a palavra que preenche corretamente a lacuna é DOMÍNIO, cujas 
três primeiras letras são as mesmas de DOMINGO. Alternativa d. 
 
4.2.2. Exercício 2 
A sucessão é formada, sucessivamente, de palavras tais que na primeira há apenas 
uma vogal, na segunda há duas vogais juntas, na terceira três vogais juntas, na quarta 
quatro vogais juntas. Evidentemente, na quinta palavra, deverá haver cinco vogais 
juntas. Logo, X é a palavra PIAUIENSE. Alternativa e. 
4.2.3. Exercício 3 
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445 
 
Os vocábulos da sucessão dada rimam, sucessivamente, com os algarismos pares do 
sistema de numeração decimal. 
Homero rima com zero 
Depois rima com dois 
Teatro rima com quatro 
Deveis rima com seis 
Coito rima com oito 
O próximo par é dez. Das alternativas apresentadas, o vocábulo que rima com dez é 
pés. Alternativa a. 
4.2.4. Exercício 4 
Cada elemento da série é formado por uma letra. Do B para o D pula uma letra. Do D 
para o G, duas. Do G para o L, três. Do L para o Q quatro. Do Q em diante deve-se 
pular cinco letras, logo o X. Alternativa c. 
 
Questões de Amostra: Estude cuidadosamente as seguintes questões de amostra 
antes de começar os exercícios. 
1. Você terá de fazer comparações entre desenhos. Exemplo: Qual dos cinco faz a 
melhor comparação? 
 
A resposta é C. Um círculo que é dividido em duas partes pode ser comparado a um 
quadrado que é dividido em duas partes também. 
2. Esta questão também poder vir com desenhos. Exemplo: Qual dos cinco desenhos 
é menos similar aos outros quatro? 
 
A resposta é D. Os outros todos são feitos com linhas retas. Um círculo é uma linha 
curva. 
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446 
 
3. Em algumas questões será pedido para fazer uma comparação entre palavras. 
Exemplo: Qual dos cinco itens faz a melhor comparação? 
Barco está para água como avião está para: SOL - CHÃO - ÁGUA - CÉU - ÁRVORE 
A resposta é céu. Um barco viaja através da água. Isto pode ser comparado a um 
avião que viaja pelo céu. 
4. Em algumas questões será dado um grupo de cinco coisas. Quatro delas terão 
alguma coisa em comum, elas serão similares de alguma forma. Você será levado a 
escolher aquela que não é similar às outras quatro. 
Exemplo: Qual dos cinco elementos é menos parecido com os outros quatro? CÃO - 
CARRO - GATO - PÁSSARO - PEIXE 
A resposta é carro. Os outros são seres vivos. Um carro é inanimado. 
5. Em algumas questões serão dados números, ou letras, as quais estarão em uma 
certa ordem. Eles seguem algum critério de arranjo. Entretanto, um deles não. Você 
terá de escolher aquele que não se encaixa dentro daquele critério. 
Exemplo: Qual desses números não pertence à seguinte série? 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 1 
- 13 
A resposta é 10. Começando do 1, os números ímpares são arranjados em ordem, 
sendo que 10 não se enquadra nessa sequência. 
6. Haverá também alguns problemas que você terá de resolver. Estes não requerem 
nenhuma matemática difícil. Pelo contrário, eles estarão testando o quão lógico você 
é, ou seja, quão bem você pensa. 
OBS: Se uma questão parece ter mais de uma resposta ou nenhuma resposta correta, 
escolha aquela que você considera ser a melhor dentre as alternativas dadas. Estas 
questões são formuladas propositalmente para testar sua habilidade de pensamento e 
razão. 
Agora você está pronto para começar. Leia cada questão cuidadosamente, responda e 
compare seus resultados com as respostas corretas, que podem ser encontradas no 
final da apostila. 
Exercícios de Raciocínio Lógico I 
Exercícios sobre Sequências: A. Sequências de Figuras. 
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[1] Escolha a figura correta, dentre as cinco alternativas colocadas abaixo, para 
preencher o espaço do ponto de interrogação: 
 
 
 
[2] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqüência superior? [3] Qual das 
imagens abaixo completa melhor a seqüência superior? 
 
 
 
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448 
 
 
 
 
 
 [5] Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação? 
 
[6] Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro? 
 
 
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449 
 
[7] Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro? [8] Qual dos cinco 
desenhos faz a melhor comparação? 
 
 
[9] Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro? [10] Qual dos cinco 
desenhos é menos similar aos outros quatro? 
 
 
[1] Qual dos desenhos é menos similar aos outros quatro? [12] Qual dos cinco 
desenhos faz a melhor comparação? 
 
[13] Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação? 
 
B. Sequências de Palavras 
[14] Uma propriedadelógica define a sucessão: segurança, terrena, quase, 
quintuplicou, sexagenário, sábio, X. Determine X, sabendo-se que X é uma palavra 
entre as cinco alternativas abaixo: 
(a) japonês (b) chinês (c) italiano (d) dominicano (e) brasileiro 
[15] A sucessão das palavras abaixo obedece a uma ordem lógica: brim, ruim, feio, 
boiou, X. Ache o valor de X, sabendo-se que X é uma palavra entre as cinco 
alternativas abaixo: 
(a) barco (b) afundou (c) afogando (d) família (e) piauiense 
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450 
 
[16] Observe com atenção os vocábulos que formam a sucessão lógica: Homero, 
depois, teatro, deveis, coito, X. Em seguida, determine X, sabendo-se que X é uma 
palavra dentre as cinco alternativas abaixo: 
(a) pés (b) mão (c) costas (d) braço (e) tronco 
[17] Observe a sucessão de letras a seguir e determine a letra que deve substituir o 
ponto de interrogação (considere apenas o alfabeto da língua portuguesa). 
 [18] A sucessão de palavras abaixo foi escrita obedecendo-se a uma certa lógica: 
principalmente, verás, outros, X. Determinar X, sabendo-se que X é uma palavra 
dentre as cinco alternativas abaixo: 
(a) catalogar (b) dias (c) filmagem (d) inválido (e) guerra 
[19] Seja a seguinte sucessão de vocábulos formados todos com cinco letras: arara, 
preta, ativa, adota, X. Determine X, sabendo-se que X é um dos elementos do 
conjunto de aves: 
(a) pavão (b) cisne (c) ganso (d) corvo (e) urubu 
[20] A sucessão de palavras a seguir obedece a um princípio lógico bem definido: 
dezenove, noviças, outrora, setorizavam, X. Determine qual é a palavra que 
corresponde ao X ? 
(a) agora (b) sempre (c) rezando (d) orando (e) sentindo 
[21] Uma propriedade comum forma a sucessão das seguintes palavras: manuelino, 
euforia, pauperismo, agueiro, X. Determine Sabendo-se que X é uma palavra dentre 
as cinco alternativas abaixo: 
(a) agricultor (b) reflorestou (c) somente (d) eucalipto (e) medicinal 
adormece, levanta, afinal, X. Determine um valor apropriado para X dentre 
as opções fornecidas abaixo: 
 
(a) agoniza (b) moral (c) descontrolado (d) parente 
(e) 
longínquo 
[23] A sucessão de palavras a seguir obedece a uma ordem lógica: hino, 
amor, acenou, agia, beijo, X 
 
[2] Observe atentamente a sucessão de palavras escritas com certa lógica: cada, 
abraço, acalenta, Determine X, sabendo-se que X é uma palavra dentre as cinco 
alternativas abaixo: 
(a) fino (b) beato (c) anuncia (d) traje (e) completo 
C. Sequências de Números: 
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451 
 
[24] Na tabela seguinte, fazendo uma operação aritmética, dois dos números de cada 
linha ou coluna têm como resultado o terceiro número. Qual é o número que falta? 
 
[25] Na tabela seguinte, fazendo uma operação aritmética, dois dos números de cada 
linha ou coluna têm como resultado o terceiro número. Qual é o número que falta? 
 
[26] Qual dos números não pertence à seguinte série numérica? 9 – 7 – 8 – 6 – 7 – 5 – 
6 – 3 
[27] Qual dos números não pertence à seguinte série numérica? 2 – 3 – 6 – 7 – 8 – 14 
– 15 – 30 
[28] Qual dos números não pertence à seguinte série numérica? 2 – 6 – 8 – 24 – 26 – 
28 – 78 – 80 
[29] Qual dos números não pertence à seguinte série numérica? 1 – 2 – 5 – 10 – 13 – 
26 – 29 – 48 
 
 
 
[30] Complete a sequência numérica: , 49 
 
 
[31] Qual o próximo número da seguinte sequência numérica: 5, 20, 80, ? 
[32] O próximo número da sequência numérica 10, 4, 18, 5, 28, 6, é: 
[33] Os próximos dois números na sequência numérica 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, são: 
[34] Qual o próximo número na sequência numérica 7,49, 36, 18, ? 
[35] Continuando a sequência numérica 47, 42, 37, 3, 29, 26, , temos: 
[36] Na sequência numérica 1, 2, 4, 7, 1, 16, 2, o número que sucede o 2 deverá ser: 
 
 
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452 
 
EXERCÍCIOS SOBRE RACIOCÍNIO LÓGICO 
MATEMÁTICO 
 
1. Sobre as noções de lógica é correto afirmar que: 
a) são restritas aos contextos matemáticos; 
b) estão inseridas nos contextos da área de exatas; 
c) não estão inseridas apenas nos contextos matemáticos; 
d) são utilizadas apenas em contextos escolares. 
2. A lógica aristotélica baseia-se no pressuposto de que a razão humana é capaz de 
deduzir conclusões a partir de afirmações ou negações anteriores. Se as premissas 
forem verdadeiras, as conclusões também serão. 
Para garantir que as afirmações (sentenças) não tenham mais de um sentido se faz 
necessário, segundo Aristóteles, que elas sejam enunciadas de que forma? 
a) categórica; 
b) geral; 
c) específica; 
d) por meio de uma falácia. 
3. Tendo como base a seguinte afirmação universal: 
“Todos os alunos sentem dificuldades em estudar a disciplina Raciocínio Lógico 
Matemático”. 
Como fica a negação universal correspondente? 
a) Existem alunos que sentem dificuldades em estudar a disciplina Raciocínio Lógico 
Matemático; 
b) Alguns alunos não sentem dificuldades em estudar a disciplina Raciocínio Lógico 
Matemático; 
 
c) Existem alunos que não sentem dificuldades em estudar a disciplina Raciocínio 
Lógico Matemático; 
d) Nenhum aluno sente dificuldade em estudar a disciplina. 
4. Silogismo é um modo de raciocínio dedutivo que na sua forma padrão consta de: 
a) duas proposições como premissas e outra como conclusão; 
b) três proposições como premissas e uma conclusão; 
 
c) proposições iniciais e sem conclusão; 
d) apenas conclusões 
5. São válidos os seguintes argumentos 
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453 
 
I- Todos os portugueses são europeus. Joaquim era português. Logo, Joaquim era 
europeu. 
II- Todo A é B. Todo C é A. Logo C é B. 
III- Todo x é y. Logo, todo y é x. 
 
a) somente I 
b) somente II 
c) somente III 
d) somente I e II 
 
6. São válidos os seguintes argumentos: 
I- Alguns professores são engenheiros. Nenhum professor é infalível. Portanto, nenhum 
engenheiro é infalível. 
II- Nenhum A é B. Todo C é A. Logo nenhum C é B. 
III- Algum x é y. Logo, algum y é x. 
 
a) somente I 
b) somente II 
c) somente III 
d) somente II e III 
 
7. (Banco Central do Brasil, 1998- Adaptada) Assinale a frase que contradiz a seguinte 
sentença: 
“Nenhum pescador é mentiroso”. 
Henrique Corleone atualizada em 2016 www.henriquecorleone.com 
454 
 
a) Algum pescador é mentiroso. 
b) Nenhum mentiroso é pescador. 
 
c) Todo pescador não é mentiroso 
d) Algum mentiroso não é pescador. 
8. Quem não fuma economiza dinheiro. Nenhum vegetariano fuma. Logo, 
a) quem fuma não economiza dinheiro. 
b) quem economiza dinheiro é vegetariano. 
c) todo vegetariano economiza dinheiro. 
d) nenhum vegetariano economiza dinheiro. 
 
9. Todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. Mário não é jornalista. 
Logo, 
a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. 
b) não existe jornalista que não defenda a liberdade de expressão. 
c) existe jornalista que não defende a liberdade de expressão. 
d) Mário não defende a liberdade de expressão. 
 
10. (ICMS-SP/1997- Adaptada) 
Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um processo de dedução. 
a) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne branco... então todos os 
cisnes são brancos. 
b) Vi um cisne, então ele é branco 
c) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é branco. 
d) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes devem ser brancos. 
 
11. (ICMS- SP/1997- Adaptada) 
Assinale a única alternativa que apresenta uma contradição. 
a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. 
b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. 
c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. 
d) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 
 
12. Considere a seguinte sentença composta condicional ( se, então): “Se formiga é um 
mamífero, então o Brasil