Funções Vetoriais de uma Variável Real

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Cálculo III
Aula 1: Funções com valores vetoriais
Apresentação
Nesta aula, apresentaremos a de�nição de funções vetoriais de uma variável real, o conceito, a notação e a relação entre
conteúdos aprendidos em disciplinas anteriores. Também apresentaremos a parametrização de algumas curvas.
A disciplina Cálculo III apresentará o conteúdo de integral que envolve várias variáveis e suas diversas aplicações. Além de
despertar no aluno a curiosidade de veri�car e conhecer as aplicações, em diversas áreas, tais como em Física, Economia
etc. Para isto o aluno necessitará identi�car e compreender os métodos de integração envolvendo várias variáveis e assim
poder conhecer a aplicação em problemas clássicos.
A disciplina Cálculo III permitirá resgatar conteúdos de Cálculo I e Cálculo II, Introdução ao Cálculo e Matemática Básica,
mostrando assim ao aluno a importância da interdisciplinaridade.
Estudaremos generalizações da Geometria e adaptações da derivada e de integral, dando aplicações e interpretações sob
diversos pontos de vista.
Objetivos
Aprender funções com valores vetoriais;
Estabelecer a notação e a relação entre conteúdos aprendidos em disciplinas anteriores;
Reconhecer a parametrização de algumas curvas.
Premissa
Nos cursos anteriores, trabalhamos com função de uma variável, nesta disciplina trabalharemos com funções que são vetores
e mais a frente com funções que podem ter mais de uma variável.
Neste momento, iremos trabalhar com uma variável escalar t e uma função f ( t ), onde as operações representadas
reproduzem um vetor. Portanto, de�nimos função vetorial como uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e
cuja imagem é um conjunto de vetores.
Atenção
Lembre-se que se estamos trabalhando com vetores, todas as propriedades e as operações aprendidas no curso anterior (cálculo
vetorial) são válidas aqui. A seguir veremos uma das aplicações do conceito de função vetorial.
 Fórmulas (Fonte: Gerd Altmann por Pixabay ).
Movimentos de partículas no Espaço
Podemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço.
Na disciplina de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica aprendemos que a posição deste no espaço é associada a um vetor de
coordenadas (x, y, z).
Imagine que esse ponto se desloque em cada instante de tempo t, portanto descreverá uma curva (função). Logo, x está escrito
em função do tempo, ou seja, x = x(t).
Analogamente, de�nimos y = y(t) e z = z(t). Podemos então escrever este vetor da seguinte maneira, σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), estes
estão de�nidos no intervalo I, I ⊂ R , com valores em R , t Є I.3
Atenção
Aprendemos em Cálculo Vetorial que qualquer vetor pode ser escrito usando os vetores unitários i, j, k nas direções dos
respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = ( 1, 0, 0), j = ( 0, 1, 0 ) e k = (0, 0, 1). O vetor posição pode então ser determinado
pela equação vetorial σ(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
Geometricamente, o vetor σ(t) é representado geometricamente pelo vetor OP (O = origem):
Exemplo
Exemplo: σ(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3
De�nições
Uma função de uma variável real a valores em R é uma função σ : A ⊂ R → R . Esta função associa a cada real t ∈ A, um
único vetor σ(t) ∈ R .
O conjunto imagem ou trajetória de σ é o lugar geométrico em R descrito por σ(t) quando t varia no domínio de σ. Imσ = {σ(t) ∈
R / t ∈ Dσ }
Uma função de uma variável real a valores em R é uma função σ : A ⊂ R → R . Esta função associa a cada real t ∈ A, um
único vetor σ(t) ∈ R
Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial.
2 2
2
2
2
3 3
3.
Exemplo
Exemplo: ƒ : I ⊂   R → R 
σ (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I
Onde x(t), y(t), z(t) são funções reais de�nidas em I.
Agora veremos uma associação do que foi aprendido na disciplina de Cálculo à função vetorial.
n
Limite
Aprendemos várias regras para calcular todas as formas de limites em função de uma variável. Agora, traremos todas aquelas
regras para uma função vetorial.
O limite de um vetor σ (t) quando t se aproxima de t é de�nido por:1
limt→ t1R σ t = limt→ t1x t , limt→ t1y t , limt→ t1z t( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ))
Se os limites individuais existirem, ou seja:
limt→ t1x t , limt→ t1y t , limt→ t1z t( ( ) ( ( ) ( ( ))
Exemplo
EXEMPLO 1: Para σ (t) = ( t , cos t, t ) temos limt→ t1σ t = limt→ t1x t , limt→ t1y t , limt→ t1z t quanto t → t1será
limt→ 0σ t = limtt→ 02, limcos t t→ 0, limt3 = 0, 1, 0 t→ 0
EXEMPLO 2: Para σ (t) = ( t , cos t,
8 - t3
4 - t2
 onde queremos analisar limt→ 2σ t 
Observe que o componente z(t) nos dá uma indeterminação. Portanto temos que usar a regra de L’Hospital para resolver tal
limite.
limt→ 2 t = 2, lim cos t t→ 2 = cos e limt→ 2 t 
8 - t3
4 - t2
 = limt→ 2 
3t2
22t
= 3. 
Logo: limt→ 2 σ t = 2, cos 2, 3 
2 3 ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ))
( ) ( ( )
) ( )
(
( ) ( )
Continuidade
A função σ(t) é contínua em t ∈ I se, e somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t.
Lembre-se da de�nição de continuidade aprendida na disciplina de Cálculo.
Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua,
caso o limite e a função, no ponto em estudo, existam e sejam iguais, isto é, 
σ t1 = lim σ(t). t→ t1
Ainda podemos acrescentar que σ(t) será contínua no intervalo I, se σ(t) for
contínua para todo t no intervalo I, neste caso o ponto P do vetor σ(t)
descreverá uma curva C em R3 .
( )
Derivada
A derivada da função σ(t) usará as mesmas regras e as mesmas condições aprendidas na disciplina de Cálculo, além da
mesma de�nição, porém agora trabalharemos com vetor, como pode ser visto a seguir.
A derivada da função vetorial σ(t), t ∈ I, é a função vetorial denotada por σ'(t) e de�nida por: σ t1 = lim ∆ t→ 0 
σ ( t - ∆ t ) - σ ( t )
∆ t
Se x’(t), y’(t) e z’(t) existirem.
( )
Notação: σ(t) ser de Classe C no intervalo I, signi�ca que σ(t) é diferenciável no intervalo I e σ'(t) é contínua no intervalo I.1
A interpretação geométrica de derivada continua valendo para função
vetorial, portanto σ'(t) será o vetor tangente à curva no ponto P.
PQ= OQ – OP
PQ = σ(t + ∆ t) - σ(t) 
1
∆ tPQ =
1
∆ t σ t + ∆ t - σ t
1
∆ tPQ → Mesma direção de PQ
Se ∆ t → 0 temos que Q tende para P
1
∆ tPQ → Vetor tangente a C em P
[ ( ) ( )]
Exemplo
Dada a função σ(t) = (t , cos t, t ) então o vetor σ'(t) será (2t, - sen t, 3t ).2 3 2
Teorema (Regra da Cadeia para Funções Vetoriais)
Se σ(u) é uma função vetorial diferenciável em I. Seja u uma função real diferenciável de uma variável real t cuja imagem está
contida em I, então:
d
dt
= σ u t =
d
dt
= σ u t 
d
dt
= u t
Demonstração:
Suponha:
σ (u (t)) = (x (u (t)), y (u (t)), z (u (t)))
Então:
d
dt
= σ u t =
d
dt
x u t 
d
dt
= y u t , 
d
dt
 z u t 
( ( )) ( ( )) ( )
( ( )) ( ( ( )) ( ( )) ( ( )) )
 Cálculos (Fonte: Gerd Altmann por Pixabay).
Curvas Parametrizadas
Como foi visto anteriormente, segundo o critério de continuidade de uma função, o ponto P do vetor "σ" (t) descreverá uma
curva C em R quando "σ" (t) for contínua para todo t no intervalo I.
Portanto, de�nimos a equação "σ" (t) = (x(t), y(t), z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes x(t), y(t), z(t) são
chamadas de equações paramétricas da curva C, onde a variável t denominaremos como parâmetro.
3
Atenção
Observe que podemos trabalhar parametrização em R , para isto basta que z(t) = 0.2
Exemplo
σ t = t2, cos t, t3 onde x t = t2, y t = cos t e z t = t3são as equações paramétricas.
Podemos trabalhar com curvas paramétricas no cálculo de limite e derivada.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Parametrização Natural
Será a parametrização do tipo σ(t) = (t, f(t)).
Exemplo
A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada considerando a parametrização natural, ou seja, σ(t) = (t ,6t+9).
Exemplo
Determine a parametrização para a curva f(x) = x
Lembre-se: f (x) = y.
Então podemos de�nir para a equação cartesianaa seguinte parametrização: x = t, y = t (parametrização natural).
Nesse exemplo, poderíamos ter x = t e consequentemente y = x e muitas outras de�nições para x que determinariam outros y.
Portanto, a parametrização de uma curva, não é a única.
2
2
2 4
Podemos também trabalhar no processo inverso. Dada a equação paramétrica de uma curva, encontra a equação cartesiana
correspondente à parametrização.
Exemplo
Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t. Determine a equação da reta.
Basta isolar, em uma das equações, o parâmetro t e depois substituir na outra ou isolar o parâmetro t em ambas e igualar as
equações, ou seja, estamos trabalhando com sistema de equações.
t =
( x+ 4 )
3
Substituindo em y =
6 - 2 ( x+ 4 )
3 e arrumando a equação, obteremos y =
10 - 2x
3 (equação reduzida) ... Ou
3y + 2x – 10 = 0 (equação geral da reta)
Em cálculo vetorial aprendemos que no R , uma reta pode ser determinada quando:3
1
Conhecemos um de seus pontos e a sua
inclinação (direção)
2
Conhecemos dois pontos que pertencem à
reta
Para qualquer caso a reta é de�nida como r = V t + P, onde v é o vetor direção, t o parâmetro e P é um ponto que pertence à reta.
Quando conhecemos apenas os dois pontos que pertencem à reta, podemos de�nir o vetor direção (subtraindo o ponto �nal
menos o inicial) e voltamos a trabalhar com a reta r = V t + P.
Se desejarmos de�nir a parametrização de uma reta em R , estaremos construindo o vetor:3
σ t = vx t + x0, vz t + y0, vz t + z0 = vx, vy, vz t + x0, y0, z0 . t ∈ R( ) ( ) ( ) ( )
Saiba mais
Também podemos construir uma expressão cartesiana da reta (equação simétrica da reta), isto é, eliminando o parâmetro t nas
equações paramétricas da reta, isto é, para x = v t + x , y = v t + y e z = v t + z , teremos:
x - x0
vx
=
y - y0
xy
=
z - z0
vz
x 0 y 0 z 0
Parametrização Natural: exemplos
Exemplo 1: Determinar o vetor direção da reta, para a curva σ (t) = (t , t , t)
Neste caso, estamos fazendo o processo inverso, temos a paramétrica, x = t , y = t e z = t.
3 2
3 2
Lembre-se: σ (t) = (v t + x , v t + y , vz t + z ) = (v , v , v ) t + (x0, y0,z0).
Logo o vetor direção será v (1, 1,1) e P0 (0,0,0).
A reta r será: (1,1, 1) t + (0, 0,0)
x 0 y 0 0 x y z
De�nição: Seja σ : A ⊂ R → Rn derivável em t0, com 
dσ
dt to ≠
→
0.
Dizemos que 
dσ
dt to é um vetor tangente à trajetória de σ, em σ t0 .
Além disso, a reta x = σ t0 + λ
dσ
dt t0 , com ƛ Є R é dita reta tangente à trajetória de σ no ponto σ(t0).
( )
( ) ( )
( ) ( )
Exemplo 2: Calcular a reta tangente para a curva σ t = t3, t2, t no ponto P = (1,1, 1).( ) ( )
Para esse caso devemos identi�car qual o valor do parâmetro t que satisfaz
a curva.
Podemos observar que o único valor é t = 1.
Devemos encontrar a derivada da função vetorial, isto é, σ'(t) = (3t , 2t, 1),
essa função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a curva), ou seja, o
vetor v = (3,2,1).
2
Portanto, podemos construir a reta tangente como: r: V t + P
X = Vxt + Px
Y = Vyt + Py
Z = Vzt + Pz
X = 3t + 1
Y = 2t + 1
Z = 1t + 1
{
{
Parametrização da circunferência
Para parametrizar uma circunferência deveremos usar as coordenadas polares aprendidas na disciplina de Cálculo
anteriormente. Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e raio r de�nimos a parametrização de C como:
x(t) = r cos θ + a
Y(t) = r sen θ + b
 0 ≤ θ ≤ 2 π{
Quando a circunferência tem centro na origem (0,0) e queremos de�nir a equação cartesiana da circunferência eliminamos o
parâmetro θ.
x(t) = r cos θ
Y(t) = r sen θ
 > X + Y = r{ 2 2 2
Parametrização de algumas curvas importantes
Cicloide
Parametrização da cicloide (curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando gira ao longo de uma reta).
σ (t) = ( r (θ – sen θ), r (1 – cos θ) ), θ ∈ R
Hélice Circular
Parametrização para a hélice circular (curva descrita por um ponto P = (x,y,z)  que se move em torno do eixo z mantendo uma
distância constante a > 0  desse eixo.
Simultaneamente ele se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de
rotação com constante de proporcionalidade b ≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0).
σ (t) = ( r cos θ, r sen θ, b θ), θ ∈ R
Atenção
Você deverá veri�car como exercício a demonstração para de�nir essa parametrização, tal demonstração envolve a teoria
aprendida na disciplina de Geometria. Além de pesquisar sobre outras parametrizações como para curva de Agnesi, da involuta,
da hipocicloide, astroide etc.
Notas
Texto 1Referências
AYRES JR, Frank. Teoria e Problemas de Cálculo.4ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI H ilt L i C d Cál l 5ª d Ri d J i LTC 2001 4
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Curso de Cálculo.5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 4.v.
GONÇALVES, Marcelo dos Anjos e Silva; FLEMING, Diva Maria.Cálculo C: funções vetoriais, integrais curvilíneas, integrais de
superfície.3ª ed. São Paulo: Makron, 2004.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nílson José.Fundamentos de Matemática Elementar, 8; limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2001.
LEITHOLD, Louis.Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2v.
PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira.Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de
Janeiro: UFRJ, 2005.
SAFIER, Fred.Teoria e Problemas de Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.
STEWART, James.Cálculo. 5ª ed. São Paulo: Pioneira, 2001-2006.
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