AOL6 Mecânica dos Sólidos - ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA docx

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ANÁLISE DE ESTRUTURA TRELIÇADA 
 
Lucia Edyenne de Carvalho Souza 
01235266 
Engenharia Civil 
 
 
Analise o case a seguir: 
Em uma cidade isolada, o secretário de obras precisa construir uma ponte de 
emergência em um vão de 12 metros. Ele possui um estoque grande de barras 
de mesma seção transversal, e irá utilizá-las para fazer uma treliça de cada lado 
da ponte, como mostra a figura a seguir, apoiando a ponte nos dois nós 
superiores desses lados (indicado em cinza na figura), o que totalizará quatro 
nós que receberão o carregamento total, calculado em 60000 N. 
 
 
 
Um vereador da oposição disse que o projeto do secretário está errado, e que 
ele deveria usar barras menores, aumentando a quantidade de pontos para 6, 
propondo uma treliça como mostra a próxima figura. 
 
 
 
Para descobrir qual é a melhor treliça, eles propuseram um cálculo para o 
engenheiro responsável pela obra, multiplicando a maior força encontrada (em 
módulo) em uma barra de cada solução pelo comprimento total de barras 
utilizadas na treliça. O menor valor seria considerado o vencedor. A ideia é ter a 
melhor relação entre força máxima e quantidade de material utilizado. 
 
Para realizar os cálculos necessários conforme indicado na figura 1, 
precisamos realizar algumas operações matemáticas, e o método escolhido foi 
o método dos nós. 
 
O primeiro passo é encontrar as forças atuantes na treliça, onde a mesma 
deve estar em equilíbrio. Para isso chamaremos os pontos de apoio de Ra e Rb, 
e com relação ao carregamento da ponte de 60.000N (ou 60KN) aplicada nos 4 
nós superiores das duas treliças paralelas, será dividida entre eles: 
60𝐾𝑁
4
= 15𝐾𝑁, 
tendo assim, 15KN de carga atuante em cada nó superior. 
Encontrando o momento das forças em Ra; para sentido horário sinal 
negativo, e para sentido anti-horário sinal positivo. 
ΣMA = 0; ΣMA = −15 ∗ 6 − 15 ∗ 8 + Rb ∗ 24 = 0 ≫ Rb =
90 + 270
24
≫ Rb = 15KN 
Somatório das forças em Y; 
ΣFy = 0; ΣFy = Ra − 15 − 15 + 15 = 0; Ra = 15 + 15 − 15; Ra = 15KN 
Cálculo dos nós 
Para este método é necessário encontrar o ângulo da treliça, logo 
tgα =
Co
Ca
≫ tgα =
3
6
≫ tgα = 0,5 ≫ α = arctg0,5 ≫ α = 26,57 ≈ 27° 
 
• Nó 1 
sen27° =
Fy3
F3
≫ Fy3 = sen27° ∗ F3 ≫ 𝐹𝑦3 = 0,45 ∗ 𝐹3 
cos27° =
Fx3
F3
≫ Fx3 = cos27° ∗ F3 ≫ 𝐹𝑥3 = 0,89 ∗ 𝐹3 
ΣFy = 0 ≫ Ra + Fy3 = 0 ≫ 15 + 0,45 ∗ F3 = 0 ≫ F3 =
−15
0,45
≫ 𝐹3 = −33,33𝐾𝑁 
ΣFx = 0 ≫ 𝐹1 + 𝐹𝑥3 = 0 ≫ 𝐹1 + 0,89 ∗ 𝐹3 = 0 ≫ 𝐹1 + 0,89 ∗ (−33,33) = 0
≫ 𝐹1 − 29,66 = 0 ≫ 𝐹1 = 29,66𝐾𝑁 
 
• Nó 4 
𝐹𝑦3 = 𝑠𝑒𝑛27° ∗ 𝐹3 ≫ 𝐹𝑦3 = −15,13𝐾𝑁 
Fx3 = cos27° ∗ F3 ≫ Fx3 = −29,7KN 
 
𝐹𝑦4 = 𝑠𝑒𝑛27° ∗ 𝐹4 ≫ 𝐹𝑦4 = 0,45 ∗ 𝐹4 
𝐹𝑥4 = 𝑐𝑜𝑠27° ∗ 𝐹4 ≫ 𝐹𝑥4 = 0,89 ∗ 𝐹4 
ΣFy = 0 ≫ −15 − (−15,13) − 0,45 ∗ F4 = 0 ≫ −0,45F4 = −0,13 ≫ F4 =
0,13
0,45
≫ 𝐹4 = 0,29𝐾𝑁 
ΣFx = 0 ≫ −Fx3 + Fx4 + F7 = 0 ≫ −(−29,7) + 0,89 ∗ 0,29 + F7 = 0 
≫ F7 = −29,96KN 
Por se tratar de uma treliça simétrica, podemos replicar os resultados 
encontrados das forças 1, 3 e 4, para as forças 2, 6 e 5, logo temos: 
F1 = 29,66 KN 
F2 = 29,66 KN 
F3 = -33,33 KN 
F4 = 0,29 KN 
F5 = 0,29 KN 
F6 = -33,33 KN 
F7 = -29,96 KN 
 
Para encontrar o comprimento das barras diagonais, utilizamos Pitágoras 
a2 = b2 + c2 ≫ a2 = 62 + 32 ≫ a = 6,71m 
ΣBarras = 12 + 12 + 6,71 + 6,71 + 6,71 + 6,71 + 12 = 62,84m 
Maior força encontrada (em módulo) = |33,33KN| 
Logo, 62,84m*33,3KN = 2.094,5 
Para a proposta do vereador, temos: 
 
60.000N (ou 60KN) aplicada nos 6 nós superiores das duas treliças 
paralelas, será dividida entre eles: 
60𝐾𝑁
6
= 10𝐾𝑁, tendo assim, 10KN de carga 
atuante em cada nó superior. 
Encontrando o momento das forças em Ra; para sentido horário sinal 
negativo, e para sentido anti-horário sinal positivo. 
ΣMA = 0; ΣMA = −10 ∗ 4 − 10 ∗ 12 − 10 ∗ 20 + Rb ∗ 24 = 0 ≫ Rb
=
40 + 120 + 200
24
≫ Rb = 15KN 
Somatório das forças em Y; 
ΣFy = 0; ΣFy = Ra − 10 − 10 − 10 + 15 = 0; Ra = 30 − 15; Ra = 15KN 
 
Cálculo dos nós 
• Nó 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrando o ângulo da barra 4, temos: 
tgα =
Co
Ca
≫ tgα =
3
6
≫ tgα = 0,5 ≫ α = arctg0,5 ≫ α = 26,57 ≈ 27° 
 
sen27° =
Fy4
F4
≫ Fy4 = sen27° ∗ F4 ≫ 𝐹𝑦4 = 0,45 ∗ 𝐹4 
cos27° =
Fx4
F4
≫ Fx4 = cos27° ∗ F4 ≫ 𝐹𝑥4 = 0,89 ∗ 𝐹4 
ΣFy = 0 ≫ Ra + Fy4 = 0 ≫ 15 + 0,45 ∗ F4 = 0 ≫ F4 =
−15
0,45
≫ 𝐹4 = −33,33𝐾𝑁 
ΣFx = 0 ≫ 𝐹1 + 𝐹𝑥4 = 0 ≫ 𝐹1 + 0,89 ∗ 𝐹4 = 0 ≫ 𝐹1 + 0,89 ∗ (−33,33) = 0
≫ 𝐹1 − 29,66 = 0 ≫ 𝐹1 = 29,66𝐾𝑁 
 
• Nó 5 
 
 
 
 
 
 
Encontrando o ângulo da barra 5, temos: 
tgα =
Co
Ca
≫ tgα =
3
2
≫ tgα = 1,5 ≫ α = arctg1,5 ≫ α = 56,3 ≈ 56° 
 
𝐹𝑦4 = 𝑠𝑒𝑛27° ∗ 𝐹4 ≫ 𝐹𝑦4 = −15,13𝐾𝑁 
Fx4 = cos27° ∗ F4 ≫ Fx4 = −29,7KN 
 
𝐹𝑦5 = 𝑠𝑒𝑛56° ∗ 𝐹5 ≫ 𝐹𝑦5 = 0,83 ∗ 𝐹5 
𝐹𝑥5 = 𝑐𝑜𝑠56° ∗ 𝐹5 ≫ 𝐹𝑥5 = 0,56 ∗ 𝐹5 
ΣFy = 0 ≫ −10 − (−15,13) − 0,83 ∗ F5 = 0 ≫ −0,83F5 = −5,13 ≫ F5 =
5,13
0,83
≫ 𝐹5 = 6,18𝐾𝑁 
ΣFx = 0 ≫ −Fx4 + Fx5 + F10 = 0 ≫ −(−29,7) + 0,56 ∗ 6,18 + F10 = 0 
≫ F10 = −33,16KN 
 
 
• Nó 2 
 
 
 
 
 
 
Encontrando o ângulo da barra 6, temos: 
tgα =
Co
Ca
≫ tgα =
3
4
≫ tgα = 0,75 ≫ α = arctg0,75 ≫ α = 36,86 ≈ 37° 
 
𝐹𝑦5 = 𝑠𝑒𝑛56° ∗ 𝐹5 ≫ 𝐹𝑦5 = 5,12𝐾𝑁 
Fx5 = cos56° ∗ F5 ≫ Fx5 = 3,46KN 
 
𝐹𝑦6 = 𝑠𝑒𝑛37° ∗ 𝐹6 ≫ 𝐹𝑦6 = 0,6 ∗ 𝐹6 
𝐹𝑥6 = 𝑐𝑜𝑠37° ∗ 𝐹6 ≫ 𝐹𝑥6 = 0,8 ∗ 𝐹6 
ΣFy = 0 ≫ 5,12 + 0,6 ∗ F6 = 0 ≫ 0,6F6 = −5,12 ≫ F6 = −
5,12
0,6
≫ 𝐹6 = −8,5𝐾𝑁 
ΣFx = 0 ≫ −Fx5 − F1 + Fx6 + F2 = 0 ≫ −3,46 − 29,66 + 0,8 ∗ (−8,5) + F2 = 0 
≫ F2 = 39,92KN 
 
 
Por se tratar de uma treliça simétrica, podemos replicar os resultados 
encontrados das forças 1, 4, 5, 6 e 10, para as forças 3, 9, 8, 7 e 11, logo temos: 
F1 = 29,66 KN 
F2 = 39,92 KN 
F3 = 29,66 KN 
F4 = -33,33 KN 
F5 = 6,18 KN 
F6 = -8,5 KN 
F7 = -8,5 KN 
F8 = 6,18 KN 
F9 = -33,33 KN 
F10 = -33,16 KN 
F11 = -33,16 KN
 
Para encontrar o comprimento das barras diagonais, utilizamos Pitágoras 
Barras 4 e 9 = a2 = b2 + c2 ≫ a2 = 62 + 32 ≫ a = 6,71m 
Barras 5 e 8 = a2 = b2 + c2 ≫ a2 = 22 + 32 ≫ a = 3,6m 
Barras 6 e 7 = a2 = b2 + c2 ≫ a2 = 42 + 32 ≫ a = 5m 
 
ΣBarras = 8 + 8 + 8 + 6,71 + 3,6 + 5 + 5 + 3,6 + 6,71 + 6 + 6 = 66,62m 
Maior força encontrada (em módulo) = |39,92KN| 
Logo, 66,62m*39,92KN = 2.659,5 
 
Conclusão 
• Projeto idealizado pelo engenheiro 
62,84 metros de barra * 33,3KN de maior força = 2.094,5 
 
• Projeto idealizado pelo vereador 
66,62 metros de barra * 39,92KN de maior força = 2.659,5 
 
Levando em consideração que a melhor proposta seria a de menor valor 
encontrado entre as duas pontes, chegamos à conclusão que o projeto do 
engenheiro será o vencedor.