Tema 2

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MÓDULO 1 
 Identificar a geometria, os tipos, as cargas, o comportamento e os esforços em uma treliça plana 
INTRODUÇÃO 
No início do estudo das treliças planas, alguns aspectos devem ser inicialmente compreendidos. 
 
 
GEOMETRIA DE TRELIÇAS PLANAS 
 
Uma treliça (plana ou espacial) é formada a partir de seus elementos primários 
(barras retas ou curvas). A estrutura é montada unindo-se os elementos por meio de 
pinos. 
 
Uma estrutura plana rígida tem como elemento básico um triângulo ABC, conforme mostra a figura 1: 
 
Figura 1: Elemento básico de uma treliça simples – triângulo / Fonte: Autor 
 
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Atenção 
Observe os pinos de união das barras nas extremidades destas. A partir desse elemento 
básico, duas novas barras são unidas por pinos. Essa sequência garante que a estrutura se mantenha rígida, originando a denominada treliça simples. 
Observe a figura 2, na qual um par de barras (destacadas em verde) é unido ao elemento básico da treliça — o triângulo (três barras unidas por pinos nas extremidades): 
 Figura 2: Formação de uma treliça simples a partir do elemento básico ABC / Fonte: Autor 
A união entre as duas barras, por meio do pino rotulado, é denominada “nó”. 
Nem toda treliça rígida é formada apenas de triângulos. É possível que, em algum dos 
passos citados anteriormente, a figura formada não seja o triângulo. A questão, nesse caso, é apenas didática. Essa treliça continuará a ser denominada simples e, portanto, 
rígida, ou seja, utilizável como estrutura em um projeto. 
Observe a figura 3, em que a estrutura é rígida, porém nem todos os elementos são 
triângulos: 
 Figura 3: Treliça simples rígida com elementos não triangulares / Fonte: Autor 
Atenção 
É possível mostrar que, para uma treliça plana isostática simples, a relação matemática 
dada entre o número de barras “b“ e o número de “nós” “n” é b = 2n – 3. Na figura 3, são 6 “nós” e 9 barras. Assim: 9 = 2.6 – 3 → 9 = 9 (equação satisfeita). 
TIPOS DE TRELIÇAS PLANAS 
A partir da ideia descrita no tópico anterior, é fácil perceber que existem várias 
configurações finais para uma treliça simples. De maneira semelhante, o mesmo ocorre para as treliças que não são denominadas simples. 
 
 
3 
 
Muitas treliças são amplamente utilizadas na Engenharia, e seus nomes são 
associados a seus criadores ou aperfeiçoadores. 
 
No slide abaixo, há alguns exemplos de treliças planas comuns na Engenharia: 
 
Warren 
 
Pratt 
 
Fink 
 
Howe 
 
 
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A partir de agora, a representação das treliças será simplificada. O desenho não as 
apresentará explicitamente: os pinos rotulados e as barras serão representados por 
segmentos, apenas por uma questão de simplicidade de representação. 
Saiba mais 
É interessante perceber que todas são rígidas, porém nem todas são simples (não podem 
ser formadas a partir de um único triângulo inicial, adicionando-se duas barras e formando 
um novo “nó”). É o caso da treliça Fink, por exemplo. 
CARGAS APLICADAS NAS TRELIÇAS PLANAS 
No estudo inicial das treliças, algumas considerações são adotadas, mas, na prática, em 
vários casos, podem ser utilizadas. Em termos de cargas, essas são sempre concentradas e aplicadas em um ou mais “nós” da treliça. 
Eventualmente, caso o peso das barras de treliça não possa ser desprezado frente aos valores dessas cargas externas aplicadas, será adotado que cada metade do peso da 
barra seja aplicada nos “nós” das extremidades da barra. 
A figura 5 mostra um exemplo do carregamento que será adotado no estudo do tema: 
 Figura 5: Carregamento de treliças planas / Fonte: Autor 
 
COMPORTAMENTO DAS TRELIÇAS PLANAS 
No estudo inicial das treliças planas, o objetivo é a determinação das forças que atuam nas barras — elementos unidos por pinos rotulados da estrutura. Consequentemente, 
conhecendo a área da seção reta, é possível determinar a tensão normal média atuante 
em cada elemento. 
Comentário 
Neste primeiro contato com o tema, algumas premissas são adotadas para diminuir a 
complexidade. O objetivo é entender os métodos matemáticos para que você conheça os 
elementos básicos da teoria a fim de facilitar a compreensão. 
Entre as várias premissas adotadas, algumas já citadas anteriormente, a estrutura não sofre deformações (rígidas), e as uniões entre os elementos comportam-se como pinos 
rotulados, ou seja, não oferecem resistência ao momento fletor. Essa última consideração 
é mantida mesmo quando os elementos são presos, por exemplo, por meio de solda. 
ESFORÇOS EM UMA TRELIÇA PLANA 
No estudo deste tema, a treliça se encontra em equilíbrio estático. Assim, cada um de 
seus elementos também estará em equilíbrio. Lembrando que as uniões entre as barras 
são feitas por pinos rotulados (momento fletor nulo); a condição para que ocorra o 
 
5 
equilíbrio da barra, com apenas duas forças agindo em suas extremidades, é que essas 
forças tenham a mesma linha de ação; e que esta coincida com a direção do elemento 
dentro da estrutura. Tais forças são chamadas de forças normais, pois são perpendiculares à seção reta das barras. 
A partir desse entendimento, falta a análise dessas forças sob a óptica do sentido. Duas 
são as possibilidades: a barra está sendo tracionada ou está sendo comprimida. De 
maneira simples e objetiva, a força sob tração tende a ter seu comprimento alongado e, sob compressão, tende a ter seu comprimento reduzido. 
No item anterior, uma restrição foi imposta ao estudo das treliças planas nesse momento: cada elemento é rígido, ou seja, não sofre deformação. Dessa maneira, a explicação para 
uma barra tracionada ou comprimida apenas se refere a uma tendência à variação do comprimento, mas não a uma deformação real. 
Na figura 6, a seguir, duas barras são mostradas — uma sob tração e outra sob 
compressão: 
 
Figura 6: Esforços de tração e compressão nas barras de treliças planas / Fonte: Autor 
Atenção 
Perceba que, nos dois casos, a linha de ação do par de forças é coincidente com a barra 
analisada. Convenciona-se utilizar para barras sob tração o valor positivo e, para barras sob compressão, valores negativos. 
Na resolução dos problemas de treliça, devemos ter muito cuidado com os sinais positivo e negativo. Caso, na resolução, você tenha arbitrada a força como trativa e encontre um 
valor positivo, de fato, a força atuante é de tração. Ao contrário, será compressiva. Na 
eventualidade de a escolha arbitrar a força como compressiva, o valor negativo indica que a escolha foi oposta em termos de sentido da força. Nesse caso, a força será trativa. 
Contudo, o módulo será encontrado. 
O momento de uma força é determinado por um produto vetorial. No caso das treliças 
planas, como o carregamento é plano, o módulo do momento pode ser calculado por M = F.d, sendo d a distância do ponto O à linha de ação da força. Adota-se, como convenção, 
que, no sentido anti-horário, o momento é positivo e, no sentido horário, negativo. O vetor M é perpendicular ao plano da treliça. Observe a ilustração a seguir: 
 M = + F.d (positivo, pois o giro é no sentido anti-horário), em relação ao ponto O. 
 
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TEORIA NA PRÁTICA 
A Engenharia é rica em exemplos em que são aplicadas as estruturas reticuladas 
rotuladas, denominadas treliças (planas ou espaciais). No dia a dia, é fácil identificar essas aplicações nas gruas, nos viadutos, nas torres, nas coberturas de estádios esportivos, nos 
telhados etc. 
Exemplo 
Algumas vantagens em relação às estruturas totalmente preenchidas podem ser 
identificadas, como, por exemplo, a resistência específica (resistência por unidade de 
peso), a menor resistência oferecida a locais em que o vento é uma análise importante no projeto etc. 
Na figura 7, vemos um croqui esquemático de uma estrutura treliçada, similar ao viaduto da Linha Vermelha sobre a Avenida Brasil, na cidade do Rio de Janeiro: 
 
Figura 7: Croqui de uma estrutura com treliças planas / Fonte: Autor 
Comentário 
A fundamentação matemática para a determinação das forças atuantes nas barras que 
compõem a treliça será apresentadanos dois módulos seguintes (método dos “nós” e 
método das “seções”). 
Em linhas gerais, utilizaremos os conceitos e as equações de equilíbrio de um corpo rígido bidimensional. Tomando-se a estrutura (treliça) como um todo em equilíbrio, cada parte 
dela também estará em equilíbrio. 
Dessa forma, é possível iniciar o cálculo a partir da estrutura, aplicando as equações de 
equilíbrio e determinando as reações nos apoios (vínculos) da treliça. 
Vamos às equações: 
 
As duas primeiras garantem o equilíbrio translacional nos eixos x e y, e a última garante o equilíbrio rotacional. Com a aplicação dessas três equações, as três incógnitas associadas 
aos apoios de primeiro e de segundo gênero são determinadas. 
 
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Saiba mais 
Na análise das treliças, a Terceira Lei de Newton (ação-reação) também será importante. 
A barra e o pino trocam forças que constituem um par ação e reação (a ser detalhado mais à frente). 
Supondo que uma dada treliça tenha “n” “nós” e “b” barras, cada nó está associado a um pino. Por sua vez, como se trata de um equilíbrio no plano, cada “nó” gerará 2 equações 
(∑Fx=0 e ∑Fy=0). Assim, os “n” “nós” gerarão “2n” equações lineares (que resolverão “2n” incógnitas). Além disso, 3 equações iniciais podem ser escritas para a determinação das 
reações. 
Como já vimos, para treliças simples, é verdadeira a relação: b = 2n – 3 ou, ainda, 2n = b 
+ 3. Assim, para “resolver” a treliça, ou seja, para determinar as forças nas “b” barras e as três reações nos apoios, serão necessárias “2n” equações. (Ver vídeo) 
 
 Mão na Massa 
1. (Adaptado de: MEC - Engenheiro Civil - Arquiteto - 2009) A treliça é um elemento 
estrutural muito utilizado na Engenharia e apresenta vantagens sobre outros, como, por 
exemplo, a elevada resistência específica. Analise a figura, a seguir, em que existe uma 
estrutura denominada treliça: 
 
O grau hiperestático da treliça mostrada na figura é igual a: 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
 
2. (Adaptado de: FUNIVERSA - IFB - Técnico de Laboratório - Edificações - 
2012) Uma treliça é uma estrutura reticulada composta de elementos unidos (barras) em 
suas extremidades, de modo a formar uma estrutura rígida. Podem ser do tipo simples ou 
não. Coberturas de ginásio e telhados são aplicações de treliças na Engenharia. As 
alternativas a seguir apresentam exemplos reais de estruturas simples nos diversos 
campos da Engenharia. Qual alternativa pode ser associada a uma treliça? 
 A) Estruturas sob a forma de cavalete, destinadas a abrigar os hidrômetros em prédios públicos. B) Estruturas reticuladas formadas por barras interligadas entre si por pinos, rebites, parafusos ou soldas, formando malhas triangulares, cuja finalidade é resistir apenas a esforços axiais. 
 
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C) Residências multifamiliares espaciais, construídas sobre estruturas de madeira em 
regiões sujeitas a alagamentos. D) Reservatórios destinados ao acúmulo de água da chuva para posterior 
reaproveitamento. 
 3. (Adaptado de: FDC - IF-SE - Engenheiro Civil - 2014) Muitos são os elementos estruturais em Engenharia. A treliça é um dos tipos com ampla utilização. Os estádios modernos do mundo que apresentam coberturas são exemplos de aplicações de treliças. Considere uma treliça plana e isostática que possui 13 barras, e seus vínculos externos oferecem três reações de apoio, como, por exemplo, apoios de primeiro e de segundo gêneros. O número de “nós” (união entre as barras) dessa treliça é: A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 4. (Adaptado de: FCC - MPE-AP - Analista Ministerial - Engenharia Civil - 2012) O uso de 
treliças em edificações, com as cargas aplicadas nos “nós” ideais, é um sistema construtivo 
composto de barras, idealizado para resistir aos esforços solicitantes de: 
A) Tração e compressão. B) Tração e flexão. C) Compressão e flexão. D) Cisalhamento e torção. 
 5. Treliças são elementos estruturais utilizados em larga escala na Engenharia. Uma treliça plana 
denominada Pratt é isostática e está sob determinado carregamento. Suponha que ela 
apresente “n” nós e “b” barras. Além disso, a razão entre o número de “nós” e o número de barras 
é 4/7. Logo, o valor de n + b é: 
A) 33 B) 40 C) 50 D) 52 6. (Adaptado de: UFLA - Engenheiro Civil - 2016) Uma treliça para a sustentação de telhado, 
feita de barras de aço, tem dimensões e formato como mostra a figura a seguir. Considere as 
medidas apresentadas na figura em metros e as barras verticais, ou seja, paralelas. 
 
 O comprimento total necessário de barras de aço para a construção dessa treliça é de: 
A) 24,00m B) 28,50m C) 30,75m D) 32,00m 
 
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Verificando o Aprendizado 
 1. (IBFC - EBSERH - Arquiteto - HUGG-UNIRIO - 2017) A treliça é um sistema estrutural 
formado por barras que se unem em pontos denominados: 
 A) Eixos B) Diagonais C) Nós D) Montantes 2. (Adaptado de: CESGRANRIO - UNIRIO - Arquiteto e Urbanista - 2016) O sistema 
estrutural de um projeto concebido para responder, de forma eficiente, aos esforços de tração e 
compressão exercidos simultaneamente, tem como proposta final o uso de: 
 A) Cabos B) Arcos C) Pórticos D) Treliças Planas 
MÓDULO 2 
 Reconhecer o método de resolução de treliças planas — “método dos nós” 
INTRODUÇÃO 
O dimensionamento de uma treliça inicia-se com a determinação dos valores das forças que 
atuam sobre as barras que constituem esse elemento estrutural. 
Dessa forma, existem métodos específicos para a determinação da intensidade (ou módulo) dessas 
forças e das condições em que atuam, isto é, comprimindo ou tracionando cada uma das barras da 
treliça. 
Neste módulo, apresentaremos o chamado método dos nós, que, em linha gerais, baseia-se na 
utilização das duas equações do equilíbrio translacional de cada “nó”, ou seja: 
 
DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES NOS APOIOS DE UMA TRELIÇA PLANA 
ISOSTÁTICA PELO MÉTODO DOS “NÓS” 
O principal objetivo deste estudo é que a treliça plana isostática seja “resolvida” ou, em 
outras palavras, que os valores das reações nos apoios e as forças axiais atuantes nas 
barras (elementos da treliça unidos por pinos rotulados) sejam determinados tanto em módulo quanto em direção e sentido. 
 
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O primeiro método que será apresentado denomina-se método dos “nós”: união de duas 
ou mais barras da treliça. A primeira etapa desse método é considerar a treliça uma 
estrutura única rígida (uma das premissas comentadas nos tópicos anteriores) em equilíbrio. 
Utilizando as equações de equilíbrio do corpo rígido bidimensional 
(∑Fx=0; ∑Fy=0 e ∑Mz=0) é possível fazer manipulações algébricas e determinar as 
reações nos apoios (vínculos). 
Para que isso fique menos abstrato, segue um exemplo simples, mas que poderá ser 
utilizado para situações mais complexas. 
EXEMPLO 1 
(IF-SP - 2011 - IF-SP - Professor - Construção Civil) Vamos calcular o valor das reações RA e RC da treliça a seguir: 
 
 
Atenção 
Os valores encontrados para RA e RC foram positivos. Logo, os sentidos inicialmente arbitrados na figura estão corretos. 
DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS EM BARRAS DE UMA TRELIÇA PLANA 
ISOSTÁTICA PELO MÉTODO DOS “NÓS” 
Para a utilização deste método, é necessário que você determine, inicialmente, as reações 
nos apoios da treliça como já foi visto anteriormente. O método de resolução dos “nós” 
indica que cada nó que une as barras das treliças se encontra em equilíbrio translacional. O equilíbrio rotacional já é satisfeito, pois não ocorre reação de momento nos pinos dos 
“nós”. 
É importante ressaltar uma das premissas já comentadas anteriormente: os pinos são 
rotulados. Então, não existe a restrição de momento. Dessa forma, a equação do equilíbrio 
 
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dada por ∑Mz=0 já se encontra satisfeita. Assim, apenas devemos escrever as duas 
outras equações do equilíbrio para cada “nó”, ou seja, ∑Fx=0 e ∑Fy=0. 
Para a compreensão do método, um exemplo será resolvido a partir da figura 8: 
 
Figura 8: Treliça simples ABC – método dos “nós” / Fonte: Autor 
Para resolver esta treliça, inicialmente, devemos seguir os passos apresentados antes, ou 
seja, determinar asreações nos apoios da treliça ABC. Uma vez que esses valores 
tenham sido determinados, o método dos “nós” propriamente dito se inicia. 
Atenção 
Observe o “nó” A: união das barras AB e AC. Apenas por escolha, o processo será iniciado 
por esse “nó”, ou seja, “isolaremos” tal “nó” (similar ao DCL de um corpo rígido). 
Já sabemos que as forças que agem nas barras das treliças são axiais (compressão ou 
tração). Observe, na figura 9, o nó A e as forças que atuam nele: 
 
Figura 9: Forças que atuam no “nó” A da treliça simples ABC / Fonte: Autor 
As forças FAB e FAC têm apenas a direção conhecida (direção da barra). Os sentidos foram arbitrados, e, ao final da resolução, valores positivos ratificarão a escolha inicial. 
Como o nó A se encontra em equilíbrio, as equações que garantem a não translação em x e y serão escritas. Contudo, existe uma força (FAC) que não se encontra nem na direção x nem na direção y. Portanto, faremos a projeção desta nos eixos x e y. 
Em módulo: (Fac)x=Fac .cosα e (Fac)y=Fac .senα. Agora, é possível escrever as equações 
do equilíbrio para os eixos x e y. 
 
Resolvendo o sistema entre as equações (*) e (**), os valores de FAB e FAC serão determinados, uma vez que RA foi encontrado no início e o ângulo é conhecido. 
 
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Repetindo os passos anteriores, podemos determinar todas as forças que atuam na barra. Mesmo em uma treliça com poucas barras, o método dos “nós” exige grande algebrismo. 
A solução apresentada foi a tradicional. No entanto, para nós com três forças atuantes, é 
muito prático utilizar o fato de que a soma vetorial das forças forma um polígono, visto que 
ele se encontra em equilíbrio. 
Assim, conforme mostra a figura 10 seguinte, temos: 
 
Figura 10: Resolução do “nó” A da treliça simples ABC pela regra do polígono / Fonte: Autor 
Considerando o valor de α e RA conhecidos, a partir das relações trigonométricas, é possível a determinação dos valores de FAB e FAC. 
 
Mas como descobrir se a força está sob uma ação compressiva ou trativa? 
 
A partir da Terceira Lei de Newton, é possível fazer o esquema representado na figura 11 a seguir: 
 Figura 11: “Nó” e barra sob compressão / Fonte: Autor 
TEORIA NA PRÁTICA 
Como vimos, as treliças são muito utilizadas nas diversas aplicações da Engenharia. No 
campo da Engenharia Civil, muitas estruturas utilizam vigas treliçadas, assim como na Engenharia Mecânica, em estruturas fixas ou móveis (gruas, guindastes etc.). 
As torres de transmissão, amplamente utilizadas na Engenharia Elétrica, são mais 
exemplos de aplicação das treliças. Em muitos casos, são treliças espaciais e, em outros, 
treliças planas. De qualquer forma, o entendimento físico-matemático das treliças é fundamental para a formação do futuro engenheiro. 
 
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Suponha que uma pequena garagem de uma casa tenha a estrutura que suporta o telhado 
utilizando vigas treliçadas planas, em que as barras são metálicas. A figura a seguir 
representa uma dessas vigas e o carregamento a que está sujeita: 
 Treliça utilizada como viga em uma garagem / Fonte: Autor 
Considere que todas as seis barras horizontais tenham 0,6 m de comprimento, e que as 
três verticais tenham 0,8 m. As barras são todas rotuladas. Para reforçar o método aprendido aqui (método dos nós), aplicando-o a uma estrutura na prática da Engenharia, 
vamos determinar os valores das reações nos apoios A e B e as forças axiais nas barras AC, AD e EF. 
Aproveitando o exemplo, alguns outros pontos serão explorados. É fácil verificar que a 
treliça é isostática, tendo apoios do primeiro e do segundo gêneros, o que implica três 
incógnitas, que podem ser resolvidas pelas equações de equilíbrio do corpo rígido: ∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑M=0. Também é fácil verificar que a treliça é composta de 13 
barras (b) e 8 “nós” (n), valores que satisfazem a equação 2n = b + 3. 
 Mão na Massa 
1. (Adaptado de: FCC - Caixa - Engenheiro Civil - 2013) As treliças são estruturas constituídas 
de barras ligadas entre si por nós. Considere a treliça apresentada a seguir: 
 
 
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Os valores do esforço, em kN, para as barras AB e ED, respectivamente, são: 
A) 40, 40 B) -40, -40 C) -80, -80 D) 80, -80 2. Vários são os elementos estruturais na Engenharia: a viga, a treliça, a coluna etc. Considere uma 
estrutura treliça plana isostática biapoiada com carregamento em seus “nós”. Algumas forças 
verticais apontam “para baixo” e uma horizontal “para a esquerda”. Despreze o peso das barras 
frente aos valores do carregamento. 
 
Sobre essa estrutura, é correto afirmar que: 
A) Para o carregamento descrito, as reações nos dois apoios são verticais, e um deles 
apresentará um momento. B) As forças que atuam sobre as barras são normais e podem estar flexionando ou não 
as barras. C) As treliças simples são aquelas que podem ser construídas a partir de seu elemento 
estrutural básico: o triângulo. Duas novas barras são acrescentadas e unidas por 
rótulas. D) viga apresentada é biapoiada, e uma das possibilidades ocorre: os dois apoios são de 
segundo gênero, um deles é de segundo gênero, e o outro de primeiro gênero, ou, 
ainda, dois apoios de primeiro gênero. 
 
 
3. (Adaptado de: Senado Federal - Engenheiro Civil - 2008) Observe a figura a seguir: 
 
Nesta treliça, o esforço normal na barra 6 –7 é igual a: 
A) 1,5P de tração B) 3P de tração C) P de compressão D) 1,5P de compressão 
 
 
4. (Adaptado de: FCC - TRE-RR - Analista Judiciário - Engenharia Civil - 2015) Considere a 
treliça da figura a seguir: 
 
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A força axial, pelo método dos “nós”, atuante na barra AD, em kN, é igual a: 
A) 15 
B) 18 
C) 16 
D) 12 
 
5. (Adaptado de: FUNCAB - IDAF-ES - Engenheiro Civil - 2010) Observe a treliça isostática a 
seguir: 
 
A) 10, 6 e 12 
B) 6, 10 e 6 
C) 8, 8 e 12 
D) 6, 10 e 12 
6. (Adaptado de: FUNCAB - MPE-RO - Analista - Engenharia Civil - 2012) Observe a treliça 
isostática a seguir: 
 
 
 
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Os valores das reações VA, VB e HB, em kN, são, respectivamente: 
A) 5, 40 e 25 
B) 40, 5 e 25 
C) 5, 40 e 65 
D) 40, 5 e 65 
 
Verificando o Aprendizado 
1. A treliça é uma estrutura com várias aplicações na Engenharia. Muitas delas apresentam 
nomes próprios, como Howe, Pratt, Fink etc. Considere a treliça plana denominada Pratt, com 
o carregamento ilustrado na figura a seguir: 
 
Com relação à barra vertical central (em destaque na treliça), é correto afirmar que: 
A) A força atuante é nula devido às simetrias geométricas e de carregamento. B) A força atuante apresenta módulo 40 kN e está sob compressão. C) A força atuante tem intensidade de 40 kN é está sob tração. D) A força atuante apresenta módulo 40 kN, mas não é possível afirmar se a barra se encontra sob compressão ou tração. 2. (Adaptado de: CESPE - MEC - Engenheiro Mecânico - 2015) Considere os conceitos 
relacionados à mecânica dos sólidos e a treliça mostrada na figura a seguir: 
 
 
Sobre as forças atuantes nas barras AB e AF, respectivamente, é correto afirmar que: 
A) A barra AB está tracionada por uma força de 20 kN, e a barra AF, por uma força de 15 kN, também de tração. B) A barra AB está comprimida por uma força de 15 kN, e a barra AF, por uma força de 20 kN, também de compressão. C) A barra AB está tracionada por uma força de 15 kN, e a barra AF, por uma força de 20 kN, também de tração. D) A barra AB está tracionada por uma força de 15 kN, e a barra AF, comprimida por uma força de 20 kN. 
 
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MÓDULO 3 
 Reconhecer o método de resolução de treliças planas — “método das seções” 
 
INTRODUÇÃO 
No módulo anterior, estudamos o método dos “nós” para a determinação das forças que 
atuam nas barras de uma treliça e suas condições de tracionamento ou compressão. 
O método a ser estudado agora é denominado “método das seções”. Sua principal 
vantagem é que os cálculos são mais diretos, sendo particularmente útil quando desejamos determinar a força que age em uma ou mais barrasespecíficas. 
DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES NOS APOIOS DE UMA TRELIÇA PLANA 
ISOSTÁTICA PELO MÉTODO DAS “SEÇÕES” 
No módulo anterior, estudamos o método dos “nós” para a resolução das treliças planas 
isostáticas, ou seja, para determinar os valores das forças de reações nos apoios da estrutura e das forças axiais atuantes nas barras da treliça, estejam elas em seu estado de 
compressão ou de tração. 
O primeiro passo a ser executado no método estudado no módulo 2 foi a determinação 
das reações nos vínculos. Para tanto, foram utilizadas as equações do equilíbrio de um corpo rígido (∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑M=0), considerando a treliça uma estrutura única rígida. 
No método das “seções” ou de Ritter, o primeiro passo será exatamente o mesmo. Por 
isso, inicialmente os métodos se assemelham. 
DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS NAS BARRAS DE UMA TRELIÇA PELO MÉTODO 
DAS “SEÇÕES” 
Na segunda etapa dos métodos das seções (o método propriamente dito), um ou mais “cortes” (abstração) serão realizados na treliça, fazendo com que as forças axiais que 
atuam em algumas barras, chamadas de forças internas, comportem-se como forças 
externas de um corpo rígido. Feito o corte, uma das partes da treliça será utilizada para a determinação dos valores de algumas forças axiais. 
Atenção 
A escolha da parte que será utilizada na aplicação do método pode torná-lo mais simples matematicamente. De qualquer forma, é bom esclarecer que qualquer parte pode ser 
escolhida para a aplicação do método das “seções”. 
Baseando-se no fato de que a treliça está em equilíbrio, uma dessas partes escolhidas 
também estará. Então, novamente, serão utilizadas as equações do equilíbrio de um corpo 
rígido para a determinação das forças axiais nas barras. 
 
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Nas figuras 12 e 13, são mostradas uma treliça com corte a-a’ e as partes a serem 
escolhidas para a aplicação do método: 
 
Figura 12: Treliça simples / Fonte: Autor 
 
Figura 13: Treliça seccionada e forças internas “expostas” / Fonte: Autor 
O método das seções pode ser facilitado, dependendo da escolha feita para a seção de corte a-a’, o que necessita de experiência e treinamento. Uma sugestão, que pode 
ajudar você no início, é evitar utilizar seções para o corte da treliça que atravessem quatro 
ou mais barras, uma vez que são três as equações para o equilíbrio do corpo rígido (∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑M=0). 
Outra sugestão que pode ser útil no início do aprendizado do método de Ritter é utilizar 
seções de corte que levem à exposição de algumas forças concorrentes. Essa situação é 
favorável, pois, ao utilizarmos a equação do equilíbrio rotacional ∑M=0, momentos em relação ao ponto de concorrência serão nulos. 
Atenção 
Os métodos dos “nós” e das “seções” podem ser utilizados em conjunto. Parte da resolução pode ser iniciada por um dos métodos e, depois, é possível utilizar o outro 
método. 
Para que você possa perceber os passos a seguir, apresentamos, agora, um exemplo 
para a resolução de uma treliça pelo método das seções. 
EXEMPLO 2 
(PaqTcPB - Prefeitura de Patos - PB - Engenheiro Civil - 2010) Seja a treliça, a seguir, submetida ao carregamento indicado: 
 
 
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Os elementos AB e AD estão submetidos a quais esforços normais? 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA NA PRÁTICA 
Como um elemento estrutural presente em muitos projetos de Engenharia, a treliça é 
fundamental no curso. Aqui, apresentamos alguns conceitos que introduzirão o assunto para iniciar seu primeiro contato com o dimensionamento de uma treliça. Para tanto, é 
fundamental que você seja capaz de utilizar algum método que determine as forças nas barras que compõem a treliça. 
Para apresentar um aspecto prático, imagine uma treliça plana isostática, que é utilizada 
como viga de uma estrutura, em que desejamos determinar para algumas barras o valor 
da força axial e seu estado de tração ou de compressão. Vamos ao exemplo 
EXEMPLO 3 
(Adaptado de: VUNESP - Prefeitura de Cananeia - SP - Engenheiro Civil – 2020) A 
treliça da figura a seguir está submetida a uma carga concentrada (P) no nó G: 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 Mão na Massa 
1. (Adaptado de: FCC - DPE-AM - Analista em Gestão Especializado de Defensoria - 
Engenharia Civil - 2018) No projeto das estruturas da cobertura de um galpão, foram projetadas 
treliças metálicas, como indica a figura a seguir: 
 Para dimensionar o tipo de perfil a ser utilizado, foram calculadas as forças em todas as barras 
da treliça. A força atuante na barra AE é, em kN: 
A) 15 B) 16 C) 20 D) 18 
 
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2. (Adaptado de: VUNESP - Prefeitura de São Bernardo do Campo - SP - Engenheiro Civil 
- 2018) Considere a treliça metálica do projeto da construção de um galpão, ilustrada na 
figura a seguir: 
 A barra AC está solicitada pela força normal, em módulo e em kN, de: 
A) 40 B) 35 C) 20 D) 15 3. A treliça tem várias aplicações estruturais na Engenharia. Para determinar as forças axiais 
nas barras rotuladas que compõem essa estrutura, existe o método das “seções”. Sobre esse 
método, é correto afirmar que: 
 A) Substitui o método dos nós para treliças com até 4 cargas externas aplicadas nos nós. B) Determina o módulo da força que age em uma barra da treliça, porém não é capaz de 
informar seu estado de tração ou compressão. C) Na resolução da treliça, pode ser associado ao método dos “nós”. D) Em sua utilização, nunca há necessidade de calcular as reações nos apoios. 4. (Adaptado de: FUNCAB - INCA - Analista - Engenharia de Infraestrutura - Engenharia 
Civil - 2014) Observe a treliça isostática representada, a seguir, com um apoio de 1º gênero em A 
e outro de 2º gênero em B: 
 O esforço normal, em kN, na barra CD é: 
 
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A) 20 de tração. B) 20 de compressão. C) 10 de tração. D) Nulo. 
 
 
5. (Adaptado de: CESGRANRIO - BR Distribuidora - Profissional Júnior - Engenharia 
Mecânica - 2008) A treliça de três barras da estrutura mostrada na figura, a seguir, está sujeita à 
carga F aplicada ao pino C: 
 Nesta situação, a força de compressão atuante na barra AB vale: 
A) F cotg θ B) F tg θ C) (F/2) tg θ D) (F/2) cotg θ 6. (Adaptado de: FUNCAB - INCA - Analista - Engenharia de Infraestrutura - Engenharia 
Civil - 2014) Observe a treliça isostática representada, a seguir, com um apoio de 1º gênero em A 
e outro de 2º gênero em B: 
 O esforço normal, em kN, na barra AC é: 
A) 20 de tração. B) 20 de compressão. C) 10 de tração. D) 10 de compressão. 
 
24 
Verificando o Aprendizado 
1. (Adaptado de: FCC - TRE-RR - Analista Judiciário - Engenharia Civil - 2015) Considere a 
treliça da figura a seguir: 
 Utilizando o método das “seções”, a força axial atuante na barra AD, em kN, é igual a: 
A) 15 B) 18 C) 16 D) 12 2. (Adaptado de: FCC - TJ-AP - Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - 
Engenharia Civil - 2014) Para o projeto da estrutura de um telhado, foi utilizada a treliça da 
figura a seguir: 
 
A barra BF está solicitada a um esforço de: 
A) 2,40 kN (C B) 4,50 kN (T) C) 3,00 kN (T) D) 0,00 kN 
MÓDULO 4 
 Descrever a modelagem computacional das treliças planas 
INTRODUÇÃO 
Nas Ciências Exatas, de maneira genérica, e na Engenharia, em particular, existem algumas fases 
que devem ser entendidas e realizadas para a determinação de uma situação real. São elas: 
 
 
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OBSERVAR O FENÔMENO FÍSICO Inicialmente, deve ser observado o fenômeno físico associado à situação em estudo. Nesta fase, todos os elementos físicos teóricos devem ser considerados para a elaboração de um modelo físico que reproduza a situação com a maior realidade. SIMPLIFICAR O MODELO FÍSICO Na segunda fase, a partir do modelo físico elaborado, algumas simplificações podem ser introduzidas, tornando, assim, o modelo físico inicial simplificado e com um tratamento matemático menos complexo, porém sem perder informações fundamentais para a situação real. FAZER A MODELAGEM MATEMÁTICA DO MODELO FÍSICO Com o modelo físico simplificado, será necessário fazer a modelagem matemática dele, ou seja, associar os fenômenos físicos por meio de equações matemáticas queos descrevam. ENCONTRAR A SOLUÇÃO PARA O CONJUNTO DE EQUAÇÕES DESCRITAS NO MODELO MATEMÁTICO Nesta fase, soluções analíticas podem ser utilizadas, mas as várias ferramentas computacionais já existentes ou desenvolvidas particularmente para a situação podem ser fundamentais para agilizar a resolução de modelos com grande número de incógnitas, por exemplo, ou com resolução analítica não possível. 
ANÁLISE FÍSICA DE UMA TRELIÇA E SUA MODELAGEM MATEMÁTICA 
A modelagem física de uma treliça já será precedida por algumas simplificações que, neste tema, foram denominadas premissas. Seguem algumas dessas premissas impostas 
para o estudo de uma treliça nesta etapa do curso de Engenharia: 
1ª Treliça simples isostática rígida, ou seja, sem deformações das barras. 2ª São estruturas em que as barras estão rotuladas nos “nós”, não oferecendo resistência aos momentos fletores. 3ª As forças externas são aplicadas diretamente sobre os “nós”. 4ª As barras estão sujeitas apenas às forças axiais de tração (T) ou compressão (C); 5ª Os pesos das barras são desprezíveis quando comparados às forças externas. Na eventualidade de se considerar os pesos das barras, haverá uma divisão desses valores de tal forma que metade do peso será aplicado sobre um dos “nós”, e a outra metade, no outro “nó” das extremidades da barra. 
Para efeito de entendimento da metodologia deste módulo, utilizaremos uma treliça simples, mas todos os passos da técnica serão apresentados. Exceto pela complexidade 
algébrica, não há perda de generalidade. 
 
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Na figura, a seguir, observamos uma treliça em que a barra BC mede 6 m, a altura do 
triângulo isósceles é de 4 m, e as barras AB e AC têm 5 m: 
 Figura 14: Treliça ABC com carregamento externo único / Fonte: Autor Despreze os pesos das barras e considere a força F vertical e de módulo 20 kN. A 
orientação é dada pelo par de eixos x-y. 
Inicialmente, serão desenhados os diagramas do corpo livre dos “nós” A, B e C da treliça ABC da figura 14. Note que são 6 incógnitas (3 forças nas barras mais 3 reações nos 
apoios). Como cada “nó” pode gerar 2 equações (equilíbrios translacional em x e y), o total de equações também será igual a 6. 
Na figura 15, os nós têm seus DCLs: 
 Figura 15: DCLs dos nós A, B e C da treliça ABC / Fonte: Autor Lembre-se da Terceira Lei de Newton: a força F que a barra AB exerce no “nó” A é, em módulo, igual à força que este exerce na barra AB. Além disso, como a barra AB está em equilíbrio sob a ação de apenas duas forças, em módulo, FAB é igual a FBA. Assim, os módulos Fab e Fba, Fac e Fca e Fbc e Fcb são, dois a dois, iguais. 
São 6 as variáveis (também VB, VC e HB). Utilizando o par de eixos do início, serão escritas 6 equações lineares, dando origem a um sistema linear 6 x 6. Para tanto, serão feitas as projeções das forças oblíquas em relação aos eixos x e y, e iremos impor a condição de 
equilíbrio para cada eixo. 
 NÓ A 
 
 
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NÓ B 
 NÓ C 
 
Depois que todas as duas condições de equilíbrio translacional foram escritas para cada 
um dos 3 “nós”, foram geradas 6 equações com 6 incógnitas. A seguir, as 6 equações lineares são dispostas na forma mais comum de um sistema: 
Escrevendo na forma matricial o sistema anterior, temos: 
 
 
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É fácil perceber que, mesmo para uma treliça mínima (apenas um triângulo), o sistema 
apresentará alguma dificuldade para resolvê-lo, sem, contudo, tornar impossível sua 
resolução. Dessa forma, o ideal é utilizar os conhecimentos de cálculo numérico ou modelagem matemática. 
Saiba mais 
Vários programas estão disponíveis para a resolução de sistemas lineares. Via de regra, 
eles utilizam métodos conhecidos como de Cramer, Gauss-Jordan, decomposição LU etc. Você também pode desenvolver um programa em uma linguagem de programação (C++, 
Python etc.) que conheça e utilizá-lo. 
Usando uma ferramenta computacional, pelo método do escalonamento, o sistema 
apresentará o seguinte aspecto escalonado 
 
A partir da sexta equação, é possível determinar cada incógnita: 
 
 
Treliças maiores, por exemplo, com 9 “nós”, gerarão 18 equações e 18 incógnitas. A resolução analítica do sistema é demasiadamente trabalhosa. O uso de uma ferramenta computacional quase se torna imperativo. 
O exemplo mostrado anteriormente, mesmo para um número reduzido de “nós”, é válido para situações em que a treliça isostática apresente um número de “nós” bem maior. 
TEORIA NA PRÁTICA 
Como já vimos, o estudo da estrutura denominada treliça é fundamental para o futuro 
engenheiro. Muitos projetos nos diversos ramos da Engenharia usam as treliças como parte de uma estrutura ou, por vezes, como toda a estrutura. Vários exemplos foram 
citados ao longo do tema. 
Dois métodos analíticos foram apresentados para a resolução da treliça ou, ainda, para a 
determinação das forças axiais de compressão ou de tração atuantes nas barras e as reações nos apoios. 
 
29 
O entendimento desses métodos é muito importante, pois permite compreender os 
fenômenos físicos atuantes e transformá-los em equações matemáticas que solucionem o 
problema. Sem dúvida, os processos são relevantes, mas demandam grandes esforços algébricos e aritméticos quando a estrutura apresenta muitas barras. 
Neste último módulo, foi apresentada a possibilidade de minimizar o esforço aritmético 
pelo uso de alguma ferramenta computacional. O exemplo a seguir mostra a determinação 
dos esforços nas barras de uma treliça e em seus apoios, utilizando uma ferramenta computacional que resolva sistemas lineares (por métodos diretos ou indiretos). Nesta 
atividade, vamos determinar pela modelagem computacional todas as forças envolvidas. 
(FUNIVERSA - CEB - Engenheiro - 2010) A treliça metálica representada na figura a 
seguir está submetida ao carregamento indicado: 
 As letras maiúsculas representam os encontros das barras em nós rotulados. 
A figura é um quadrado ABCD de diagonal BC sobre apoios C e D. O ângulo que a 
diagonal do quadrado faz com cada lado é 450. Assim: sen450 = cos 450 = 0,7017. 
 
 
30 
Mão na Massa 
1. Considere uma treliça plana isostática de 13 barras (peso desprezível) com um 
carregamento em seus “nós” e estes rotulados. Quantas incógnitas surgirão para a resolução 
desse problema em uma modelagem computacional, em que cada nó será isolado, e as 
equações do equilíbrio translacional, aplicadas? 
 
A) 13 B) 16 C) 20 D) 26 2. Na figura, a seguir, uma treliça Howe plana isostática encontra-se com dois vínculos e 
carregamento sobre seus nós: 
 
Você decide resolver a treliça, ou seja, determinar os valores das reações nos apoios e das 
forças nas barras, a partir de um sistema de equações lineares, com o auxílio de uma 
ferramenta computacional que resolve o sistema pelo método da eliminação de Gauss. 
 
Inicialmente, você isola cada um dos “nós” e escreve as equações do equilíbrio translacional 
para os eixos x e y. Feito isso, um sistema dessas equações lineares é montado. Esse sistema 
apresenta quantas linhas e colunas? 
A) 12 x 12 
B) 15 x 15 
C) 20 x 20 
D) 25 x 25 
 
 
3. A modelagem computacional de uma treliça plana apresenta algumas etapas que devem ser 
atendidas até que o resultado seja alcançado, ou seja, que os valores das forças que agem nas 
barras e as reações nos apoios sejam determinados. Sobre a modelagem de uma treliça, são 
feitas as seguintes afirmações: 
 
I. Na etapa de elaboração do modelo físico, algumas simplificações podem ser introduzidas 
para que o tratamento matemático seja simplificado. 
II. A modelagem matemática baseia-se nos equilíbrios translacional e rotacional de cada um 
dos “nós” que unem as diversas barras da treliça plana. 
III. Uma vez realizada a modelagem matemática, a partir dos “nós”, surgem “k” equações 
lineares para a solução de “k” variáveis. 
IV. Na sequência da modelagem, a utilização de uma ferramenta computacional auxiliará a 
 
31 
encontrar os valores das incógnitas do problema. 
 
Estão corretas as afirmações: 
A) I, II e III B) I, III eIV C) II, III e IV D) I, II, III e IV 
 
4. Suponha que uma treliça plana isostática apresente vínculos de primeiro e segundo gêneros 
e esteja carregada com forças concentradas em alguns de seus nós. A treliça é formada apenas 
por triângulos e possui 7 “nós”. 
 
Um aluno resolve determinar as forças que agem nas barras das treliças e as reações nos 
apoios a partir de um sistema de equações lineares oriundas do equilíbrio translacional de 
cada nó. Ao escrever o sistema, ele percebeu que, analiticamente, a resolução seria muito 
trabalhosa. Dessa forma, resolveu utilizar uma “calculadora de sistemas lineares”, mas as 
várias calculadoras disponíveis apresentavam limites no número de equações. 
 
A seguir, existem algumas calculadoras fictícias: 
 
I. Calculadora ALFA com limite de até 10 equações. 
II. Calculadora BETA com limite de até 12 equações. 
III. Calculadora GAMA com limite de até 15 equações. 
IV. Calculadora DELTA com limite de até 18 equações. 
 
Das calculadoras fictícias, qual(is) delas o aluno poderá utilizar para resolver o sistema gerado? 
 
A) Apenas a calculadora ALFA. B) As calculadoras GAMA e DELTA. C) As calculadoras ALFA, BETA e GAMA. D) Apenas a calculadora GAMA. 
 
5. Suponha uma treliça plana isostática, formada apenas por triângulos, sobre apoios de 
primeiro e segundo gêneros, com carregamento exclusivamente nos “nós” superiores. 
Deseja-se elaborar um sistema de equações lineares provenientes do equilíbrio de cada 
um dos n “nós”. Considere que aij e bk são números reais, e que xi representa as forças (nas barras e nos apoios). 
 
Nas alternativas a seguir, existem vários sistemas. Qual é o único que pode representar o 
equilíbrio dessa treliça? 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
6. (Adaptado de: FCC - TRE-RR - Analista Judiciário - Engenharia Civil - 2015) Considere a 
treliça da figura a seguir: 
 
O aluno deseja determinar as forças que atuam nas barras e nos apoios fazendo uma 
modelagem e, depois, utilizar uma ferramenta computacional que resolva o sistema gerado. 
Considerando os ângulos A e C do triângulo retângulo ADC, pela geometria, é fácil determinar 
os valores de seno (razão entre cateto oposto e hipotenusa) e cosseno (razão entre cateto 
adjacente e hipotenusa). Assim, para o ângulo A, sen A = 0,6 e cosA = 0,8 e para o ângulo C, 
temos sen C = 0,8 e cosC = 0,6. 
 
Após a análise dos 4 nós (equilíbrio translacional), o aluno chegou ao seguinte sistema de 
equações: 
 
Organizando em forma matricial, temos: 
 
Utilizando uma ferramenta computacional que resolva esse sistema linear, qual é o valor de 
força que age na barra CD (FCD)? 
A) 15KN B) 18KN C) 16KN D) 12KN 
 
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Verificando o Aprendizado 
 
 
1. Na modelagem computacional de uma treliça, é possível determinar as forças que agem nos 
elementos e nos apoios da treliça simples. Em linhas gerais, são aplicadas as equações de 
equilíbrio para cada “n” nós, gerando um número “k” de equações com “k” incógnitas. 
 
Suponha uma treliça simples isostática com 29 barras apoiadas sob dois apoios de primeiro e 
segundo gêneros. Para utilizar a modelagem computacional na resolução desse problema, 
quantas equações lineares devem ser geradas? 
A) 29 equações lineares. B) 30 equações lineares. C) 31 equações lineares. D) 32 equações lineares. 2. Um aluno está fazendo um trabalho para a disciplina de Mecânica dos Sólidos a respeito de 
treliças. Ele faz a opção da modelagem computacional para resolver a treliça. Utilizou o 
método e chegou a seis equações lineares. Para tanto, usará um programa que desenvolveu e 
determinará as forças nas barras e nos apoios. Quando vai iniciar a entrada de dados, falta 
energia em sua casa, e ele não consegue utilizar a ferramenta computacional. 
 
Recordando do método do escalonamento, ele resolve analiticamente o sistema até que 
alcance uma matriz escalonada, conforme mostra a figura a seguir: 
 Que valor o aluno encontrou para a força, em módulo, na barra AB (FAB), se todos os valores são apresentados em kN? 
A) 47,5 KN 
B) 37,5 KN 
C) 22,5 KN 
D) 30,0 KN 
 
 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Abordamos uma estrutura rígida com vasta utilização no campo da Engenharia estrutural: as treliças. Também definimos o conceito de treliças simples, formadas a partir de um 
único triângulo e algumas premissas, como a união entre as barras serem feitas por pinos 
rotulados e a não deformação de cada elemento da treliça (barras). Além disso, apresentamos alguns tipos mais comuns de treliças. 
Em seguida, conhecemos os métodos para a resolução da treliça, isto é, a determinação 
das forças axiais nas barras (sob tração ou compressão): método dos “nós” e método das 
seções. Cada um com suas peculiaridades e vantagens. Por exemplo, o método das seções é particularmente útil para determinar valores das forças em algumas barras 
particulares. Já o método dos “nós” é mais algébrico. Por isso, indicamos uma técnica em que seja possível solucionar um sistema de equações lineares (originado a partir do 
equilíbrio translacional dos nós), que resulta nos valores das forças nas barras e das 
reações: a modelagem computacional 
 
l. 
REFERÊNCIAS 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Mecânica vetorial para 
engenheiros – Estática. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1976. 
v. 1. 
HIBBELER, R. C. Mecânica para Engenharia – Estática. 12. ed. São 
Paulo: Pearson, 2011. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 
7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.