Atividade de estudo 2 calculo 2

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UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
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QUESTÃO 01 | Objetiva Código: 179344
.
Resposta esperada:
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: UniCesumar, 2016. [Unidade III].
 
A z=x+y+1.
B z=-x+y+3.
C z=4x-2y+1.
D z=4x+2y-3.
E z=-4x+2y+5.
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QUESTÃO 02 | Objetiva Código: 259174
 É correto o que se afirma em:
 
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Derivadas Direcionais", na página 111, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e
Integral II. Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
I. O gradiente da função é 
Portanto, substituindo o ponto (1, 1, -2), ou seja, (-160/256, -320/256, 960/256) = (-5/8, -10/8, 30/8) = 5/8(-1, -2, 6),
obtemos exatamente o valor escrito.
II. A taxa máxima é o módulo do vetor gradiente obtido no item I, ou seja, √(-5/8)²+(-10/8)²+(30/8)²
= √(25+100+900)/64 = √(1025/64) = 32,01562/8 = 4,0019.... Portanto está correto.
III. Substituindo o ponto (1, 1, -2) na função dada obtemos o resultado 5, ou seja, T(1, 1, -2) = 80/(1+1²+2.1²+3.(-2)²)
= 80/16 = 5.
A I apenas.
B I e II apenas.
C I e III apenas.
D II e III apenas.
E I, II e III.
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QUESTÃO 03 | Objetiva Código: 259179
No decorrer da disciplina, veremos que é possivel estender a ideia de integral definida para funções de duas ou mais
variáveis. Iniciamos com integração de funções reais de duas variáveis reais, assim, a região de integração é uma região
do plano R². Com relação ao conceito de integrais duplas, analise as afirmativas seguintes.
É correto o que se afirma em:
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Integrais Duplas", na página 136, da unidade IV do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
I.
 
II. O volume do sólido é obtido resolvendo a integral
III. A rosácea é a figura
Assim, a área será
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A II apenas.
B III apenas.
C I e II apenas.
D II e III apenas.
E I, II e III.
QUESTÃO 04 | Objetiva Código: 259566
.
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Integrais Duplas", na página 136, da unidade IV do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
A região de integração é representada pelo gráfico abaixo, onde a variação de y é dada iniciando na parabora e
finalizando na reta (y=x² até y=6-x) e a variação de x é dada em zero até a intersecção entre a parabola e a reta, ou
seja, x²=6-x => x'=-3 e x''=2, mas como o limitenate inferior é x=0 tomamos x=2 (x=0 até x=2). Portanto temos:
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A
B
C
D
E
QUESTÃO 05 | Objetiva Código: 259575
Assinale a alternativa que apresenta o valor da integral dupla:
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Integrais Duplas", na página 136, da unidade IV do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
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A 2.
B 6.
C 18.
D 20.
E 30.
QUESTÃO 06 | Objetiva Código: 259658
.
 
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Integrais Triplas", na página 178, da unidade IV do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
Trata-se de primeiro octante, sendo que temos dois angulos e o raio da esfera como intervalos de variação, assim o
raio varia de zero a três, enquanto os angulos variam entre zero a 90°.
Pois, 
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A
B
C
D
E
QUESTÃO 07 | Objetiva Código: 69236
As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de
forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada. Neste sentido, calcule dz/dt para z = sen (xy), dado que
x = 3t e y = t2 .
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Regra da Cadeia", na página 96, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
Temos z=sen(xy) com x=3t e y=t², assim z = sen(3t.t²) = sen(3t³). Aplicando a derivada obtemos dz/dt =
d(sen(3t³))/dt.
Pela regra da cadeia, temos dz/dt = cos(3t³).3.3t² = cos(3t³).9t² = 9t².cos(3t³).
A 9t2.sen( t3 ).
B t2.cos( 3t3 ).
C 9t2.cos( t3 ).
D 9t2.cos( 3t3 ).
E 9t2.sen(3 t3 ).
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QUESTÃO 08 | Objetiva Código: 118828
Uma fábrica de embalagens produziu um lote de caixas retangulares, cuja soma do comprimento e perímetro do corte transversal é igual a 216 cm, conforme figura dada a
seguir. Calcule as dimensões da caixa de maior volume que satisfaz a condição dada.
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais", na página 102, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
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A 40cm×28cm×90cm.
B 32cm×38cm×90cm.
C 36cm×36cm×72cm.
D 32cm×32cm×108cm.
E 38cm×38cm×140cm.
QUESTÃO 09 | Objetiva Código: 118830
Dada a função f (x, y, x) = 4x ln(yz) + 4yz, analise as afirmativas seguintes.
É correto o que se afirma em:
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Derivadas Parciais", na página 85, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
I - Temos que fx corresponde a derivada com relação a x, assim ln(yz) e 4yz são constantes, portanto fx = 4ln(yz).
II - Temos que fxy corresponde, primeiramente, a derivada com relação a x e depois com relação a y, dessa forma
inicialmente ln(yz) e 4yz são constantes, assim fx = 4ln(yz), agora, aplicando a regra da cadeia, fxy = 4.1/(yz).z = 4/y.
III - Temos fyz corresponde, primeiramente, a derivada com relação a y e depois com relação a z, dessa forma
inicialmente x e z são constantes, assim fy = 4x.1/yz.z+4z=(4x)/y+4z, agora, fyz = 0+4 = 4.
IV - Temos fzz corresponde a derivada segunda com relação a z, dessa forma x e y são constantes, assim fz =
4x.1/yz.y+4y=(4x)/z+4y, agora, fzz = 4x.(-1/z²) = -(4x)/z².
A I e II, apenas.
B III e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D II, III e IV, apenas.
E I, II, III e IV.
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QUESTÃO 10 | Objetiva Código: 118836
Considere as funções f(x, y) = x2 + 2y2 e g(x, y) = x2 + y2 - 1. Calcule os valores extremos de f sob a restrição g.
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Multiplicadores de Lagrange", na página 119, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e
Integral II. Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
Temos que f(x,y)=x²+2y² e desejamos encontrar seus extremos sob a restrição g(x,y)=x²+y²-1. Por definição que ∇f =
(2x,4y) e ∇g = (2x,2y) e pelo metodo dos multiplicadores de Lagrange, se f(x,y) e g(x,y) forem representadas por
superficies de nível obtidas igualando ambas as funções a zero, então os vetores gradientes serão paralelos onde as
superfícies tocarem. Em qualquer ponto de contato deveria ser possivel encontrar um k escalar tal que ∇f = k∇g, ou
seja, (2x,4y) = k(2x,2y).
Assim temos um sistema formado por três equações: 2x=2xk, 4y=2yk e x²+y²=1, pois para g(x,y)=0, temos x²+y²=1.
Note que: 2x=2xk => 2x-2xk=0 => 2x(1-k)=0 => x=0 ou k=1 e 4y=2yk => 4y-2yk=0 => 2y(2-k)=0 => y=0 ou k=2.
Substituindo os valores encontrados em nossa restrição x²+y²=1, obtemos os pontos A=(0,1), B=(0,-1), C=(1,0) e D=(-
1,0) e substitutindo na f(x,y) teremos f(0,1)=2, f(0,-1)=2, f(1,0)=1 e f(-1,0)=1. Assim temosque o máximo é igual a 2
e o mínimo é igual a 1.
A O máximo é igual a 1 e o mínimo é igual a 0.
B O máximo é igual a 2 e o mínimo é igual a 0.
C O máximo é igual a 3 e o mínimo é igual a 0.
D O máximo é igual a 2 e o mínimo é igual a 1.
E O máximo é igual a 3 e o mínimo é igual a 1.