GABARITO - UNICESUMAR 2019 - Cálculo 1 _ ATIVIDADE DE ESTUDO 4

Prévia do material em texto

UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 01 | Objetiva Código: 188879
Quando se tem por objetivo determinar uma função primitiva partindo de uma derivada pode-se integrar a função derivada. Para funções mais simples,
podemos aplicar as regras básicas de integração diretamente, no entanto, se a função for mais complexa, muitas vezes, uma função composta, é necessário
utilizar técnicas mais sofisticadas, como a integração por substituição. Dada a seguinte função.
​Analise as afirmações apresentadas, considerando duas casas decimais nos cálculos e arredondando a resposta final.
 
I) Adotando a constante de integração C = 5,31, a função integrada e calculada para x = 1 terá como resposta F(1) = 6.
II) A integral definida da função acima para os limites de integração de 1 a 3 é 5,80.
III) A integral definida da função acima para os limites de integração de 3 a 1 é -5,80.
 
É correto o que se afirma em:
 
Resposta esperada:
RISPOLDI, V.C., FRAGELLI, R.R., AMORIN, R.G.G, Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-Pr.: Unicesumar, 2018 [Unidade 6, pg 208 a 212].
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A I e II apenas.
B II e III apenas.
C I e III apenas.
D I, II e III.
E I apenas.
QUESTÃO 02 | Objetiva Código: 188881
A integral por partes é outra técnica de integração muito utilizada para resolver integrais complexas cuja aplicação de
técnicas das integrais por substituição não sejam suficientes. Utilizando a técnica de integração por partes, avalie a
função a seguir e encontre a primitiva.
​O valor da função primitiva calculada entre x = 0 e x = 2, com duas casas decimais é:
 
Resposta esperada:
RISPOLDI, V.C., FRAGELLI, R.R., AMORIN, R.G.G, Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-Pr.: Unicesumar, 2018
[Unidade 6, pg 213 a 218].
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A 5,32.
B 6,25.
C 7,82.
D 8,39.
E 9,41.
QUESTÃO 03 | Objetiva Código: 188885
A derivada permite calcular a taxa de variação de uma determinada função, sendo aplicada tanto para funções de uma
variável ou mais variáveis. A derivada de funções com mais de uma variável real é chamada de derivada parcial. Neste
contexto, determine a derivada parcial da seguinte função.
​E analise as afirmações apresentadas.
I) A derivada parcial da função em relação a x, calculada para x = 1 e y = 2 é igual a 8.
II) A derivada parcial da função em relação a y, calculada para x = 1 e y = 2 é igual a 0,4.
III) A derivada parcial da função em relação a x, calculada para x = 0 e y = 1 é igual a 10.
 
É correto o que se afirma em:
 
Resposta esperada:
RISPOLDI, V.C., FRAGELLI, R.R., AMORIN, R.G.G, Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-Pr.: Unicesumar, 2018
[Unidade 8, pg 300 a 306].
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A II e III apenas.
B I e III apenas.
C I e II apenas.
D II apenas.
E I, II e III.
QUESTÃO 04 | Objetiva Código: 189770
As regras de derivação podem ser aplicadas tanto a funções de uma variável independente quanto a funções de mais
de uma variável independente. Se a função for composta, ainda assim, é possível derivá-la e analisar a função nestas
condições. Considere a seguinte função de x e y
​Sendo x e y funções de uma variável t, na forma:
​Tendo por objetivo encontrar a derivada da função f(x), assinale a alternativa que apresenta a derivada de f(x,y)
calculada para t = 2.
 
Resposta esperada:
RISPOLDI, V.C., FRAGELLI, R.R., AMORIN, R.G.G, Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-Pr.: Unicesumar, 2018
[Unidade 8, pg 307 a 312].
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A 85.
B 105.
C 125.
D 138.
E 155.
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 05 | Objetiva Código: 189771
O custo de produção de dois itens é dado pela função.
​Sendo C(x,y) o custo em R$, x e y as quantidades (em unidades) de cada item. Determine os valores de x e y que minimizam a função custo,
calcule o custo mínimo e assinale a alternativa correta, utilizando arredondamento matemático para os valores de x e y, considerando o
próximo número inteiro.
 
Resposta esperada:
RISPOLDI, V.C., FRAGELLI, R.R., AMORIN, R.G.G, Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-Pr.: Unicesumar, 2018 [Unidade 9, pg 325 a 331].
 
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A x = 4, y = 10 e C = R$1292,00.
B x = 5, y = 5 e C = R$1350,00.
C x = 10, y = 4 e C = R$1436,00.
D x = 2, y = 15 e C = R$1273,00.
E x = 15, y = 2 e C = R$1548,00.
QUESTÃO 06 | Objetiva Código: 248280
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função
cresce mais rápido. Dada a função f (x,y) = x4y - x2y3, determine a direção de maior crescimento desta função no ponto
P(2,-3).
Resposta esperada:
O vetor gradiente da função é composto por suas derivadas parciais, isto é,
.
Substituindo o ponto P(2, -3) temos
.
A direção de maior crescimento deve ser unitária, assim,
A
B
C
D
E
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 07 | Objetiva Código: 248285
Uma função de várias variáveis também apresenta pontos de máximos e mínimos. Dada a função f (x,y) = y3 + 3x2y - 6x2 - 6y2 + 2, analise
as afirmativas a seguir:
I. A função f possui dois pontos de sela.
II. A função f possui quatro pontos críticos, a saber: (0,0), (0,4), (2,2), (2,-2).
III. A função f possui um mínimo local no ponto (2,2).
IV. A função f possui um máximo local no ponto (0,0).
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
Resposta esperada:
Vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Calculando as derivadas parciais temos
Os pontos críticos de são aqueles que e .
Resolvendo temos
ou seja,
 
 ou 
Substituindo em temos
ou seja,
 
 ou 
Portanto, os pontos (0,0) e (0,4) são pontos críticos.
Substituindo, agora, em temos
Portanto, os pontos (2,2) e (-2,2) também são pontos críticos.
Usando o Teste da Segunda Derivada temos
Afirmativa I: Correta. 
Afirmativa II: Incorreta, pois o ponto (2,-2) não é crítico.
Afirmativa III: Incorreta, o ponto (2,2) é um ponto de sela.
Afirmativa IV: Correta. 
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A I, II e IV, apenas.
B II e IV, apenas.
C II, III e IV, apenas.
D I e IV, apenas.
E I e III, apenas.
QUESTÃO 08 | Objetiva Código: 248288
O gráfico de uma função z = f (x,y) é uma superfície no espaço tridimensional. Um plano tangente à superfície é um
plano que a toca em um único ponto. Seja P (x0,y0,z0) um ponto da superfície, à equação do plano tangente à superfície
será dada por
Determine a equação do plano tangente à superfície z0 = f (x,y) = x2 + 2y2 - 1 no ponto P (1,2,8).
 
Resposta esperada:
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais da função:
Note que , ou seja, . Substituindo os valores na equação do plano temos que
. 
A 2x + 8y - z - 10 = 0
B x + 4y + z - 1 = 0
C - 2x + 2y - 8z + 3 = 0
D - x + 4y + 2z - 2 = 0
E 2x - 8y + 2z - 5 = 0
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 09 | Objetiva Código: 248292
Para calcular a área de uma região definida por duas funções devemos ser cuidadosos em relação aos pontos de
interseção das funções e o intervalo no qual a região está definida. Calcule a área da região compreendida entre os
gráficos de f (x) = x e g (x) = x2 no intervalo [0,2]. Assinale a alternativa correta.
Dica: Separe o cálculo em duas integrais.
Resposta esperada:
Primeiro devemos verificar se no intervalo de [0,2] as funções se interceptam. Assim, tomando 
concluímos que e são os pontos de interseção. Analisando as funções:
No intervalo [0,1] temos que .
No intervalo de [1,2] temos que .
Assim, a área da região limitada pelasfunções e no intervalo [0,2] será
 
A 1
B -2/3
C 2/3
D 1/6
E 2
UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 10 | Objetiva Código: 248295
O volume de um sólido pode ser calculado usando a integral definida. Se o sólido S está definido entre os valores de x
= a e x = b e A (x) é a área de uma seção transversal deste, temos que seu volume é
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva f (x) = y = √x sendo 0≤x≤1.
 
Resposta esperada:
Primeiro vamos determinar a área de uma seção transversal do sólido, esta é dada por
.
Aplicando a fórmula para o volume obtemos
 
A V = π/2
 
B V = 2/3
 
C V = 1/3
 
D V = 2π/2
 
E V = π/3