GEOMETRIA ESPACIAL: Pirâmide

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PIRÂMIDE 
 
 
Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a 
leitura e a representação da realidade e agir sobre 
ela. 
 
 
Identificar características de figuras planas ou espaci-
ais. 
 
Resolver situação-problema que envolva conhecimen-
tos geométricos de espaço e forma. 
 
Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma 
na seleção de argumentos propostos como solução de 
problemas do cotidiano. 
 
 
 
1. PIRÂMIDE 
 
 
Ao falar de Pirâmides, automaticamente vem a nossa 
cabeça as belíssimas Pirâmides do Egito. Perceba na 
foto que este sólido é formado por um vértice V a uma 
certa altura do solo e por segmentos de reta com uma 
extremidade em V e outra extremidade no polígono con-
tido no plano do solo. 
 
1.1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. ÁREA LATERAL: L
n.x.g
A
2
= 
Sendo: 
 n – número de faces laterais, 
 x – medida da aresta da base; 
 g – altura da face lateral. 
 
1.3. ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE 
= +
total Base L
A A A 
1.4. VOLUME DA PIRÂMIDE 
=
base
1
V .A .h
3
 
1.5. TETRAEDRO REGULAR 
 
 
 
 
 
1. Dada uma pirâmide de base quadrangular regular de 
aresta da base 8 cm, altura 3 cm, calcule: 
 
 
a) Volume 
b) Apótema da base. 
c) Apótema da pirâmide. 
d) Área lateral. 
e) Área total. 
 
 
 
 
 
2. Dado um tetraedro regular de aresta 3 dm, deter-
mine: 
 
a) Apótema da base. 
b) Apótema da pirâmide. 
c) Altura da pirâmide. 
d) Área da base. 
e) Área lateral. 
f) Área total. 
g) Volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma pirâmide regular hexagonal, a altura mede 4m e 
o apótema da base mede 3m, calcule: 
 
 
 
a) Apótema da pirâmide. 
b) Lado da base 
c) Área da base 
d) volume 
e) Área lateral 
f) Área total. 
 
 
 
 
 
 
 
1. (UEPA) Uma indústria que produz perfumes a base 
de essências genuínas da Amazônia resolveu inovar 
nas embalagens de seus produtos para chamar a 
atenção do consumidor. O cheiro do Pará, por exemplo, 
foi engarrafado em frascos no formato de uma pirâmide 
quadrangular regular de altura 15cm e perímetro da 
base 20cm. o volume de um desses frascos é: 
 125cm3 
 150 cm3 
 250cm3 
 300cm3 
 375cm3 
 
 
2. (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um 
quadrado de diagonal 66 e a altura é igual a 
3
2
 do 
lado da base, tem área total igual a: 
a2
3H
A
O
V
a
 
 96 3 cm2 84 3 cm2 
 252cm2 576 cm2 
 288 cm2 
 
3. (UFPA) O volume de uma pirâmide regular 
quadrangular cujas faces laterais são triângulos 
equiláteros de 4 cm de lado vale: 
 
 
3
216
cm3 
 
3
232
cm3 
16 2 cm3 
 
3
220
cm3 
32 2 cm3 
 
4. Suponha que a figura a seguir, represente a forma 
geométrica de um galpão multiuso de uma fazenda. No 
mesmo todas as aresta possuem mesmo valor de 6m. 
Assim sendo, o volume total interno desse galpão, vale 
em m3: 
 
 
 
32 + 2 
 32 (3 + 2 ) 
 72 (6 + 3 ) 
 72 (6 + 2 ) 
 18 (3 + 3 ) 
5. A área total de um octaedro regular é regular 6 3
cm2, seu volume é: 
 
 
 6 cm3 
 2 6 cm3 
 3 6 cm3 
 5 6 cm3 
 7 6 cm3 
 
6. (CESUPA) Uma tenda tem a forma de um tetraedro 
regular, com 24 3 m2 de área total. A altura da tenda é, 
em metros, igual a: 
 8 3 
 8 
 4 
 4 2 
 
7. Um peso maciço para papel é feito de vidro e tem a 
forma um tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm. 
Sabendo que a densidade do vidro é igual a 2,60g/cm3, 
qual a massa desse pedaço de papel? (Use 4,12 = ) 
 
 75,52g 
 65,52g 
 85,52g 
 55,52g 
 15,52g 
 
8. Calcule o volume de uma pirâmide reta de 15 m de 
altura, cuja base é um triângulo de lados 5 m, 8m e 11 
m. 
 214 m 
 2110 m 
 220 m 
 212 m 
 2120 m 
 
 
 
9. (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em 
forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de 
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são forma-
das por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâ-
mide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior 
—, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base su-
perior de cada bloco é igual à base inferior do bloco so-
breposto, com uma haste de ferro passando pelo centro 
de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, reti-
rando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de 
aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto 
ele passará a gastar com parafina para fabricar uma 
vela? 
 
 
 156 cm3. 
 189 cm3. 
 192 cm3. 
 216 cm3. 
 540 cm3. 
 
10. (ENEM) Uma indústria fabrica brindes promocionais 
em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de 
quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. 
No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e 
a pirâmide obtida a partir dele. 
 
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os 
mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. 
Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD
, BC , AB e CD nessa ordem. Após os cortes, são des-
cartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descar-
tados são 
 
 todos iguais. 
 todos diferentes. 
 três iguais e um diferente. 
 apenas dois iguais. 
 iguais dois a dois. 
 
11. (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de 
embalagens e decidiu vender caixas com diferentes 
formatos. Nas imagens apresentadas estão as 
planificações dessas caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a 
partir dessas planificações? 
 Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
 Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
 Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
 Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
 Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
12. (ENEM) João propôs um desafio a Bruno, seu colega 
de classe: ele iria descrever um deslocamento pela 
pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção 
desse deslocamento no plano da base da pirâmide. 
] 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pi-
râmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a 
seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O 
desenho que Bruno deve fazer é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. (ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato 
interceptando uma pirâmide de base quadrada com um 
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que 
poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter 
uma das faces pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do 
artesão? 
 Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas late-
rais e a interseção de um plano com a pirâmide inter-
cepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos for-
mam um polígono de 4 lados. 
 Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangu-
lares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, di-
vide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um 
dos polígonos tem 4 lados. 
 Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a in-
terseção de uma face com um plano é um segmento 
de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o 
polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. 
O número de lados de qualquer polígono obtido como 
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao nú-
mero de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 fa-
ces, o polígono tem 5 lados. 
 O número de lados de qualquer polígono obtido inter-
ceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao nú-
mero de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide 
tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
A 
02 
C 
03 
B 
04 
D 
05 
A 
06 
C 
07 
B 
08 
E 
09 
B 
10 
E 
11 
A 
12 
C 
13 
C 
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