Integral de Linha

Prévia do material em texto

APS – CÁLCULO AVANÇADO E NÚMEROS COMPLEXOS 
ALUNO: FÁBIO VALASQUES 
MATRÍCULA: 031180026 
ENG.ELÉTRICA 
 
1) Calcule a integral de linha, onde 𝐶 é a curva dada. 
 
a) ∫ 𝐲 𝐝𝐬 
𝐜
𝐶:𝑟⃗ (𝑡)=(𝑡²,2𝑡), 0≤𝑡≤3. 
 
Seja r = xi + yJ + zk⃗ onde dz=0 
r = xi + yJ 
 
Ou seja, r = t² i + 2t J 
 
ⅆx
ⅆt
 =
ⅆ(t2)
ⅆt
 
ⅆy
ⅆt
 =
ⅆ(2t)
ⅆt
 ⅆs = √(
ⅆx
ⅆt
)
2
+ (
ⅆy
ⅆt
)
2
+ (
ⅆz
ⅆt
)
2
ⅆt Logo: 
 
ⅆx
ⅆt
 =2t 
ⅆy
ⅆt
 =2 ⅆs = √(2t)2 + (2)2 + (0)2 ⅆt ⅆs = √4t² + 4 ⅆt 
 
 ⅆs = 2√t² + 1 ⅆt 
 
 
 
Substituindo y=t e ds=dt, temos: 
 
∫ 4t √t² + 1 ⅆt 
3
0
= 4∫ t √t² + 1 ⅆt 
3
0
, usando substituição temos: u=t²+1 e dt = 
1
U′
ⅆu 
 
Logo: 
 
= 4∫ t √t² + 1 
1
2t
ⅆu 
3
0
= 4∫ 
1
2
√t² + 1 ⅆu 
3
0
= 2∫ √u ⅆu 
3
0
= 2∫ (u)
1
2 ⅆu 
3
0
 
 
Resolvendo a integral - 2∫ (u)
1
2 ⅆu 
3
0
 
 
= 2
u
1
2
+1
1
2
+1
 = 2
u
3
2
3
2
 = 2
2u
3
2
3
 = 2
2√u³
3
 = 2
2u√u
3
 
 
Substituindo novamente t²+1 = u em 2
2u√u
3
 , temos: 
 
2
2(t2+1)√t2+1
3
 = 
4√t2+1 (t2+1)
3
 
 
 
Aplicando os limites de integração de 0 até 1, temos: 
 
4√32+1 (3+1)
3
 - 
4√02+1 (0+1)
3
 = 
4√32+1 (9+1)
3
 - 
4√1 .1)
3
 = 
40√9+1
3
 - 
4
3
 = 
40√10−4
3
 = 40,83037 
 
 
b)∫𝐱𝐞𝐲𝐳 𝐝𝐬
𝐜
 𝐶:𝑟⃗ (𝑡)= (𝑡, 2𝑡, 3𝑡), 0≤𝑡≤1. 
Seja r = xi + yJ + zk⃗ 
 
Ou seja, r = t i + 2t J + 3t k⃗ 
 
ⅆx
ⅆt
 =
ⅆ(t)
ⅆt
 
ⅆy
ⅆt
 =
ⅆ(2t)
ⅆt
 
ⅆy
ⅆt
 =
ⅆ(3t)
ⅆt
 
 
ⅆx
ⅆt
 =1 
ⅆy
ⅆt
 =2 
ⅆy
ⅆt
 =3 
 
 
 
ⅆs = √(
ⅆx
ⅆt
)
2
+ (
ⅆy
ⅆt
)
2
+ (
ⅆz
ⅆt
)
2
ⅆt Logo: 
 
ⅆs = √(1)2 + (2)2 + (3)2 ⅆt 
 
ⅆs = √9 + 4 + 1ⅆt ⅆs = √14 
 
 
 
Substituindo x=t, y=2t, z=3t e ds=dt, temos: 
 
∫ t. 𝐞2t.3t√14 ⅆt 
1
0
 = ∫ 𝑡𝐞6t
2
√14ⅆt 
1
0
 = √14∫ 𝑡𝐞6t
2
ⅆt 
1
0
 
 
usando substituição temos: u=6t2 , 𝑑𝑢=12t.dt, 
ⅆu
12
 = t.dt , logo: 
√14∫ 𝐞u.
ⅆu
𝟏𝟐
 
1
0
 = √14.
1
𝟏𝟐
 = √14.
1
𝟏𝟐
. (𝐞u) 
 
Aplicando os limites de integração de 0 até 1, temos: 
= 
√14.
𝟏𝟐
. (𝐞𝟔.𝟏
𝟐
− 𝐞𝟔.𝟎
𝟐
 ) = 
√14.
𝟏𝟐
. (𝐞𝟔 − 𝟏 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐅 sobre um objeto que se move sobre 
a curva 𝐶. 
 
a) 𝐅 (x, y) = xy² 𝐢 ⃗ - x² 𝐢 C: 𝐫 (t) = (t³, t²), 0≤𝑡≤1. 
 
F⃗ ( r (𝑡)) = F⃗ (t³, t²) = t7i − t6J 
 
r ′(t) = 3t2, 2t 
 
F⃗ ( r (𝑡)). r ′(t) = 3t9 − 2t7...... Logo: 
 
∫ F⃗ ⋅ ⅆr
c
 = ∫ 3t9 − 2t7 
1
0
dt = ∫ 3t9 
1
0
ⅆt -∫ 2t7 
1
0
ⅆt = 
 3t10 
10
 - 
 t8 
4
 
 
Aplicando os limites de integração de 0 até 1, temos: 
 
= (
 3.110 
10
 - 
 18 
4
) - (
 3.010 
10
 - 
 0
4
) = 
 1 
20
 
 
b) 𝐅 (x, y, z) = sen (𝑥) 𝑖⃗ +cos (𝑦) 𝑗⃗ +𝑥𝑧 𝑘⃗ C: 𝐫 (t) = (t³, -t², t), 0≤𝑡≤1. 
 
F⃗ ( r (𝑡)) = F⃗ (t³, -t², t) =sen (t3)i + cos (t³) J⃗ + t4 k⃗ 
 
r ′(t) = 3t2, −2t, 1 
 
F⃗ ( r (𝑡)). r ′(t) = 3t2 sen (t3)i − 2t cos (t2) J⃗ + t4 k⃗ ...... Logo: 
 
∫ F⃗ ⋅ ⅆr
c
 
 
Integrando por partes, temos: 
Para 𝐢 
= ∫ 3t² sen(t3)ⅆt 
1
0
= 3∫ sen(t3)ⅆt 
1
0
 usando substituição temos: dt = 
1
U′
ⅆu, onde u = t³ e 
u’ = 3t², Logo; 
 
= 3∫
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
3
 ⅆu 
1
0
 = ∫ sen(u) ⅆt 
1
0
 = - cos(u), substituindo u = t³, temos: 
 
= -cos(t³) = -cos(t³), aplicando o limite de integração de 0 até 1, temos: 
 
= - cos(1³) + cos(0³) = -cos (1) +1 
Para �⃗⃗� 
= ∫ −2t cos(−t2)ⅆt 
1
0
 = −2∫ cos(−t2)ⅆt 
1
0
 usando substituição temos: dt = 
1
U′
ⅆu, onde u = 
-t² e u’ = -2t, Logo; 
 
= −2∫ −
cos(u)
2
 ⅆu 
1
0
 = ∫ cos(u) ⅆt 
1
0
 = sen(u), substituindo u = -t², temos: 
 
= sen(-t²) = - sen(t²), aplicando o limite de integração de 0 até 1, temos: 
 
= - sen(1²) + sen(0²) = -sen (1) 
Para 𝐤⃗⃗ ⃗ 
 = ∫ t4ⅆt 
1
0
 = 
𝑡5
5
, aplicando o limite de integração de 0 até 1, temos: 
 = 
15
5
 - 
06
6
 = 
1
5
 
 
1,2 - cos (1) – sen (1) 
 
 
 
3) Determine uma função potencial para o campo de força 𝐹⃗ e use-a para calcular o 
trabalho realizado pelo campo sobre um objeto que se move sobre a curva 𝐶. 
 
𝒂) 𝐅 (x, y) = x²y³ 𝑖⃗ +x³y² 𝑗⃗ C: 𝐫 (t) = (t³-2t, t³+2t), 0≤𝑡≤1. 
 
𝐟 (x, y) = ∫ x³y² ⅆy = 
y3
3
 .x³ + C (x) =
1
3
 .(yx)³ + C(x) …. Função Candidata 
 
ⅆ
ⅆx
 
y3
3
 .x³ + C (x) = 3x².
y3
3
 + C’(x) = x²y³ + C’(x) ……… 
ⅆ
ⅆx
 x²y³ 
 
Logo C’(x) = 0, não ⅆepende de x. 
 
F⃗ (x, y)=
1
3
 .(yx)³ + C …. Função Potencial 
 
r (0) = (0, 0) r (1) = (-1, 3) 
 
 
𝑤 = ( 
1
3
 . -1³.3³) - (
1
3
 .0³.0³) = (-9) – (0) ... W = -9 
 
 
𝒃) 𝐅 (x, y, z) = yz 𝑖⃗ +xz 𝑗⃗ + (xy +2z) 𝑘⃗ C: 𝐫 (t) = (1+3t, 6t, 5t-2), 0≤𝑡≤1. 
 
𝐟 (x, y, z) = ∫ (xy + 2z) ⅆz = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑧2 + 𝐶 (x, y) …. Função Candidata 
 
Derivando em relação a x, temos: 
ⅆ
ⅆx
𝑥𝑦𝑧 + 𝑧2 + 𝐶 (x, y) = yz + C’ (x, y) ……… 
ⅆ
ⅆx
 yz 
 
Logo C’(x) = 0, não ⅆepende de x. 
 
Derivando em relação a y, temos: 
ⅆ
ⅆx
𝑥𝑦𝑧 + 𝑧² + 𝐶 (y) = xz + C’(y) ……… 
ⅆ
ⅆx
 xz 
 
Logo C’(y) = 0, não depende de y. 
 
F⃗ (x, y, z)= 𝑥𝑦𝑧 + 𝑧²+ C …. Função Potencial 
 
r (0) = (1, 0, -2) r (1) = (4, 6, 3) 
 
 
𝑤 = ((1 + 3). (6). (5 − 2) + (5 − 2)²) - ((1). (0). (−2) + (-2)²) = (81) – 4 ... W = 77