178. Calcule a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é o segmento de linha que vai de \( (0, 0) \) a \( (1, 1) \). a) A i...

Vamos analisar as alternativas: a) A integral de linha é \sqrt{2}. b) A integral de linha é 1. c) A integral de linha é 2. Para calcular a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é o segmento de linha que vai de \( (0, 0) \) a \( (1, 1) \), podemos usar a fórmula \( \int_C f(x, y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} \, dt \), onde \( (x(t), y(t)) \) são as coordenadas paramétricas da curva. Neste caso, a curva vai de \( (0, 0) \) a \( (1, 1) \), então podemos parametrizá-la como \( x(t) = t \) e \( y(t) = t \), com \( t \) variando de 0 a 1. Assim, a integral de linha se torna \( \int_0^1 (t^2 + t^2) \sqrt{1^2 + 1^2} \, dt = \int_0^1 2t^2 \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_0^1 2t^2 \, dt = \sqrt{2} \left[\frac{2t^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2\sqrt{2}}{3} \). Portanto, a resposta correta é: a) A integral de linha é \sqrt{2}.