Expansão do potencial para uma distribuição arbitrária de carga localizada

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1
0.1 Expansão do potencial para uma distribuição arbitrária de carga loca-
lizada
Considere um distribuição de cargas dada pela densidade ρ, restrita a uma região do espaço finita do espaço Ω (note que
Ω está completamente contida em uma esfera de raio finito R):
Sabemos que o potencial produzido por essa distribuição pode ser escrito como
V (~r) =
∫∫∫
Ω
kρ (~r′) dτ ′
|~r − ~r′|
.
Como, em geral, estamos interessados no potencial longe da distribuição de cargas, vamos supor que r > R (isso garante
que r é sempre maior que r′) e escrever
|~r − ~r′| =
√
(~r − ~r′)2
=
[
r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′
]1/2
= r
[
1 +
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
]1/2
= r [1 + �]
1/2
,
onde � é dado por
� =
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′ =
r′
r
(
r′
r
− 2 cos θ′
)
.
Podemos escrever agora, expandindo em �,
1
|~r − ~r′|
=
1
r [1 + �]
1/2
=
1
r
(
1− 1
2
�+
3
8
�2 − 5
16
�3 +
35
128
�4 − 63
256
�5 + ...
)
ou, em termos de r, r′ e θ′,
1
|~r − ~r′|
=
1
r
{
1− 1
2
r′
r
(
r′
r
− 2 cos θ′
)
+
3
8
[
r′
r
(
r′
r
− 2 cos θ′
)]2
− 5
16
[
r′
r
(
r′
r
− 2 cos θ′
)]3
+ ...
}
=
1
r
{
1− 1
2
(
r′
r
)(
r′
r
− 2 cos θ′
)
+
3
8
(
r′
r
)2(
r′
r
− 2 cos θ′
)2
− 5
16
(
r′
r
)3(
r′
r
− 2 cos θ′
)3
+ ...
}
=
1
r
{
1− 1
2
(
r′
r
)(
r′
r
− 2 cos θ′
)
+
3
8
(
r′
r
)2 [(
r′
r
)2
− 2
(
r′
r
)
(2 cos θ′) + (2 cos θ′)
2
]
− 5
16
(
r′
r
)3 [(
r′
r
)3
− 3
(
r′
r
)2
(2 cos θ′) + 3
(
r′
r
)
(2 cos θ′)
2 − (2 cos θ′)3
]
+ ...
}
=
1
r
[
1 +
(
r′
r
)
cos θ′ +
(
r′
r
)2(
−1
2
+
3
2
cos2 θ′
)
+
(
r′
r
)3(
−3
2
cos θ′ +
5
2
cos3 θ′
)
+ ...
]
.
Vamos introduzir os polinômios de Legendre
2
n Pn (x)
0 1
1 x
2
(
−1 + 3x2
)
/2
3
(
−3x+ 5x3
)
/2
4
(
3− 30x2 + 35x4
)
/8
... ...
Usando esses polinômios, podemos escrever
1
|~r − ~r′|
=
1
r
[
P0 (cos θ
′) +
(
r′
r
)
P1 (cos θ
′) +
(
r′
r
)2
P2 (cos θ
′) +
(
r′
r
)3
P3 (cos θ
′) + ...
]
=
1
r
∞∑
n=0
(
r′
r
)n
Pn (cos θ
′)
=
∞∑
n=0
(r′)
n
rn+1
Pn (cos θ
′)
Importante
1
|~r − ~r′|
=
∞∑
n=0
(r′)
n
rn+1
Pn (cos θ
′) , r > r′
1
|~r − ~r′|
=
∞∑
n=0
rn
(r′)
n+1Pn (cos θ
′) , r′ > r
Assim o potencial é escrito como
V (~r) =
∫∫∫
Ω
kρ (~r′) dτ ′
|~r − ~r′|
=
∫∫∫
Ω
kρ (~r′) dτ ′
[
1
r
∞∑
n=0
(
r′
r
)n
Pn (cos θ
′)
]
= k
∞∑
n=0
1
rn+1
∫∫∫
Ω
r′nPn (cos θ
′) ρ (~r′) dτ ′.
Portanto,
V (~r) = k
∞∑
n=0
1
rn+1
∫∫∫
Ω
r′nPn (cos θ
′) ρ (~r′) dτ ′.
Isso é chamado expansão multipolar do potencial V . O termo n = 0 corresponde à contribuição monopolar; o termo
n = 1 corresponde à contribuição dipolar; o termo n = 2 corresponde à contribuição quadrupolar; etc.
0.2 Expansão multipolar em coordenadas cartesianas
Vamos expandir o termo |~r − ~r′|−1em série de Taylor em ~r′ e escrever
1
|~r − ~r′|
=
1
r
− ~r′ · ∇1
r
+
1
2
(~r′ · ∇)2 1
r
− ... =
∞∑
n=0
(−1)n
n!
(~r′ · ∇)n 1
r
.
Então, podemos escrever o potencial como
3
V (~r) =
∫∫∫
Ω
kρ (~r′)
|~r − ~r′|
dτ ′
=
∫∫∫
Ω
kρ (~r′) dτ ′
∞∑
n=0
(−1)n
n!
(~r′ · ∇)n 1
r
=
∞∑
n=0
(−1)n
n!
∫∫∫
Ω
kρ (~r′)
[
(~r′ · ∇)n 1
r
]
dτ ′
= k
[∫∫∫
Ω
ρ (~r′) dτ ′
]
1
r
− k
∑
i
[∫∫∫
Ω
ρ (~r′)x′idτ
′
]
∂
∂xi
1
r
+ k
∑
i,j
[
1
2!
∫∫∫
Ω
ρ (~r′)x′ix
′
jdτ
′
]
∂2
∂xi∂xj
1
r
−k
∑
i,j,k
[
1
3!
∫∫∫
Ω
ρ (~r′)x′ix
′
jx
′
kdτ
′
]
∂3
∂xi∂xj∂xk
1
r
+ ...
Chamamos de momento de monopolo elétrico a carga total
Q =
∫∫∫
Ω
ρ (~r′) dτ ′.
Chamamos de momento de dipolo elétrico o vetor
pi =
∫∫∫
Ω
ρ (~r′)x′idτ
′.
Chamamos de momento de quadrupolo elétrico1 o tensor de ordem 2
Qij =
1
2!
∫∫∫
Ω
ρ (~r′)x′ix
′
jdτ
′.
Chamamos de momento de octopolo elétrico o tensor de ordem 3
Qijk =
1
3!
∫∫∫
Ω
ρ (~r′)x′ix
′
jx
′
kdτ
′.
Com essas definições, podemos escrever o potencial como
V (~r) = k
Q
r
−
∑
i
pi
∂
∂xi
1
r
+
∑
i,j
Qij
∂2
∂xi∂xj
1
r
−
∑
i,j,k
Qijk
∂3
∂xi∂xj∂xk
1
r
+ ...

= k
Q
r
+
∑
i
pixi
r3
+
∑
i,j
Qij
3xixj − r2δij
r5
+
∑
i,j,k
Qijk
15xixjxk − 3r2 (xiδjk + xjδik + xkδij)
r7
+ ...

0.3 Os termos de monopolo e de dipolo
O potencial do monopolo é dado por
Vmonopolo (~r) =
k
r
∫∫∫
Ω
ρ (~r′) dτ ′ =
kQ
r
,
onde Q é a carga total da configuração. Se Q 6= 0, esse é o termo dominante do potencial.
Se a carga total é zero, a contribuição do monopolo é zero, e o próximo termo candidato a termo dominante será o de
dipolo:
Vdipolo (~r) =
k
r2
∫∫∫
Ω
r′P1 (cos θ
′) ρ (~r′) dτ ′
=
k
r2
∫∫∫
Ω
r′ cos θ′ρ (~r′) dτ ′
1Essa definição pode variar de autor para autor. Por exemplo, o livro do Jackson, Classical Electrodynamics, define de forma diferente:
Qij =
∫∫∫
Ω
(
3x′ix
′
j − r′2δij
)
ρ (~r′) dτ ′.
4
Como θ′ é o ângulo entre ~r e ~r′, podemos escrever
r′ cos θ′ = r̂ · ~r′
e
Vdipolo (~r) =
k
r2
∫∫∫
Ω
r̂ · ~r′ρ (~r′) dτ ′
=
k
r2
r̂ ·
∫∫∫
Ω
~r′ρ (~r′) dτ ′
Chamamos de momento de dipolo, ~p, da distribuição, a integral aparecendo na expressão acima (que independe de ~r)
~p =
∫∫∫
Ω
~r′ρ (~r′) dτ ′.
Assim, a contribuição do dipolo para o potencial pode ser escrita suscintamente como
Vdipolo (~r) =
k~p · r̂
r2
.
Exemplo
Para um dipolo constituído de duas cargas pontuais q e −q separadas por uma distância d, podemos escrever
ρ (~r) = qδ(3) (~r − ~r+)− qδ(3) (~r − ~r−)
e
~p =
∫∫∫
Ω
~r′ρ (~r′) dτ ′
=
∫∫∫
Ω
~r′
[
qδ(3) (~r′ − ~r+)− qδ(3) (~r′ − ~r−)
]
dτ ′
= q
∫∫∫
Ω
~r′δ(3) (~r′ − ~r+) dτ ′ − q
∫∫∫
Ω
~r′δ(3) (~r′ − ~r−) dτ ′
= q~r+ − q~r−
= q (~r+ − ~r−)
= q~d,
em que ~d é um vetor cujo módulo é igual a distância entre as cargas e o sentido é o da carga negativa para a carga
positiva (ver figura abaixo).
Neste caso, o potencial é
Vdipolo (~r) =
kq~d · r̂
r2
.
5
0.4 Campo elétrico de um dipolo
Vamos calcular o campo elétrico de um dipolo (cujo momento de dipolo é ~p) disposto como mostrado na figura abaixo.
Já descobrimos que o potencial de um dipolo é dado por
Vdipolo (~r) =
k~p · r̂
r2
,
Vdipolo (r, θ) =
kp cos θ
r2
.
O campo elétrico é dado por ~E = −∇V . Usando o gradiente em coordenadas esféricas, temos
~E = −
[
r̂
∂V
∂r
+ θ̂
1
r
∂V
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂V
∂φ
]
.
Assim,
(Edipolo)r = −
∂Vdipolo
∂r
=
2kp cos θ
r3
(Edipolo)θ = −
1
r
∂Vdipolo
∂θ
=
kp sin θ
r3
(Edipolo)φ = −
1
r sin θ
∂Vdipolo
∂φ
= 0
Portanto,
~Edipolo =
kp
r3
(
2 cos θr̂ + sin θθ̂
)
.
Esse campo pode ser escrito ainda como
~Edipolo = k
3r̂(~p · r̂)− ~p
r3
.