Apostila Eletricidade II JR - Edicao 10 - Novembro 2016

•
UFMG

paulo
01/11/2020
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Corrente Alternada 
 
 
 
10ª Edição – Novembro 2016 
 
 
 
Engº José Roberto Pereira 
 
 
 
 
 
 
 
1 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 1 
e_mail: jroberto_rio@yahoo.com.br 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Este trabalho é o resultado de muitos dias (e noites) de pesquisa, estudo, 
planejamento, organização, redação, desenho, compilação, cálculos, etc., e foi 
elaborado sem finalidade comercial ou sequer para obtenção de qualquer espécie de 
remuneração ou lucro financeiro. 
Seu objetivo é, unicamente, divulgar e propagar o seu conteúdo entre o maior 
número possível de pessoas, de modo a fomentar o saber e estimular o 
conhecimento. Espero assim que, de alguma forma, ele seja uma forma de 
contribuição para o aprimoramento e a elevação do espírito humano, e da evolução 
da nossa espécie. 
Por esta razão, o seu conteúdo não está protegido por qualquer tipo de patente ou 
“copyright”, sendo a sua cópia, distribuição e divulgação não apenas permitida, 
mas também (e principalmente) estimulada, no todo ou em parte, em qualquer tipo 
de mídia, seja ela física, eletrônica ou qualquer outra que, futuramente, possa 
surgir, desde que não seja vendida ou comercializada de qualquer forma e que a 
fonte seja devidamente citada. 
Acredito que, com este pequeno legado, estarei contribuindo, mesmo que 
humildemente, para fazer deste nosso mundo um lugar melhor para se viver. 
Serão muito bem-vindas quaisquer colaborações apontando eventuais erros ou 
sugerindo melhorias para este trabalho, que poderão ser enviadas para o e-mail do 
autor, indicado no rodapé. 
 
Rio de Janeiro, março de 2011. 
José Roberto Pereira 
 
 
 
“A principal meta da educação é criar homens que sejam capazes de fazer coisas 
novas, não simplesmente repetir o que outras gerações já fizeram. Homens que 
sejam criadores, inventores, descobridores. A segunda meta da educação é formar 
mentes que estejam em condições de criticar, verificar e não aceitar tudo que a 
elas se propõe.” 
(Jean Piaget) 
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Advertência 
 
Para a perfeita compreensão do conteúdo deste trabalho é necessário o conhecimento prévio 
de alguns conceitos básicos de matemática, cujo domínio é fundamental para o 
acompanhamento e a resolução dos exercícios propostos. Listamos abaixo os principais 
conceitos considerados pré-requisitos: 
 
- Quatro Operações Aritméticas Fundamentais: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão 
- Números Decimais e Operações com Números Decimais 
- Frações e Operações com Frações 
- Razões e Proporções – Regra de Três 
- Porcentagem 
- Potenciação 
- Radiciação 
- Sistemas de Medidas – Múltiplos e Submúltiplos 
- Notação Científica (Potência de 10) 
- Equações do Primeiro Grau 
- Sistemas de Equações do Primeiro Grau 
- Noções de Cálculo Vetorial 
- Trigonometria 
- Números Complexos (Forma Polar e Retangular) 
- Operações com Números Complexos 
- Logaritmos 
- Resolução de Triângulos Retângulos (Teorema de Pitágoras) 
 
Os conteúdos acima podem ser obtidos na bibliografia sugerida no final deste trabalho. 
Recomandamos enfaticamente o seu estudo, conhecimento e domínio. 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 – A Corrente Alternada 04 
CAPÍTULO 2 – Vetores e Quantidades Complexas 14 
CAPÍTULO 3 – Reatância e Impedância 19 
CAPÍTULO 4 – Circuitos de C.A. Monofásicos Ideais 22 
CAPÍTULO 5 – Circuitos Monofásicos de C.A. 27 
CAPÍTULO 6 – Ressonância 52 
CAPÍTULO 7 – Filtros Passivos 58 
CAPÍTULO 8 – Sistemas Polifásicos 71 
CAPÍTULO 9 – Harmônicas 84 
BIBLIOGRAFIA 87 
ÍNDICE 88 
 
 
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CAPÍTULO 1 
A CORRENTE ALTERNADA 
 
1.1 - Produção de uma tensão alternada senoidal 
No capítulo 13 da Apostila de Eletricidade I, estudamos a f.e.m. induzida num condutor que se 
movimenta num campo magnético, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos também que o seu valor instantâneo é dada pela expressão 
 
e = β . L . v . sen α 
onde: 
e = valor instantâneo da f.e.m. induzida no condutor, em Volts (V) 
β = densidade do fluxo magnético, em Teslas (T) 
L = comprimento da parte do condutor submetida ao campo magnético, em Metros (m) 
v = velocidade com que o condutor atravessa o campo, em (m/s) 
sen α = seno do ângulo entre a direção do movimento do condutor e a direção do campo 
 
Esse valor será zero quando α = 0º ou α = 180º, uma vez que sen 0º = sen 180º = 0. 
Por outro lado, esse valor será máximo quando α = 90º, resultando em sen 90º = 1. 
Nesta condição, podemos dizer que e = β . L . v = Emáx 
 
A equação da f.e.m. instantânea pode então ser escrita como: 
 
e = Emáx . sen α 
 
Esta f.e.m. pode assim ser representada por um vetor girante ou fasor, cujo raio ou amplitude é 
igual ao valor de pico ou valor máximo dessa f.e.m. e que gira no sentido anti-horário com 
velocidade angular ω. 
 
e = Emáx . sen ωt 
N SEmáx 
α 
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A projeção de Emáx (ou Vmáx) no eixo vertical é uma função do seno do ângulo, reproduzindo, 
portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(α), dependendo do domínio. Isso é mostrado na figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisemos agora o caso de uma espira móvel, da figura abaixo, que roda com velocidade 
constante, no sentido indicado pela seta F, num campo magnético uniforme: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na posição indicada na figura, os condutores AB e CD se deslocam perpendicularmente com as 
linhas de força do campo, as quais têm o sentido H. 
Aplicando-se aos dois condutores uma das regras da mão esquerda antes mencionadas, 
observar-se-à que o sentido das f.e.m. nos mencionados condutores é respectivamente (e) e 
(e1). Estas duas f.e.m., embora de sentido oposto, somam seus efeitos no circuito da própria 
espira. Nestas condições, nos bornes da mesma existe no instante considerado a diferença de 
potencial igual a 2e. 
Na posição indicada na mesma figura, os dois condutores se deslocam perpendicularmente às 
linhas de força do campo (α = 90o) e por isso a f.e.m. que neles se gera é máxima, pois é 
máximo o número de linhas de fôrça cortadas pelos condutores, por cada unidade de 
comprimento percorrido. 
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O valor da f.e.m. vai decrescendo sucessivamente até reduzir-se a zero quando, depois de uma 
rotação de 90°, a espira alcança o plano YY, onde os condutores deslocam-se paralelamente 
com as linhas de fôrça do campo (α = 0o), sem cortar nenhuma delas. 
Deste instante em diante, a f.e.m. induzida volta a crescer mas o seu sentido, em relação aos 
bornes da espira, fica invertido, pois o condutor AB irá deslocar-se no sentido em que antes 
deslocava-se o condutor CD e vice-versa. 
No instante em que a bobina passa pela posição que alcança depois de meia volta, a f.e.m. 
nela induzida adquire um valor igual, mas em sentido contrário ao alcançado com a espira na 
posição indicada na figura anterior. 
Desta posição em diante a f.e.m. induzida na espira volta a diminuir para anular-se, outra vez 
mais, quando a espira passa pelo plano YY. 
O fenômeno processa-se conforme está indicado na figura abaixo, na qual está representado o 
diagrama de variaçãoda f.e.m., constituído tomando-se como abcissas os ângulos de rotação e 
como ordenadas os valores que a f.e.m. adquire quando passa por cada uma das posições 
definidas pelas abcissas. Consideram-se positivas as f.e.m. dirigidas num sentido, prefixado 
arbitràriamente, e negativas as dirigidas no sentido contrário. 
O processo se repete identicamente em cada volta e se a espira estiver ligada a um circuito 
fechado, a f.e.m. nela induzida lança neste uma corrente que sofre variações análogas às da 
f.e.m. que a produz. As f.e.m. e as correntes dêste tipo são chamadas f.e.m. e correntes 
alternadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2 - Análise gráfica e matemática da função seno 
Uma função periódica senoidal genérica pode ser representada graficamente de duas formas: 
no domínio temporal (em função do tempo) ou no domínio angular (função do ângulo), como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso dessa função expressar o comportamento de uma tensão elétrica, a amplitude máxima 
que esta tensão senoidal pode atingir é denominada tensão de pico (Vp), ou tensão máxima 
(Vmáx) e a amplitude total entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada tensão 
pico a pico (Vpp), sendo: 
 
Vpp = 2 . Vp = 2 . Vmáx 
 
O tempo que a função necessita para completar um ciclo é chamado de período (T) e o 
número de vezes que o ciclo se repete por segundo é chamado de freqüência (f), sendo a 
relação entre eles a seguinte: 
 
 f = 
 
 
onde: [ T ] = s segundo 
 [ f ] = Hz ou c/s Hertz ou ciclos / segundo 
α = ωt
1 
T
v(t)
v(α)
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Matematicamente, os gráficos de uma tensão senoidal nos domínios temporal e angular podem 
ser representados, respectivamente, por: 
 
v = Vp . sen ωt ou v = Vp . sen α 
 
onde: v(t) = v(α) = valor da tensão no instante t ou para o ângulo α 
 Vp = Valor de pico ou valor máximo da tensão (em Volts) 
 ω = velocidade angular ou freqüência angular (em rd/s) 
 α = ângulo (em rd) 
 
A freqüência angular ou velocidade angular, representada pela letra grega ω (ômega) , 
corresponde ao valor do ângulo α do sinal em função do tempo. Das expressões matemáticas 
anteriores, tiramos a relação: α = ωt. 
Comparando os gráficos dos domínios temporal e angular, notamos que quando α = 2π, tem-se 
que t = T. Assim, é válida a relação ωT = 2π. Portanto, a freqüência angular ω pode ser 
calculada por: 
 
 ω = ou ω = 2π.f 
 
 
1.3 - Fase inicial 
Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu ciclo no instante t=0. neste 
caso, dizemos que o sinal possui uma fase inicial θ0. 
Assim sendo, a expressão para representar o sinal senoidal deve incluir esta fase inicial: 
 
 
v = Vp . sen (ωt + θ0) 
 
 
 
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 
θ0 é positivo. 
 
Se o sinal inicia o seu ciclo atrasado, 
θ0 é negativo, como mostra a figura ao lado: 
 
 
 
 
2π 
 T 
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1.4 – Offset 
Offset é o deslocamento vertical de uma onda senoidal, ou o nível C.C. que está somado a uma 
onda alternada. Pode ser positivo ou negativo. Corresponde a um deslocamento vertical do eixo 
de simetria da senóide. 
A figura abaixo, à esquerda, mostra uma tensão senoidal com amplitude de 4 Vpp e offset = 0. 
A figura da direita exemplifica outra tensão senoidal de mesma amplitude (4 Vpp), porém com 
um offset positivo de 1 volt. 
Neste caso, a expressão completa da tensão exemplificada na figura da direita com offset 
positivo de 1V ficaria como abaixo: 
 
 
v = Vp . sen (ωt + θ0) + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 - Valores Médio e Eficaz de uma f.e.m. Senoidal 
O valor médio de uma função periódica geral é dado pela integral abaixo: 
 
 
Ymed = y(t) dt 
 
 
Para uma função senoidal, podemos escrever: 
 
 
Ymed = Ymax sen (ωt) d(ωt) 
 
1 
T 
 
 T 
∫0
 1 
2π 
 
 2π
∫0 
v v 
t t 
1V
Offset = 0 Offset = 1V 
0 0 
2V 
1V 
-2V 
-1V 
2V
3V
-1V 
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Substituindo-se o termo genérico “Y” pela tensão, uma vez que esta é uma função senoidal, e 
integrando para os dois semiciclos, uma vez que a senóide foi retificada em meia onda (o valor 
médio não é mais igual a zero), temos que: 
 
 
Vmed = Vmax sen (ωt) d(ωt) 
 
 
Resolvendo a integral, temos: 
 
Vmed = . (cos 0 – cos 2π) 
 
Sendo cos 0 = 1 e cos 2π = 1, podemos então escrever: 
 
Vmed = . (1 – 1) = . 0 = 0 
 
 
Desta forma, verificamos que o valor médio de uma função senoidal com zero de offset é igual a 
zero, o que faz sentido, uma vez que o semiciclo positivo é igual ao semiciclo negativo. 
No entanto, sabemos que uma corrente alternada circulando numa resistência produz trabalho, 
sob a forma de calor, o que nos leva a deduzir que existe um valor responsável pela realização 
deste trabalho. 
Este valor é chamado de Valor Eficaz e é obtido calculando-se a raiz quadrada da média dos 
quadrados dos valores instantâneos (eleva-se ao quadrado para converter o semiciclo negativo 
em positivo e assim calcular a média). Por esta razão, este valor também é chamado de 
Valor RMS (de ROOT – MEAN – SQUARE). 
A sua fórmula geral está indicada abaixo: 
 
 
Yef = y2 (t) dt 
 
 
Para uma função senoidal, podemos escrever: 
 
 
Vef = (Vmax sen ωt)2 d(ωt) 
 
 
Resolvendo a integral, temos: 
 
 
Vef = ou Vef = 0,707 Vmáx 
 
 
 
 1 
2π 
 
 2π 
∫0 
Vmax 
 2π 
Vmax 
 2π 
Vmax 
 2π 
1 
T 
 
 T 
∫0 
 1 
2π 
 
 2π
∫0 
Vmáx 
 
√ 2 
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Podemos também calcular o valor eficaz de forma mais simples, utilizando o método gráfico. 
O quadrado de uma senóide é outra senóide, porém, com todos os valores instantâneos 
positivos. A figura abaixo mostra uma tensão senoidal com valor de pico igual a “vp”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elevando-se essa tensão ao quadrado, obtemos a senóide com valor de pico igual a “vp2”. 
O seu valor médio será, então, igual a “vp2 / 2”. 
O valor eficaz será a raiz quadrada desse valor médio: 
 
 
 vef = vef = vef = 0,707 vp 
 
 
 
O valor eficaz de uma tensão ou corrente é definido como o valor que ela deveria ter, se fosse 
constante (como uma C.C. constante) para produzir uma certa quantidade de calor num 
determinado tempo, ou seja, é o valor responsável pela dissipação de potência. 
Quando dizemos que uma corrente alternada tem, por exemplo, o valor eficaz de 1A, isto quer 
dizer que ela é capaz de produzir tanto calor por segundo quanto uma corrente contínua 
constante de 1A. 
Em geral, quando se fala de uma tensão ou corrente alternada, faz-se referência ao seu valor 
eficaz, e os medidores indicam comumente valores eficazes. Assim, salvo observação em 
contrário, sempre que nos referirmos a um valor de tensão ou corrente alternada, estaremos 
nos referindo ao seu valor eficaz. 
Dissemos anteriormente que o valor médio de uma onda senoidal com offset zero é igual a 
zero. Existe, no entanto, uma forma de se calcular o valor médio de uma função senoidal 
evitando que o mesmo seja zero. Isso é feito considerando somente um semi-ciclo,uma vez 
que o valor médio da onda completa é zero. O valor médio é dado pela fórmula abaixo: 
 
 
Vmed = Vmax sen (ωt) d(ωt) 
 
 
1 
π 
 
 π 
∫0 
v 
t 
vp 
vp2 
vp2 
2 
vp2 
2 
vp
 
√2
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Resolvendo a integral, temos: 
 
 
Vmed = . (cos 0 – cos π) 
 
 
Sendo cos 0 = 1 e cos π = – 1, podemos então escrever: 
 
 
Vmed = . (1 + 1) = 
 
Então: 
 
 
Vm = ou Vm ≅ 0,636 Vmáx 
 
 
 
Um gráfico mostrando os valores de uma tensão 
senoidal com tensão de offset = 0 pode ser 
visualizado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Vmáx 
 π 
Vmax 
 π 
Vmax 
 π 
2Vmax 
 π 
 
V 
t 
Vp 
v = Vmáx . sen (ωt + θ0) + offset 
- Vp 
0 
T 
Vef = 0,707 Vp 
Vm = 0,636 Vp 
Vpp 
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Vp = Vmáx = Tensão de pico (ou tensão máxima) 
Vef = Tensão eficaz 
Vm = Tensão média 
v = Tensão instantânea 
Vpp = Tensão pico-a-pico ( Vpp = 2.Vp ) 
ω = 2 . π . f (rd/s) 
T = Período (segundos) 
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CAPÍTULO 2 
VETORES E QUANTIDADES COMPLEXAS 
 
Quando expressamos, por exemplo, o comprimento, a massa ou o volume de um corpo, Um 
único número ou valor, chamado “Módulo”, acompanhado da sua unidade, é suficiente para 
definirmos perfeita e completamente a sua grandeza ou magnitude, como por exemplo: 2 
metros, 3,5 quilogramas, 5 litros e assim por diante. Grandezas desse tipo são chamadas 
ESCALARES. 
Por outro lado, existem outras grandezas que, para serem perfeitamente definidas, é preciso 
conhecer não apenas o seu valor numérico ou módulo, mas também a sua direção, o seu 
sentido e o seu ponto de aplicação. Essas grandezas são chamadas VETORIAIS. 
Por exemplo, se desejamos saber o que acontece com um corpo submetido a uma força, é 
necessário que se conheça não somente a sua intensidade (módulo), mas também a sua 
direção, o seu sentido e o ponto onde foi aplicada. Analogamente, não podemos dizer que dois 
automóveis possuem a mesma velocidade simplesmente porque os seus velocímetros têm as 
mesmas leituras, porque os seus movimentos podem ter direções diferentes. 
As grandezas vetoriais são representadas graficamente por segmentos de reta orientados, 
chamados VETORES. O comprimento do segmento de reta representa o módulo da grandeza. 
A posição do segmento, em si, representa a direção e a seta em uma das suas extremidades 
representa o sentido. Isso significa que, para cada direção, dois sentidos são possíveis, 
dependendo da extremidade onde a seta se encontra. 
Os vetores são, normalmente, referidos a uma referência, que pode ser um sistema de 
coordenadas cartesianas. No nosso caso particular para estudo das correntes alternadas, esse 
sistema possui apenas dois eixos, chamados aqui de eixo das grandezas reais e eixo das 
grandezas imaginárias (ou reativas). 
Quando diversos vetores interagem sobre um corpo, a sua resultante é representada por um 
único vetor, equivalente à soma vetorial dos vetores em questão. A soma vetorial, 
diferentemente da soma algébrica, que utiliza apenas os módulos, visto que todos se encontram 
em um mesmo eixo, leva também em conta os seus ângulos, decompondo cada vetor em suas 
projeções nos eixos cartesianos e, só então, somando suas componentes reais e reativas entre 
si, obtendo, então, o vetor resultante. 
A figura abaixo demonstra a soma de dois vetores V1 e V2. 
 
 
 Onde: 
 V1x = V1 cos φ1 
 V1y = V1 sen φ1 
 
 
 
 
 
 
 
V1 
V2 
V1x V2x V1x + V2x
V1y 
V2y 
V1y + V2y 
V1 + V2 
y 
x
φ1 
φ2 
15 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 15 
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2.1 – Representação vetorial de ondas senoidais 
Como visto na página 5, uma senóide é produzida pela projeção vertical de um vetor girante, 
também chamado de FASOR. No entanto, não é muito conveniente a combinação de várias 
ondas senoidais para a resolução de circuitos de C.A. É mais prático a utilização de vetores, ou 
fasores, para a representação das grandezas senoidais que variam com o tempo. 
Apesar da vantagem da solução gráfica que os fasores podem proporcionar, aliada à aplicação 
de relações trigonométricas, é ainda mais prática a sua utilização em Coordenadas Polares 
e/ou em Cordenadas Retangulares. 
 
2.2 – Coordenadas Polares 
Um vetor pode ser expresso pelo seu módulo e pelo ângulo (argumento) que forma com um 
eixo de referência. Definido deste modo, dizemos que está na FORMA POLAR. 
Na figura anterior, admitindo que o valor V2 seja o módulo e φ2 o ângulo do vetor V2, este pode 
ser expressado, na forma polar, como: 
 
 V2 = V2 | φ2 
 
Importante salientar que a simbologia empregada acima não significa uma divisão, mas apenas 
representa o módulo e o argumento (ângulo) do vetor na forma polar. 
 
2.3 – Coordenadas Retangulares 
Um vetor também pode ser representado como um número complexo, pelas suas projeções 
(componentes horizontal e vertical) num sistema de coordenadas retangulares (eixos 
cartesianos), onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical a parte imaginária, 
como mostra a figura da página anterior. 
Para representar uma grandeza complexa sem o auxílio do gráfico, fazemos uso do operador 
“j”, que é o equivalente ao operador “i” da matemática (√-1) quando estudamos números 
complexos. Como em eletricidade a letra “i” é utilizada para representar a intensidade de 
corrente, utilizamos a letra “j” em seu lugar para evitar confusões. 
Observemos a figura abaixo: 
 
 
 
 
Nela, temos o vetor A sobre o eixo horizontal, à direita do eixo vertical. À esquerda deste eixo, 
temos o vetor –A, de mesmo módulo, porém defasado de 180° do outro vetor ou, em outras 
palavras, multiplicado por (–1). E se desejássemos que o vetor se deslocasse apenas 90°? 
Sabemos que –1 é o mesmo que √-1 x √-1 e que multiplicar um número por –1 significa 
deslocá-lo em 180°. Então podemos dizer que multiplicar um vetor por √-1 ou “j” é o mesmo 
que deslocá-lo em 90° no sentido anti-horário, visto que multiplicá-lo duas vezes por esse valor 
equivale a 180°. Assim, multiplicar um vetor por ( – j ) é o mesmo que girá-lo de 90° no sentido 
horário. 
A–A
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Dessa forma, a representação do vetor V1 da página 12 na forma retangular (também chamada 
de binômia, complexa ou cartesiana) ficaria como abaixo: 
 
 V1 = V1x + j V1y 
 ou 
 V1 = V1 cos φ1 + j V1 sen φ1 
 
 
2.4 – Conversão da Forma Retangular em Polar 
As componentes do vetor, em um sistema de coordenadas retangulares, formam, com o próprio 
vetor, um triângulo retângulo, no qual o vetor é a hipotenusa e as suas componentes horizontal 
e vertical, os catetos. Então, com relação ao seu módulo, aplicando o Teorema de Pitágoras, 
podemos dizer que: 
 
 |V1| = √ V1x2 + V1y2 
 
Da trigonometria, podemos calcular o seu argumento. 
 
 φ1 = arctg pois tg φ1 = 
 
 
 
2.5 – Conversão da Forma Polar em Retangular 
Para transformar da Forma Polar para a Retangular utilizamos a trigonometria: 
 
 V1x = V1 cos φ1 
 V1y = V1 sen φ1 
 
2.6 – Operações com vetores na Forma Retangular 
A soma, a subtração, a multiplicação e a divisão de vetores nesta forma seguem às regras da 
álgebra. 
Para somar ou subtrair, opera-se de formaindependente as partes real e imaginária, como no 
exemplo abaixo: 
 20 + j 35 
 -2 + j 5 
 -3 – j 8 
 15 + j 32 
V1y 
V1x 
V1y 
V1x 
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Para multiplicar vetores na Forma Retangular, multiplica-se membro a membro. 
 
(2 + j 4) (3 – j 5) = 6 – j 10 + j12 – j2 20 = 26 + j 2 
(Como j2 = -1, - j2 = 1) 
 
A divisão de dois vetores na Forma Retangular é determinada pela aplicação do princípio da 
racionalização do denominador, isto é, multiplicando os termos da divisão pelo conjugado do 
denominador. 
Exemplo: Dividir (36 + j 12) por (8 – j 4) 
 
 = x = = 
 
 = = 3 + j 3 
 
 
2.7 – Operações com vetores na Forma Polar 
Não é possível somar ou subtrair grandezas vetoriais na Forma Polar. Para essas operações 
deve-se converter, antes, para a Forma Retangular, fazer a operação e converter o resultado 
para a Forma Polar. 
 
Para multiplicar, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos. 
 
 3 | 15° x 7 | 20° = 21 | 35° 
 
 
Para dividir, divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos. 
 
 65 | 48° ÷ 13 | 15° = 5 | 33° 
 
 
Exercícios propostos: 
1 ) Converter os números abaixo para a forma polar: 
a) N1 = 30 – j 15 R: 33,54 | -26,57° e) N5 = 10 R: 10 | 0° 
b) N2 = 12 + j 20 R: 23,32 | 59° f) N6 = -45 R: 45 | - 180° 
c) N3 = 60 – j 40 R: 72,11 | -33,69° g) N7 = j 82 R: 82 | 90° 
d) N4 = 6 – j 13 R: 14,32 | -65,22° h) N8 = - j 17 R: 17 | -90° 
36 + j 12 
 8 – j 4 
36 + j 12 
 8 – j 4 
 8 + j 4 
 8 + j 4 
288 + j 144 + j 96 + j2 48 
64 – j2 16 
240 + j 240 
80 
18 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 18 
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2) Converter os números abaixo para a forma retangular: 
a) N1 = 75 | 60° R: 37,5 + j 64,95 e) 75 | 0° R: 75 + j 0 
b) N2 = 28 | -45° R: 19,8 – j 19,8 f) 127 | 90° R: 0 + j 127 
c) N3 = 15 | 33° R: 12,58 + j 8,17 g) 220 | -90° R: 0 – j 220 
d) N4 = 59 | -28° R: 52,09 – j 27,7 h) 29,5 | 30° R: 25,55 + j 14,75 
 
3) Efetuar as operações abaixo, deixando as respostas nas formas polar e cartesiana. 
a) 75 | 60° + 28 | -45° R: 72,95 | 38,2° = 57,3 + j 45,15 
b) 84 | -25° – 39 | -60° R: 56,66 | 1,75° = 56,63 – j 1,73 
c) (30 – j 15) / (12 + j 10) R: 2,15 | -66,37° = 0,86 – j 1,97 
d) 59 | -28° x (25 – j 30) R: 19,95 | -78,2° = 4,08 – j 19,53 
 
 
 
19 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 19 
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CAPÍTULO 3 
REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA 
 
 
3.1 - Reatância Indutiva 
Segundo a Lei de Lenz (Apostila de Eletricidade I – Capítulo 13), a f.e.m. de auto-indução 
oferece uma oposição às variações de corrente. Esta oposição tem o nome de REATÂNCIA 
INDUTIVA (XL) e num circuito de C.A., é dada pela fórmula 
 
XL = 2.π.f.L ou XL = ω.L 
 
XL = reatância indutiva em Ohms (Ω) 
f = freqüência em Hertz (Hz) 
L = coeficiente de auto-indutância em Henrys (H) 
 ω = freqüência angular da corrente (rd/s) 
 
 
3.2 - Reatância Capacitiva 
Por sua vez, um capacitor se opõe às variações de tensão e neste caso, esta oposição chama-
se REATÂNCIA CAPACITIVA (XC), que num circuito de C.A. é dada pela expressão 
 
 
XC = ou XC = 
 
 
XC = reatância capacitiva em Ohms (Ω) 
f = freqüência em Hertz (Hz) 
 C = capacitância em Farads (F) 
 ω = freqüência angular da corrente (rd/s) 
 
 
3.3 - Impedância ( Z ) 
Esta grandeza é o conjunto de todos os fatores que devem ser vencidos pela f.e.m. aplicada ao 
circuito de corrente alternada, para que se possa estabelecer uma corrente elétrica. 
Compreende, portanto, a resistência efetiva do circuito e as reatâncias indutiva e capacitiva. Em 
outros termos, a impedância é a soma vetorial das reatâncias com a resistência, como pode ser 
melhor compreendido na figura abaixo: 
 1 
2 . π . f . C 
 1 
ω.C 
20 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 20 
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 XL 
 
 XL - XC Z 
 
 R 
 XC 
 
Em conseqüência do exposto, é fácil concluir que a Lei de Ohm, quando aplicada a circuitos de 
C.A., passa a ter o seguinte enunciado: 
 
"A INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA É DIRETAMENTE PROPORCIONAL À 
FORÇA ELETROMOTRIZ E INVERSAMENTE PROPORCIONAL À IMPEDÂNCIA." 
 
I = 
 
Z = impedância em Ohms (Ω) 
V = tensão em Volts (V) 
I = corrente em Ampères (A) 
 
Obs.: As equações para o cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva só são válidas para 
correntes alternadas senoidais. 
 
 
3.4 - Potência em C.A. 
A energia aplicada por segundo a um circuito de corrente alternada (potência do circuito) é 
destinada a vencer as três dificuldades normalmente presentes no mesmo: a resistência efetiva, 
a reatância indutiva e a reatância capacitiva. 
A parte destinada a vencer a resistência efetiva do circuito é denominada POTÊNCIA REAL, 
POTÊNCIA ATIVA ou POTÊNCIA ÚTIL (P) do circuito. É expressa em WATTS. Esta potência 
corresponde à energia elétrica que está realizando trabalho elétrico, ou sendo transformada em 
calor, em cada segundo, e costuma ser chamada também de POTÊNCIA EFETIVA. 
A parcela gasta para sobrepujar a reatância do circuito é denominada POTÊNCIA REATIVA 
(Q), sendo expressa em VOLT-AMPÈRE REATIVO (VAr). 
A soma vetorial das potências real e reativa é igual ao produto da tensão aplicada ao circuito 
pela intensidade da corrente no mesmo. Este produto é conhecido como POTÊNCIA 
APARENTE ou POTÊNCIA TOTAL (S) do circuito, e corresponde, como dissemos no início 
deste item, à energia aplicada por segundo ao circuito. A potência aparente é dada em VOLT-
AMPÈRE (VA). 
V 
Z 
21 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 21 
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O cálculo da potência em C.A. é feito com as mesmas equações estudadas em C.C., 
observados apenas os seguintes fatos: 
 
- a potência aparente refere-se à energia gasta por segundo para vencer a dificuldade 
total do circuito; para calculá-la devemos considerar a impedância (Z) e a tensão total 
aplicada ao circuito (V) 
S = V . I = I2 . Z = V2 / Z VOLT-AMPÈRE (VA) 
 
- a potência real é a energia gasta por segundo para vencer apenas a resistência efetiva. 
No seu cálculo é considerada simplesmente a resistência efetiva (R) e a tensão ER: 
P = VR . I = I2 . R = VR2 / R WATTS (W) 
 
- a potência reativa é a energia gasta por segundo unicamente para vencer a reatância do 
circuito. Para calculá-la, consideramos a reatância (X) e a parcela da tensão destinada a 
vencê-la (VX): 
Q = VX . I = I2 . X = VX2 / X VOLT-AMPÈRE REATIVO (Var) 
 
3.5 - Fator de Potência 
Como vimos, a potência em WATTS (POTÊNCIA REAL) é apenas uma percentagem da 
POTÊNCIA APARENTE. 
A relação entre a potência real e a potência aparente é denominada FATOR DE POTÊNCIA do 
circuito: 
 
Fator de Potência = cos φ = 
 
O fator de potência do circuito é igual a 1 quando a única dificuldade no circuito é a resistência 
efetiva. 
Quando há reatância de qualquer espécie, o fator de potência é um número igual ou menor do 
que 1. É muito comum se referir ao fator de potência como “cosseno fi” , pois ele exprime o 
valor do cosseno do ângulo “φ” formado por P e S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posteriormente, veremos este assunto com mais detalhes. 
 
P 
S 
P = Potência Ativa (W)
Q = Potência Reativa (VAr) 
S = Potência Aparente (VA) 
φ P = S cos φ 
S Q Q 
P 
Triângulo das Potências 
22 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ªEdição – Novembro 2016 22 
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CAPÍTULO 4 
CIRCUITOS DE C.A. MONOFÁSICOS IDEAIS 
 
4.1 - Circuito Puramente Resistivo 
Trata-se de um circuito como a figura abaixo, em que a única dificuldade a ser vencida pela 
tensão aplicada é a resistência efetiva, e, portanto, Z = R 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convém esclarecer que “R” não é apenas a resistência de um resistor, e sim A RESISTÊNCIA 
EQUIVALENTE DE TODOS OS ELEMENTOS QUE CONSTITUEM O CIRCUITO. 
A intensidade da corrente fornecida pela fonte é 
 
I = V / Z = V / R 
 
A tensão VR e a intensidade da corrente atingem valores correspondentes ao mesmo tempo: 
 
 
 
Quando isto ocorre com duas grandezas, dizemos que estão EM FASE. Em outras palavras, a 
tensão VR e a intensidade da corrente no circuito atingem seus valores máximos, mínimos e 
quaisquer outros valores no mesmo instante. 
Como as duas grandezas VR e I são senoidais e estão em fase, podemos representá-las 
vetorialmente conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 I VR 
 
V ~ R
I
VR
VR 
23 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 23 
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Toda a energia aplicada a este circuito é usada para vencer apenas sua resistência. Assim, 
podemos concluir que: 
Potência reativa = 0 
Potência real = Potência aparente 
 
Como vimos, o circuito que está sendo considerado não apresenta reatância, e a potência 
reativa é nula. 
O fator de potência do circuito é igual a 1 ou 100%; isto porque toda a energia aplicada ao 
circuito está sendo gasta para vencer sua resistência. Também pela expressão abaixo 
chegamos à mesma conclusão: 
 
Fator de potência = P / S = 1 
 
 
4.2 - Circuito Puramente Indutivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste circuito, a única dificuldade apresentada para o estabelecimento de uma corrente elétrica 
é a reatância indutiva. Desta forma, podemos escrever que: 
 
Z = XL = 2.π.f.L = ω.L 
 
XL simboliza a reatância total do circuito; é a reatância oferecida pela auto-indutância 
equivalente do circuito. 
A intensidade da corrente no circuito é: 
 
I = V / Z = V / XL = V / 2.π.f.L 
 
V ~ L
I
VL
24 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 24 
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Estudamos que a indutância no circuito se opõe às variações da corrente, ou seja, retarda seu 
crescimento e sua queda; vimos também que a f.e.m. de auto-indução (f.c.e.m.) é máxima 
quando I é igual a zero, e vice-versa. Portanto, VL e I estão sempre defasadas de 90 graus 
elétricos, o que pode ser representado como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, dizemos que I está atrasada 90° em relação a VL. 
Vetorialmente, podemos representar estas duas grandezas do seguinte modo: 
 
 VL 
 φ = ângulo de defasagem 
 φ 
 
 I 
 
A energia aplicada ao circuito tem a exclusiva finalidade de vencer a reatância indutiva, donde 
concluímos que: 
Potência reativa = Potência aparente 
Potência real = 0 
 
As potências aparente e reativa podem ser calculadas com qualquer das expressões abaixo: 
 
Q = S = V . I = VL . I = I2 . Z = I2 . XL = V2 / Z = VL2 / XL 
 
O fator de potência do circuito é zero, porque não está sendo gasta energia para vencer 
resistência. Chega-se à mesma conclusão pela expressão abaixo: 
 
Fator de potência = P / S = 0 / S = 0 
 
25 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 25 
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4.3 - Circuito Puramente Capacitivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, o único obstáculo ao estabelecimento de uma corrente no circuito é a reatância 
capacitiva. Assim, podemos escrever que: 
 
Z = XC = 
 
XC simboliza a reatância capacitiva total do circuito, isto é, a reatância oferecida pela 
capacitância equivalente do circuito. 
A intensidade da corrente no circuito é 
 
I = V / Z = V / XC = V.2.π.f.C 
 
Sabemos que a d.d.p. entre as placas de um capacitor é zero quando a corrente de carga é 
máxima, e vice-versa. Neste circuito, VC e I não atingem valores correspondentes ao mesmo 
tempo, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
V ~ C
I
VC
 1 
2.π.f.C 
26 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 26 
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Dizemos então que VC e I estão DEFASADAS de 90 graus elétricos; como os valores de I se 
antecipam aos valores de VC, afirmamos que I está adiantada de 90 graus elétricos em relação 
a VC. 
Como estas duas grandezas são senoidais e estão defasadas de 90°, podemos representá-las 
vetorialmente de acordo com a figura 
 
 I 
 φ 
 
 VC 
 φ = ângulo de defasagem 
 
Toda a energia aplicada a este circuito é usada para vencer sua reatância capacitiva. 
Concluímos que: 
 
Potência real = 0 
Potência reativa = Potência aparente 
 
As potências aparente e reativa podem ser calculadas com qualquer das expressões abaixo: 
 
Q = S = V . I = VC . I = I2 . Z = I2 . XC = V2 / Z = VC2 / XC 
 
O fator de potência do circuito é zero, pois não há gasto de energia para vencer resistência, ou, 
como mostra a expressão abaixo: 
 
Fator de potência = P / S = 0 / S = 0 
 
 
 
27 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 27 
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CAPÍTULO 5 
CIRCUITOS MONOFÁSICOS DE C.A. 
 
5.1 - Circuito R-L em Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na prática, diferentemente do indutor ideal, visto em 3.2, um indutor real apresenta indutância e 
resistência elétrica (devido à resistividade do fio do indutor). Portanto, a corrente elétrica, ao 
percorrer um indutor, encontra dois tipos de oposição: a reatância indutiva e a resistência 
ôhmica do fio. O circuito equivalente de um indutor real é um indutor ideal em série com a sua 
resistência ôhmica interna, como na figura acima. 
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito R-L série, a corrente continua atrasada 
em relação à tensão, só que de um ângulo menor que 90° pois, enquanto a indutância tende a 
defasá-la em 90°, a resistência tende a mantê-la em fase com a tensão. 
A figura acima mostra um circuito R-L em série, no qual R e L simbolizam, respectivamente, a 
resistência equivalente de todas as resistências em série com o indutor (inclusive a resistência 
ôhmica do fio do indutor) e a auto-indutância equivalente do circuito. A impedância do circuito é 
a soma vetorial de R e XL. 
A intensidade de corrente fornecida pelo gerador é a mesma que circula pelo resistor e pelo 
indutor e sua fórmula pode ser expressa por: 
 
i = v / Z 
 
A tensão aplicada ao circuito pelo gerador (v) é a soma vetorial das tensões no resistor (vR)e no 
indutor (vL), como mostra o diagrama abaixo: 
 
 
 vL v 
 
 
 φ 
 
 vR i 
O valor de φ depende da razão entre vR e vL, ou da razão entre R e XL (as razões são iguais). 
 
v ~ 
L
i
vL
vR R
φ = arctg 
vL 
vR 
28 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 28 
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Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente (i) está em fase com (vR) mas no indutor está 
atrasada de 90° em relação à tensão (vL). Como tensão e corrente num resistor estão sempre 
em fase, (vR) e (i) estão representadas no mesmo eixo. 
A tensão (v) do gerador é a soma vetorial de (vL) com (vR), resultando numa defasagem φ 
menor que 90° em relação à corrente. A figura abaixo mostra a representação das formas de 
ondas de um circuito RL série:5.1.1 - Impedância Indutiva (ZL) 
A oposição total que um circuito R-L oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e 
de XL e é chamada de Impedância Indutiva. O seu valor é o da soma vetorial de R + XL. A 
figura abaixo facilita essa compreensão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos dizer, então, que: 
 
 ZL = R + j XL 
 
Na forma polar, o seu módulo será: E o seu ângulo de fase será igual a: 
 
|ZL| = √ R2 + XL2 φ = arctg 
 
R 
ZLXL 
φ 
VRVL 
V 
i 
XL 
 R 
φ 
29 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 29 
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Exemplos: 
1 – Uma bobina, quando ligada a uma fonte CC de 10V, consome uma corrente de 100mA e, 
quando ligada a uma fonte CA de 10Vrms / 500Hz, consome uma corrente de 20mA. Calcular: 
a) A resistência da bobina 
b) A reatância e a indutância da bobina 
c) A impedância complexa da bobina 
d) O diagrama fasorial do circuito (considerando a corrente como referência de fase nula) 
Resolução: 
a) Quando a bobina é ligada à fonte CC, só existe o efeito da sua resistência ôhmica. Portanto: 
R = V / I = 10V / 100 x 10-3A R = 100 Ω 
 
b) Quando a bobina é ligada à fonte de CA, além da resistência ôhmica há o efeito da reatância 
indutiva. Então, o módulo da impedância será: 
ZL = v / i = 10V / 20 x 10-3A = 500 Ω 
Como ZL2 = R2 + XL2, temos que: XL2 = ZL2 – R2 ou XL = √ ZL2 – R2 
 
XL2 = √ 5002 – 1002 XL = 490 Ω 
 
XL = 2.π.f.L Logo, L = 
 
L = 490 / 2 x 3,14 x 500 L = 156 mH 
 
c) ZL = R + j XL ZL = 100 + j 490 
 
d) A tensão estará em fase com a impedância total e a corrente estará em fase com a resistência. 
Então, o ângulo de fase entre a tensão e a corrente será dado por: 
φ = arctg = arctg 490 / 100 = arctg 4,9 φ = 78,5° 
 
 
 |vL| = v sen φ = 10 sen 78,5° = 10 x 0,978 = 9,78 V 
 
 |vR| = v cos φ = 10 cos 78,5° = 10 x 0,199 = 1,99 V 
XL 
2πf 
XL 
 R 
v 
i 
78,5° 
vL 
vR 
30 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 30 
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2 – Dado o circuito a seguir, determinar: 
a) A impedância do circuito e o valor de L 
b) A corrente no circuito 
c) O diagrama fasorial 
 
Resolução: 
a) Na forma cartesiana: Z = 30 + j 40 Ω 
 Na forma polar: |Z| = √ R2 + XL2 = √ 302 + 402 = 50 Ω (Módulo) 
 Fase: φ = arctg 40 / 30 = 53° 
 Portanto: Z = 50 53° Ω 
 
Pela reatância indutiva, calcula-se L: 
XL = 2 π f L L = XL / 2 π f L = 40 / 2 π .60 L = 106 mH 
 
b) A corrente no circuito será: 
 
i = i = = 2,2 37° Arms 
 
 
c) Uma vez que, pelo enunciado, a tensão está a 90°, o seu vetor deverá ficar nesta direção 
(vertical). A corrente, 53° atrasada em relação à tensão, ou seja, a 90 – 53 = 37º. vR está em fase 
com a corrente e vL adiantado de 90° em relação a vR, ou seja 90 + 37 = 127° 
Cálculo de |vL| e |vR|: 
|vL| = XL x i = 40 |90° x 2,2 |37° = 88 |127° V 
|vR| = R x i = 30 | 0° x 2,2 |37° = 66 |37° V 
 
37° + 53° + 37° = 127° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~
R = 30 Ω
XL = 40 Ω 
v 
ZL 
110 90° 
 
 50 53° 
V = 110V
VR = 66V
VL = 88V 
37°
53°
I = 2,2 A
37°
v = 110 90° Vrms 
 60 Hz 
31 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 31 
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Obs.: Se tomássemos a corrente como referência (φ = 0°), o diagrama ficaria como abaixo (o 
mesmo diagrama, rotacionado de 37° no sentido horário): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 – Potência em Circuitos Indutivos 
Consideremos o circuito R-L série da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sua representação fasorial ficaria como a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando-se as tensões por (i), obtemos as potências: 
 
 
 
 
 
 
 
V = 110V
VR = 66V
VL = 88V
37°
53°
I = 2,2 A
v ~ 
L
i
vL
vR R
vL v
vR
φ 
Q S
P
φ 
32 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 32 
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P = vR . i = Potência Ativa ou Potência Real ou Potência Útil => Watt (W) 
Q = vL . i = Potência Reativa => Volt-Ampère Reativo (VAr) 
S = v . i = Potência Aparente ou Potência Total => Volt-Ampère (VA) 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
 
S2 = P2 . Q2 ou S = √ P2 + Q2 
 
A relação entre a potência real P e a potência aparente S é chamada FATOR DE POTÊNCIA 
(FP), cuja expressão é mostrada abaixo: 
 
 
Fator de potência = = cos φ donde P = S . cos φ 
 
 
 
 
Como S = v . i temos: P = v . i . cos φ 
 
 
- É comum chamar o fator de potência de ”cosseno fi”, devido à sua expressão. 
- O fator de potência dá uma medida do aproveitamento da energia fornecida à carga pelo 
gerador. 
- Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, S = P, ou seja, FP = 1. 
Neste caso, a carga aproveita toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito 
Joule). 
- Se a carga é puramente indutiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto, S = Q, ou seja, 
FP = 0. Neste caso, a carga não aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador (não dissipa 
potência). 
- Em um circuito R-L, há potência ativa e reativa e, portanto, S2 = P2 + Q2, ou seja, 0 ≤ FP ≤ 1. 
Neste caso, a carga aproveita uma parte da energia fornecida pelo gerador, ou seja, somente a 
parte resistiva dissipa potência. Neste tipo de circuito, como a corrente está atrasada em 
relação à tensão, dizemos que o circuito apresenta FATOR DE POTÊNCIA ATRASADO. 
- O fator de potência de um circuito deve ser mantido o mais próximo de 1 quanto possível. Um 
fator de potência baixo significa que o gerador e as linhas de transmissão estão fornecendo 
energia maior do que aquela que está sendo efetivamente aproveitada pela carga. Em outras 
palavras, é necessário um superdimensionamento tanto do gerador quanto das linhas de 
transmissão, implicando em maior custo e maior perda de energia, pois são necessárias maior 
corrente e maior potência aparente para a obtenção de uma determinada potência real.. 
P 
S 
33 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 33 
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Por esta razão, a legislação vigente permite que as concessionárias de energia elétrica 
obriguem, sob pena de multa, que os consumidores mantenham o fator de potência de suas 
unidades consumidoras acima de 0,92. 
Como, na maioria das instalações industriais, as maiores cargas são predominantemente 
indutivas (transformadores, motores, reatores de lâmpadas fluorescentes, etc.), é necessário 
corrigir o fator de potência para o nível exigido pela concessionária. 
Isto é conseguido instalando-se capacitores, que corrigem o fator de potência, adequando-o às 
exigências da legislação. A fim de facilitar o cálculo da correção, os capacitores especialmente 
construídos para essa finalidade são especificados em KVAr. 
 
 
5.3 – Circuito R-L em Paralelo 
Para análise deste tipo de circuito, consideraremos o indutor como ideal. 
No circuito R-L em paralelo, a tensão do gerador (v), é a mesma do resistor (vR) e do indutor 
(vL). No entanto, a corrente fornecida pelo gerador (i) é igual à soma vetorial das correntes no 
resistor (iR) e no indutor (iL). A corrente no resistor (iR) está em fase com a tensão (v), assim 
como a corrente no indutor (iL) está atrasada de 90° em relação à tensão, como mostra a figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A representação senoidal do circuito está mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~ R XL
iR 
v iR iL 
i 
v = vR = vL
i iL
φ 
V 
iR 
iL
i
φ 
34 EletricidadeII – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 34 
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5.3.1 – Impedância num Circuito R-L Paralelo 
Existem diversas formas para se calcular a impedância em um circuito R-L paralelo. A mais 
simples, no entanto, é através da tensão e da corrente totais no circuito. 
 
 
Z = 
 
 
 
Exemplo: 
1 - Calcular a impedância total de um circuito constituído de um resistor de 200 Ω em paralelo 
com um indutor de 1,06 H ligados a uma fonte de 400V x 60Hz. 
 
iR = v / R = 400 / 200 = 2A 
XL = 2 π f L = 2 x 3,14 x 60 x 1,06 = 400 Ω 
iL = v / XL = 400 / 400 = 1A 
|i| = √ iR2 + iL2 = √ 22 + 12 = √ 5 = 2,24 A 
φ = arc tg iL / iR = arc tg -1 / 2 
φ = - 26,6° 
Z = v / i = 400 | 0° / 2,24 | -26,6º 
 
 Z = 179 26,6° Ω 
 
 
2 – Dado o circuito ao lado, calcular: 
a) A expressão da corrente total 
b) A impedância total 
c) O diagrama fasorial 
 
 
iR = 110 / 60 = 1,83 A 
iL = 110 / 80 = 1,37 A 
|i| = √ 1,832 + 1,372 
|i| ≈ 2,3 A 
φ = arc tg iL / iR = arc tg -1,37 / 1,83 
φ ≈ - 37° 
i = 2,3 - 37º A 
 
Z = v / i = 110 | 0° / 2,29 | -37° 
 
Z = 48 37° Ω 
v 
 i 
~ R = 60 Ω XL = 80 ΩiR iL 
i
v = 110 0° Vrms 
 60 Hz 
φ = -37° 
 iR 
1,83 A 
 v 
110 V 
 iL 
1,37 A 
 i 
2,3 A 
35 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 35 
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5.4 – Circuito R-C em Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito R-C série, a corrente fica adiantada em 
relação a ela, só que de um ângulo menor que 90°, pois enquanto a capacitância tende a 
defasá-la em 90°, a resistência tende a colocá-la em fase com a tensão. Pelo diagrama fasorial, 
representado acima, vê-se que a corrente i (que é a mesma no resistor e no capacitor) está 
adiantada em relação à tensão vC. Como a tensão e a corrente num resistor estão sempre em 
fase, vR e i estão representadas no mesmo eixo. 
A figura abaixo mostra as formas de onda de um circuito R-C série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.1 – Impedância Capacitiva (ZC) 
A oposição total que um circuito R-C oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e 
de XC, e é chamada de impedância capacitiva. O seu valor é a soma vetorial de R + XC. A 
figura abaixo facilita essa compreensão: 
 
 
 
 
 
 
v ~ 
C 
i 
vC 
vR R 
vC 
v
vR
φ 
i
vR 
i 
v 
vC 
φ 
XC Z
R
φ 
φ = – arctg 
vC 
vR 
36 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 36 
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Podemos dizer, então, que: 
 
 ZC = R – j XC 
 
Na forma polar, o seu módulo será: E o seu ângulo de fase será igual a: 
 
|ZC| = √ R2 + XC2 φ = – arctg 
 
 
5.5 – Potência em Circuitos Capacitivos 
Consideremos o circuito R-C série da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
A sua representação fasorial ficaria como a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando-se as tensões pela corrente i, obtemos as potências: 
 
 
 
 
 
 
P = vR . i = Potência Ativa ou Potência Real ou Potência Útil => Watt (W) 
Q = vC . i = Potência Reativa => Volt-Ampère Reativo (VAr) 
S = v . i = Potência Aparente ou Potência Total => Volt-Ampère (VA) 
 
Como, num circuito R-C série, a corrente está adiantada em relação à tensão, dizemos que o 
circuito apresenta FATOR DE POTÊNCIA ADIANTADO. 
XC 
 R 
v ~ 
C
i
vC
vR R
vC 
v
vR
φ 
Q 
S
P
φ 
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5.6 – Circuito R-C Paralelo 
No circuito R-C em paralelo, a tensão do gerador (v), é a mesma do resistor (vR) e do capacitor 
(vC). No entanto, a corrente fornecida pelo gerador (i) é igual à soma vetorial das correntes no 
resistor (iR) e no capacitor (iC). A corrente no resistor (iR) está em fase com a tensão (v), assim 
como a corrente no capacitor (iC) está adiantada de 90° em relação à tensão, como mostra a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra as formas de onda de um circuito R-C paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.1 – Impedância num Circuito R-C Paralelo 
Da mesma forma que no circuito R-L paralelo, a maneira mais simples de calcular é através da 
tensão e da corrente totais no circuito. 
 
 
Z = 
 
 
 
~ R XCv iR iC 
i 
iC 
i 
iR 
φ 
v = vR = vC
v 
iR iC 
i 
φ 
v 
 i 
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Exemplo: 
1 - Calcular a impedância total de um circuito constituído de um resistor de 100 Ω em paralelo 
com um capacitor de 2 µF, ligados a uma fonte de 120V x 994Hz. 
 
iR = v / R = 120 / 100 = 1,2A 
XC = 1 / 2 π f C = 1 / 2 x 3,14 x 994 x 2 x 10-6 = 80 Ω 
iC = v / XC = 120 / 80 = 1,5 A 
|i| = √ iR2 + iC2 = √ 1,22 + 1,52 = √ 3,69 = 1,92 A 
φ = arc tg iC / iR = arc tg 1,5 / 1,2 => φ = 51,34° 
Z = v / i = 120 | 0° / 1,92 | 51,34° 
 
 Z = 62,4 -51,34° Ω 
 
 
 
 
5.7 – Circuito R-L-C Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste tipo de circuito, três situações podem ocorrer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vL > vC vL < vC vL = vC 
porque porque porque 
XL > XC XL < XC XL = XC 
 
~
R 
L
C 
v 
i 
vR 
vL 
vC 
i
vL 
φ
vC 
vL – vC v 
vR 
i
vL 
φ 
vC 
vL – vC 
v 
vR 
vR = v i
vL 
vC 
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No primeiro caso, o circuito se comporta como um circuito indutivo (R-L); no segundo, torna-se 
capacitivo e no último caso, apresenta praticamente as características de um circuito puramente 
resistivo. 
 
Os diagramas fasoriais das impedâncias, nos três casos, ficam como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.8 – Circuito R-L-C em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste circuito vigoram as mesmas características gerais já estudadas nos circuitos paralelos: 
 
- A tensão aplicada ao circuito é igual à tensão entre os terminais de cada braço do circuito; 
- A intensidade da corrente total fornecida pela fonte é igual à soma vetorial das correntes nos 
diversos braços em paralelo; 
- O inverso da impedância total é igual à soma vetorial dos inversos das impedâncias dos 
diversos braços em paralelo; 
- A corrente no resistor está em fase com a tensão; 
- A corrente no indutor está atrasada de 90° em relação à tensão; 
- A corrente no capacitor está adiantada de 90° em relação à tensão. 
Portanto, as correntes iC e iL estão defasadas de 180° entre si, sendo que a sua soma vetorial é 
a diferença entre os seus módulos, com fase igual à da corrente com maior módulo. 
 
~ R Cv 
i 
L 
XL
φ
XC 
XL – XC Z 
R 
XL 
φ 
XC 
XL – XC 
Z 
R 
Z = R 
XL 
XC 
iR iC iL
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A figura abaixo mostra o diagrama fasorial das correntes de um circuito R-L-C paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso o módulo de iC seja maior que o de iL, o circuito comportar-se-á como capacitivo. No caso 
contrário (iL > iC), o seu comportamento será indutivo. A partir deste ponto, a sua resolução 
será praticamente idêntica à dos circuitos R-L e R-C paralelos, dependendo do seu 
comportamento predominante. 
 
Exemplo: 
1) Dado o circuito abaixo, calcular a corrente em cada braço, a corrente total, a impedância do 
circuito e o diagrama fasorial das correntes. 
 
v = 20 0° V 
R = 1 kΩ 
XL = 200 Ω 
XC = 500 Ω 
 
Calculando os módulos das correntes: 
| iR | = 20 / 1000 = 0,02A 
| iC| = 20 / 500 = 0,04A 
| iL | = 20 / 200 = 0,1A 
 
A corrente reativa total será igual a: 
 iC – iL = 0,04 – 0,1 = – 0,06A 
O diagrama fasorial ficará como ao lado: 
 
O ângulo φ será igual a: 
 
φ = arctg (iC – iL) / iR = arctg (– 0,06 / 0,02) = arctg (– 3) 
φ = – 71,56° 
IL 
φ
IC 
IC – IL 
i 
iR v 
~ R Cv 
i 
L iR iC iL
iC 
iR 
iL 
iC – iL i 
φ 
41 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 41 
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O módulo da corrente total será: 
| i | = √ 0,022 + 0,062 
| i | = 0,063 A 
 
A impedância total do circuito será igual a: 
Z = 20 | 0° / 0,063 | -71,56° = 316,2 | 71,56° Ω 
 
Respostas: 
iR = 0,02 0° A 
iC = 0,04 90° A 
iL = 0,1 – 90° A 
i = 0,063 – 71,56° A 
Z = 316,2 71,56° Ω 
 
 
 
5.9 – Circuitos R-L-C Mistos 
Uma vez que aos circuitos de corrente alternada se aplicam as mesmas regras para os circuitos 
de corrente contínua, temos que o inverso da impedância total é igual à soma dos inversos das 
impedâncias nos diversos braços do circuito: 
 
 = + + + ... 
 
Ou, se trabalharmos com apenas duas impedâncias em paralelo de cada vez: 
 
Zt = 
 
A figura abaixo representa as impedâncias dos diversos braços de um circuito misto. A 
impedância de cada braço é a impedância resultante de cada circuito série. 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Zt 
1 
 
Z1 
1 
 
Z2
1 
 
Z3
Z1 . Z2 
 
Z1 + Z2 
 
Z1
 
Z2
 
Z3~ v 
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Neste caso, a forma mais simples de resolução é a que calcula as correntes nos diversos 
braços (que são circuitos série) na forma cartesiana ou retangular, e então somá-las, 
calculando, assim, a corrente total, ainda na forma retangular. 
Feito isso, converte-se a corrente total para a forma polar e calcula-se a impedância total 
dividindo-se a tensão pela corrente. 
 
 
Exemplo: 
No circuito da figura acima, calcular a corrente e a impedância totais. 
a) Cálculo de Z1: 
XL1 = 2 π . 60 . 53 . 10-3 = 20 Ω 
Z12 = 402 + 202 
Z1 = 44,7 Ω 
φ = arctg 20 / 40 = 26,56° 
i1 = v / Z1 = 100 | 0° / 44,7 | 26,56° = 2,24 | –26,56° A 
 
Como o circuito é indutivo, a corrente está atrasada, então, o seu ângulo é negativo. 
 
Convertendo para a forma retangular: 
i1 = 2,24 cos (–26,56°) + j 2,24 sen (–26,56°) = 2 – j 1 A 
 
b) Cálculo de Z2: 
Z2 = XC2 = 1 / 2 π . 60 . 50 . 10-6 = 53,05 | –90° Ω 
i2 = 100 | 0° V / 53,05 | –90° Ω = 1,88 | 90° A 
 
Como o circuito é puramente capacitivo, a corrente está adiantada de 90°. Então, o seu ângulo será: 
φ = 90° 
 
Temos então, que i2 = 0 + j 1,88 A 
 
~ Z1 Z2 Z3
40 Ω
53 mH
v = 100 |0° Vrms 
 60 Hz 50 µF
80 µF
10 Ω
30 mH
i1 i2 i3i 
43 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 43 
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c) Cálculo de Z3: 
XC3 = 1 / 2 π . 60 . 80 . 10-6 = 33,15 Ω 
XL3 = 2 π . 60 . 30 . 10-3 = 11,3 Ω 
X3 = 11,3 – 33,15 = – 21,85 Ω (A impedância equivalente do braço 3 é capacitiva) 
Z32 = 102 + 21,852 
Z3 = 24 Ω 
φ = arctg –21,85 / 10 = – 65,4° 
i3 = 100 | 0° / 24 | –65,4° = 4,17 | 65,4° A 
 
Como o circuito é capacitivo, a corrente está adiantada, então, o seu ângulo é positivo. 
 
i3 = 4,17 cos (65,4°) + j 4,17 sen (65,4°) = 1,74 + j 3,79A 
 
Somando-se as três correntes, temos: 
 
i1 = 2 – j 1 A 
i2 = 0 + j 1,88 A 
i3 = 1,74 + j 3,79A 
 i = 3,74 + j 4,67 A 
 
 i = 3,74 + j 4,67 A ou i = 5,98 | 51,3° A 
 
Z = 
 
Z = 16,7 | - 51,3° A 
 
Ou na forma retangular: 
 
Z = 16,7 cos (-51,3°) + 16,7 sen (-51,3°) 
 
Z = 10,43 – j 13,03 Ω 
 100 | 0° 
5,98 | 51,3° 
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Graficamente, podemos representar o diagrama fasorial da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma outra forma de se calcular circuitos em paralelo é através da sua admitância (Y), que é o 
inverso da impedância (Z), assim como a condutância (G) é o inverso da resistência (R) e a 
susceptância (B) é o inverso da reatância (X). Todas as três são medidas em “Siemens”. 
 
Admitâncias, condutâncias ou susceptâncias em paralelo, se somam. 
 
Assim, o exemplo anterior pode ser resolvido da seguinte forma: 
 
a) Cálculo da admitância do braço 1: 
Z1 = 40 + j20 
 
Y1 = = x = = 
 
 
Y1 = – = 0,02 – j0,01 Siemens 
 
 
 
 1 
40 + j20 
 1 
40 + j20 
40 – j20 
40 – j20 
 40 – j20 
402 + 202 
 40 – j20 
 2000 
 40 
2000 
 j20 
2000 
i1 
i2 
i3 
4,67 
3,74 
i = 5,98A 
51,3° 
2 
– 1 
1,74 
3,79 
1,88 
iR 
iX 
– iX 
45 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 45 
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b) Cálculo da admitância do braço 2: 
Z2 = – j53,05 
 
Y2 = = x = = j0,0189 Siemens 
 
 
 
c) Cálculo da admitância do braço 3: 
Z3 = 10 – j21,85 
 
Y3 = = x = = 
 
 
Y3 = + = 0,0173 + j0,0378 Siemens 
 
 
 
A admitância total será a soma das três admitâncias 
 
Y = 0,02 – j0,01 + j0,0189 + 0,0173 + j0,0378 
 
Y = 0,0374 + j0,0466 Siemens 
 
 
A impedância total será então o seu inverso. 
 
Z = = x = 
 
 
 
Z = – Z = 10,43 – j13,03 Ω 
 
φ = arctg –13,03 / 10,43 = arctg –1,249 φ = – 51,3° 
 
|Z2| = 10,432 + 13,032 Z = 16,7 | –51,3° Ω 
 
i = v / Z = 100 | 0° / 16,7 | – 51,3° i = 5,98 | 51,3° A 
 
 
 1 
– j53,05 
 1 
– j53,05 
j53,05 
j53,05 
 j53,05 
2814,3 
 1 
10 – j21,85 
 10 
577,4 
j21,85 
577,4 
 1 
10 – j21,85 
10 + j21,85 
10 + j21,85 
10 + j21,85 
102 + 21,852
10 + j21,85 
 577,4 
 1 
0,0374 + j0,0466 
 1 
0,0374 + j0,0466
0,0374 – j0,0466
0,0374 – j0,0466
0,0374 – j0,0466 
 0,00357 
 0,0373 
0,00357 
 j0,0466 
0,00357 
46 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 46 
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Este método (da soma das admitâncias) é particulrmente interessante para se resolver circuitos 
mais complexos, nos quais o método das correntes não pode ser aplicado, como no circuito 
abaixo, no qual foi introduzida uma reatância em série com o circuito do exemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XL1 = 2 π . 60 . 90 . 10-3 XL1 = 33,93 Ω 
 
Substituindo-se agora os três braços paralelos (no interior da linha pontilhada) pelo seu circuito 
equivalente, o circuito pode, então, ser redesenhado da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O circuito, agora, se tornou um R-L-C série e a sua impedância total será então igual a: 
 
 
Z = 10,43 – j13,03 + j33,93 Z = 10,43 + 20,9 Ω 
 
φ = arctg 20,9 / 10,43 = arctg – 0,888 φ = 63,48° 
 
|Z|2 = 10,432 + 20,92 Z = 23,36 | 63,48° Ω 
 
i = v / Z = 100 | 0° / 23,36 | 63,48° i = 4,28 | – 63,48° A 
 
 
~ 
40 Ω
53 mH
v = 100 Vrms 
 60 Hz 50 µF
80 µF
10 Ω
30 mH
L1 = 90 mH 
~ v = 100 Vrms 60 Hz 
10,43 Ω
– 13,03 Ω
33,93 Ω 
Circuito 
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5.10 - Correção do Fator de Potência 
Como dissemos anteriormente, o fator de potência exprime o grau de aproveitamento da 
energia fornecida à carga pelo gerador. Um fator de potência muito baixo significa que o 
gerador está fornecendo umaenergia muito superior àquela que está sendo aproveitada pela 
carga. Por esta razão, as concessionárias de energia elétrica aplicam multa nos consumidores 
que estiverem com o fator de potência abaixo de 0,92. 
Como a maioria das cargas em uma indústria é de natureza indutiva (motores, 
transformadores), o seu fator de potência costuma ser baixo, sujeitando o consumidor às multas 
aplicadas pela concessionária. Isso, no entanto, pode ser evitado, através da correção do fator 
de potência, que consiste na instalação de capacitores em paralelo com a carga, de modo a 
compensar aquele desvio. 
Sabendo que as reatâncias indutiva e capacitiva se opõe e que a reatância resultante é a soma 
vetorial daquelas, devemos instalar no circuito capacitores de forma que o novo fator de 
potência esteja no valor desejado. 
 
Exemplo: 
Suponhamos que em uma conta de energia elétrica, de uma instalação de 220V referente a um 
período de 30 dias, os valores medidos sejam: 
Energia ativa = 15.840 kWh 
Energia reativa = 12.643 kVArh 
Observando esta mesma conta, percebemos também que ocorreu uma cobrança de consumo 
reativo. O que devemos fazer para, no futuro, evitarmos este tipo de cobrança? 
O primeiro passo é calcular as potências: 
Sabendo que o período é de 30 dias e que cada dia tem 24 horas, temos um total de 720 horas. 
Calculamos as potências dividindo a energia, no período, pelo tempo. 
Potência ativa = 15.840 kWh / 720 h = 22 kW 
Potência reativa = 12.643 kVArh / 720 = 17,56 kVAr 
Potência aparente = √ 222 + 17,562 = √ 484 + 308,35 = √ 792,35 = 28,15 kVA 
Fator de potência = 22 / 28,15 = 0,83 => (abaixo de 0,92) 
 
O gráfico das potências ficaria como na figura abaixo: 
 
 
 Q = 17,56 kVAr S = 28,15 kVA 
 
 cos φ = 0,78 
 
 
P = 22 kW 
 
φ ≅ 38,6° 
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Como o fator de potência mínimo exigido pela legislação é de 0,92, a cobrança de multa por 
consumo reativo se justifica. 
Para elevarmos o fator de potência igualando-o a 1, bastaria instalarmos capacitores de correção 
no valor de 17,56 kVAr, anulando assim o consumo reativo, como na figura abaixo: 
 
 17,56 kVAr 
 
 
 P = 22 kW 
 
 -17,56 kVAr 
 
Potência reativa = 17,56 kVAr – 17,56 kVAr = 0 
Potência aparente = Potência Ativa = 22kVA 
Fator de potência = 1 
 
Entretanto, mais capacitores significam também maior custo, e o que se faz na prática é calcular 
um valor de capacitores que elevem o fator de potência até um nível suficiente para evitar-se o 
pagamento da cobrança por consumo reativo. 
 
Vamos, neste exemplo, calcular o valor necessário de capacitores para elevar o fator de potência 
para 0,94. 
Sabendo que a potência ativa é de 22kW, para um fator de potência de 0,94 a potência aparente 
será de: 
S = 22 / 0,94 = 23,4 kVA 
A potência reativa, para este novo valor do cos φ será de: 
 
S2 = P2 + Q2 donde: Q2 = S2 – P2 ou Q = √ S2 – P2 
 
Q = √ 23,42 - 222 = √ 548 – 484 = √ 64 = 8 kVAr 
 
Como a potência reativa atual é de 14,78 kVAr, para obtermos a nova potência reativa calculada, 
basta instalarmos capacitores no valor de: 
 
17,56 – 8 = 9,56 kVAr 
 
Temos, então, o valor dos capacitores a serem instalados no circuito, em kVAR. 
 
49 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016 49 
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Se quisermos calcular o valor da sua capacitância, devemos considerar que a potência reativa é 
igual a: 
 
 Q = = => Q = v2 . 2 . π . f . C => C = 
 
 
Considerando a freqüência de 60 Hz, temos que 2 . π . 60 ≅ 377. Assim, 
 
 
 C = 
 
 
Então, se considerarmos uma tensão de 220V, a capacitância do capacitor de 6,78 kVAR será de: 
 
C = 9,56 x 103 / 377 x 2202 => C = 523,9 µF 
 
Com isto, evitamos o pagamento da cobrança por consumo reativo e teremos um custo com 
capacitores da terça parte do que teríamos para fazer cos φ = 1. O novo gráfico das potências, 
após a instalação dos capacitores, ficará como na figura abaixo: 
 
 
 17,56 kVAr 28,15 kVA 
 
 8 kVAr 23,4 kVA 
 
 
 22 kW 
 9,56 kVAr 
 
 
Podemos, agora, comparar as correntes circulantes na linha de transmissão antes e depois da 
correção do fator de potência: 
 
 v2 
Xc 
 v2 
 1 
2 π f C 
 Q 
 
2 π f v2
 Q 
 
377 v2 
φ ≈ 19,95° 
cos φ = 0,94 
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Antes da correção: 
v = 220 V 
S = 28,15 kVA 
i = S / V = 28.150 / 220 = 127,95 A 
 
Após a correção: 
v = 220 V 
S = 23,4 kVA 
i = S / V = 23.400 / 220 = 106,4A 
 
Constatamos que, para a realização do mesmo trabalho necessitamos, após a correção, 
transportar uma corrente mais baixa pela linha de transmissão, permitindo agora, utilizar um 
cabo de bitola mais estreita (menor seção transversal). Os transformadores de distribuição de 
energia também serão menos sobrecarregados. 
 
Exercícios Propostos: 
1) Um amperímetro, um voltímetro e um wattímetro são ligados no circuito de um motor de 
indução monofásico e indicam, respectivamente, 10A, 220V e 1.900W. Determinar: 
a) o fator de potência do motor; R: 0,86 
b) o ângulo de defasagem; R: 30,68° 
c) a impedância do circuito; R: 22 Ω 
d) a resistência efetiva. R: 18,92 Ω 
 
2 ) 75% da energia aplicada por segundo a um circuito de C.A. são transformados em calor. O 
circuito, que é indutivo, apresenta uma resistência de 10 Ω. Determinar: 
a) o fator de potência do circuito; R: 0,75 
b) a impedância do circuito; R: 13,3 Ω 
c) a reatância indutiva do circuito. R: 8,8 Ω 
 
3) Uma impedância de 4 – j 3 Ω foi ligada a uma fonte de 100V. Determinar os seguintes 
elementos do circuito: 
a) a resistência efetiva; R: 4 Ω 
b) a reatância; R: 3 Ω 
c) a intensidade da corrente; R: 20 | 36,87° A 
d) o fator de potência; R: 0,8 
e) a potência aparente; R: 2.000 VA 
f) a potência real; R: 1600 W 
g) a potência reativa.. R: 1.200 VAr 
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4) Uma bobina é ligada em série com um motor monofásico para reduzir a tensão aplicada aos 
terminais do motor. A tensão aplicada ao conjunto é de 130 | 45° V e a tensão somente no motor 
é de 90 | 30° V. Calcular, na forma polar, a d.d.p. nos terminais da bobina. R: 48,96 | 73,4° V 
 
5) Um circuito em série de C.A. contém um resistor, um capacitor e uma bobina que apresenta 
tanto resistência quanto indutância. Sabendo que a tensão no resistor é de 40V, no capacitor é de 
80V e na bobina é de 60V, determinar a tensão aplicada ao circuito, na forma polar. Sabe-se 
ainda que a corrente está atrasada de 45° em relação à tensão entre os terminais da bobina. 
 R: 90,58 | -24,5° V 
 
6) Um circuito formado por um capacitor de 30 µF e um resistor está ligado a uma linha de 120V 
e 60Hz. Qual deve ser o valor da resistência para que a corrente seja de 1 A? R: 81,13 Ω 
 
7) Calcule a indutância de uma bobina cuja resistência é de 500 Ω, se ela drena 10 mA de uma 
fonte de 110 V e 60 Hz. R: 29,15 H 
 
8) Calcule o fator de potência do motor de uma máquina de lavar roupa se esta consome 4 A e 
420 W de uma linha de 110VCA. R: 0,954 
 
9) Para que um relé opere corretamente, é necessária uma corrente de 100 mA através da sua 
bobina. Para que o mesmo funcione em C.C. são necessários 24 V. Se alimentado por uma fonte 
de C.A. de 60 Hz são necessários 160V. Qual a capacitância, em série com o relé, que permitirá o 
seu funcionamentocom uma fonte de 120 V e 60 Hz? R: 6,5 µF 
 
10) Determinar a tensão necessária para produzir uma corrente de 3,5 | 0° A em um circuito C.A. 
em série, constituído de 18 Ω de resistência, 9 Ω de reatância indutiva e 22 Ω de reatância 
capacitiva. R: 77,7 | -35,8° V 
 
11) Um circuito alimentado por uma tensão de 650V @ 50 Hz possui, em um braço, um resistor 
de 30 Ω em série com um indutor de 127,32 mH. O outro braço, em paralelo com o primeiro, 
possui um resistor de 5 Ω em série com um capacitor de 265,258 µF. Calcular: 
a) a corrente total, na forma polar; R: 44,8 | 52,9° A 
b) a impedância total, na forma polar; R: 14,5 | -52,9° Ω 
c) o fator de potência; R: 0,6 
d) o módulo da potência aparente; R: 29.120 VA 
e) o módulo da potência ativa; R: 17.472 W 
f) o módulo da potência reativa. R: 23.296 VAr 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 6 
RESSONÂNCIA 
 
Quando, em um circuito R-L-C série ou paralelo, ocorre o caso particular no qual a freqüência é 
tal que XL = XC, dizemos que o circuito está em ressonância, pois ambas se anulam e o circuito 
se comporta como puramente resistivo. 
 
6.1 – Ressonância nos Circuitos em Série 
 
Quando é estabelecida a igualdade entre a reatância indutiva e a reatância capacitiva (caso 3), 
caso esse em que as tensões vC e vL são iguais, dizemos que o circuito está em 
RESSONÂNCIA. 
Esta condição é desejável em diversos circuitos eletrônicos, mas pode trazer conseqüências 
desagradáveis, com danos para os elementos de um circuito, quando não é prevista. 
Sabemos que a reatância indutiva é diretamente proporcional à freqüência, enquanto que a 
reatância capacitiva é função inversa da mesma. Assim, quando alimentamos um circuito com 
uma fonte de C.A. e fazemos a freqüência variar desde um valor praticamente nulo até um valor 
bem alto, podemos observar o crescimento da reatância indutiva e a queda da reatância 
capacitiva. Numa determinada freqüência, as duas grandezas tornam-se iguais e o circuito 
apresenta características especiais que correspondem à condição denominada “ressonância”. 
A figura abaixo ilustra essa condição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As características de um circuito série na freqüência de ressonância são as seguintes: 
 
a) A impedância do circuito torna-se mínima, ficando reduzida ao valor da resistência; 
b) A intensidade da corrente é máxima, como conseqüência do item anterior, e limitada 
apenas pelo valor da resistência; 
c) O circuito torna-se puramente resistivo; 
d) Toda a energia aplicada ao circuito é gasta para vencer a sua resistência; 
e) O fator de potência (cos φ) é igual a 1. 
Z 
XC XL
Z, X, R 
f fr
R 
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A freqüência de ressonância de um circuito em série é dada pela equação abaixo: 
 
 
 
 fo = 
 
 
 
fo = freqüência de ressonância, em HERTZ (Hz) 
L = auto-indutância do circuito, em HENRYS (H) 
C = capacitância do circuito, em FARADS (F) 
 
Com efeito, se XL = XC, temos: 
 
2 π fo L = 4 π2 fo2 L C = 1 
 
 
fo = fo = 
 
 
Observando esta equação, constatamos que a resistência do circuito não influi na sua 
freqüência de ressonância, e que esta depende somente do produto LC. Isso significa que 
circuitos com valores diferentes de L e de C podem entrar em ressonância na mesma 
freqüência, desde que os produtos LC sejam iguais. 
Por outro lado, a resistência do circuito influi no que é conhecido como Fator de Mérito ou 
FATOR DE QUALIDADE (ou FATOR Q) do circuito ressonante, que é definido como a 
relação entre a energia armazenada nas reatâncias e a energia dissipada na resistência do 
circuito. Como, na freqüência de ressonância XL = XC, podemos usar apenas uma delas, como 
mostrado abaixo: 
 
 
 Q = Q = 
 
 
Como, normalmente, a resistência do circuito é constituída, principalmente, pela resistência do 
fio da bobina, é comum referenciar-se à resistência da bobina e à sua reatância indutiva. 
A variação da corrente num circuito R-L-C série, quando a freqüência da fonte é variada, pode 
ser representada graficamente, constituindo o que chamamos de uma CURVA DE 
RESSONÂNCIA, e que é mostrada na figura abaixo. Nota-se que, quanto menor a resistência, 
maior o fator “Q” e mais estreita (ou mais seletiva) é a curva. 
 1 
 
2 π √ LC 
 1 
2 π fo C 
 1 
 
4 π2 L C 
 1 
 
2 π √ LC 
I2 XL t 
 
 I2 R t 
XL 
 
R
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6.2 – Largura de Faixa em um circuito ressonante série 
 
A Largura de Faixa, ou Banda de Passagem (BW – do inglês Band Width) é definida como a 
faixa de freqüências na qual a potência dissipada é maior do que a metade da potência 
máxima. 
 
Como a potência ativa fornecida ao circuito é igual a R.I2, quando I = 0,707 Io ou I = Io / √2 , a 
potência é igual à metade do valor máximo. Na figura abaixo, f1 e f2 são os pontos de meia 
potência, nos quais a corrente I = 0,707 Io. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A largura de faixa (BW) será, neste caso, definida como: 
 
 
 
 
 BW = 
 
 
f 
i 
fr 
f1 f2 fo 
Io 
0,707 Io 
BW 
fo 
Q 
f (Hz) 
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6.3 – Ressonância nos Circuitos em Paralelo 
Uma vez que este circuito entra em ressonância quando XL = XC, a fórmula para o cálculo da 
freqüência de ressonância é idêntica à do circuito R-L-C série. 
 
 
 fo = 
 
 
 
A diferença, neste caso, é que, ao contrário do circuito série, na freqüência de ressonância, o 
circuito em paralelo apresenta impedância máxima (Z = R) e corrente mínima. As figuras abaixo 
ilustram essas características. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No circuito ressonante paralelo (também chamado “Circuito Tanque), o Fator de Qualidade é 
dado pela equação: 
 
 
 
 
 Q = 
 
 
 1 
 
2 π √ LC 
ffr ffr 
R 
XL 
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6.4 – Oscilação num circuito R-L-C ressonante 
 
Capacitores e indutores são dispositivos de armazenamento de energia. Porém, enquanto o 
primeiro armazena-a sob a forma de campo elétrico, o segundo armazena sob a forma de 
campo magnético. Isso significa que, no capacitor, a energia é máxima quando a tensão é 
máxima e, no indutor, a energia é máxima quando a corrente é máxima. 
 
Em ambos, a corrente é mínima quando a tensão é máxima e vice-versa, ou seja, corrente e 
tensão estão defasadas, como já estudamos. 
 
Observemos o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente, carregamos o capacitor com a tensão V, colocando a chave SW na posição 1. A 
energia armazenada no capacitor será igual a CV2/2, conforme estudado no item 10.3 da 
Apostila de Eletricidade I. 
 
Ao passarmos a chave para a posição 2, o capacitor irá se descarregar através do indutor e do 
resistor, provocando o surgimento de uma corrente elétrica. Essa corrente, inicialmente baixa 
devido à oposição criada pela auto-indutância (Lei de Lenz), irá aumentando gradativamente 
até atingir o seu valor máximo. Neste momento, a tensão (e a energia) no capacitor será zero, 
tendo este transferido toda a sua energia para o indutor, a qual será máxima. 
 
Inicia-se, então, o processo inverso, de transferência da energia do indutor para o capacitor e 
assim sucessivamente, entrando o circuito em oscilação, na sua freqüência de ressonância. 
Caso