85198424-01-Eletricidade-Volume-2

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Escola SENAI “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini” 
Campinas/SP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2002 
 
 
Eletricidade 
 Volume 2 
 
 
Eletricidade 
 
 SENAI-SP, 2002 
 
Trabalho elaborado pela 
Escola SENAI “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini” 
 
 
 
 
Coordenação Geral Magno Diaz Gomes 
 
 
Equipe responsável 
 
 
 Coordenação Geraldo Machado Barbosa 
 
 
 Elaboração Luciano Marcelo Lucena da Silva 
 
 
 
Equipe responsável pela editoração 
 
 
Coordenação Luciano Marcelo Lucena da Silva 
 
 
Formatação David Tadeu Cassini Manzoti 
 
 Edmar Fernando Camargo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Edição 1.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial 
Escola SENAI “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini” 
Avenida da Saudade, 125 - Ponte Preta 
CEP 13041-670 - Campinas, SP 
senaizerbini@sp.senai.br 
 
 
Eletricidade 
 
 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução à 
Corrente Alternada 
 
 
 
 
 
 
Análises em 
 Corrente Alternada 
Correntes e tensões senoidais 
A senóide 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 
 
 
 
 
 
Reatância Capacitiva 
Reatância Indutiva 
Números Complexos 
Impedância 
Impedância – Análise vetorial 
Potência em CA 
Transformadores 
Anexo 1 - Osciloscópio 
Anexo 2 - Medição de sinais com osciloscópio 
Anexo 3 - Medir freqüência e ângulo de fase com 
osciloscópio 
Anexo 4 - Medir tensões com osciloscópio 
Anexo 5 - Gerador de funções 
 
Referências Bibliográficas 
05 
15 
19 
 
 
 
 
 
25 
33 
39 
47 
59 
67 
75 
101 
121 
145 
 
159 
167 
 
173 
 
Sumário 
 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 5 
 
 
Correntes e Tensões 
senoidais 
 
 
 
 
 
 
A tensão que varia de forma regular no tempo é denominada “tensão alternada”. Idem 
para a corrente (AC). As formas de ondas senoidais, quadradas ou triangulares podem 
ser produzidas por geradores de sinais encontrados em oficinas ou laboratórios. O 
termo “ALTERNADA” indica apenas que o valor da tensão ou corrente oscila 
regularmente entre dois níveis. Doravante, toda vez que aparecer CORRENTE 
ALTERNADA, tenha em mente que a tensão também é alternada. 
A técnica mais comum para gerar tensões alternadas é aquela oriunda das usinas 
geradoras que são em geral alimentadas por quedas d´água, óleo, gás ou fissão 
nuclear. 
Para se entender como se processa a geração de corrente alternada, é necessário 
saber como funciona um gerador elementar que consiste de uma espira disposta de tal 
forma que pode ser girada em um campo magnético estacionário. 
Desta forma, o condutor da espira corta as linhas do campo eletromagnético, 
produzindo a tensão elétrica ou força eletromotriz (fem). 
Veja, na figura a seguir, a representação esquemática de um gerador elementar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
espira
carga
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 6 
Funcionamento do gerador 
Para mostrar o funcionamento do gerador, vamos imaginar um gerador cujas pontas 
das espiras estejam ligadas a um galvanômetro. 
 
 
 
Na posição inicial, o plano da espira está perpendicular ao campo magnético e seus 
condutores se deslocam paralelamente ao campo. Nesse caso, os condutores não 
cortam as linhas de força e, portanto, a tensão não é gerada. 
 
No instante em que a bobina é movimentada, o condutor corta as linhas de força do 
campo magnético e a geração de tensão é iniciada. 
 
Observe na ilustração a seguir, a indicação do galvanômetro e a representação dessa 
indicação no gráfico correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
À medida que a espira se desloca, aumenta seu ângulo em relação às linhas de força 
do campo. Ao atingir o ângulo de 900, o gerador atingirá a geração máxima da força 
eletromotriz, pois os condutores estarão cortando as linhas de força 
perpendicularmente. 
 
Acompanhe, na ilustração a seguir, a mudança no galvanômetro e no gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 7 
 
Girando-se a espira até a posição de 1350, nota-se que a tensão gerada começa a 
diminuir. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a espira atinge os 1800 do ponto inicial, seus condutores não mais cortam as 
linhas de força e, portanto, não há indução de tensão e o galvanômetro marca zero. 
 
Formou-se assim o primeiro semiciclo (positivo). 
 
 
Quando a espira ultrapassa a posição de 1800, o sentido de movimento dos condutores 
em relação ao campo se inverte. Agora, o condutor preto se move para cima e o 
condutor branco para baixo. Como resultado, a polaridade da tensão e o sentido da 
corrente também são invertidos. 
 
A 2250, observe que o ponteiro do galvanômetro e, conseqüentemente, o gráfico, 
mostram o semiciclo negativo. Isso corresponde a uma inversão no sentido da 
corrente, porque o condutor corta o fluxo em sentido contrário. 
 
 
 
 
 
- +
 
- +
 -1,4
 - 2
- +
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 8 
 
 
 -1,4 
A posição de 270° corresponde à geração máxima da fem como se pode observar na 
ilustração a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No deslocamento para 315°, os valores medidos pelo galvanômetro e mostrados no 
gráfico começam a diminuir. 
 
 
Finalmente, quando o segundo semiciclo (negativo) se forma, e obtém-se a volta 
completa ou ciclo (360°), observa-se a total ausência de força eletromotriz porque os 
condutores não cortam mais as linhas de força do campo magnético. 
 
 
 
Observe que o gráfico resultou em uma curva senoidal (ou senóide) que representa a 
forma de onda da corrente de saída do gerador e que corresponde à rotação completa 
da espira. 
 
Nesse gráfico, o eixo horizontal representa o movimento circular da espira, daí suas 
subdivisões em graus. O eixo vertical representa a corrente elétrica gerada, medida 
pelo galvanômetro. 
 
 
- + 
 
 
- +
 
 
-1,4 
 
 
- + 
 
-1,4 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 9 
Definições: 
• Forma de onda: gráfico de uma grandeza em função do tempo, posição, 
temperatura ou outra variável; 
 
• Forma de onda periódica: forma de onda que se repete após um certo intervalo 
de tempo constante; 
 
• Período (T): intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de onda 
periódica. No Sistema Internacional de Unidades, sua unidade é o segundo (s); 
 
• Ciclo: parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a um 
período; 
 
• Valor de pico: valor máximo de uma função medido a partir do nível zero. A tensão 
de pico é representada pela notação VP ; 
 
 
• Valor de pico a pico: diferença entre os valores dos picos positivo e negativo, isto 
é, a soma dos módulos das amplitudes positiva e negativa. Sua notação é VPP e 
considerando-se que os dois semiciclos da CA são iguais, podemos afirmar que VPP é 
igual a duas vezes VP; 
 
Observação 
Essas medições e conseqüente visualização da forma de onda da tensão CA, são 
feitas com um instrumento de medição denominado de osciloscópio. 
 
 
 
 tensão de 
pico positivo 
 tensão de 
pico negativo 
 + Vp 
- Vp 
 
 
VPP 
-180V 
180V VPP = 360V 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 10 
• Amplitude: valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor médio; 
 
• Freqüência (f): número de ciclos contido em um segundo. Sua unidade é o hertz 
(Hz), cuja definição é 1 Hz é igual a 1 ciclo por segundo (c/s). Como a freqüência é 
inversamente proporcional ao período, as duas grandezas estão relacionadas pela 
expressão: 



−
−
=
)(
)(1
ssegundosT
Hzhertzf
T
f 
 
• Valor instantâneo: amplitude de uma forma de onda em um instante de tempo 
qualquer; 
 
• Tensão e corrente eficazes: também chamado “valor médio quadrático (RMS)”, 
corresponde à mesma quantidade de corrente ou tensão contínua capaz de produzir o 
mesmo trabalho ou a mesma potência de aquecimento. Quando se aplica uma tensão 
contínua sobre um resistor, a corrente que circula por ele possui um valor constante. 
 
 
 
 
Como resultado disso, estabelece-se uma dissipação de potência no resistor 
(P = E . I). Essa potência é dissipada emregime contínuo, fazendo com que haja um 
desprendimento constante de calor no resistor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 t t 
 t 
 
 
gráfico da tensão aplicada 
no resistor 
gráfico da corrente circulante 
no resistor 
 t t 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 11 
Por outro lado, aplicando-se uma tensão alternada senoidal a um resistor, estabelece-
se a circulação de uma corrente alternada senoidal. 
 
 
 
Como a tensão e a corrente são variáveis, a quantidade de calor produzido no resistor 
varia a cada instante. 
 
 
 
Nos momentos em que a tensão é zero, não há corrente e também não há produção 
de calor (P = 0). 
 
Nos momentos em que a tensão atinge o valor máximo (VP), a corrente também atinge 
o valor máximo (IP) e a potência dissipada é o produto da tensão máxima pela corrente 
máxima (PP = VP . IP). 
Em conseqüência dessa produção variável de "trabalho" (calor) em CA, verifica-se que 
um resistor de valor R ligado a uma tensão contínua de 10V produz a mesma 
quantidade de "trabalho" (calor) que o mesmo resistor R ligado a uma tensão alternada 
de valor de pico de 14,1 V, ou seja, 10 Vef. 
 
Assim, pode-se concluir que a tensão eficaz de uma CA senoidal é um valor que indica 
a tensão (ou corrente) contínua correspondente a essa CA em termos de produção de 
trabalho. Quando se mede sinal alternado (senoidais) com um multímetro, este deve 
ser aferido em 60Hz que é a freqüência da rede da concessionária de energia elétrica. 
Assim, os valores eficazes medidos com multímetro são válidos apenas para essa 
freqüência. 
 
 
 
gráfico da tensão 
aplicada no resistor 
gráfico da corrente 
circulante no resistor 
t t 
 
 
- Ip 
t t t 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 12 
Existe uma relação constante entre o valor eficaz (ou valor RMS) de uma CA senoidal 
e seu valor de pico. Essa relação auxilia no cálculo da tensão / corrente eficaz e é 
expressa como é mostrado a seguir. 
Tensão eficaz: 
 
 
 
Corrente eficaz: 
 
 
 
 
• Valor médio (VM): o valor médio de uma grandeza senoidal, quando se refere a um 
ciclo completo é nulo. Isso acontece porque a soma dos valores instantâneos relativa 
ao semiciclo positivo é igual à soma do semiciclo negativo e sua resultante é 
constantemente nula. 
Veja gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a área S1 da senóide (semiciclo) é igual a S2 (semiciclo), mas S1 está do 
lado positivo e S2 tem valor negativo. Portanto Stotal = S1 - S2 = 0. 
O valor médio de uma grandeza alternada senoidal deve ser considerado como sendo 
a média aritmética dos valores instantâneos no intervalo de meio período (ou meio 
ciclo). 
 
Esse valor médio é representado pela altura do retângulo que tem como área a mesma 
superfície coberta pelo semiciclo considerado e como base a mesma base do 
semiciclo. 
 
Vef = 
Vp
2 
Ief = 
Ip
2 
+
0
-
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fórmula para o cálculo do valor médio da corrente alternada senoidal é: 
 
 
 
 
Nessa fórmula, Imed é a corrente média; IP é a corrente de pico, e π é 3,1415. 
A fórmula para calcular o valor médio da tensão alternada senoidal é: 
 
 
 
 
Nela, Vmed é a tensão média, VP é a tensão máxima, e π é igual a 3,1415. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IP
- IP
I = I = 
2 I
dc med
p⋅
π
 
V = V = 
2 V
dc med
p⋅
π
 
 
 
Eletricidade 
Correntes e Tensões senoidais 14 
Lista de Exercícios 1 
1. Responda às questões que seguem. 
a) Qual a principal diferença entre as correntes contínua e alternada? 
 
 
 
 
b) Analisando o gráfico senoidal da tensão alternada, em quais posições em graus 
geométricos a tensão atinge seus valores máximos? 
 
 
 
 
c) Qual a diferença entre os valores de tensão de pico e tensão de pico a pico? 
 
 
 
 
d) Qual tensão alternada é indicada no multímetro (VP, VPP, Vef, Vmed)? 
 
 
 
 
e) Como deve ser considerado o valor médio de uma grandeza alternada senoidal? 
 
 
 
 
2. Resolva os exercícios propostos. 
a) Calcule os valores das tensões de pico a pico, eficaz e média para uma senóide 
com 312 V de pico. 
 
b) Quais os valores das correntes máximas (IP) e eficaz (Ief) para uma corrente média 
(Imed) de 20 A? 
 
 
Eletricidade 
A senóide 15 
 
 
A senóide 
 
 
 
 
 
 
 
Para compreender a resposta dos elementos básicos a um sinal senoidal é muito 
importante examinar o conceito de derivada com algum detalhe. A derivada dx/dt é 
definida como sendo a taxa de variação de x em relação ao tempo. Se não houver 
variação de x em um instante particular, dx=0, e a derivada será nula. No caso de uma 
forma de onda senoidal, dx/dt será zero somente nos pontos máximos e mínimos 
(ωt=90° e ωt=270°), pois x não varia nesses instantes. O valor da derivada dx/dt em um 
ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico neste ponto. 
 
Examinando melhor a onda senoidal, podemos notar também que a variação de x é 
máxima para ωt=0°, ωt=180° e ωt=360°. Logo a derivada é máxima ou mínima nestes 
pontos, dependendo do sinal. Em 0° e 360° temos a maior taxa de crescimento para x 
e o sinal da derivada é positivo. Em 180°, x varia com a mesma rapidez do que em 0° e 
360°, mas o sinal da derivada é negativo, pois x está decrescendo. Assim a derivada é 
máxima em 0° e 360° e mínima em 180°. Para outros valores de ωt, a derivada tem 
valores compreendidos entre o mínimo e o máximo. 
O gráfico da derivada ilustra um fato: a derivada de uma senóide é uma co-senóide. 
 
 
Eletricidade 
A senóide 16 
O valor de pico da co-senóide é diretamente proporcional à freqüência da senóide 
original. Quanto maior a freqüência, maior a inclinação no ponto em que a curva corta 
o eixo horizontal e, portanto maior o valor de dx/dt nesse ponto. Além disso, a 
derivada de uma senóide tem o mesmo período e a mesma freqüência que a 
função original. 
 
No caso de uma tensão senoidal, cuja função é v(t)=Vp.sen(ωt ± θ), a derivada é: 
 
)cos(..)( θωω ±= tV
dt
tvd
p 
 
 
Lembre-se que ω=2πf e que o valor máximo da derivada (ω.Vp ou 2πf.Vp) depende da 
freqüência v(t). 
Agora que já conhecemos as características da derivada de uma função senoidal, 
podemos estudar a resposta dos elementos básicos a uma tensão ou corrente 
senoidal, mas antes vamos estudar correntes e tensões alternadas senoidais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
A senóide 17 
A senóide é a única forma de onda que não se altera ao ser aplicada em um circuito 
contendo resistores, capacitores e indutores. 
Uma grandeza que pode ser usada no eixo horizontal do gráfico da senóide é o 
ângulo. A unidade escolhida pode ser o grau ou o radiano. A unidade utilizada com 
mais freqüência é o radiano, definido como sendo um arco cujo comprimento é igual ao 
raio da circunferência. 
 
 
Muitas equações usadas no estudo de circuitos elétricos contêm o fator π. Por 
definição, o número π é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. 
Lembre-se, o valor de π é 3,14159... 
 
A conversão entre as unidades de medida de ângulo pode ser feita com o auxílio das 
expressões: 
 
radxgrausgrausxrad
o
o 





=




=
π
π 180
180
 
 
Outra grandeza muito importante que devemos estudar é a velocidade angular ou 
velocidade de rotação do vetor em uma circunferência. A velocidade angular é definida 
pela equação: 
 





−
−
−
=
=
srad
stempot
geralemradângulo
t
Assim
tempo
percorridoânguloangularvelocidade
/
)(
),(
,
)(
ω
α
αω
ω
 
 
 
o
orad
xrxrC
nciacircunferêdaoCompriment
360.2
296,571
.2...2
=
=
=∴==
π
ππ
 
 
Eletricidade 
A senóide 18 
Como o tempo necessário para o vetor efetuar uma volta completa é igual ao período 
(T) da onda senoidal e o número de radianos correspondente a este intervalo é 2.π, 
temos: 
 





−
−
≅
=
srad
segundosT
T
/
28,6.2
.2
ω
π
πω 
 
Em outras palavras, quanto menor o período da onda senoidal, maior a velocidade 
angular. 
 
Por outro lado, 





−
−
≅
=
===
sradhertzffteremosfpordoSubstituin
TT
Então
T
f
/
28,6.2
..2,
1..2.2,1
ω
π
πω
ππω
 
 
 
 
Eletricidade 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 19 
 
 
Expressão geral para tensões 
ou correntes senoidais 
 
 
 
 
 
 
A expressão matemática geral para uma forma de onda senoidal é: 
 








−
−
−
=
−
±
)(
)(
)/(
.
).sen(.
radougraustodeslocamendeângulo
stempot
sradangularvelocidade
t
tensãodaoucorrentedapicodevalorV
tV
P
P
θ
ω
ωα
θω 
 
O ângulo associado a um valor da tensão ou da corrente é obtido manipulando a 
equação 
αsen.PVv = , da seguinte forma: 
 






=





=⇒= −−
PPP I
iou
V
v
V
v 11 sensensen ααα 
 
 
Ex.: Determine o ângulo para o qual o valor da função ).377sen(.10 tv = é 4V. 
 
Solução: 
OOO
O
P
ou
V
V
V
v
43,15657,23180
57,23)4,0(sen
10
4sensen
2
111
1
=−=
==




=





= −−−
α
α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 20 
Relações de fase 
Se a curva senoidal intercepta o eixo horizontal à ESQUERDA da origem com 
inclinação positiva (função crescente), a equação será: 
 
).sen(. θω +tVP 
 
Em Ot 0. == ωα o valor da função é θsen.PV . 
 
Se a curva senoidal intercepta o eixo horizontal à DIREITA da origem com inclinação 
positiva, a equação será: 
 
).sen(. θω −tVP 
 
 
Em Ot 0. == ωα o valor da função é θsen.PV− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 21 
Exemplos: Qual é a relação de fase entre as formas de ondas senoidais em cada um 
dos seguintes pares? 
 
a) 




+=
+=
)70.sen(.5
)30.sen(.10
O
O
ti
tv
ω
ω
 
 
 
Resp.: A corrente está adiantada de 40o em relação à tensão ou a tensão está 
atrasada de 40o em relação à corrente. 
 
b) 




−=
+=
)20.sen(.10
)60.sen(.15
O
O
tv
ti
ω
ω
 
Resp.: A corrente está adiantada de 80o em relação à tensão ou a tensão está 
atrasada de 80o em relação à corrente. 
 
 
Eletricidade 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 22 
Lista de exercícios 2 
1) Determine a freqüência e o período para uma velocidade angular de 500 srad . 
 
 
 
 
2) Sabendo que srad /200=ω , determine o intervalo de tempo necessário para que 
a forma de onda senoidal passe pelo ponto cuja abscissa é o90 . 
 
 
 
 
3) Ache o valor em graus da abscissa de uma forma de onda senoidal cuja freqüência 
é 60 Hz para o tempo igual a 5 ms. 
 
 
 
 
4) a) Determine o ângulo para o qual o valor da função ).377(.10 tsenv = é 4 V. 
b) Determine o momento em que a função assume o referido valor. 
 
 
 
 
5) Se a freqüência de uma onda é 20 Hz, qual o tempo necessário para que complete 
5 ciclos? 
 
 
 
 
6) Determine a velocidade angular para: 
a) 0,5 ms 
 
c) 640 Hz 
b) 4µs 
 
d) 2 kHz 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 23 
 
7) Encontre a amplitude e a freqüência das seguintes funções: 
a) ).754(.5 tsen 
b) ).6,43(.6,7 tsen− 
c) ).377(.20 tsen 
d) ).157(.31 tsen− 
 
 
 
8) Sabendo que ).1000(.10.6)( 3 tsenti −= , calcule o valor da corrente para mst 2= . 
 
 
 
 
 
9) A tensão de pico de uma onda senoidal é 100 V. Calcule a tensão instantânea para 
os ângulos de oooooo e 245135,90,60,30,0 . E faça um gráfico desses pontos, em 
graus e radianos, com a forma de onda resultante para a tensão. 
 
 
 
 
 
10) Calcule a diferença de fase entre as formas de onda a seguir e esboce os gráficos: 
a) 



+=
−=
)20.(.1,0
)60.(.2,0
o
o
tseni
tsenv
ω
ω
 
 
b) 



−=
−=
)40.(.40
)40.(.25
o
o
tsenv
tseni
ω
ω
 
 
c) 



+=
+=
)40.(.6,1
)50.(.4
o
o
tseni
tsenv
ω
ω
 
 
d) 



−=
−=
)50.(.10
)30.(.2,6
o
o
tsenv
tseni
ω
ω
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 24 
11) Uma corrente senoidal tem uma amplitude de 20 A. A corrente passa por um ciclo 
completo em 1 ms. O valor da corrente em st 0= é 10 A. 
 
a) Calcule a freqüência e a velocidade angular. 
 
b) Qual é o valor da corrente eficaz? 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Escreva uma expressão para a corrente instantânea [ ])(ti , da questão 11, usando 
a função seno. 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Reatância capacitiva 25 
 
 
Reatância Capacitiva 
 
 
 
 
 
 
 
Em resposta à corrente contínua, um capacitor atua como um armazenador de energia 
elétrica. Em corrente alternada, contudo, o comportamento do capacitor é 
completamente diferente devido à troca de polaridade da fonte. 
 
Este capítulo apresentará o comportamento do capacitor nas associações em circuitos 
CA. 
 
Para aprender esses conteúdos com mais facilidade, é necessário ter conhecimentos 
anteriores sobre corrente alternada e capacitores. 
 
 
Funcionamento em CA 
Os capacitores despolarizados podem funcionar em corrente alternada, porque cada 
uma de suas armaduras pode receber tanto potencial positivo como negativo. 
 
Quando um capacitor é conectado a uma fonte de corrente alternada, a troca 
sucessiva de polaridade da tensão é aplicada às armaduras do capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A cada semiciclo, a armadura que recebe potencial positivo entrega elétrons à 
fonte, enquanto a armadura que está ligada ao potencial negativo recebe elétrons. 
+
-
-
+
Eletricidade 
Reatância capacitiva 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a troca sucessiva de polaridade, uma mesma armadura durante um semiciclo 
recebe elétrons da fonte e no outro devolve elétrons para a fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe, portanto, um movimento de elétrons ora entrando, ora saindo da armadura. 
Isso significa que circula uma corrente alternada no circuito, embora as cargas 
elétricas não passem de uma armadura do capacitor para a outra porque entre elas 
há o dielétrico, que é um isolante elétrico. 
 
 
Reatância Capacitiva 
Os processos de carga e descarga sucessivas de um capacitor ligado em CA dão 
origem a uma resistência à passagem da corrente CA no circuito. Essa resistência é 
denominada de reatância capacitiva. Ela é representada pela notação XC e é 
expressa em ohms (Ω), através da expressão: 
 
 
 
 
Na expressão apresentada, XC é a reatância capacitiva em ohms (Ω); f é a freqüência 
da corrente alternada em Hertz (Hz); C é a capacitância do capacitor em Farad (F); 2π 
é uma constante matemática cujo valor aproximado é 6,28. 
 
X = V
IC
C
C
 
Eletricidade 
Reatância capacitiva 27 
Fatores que Influenciam na Reatância Capacitiva 
A reatância capacitiva de um capacitor depende apenas da sua capacitância e da 
freqüência da rede CA. O gráfico a seguir mostra o comportamento da reatância 
capacitiva com a variação da freqüência da CA, no qual é possível perceber que a 
reatância capacitiva diminui com o aumento da freqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No gráfico a seguir, está representado o comportamento da reatância capacitiva com a 
variação da capacitância. Observa-se que a reatância capacitiva diminui com o 
aumento da capacitância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na equação da reatância, não aparece o valor de tensão. Isso significa que a 
reatância capacitiva é independente do valor de tensão de CA aplicada ao capacitor. 
 
A tensão CA aplicada ao capacitor influencia apenas na intensidade de corrente CA 
circulante no circuito. 
 
Relação entre Tensão CA, Corrente CA e Reatância Capacitiva 
Quando um capacitor é conectado a uma fonte de CA, estabelece-se um circuito 
elétrico. Nesse circuito estão envolvidos três valores: 
• tensão aplicada; 
• reatância capacitiva; 
• corrente circulante. 
Eletricidade 
Reatância capacitiva 28 
 
Esses três valores estão relacionados entre si nos circuitos de CA da mesma forma 
que nos circuitos de CC, através da Lei de Ohm. 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, VC = I . XC. 
 
Nessa expressão, VC é a tensão no capacitor em volts (V); I é a corrente (eficaz) no 
circuito em ampères (A); XC é a reatância capacitiva em omhs (Ω). 
 
 
Exemplo de cálculo: 
Um capacitor de 1 µF é conectado a uma rede de CA de 220 V, 60 Hz. Qual é a 
corrente circulante no circuito?Deve-se lembrar que os valores de V e I são eficazes, ou seja, são valores que serão 
indicados por um voltímetro e um miliamperímetro de CA conectados ao circuito. 
 
 
 
Determinação Experimental da Capacitância de um Capacitor 
Quando a capacitância de um capacitor despolarizado é desconhecida, é possível 
determiná-la por um processo experimental. Isso é feito aplicando-se o capacitor a 
uma fonte de CA com tensão (VC) e freqüência (f) conhecidos e medindo-se a corrente 
com um amperímetro de CA (IC). 
 
 
 
VCA
f
Vc C
C=1µF
220 V
60 Hz
Ω= 2654 = 
0,000001 . 60 6,28.
1 = 
C . f . . 2
1XC π
 
mA 82,9 ou 0,0829
2654
220
X
V I
C
C ===
Eletricidade 
Reatância capacitiva 29 
 
(conhecido)
(conhecido)
(desconhecido)
C
 
 
Observação 
O valor de tensão de pico da CA aplicada deve ser inferior à tensão de trabalho do 
capacitor. 
 
Conhecendo-se os valores de tensão e corrente no circuito, determina-se a reatância 
capacitiva do capacitor por meio da expressão: 
 
 
 
A capacitância (C) é obtida a partir da expressão: 
 
 
 
 
Isolando C: 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Responda as seguintes questões. 
a) Qual o principal motivo que diferencia o funcionamento do capacitor em tensão 
alternada e contínua ? 
 
 
 
 
b) Qual é o único tipo de capacitor que pode funcionar em corrente alternada ? 
 
 
 
X = V
IC
C
C
 
 
C . f . . 2
1XC π
= 
C = 1
2 . . f . XCπ
 
Eletricidade 
Reatância capacitiva 30 
c) O que faz com que circule sempre uma corrente elétrica, quando o capacitor é 
ligado em corrente alternada ? 
 
 
 
 
d) O que é reatância capacitiva e qual sua unidade de medida ? 
 
 
 
 
e) Quais fatores influenciam no valor da reatância capacitiva ? 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva os seguintes exercícios. 
a) Determine a reatância capacitiva de um capacitor de 100 nF, ligado a uma rede 
elétrica com freqüência de 60 Hz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Um capacitor de 2,2 µF é ligado a uma fonte CA cuja freqüência é 18 KHz. Que 
valor de reatância apresenta esse componente? 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Reatância capacitiva 31 
c) Um capacitor de 47 µF apresentou, em um circuito, uma reatância capacitiva de 
169 Ω. Determine a freqüência do sinal de entrada deste circuito. 
 
 
 
 
d) Qual a reatância capacitiva em um capacitor de 330 KpF, ligado em uma rede de 
50 Hz ? 
 
 
 
 
e) Um capacitor de 0,047 µF é conectado a uma rede de CA 220 V, 60 Hz. Qual é a 
corrente neste circuito ? 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Reatância indutiva 33 
 
 
Reatância Indutiva 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo, continuaremos a estudar o comportamento dos indutores em circuitos 
de CA. Veremos que o efeito da indutância nestas condições se manifesta de forma 
permanente. 
 
Para aprender esses conteúdos com mais facilidade, é necessário ter bons 
conhecimentos sobre magnetismo, eletromagnetismo e indutância. 
 
 
Reatância Indutiva 
Quando se aplica um indutor em um circuito de CC, sua indutância se manifesta 
apenas nos momentos em que existe uma variação de corrente, ou seja, no momento 
em que se liga e desliga o circuito. 
 
Em CA, como os valores de tensão e corrente estão em constante modificação, o 
efeito da indutância se manifesta permanentemente. Esse fenômeno de oposição 
permanente à circulação de uma corrente variável é denominado de reatância 
indutiva, representada pela notação XL. Ela é expressa em ohms e representada 
matematicamente pela expressão: XL = 2. π . f . L 
 
Na expressão, XL é a reatância indutiva em ohms (Ω); 2π é uma constante (6,28); f é a 
freqüência da corrente alternada em hertz (Hz) e L é a indutância do indutor em 
henrys (H). 
 
Exemplo de Cálculo 
No circuito a seguir, qual é a reatância de um indutor de 600 mH aplicado a uma rede 
de CA de 220 V, 60Hz? 
Eletricidade 
Reatância indutiva 34 
 
 XL = 2. π . f . L = 6,28 . 60 . 0,6 = 226,08 
 
 XL = 226,08 Ω 
 
 
 
É importante observar que a reatância indutiva de um indutor não depende da 
tensão aplicada aos seus terminais. 
 
A corrente que circula em um indutor aplicado à CA (IL) pode ser calculada com base 
na Lei de Ohm, substituindo-se R por XL, ou seja: 
 
 
 
Na expressão, IL é a corrente eficaz no indutor em ampères (A); VL é a tensão eficaz 
sobre o indutor, expressa em volts (V); e XL é a reatância indutiva em ohms (Ω). 
 
Exemplo de Cálculo 
No circuito a seguir, qual o valor da corrente que um indutor de 600 mH aplicado a 
uma rede de CA de 110V, 60Hz, permitiria que circulasse? 
 
 XL = 2. π . f . L = 6,28 . 60 . 0,6 = 226,08 Ω 
 
 
 
 IL = 0,486 A 
 
 
Fator de Qualidade Q 
Todo indutor apresenta, além da reatância indutiva, uma resistência ôhmica que se 
deve ao material com o qual é fabricado. 
 
O fator de qualidade Q é uma relação entre a reatância indutiva e a resistência ôhmica 
de um indutor, ou seja: 
 
 
 
VL
60 Hz
 220 V
L
L
L X
V = I 
0,486 = 
226,08
110 = 
X
V = I
L
L
L 
Q = X
R
L 
Eletricidade 
Reatância indutiva 35 
Na expressão, Q é o fator de qualidade adimensional; XL é a reatância indutiva (Ω); R 
é a resistência ôhmica da bobina (Ω). 
 
Um indutor ideal deveria apresentar resistência ôhmica zero. Isso determinaria um 
fator de qualidade infinitamente grande. No entanto, na prática, esse indutor não existe 
porque o condutor sempre apresenta resistência ôhmica. 
 
Exemplo de Cálculo 
O fator de qualidade de um indutor com reatância indutiva de 3768 Ω (indutor de 10H 
em 60Hz) e com resistência ôhmica de 80 Ω é: 
 
 
 
 Q = 47,1 
 
Determinação Experimental da Indutância de um Indutor 
Quando se deseja utilizar um indutor e sua indutância é desconhecida, é possível 
determiná-la aproximadamente por processo experimental. O valor encontrado não 
será exato porque é necessário considerar que o indutor é puro (R = 0 Ω). 
 
Aplica-se ao indutor uma corrente alternada com freqüência e tensão conhecidas e 
determina-se a corrente do circuito com um amperímetro de corrente alternada. 
 
Conhecidos os valores de tensão e corrente do circuito, determina-se a reatância 
indutiva do indutor: 
 
 
 
Na expressão, VL é a tensão sobre o indutor; IL é a corrente do indutor. 
Q = X
R
 = 3768
80
 = 47,1L 
L
L
L I
V = X 
Eletricidade 
Reatância indutiva 36 
Aplica-se o valor encontrado na equação da reatância indutiva e determina-se a 
indutância: XL = 2. π . f . L. 
 
Isolando-se L, temos: 
 
 
 
 
A imprecisão do valor encontrado não é significativa na prática, porque os valores de 
resistência ôhmica da bobina são pequenos quando comparados com a reatância 
indutiva (alto Q). 
 
 
 
Exercícios 
1. Responda as questões que seguem. 
a) O que é reatância indutiva e qual é a sua unidade de medida ? 
 
 
 
 
b) Quais são os parâmetros que interferem no valor da reatância indutiva de um 
indutor ? 
 
 
 
 
c) Em um indutor alimentado por CA, quais grandezas elétricas são definidas como 
oposição à passagem da corrente elétrica neste circuito ? Explique por quê. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva os exercícios que seguem. 
L = X
2 . . f
L
π
 
Eletricidade 
Reatância indutiva 37 
a) Qual é a reatância indutiva oferecida por uma bobina de 0,2 H, ligada a uma fonte 
de 110 V - 60 Hz ? 
 
 
 
 
 
 
b) Qual é a indutância de uma bobina ligada a uma fonte de 30 V - 40 Hz, sendo que a 
bobina apresenta uma reatância indutiva de 12 Ω ? 
 
 
 
 
 
c) Determine a freqüência em uma bobina com a reatância indutiva de 942 Ω, 
indutância de 100 mH, ligada a uma rede de 220 V. 
 
 
 
 
 
 
d) Calcule a reatância indutiva em um indutor com 25 mH, em uma rede de 60V, 
8 kHz. 
 
 
 
 
 
 
e) Calcule a corrente elétrica que irá circular nos circuitos acima (a, b, c, d). 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 39 
 
 
Números Complexos 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar a resolução de cálculos em circuitos elétricos de Corrente Alternada 
necessitamos de instrumentos matemáticos que tornem possível o melhor 
entendimento desse assunto. 
 
Um dos instrumentos vital para a resolução de circuitosem CA é a teoria de números 
complexos. Para a análise e visualização dos fenômenos elétricos em CA usaremos o 
diagrama fasorial. 
 
1. Representação dos Números Complexos 
 
Responda rápido: qual a solução da equação x2 + 1 = 0 ? 
 
Ao resolvermos essa equação, notamos que não existem raízes pertencentes aos 
números reais. As raízes pertencem ao conjunto dos números complexos, que 
podemos usar para representar raízes quadradas de números negativos. 
Def.: Denomina-se unidade imaginária o número j, tal que: 
 
1−=j ou 12 −=j 
 
Assim, é possível representar a raiz quadrada de um número negativo através do 
número imaginário da seguinte forma: 
xjxjx ==− .2 
 
Exemplos: 
jjj 244.4 2 ===− 
jjj 399.9 2 ===− 
 
Da definição de j, pode-se deduzir também que: 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 40 
K
1)1).(1).(1(..
).1).(1(..
1)1).(1(.
).1(.
2226
225
224
23
−=−−−==
=−−==
=−−==
−=−==
jjjj
jjjjjj
jjj
jjjjj
 
 
Um número complexo possui três formas diferentes de representação: 
 
• Forma Retangular; 
• Forma Polar; e 
• Forma Trigonométrica. 
 
Cada uma destas formas pode ser usada dependendo das operações matemáticas 
envolvidas nos cálculos. 
 
 
1) FORMA RETANGULAR 
 
Genericamente, todo número complexo z pode ser representado forma retangular: 
 
 
bjaz += 



imagináriaunidadej
reaisnúmerossãobea
:
:
 
 
 
O plano cartesiano utilizado para representar um número complexo z é formado por 
um eixo real (abcissa) no qual se localiza a quantidade a, e um eixo imaginário 
(ordenada) no qual se localiza a quantidade b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z(a,b) 
Eixo 
Imaginário 
Eixo Real (R) 
Figura 1: Plano Cartesiano para números complexos 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 41 
θ 
o
 
2) FORMA POLAR 
 
Seja um número complexo z = a + bj representado no plano cartesiano, como mostra a 
figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na forma polar, o segmento de reta ρ=oz representa o módulo do número complexo 
z e θ representa o argumento (ângulo ou fase) de z, tomando-se como referência a 
parte positiva do eixo real. 
Assim, a forma polar de se representar um número complexo é a seguinte: 
 
 
θρ∠=z 
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DA FORMA RETANGULAR PARA POLAR 
 
Para transformar da forma retangular para a polar, usamos as seguintes expressões: 
 
22 ba +=ρ e 
a
b
arctg=θ 
 
Dependendo do quadrante em que está localizado o segmento oz , o cálculo do ângulo 
θ precisa ser corrigido para que seu valor tenha como referência sempre a parte 
positiva do eixo real. 
 
Figura 2: Forma Polar do Número Complexo 
a 
z
 
R 
b 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 42 
Exemplos: 
a) Segmento oz no segundo quadrante: 
oarctg 34
3
2
==′θ logo o14634180180 =−=′−= θθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Segmento oz no terceiro quadrante: 
oarctg 34
3
2
==′θ logo o21434180180 =+=′+= θθ ou 
o14618034180 −=−=−′= θθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-5 5
-4
4
x
y
-3
2
θ' 
θ 
R 
Im 
R
Im
-3
-2
θ 
θ' 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 43 
Exemplos: 
1) 





==
=+=
+=
oarctg
jz
45
4
4
2444
44
1
22
1
1
θ
ρ
 Tal que oz 45241 ∠= 
 
 
 
 
2) 



=
=
=
oz 0
7
7
2
2
2 θ
ρ
 Tal que oz 072 ∠= 
 
 
 
 
3) 



=
=
= ojz 90
3
3
3
3
3 θ
ρ
 Tal que 
o
o
z
ouz
2703
903
3
3
−∠=
∠=
 
 
 
 
 
4) 





=−=∴≅=′
≅=+−=
+−=
ooarctg
jz
1463418034
3
2
6,3132)3(
23
44
22
4
4
θθ
ρ
 Tal que oz 1466,34 ∠= 
 
 
 
 
5) 





=+=∴≅=′
=−+−=
−−=
ooarctg
jz
2173718037
4
3
5)3()4(
34
55
22
5
5
θθ
ρ
 Tal que oz 21755 ∠= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 44 
θ ρ.sen θ 
ρ.cos θ 
TRANSFORMAÇÃO DA FORMA POLAR PARA RETANGULAR 
 
Da figura 3, obtêm-se as expressões trigonométricas de a e b: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um número complexo pode também ser representado na forma trigonométrica, como 
segue: 
 
)sen.(cos θθρ jz += 
 
Para transformar da forma polar para a forma retangular, podemos utilizar as 
expressões trigonométricas de a e b. 
 
Exemplos: 
 
1) 





+=∴
===
===
∠=
jz
b
a
z o
o
o
66,85
66,8866,0.1060sen.10
55,0.1060cos.10
6010
1
1 
 
2) 





+−=∴
===
−=−==
∠=
jz
b
a
z o
o
o
32,1710
32,17866,0.20120sen.20
10)5,0.(20120cos.20
12020
1
2 
 
3) 





−=∴
−=−=−=
==−=
−∠=
jz
b
a
z o
o
o
253,43
25)5,0.(50)30sen(.50
3,43866,0.50)30cos(.50
3050
1
3 
 
a
z 
Im 
R
b
Figura 3: Forma trigonométrica do Número Complexo 
θρ
θρ
sen.
cos.
=
=
b
a
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 45 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
SOMA E SUBTRAÇÃO 
Para somar ou subtrair dois números complexos, utiliza-se a forma retangular, 
somando-se ou subtraindo-se as partes reais e imaginárias correspondentes. Assim, 
considerando-se os seguintes números complexos genéricos: 
 
jbazejbaz 222111 +=+= 
 
as operações 2121 zzezz −+ podem ser realizadas como segue: 
 
jbbaazz
jbbaazz
)()(
)()(
212121
212121
−+−=−
+++=+
 
 
 
Exemplos: 
Considere os seguintes números complexos: 
jzjzjzjz 2010155451010 4321 −−=+−=+=+= 
 
Obter: 
jjzz
jjzz
jjzz
jjzz
1110)154()]5(5[
65)104()105(
515)]20(15[)]10(5[
1415)410()510(
32
12
43
21
−=−+−−=+
−−=−+−=+
−−=−++−+−=+
+=+++=+
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-se a forma polar da seguinte 
maneira: 
- Multiplicação: multiplicam-se os módulos e somam-se os ângulos; 
- Divisão: dividem-se os módulos e subtraem-se os ângulos. 
Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos: 
 
222111 θρθρ ∠=∠= zez 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Números Complexos 46 
as operações 2121. zzezz podem ser realizadas como segue: 
 
21
2
1
2
1
212121 ..
θθ
ρ
ρ
θθρρ
−∠=
+∠=
z
z
zz
 
 
Exemplos: 
 
Considere os seguintes números complexos: 
ooo jzjzjz 9044601066,85452444 321 −∠=−=∠=+=∠=+= 
 
Obter: 
ooo
o
o
ooo
o
o
ooooo
ooooo
z
z
z
z
zz
zz
1504,06090
10
4
6010
904
1352)90(45
4
24
904
4524
304090604109046010.
1056,566045102460104524.
2
3
3
1
32
21
−∠=−−∠=
∠
−∠
=
∠=−−∠=
−∠
∠
=
−∠=−∠×=−∠×∠=
∠=+∠×=∠×∠=
 
 
 
 
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Dado um número complexo genérico θρ∠=+= zoubjaz , o seu conjugado *z é 
definido como: 
 
θρ −∠=−= ** zoubjaz 
 
1. A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado tem a qualidade de 
eliminar a parte imaginária, pois 22* )).((. babjabjazz +=−+= . Desta forma, a 
divisão entre dois números complexos na forma retangular pode ser realizada 
achando-se o conjugado (z) do denominador, multiplicando-o pelo numerador e 
pelo denominador, e realizam-se, em seguida, as operações necessárias para 
simplificar o resultado. 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 47 
 
 
Impedância 
 
 
 
 
 
 
 
1. IMPEDÂNCIA: Elementos resistivos 
 
Como estudado na seção anterior, para um circuito puramente resistivo, v e i estão em 
fase e suas amplitudes são dadas por 
 
rmsp
o
pp
pp
p
p
VVOnde
VVtVv
fasorialformaNa
RIV
R
V
I
=
∠=′⇒=
×=⇔=
).707,0(
0).707,0(.sen.
:
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a lei de ohm e utilizando a álgebra de fasores, temos: 
 
)0(0 R
orms
R
o
rms
R
V
R
VI θ
θ
−∠=
∠
∠
=′ 
 
Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve também ser zero, ou seja, θR = 
0o. Então, 
 
orms
R
VI 0∠=′ (no domínio da freqüência) 
i = Ip.sen ω.t 
v = Vp.sen ω.t R 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 48 
De modo que, no domínio do tempo, 
 
t
R
Vi rms ωsen).).(414,1(= 
 
Daí, sabendo que θR = 0o podemos escrever uma expressão na forma polar com 
relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente em um resistor: 
 
o
R RZ 0∠= 
 
A grandeza ZR, que tem um módulo e uma fase, é denominada impedância. Sua 
unidade é o ohm e indica quando o elemento "impede" a passagem de corrente no 
circuito. 
 
Exemplo 1: Usando a álgebra de números complexos, encontre a tensão v no circuito 
abaixo e esboce o gráfico de i e v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 



∠=′∴∠=′
+=
Ω=
=
oo
o
R
AIIFasorti
Z
v
30828,2304).707,0(:
)30.sen(.4
2
?
ω
 
 
Então, a tensão na forma fasorial é: 




∠=∠Ω∠=′
∠∠=′=′
ooo
o
rmsR
VAV
RIZIV
30656,5)02).(30828,2(
)0).((. θ
 
 
i = 4.sen ω.t + 30o 
2 Ω v =? 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 49 
Mas a tensão v pedida no exemplo pode ser dada no domínio do tempo. Portanto: 



+=
+=
)30.sen(.8
)30.sen(.656,5).414,1(
o
o
tv
tv
ω
ω
 
 
Podemos escrever uma tabela resumo: 
 
Domínio Tempo Freqüência 
Corrente )30sen(.4 oti += ω oI 30828,2 ∠=′ 
Tensão )30sen(.8 otv += ω oV 30656,5 ∠=′ 
Impedância R =2 Ω 
o
RZ 02∠= 
 
O gráfico das formas de onda de i e v é dado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao fazermos a análise de um circuito, é sempre útil traçar um diagrama de fasores que 
nos dá uma visão imediata dos módulos e das relações de fase para as várias 
grandezas associadas ao circuito. O diagrama de fasores do exemplo é traçado assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 50 
2. IMPEDÂNCIA: Elementos indutivos 
 
No caso do indutor puro, a tensão está adiantada de 90o em relação à corrente e a 
reatância indutiva XL é dada por ω.L. Então, 
 
rmsp
o
p
p
VVOnde
VV
fasorialformaNa
tVv
=
∠=′
=
).707,0(
0).707,0(
:
.sen. ω
 
 
Utilizando a definição de resistência, temos: 
 
)0(0 L
o
L
rms
LL
o
rms
X
V
X
VI θ
θ
−∠=
∠
∠
=′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como v está adiantada de 90o em relação a i, a corrente deve ter uma fase inicial de -
90o associada a ela. Para que esta condição seja satisfeita, θL deve ser igual a 90o. 
Substituindo este valor na expressão anterior, temos: 
o
L
rmsoo
L
rms
o
L
o
rms
X
V
X
V
X
VI 90)900(
90
0
−∠=−∠=
∠
∠
=′ 
 
De modo que, no domínio do tempo, 
 
)90.sen().).(414,1( o
L
rms t
X
Vi −= ω 
Daí, sabendo que θL = 90o podemos escrever uma expressão na forma polar que 
assegura a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente em um indutor: 
 
o
LL XZ 90∠= 
i 
v = Vp.sen ω.t XL = ω.L 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 51 
A grandeza ZL, que um módulo e uma fase, é denominada impedância do indutor, e 
tem a mesma unidade de ZR. Esta impedância indica quanto o indutor "impede" a 
passagem de corrente no circuito. 
 
Exemplo 2: Usando a álgebra de números complexos, encontre a tensão v no circuito 
abaixo e esboce o gráfico de v e i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 



∠=′∴∠=′
+=
Ω==
=
oo
o
LL
AIIFasor
ti
XZ
v
30535,3305).707,0(:
)30.sen(.5
4
?
ω
 
Então, a tensão na forma fasorial é: 




∠=∠Ω∠=′
∠∠=′=′
ooo
o
LrmsL
VAV
XIZIV
12014,14)904)(30535,3(
)90).((. θ
 
Mas a tensão v pedida no exemplo pode ser dada no domínio do tempo. Portanto: 



+=
+=
)120.sen(.20
)120.sen(.14,14).414,1(
o
o
tv
tv
ω
ω
 
 
Podemos escrever uma tabela resumo: 
Grandeza Domínio do Tempo 
Corrente )30sen(.5 oti += ω 
Tensão )120sen(.20 otv += ω 
Impedância XL = 4 Ω 
Grandeza Domínio da Freqüência 
Corrente oI 30535,3 ∠=′ 
Tensão oV 12014,14 ∠=′ 
Impedância 
o
LZ 904 +∠= 
v = ? XL = 4Ω 
i = 5.sen (ω.t + 30o)
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 52 
O gráfico das formas de onda de i e v é dado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de fasores desse exemplo indica claramente que a tensão está adiantada 
de 90o em relação à corrente. Observe o gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 53 
3. IMPEDÂNCIA: Elementos capacitivos 
 
No caso do capacitor puro, a corrente fica adiantada de 90o em relação à tensão e a 
reatância capacitiva XC é dada por (1/ω.C). 
Então, 
rmsp
o
p
p
VVOnde
VV
fasorialformaNa
tVv
=
∠=′
=
).707,0(
0).707,0(
:
.sen. ω
 
 
Aplicando a álgebra fasorial e a definição de resistência, obtemos: 
 
)0(0 C
o
C
rms
CC
o
rms
X
V
X
VI θ
θ
−∠=
∠
∠
=′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como i está adiantada de 90o em relação a v, a fase associada à corrente deve ser 
+90o. Para que esta condição seja satisfeita, θC deve ser igual a -90o. Substituindo este 
valor na expressão anterior, temos: 
 
o
C
rmsoo
C
rms
o
C
o
rms
X
V
X
V
X
VI 90)90(0
90
0
∠=−−∠=
−∠
∠
=′ 
 
De modo que, no domínio do tempo, 
 
)90.sen().).(414,1( o
C
rms t
X
Vi += ω 
Daí, sabendo que θC = -90o podemos escrever uma expressão na forma polar que 
assegura a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente em um capacitor: 
 
o
CC XZ 90−∠= 
v =Vp.sen ω.t
XC = (1/ω.C) 
i
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 54 
A grandeza ZC, que um módulo e uma fase, é denominada impedância do capacitor, 
e tem a mesma unidade de ZR. Esta impedância indica quanto o capacitor "impede" a 
passagem de corrente no circuito. 
 
 
Exemplo 3: Usando a álgebra de números complexos, obtenha a corrente i no circuito 
abaixo e trace o gráfico de v e i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 



∠=′∴∠=′
=
Ω==
=
oo
CC
VVVFasor
tv
XZ
i
0605,10015).707,0(:
.sen.15
2
?
ω
 
Então, a corrente na forma fasorial é: 








∠=′∴
−∠Ω
∠
=
−∠
∠
=
′
=′
o
o
o
o
C
rms
C
AI
V
X
V
Z
VI
90303,5
902
0605,10
90
θ
 
 
Mas a corrente i pedida no exemplo pode ser dada no domínio do tempo. Portanto: 



+=
+=
)90.sen(.5,7
)90.sen(.303,5).414,1(
o
o
ti
ti
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
v =15.sen ω.t 
XC = 2 Ω 
i = ? 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 55 
Podemos escrever a seguinte tabela resumo: 
Grandeza Domínio do Tempo 
Corrente )90sen(.5,7 oti += ω 
Tensão tv ωsen.15= 
Impedância XC = 2 Ω 
Grandeza Domínio da Freqüência 
Corrente oI 90303,5 ∠=′ 
Tensão oV 0605,10 ∠=′ 
Impedância 
o
CZ 902 −∠= 
 
O gráfico das formas de onda de i e v pode ser visto a seguir: 
 
 
 
 
O diagrama de fasores indica claramente que a corrente está adiantada de 90o em 
relação à tensão. Observe o gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 56 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) Expresse as impedâncias dos componentes a seguir, tanto na forma polar quanto na 
retangular. 
 
a) R = 6,8 Ω 
 
 
 
 
b) L = 2 H e ω = 377 rad/s 
 
 
 
 
c) C = 10 µF e ω = 377 rad/s 
 
 
 
 
d) L = 0,05 H e f=50 Hz 
 
 
 
 
e) R = 200 Ω e ω = 157 rad/s 
 
 
 
 
f) C = 0,05 µF e f = 10 kHz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia 57 
2) Calcule a corrente i para cada caso abaixo, utilizando a álgebra dos números 
complexos. Esboce as formas de onda de v e i conforme exemplos nas seções de 
teoria. 
 
a) R = 3 Ω e v = 21.sen(ω.t + 10o) 
 
 
 
 
 
b) XL = 7 Ω e v = 49.sen(ω.t + 70o) 
 
 
 
 
 
c) XC = 100 Ω e v = 25.sen(ω.t - 20o) 
 
 
 
 
 
d) R = 5,1 kΩ e v = 4.10-3.sen(ω.t - 120o) 
 
 
 
 
 
e) L = 0,1 H e v = 16.sen(377.t + 60o) 
 
 
 
 
 
f) C = 2 µF; f = 5 kHz e v = 120.sen ω.t 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 59 
 
 
Impedância – Análise vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
Quando um circuito composto apenas por resistores é conectado a uma fonte de CC 
ou CA, a oposição total que esse tipo de circuito apresenta à passagem da corrente é 
denominada de resistência total. Entretanto, em circuitos CA que apresentam 
resistências associadas e reatâncias associadas, a expressão resistência total não é 
aplicável. 
 
Nesse tipo de circuito, a oposição total à passagem da corrente elétrica é denominada 
de impedância, que não pode ser calculada da mesma forma que a resistência total 
de um circuito composta apenas por resistores, por exemplo. 
 
A existência de componente reativos, que defasam correntes ou tensões, torna 
necessário o uso de formas particulares para o cálculo da impedância de cada tipo de 
circuito em CA. Esse é o assunto deste capítulo. 
 
Para ter um bom aproveitamento no estudo deste assunto, é necessário ter 
conhecimentos anteriores sobre tipos de circuitos em CA, resistores, capacitores e 
indutores. 
 
Circuitos Resistivos, Indutivos e Capacitivos 
Em circuitos alimentados por CA, como você já estudou, existem três tipos de 
resistências que dependem do tipo de carga. 
 
Em circuitos resistivos, a resistência do circuito é somente a dificuldade que os 
elétrons encontram para circular por um determinado material, normalmente níquel-
cromo ou carbono.Esta resistência pode ser medida utilizando-se um ohmímetro. 
 
Nos circuitos indutivos, a resistência total do circuito não pode ser medida somente 
com um ohmímetro, pois, além da resistência ôhmica que a bobina oferece à 
passagem da corrente (resistência de valor muito baixo), existe também uma corrente 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 60 
de auto-indução que se opõe à corrente do circuito, dificultando a passagem da 
corrente do circuito. 
 
Desta forma, a resistência do circuito vai depender, além da sua resistência ôhmica, 
da indutância da bobina e da freqüência da rede, pois são estas grandezas que 
influenciam o valor da corrente de auto-indução. 
 
Nos circuitos capacitivos, a resistência total do circuito também não pode ser 
medida com um ohmímetro, porque a mudança constante do sentido da tensão da 
rede causa uma oposição à passagem da corrente elétrica no circuito. 
 
Neste caso, a resistência total do circuito, vai depender da freqüência de variação da 
polaridade da rede e da capacitância do circuito. 
 
A tabela que segue, ilustra de forma resumida os três casos citados. 
 
Tipo de 
circuito 
Grandeza Símbolo Unidade Representação Fórmula 
Causa da 
oposição 
Resistivo resistência 
 
R 
 
ohm 
 
Ω I
V
R = resistência do material usado 
 
Indutivo 
 
reatância 
indutiva 
 
XL 
 
ohm 
 
Ω 
 
2 . π . f . L 
corrente de 
auto-indução 
e quadrática 
 
Capacitivo 
reatância 
capacitiva 
 
XC 
 
ohm 
 
Ω Cf ⋅⋅π⋅2
1
 
variação 
constante de 
polaridade da 
tensão da rede 
 
Impedância 
Em circuitos alimentados por CA, com cargas resistivas-indutivas ou resistivas-
capacitivas, a resistência total do circuito será a soma quadrática da resistência pura 
(R) com as reatâncias indutivas (XL) ou capacitivas (XC). A este somatório quadrático 
denomina-se impedância, representada pela letra Z e expressa em ohms (Ω): 
 
Z2 = R2 + XL2 ou Z2 = R2 + XC2 
 
Para cálculo da impedância de um circuito, não se pode simplesmente somar valores 
de resistência com reatâncias, pois estes valores não estão em fase. 
 
• De acordo com o tipo de circuito, são usadas equações distintas para dois tipos de 
circuitos: em série e em paralelo. 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 61 
 
 Circuitos em Série 
Nos circuitos em série, pode-se ter três situações distintas: resistor e indutor, 
resistor e capacitor, ou resistor, indutor e capacitor simultaneamente. 
• Resistor e indutor (circuito RL - série). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Resistor e capacitor (circuito RC - série). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Resistor indutor e capacitor (circuito RLC - série). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VT
 f
Z X RL= +
2 2 
 VT
 f
Z X RC= +
2 2 
 VT
 f
( )Z X X RL C= − +2 2 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 62 
Tensão e Corrente 
Para cálculos de tensão e corrente, as equações são apresentadas na tabela a 
seguir: 
 
Tipo de Tensão Corrente 
circuito 
série Total Resistor Capacitor Indutor Total Resistor Capacitor Indutor 
RL VT = VR2 + VL2 VR = VT
2 - VL
2 - 2
R V- 
2
TV=LV
 
RC VT = VR2 + VC2 VR = VT2 - VC2 VC = VT2 - VR2 - I V
ZT
T= I V
RR
R= I V
XC
C
C
= I V
XL
L
L
= 
RLC VT R VC= −V 2 + ( VL )2
 
VR VC= −VT
2 - ( VL )
2
 
VC = XC . IT VL = XL . IT 
 
Circuitos em Paralelo 
Nos circuitos em paralelo, podem ocorrer três situações estudadas distintas; resistor e 
indutor, resistor e capacitor ou resistor, indutor e capacitor simultaneamente. A seguir 
será apresentado as três situações. 
 
• Resistor e indutor (circuito RL - paralelo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Resistor e capacitor (circuito RC - paralelo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z = 
XL ⋅
+
R
X RL
2 2
 
Z = 
X C ⋅
+
R
X RC
2 2
 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 63 
• Resistor indutor e capacitor (circuito RLC -série). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão e Corrente 
Para cálculos de tensão e corrente as equações são apresentadas a seguir. 
 
 
 VT = VR = VL = VC 
 
 
 
 
 
 
Tipo Tensão Corrente 
de 
circuito 
Total Resistor Capacitor Indutor Total Resistor Capacitor Indutor 
RL IT = IR
2 + IL
2 IR = IT
2 - IL
2 - IL = IT
2 - IC
2 
RC IT = IR
2 + IC
2 IR = IT
2 - IC
2 IC = IT
2 - IR
2 - I V
ZT
T= I V
RR
R= I V
XC
C
C
= I V
XL
L
L
= 
RLC IT R IC= −I
2 + ( IL )
2
 
IR IC= −IT
2 - ( IL )
2 IC IL= + IT
2 - IR
2 IL IC= + IT
2 - IR
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z
R X XL C
=




+ −






1
1 1 12
2 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 64 
Exercícios 
1. Calcule a impedância dos circuitos a seguir. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 65 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Impedãncia – Análise vetorial 66 
2. Resolva o problema a seguir. 
 
a. Calcular o valor de x no circuito a seguir, considerando-o em três situações: 
1a situação: x ⇒ resistor (calcular a resistência). 
2a situação: x ⇒ indutor (calcular a indutância). 
3a situação: x ⇒ capacitor (calcular a capacitância). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Potência em CA 67 
 
 
Potência em CA 
 
 
 
 
 
 
 
Além da tensão e da corrente, a potência é um parâmetro muito importante para o 
dimensionamento dos diversos equipamentos elétricos. 
Neste capítulo, estudaremos a potência em corrente alternada em circuitos 
monofásicos, o fator de potência e suas unidades de medida. 
Para aprender esse conteúdo com mais facilidade, é necessário ter conhecimentos 
anteriores sobre corrente alternada, comportamento de indutores e capacitores em 
CA. 
 
Potência em corrente alternada 
Como já vimos, a capacidade de um consumidor de produzir trabalho em um 
determinado tempo, a partir da energia elétrica, é chamada de potência elétrica. Em 
um circuito de corrente contínua, a potência é dada em watts, multiplicando-se a 
tensão pela corrente. 
 
 
 
 
O cálculo apresentado a seguir é válido não só para CC mas também para CA, 
quando os circuitos são puramente resistivos. 
 
P = U . I = 100 . 10 = 1000 W 
 
U
 
 A10
10
100
R
U I ===
Eletricidade 
Potência em CA 68 
Todavia, quando se trata de circuitos de CA com cargas indutivas e/ou capacitivas, 
ocorre uma defasagem entre tensão e corrente. Isso nos leva a considerar três tipos 
de potência: 
• potência aparente (S); 
• potência ativa (P); 
• potência reativa (Q). 
 
Potência Aparente 
A potência aparente (S) é o resultado da multiplicação da tensão pela corrente. Em 
circuitos não resistivos em CA, essa potência não é real, pois não considera a 
defasagem que existe entre tensão e corrente. 
 
A unidade de medida da potência aparente é o volt-ampère (VA). 
 
Exemplo de Cálculo: 
Determinar a potência aparente do circuito a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência Ativa 
A potência ativa, também chamada de potência real, é a potência verdadeira do 
circuito, ou seja, a potência que realmente produz trabalho. Ela é representada pela 
notação P. 
 
A potência ativa pode ser medida diretamente através de um wattímetro e sua 
unidade de medida é o watt (W). 
 
No cálculo da potência ativa, deve-se considerar a defasagem entre as potências, 
através do fator de potência (cos ϕ) que determina a defasagem entre tensão e 
corrente. Assim, a fórmula para esse cálculo é: P = U . I . cos ϕ 
 
 
 
 
 
S = U . I = 100 . 5 = 500 
 
S = 500 VA 
Eletricidade 
Potência em CA 69 
Exemplo de Cálculo: 
Determinar a potência ativa do circuito a seguir, considerando cos ϕ = 0,8. 
 
P = U . I . cos ϕ = 100 . 5 . 0,8 = 400 
P = 400 W 
 
Observação 
O fator cos ϕ (cosseno do ângulo de fase) é chamado de fator de potência do 
circuito, pois determina qual a porcentagem de potência aparente é empregada para 
produzir trabalho. 
 
O fator de potência é calculado por meio da seguinte fórmula: 
 
No circuito do exemplo acima, apotência ativa é de 400 W e a potência aparente é de 
500 VA. Assim, o cos ϕ é: 
 
 
A concessionária de energia elétrica especifica o valor mínimo do fator de potência em 
0,92 , medido junto ao medidor de energia. 
 
O fator de potência deve ser o mais alto possível, isto é, próximo da unidade 
(cos ϕ = 1). Assim, com a mesma corrente e tensão, consegue-se maior potência 
ativa que é a que produz trabalho no circuito. 
 
 
 
S
P cos =ϕ
80
500
400
S
P cos ,===ϕ
Eletricidade 
Potência em CA 70 
Potência Reativa 
Potência reativa é a porção da potência aparente que é fornecida ao circuito. Sua 
função é constituir o circuito magnético nas bobinas e um campo elétrico nos 
capacitores. 
 
Como os campos aumentam e diminuem acompanhando a freqüência, a potência 
reativa varia duas vezes por período entre a fonte de corrente e o consumidor. 
 
A potência reativa aumenta a carga dos geradores, dos condutores e dos 
transformadores originando perdas de potência nesses elementos do circuito. 
 
A unidade de medida da potência reativa é o volt-ampère reativo (VAr), 
e é representada pela letra Q. 
 
A potência reativa é determinada por meio da seguinte expressão: 
Q = S . sen ϕ 
 
 
Exemplo de Cálculo: 
Determinar a potência reativa do circuito a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente, verifica-se na tabela, o valor do ângulo ϕ e o valor do seno desse 
ângulo: 
arc cos 0,8 = 36o 52' 
sen 36o 52' = 0,6 
 
Outra maneira de determinar o sen ϕ é por meio da seguinte fórmula: 
No exemplo dado, tem-se 
 
Q = S . sen ϕ = 500 . 0,6 = 300 
 
2) (cos - 1 sen ϕ=ϕ
0,60,360,6410,81) (cos - 1 sen 22 ==−=−=ϕ=ϕ
Eletricidade 
Potência em CA 71 
Q = 300 VAr 
 
Triângulo das Potências 
As equações que expressam as potências ativa, aparente e reativa podem ser 
desenvolvidas geometricamente em um triângulo retângulo chamado de triângulo das 
potências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, se duas das três potências são conhecidas, a terceira pode ser determinada 
pelo teorema de Pitágoras. 
 
Exemplo 
Determinar as potências aparente, ativa e reativa de um motor monofásico alimentado 
por uma tensão de 220 V, com uma corrente de 3,41 A circulando, e tendo 
um cos ϕ = 0,8. 
 
Potência Aparente 
S = V . I = 220 V . 3,41 
S ≅ 750 VA 
 
Potência Ativa 
P = V . I . cos ϕ = 220 x 3,41 x 0,8 
P = 600 W 
 
Potência Reativa 
Q = 450 VAr 
 
202500 600 - 750 2222 ==−= PSQ
 
Eletricidade 
Potência em CA 72 
Exercícios 
1. Responda às questões a seguir. 
a) O que é potência elétrica ? 
 
 
 
 
b) Qual é a diferença entre as potências ativa, aparente e reativa ? 
 
 
 
 
 
 
 
c) O que o cosseno do ângulo ϕ representa ? 
 
 
 
 
 
2. Resolva os exercícios que seguem. 
a) Calcule as potências aparente e ativa de uma instalação com os seguintes valores: 
• tensão: 220 V; 
• corrente: 3 A; 
• cos ϕ: 0, 85. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
Potência em CA 73 
b) Um motor elétrico monofásico tem uma potência ativa de 1472 W (2 CV), e uma 
potência aparente de 1894 VA. Calcule a potência reativa e o cos ϕ desse motor. 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual será a potência reativa em um circuito com sen ϕ 0,65, cuja tensão de 
alimentação é 120 V e a corrente é 12 A? 
 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 75 
 
 
Transformadores 
 
 
 
 
 
 
 
Os aparelhos eletroeletrônicos são construídos para funcionar alimentados pela rede 
elétrica. Todavia, a grande maioria deles usam tensões muito baixas para alimentar 
seus circuitos: 6 V, 12 V, 15 V. Um dos dispositivos utilizados para fornecer baixas 
tensões a partir das redes de 110 V ou 220 V é o transformador. 
 
Por isso, é extremamente importante que os técnicos de eletroeletrônica conheçam e 
compreendam as características desse componente. 
 
Este capítulo apresenta as especificações técnicas e modo de funcionamento dos 
transformadores, de modo a capacitá-lo a conectar, testar e especificar corretamente 
esses dispositivos. 
 
Para ter sucesso no desenvolvimento dos conteúdos e atividades deste capítulo, você 
deverá ter bons conhecimentos prévios sobre corrente alternada, indutores em CA, 
relação de fase entre tensões e eletromagnetismo. 
 
 
Transformador 
 
O transformador é um dispositivo que permite elevar ou rebaixar os valores de tensão 
em um circuito de CA. A grande maioria dos equipamentos eletrônicos emprega 
transformadores para elevar ou rebaixar tensões. 
 
A figura a seguir mostra alguns tipos de transformadores. 
 
Eletricidade 
Transformadores 76 
 
 
Funcionamento 
Quando uma bobina é conectada a uma fonte de CA, um campo magnético variável 
surge ao seu redor. Se outra bobina se aproximar da primeira, o campo magnético 
variável gerado na primeira bobina corta as espiras da segunda bobina. 
 
Em conseqüência da variação do campo magnético sobre as espiras, surge uma 
tensão induzida na segunda bobina. 
 
A bobina na qual se aplica a tensão CA é denominada primário do transformador. A 
bobina onde surge a tensão induzida é denominada secundário do transformador. 
Eletricidade 
Transformadores 77 
 
 
Observação 
As bobinas primária e secundária são eletricamente isoladas entre si. Isso se chama 
isolação galvânica. A transferência de energia de uma para a outra se dá 
exclusivamente através das linhas de forças magnéticas. 
 
A tensão induzida no secundário é proporcional ao número de linhas magnéticas que 
cortam a bobina secundária e ao número de suas espiras. Por isso, o primário e o 
secundário são montados sobre um núcleo de material ferromagnético. 
 
 
Esse núcleo tem a função de diminuir a dispersão do campo magnético fazendo com 
que o secundário seja cortado pelo maior número possível de linhas magnéticas. 
Como conseqüência, obtém-se uma transferência melhor de energia entre primário e 
secundário. 
 
Veja a seguir o efeito causado pela colocação do núcleo no transformador. 
 
Eletricidade 
Transformadores 78 
 
Com a inclusão do núcleo, embora o aproveitamento do fluxo magnético gerado seja 
melhor, o ferro maciço sofre perdas por aquecimento causadas por dois fatores: a 
histerese magnética e as correntes parasitas. 
 
As perdas por histerese magnética são causadas pela oposição que o ferro oferece à 
passagem do fluxo magnético. Essas perdas são diminuídas com o emprego de ferro 
doce na fabricação do núcleo. 
 
As perdas por corrente parasita (ou correntes de Foulcault) aquecem o ferro porque a 
massa metálica sob variação de fluxo gera dentro de si mesma uma força eletromotriz 
(f.e.m.) que provoca a circulação de corrente parasita. 
 
Para diminuir o aquecimento, os núcleos são construídos com chapas ou lâminas de 
ferro isoladas entre si. O uso de lâminas não elimina o aquecimento, mas torna-o 
bastante reduzido em relação ao núcleo de ferro maciço. 
 
Eletricidade 
Transformadores 79 
Observação 
As chapas de ferro contêm uma porcentagem de silício em sua composição. Isso 
favorece a condutibilidade do fluxo magnético. 
 
A figura a seguir mostra os símbolos usados para representar o transformador, 
segundo a norma NBR 12522/92 
 
Transformador com 
dois enrolamentos 
Transformador com 
três enrolamentos 
 
Autotransformador 
Transformador com 
derivação central em 
um enrolamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformadores com mais de um Secundário 
Para se obter várias tensões diferentes, os transformadores podem ser construídos 
com mais de um secundário, como mostram as ilustrações a seguir. 
 
 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 80 
Relação de Transformação 
Como já vimos, a aplicação de uma tensão CA ao primário de um transformador causa 
o aparecimento de uma tensão induzida em seu secundário. Aumentando-se a tensão 
aplicada ao primário, a tensão induzida no secundário aumenta na mesma proporção. 
Essa relação entre as tensões depende fundamentalmente da relação entre o número 
de espiras no primário e secundário. 
 
Por exemplo, num transformador com primário de 100 espiras e secundário de 200 
espiras, a tensão do secundário será o dobro da tensão do primário.Se chamarmos o número de espiras do primário de NP e do secundário de NS 
podemos escrever: VS/VP = 2 NS/NP = 2. 
 
Lê-se: saem 2 para cada 1 que entra. 
 
O resultado da relação VS/ VP e NS/NP é chamado de relação de transformação e 
expressa a relação entre a tensão aplicada ao primário e a tensão induzida no 
secundário. 
 
Um transformador pode ser construído de forma a ter qualquer relação de 
transformação que seja necessária. Veja exemplo na tabela a seguir. 
 
Relação de Transformação Transformação 
3 VS = 3 . VP 
5,2 VS = 5,2 . VP 
0,3 VS = 0,3 . VP 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 81 
Observação 
A tensão no secundário do transformador aumenta na mesma proporção da tensão do 
primário até que o ferro atinja seu ponto de saturação. Quando esse ponto é atingido, 
mesmo que haja grande variação na tensão de entrada, haverá pequena variação na 
tensão de saída. 
 
 
Tipos de Transformadores 
Os transformadores podem ser classificados quanto à relação de transformação. 
Nesse caso, eles são de três tipos: 
• transformador elevador; 
• transformador rebaixador; 
• transformador isolador. 
 
O transformador elevador é aquele cuja relação de transformação é maior que 1, ou 
seja, NS > NP. Por causa disso, a tensão do secundário é maior que a tensão do 
primário, isto é, VS> VP. 
 
O transformador rebaixador é aquele cuja relação de transformação é menor que 1, ou 
seja, NS < NP. Portanto, VS < VP. 
 
Os transformadores rebaixadores são os mais utilizados em eletrônica. Sua função é 
rebaixar a tensão das redes elétricas domiciliares (110 V/220 V) para tensões de 6 V, 
12 V e 15 V ou outra, necessárias ao funcionamento dos equipamentos. 
 
O transformador isolador é aquele cuja relação de transformação é de 1 para 1, ou 
seja, NS = NP. Como conseqüência, VS = VP. 
 
Os transformadores isoladores são usados em laboratórios de eletrônica para isolar 
eletricamente da rede a tensão presente nas bancadas. Esse tipo de isolação é 
chamado de isolação galvânica. 
 
Veja a seguir a representação esquemática desses três tipos de transformadores. 
 
 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 82 
Eletricidade 
Transformadores 83 
Relação de Potência 
Como já foi visto, o transformador recebe uma quantidade de energia elétrica no 
primário, transforma-a em campo magnético e converte-a novamente em energia 
elétrica disponível no secundário. 
 
 
A quantidade de energia absorvida da rede elétrica pelo primário é denominada de 
potência do primário, representada pela notação PP. Admitindo-se que não existam 
perdas por aquecimento do núcleo, pode-se concluir que toda a energia absorvida no 
primário está disponível no secundário. 
 
A energia disponível no secundário chama-se potência do secundário (PS). Se não 
existirem perdas, é possível afirmar que PS = PP. 
 
A potência do primário depende da tensão aplicada e da corrente absorvida da rede, 
ou seja: PP = VP . IP 
 
A potência do secundário, por sua vez, é o produto da tensão e corrente no 
secundário, ou seja: PP = VS . IS. 
 
A relação de potência do transformador ideal é, portanto: 
VS . IS = VP . IP 
 
Esta expressão permite que se determine um dos valores do transformador se os 
outros três forem conhecidos. Veja exemplo a seguir. 
 
 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 84 
Exemplo 
Um transformador rebaixador de 110 V para 6 V deverá alimentar no seu secundário 
uma carga que absorve uma corrente de 4,5 A. Qual será a corrente no primário? 
 
 
VP = 110 V 
VS = 6 V 
IS = 4,5 A 
IP = ? Como VP . IP = VS . IS, então: 
 
Potência em Transformadores com mais de um Secundário 
Quando um transformador tem mais de um secundário, a potência absorvida da rede 
pelo primário é a soma das potências fornecidas em todos os secundários. 
 
 
Matematicamente, isso pode ser representado pela seguinte equação: 
mA 245 ou A 245,0
110
27
110
5,4.6
V
I.V
I
P
SS
P ====
Eletricidade 
Transformadores 85 
 
PP = PS1 + PS2 + ... + PSn 
 
Onde PP é a potência absorvida pelo primário; 
PS1 é a potência fornecida pelo secundário 1; 
PS2 é a potência fornecida pelo secundário 2; 
PSn é a potência fornecida pelo secundário n. 
 
Essa expressão pode ser reescrita usando os valores de tensão e corrente do 
transformador: 
 
VP . IP = (VS1 . IS1) + (VS2 . IS2) + ... + (VSn . ISn) 
 
Onde VP e IP são respectivamente tensão e corrente do primário; 
VS1 e IS1 são respectivamente tensão e corrente do secundário 1; 
VS2 e IS2 são respectivamente tensão e corrente do secundário 2; 
VSn e ISn são respectivamente tensão e corrente do secundário n. 
 
 
Exemplo 
Determinar a corrente do primário do transformador mostrado a seguir: 
 
 
PP = VP . IP 
VP . IP = (VS1 . IS1) + (VS2 . S2) = (6 . 1) + (40 . 1,5) = 6 + 60 = 66 VA 
PP = 66 VA 
V 
Eletricidade 
Transformadores 86 
 
IP = 0,6 A ou 600 mA 
 
 
Ligação de Transformadores em 110 V e 220 V 
Alguns aparelhos eletrônicos são fabricados de tal forma que podem ser usados tanto 
em redes de 110 V quanto de 220 V. Isso é possível através da seleção feita por meio 
de uma chave situada na parte posterior do aparelho. 
 
Na maioria dos casos, essa chave está ligada ao primário do transformador. De 
acordo com a posição da chave, o primário é preparado para receber 110 V ou 220 V 
da rede elétrica e fornece o mesmo valor de tensão ao secundário. 
 
Existem dois tipos de transformadores cujo primário pode ser ligado para 110 V e 
220V: 
• transformador 110 V/220 V com primário a três fios; 
• transformador 110 V/220 V com primário a quatro fios. 
 
Transformador com Primário a Três Fios 
O primário do transformador a três fios é constituído por uma bobina para 220 V com 
uma derivação central. 
 
A6,0
110
66
V
PI
P
P
P ===
Eletricidade 
Transformadores 87 
Essa derivação permite que se utilize apenas uma das metades do primário de modo 
que 110 V sejam aplicados entre uma das extremidades da bobina e a derivação 
central. 
 
 
Veja a seguir a representação esquemática dessa ligação. 
 
 
A chave usada para a seleção 110 V/220 V é normalmente deslizante, de duas 
posições e dois pólos. É também conhecida como HH. 
 
 
Transformador com Primário a Quatro Fios 
O primário desse tipo de transformador constitui-se de duas bobinas para 110 V, 
eletricamente isoladas entre si. 
Eletricidade 
Transformadores 88 
 
 
 
Ligação para 220V 
Em um transformador para entrada 110 V/220 V com o primário a quatro fios, a 
ligação para 220 V é feita colocando as bobinas do primário em série. Deve-se 
observar a identificação dos fios, ou seja, I1 para a rede, I2 e F1 interligados e F2 para a 
rede. 
 
Ligação para 110 V 
Em um transformador para entrada 110 V/220 V com primário a quatro fios, a ligação 
para 110 V é feita colocando as duas bobinas primárias em paralelo respeitando a 
identificação dos fios, ou seja, I1 em ponte com I2 na rede, F1 em ponte com F2 na 
rede. 
Eletricidade 
Transformadores 89 
 
 
Quando a chave HH está na posição 110 V, os terminais I1, I2, F1 e F2 são conectados 
em paralelo à rede. 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 90 
Quando a chave HH está na posição 220 V, os terminais I1 e F2 ficam ligados à rede 
por meio da chave. 
 
 
 
Instalação de Dispositivos de Controle e Proteção 
 
Em todo o equipamento elétrico ou eletrônico, é necessário dispor de dispositivos de 
comando do tipo liga/desliga e de dispositivos de proteção que evitam danos maiores 
em caso de situações anormais. Normalmente, tanto os dispositivos de controle 
quanto os de proteção são instalados na entrada de energia do circuito, antes do 
transformador. 
 
Para a proteção do equipamento, geralmente um fusível é usado. Sua função é 
romper-se caso a corrente absorvida da rede se eleve. Isso corta a entrada de energia 
do transformador. 
 
O fusível é dimensionado para um valor de corrente um pouco superior à corrente 
necessária para o primário do transformador. Alguns equipamentos têm mais de um 
fusível: um "geral", colocado antes do transformador e outroscolocados dentro do 
circuito de acordo com as necessidades do projeto. 
Eletricidade 
Transformadores 91 
Veja a seguir a representação esquemática da ligação do fusível e chave liga/desliga 
no circuito. 
 
 
Observação 
Tanto na ligação para 110 V quanto para 220 V, a ordem de início e fim das bobinas é 
importante. Normalmente, os quatro fios do primário são coloridos e o esquema indica 
os fios. 
 
 
I1 - início da bobina 1; 
F1 - fim da bobina 1; 
I2 - início da bobina 2; 
F2 - fim da bobina 2. 
 
 
Eletricidade 
Transformadores 92 
Identificação dos Terminais 
 
Quando não se dispõe, no esquema do transformador, da identificação do início ou fim 
dos terminais da bobina, é necessário realizar um procedimento para identificá-los. 
Isso é necessário porque se a ligação for realizada incorretamente, o primário pode 
ser danificado irreversivelmente. 
 
O procedimento é o seguinte: 
• identificar, com o ohmímetro, o par de fios que corresponde a cada bobina. 
Sempre que o instrumento indicar continuidade, os dois fios medidos são da 
mesma bobina. Além de determinar os fios de cada bobina, esse procedimento 
permite testar se as bobinas estão em boas condições; 
• separar os pares de fios de cada bobina; 
• identificar os fios de cada uma das bobinas com início e fim I1, F1 e I2, F2. 
 
A identificação de início e fim pode ser feita aleatoriamente em cada bobina da 
seguinte forma: 
1. Interligar as bobinas do primário em série; 
2. Aplicar, no secundário, uma tensão CA de valor igual à tensão nominal do 
secundário. Por exemplo: em um transformador 110 V/220 V x 6 V, deve-se aplicar 
uma tensão de 6 V no secundário. 
 
Eletricidade 
Transformadores 93 
 
No transformador usado como exemplo, se 220 V forem aplicados ao primário, 
serão obtidos 6 V no secundário. Da mesma forma, se forem aplicados 6 V no 
secundário, deve-se obter 220 V no primário (em série). Assim, é possível verificar 
se a identificação está correta, medindo a tensão nas extremidades do primário. 
 
3. Medir a tensão das extremidades do primário. Se o resultado da medição for 220 
V, a identificação está correta. Se o resultado for 0 V, a identificação está errada. 
Nesse caso, para corrigir a identificação, deve-se trocar apenas a identificação de 
uma das bobinas (I1 por F1 ou I2 por F2). 
 
Observação 
É conveniente repetir o teste para verificar se os 220 V são obtidos no primário. 
 
 
Especificação de Transformadores 
 
A especificação técnica de um transformador deve fornecer: 
• a potência em VA (pequenos transformadores); 
• as tensões do primário; 
• as tensões do secundário. 
 
A especificação 110 V/220 V 6 V - 1 A 30 V-0,5 A indica um transformador com as 
seguintes características: 
• primário - entrada para 110 V ou 220 V; 
• 2 secundários - um para 6 V-1 A e um para 30 V-0,5 A. 
 
A especificação técnica de um transformador em que o secundário tenha derivação 
central é feita da seguinte maneira: 12 VA, de potência; 110 V/220 V, características 
do primário; 6 + 6 V, secundário com 6 + 6 V, ou seja, 6 V entre as extremidades e a 
derivação central; 1 A, corrente no secundário. 
 
 
Relação de Fase entre as Tensões do Primário e do Secundário 
 
A tensão no secundário é gerada quando o fluxo magnético variável corta as espiras 
do secundário. Como a tensão induzida é sempre oposta à tensão indutora, a tensão 
no secundário tem sentido contrário à do primário. 
Eletricidade 
Transformadores 94 
 
Isso significa que a tensão no secundário está defasada 180o da tensão no primário, 
ou seja, quando a tensão no primário aumenta num sentido, a tensão do secundário 
aumenta no sentido oposto. 
 
 
 
Ponto de Referência 
 
Considerando-se a bobina do secundário de um transformador ligado em CA, observa-
se que a cada momento um terminal é positivo e o outro é negativo. Após algum 
tempo, existe uma troca de polaridade. O terminal que era positivo torna-se negativo e 
vice-versa. 
 
 
Nos equipamentos eletrônicos é comum um dos terminais do transformador ser usado 
como referência, ligado ao terra do circuito. Nesse caso, o potencial do terminal 
aterrado é considerado como sendo 0 V, não apresentando polaridade. 
 
Isto porém não significa que não ocorra a troca de polaridade no secundário. Em um 
semiciclo da rede, o terminal livre é positivo em relação ao terminal aterrado 
(referência). 
 
No outro semiciclo, o terminal livre é negativo em relação ao potencial de referência. 
Eletricidade 
Transformadores 95 
 
 
 
Rendimento (η) 
 
Entre todas as máquinas elétricas, o transformador é uma das que apresentam maior 
rendimento. Mesmo assim, ocorrem perdas na transformação de tensão. 
 
O rendimento expressa a potência que realmente está sendo utilizada, pois, parte da 
potência é dissipada em perdas no ferro e no cobre. 
 
A relação entre a potência medida no primário e a potência consumida no secundário 
é que define o rendimento de um transformador: 
 
Nessa igualdade η é o rendimento do transformador em porcentagem; PS é a potência 
dissipada no primário em volt ampère; PP é a potência dissipada no primário em volt 
ampère, e 100% é o fator que transforma a relação em porcentagem. 
 
Por exemplo, ao medir as potência do primário e secundário de um transformador 
chegou-se ao seguinte resultado: 
%100.
P
P
P
S=η
Eletricidade 
Transformadores 96 
 
 
O redimento desse transformador pode ser determinado utilizando a equação: 
 
 
O rendimento desse transformador é de 92,6 %. 
 
 
Transformador com Derivação Central no Secundário 
 
O transformador com derivação central no secundário ("center tap") tem ampla 
aplicação em eletrônica. Na maioria dos casos, o terminal central é utilizado como 
referência e é ligado ao terra do circuito eletrônico. 
 
 
 
Durante seu funcionamento, ocorre uma formação de polaridade bastante singular. 
Num dos semiciclos da rede, um dos terminais livres do secundário tem potencial 
positivo em relação à referência. O outro terminal tem potencial negativo e a inversão 
de fase (180o) entre primário e secundário ocorre normalmente.
%6,92%100.
162
150
P
P
P
S ===η
Eletricidade 
SENAI 97 
 
 
 
No outro semiciclo há uma troca entre as polaridades das extremidades livres do 
transformador, enquanto o terminal central permanece em 0 V e acontece novamente 
a defasagem de 180o entre primário e secundário. Assim, verificamos que, com esse 
tipo de transformador, é possível conseguir tensões negativas e positivas 
instantaneamente, usando o terminal central como referência. Isso pode ser 
observado com o auxílio de um osciloscópio. Veja ilustração a seguir. 
 
 
Eletricidade 
SENAI 98 
 
Exercícios 
 
1. Responda às seguintes perguntas: 
a) Qual é a principal função de um transformador? 
 
 
 
 
 
 
b) O que a relação de transformação define em um transformador? 
 
 
 
 
 
 
c) Qual fator define se o enrolamento de um transformador é primário ou secundário? 
 
 
 
 
 
 
 
2. Relacione a segunda coluna com a primeira. 
a. Enrolamento primário ( ) Conduz o campo magnético. 
b. Transformador isolador ( ) Recebe tensão da rede. 
c. Núcleo ( ) Tensão primária é maior que a tensão secundária. 
d. Transformador rebaixador ( ) Fornece tensão a carga. 
e. Enrolamento secundário ( ) Fornece tensão contínua isolada. 
 ( ) As tensões primária e secundária são iguais. 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade 
SENAI 99 
 
3. Preencha as lacunas com V para as afirmações verdadeiras e F para as 
afirmações falsas. 
a) ( ) A tensão induzida está em fase com a tensão indutora 
b) ( ) O enrolamento primário é o responsável pelo campo magnético indutor. 
c) ( ) Existe ligação elétrica entre os enrolamentos primário e secundário para 
facilitar a indução. 
d) ( ) O valor da tensão é proporcional ao número de espiras do transformador. 
e) ( ) A seção transversal do condutor da bobina do transformador é proporcional 
à corrente do enrolamento. 
 
 
4. Resolva os seguintes exercícios 
a) No transformador que segue, calcule a