LIVRO 4 SETOR A

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Setor 1206
Prof.: 
aula 25 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 54
aula 26 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 56
aula 27 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 56
aula 28 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 58
aula 29 ........... AD ........... TM ........... TC  ...............61
aula 30 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 63
aula 31 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 65
aula 32 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 65
aula 33 ........... AD ........... TM ........... TC  .............. 68
aula 34........... AD ........... TM ........... TC  ...............70
Texto teórico ......................................................................72
Setor A
FíSicA
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54 Física – Setor 1206 KAPA 4
AulA 25
TrAnSmiSSão do movimenTo circulAr: 
AcoplAmenTo de poliAS e de engrenAgenS
 AcoplAmento de poliAs por correiAs
 As polias giram no mesmo sentido. 
 A maior polia gira mais lentamente: ω
A
 , ω
B
 e f
A 
, f
B
.
 Velocidade escalar dos pontos periféricos: V
A
 5 V
B
.
 Relação entre as velocidades angulares: ω
A
 ? r
A
5 ω
B
 ? r
B
.
 AcoplAmento de engrenAgens por dentes em contAto
 As engrenagens giram em sentidos opostos. 
 A maior engrenagem gira mais lentamente: 
ω
A
 , ω
B
 e f
A 
, f
B
.
 Velocidade escalar dos pontos periféricos: V
A
 5 V
B
.
 Relação entre as velocidades angulares: 
ω
A
 ? r
A
5 ω
B
 ? r
B
.
 AcoplAmento de engrenAgens ou poliAs por eixo comum
 As polias giram no mesmo sentido. 
 As polias giram juntas e possuem a mesma frequência angular: 
ω
A
 5 ω
B
 e f
A 
5 f
B
.
 Velocidade escalar dos pontos periféricos: V
A
 . V
B
.
 Relação entre as velocidades escalares: 5
V
r
V
r
A
A
B
B
.
 trAnsmissão do mcu e o funcionAmento dA bicicletA
ω
A
ω
B
ω
R
B A
Catraca (CA)
Coroa (CO)
Pedal (PE)Roda traseira (RT)
Pedal
Coroa
Roda motriz (traseira)
Catraca
Corrente
Sobre o movimento da bicicleta:
 Pedais (PE), coroa (CO), catraca (CA) e roda traseira (RT) giram no mesmo sentido.
 Transmissão de movimento da coroa para a catraca: ω
A
 ? r
A
5 ω
B
 ? r
B
.
 Transmissão de movimento da catraca para a roda traseira: ω
B
 5 ω
R
.
 Cálculo da velocidade da bicicleta: V
bic
 5 ω
R
 ? r
R
, em que r
R
 é o raio da roda traseira.
ω
A
ω
Br
B
r
A
V
B
V
A
r
B
r
A
A B
ω
B
ω
A
V
A
V
B
ω
B
ω
A
r
A
r
B
V
A
V
B
D
u
D
a
r
e
v
 M
ik
h
a
il
/S
h
u
t
t
e
r
S
t
o
c
k
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KAPA 4 Física – Setor 1206 55
exercícioS
1 
 O esquema a seguir mostra três engrenagens in-
terconectadas pelo encaixe de seus dentes. Os 
dentes das três engrenagens possuem tamanhos 
iguais. Dessa forma, quanto maior o raio da engre-
nagem, mais dentes ela apresenta em sua periferia.
A
B
C
Considerando a situação apresentada e sabendo 
que a engrenagem A tem rotação horária, do pon-
to de vista do leitor:
a) Indique o sentido de rotação de cada engrena-
gem, em função da rotação da engrenagem A.
b) Calcule a frequência de rotação das engrena-
gens A e B, sabendo que a frequência de rota-
ção da engrenagem C é de 40 rpm.
a) 
 
A
B
C
b) as velocidades escalares dos dentes das engrenagens 
são iguais. considerando que os dentes das engrenagens 
têm o mesmo tamanho, seus raios são proporcionais ao 
número de dentes. assim, como a engrenagem a tem 
N
a
 5 16 dentes, B tem N
B
 5 12 dentes e c tem N
c
 5 8 
dentes, podemos escrever:
v
a
 5 v
B
 5 v
c
 → ω
a
 ? r
a
 5 ω
B
 ? r
B
 5 ω
c
 ? r
c
 →
→ 2π ? f
a
 ? N
a
 5 2π ? f
B
 ? N
B
 5 2π ? f
c
 ? N
c
 →
→ f
a
 ? 16 5 f
B
 ? 12 5 40 ? 8
logo, f
a
 5 20 rpm e f
B
 5 
80
3
 rpm.
H-20
2 
 (Enem) As bicicletas possuem uma corrente que 
liga uma coroa dentada dianteira, movimentada 
pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da 
roda traseira, como mostra a figura A.
O número de voltas dadas pela roda traseira a 
cada pedalada depende do tamanho relativo 
destas coroas.
Quando se dá uma pedalada na bicicleta da figura 
B (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais 
dá uma volta completa), qual é a distância aproxi-
mada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que 
o comprimento de um círculo de raio R é igual a 
2πR, onde π > 3?
a) 1,2 m
b) 2,4 m
c) 7,2 m
d) 14,4 m
e) 48,0 m
1o passo: a frequência de rotação do pedal é igual à frequên-
cia de rotação da coroa. logo, se for dada uma pedalada, a 
coroa dá uma volta completa.
2o passo: a coroa transmite seu movimento à catraca por 
meio da corrente de modo que a velocidade escalar de um 
dente da coroa é igual à do dente da catraca. isso significa 
que a frequência de rotação da catraca é maior que a da 
coroa, na proporção dos seus raios. assim, a catraca dá três 
voltas, enquanto a coroa dá apenas uma.
3o passo: a frequência da catraca é igual à frequência da 
roda traseira, pois elas estão acopladas por um eixo comum. 
logo, com uma pedalada, a roda traseira dá três voltas.
ΔS 5 3 ? 2π ? r → ΔS > 3 ? 2 ? 3 ? 0,4 5 7,2 m
H-20
Fig. A
Fig. B
10 cm
8
0
 c
m
30 cm
orienTAção de eSTudo
Tarefa mínima
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 13 e 15 do caderno de 
exercícios, série 15.
Tarefa complementar
 leia o texto teórico da aula 25.
 Faça os exercícios 16 e 17 do caderno de 
exercícios, série 15.
 Faça os exercícios 1 e 2 do rumo ao enem.
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56 Física – Setor 1206 KAPA 4
 Velocidade de um corpo em mcu
V
3
V
1
V
2
 A direção da velocidade vetorial é variável, logo: 
V
1
 Þ V
2
 Þ V
3
.
 O módulo da velocidade vetorial (velocidade es-
calar) é constante, logo: = =V V V1 2 3.
 A velocidade angular do corpo é constante: 
5 5 5 ?ω
π
πconstante 2
T
2 f.
 princípio Fundamental da 
dinâmica aplicado ao mcu
R
CP
r
V
a
CP
 A aceleração do corpo não é nula: γ Þ 0.
 A aceleração do corpo é centrípeta: 
5 5 5 ?γ ωa V
r
r.cp
2
2
 A resultante das forças também é centrípeta: 
5 ? 5
?
5 ? ?ωR m a m V
r
m r.cp cp
2
2
ExErcícios
1 Depois de aprender sobre dinâmica do MCU, um 
aluno tem uma ideia para medir a intensidade da 
aceleração da gravidade: dotado de uma balança 
de mola (dinamômetro) portátil e graduada em 
newtons, ele se dirige ao parque de diversões que 
se instalou no bairro e, sabendo que a roda-gigan-
te quando em movimento apresenta velocidade 
constante, compra um tíquete e nela embarca, 
com sua balança de mola embaixo do braço.
Durante o passeio na roda-gigante, ele encontra-
-se sentado na balança de mola e atentamente 
identifica e anota as leituras desta quando ele 
passa pelas posições mais baixa e mais alta da 
roda-gigante, registrando respectivamente 936 N 
e 240 N.
De posse desses dados 
e sabendo que sua mas-
sa é de 60 kg, ele conclui 
que o valor da acelera-
ção da gravidade no lo-
cal vale
a) 9,0 m/s²
b) 9,5 m/s²
c) 9,8 m/s²
d) 9,9 m/s²
e) 10,0 m/s²
C C
R
CP
R
CP
N
B
N
A
P
P
Como a roda-gigante gira com velocidade angular constante, a 
resultante centrípeta apresenta o mesmo valor tanto no ponto 
mais alto como no ponto mais baixo. Assim:
R R P N N P P m g
N N
2
g 240 936
2 60
g 9,8 m s
A B A B
A B
2
→ → →
→ →
5 2 5 2 5 ? 5
1
5
1
?
5
H-20
C
aulas 26 e 27 Dinâmica Do movimEnto circular E uniformE (mcu)
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KAPA 4 Física – Setor 1206 57
2 (Enem)
O Brasil pode se transformar no primeiro país das 
Américas a entrar no seleto grupo das nações que dis-
põem de trens-bala. O Ministério dos Transportes prevê 
o lançamento do edital de licitação internacional para a 
construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Paulo. 
A viagem ligará os 403 quilômetros entre a Central do 
Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no centroda capital 
paulista, em uma hora e 25 minutos.
Disponível em: <http://oglobo.globo.com>. Acesso em: 14 jul. 2009.
Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser 
enfrentado na escolha do trajeto que será percor-
rido pelo trem é o dimensionamento das curvas. 
Considerando-se que uma aceleração lateral 
confortável para os passageiros e segura para o 
trem seja de 0,1 g, em que g é a aceleração da 
gravidade (considerada igual a 10 m/s2), e que a 
velocidade do trem se mantenha constante em 
todo o percurso, seria correto prever que as curvas 
existentes no trajeto deveriam ter raio de curvatu-
ra mínimo de, aproximadamente,
a) 80 m.
b) 430 m.
c) 800 m.
d) 1 600 m.
e) 6 400 m.
1o passo: calcular a velocidade média do trem, suposta cons-
tante no trajeto. Para tal, algumas aproximações podem ser 
utilizadas, como se segue:
> >
∆
∆
→ →
→ →
v S
t
v
403 km
1h25min
v
4 10 m
5 10 s
v 80 m s
m
5
3
5 5
?
?
2o passo: calcular o raio da curva, por meio do valor da “acele-
ração lateral” do trem (aceleração centrípeta):
a v
r
0,1 10 80
r
r 6400 mc
2 2
→ →5 ? 5 5
H-20
3 O atrito é o principal responsável por um carro con-
seguir realizar uma curva plana em uma rodovia. 
A tendência do veículo, devido à inércia, é conti-
nuar seu movimento em linha reta. A esfregação 
dos pneus contra o solo “empurra” o carro para 
dentro da curva o tempo todo, permitindo o seu 
movimento. O esquema a seguir mostra a situação 
na qual o veículo de massa 1 000 kg realiza uma 
curva de 50 m de raio, com velocidade constante.
R
Sabendo que, para os pneus do carro e o asfalto, 
o coeficiente de atrito vale 0,45, determine a ve-
locidade máxima de segurança para essa curva.
veja o esquema que representa as forças aplicadas no automóvel:
No mesmo sentido da velocidade, há uma parcela do atrito tro-
cado com o solo, que promove o rolamento das rodas e permite 
o avanço do carro. No sentido oposto há a força de resistência 
do ar, que equilibra esse atrito tangencial, colaborando para man-
ter o módulo da velocidade constante. De acordo com a turma, 
pode-se comentar sobre essas duas forças. caso contrário, con-
torne essa discussão marcando apenas as forças verticais e o 
atrito “para dentro da curva”.
as forças verticais se equilibram, sendo o atrito a resultante 
centrípeta atuando sobre o carro enquanto realiza a curva. as-
sim, tem-se:
R
A'
A
F
ar
N
P
a r N m v
r
v g r
v 0,45 10 50 v 15 m/s 54 km/h
cp
2
→ µ → µ →
→ →
5 ? 5
?
5 ? ?
5 ? ? 5 5
H-20
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 26 e 34 do caderno de 
exercícios, série 15.
Tarefa mínima Tarefa complementar
 leia o texto teórico das aulas 26 e 27.
 Faça os exercícios 27 e 29 do caderno de 
exercícios, série 15.
 Faça o exercício 4 do rumo ao enem.
orienTAção de eSTudo
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58 Física – Setor 1206 KAPA 4
 sobre A energiA
 Está sempre presente em situações em que há algum tipo de movimento ou em situações em que se pode 
obter algum tipo de movimento.
 Não pode ser criada nem destruída.
 Pode ser apenas transformada ou transferida.
 Sempre se conserva.
 nomenclAturA AssociAdA à energiA
ENERGIA
Elétrica
Elástica
Gravitacional
Cinética
Potencial
Térmica
Elétrica
Luminosa
Nuclear
 usinAs de trAnsformAção de energiA e obtenção de eletricidAde
Tipo de usina Principal transforma•‹o de energia
Hidrelétrica Potencial gravitacional (mecânica) em elétrica
Termelétrica Térmica em elétrica
Eólica Cinética (mecânica) em elétrica
Nuclear Nuclear em elétrica
Geotérmica Térmica em elétrica
Fotovoltaica Luminosa (solar) em elétrica
AulA 28 energiA e SuAS TrAnSFormAçõeS
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KAPA 4 Física – Setor 1206 59
exercícioS
1 
 (Enem) A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de processos, fenômenos ou objetos em que ocorrem 
transformações de energia. Nesta tabela, aparecem as direções de transformação de energia. Por exemplo, 
o termopar é um dispositivo onde energia térmica se transforma em energia elétrica.
De
Em
Elétrica Química Mecânica Térmica
Elétrica Transformador Termopar
Química
Reações 
endotérmicas
Mecânica Dinamite Pêndulo
Térmica Fusão
Dentre os processos indicados na tabela, ocorre conservação de energia
a) em todos os processos.
b) somente nos processos que envolvem transformação de energia sem dissipação de calor.
c) somente nos processos que envolvem transformação de energia mecânica.
d) somente nos processos que não envolvem energia química.
e) somente nos processos que não envolvem nem energia química nem térmica.
2 
 (Enem) No nosso dia a dia, deparamo-nos com muitas tarefas pequenas e problemas que demandam pouca 
energia para serem resolvidos e, por isso, não consideramos a eficiência energética de nossas ações. No 
global, isso significa desperdiçar muito calor que poderia ainda ser usado como fonte de energia para outros 
processos. Em ambientes industriais, esse reaproveitamento é feito por um processo chamado de cogeração. 
A figura a seguir ilustra um exemplo de cogeração na produção de energia elétrica.
Gases de 
exaustão
Energia elétrica 
secundária
Energia elétrica 
primária
Vapor
Recuperação 
de calor
Turbina e 
gerador
Gerador a 
diesel
Entrada de 
combustível
cogeração de energia elétrica
F
o
n
T
e
: 
h
iN
r
ic
h
S
, 
r
. 
a
.;
 k
l
e
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c
a
h
, 
M
. 
E
n
e
rg
ia
 e
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io
 a
m
b
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te
. 
S
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o
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 l
e
a
rn
ig
, 
2
0
0
3
. 
a
d
a
p
ta
d
o
.
Em relação ao processo secundário de aproveitamento de energia ilustrado na figura, a perda global de 
energia é reduzida por meio da transformação de energia:
a) térmica em mecânica.
b) mecânica em térmica.
c) química em térmica.
d) química em mecânica.
e) elétrica em luminosa.
H-18
Princípio fundamental relacionado 
à energia: ela sempre se conser-
va. essa questão é fundamental 
para levantar a discussão sobre as
 transformações da 
energia e a conservação da energia 
mecânica; esta, sim, conserva-se 
apenas em condições específicas.
H-23
a análise do esquema mostra que, na recuperação do calor, parte dessa ener-
gia é utilizada para a obtenção de vapor que aciona a turbina e o gerador. 
assim, tem-se energia térmica sendo transformada em energia mecânica, que, 
posteriormente, é transformada em energia elétrica.
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60 Física – Setor 1206 KAPA 4
3 
 (Enem) A energia térmica liberada em processos de fissão nuclear pode ser utilizada na geração de vapor 
para produzir energia mecânica, que, por sua vez, será convertida em energia elétrica. A seguir está repre-
sentado um esquema básico de uma usina de energia nuclear.
Rio
Bomba-dÕ‡gua
Bomba-dÕ‡gua
Pilhas 
nucleares
çgua
Vapor Gerador
Condensador
Turbina
A partir do esquema são feitas as seguintes afirmações:
 I. A energia liberada na reação é usada para ferver a água que, como vapor a alta pressão, aciona a turbina.
 II. A turbina, que adquire uma energia cinética de rotação, é acoplada mecanicamente ao gerador para 
produção de energia elétrica.
 III. A água depois de passar pela turbina é preaquecida no condensador e bombeada de volta ao reator.
Dentre as afirmações acima, somente está(ão) correta(s):
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) II e III.
4 
 (Enem) Deseja-se instalar uma estação de geração de energia elétrica em um município localizado no interior 
de um pequeno vale cercado de altas montanhas de difícil acesso. A cidade é cruzada por um rio, que é 
fonte de água para consumo, irrigação das lavouras de subsistência e pesca. Na região, que possui pequena 
extensão territorial, a incidência solar é alta o ano todo. A estação em questão irá abastecer apenas o mu-
nicípio apresentado.
Qual forma de obtenção de energia, entre as apresentadas, é a mais indicada para ser implantada nesse 
município de modo a causar o menor impacto ambiental?
a) Termelétrica, poisé possível utilizar a água do rio no sistema de refrigeração.
b) Eólica, pois a geografia do local é própria para a captação desse tipo de energia.
c) Nuclear, pois o modo de resfriamento de seus sistemas não afetaria a população.
d) Fotovoltaica, pois é possível aproveitar a energia solar que chega à superfície do local.
e) Hidrelétrica, pois o rio que corta o município é suficiente para abastecer a usina construída.
orienTAção de eSTudo
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 6 e 7 do caderno de exercícios, 
série 20.
Tarefa mínima Tarefa complementar
 leia o texto teórico da aula 28.
 Faça os exercícios 1, 2 e 8 do caderno de 
exercícios, série 20.
 Faça os exercícios 6 e 8 do rumo ao 
enem.
H-8
H-23
4. a questão pede que se escolha a implantação de uma modalidade de usina que cause menor impacto 
ambiental. a discussão sobre impacto ambiental é complexa, uma vez que a implantação de deter-
minada usina envolve processos industriais iniciais (construção de máquinas, aerogeradores, painéis 
fotovoltaicos, etc.) que podem ser altamente impactantes ao ambiente. Mas, se limitada à implantação 
e à operação da usina, a escolha recai sobre a obtenção de energia fotovoltaica, uma vez que no local 
a incidência solar é alta. 
i. certa. a energia liberada 
na reação nuclear é utilizada 
para ferver a água. esta, 
sendo transformada em va-
por sob alta pressão, aciona 
a turbina.
ii. certa. acionada pelo va-
por a alta pressão, a turbi-
na adquire energia cinética 
de rotação, girando o eixo 
acoplado a ela e ao gera-
dor. com o gerador sendo 
acionado, obtém-se energia 
elétrica. 
iii. errada.No condensador o 
vapor é resfriado e transfor-
mado novamente em água, 
ao trocar calor com a água 
fria que é bombeada do rio, 
num circuito independente. 
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KAPA 4 Física – Setor 1206 61
 trAbAlho de umA forçA constAnte
ΔS
α α
FF
τ
F
 5 F ? ΔS ? cos α
interpretações sobre o sinal do trabalho
Ângulo
Sinal do 
cosseno
Sinal do 
trabalho
Descrição
α 5 0° cos α 5 1 0F
.τ→ Força atua “a favor do movimento”
0 < α < 90° cos α > 0 0F
.τ→ Força atua “a favor do movimento”
α 5 90° cos α 5 0 0F
5τ→ Força não interfere no movimento
90° < α <180° cos α < 0 0F
,τ→ Força atua “contra o movimento”
 trAbAlho de umA forçA constAnte em direção, mAs de 
intensidAde VAriáVel
5‡rea | τ |
N
ΔS
F
AulA 29 TrAbAlho de umA ForçA conSTAnTe em deSlocAmenToS reTilíneoS
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62 Física – Setor 1206 KAPA 4
exercícioS
1 
 Um jovem levanta um objeto verticalmente com a mão mantendo, durante o movimento, a velocidade cons-
tante. O trabalho mecânico associado à força aplicada por ele é
a) positivo, pois a força exercida por ele atua na mesma direção e em sentido oposto ao do movimento do objeto. 
b) positivo, pois a força exercida por ele atua na mesma direção e sentido do movimento do objeto.
c) zero, uma vez que o movimento tem velocidade constante.
d) negativo, pois a força exercida por ele atua na mesma direção e em sentido oposto ao do movimento do objeto.
e) negativo, pois a força exercida por ele atua na mesma direção e sentido do movimento do objeto.
2 
 Num pacote de farinha de trigo, aparecem as seguintes informações nutricionais:
inFormAção nuTricionAl
(porção de 50 g, ou 1/2 xícara de farinha)
Quantidade por porção VD(%)
Valor energético 170 kcal 5 714 kJ 9%
Carboidratos 36,0 g 12%
Proteínas 4,9 g 7%
Gorduras totais 0,7 g 1%
Gorduras saturadas 0,0 g 0%
Gorduras trans 0,0 g –
Fibra alimentar 1,6 g 6%
Sódio 0,0 mg 0%
Ferro 2,1 mg 15%
Ácido fólico (vit. B9) 76 μg 19%
Suponha que um estudante ingira alimentos contendo duas porções dessa farinha e que, do valor energé-
tico disponível, 25% possam ser transformados por seu organismo em trabalho muscular necessário para 
empurrar um móvel, com velocidade constante e aplicando-lhe uma força de intensidade constante e igual 
a 40 N, formando um ângulo fixo de 45° com a horizontal. Isso faz com que o móvel possa ser empurrado 
por uma distância de aproximadamente (use cos 45° 5 0,7)
a) 3,8 km
b) 4,5 km
c) 6,4 km
d) 12,8 km
e) 25,6 km
H-17
ε → τ 5 F ? ΔS ? cos α → 0,25 ? 714 ? 103 5 40 ? ΔS ? 0,7 → ΔS 5 6,375 ? 103 m → ΔS > 6,4 km
orienTAção de eSTudo
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1 e 2 do caderno de exercícios, 
série 22.
Tarefa mínima Tarefa complementar
 leia o texto teórico da aula 29.
 Faça os exercícios 5, 7 e 8 do caderno de 
exercícios, série 22.
 Faça o exercício 9 do rumo ao enem.
como o objeto é levantado verticalmente, a força aplicada pelo 
jovem é vertical e para cima, na mesma direção e sentido do 
movimento do objeto. logo, o trabalho associado a essa força é: 
τ 5 F ? ΔS ? cos α → τ 5 F ? ΔS ? cos 0º → τ 5 F ? ΔS . 0
850420416_KAPA4_CA_053a090_1206_FISICA_A.indd 62 3/11/16 12:36 PM
KAPA 4 Física – Setor 1206 63
R
V
0
V
Situação inicial Situação fnal
d
F1
F3
F2
τ
R
 5 Δε
C
 → τ
R
 m V
2
m V
2
2
0
2
5
?
2
?
Observação:
 O Teorema da Energia Cinética refere-se sempre ao trabalho da resultante das forças aplicadas ao corpo 
ou sistema.
interpretação do sinal do trabalho da resultante
τ
R
 . 0 εc final . εc inicial
Intensidade da velocidade 
do corpo é maior no final do 
que no início.
τ
R
 5 0 εc final 5 εc inicial
Intensidade da velocidade 
do corpo é a mesma no final 
e no início.
τ
R
 , 0 εc final , εc inicial
Intensidade da velocidade 
do corpo é menor no final do 
que no início.
exercícioS
1 Uma partícula vinda do espaço entra na atmosfera terrestre e é completamente vaporizada devido ao atrito 
com o ar após se deslocar por uma distância de 3,0 km. Sabe-se que sua energia cinética inicial é igual a 
E
c
 5 9 ? 104 J. Pode-se, então, estimar o módulo da força de atrito média, desprezando-se o trabalho do peso 
nesse deslocamento. Tal valor é semelhante ao peso de
a) uma formiga.
b) uma xícara de açúcar.
c) um gato adulto.
d) uma criança de 10 anos.
e) um automóvel pequeno.
H-23
5 ? ? 5
?
2
?
2 ? ? 5 2 ? 5
F S cos m v
2
m v
2
F 3 10 9 10 F 30 N
c
2
0
2
3 4
τ ∆ε → ∆ α →
→ →
essa força é equivalente ao peso de um corpo de massa 3 kg. entre as alternativas, a que apresenta um elemento que possui apro-
ximadamente esse valor de massa.
AulA 30 TeoremA dA energiA cinéTicA (Tec)
850420416_KAPA4_CA_053a090_1206_FISICA_A.indd 63 3/11/16 12:36 PM
64 Física – Setor 1206 KAPA 4
2 (Enem) 
Uma análise criteriosa do desempenho de Usain Bolt na quebra do recorde mundial dos 100 metros rasos mostrou 
que, apesar de ser o último dos corredores a reagir ao tiro e iniciar a corrida, seus primeiros 30 metros foram os mais 
velozes já feitos em um recorde mundial cruzando essa marca em 3,78 segundos. Até se colocar com o corpo reto, fo-
ram 13 passadas, mostrando sua potência durante a aceleração, o momento mais importante da corrida. Ao final desse 
percurso, Bolt havia atingido a velocidade máxima de 12 m/s.
Disponível em: <http://esporte.uol.com.br>. Acesso em: 5 ago. 2012. Adaptado.
Supondo que a massa desse corredor seja igual a 90 kg, o trabalho total realizado nas 13 primeiras passadas 
é mais próximo de:
a) 5,4 ? 10² J
b) 6,5 ? 10³ J
c) 8,6 ? 10³ J
d) 1,3 ? 104 J
e) 3,2 ? 104 J
H-23
τ
r 
 5 ε
c
 ⇒ τ
r 
 m v
2
m v
2
2
0
2
5
?
2
?
 ⇒ τ
r 
 
90 12
2
0
2
5
?
2 ⇒ τ
r 
 5 6 480 J ⇒ τ
r 
 • 6,5 ? 103 J
a aplicação do tec é o caminho mais adequado, pois os dados fornecidos não permitem a classificação do movimento e o cálculo 
do trabalho total (ou trabalho da resultante das forças) por outro meio.
orienTAção de eSTudo
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 2 e 4 do caderno de exercícios, 
série 24.
Tarefa mínima Tarefa complementar
 leia o texto teórico da aula 30.
 Faça os exercícios 5 a 7 do caderno de exercícios, 
série 24.
 Faça o exercício 10 do rumo ao enem.
AnoTAçõeS
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KAPA4 Física – Setor 1206 65
 energiA mecânicA
Energia mecânica
ε
m
 5 ε
C
 1 ε
P
Cinética
m V
2
C
2
5
?
ε
Potencial gravitacional ε
Pgrav
 5 m ? g ? H
Potencial elástica 5 ?ε k x
2
P elást
2
 forçAs conserVAtiVAs e forçAs não conserVAtiVAs
forças conservativas
 O trabalho dessas forças não depende da trajetória. 
 Podem ser associadas a uma energia potencial.
forças não conservativas
 O trabalho dessas forças depende da trajetória.
 Não podem ser associadas a uma energia potencial
AulAS 31 e 32 TeoremA dA energiA mecânicA (Tem)
k
iw
iS
o
u
l
/S
h
u
t
t
e
r
S
t
o
c
k
t
r
a
N
S
t
o
c
k
/M
a
S
t
e
r
F
il
e
/l
a
t
iN
S
t
o
c
k
t
r
a
N
S
t
o
c
k
/M
a
S
t
e
r
F
il
e
/l
a
t
iN
S
t
o
c
k
850420416_KAPA4_CA_053a090_1206_FISICA_A.indd 65 3/11/16 12:36 PM
66 Física – Setor 1206 KAPA 4
exemplos de forças conservativas e forças não conservativas
FORÇAS
Gravitacional 
(peso)
Elástica
Elétrica
Normal
Atrito
Tração
Resistência do ar
Empuxo
Conservativas 
(F
C
)
Não conservativas 
(F
NC
)
 teoremA dA energiA mecânicA
Para qualquer corpo (ou sistema de corpos) submetido à ação de forças, tem-se que:
τ τ
F mec F mf miNC NC
Δε → ε ε5 5 2
 sistemAs conserVAtiVos
τ 0 Δ 0
F mec mf miNC
→ ε → ε ε5 5 5
Observe que mesmo que haja a aplicação de forças não conservativas ao corpo (ou sistema de corpos), se seu 
trabalho for nulo, o sistema será conservativo.
exercícioS
1 (Enem) Os carrinhos de brinquedo podem ser de 
vários tipos. Dentre eles, há os movidos a corda, 
em que uma mola em seu interior é comprimida 
quando a criança puxa o carrinho para trás. Ao ser 
solto, o carrinho entra em movimento enquanto a 
mola volta à sua forma inicial.
O processo de conversão de energia que ocorre 
no carrinho descrito também é verificado em
a) um dínamo.
b) um freio de automóvel.
c) um motor a combustão.
d) uma usina hidroelétrica.
e) uma atiradeira (estilingue).
2 (Enem) Um automóvel, em movimento uniforme, 
anda por uma estrada plana, quando começa a des-
cer uma ladeira, na qual o motorista faz com que o 
H-18
uma mola comprimida, quando se distende, transforma energia potencial elástica em energia cinética. Dentre os demais dispositivos 
apresentados nas alternativas, o estilingue realiza a mesma transformação de energia. 
H-23
carro se mantenha sempre com velocidade escalar 
constante. Durante a descida, o que ocorre com as 
energias potencial, cinética e mecânica do carro?
a) A energia mecânica mantém-se constante, já 
que a velocidade escalar não varia e, portanto, 
a energia cinética é constante.
b) A energia cinética aumenta, pois a energia poten-
cial gravitacional diminui e, quando uma se reduz, 
a outra cresce.
c) A energia potencial gravitacional mantém-se 
constante, já que há apenas forças conservati-
vas agindo sobre o carro.
d) A energia mecânica diminui, pois a energia 
cinética se mantém constante, mas a energia 
potencial gravitacional diminui.
e) A energia cinética mantém-se constante, já que 
não há trabalho realizado sobre o carro.
Durante a descida do automóvel, conforme mencionado, podemos avaliar as se-
guintes energias:
i. energia potencial gravitacional: como esta depende diretamente da altura 
(ε
pG
 2 m ? g ? h), durante a descida, seu valor diminui.
ii. energia cinética: como esta depende da velocida-
de do automóvel 5 ?m v
2
c
2
ε

 , com a velocidade 
constante, seu valor se mantém constante. 
iii. energia mecânica: como esta é formada 
pela soma da energia potencial gravitacio-
nal e da energia cinética, como a energia 
potencial gravitacional diminui, enquanto 
a cinética permanece constante, a energia 
mecânica também diminui. 
Questione a classe: se a energia mecânica diminui 
o sistema não é conservativo. Que forças e qual 
transformação de energia podem estar presentes 
nesse processo?
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KAPA 4 Física – Setor 1206 67
3 
 Num experimento controlado, com o uso de 
equipamentos adequados, foi possível registrar 
as posições de um objeto de 1 kg solto do alto 
de um edifício de 100 m de altura. Com os dados 
coletados, foi construído o gráfico a seguir.
0
0
2 4 6 8 10 12
20
40
60
80
100
A
lt
u
ra
 (
m
)
Tempo (s)
120
a) Com base nos dados apresentados, calcule a 
velocidade com que o objeto colidiu contra o 
solo (h 5 0).
b) Calcule o trabalho realizado pelo atrito do ob-
jeto em queda com o ar, no intervalo de tempo 
total abrangido pelo gráfico. 
H-23
a) Note que, a partir de determinado instante, o gráfico torna-se 
uma reta, o que indica que a velocidade do objeto passa a ser 
constante. 
0
0
2 4 6 8 10 12
20
40
60
80
100
120
Tempo (s)
A
lt
u
ra
 (
m
)
logo, pode-se calcular a velocidade com que o objeto chega 
ao solo:
5 5 5v S
t
70
7
v 10 m / s∆
∆
→
b) há duas forças atuando no corpo em queda: o peso e o atrito 
com o ar. enquanto o peso é uma força conservativa, o atrito 
com o ar é uma força não conservativa. Pode-se então utilizar o 
teorema da energia Mecânica para calcular o trabalho do atrito 
com o ar:
5 5
?
2 ? ?
5
?
2 ? ?
5 2 5 2
m v
2
m g h
1 10
2
1 10 100
50 1000 950 J
FNc M a
2
a
2
a a
τ ∆ε → τ →
→ τ →
→ τ → τ
4 
 Um automóvel de 1 300 kg viaja por uma estrada 
cujo perfil está mostrado na figura a seguir. No 
instante inicial, sua velocidade é de 54 km/h.
0
0
20 40 60 80 100 120 140 160
5
10
15
20
25
A
lt
u
ra
 (
m
)
Posição x (m)
30
35
40
a) Numa situação ideal em que não ocorre dissi-
pação de energia devido às forças resistivas, 
calcule a velocidade desse automóvel ao passar 
pela posição x 5 120 m.
b) Considerando que, devido às forças resistivas, 
ele chegue a essa posição com 80% da ener-
gia cinética inicial, determine a velocidade com 
que passa por esse ponto. (Use 5 2,2> .)
H-23
a) havendo conservação da energia mecânica e utilizando-se 
os valores de altura como indicados no gráfico, tem-se:
5 1 5 1
?
1 ? ? 5
?
1 ? ? 5
5
?
1 ? ? 5
?
1 ? ?
5
m v
2
m g h m v
2
m g h
10 15
2
10 10 35 10 v
2
10 10 15
v 25 m/s
mi mf ci Pi cf Pf
0
2
2
3 2
3
3 2
3
ε ε → ε ε ε ε →
→
→
→
b) Se nesse ponto o automóvel possui 80% da sua energia ci-
nética inicial, tem-se:
5 ?
?
5 ?
?
5 ?
80% m v
2
0,8
m v
2
v 0,8 15 v 13,4 m/s
c c
2
0
2
2 2
f f
>
ε ε → →
→ →
orienTAção de eSTudo
Tarefa mínima
AulA 31
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 2 e 3 do caderno de exercícios, 
série 25.
AulA 32
 Faça os exercícios 5, 6 e 10 do caderno de 
exercícios, série 26.
Tarefa complementar
 leia o texto teórico das aulas 31 e 32.
 Faça os exercícios 14 e 17 do caderno de 
exercícios, série 26.
 Faça os exercícios 13 e 14 do rumo ao enem.
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68 Física – Setor 1206 KAPA 4
 potênciA médiA (p
m
)
5
∆ε
∆
P
tm
No sistema internacional de unidades:
 [Δε] 5 J (joule)
 [Δt] 5 s (segundo)
 [Pm] 5 
J
s 5 W (watt)
 A unidAde quilowAtt-horA (kwh)
 É uma unidade utilizada para energia.
 1 kWh 5 3,6 • 106 J
 trAnsformAção de energiA, 
dissipAção e potênciAs AssociAdAs
Fenômeno ou máquina em 
que ocorre transformação 
de energia PuPt
Pd
Pu 5 Pt 2 Pd
 rendimento (η)
5η
P
P
u
t
exercícioS
1 (Enem) Com o objetivo de se testar a eficiência de 
fornos de micro-ondas, planejou-se o aquecimen-
to em 10 °C de amostras de diferentes substân-
cias, cada uma com determinada massa, em cinco 
fornos de marcas distintas. Nesse teste, cada for-
no operou à potência máxima.
H-18
O forno mais eficiente foi aquele que 
a) forneceu a maior quantidade de energia às 
amostras.
b) cedeu energia à amostra de maior massa em 
mais tempo.
c) forneceu a maior quantidade de energia em 
menos tempo.
d) cedeu energia à amostra de menor calor espe-
cífico mais lentamente.
e) forneceu a menor quantidade de energia às 
amostras em menos tempo.
2 (Enem) O carneiro hidráulico ou aríete, dispositivo 
usado para bombear água, não requer combustí-
velou energia elétrica para funcionar, visto que 
usa a energia da vazão de água de uma fonte. A 
figura a seguir ilustra uma instalação típica de car-
neiro em um sítio, e a tabela apresenta dados de 
seu funcionamento.
Fonte Carneiro
hidráulico
Caixa-
-d’água
H
h
h/H
Altura da fonte 
dividida pela 
altura da caixa
Vf
Água da fonte 
necessária para 
o funcionamento 
do sistema 
(litros/hora)
Vb
Água bombeada 
para a caixa 
(litros/hora)
1/3
720 a 1 200
180 a 300
1/4 120 a 210
1/6 80 a 140
1/8 60 a 105
1/10 45 a 85
A eficiência energética ε
 
de um carneiro pode ser 
obtida pela expressão: H
h
V
V
b
f
5 ?ε , cujas variáveis 
estão definidas na tabela e na figura.
No sítio ilustrado, a altura da caixa-d’água é o 
quádruplo da altura da fonte. Comparado a moto-
bomba a gasolina, cuja eficiência energética é cer-
ca de 36%, o carneiro hidráulico do sítio apresenta 
a) menor eficiência, sendo, portanto, inviável eco-
nomicamente.
b) menor eficiência, sendo desqualificado do 
ponto de vista ambiental pela quantidade de 
energia que desperdiça.
H-23
AulA 33 poTênciA e rendimenTo
aqui a palavra “eficiente” deve ser entendida como a capacidade do forno de fornecer calor às amostras a serem aquecidas. 
assim, mais eficiente é aquele que consegue fornecer mais calor no menor intervalo de tempo. 
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KAPA 4 Física – Setor 1206 69
c) mesma eficiência, mas constitui alternativa eco-
logicamente mais apropriada.
d) maior eficiência, o que, por si só, justificaria o 
seu uso em todas as regiões brasileiras.
e) maior eficiência, sendo economicamente viável 
e ecologicamente correto.
3 As turbinas eólicas (ou aerogeradores) estão se 
tornando cada vez mais comuns como dispositi-
vos de geração de eletricidade a partir da ener-
gia dos ventos. O Brasil possui alguns parques 
eólicos importantes espalhados pelo território 
nacional.
As turbinas eólicas dependem da velocidade 
dos ventos para operar. Caso a velocidade dos 
ventos seja muito pequena, as pás ou hélices não 
conseguem girar e o sistema não é acionado. Já 
velocidades de ventos muito grandes provocam 
turbulência, que pode danificar ou mesmo des-
truir as pás ou hélices. 
O gráfico a seguir mostra a potência útil (elétrica) 
de uma turbina eólica em função da velocidade 
dos ventos.
1500
1250
1000
750
500
250
0
P
o
tê
n
c
ia
 (
k
W
)
50 10 15 20 25 30
Velocidade (m/s)
Diâmetro 
do rotor
Área de giro
das lâminas
Fonte: <www.ceel.eletrica.ufu.br/artigos2011/IX_CEEL_043.pdf >.
a) O gráfico anterior mostra a curva de potência 
elétrica teórica obtida para um aerogerador. 
Identifique, com base nesses dados, a velocida-
de mínima de acionamento do sistema e a velo-
cidade de corte, ou seja, a velocidade na qual 
o sistema é desligado por segurança devido à 
turbulência provocada pelos ventos.
o exercício menciona que a altura da caixa-d’água é o quádru-
plo da altura da bomba, ou seja, h 5 4h. Para essa razão entre 
as alturas, o volume de água necessário para o funcionamento 
do sistema está entre 720 l/h e 1 200 l/h e o volume de água 
bombeado para a caixa situa-se entre 120 l/h e 210 l/h. 
calculando a eficiência energética do carneiro:
i. Para os limites inferiores: 
h
h
v
v
4h
h
120
720
67%b
f
>5 ? 5 ?ε → ε → ε
ii. Para os limites superiores: 
h
h
v
v
4h
h
210
1200
70%b
f
>5 ? 5 ?ε → ε → ε
Note que a eficiência do carneiro é superior ao do bombeamento 
com o uso da motobomba a gasolina, sendo, ainda por cima, 
ecologicamente mais indicado. 
H-17
b) A potência eólica extraída dos ventos (potên-
cia mecânica) depende, entre outros fatores, 
da velocidade dos ventos e pode ser modela-
da pela expressão conhecida como limite de 
Betz: P 1
2
C D
4
VV P
2
3
5 ? ?
?
?ρ
π
De acordo com fontes especializadas, a conver-
são de energia mecânica em elétrica para um 
aerogerador é de no máximo 30%.
Considerando os seguintes dados:
ρ 5 1,2 kg/m³ (densidade do ar)
D 5 40 m (diâmetro do rotor)
CP 5 0,4 (coeficiente de desempenho típico do 
aerogerador)
calcule a máxima potência elétrica fornecida 
por esse aerogerador para uma velocidade dos 
ventos V 5 10m/s. Use π 5 3.
a) observe o gráfico e as indicações das duas velocidades:
1 500
1 250
1 000
750
500
250
0
P
o
t•
n
c
ia
 (
k
W
)
50 10 15 20 25 30
Velocidade (m/s)
Acionamento
do sistema
Corte
do sistema
a velocidade de acionamento do sistema é de aproximadamente 
4 m/s. a velocidade de corte é de 20 m/s.
b) calculando a potência retirada dos ventos:
5 ? ? ?
?
?
5 ? ? ?
?
?
5 ? 5
P 1
2
c D
4
v
P 0,5 0,4 1,2 3 40
4
10
P 288 10 w 288 kw
v P
2
3
v
2
3
v
3
ρ
π
→
→ →
→
assim, a potência elétrica esperada para esse aerogerador é de:
P
el
 5 30% ? P
v
 → P
el
 5 0,3 ? 288 → P
el
 5 86,4 kw
Tarefa mínima
 leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1 e 6 do caderno de exercícios, 
série 21.
Tarefa complementar
 leia o texto teórico da aula 33.
 Faça os exercícios 7 e 9 do caderno de exercícios, 
série 21.
 Faça os exercícios 15 e 16 do rumo ao enem.
orienTAção de eSTudo
850420416_KAPA4_CA_053a090_1206_FISICA_A.indd 69 3/11/16 12:36 PM
70 Física – Setor 1206 KAPA 4
 potênciA médiA AssociAdA A umA 
forçA constAnte (p
m
)
ΔS
α αV
0
V
FF
5 5 ? ?
τ
→P
∆t
P F V cos α
m
F
m m
No sistema internacional de unidades:
 [F] 5 N (newton)
 [V] 5 m/s (metros/segundo)
 [P
m
] 5 W (watt)
Unidades usuais de potência:
 Cavalo-vapor (cv) → 1 cv 5 735 W
 Horsepower (hp) → 1 hp 5 746 W
 potênciA instAntâneA AssociAdA 
A umA forçA constAnte (p
i
)
F
α
V
Para um corpo sujeito a uma força de intensidade 
F, cuja velocidade num dado instante tem módulo igual 
a V, pode-se associar a potência instantânea a essa 
força por meio de:
P
i
 5 F ? V
i
 ? cos α
 potênciA AssociAdA A umA quedA- 
-d’águA (hídricA)
P 5 d ? z ? g ? H
 
em que d é a densidade da água, z é a vazão da água, g 
é a intensidade do campo gravitacional e H é o desnível 
da queda-d’água.
exercícioS
1 Durante a Revolução Industrial, máquinas a va-
por passaram a substituir o trabalho realizado 
anteriormente por tração animal, como cargas 
puxadas por cavalos. A comparação da potên-
cia dessas máquinas com a potência dos cavalos 
substituídos passou a ser inevitável. Com o intuito 
de padronizar essa comparação, o inglês James 
Watt associou a potência desenvolvida por um 
cavalo típico como sendo a potência necessária 
para elevar uma carga de 33 000 libras de carvão 
à altura de 1 pé em 1 minuto, denominando-a 
1 hp (horsepower).
Considerando as devidas conversões (1  li-
bra 5 0,454 kg e 1 pé 5 0,305 m), o valor corres-
pondente a 1 hp, em watts, é:
a) 76,2 W.
b) 369 W.
c) 405 W.
d) 466 W.
e) 746 W.
H-23
1a forma: como a carga elevada pelo cavalo sobe com velocidade 
constante, a tração no cabo que a eleva tem a mesma intensida-
de do peso da carga. logo, a potência mecânica desenvolvida 
pelo cavalo pode ser calculada por:
α →
∆
∆
→
→ →
5 ? ? 5 ? ?
5 ? ? ?
?
5
P F v cos P mg S
t
cos 0
P (33000 0,454) (9,8)
(1 0,305)
60
P 746 w
m m m
o
m m
2a forma:
P
t
P
mgh
t
P
(33000 0,454) (9,8) (0,305)
60
P 746 w
m m
m m
>
5 5
5
? ? ?
∆ε
∆
→
∆
→
→ →
embora os cálculos presentes neste exercício sejam trabalhosos, 
a questão é significativa tanto do ponto de vista da aplicação do 
conceito de energia e potência como pelo aspecto histórico do 
desenvolvimento da unidade de potência hp. oriente os alunos a 
usarem calculadora, mas esclareça que, embora não tão frequen-
tes assim, tais cálculos podem ser solicitados numa prova em que 
o uso desse recurso não é permitido, como no enem.
AulA 34 poTênciA de umA ForçA conSTAnTe
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KAPA 4 Física – Setor 1206 71
2 
 (Enem)
h
Gerador
çgua
Turbina
Torre de transmiss‹o
A eficiência de uma usina, do tipo da representada na figura anterior, é da ordem de 0,9, ou seja, 90% da 
energia da águano início do processo se transformam em energia elétrica. A usina Ji-Paraná, do Estado de 
Rondônia, tem potência instalada de 512 milhões de watts, e a barragem tem altura de aproximadamente 
120 m. A vazão do Rio Ji-Paraná, em litros de água por segundo, deve ser da ordem de: 
a) 50
b) 500
c) 5 000
d) 50 000
e) 500 000
H-23
1a forma: lembrando que a potência instalada é a potência elétrica que se obtém no funcionamento dos 
geradores que compõem a usina hidrelétrica:
P
el
 5 0,9 ? P
h
 → P
el
 5 0,9 ? d ? z ? g ? h →
→ 512 ? 106 5 0,9 ? 103 ? z ? 10 ? 120 → z 5 4,74 ? 102 m3/s
ou seja, a vazão é de, aproximadamente:
500 000 l/s.
2a forma: energia primária associada ao funcionamento da usina é potencial gravitacional. Desta, apenas 
90% é convertida em energia elétrica. assim, pode-se escrever:
5 → →
? ? ?
5
? ?
5 →→
?
? ?
5 ?
P
0,9 m g h
t
m
t
P
0,9 g h
m
t
512 10
0,9 10 120
m
t
4,74 10 kg / s
el
el
6
5
ou, considerando para a água a relação 1 kg/l, tem-se, aproximadamente: 500 000 l/s.
AnoTAçõeS
orienTAção de eSTudo
 leia o resumo da aula.
 Faça o exercício 8 do caderno de exercícios, 
série 21.
 Faça os exercícios 1 e 2 do caderno de exercícios, 
série 23.
Tarefa mínima Tarefa complementar
 leia o texto teórico da aula 34.
 Faça os exercícios 5 e 7 do caderno de exercícios, 
série 23.
 Faça o exercício 17 do rumo ao enem.
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72 Física – Setor 1206 KAPA 4
TEXTO TEóriCO
AulA 25
1. trAnsmissão do moVimento circulAr: 
AcoplAmento de poliAs e de engrenAgens
A transmissão do movimento circular permite a construção de diversas máquinas extremamente úteis no 
cotidiano. Para que essa transmissão ocorra, utilizam-se elementos como polias ou engrenagens. 
Polias e engrenagens podem ser acopladas de três maneiras distintas: 
Por meio de correias Por dentes ou contato direto Por eixo comum
l
iG
h
t
c
o
o
k
e
r
/S
h
u
t
t
e
r
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G
 Z
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G
y
a
N
/S
h
u
t
t
e
r
S
t
o
c
k
1.1 Acoplamento por correias ou correntes
A figura a seguir ilustra o acoplamento de uma polia A a uma polia B por meio de uma correia inextensível e 
bem ajustada às polias. Observe que as duas polias apresentam rotação no mesmo sentido. 
ω
A
ω
B
r
B
r
A
V
A
V
B
Uma vez que todos os pontos da correia apresentam a mesma velocidade e que não há escorregamento entre 
a correia e as polias, os pontos das periferias das polias apresentam a mesma velocidade escalar, que é igual à 
velocidade da correia. Ou seja:
V
correia
 5 V
A
 5 V
B
Lembrando que V 5 ω ? r, pode-se escrever também essa mesma igualdade da seguinte maneira:
ω
A
 ? r
A
 5 ω
B
 ? r
B
Como ω 5 2 ? π ? f:
2 ? π ? f
A
 ? r
A
 5 2 ? π ? f
B
 ? r
B
5 
f
f
r
r
A
B
B
A
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KAPA 4 Física – Setor 1206 73
Esse resultado indica que há uma relação de pro-
porcionalidade inversa entre o tamanho da polia, as-
sociado ao seu raio, e sua frequência: a polia de maior 
raio gira mais lentamente, enquanto a polia de menor 
raio gira mais rapidamente.
1.2 Acoplamento por contado direto 
ou por dentes (em engrenagens)
Duas ou mais polias podem ser acopladas por con-
tato direto com suas superfícies encostadas. Devido ao 
atrito entre tais superfícies, qualquer polia encostada 
em outra que já se encontra em movimento também 
se moverá.
No entanto, esse contato é facilitado quando as 
polias possuem saliências em sua superfície ou “den-
tes” que se encaixem favorecendo a transmissão do 
movimento. Nesse caso as polias são chamadas de 
engrenagens. 
r
B
r
A
A B
ω
B
ω
A
V
A
V
B
As engrenagens conectadas dessa maneira giram 
sempre em sentidos opostos.
Os seus dentes devem ter o mesmo tamanho para 
que seus encaixes ocorram de maneira adequada. Com 
esse encaixe acontecendo de maneira correta, eviden-
cia-se que os pontos das periferias dessas engrenagens 
apresentam velocidades escalares idênticas.
V
A
 5 V
B
Como V 5 ω ? r, pode-se escrever essa relação 
também da seguinte maneira:
ω
A
 ? r
A
 5 ω
B
 ? r
B
E sendo ω 5 2 ? π ? f:
2 ? π ? f
A
 ? r
A
 5 2 ? π ? f
B
 ? r
B
5 
f
f
r
r
A
B
B
A
A conclusão é semelhante à do acoplamento por 
correia: a engrenagem maior gira mais lentamente, en-
quanto a engrenagem menor gira mais rapidamente.
1.3 Acoplamento por eixo comum
Outra maneira de acoplar duas ou mais polias ou 
engrenagens é conectando-as a um eixo comum dispos-
to coaxialmente às polias, conforme a imagem a seguir:
ω
A
ω
B
r
A
r
B
V
A
V
B
Nesse caso, com as polias firmemente presas ao 
eixo, suas rotações ocorrerão no mesmo sentido e com 
velocidades angulares idênticas. Ou seja:
ω
A
 5 ω
B
Como V 5 ω ? r, tem-se:
5
V
r
V
r
A
A
B
B
em que V
A
 e V
B
 representam as velocidades escalares 
de pontos nas periferias das duas polias. 
Conclui-se, então, que as velocidades escalares dos 
pontos periféricos das polias são diretamente propor-
cionais aos seus raios: quanto maior o raio, maior o 
módulo dessa velocidade e vice-versa. 
1.4 transmissão do movimento circular: 
a bicicleta
Uma das mais conhecidas máquinas que envolvem 
a transmissão de movimentos circulares é a bicicleta. 
Dotada de engrenagens que se conectam de formas 
diferentes, elas propiciam deslocamentos rápidos e 
confortáveis para as pessoas, constituindo-se em meio 
de transporte, ferramenta de trabalho, equipamento 
esportivo e, principalmente, lazer. 
Mas como se dá o movimento da bicicleta? 
Veja o esquema simplificado de uma bicicleta a seguir:
Pedal
Coroa
Roda motriz (traseira)
Catraca
Corrente
D
u
D
a
r
e
v
 M
ik
h
a
il
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h
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t
t
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S
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c
k
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74 Física – Setor 1206 KAPA 4
ω
A
ω
B
ω
R
B A
Catraca (CA)
Coroa (CO)
Pedal (PE)Roda traseira (RT)
 Tudo começa com o movimento das pernas da 
pessoa ao pedalar a bicicleta imprimindo aos pe-
dais (PE) uma frequência de rotação f
PE
.
 Os pedais estão firmemente presos ao disco den-
tado dianteiro, denominado coroa (CO). Assim, 
a coroa apresenta a mesma frequência de rotação 
dos pedais: f
CO
 5 f
PE
. 
 Quando a coroa (CO) é posta a girar, transmite 
seu movimento à pequena roda dentada trasei-
ra, denominada catraca (CA), por meio de uma 
corrente metálica inextensível. Dessa forma, as 
velocidades dos dentes das duas engrenagens são 
as mesmas e, portanto, suas frequências de rotação 
são inversamente proporcionais aos seus raios (r
CA
 
e r
CO
). Ou seja, V
CO
 5 V
CA
 → f
CO
 ? r
CO 
5 f
CA
 ? r
CA
.
 A catraca, por sua vez, está acoplada ao mesmo 
eixo concêntrico à roda traseira (RT). Assim, a 
rotação da roda traseira ocorre à mesma frequên-
cia da catraca: f
CA
 5 f
RT
. 
 A velocidade da bicicleta pode ser calculada, 
portanto, a partir da rotação da roda traseira:
V
bic
 5 2 ? p ? r
RT
 ? f
RT
onde r
RT
 é o raio da roda traseira e f
RT
 é a fre-
quência de rotação da roda traseira.
AulAS 26 e 27
1. dinâmicA do moVimento circulAr 
e uniforme (mcu)
1.1 Velocidade no mcu
O movimento circular e uniforme apresenta acele-
ração. Embora o módulo de sua velocidade seja cons-
tante (por isso a denominação uniforme), sua direção 
é variável, uma vez que a trajetória é circular. 
Assim, a aceleração presente nesse movimento 
está associada apenas à variação de direção da velo-
cidade, ou seja, apenas a componente centrípeta da 
aceleração está presente nesse movimento. 
Essa aceleração centrípeta caracteriza-se por ser 
perpendicular à velocidade do corpo e apresentar sen-
tido “apontando para o centro” da circunferência, como 
mostrado no esquema a seguir:
V
4
V
3
V
2
V
1
a
c
a
c
a
c
a
c
Corpo em movimento circular e uniforme: a velocida-
de vetorial varia em todos os instantes, mas seu mó-
dulo é constante: V
1
 5 V
2
 5 V
3
 5 V
4
.
1.2 equaçãofundamental da dinâmica 
 aplicada ao mcu
De acordo com o princípio fundamental da dinâ-
mica, associa-se à aceleração uma resultante de forças 
que apresenta sempre a mesma direção e sentido que 
a aceleração. 
Como no MCU a aceleração é centrípeta, associa-
-se a ela uma resultante de forças também centrípeta, 
dada pela seguinte relação:
5 ? 5
?R m a R m V
r
cp cp cp
2
→
em que m é a massa do corpo que realiza o MCU, V 
é o módulo da velocidade desse corpo e r é o raio da 
trajetória curva descrita pelo corpo.
Veja o exemplo a seguir, onde um carro executa 
uma curva, no plano horizontal, com velocidade de 
módulo constante:
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KAPA 4 Física – Setor 1206 75
Analisando a situação, tem-se:
Forças Velocidade
r
P
N
A V
Enquanto o carro realiza a curva, sua velocidade se 
mantém constante em módulo e é tangente à trajetória, 
no mesmo sentido do movimento.
Resultante Aceleração
Na direção vertical as forças peso e normal se 
equilibram. O atrito paralelo ao plano e apontando para 
dentro da curva configura-se como resultante 
centrípeta. Logo, pode-se escrever:
R A m V
r
cp
2
5 5
?
a
cp
A velocidade apresenta variação apenas em sua direção; 
portanto, há apenas a componente de aceleração 
centrípeta, apontando para o centro da curva.
Note que há também atrito na mesma direção e sentido do movimento que garante o avanço do carro. No en-
tanto, como o módulo da velocidade é constante, esse atrito é equilibrado pela força de resistência do ar, que 
apresenta a mesma intensidade e direção, mas em sentido oposto a esse atrito. 
1.3 A resultante das forças no mcu
É bom lembrar que a resultante centrípeta pode ser composta por uma ou mais forças, dependendo do caso 
analisado. 
Um erro muito comum que se comete na abordagem de problemas de MCU é marcar a resultante centrípeta 
inicialmente sem marcar antes as forças aplicadas ao corpo. 
Portanto, ao analisar-se uma situação de MCU do ponto de vista dinâmico, é conveniente sempre seguir a 
ordem de ações propostas:
 marcar primeiro todas as forças aplicadas ao corpo;
 analisar o conjunto de forças para determinar a resultante dessas forças;
 aplicar o princípio fundamental da dinâmica envolvendo a resultante encontrada.
AulA 28
1. energiA e suAs trAnsformAções
1.1 energia e movimento
O que é energia? 
Essa é uma pergunta antiga e ao mesmo tempo atual. Embora essa palavra seja muito conhecida e bastante 
utilizada em situações cotidianas, não existe uma definição formal do que vem a ser energia. 
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76 Física – Setor 1206 KAPA 4
Por outro lado, isso não constitui nenhum empecilho no tratamento de situações que envolvam energia. 
Isso porque, embora não haja uma definição desse conceito, consegue-se verificar a manifestação da energia 
em diversos fenômenos cotidianos, reconhecê-la em diferentes formas, quantificá-la e verificar e analisar suas 
transformações ou sua transferência em diversas situações.
Para identificar a presença da energia em determinado sistema, um bom caminho é associá-la com algum 
tipo de movimento, seja macroscópico, como o movimento da Terra ao redor do Sol, seja microscópico, como o 
dos elétrons que constituem a corrente elétrica que se estabelece num fio metálico.
Existe também uma modalidade especial de energia (denominada potencial) associada a situações em que 
o movimento não é verificado, mas a situação em si mostra que é possível obter algum tipo de movimento se 
obedecida alguma condição inicial. 
Ou seja, são situações em que, em princípio, se pode obter movimento, e dizemos que há movimento em 
potencial, ou seja, que poderá vir a ocorrer ou não. Isso será tratado com mais detalhes adiante. 
1.2 nomenclatura associada à energia
Embora a ideia de energia refira-se a uma entidade física única, devido às suas diferentes manifestações, ela rece-
berá diferentes nomes, como mostrado no esquema abaixo, em que aparece a nomenclatura mais comumente utilizada:
ENERGIA
Elétrica
Elástica
Gravitacional
Cinética
Potencial
Térmica
Elétrica
Luminosa
Nuclear
A seguir, algumas dessas diferentes manifestações da energia são discutidas de maneira um pouco mais 
detalhada. 
energia cinética 
Essa modalidade de energia está associada di-
retamente à velocidade do corpo ou sistema de 
corpos, seja no mundo macroscópico ou no mundo 
microscópico. 
Podemos falar em energia cinética de um aste-
roide passando próximo à Terra ou de um elétron 
orbitando o núcleo atômico. Esses montantes de 
energia cinética diferem entre si apenas pela ordem 
de grandeza e não pela sua relação com o movimento 
desses corpos. 
Um carro em movimento manifesta a presen•a de energia cinŽtica.
t
u
P
u
N
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M
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KAPA 4 Física – Setor 1206 77
O montante de energia cinética apresentado por 
um corpo de massa m que se movimenta com veloci-
dade de módulo V num dado instante é dado por:
5
?
ε
m V
2C
2
É importante observar que a energia cinética de-
pende da velocidade, que por sua vez depende do re-
ferencial adotado para descrever tal movimento. Isso 
significa que um mesmo corpo pode apresentar emer-
gia cinética ou não, dependendo do referencial adotado 
para analisá-lo.
energia térmica
A energia térmica está associada a movimentos no 
mundo microscópico, envolvendo partículas como áto-
mos e moléculas. A energia térmica de um sistema ou 
corpo está relacionada à agitação ou movimento vibra-
tório dessas partículas microscópicas podendo, portan-
to, ser associada à energia cinética de tais partículas. 
Em geral não é possível visualizar diretamente esse 
movimento microscópico, dado que essas partículas 
são muito pequenas.
A energia térmica de um corpo ou sistema pode 
ser avaliada indiretamente por meio da temperatura.
No exemplo abaixo, tem-se uma panela de pressão 
contendo água e vapor sob alta pressão.
Água em uma panela de pressão: parte da energia térmica 
é convertida em energia mecânica.
O movimento da válvula ocasionado pelo despren-
dimento do vapor-d’água mostra que parte da energia 
térmica presente nas moléculas de água é convertida 
em energia mecânica.
energia potencial gravitacional
Essa modalidade de energia está associada à ação 
do campo gravitacional terrestre (ou outro corpo celeste) 
sobre os corpos próximos ao planeta. Veja o esquema a se-
guir, em que um corpo de massa m está localizado em um 
ponto cuja altura em relação ao solo, por exemplo, vale h. 
Nível de referência 
de altura (h 5 0)
m
h
Devido à ação do campo gravitacional terrestre, 
esse corpo localizado à altura h tem a possibilidade de 
entrar em movimento de queda, caso seja abandonado 
daquela altura. Essa simples possibilidade já permite 
que se associe a esse corpo um montante de energia, 
denominada energia potencial gravitacional, que pode 
ser quantificada por meio da expressão:
εPgrav 5 m ? g ? h
Note que a energia potencial gravitacional depen-
de, entre outros fatores, da escolha do nível de referên-
cia de altura. Como essa escolha é arbitrária, pode-se 
associar a um mesmo corpo energia potencial gravita-
cional nula e até mesmo negativa. 
energia potencial elástica
Essa modalidade de energia está associada a sis-
temas elásticos que se apresentam deformados. Um 
sistema ou corpo elástico é descrito como aquele que, 
ao ser deformado mediante a aplicação de forças, pode 
espontaneamente retornar à sua forma original, quan-
do tais forças cessam. 
São exemplos de sistemas elásticos: arcos para lan-
çamento de flechas, camas elásticas, varas para saltos 
com vara, molas de diversos tipos, etc.
Atleta de salto com vara – na flexão, a vara apresenta 
grande energia potencial elástica, que auxilia na 
subida da atleta e na transposição da barreira.
k
a
i 
P
F
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F
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B
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78 Física – Setor 1206 KAPA 4
Veja o exemplo bastante comum de molas helicoidais:
Mola livre, ou seja, não deformada.
Mola comprimida e empurrando o corpo.
Mola distendida e puxando o corpo.
x
x
0
0
0
F
elást
F
elást
Observe que a força aplicada pela mola no corpo apenas se manifesta quando a mola está deformada (comprimida 
ou esticada). É nessas situações que o corpo, em contato com a mola, adquire a possibilidade de entrar em movimento. 
É nessas situações, portanto, que se associa a presença de energia potencial elástica armazenada na mola deformada. 
Note também que a força aplicada pela mola sempre tende a levar o corpo novamente à posição inicial, 
quando a mola não estava deformada. Essa é a razão pela qual a força aplicada pela mola também costuma ser 
chamada de força restauradora.
A quantidade de energia potencial armazenada na mola pode ser calculada por meio da seguinte expressão:
5
?k x
2
P el‡st
2
ε
onde k é a constante de elasticidade da mola e x é a deformação da mola, tomada a partir de sua posição livre.
energia mecânica
A energia mecânica é definida como a soma da energia cinética com a energia potencial apresentada por um 
corpo ou sistema. Ou seja:
εm 5 εC 1 εP
É importante ressaltar que nem sempre as duas modalidades de energia aparecem juntas. Dependendo do sistema 
analisado, pode-se encontrar apenas uma dessas formas de energia que compõem a energia mecânica ou as duas. 
Elas podem ainda ser transferidas ou transformadas uma na outra. Ou seja, durante seu movimento, um corpo 
pode apresentar energia cinética que é transformada em energia potencial e vice-versa. 
1.3 princípios relacionados à energia 
Sobre a energia há alguns princípios que devem ser sempre observados:
i. a energia pode ser transformada ou transferida
Exemplo 1 – um corpo, ao cair, pode reduzir sua energia potencial gravitacional. Como consequência, pode-
-se perceber aumento em sua energia cinética. Tem-se, então, a transformação de uma forma de energia 
(potencial gravitacional) em outra (cinética).
Exemplo 2 – um corpo movendo-se em um plano horizontal sem atrito colide com outro corpo inicialmente 
parado. Após a colisão, ambos apresentam movimento. Antes e depois da colisão tem-se energia cinética. 
Não houve transformação, mas sim transferência de uma parte da energia cinética do corpo que se movia 
sozinho (A) para o corpo inicialmente parado (B). 
V'BV'AVA
A B
Antes Depois
BA
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KAPA 4 Física – Setor 1206 79
ii. a energia não pode ser nem criada nem 
destruída
Retomemos o exemplo anterior do corpo em 
queda, com sua energia potencial gravitacional 
sendo transformada em energia cinética. Consi-
dere que, ao chegar ao solo, ele colida com outro 
e pare imediatamente. 
Nessa situação não há mais energia potencial 
gravitacional nem cinética, como se a energia que 
ele possuía antes tivesse simplesmente “desapa-
recido”. O termo comumente utilizado é energia 
dissipada. Estudo mais detalhado mostra que a 
energia não desapareceu, mas foi transformada 
em outras formas de energia, como a sonora, por 
causa do barulho da colisão.
A mesma ideia se aplica quando se diz que 
uma pilha (ou mesmo uma usina) produz eletri-
cidade ou energia elétrica. Não há produção nem 
dissipação, mas sim transformação. 
iii. a energia sempre se conserva
Esse princípio é extremamente importante. 
Embora a energia possa ser transferida ou trans-
formada, a quantidade total de energia em deter-
minado contexto se mantém sempre constante. 
Numa afirmação mais ousada por parte da Física, 
a energia do Universo é constante.
2. energiA elétricA e suA obtenção 
em grAnde escAlA
2.1 energia elétrica 
Assim como as outras formas de energia, a ener-
gia elétrica também pode ser associada a movimento. 
Nesse caso, o movimento que ocorre é o dos elétrons 
em determinados condutores formando corrente 
elétrica. 
Essa forma de energia tornou-se fundamental de-
vido à grande quantidade de dispositivos utilizados 
cotidianamente que são alimentadas por ela. Desde 
os eletrodomésticos mais comuns aos dispositivos tec-
nológicos mais sofisticados, a utilização de energia 
elétrica está na base do seu funcionamento.
Assim, pode-se dizer que a vida moderna deman-
da grande quantidade de energia elétrica. Essa mo-
dalidade de energia é obtida de plantas industriais 
denominadas usinas de energia elétrica. 
A seguir é apresentada uma dessas usinas, deno-
minada hidrelétrica, e seu funcionamento é explicado 
de forma simplificada.
Nesse tipo de usina, a água é armazenada em gran-
des reservatórios. Devido à altura do seu nível superior, 
Linhas de transmissão
Gerador
TransformadorReservatório
Água sob pressão
Turbina
a água represada apresenta grande energia potencial 
gravitacional. Ao ser canalizada por meio de dutos, 
a agua escoa e sua energia potencial gravitacional é 
transformada em cinética. 
Ao final dos dutos, a água encontra em seu ca-
minho as paletas da turbina, fazendo-a girar. Ou 
seja, sua energia cinética é transformada em energia 
cinética de rotação. Com o movimento da turbina, 
um eixo entra em rotação e aciona o gerador elétrico, 
onde a energia cinética de rotação é transformada em 
energia elétrica. 
Essa energia, por sua vez, é devidamente manipu-
lada e distribuída aos centros consumidores, muitas 
vezes a centenas de quilômetros de distância.
Itaipu: a maior usina hidrelétrica do mundo
Usina hidrelétrica de Itaipu – a maior do mundo em 
fornecimento anual de energia elétrica.
c
h
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N
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Z
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F
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r
e
N
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A usina hidrelétrica de Itaipu é um projeto binacional 
envolvendo o Brasil e o Paraguai. Sua inauguração 
ocorreu em 1982 com o acionamento das 14 comportas
850420416_KAPA4_CA_053a090_1206_FISICA_A.indd 79 3/11/16 12:36 PM
80 Física – Setor 1206 KAPA 4
para a liberação da água pelos então presidentes do 
Brasil e do Paraguai. 
Em 2007 passaram a ser 20 unidades geradoras 
instaladas, produzindo 17% da energia elétrica 
consumida no Brasil e 75% da energia consumida 
no Paraguai.
Em 2013, Itaipu produziu mais de 98,6 milhões de 
MWh de energia elétrica estabelecendo o recorde 
mundial. 
No entanto, em 2014, a Usina Hidrelétrica de Três 
Gargantas, na China, que já era a maior usina em 
diversos quesitos, produziu oficialmente mais de 
98,8 milhões de MWh, tornando-se também uma 
usina recordista em produção anual de energia. 
Fonte: <www.itaipu.gov.br/energia/geracao e http://g1.globo.com/
economia/noticia/2015/01/usina-chinesa-supera-itaipu-como- 
maior-produtora-de-energia-do-mundo.html>. 
Acesso em: 09 mar. 2016.
Em geral, todas as usinas que fornecem energia 
elétrica em grande escala funcionam com base no 
mesmo processo – acionar um gerador elétrico por 
meio do movimento de uma turbina. O que muda 
apenas é a modalidade de energia primária utilizada 
para movimentar a turbina. Mas todas elas transfor-
mam alguma forma de energia primária em energia 
elétrica ao final do processo. 
A tabela a seguir apresenta os principais ti-
pos de usinas em operação no mundo e a energia 
primária que é transformada, mediante algumas 
etapas intermediárias, em energia elétrica em seu 
funcionamento.
Tipo de usina Principal transforma•‹o de energia
Termelétrica
Energia térmica (da queima de algum 
combustível, como carvão ou gás 
natural) em elétrica
Nuclear
Energia nuclear (da reação de fissão 
nuclear) em elétrica
Eólica
Energia cinética (dos ventos) em 
elétrica
Termossolar
Energia luminosa (recebida do Sol) 
em elétrica
Maremotriz
Energia mecânica (movimento das 
águas oceânicas – marés) em elétrica
Geotérmica
Energia térmica (que emana do 
interior do planeta) em elétrica
AulA 29
1. trAbAlho de umA forçA 
constAnte em deslocAmentos 
retilíneos
1.1 o que é trabalho?
A figura ao lado repre-senta uma cena cotidiana, 
onde uma pessoa ergue uma 
caixa inicialmente colocada 
no solo.
Ao realizar essa tarefa, 
a caixa inicialmente em re-
pouso no solo passa a realizar 
um movimento de ascensão, 
Usina opera sem turbina
Uma nova modalidade de obtenção de energia elétrica 
em larga escala tem sido bastante desenvolvida há al-
gumas décadas. São as chamadas usinas fotovoltaicas.
Esse tipo de usina, diferentemente das demais, não 
necessita de turbina para obtenção de energia elétri-
ca. Isso ocorre porque o processo de transformação 
de energia elétrica nesses dispositivos é diferente dos 
demais. 
Ao invés do acionamento de uma turbina que movi-
menta um gerador elétrico, convertendo energia ciné-
tica de rotação em elétrica, nesse tipo de dispositivo 
a energia solar é convertida diretamente em energia 
elétrica devido à ocorrência do efeito fotoelétrico. 
É o mesmo princípio que permite o funcionamento de 
calculadoras e telefones celulares que carregam suas ba-
terias ao serem expostos à luz solar. 
Usina fotovoltaica do Projeto Solar de Agua Caliente, Arizona, 
Estados Unidos. Maior usina fotovoltaica do mundo, converte 
diretamente energia solar em elétrica podendo abastecer 
230 mil casas, quando estiver em operação máxima.
Fonte: <www2.uol.com.br/sciam/noticias/maior_usina_solar_do_ 
mundo_produzira_290_megawatts_de_energia.html>. 
Acesso em: 09 mar. 2016.
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KAPA 4 Física – Setor 1206 81
evidenciando que ela passa a possuir energia cinética 
enquanto está em movimento de ascensão. Sua energia 
potencial também aumenta gradativamente enquanto 
ela é levantada.
A força aplicada pela pessoa ao erguer a caixa 
proporcionou que essa energia mecânica inicialmente 
nula fosse transformada ou transferida para a caixa. 
Observe que essa transferência só foi possível devido 
à aplicação da força pela pessoa e só ocorre enquanto 
a caixa é erguida. 
É por meio de uma grandeza denominada tra-
balho (τ) que a energia mecânica é transformada ou 
transferida. 
1.2 Cálculo do trabalho ( ) de uma força 
constante
Considere um corpo de massa m, inicialmente em 
repouso num plano horizontal sem atrito. A aplicação 
da força F constante (em intensidade, direção e senti-
do) é capaz de fazer com que o corpo realize um des-
locamento, conforme representado na figura a seguir:
F
∆S
α α
F
Pode-se calcular o trabalho associado a essa força 
da seguinte forma:
onde F é a intensidade da força analisada, ΔS é 
o deslocamento realizado pelo corpo e α é o ân-
gulo formado entre a direção da força e a direção 
do deslocamento.
Observe que, pela expressão acima, apenas a com-
ponente da força na direção do movimento (F ? cos α) 
está associada à transferência de energia mecânica.
No sistema internacional de unidades, tem-se:
[τ
F
] 5 N ? m 5 J (joule).
Note que o trabalho associado a uma força de-
pende da intensidade da força aplicada. Mas observe 
também que não basta somente a aplicação de força 
no corpo. É necessário que o corpo realize um deslo-
camento (ΔS). 
A maneira como determinada força está aplicada 
ao corpo também influencia no cálculo do trabalho 
associado a essa força. Isso é dado pelo ângulo formado 
entre a direção da força em análise e a direção do des-
locamento realizado pelo corpo. 
Por conta disso, o trabalho associado a uma força 
pode ser nulo, positivo ou até mesmo negativo. 
1.3 Interpretação do sinal do trabalho ( ) de 
uma força constante
Com relação à orientação da força aplicada ao cor-
po, ou seja, com relação ao ângulo, tem-se as seguintes 
situações de destaque:
I. Força paralela ao deslocamento: α 5 0° 
F
 
Sentido do 
movimento
 
O trabalho associado à força F pode ser cal-
culado por:
5 ? ?
5 ? ?
5 ?
τ
τ
cos
co
F
F
F
Esse trabalho é positivo, sendo chamado 
muitas vezes de trabalho motor ou trabalho 
realizado. Algumas vezes esse trabalho também é 
denominado espontâneo. Observando a imagem 
pode-se dizer que a força atua totalmente a favor 
do movimento do corpo. 
II. Força em direção oblíqua ao deslocamento: 
0° < α < 90°
F
Sentido do 
movimento
α
O trabalho associado à força F nessa situação 
pode ser calculado por:
Como o ângulo é oblíquo, seu cosseno é posi-
tivo e o trabalho, nesse caso, também é positivo, 
também sendo chamado de trabalho motor ou 
realizado. Pode-se dizer que a força também atua 
a favor do movimento, embora parcialmente. 
Observe que o termo F ? cos α corresponde 
exatamente à parcela ou componente da força F na 
direção do movimento. 
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82 Física – Setor 1206 KAPA 4
 III. Força em direção perpendicular ao 
deslocamento: α 5 90°
Sentido do 
movimento
α
F
O trabalho associado a essa força torna-se:
Ou seja, embora a força esteja aplicada ao 
corpo, devido à sua disposição espacial ela não 
realiza trabalho, não interferindo no movimento 
nem o influenciando de nenhuma forma. A no-
menclatura nesse caso é simplesmente trabalho 
nulo.
Pode-se generalizar que qualquer força aplicada 
em direção perpendicular ao movimento do corpo 
não realiza trabalho. 
IV. Força formando um ângulo obtuso com a 
direção do deslocamento: 90° < α < 180°
Sentido do 
movimento
α
F
O cálculo do trabalho, nesse caso, leva ao se-
guinte resultado:
Sendo o ângulo entre a direção da força e a dire-
ção do deslocamento maior do que 90°, seu cosseno 
é negativo, de forma que o trabalho associado a essa 
força torna-se negativo. Esse trabalho é denomina-
do trabalho resistente. Às vezes, esse trabalho é 
denominado forçado. 
Observe que a força atua contra o movimento 
do corpo, mesmo que parcialmente. 
V. Força no sentido oposto ao do deslocamento: 
α 5 180°
Sentido do 
movimento
αF
Essa situação permite obter, para o trabalho da 
força, o seguinte resultado:
A força, nessa situação, é contrária ao movi-
mento do corpo. Seu trabalho é negativo, indicando 
que se trata também de um trabalho resistente.
1.4 Trabalho de uma força de direção 
constante, mas de intensidade variável
Todos os casos abordados anteriormente envolvem 
uma força de intensidade e direção constantes, embora 
analisados para diferentes ângulos fixos. 
Há casos, porém, em que a força é constante em di-
reção, mas de intensidade que varia ao longo do percurso. 
Pode-se representar a variação de sua intensidade 
por meio do gráfico que a relaciona com o deslocamen-
to do corpo apresentado a seguir:
ΔS
F
Nesse caso, o módulo do trabalho pode ser obtido 
por meio do cálculo da área limitada pelo eixo horizon-
tal (eixo do deslocamento) e a curva do gráfico, como 
mostrado abaixo:
5área | τ |
N
∆S
F
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KAPA 4 Física – Setor 1206 83
O sinal do trabalho pode ser associado ao fato de 
a área calculada estar “acima” ou “abaixo” do eixo do 
deslocamento, como no exemplo a seguir:
F
área “acima” → τ . 0 
área “abaixo” → τ , 0 
ΔS
aula 30
1. Teorema da energia cinéTica (Tec)
Para descrever o movimento de um corpo de for-
ma completa, precisamos conhecer as forças aplicadas 
sobre ele, a resultante dessas forças, além de sermos 
capazes de explicitar seu espaço e velocidade em qual-
quer instante por meio de equações. Mas situações 
como essas não são as mais comuns, constituindo, na 
verdade, casos particulares. 
Quando o conhecimento sobre o movimento de 
um corpo é parcial (por exemplo, quando são conhe-
cidas as forças aplicadas sobre ele, mas não se tem 
acesso ao comportamento temporal do seu espaço 
ou de sua velocidade), deve-se lançar mão de outras 
ferramentas que permitam entender seu movimento. 
Uma ferramenta bastante poderosa nesse sentido é o 
chamado Teorema da Energia Cinética (TEC).
1.1 Teorema da energia cinética para um 
caso particularConsidere o caso de um corpo de massa m, apoia-
do em um plano horizontal sem atrito. Sua velocidade 
inicial é V0 horizontal para a direita, quando passa a 
agir sobre ele uma força constante F a favor de seu 
movimento, como mostrado no esquema a seguir:
V
0
F
m
A análise das demais forças aplicadas ao corpo per-
mite construir o seguinte diagrama de forças, enquanto 
o corpo realiza um deslocamento ΔS:
F F
V
0 V
N N
P P
ΔS
m m
Sendo o movimento exclusivamente horizontal, 
conclui-se que o peso e a normal aplicada pelo piso se 
equilibram. Assim, a resultante das forças é a própria 
força F, horizontal e para a direita, atuando a favor do 
movimento do corpo. Dessa maneira, pode-se escrever, 
para as intensidades das grandezas envolvidas:
F 5 R 5 m ? a
Como a força F tem intensidade constante, o mo-
vimento do corpo nesse trecho analisado é retilíneo e 
uniformemente variado, apresentando aceleração de 
módulo constante. Dessa forma, a velocidade do cor-
po aumenta continuamente a uma taxa constante. A 
energia mecânica (no caso, cinética) está aumentando, 
o que indica a realização de um trabalho pela força F. 
Pode-se calcular o trabalho associado a essa força 
F (resultante):
[
Sendo o movimento do corpo retilíneo e unifor-
memente variado, pode-se escrever a relação dada pela 
Equação de Torricelli:
V2 5 V2
0
 1 2 ? a ? ΔS
Ou então:
? 5
2
∆a S
V V
2
(II)
2
0
2
Substituindo (II) em (I):
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84 Física – Setor 1206 KAPA 4
Os dois termos do lado direito da equação anterior 
representam a energia cinética do corpo associada às 
suas velocidades inicial e final. Logo, pode-se escrever:
R
5τ ∆ε
c
→
Esse resultado é conhecido como Teorema da 
Energia Cinética (TEC).
Observações importantes a respeito desse teorema:
 O TEC relaciona o trabalho da resultante das 
forças à variação da energia cinética, e não de 
uma força isoladamente (a menos que tal força 
constitua isoladamente a resultante). 
 O trabalho da resultante das forças pode ser 
escrito também como a soma dos trabalhos de 
cada força aplicada sobre o corpo (ou sistema de 
corpos). Ou seja:
R
5 1τ→
F1
τ→ 1
F2
τ→ 1
F3
τ ...→
 Embora esse teorema tenha sido deduzido para 
uma força constante e no mesmo sentido do mo-
vimento, pode-se demonstrar com ferramentas 
matemáticas mais avançadas que ele é válido 
para casos mais gerais, envolvendo inclusive 
forças variáveis em intensidade e direção. 
interpretação do sinal do trabalho da 
resultante (τR)
É importante notar que a energia cinética é uma 
grandeza sempre positiva, mas sua variação pode não 
ser. O sinal do trabalho da resultante das forças, por-
tanto, dependerá do sinal da variação da energia ciné-
tica, conforme resumido no quadro a seguir:
interpretação do sinal do trabalho da resultante
0
R
.τ→
ε
c final
 . ε
c inicial
A intensidade da velocidade 
do corpo é maior no final do 
que no início do trecho do 
movimento analisado.
0
R
5τ→
ε
c final
 5 ε
c inicial
A intensidade da velocidade 
do corpo é a mesma no final 
e no início do trecho do 
movimento analisado, mas 
não necessariamente se 
manteve constante.
0
R
,τ→
ε
c final
 , ε
c inicial
A intensidade da velocidade 
do corpo é menor no final do 
que no início do trecho do 
movimento analisado.
AulAS 31 e 32
1. teoremA dA energiA mecânicA (tem)
1.1 forças conservativas e forças não 
conservativas
As forças aplicadas a um corpo (ou sistema) de-
vem-se à interação desse corpo com outros corpos 
e já foram classificadas anteriormente em forças de 
campo ou de contato. 
No entanto, devido ao trabalho associado a cada 
força, uma nova classificação é possível e necessária: 
as forças podem ser classificadas em conservativas e 
não conservativas.
forças conservativas (f
c
)
Essas forças são assim denominadas porque o 
trabalho associado a elas não depende da trajetória 
associada ao movimento do corpo. Além disso, pode-
-se associar a essas forças alguma forma de energia 
potencial. 
forças não conservativas (f
nc
)
Tais forças recebem esse nome porque o trabalho 
associado a elas depende da trajetória associada ao 
movimento do corpo. 
Outra característica das forças não conservativas 
é que não se pode associá-las a nenhuma forma de 
energia potencial. 
O esquema abaixo apresenta exemplos de forças 
conservativas e forças não conservativas:
FORÇAS
Conservativas 
(F
C
)
Gravitacional 
(peso)
Elástica
Elétrica
Normal
Atrito
Tração
Resistência do ar
Empuxo
Não conservativas 
(F
NC
)
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KAPA 4 Física – Setor 1206 85
1.2 teorema da energia potencial (tep)
As forças conservativas, como apresentadas an-
teriormente, são aquelas cujo trabalho independe da 
trajetória desenvolvida. Além disso, pode-se associar 
a uma força conservativa uma energia potencial. 
Essa possibilidade de associação entre a força 
conservativa e a energia potencial correspondente se 
dá por meio do trabalho da força conservativa em 
relação a uma posição tomada como referência (PR). 
Pr
B
a
Assim, no esquema anterior, para os pontos A e 
B, tem-se:
No caso de a força conservativa em análise propor-
cionar o deslocamento do corpo entre as posições A e 
B no esquema acima, haverá um trabalho associado a 
ela dado por:
Considerando o ponto (ou plano) de referência 
(PR), o trabalho entre as posições A e B poderá ser 
escrito como:
Substituindo pelas respectivas energias potenciais:
A partir desse resultado particular, pode-se gene-
ralizar que, para uma força conservativa:
Esse resultado é conhecido como Teorema da 
Energia Potencial (TEP). Outra maneira de escrever 
esse mesmo resultado:
comentários sobre o tep
É importante salientar que a aferição da energia 
potencial associada a uma posição ocupada por um 
corpo depende inicialmente da escolha do plano de 
referência. A partir dessa escolha, a energia potencial 
pode apresentar valores positivos, negativos ou até 
mesmo nulos. 
Em função disso, o trabalho de uma dada força 
conservativa, sendo constituído pela diferença algébri-
ca entre dois valores de energia potencial associado a 
duas posições ocupadas pelo corpo, pode ser também 
positivo, negativo ou nulo. 
No quadro a seguir, tais casos são analisados:
Comparação 
entre as 
energias 
potenciais
Sinal do 
trabalho das 
forças não 
conservativas
Denominação 
do trabalho
Comentário
ε
pi
 . ε
pf
0
FC
.τ→
Trabalho 
motor
O corpo vai 
espontanea-
mente da 
posição 
inicial para a 
posição 
final.
ε
pi
 , ε
pf
0
FC
,τ→
Trabalho 
resistente
O corpo 
precisa ser 
deslocado 
de forma 
forçada da 
posição 
inicial para a 
posição 
final.
ε
pi
= ε
pf
0
FC
5τ→ Trabalho nulo
A título de exemplo, se a força conservativa for a 
força peso:
h
i
h
f
o corpo irá espontaneamente para a menor energia po-
tencial, o que significa que ele desce espontaneamente, 
ocupando posições de alturas menores. A subida para 
posições de alturas maiores é forçada. 
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86 Física – Setor 1206 KAPA 4
1.3 Teorema da Energia Mecânica (TEM)
Anteriormente foi apresentado o Teorema da Ener-
gia Cinética (TEC), que é aplicado à resultante das 
forças aplicadas a um corpo ou sistema de corpos. Tal 
teorema envolve o trabalho da resultante das forças 
aplicadas ao corpo. Esse trabalho pode ser obtido pela 
soma dos trabalhos de cada força aplicada ao corpo, 
seja ela uma força conservativa ou não. Ou seja:
Exclusivamente para as forças conservativas apli-
cadas ao corpo, pode-se aplicar o Teorema da Energia 
Potencial (TEP) associando seu trabalho à diferença 
de energia potencial:
E quanto às forças não conservativas aplicadas ao 
corpo?
Tais forças também podem ser determinantes 
na dinâmica desse corpo. Assim, considere um 
corpo sujeito a um sistema de forças, conforme 
esquematizado:
F
4
F
3
F
1
F
2
V
Tal conjunto