EM_V04_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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24
Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 4
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades / Saymon Michel Sanches. – 
Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 4 : il.
 ISBN 978-85-467-1949-5 (Livro do Professor)
 ISBN 978-85-467-1950-1 (Livro do Aluno)
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título. 
CDD 373.33
08
Função logarítmic
a
Logaritmo
Dados os números reais positivos a e b, com a 1, denomina-se 
logaritmo de b na base a o número x tal que ax = b, ou seja:
loga
xb x a b= ⇔ =
O número a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o 
logaritmo.
Observações
 • Os logaritmos cuja base é 10 são denominados logaritmos de-
cimais e podem ser escritos assim:
log b ou log b
10
 • Os logaritmos cuja base é o número de Euler, e 2,718..., são 
denominados logaritmos naturais. O logaritmo natural de b é 
representado por:
loge b ou ℓn b
 • Consequências imediatas da definição, sendo a, b e c números 
positivos e a 1:
•
•
log
log
a
a
a =
=
1
1 0
•
•
log
log log
a
n
a a
a n
b c b c
=
= ⇔ =
Propriedades operatórias dos 
logaritmos
• log ( ) log log
a a a
b c b c⋅ = +
• log log log
a a a
b
c
b c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
• log log
a a
b b
α α= ⋅
• log log
a a
b bβ β
= ⋅
1
, com β ≠ 0
Mudança de base
Sendo a, b, c números positivos, a 1 e c 1, o logaritmo de b na 
base a é igual à razão entre o logaritmo de b na base c e o logaritmo 
de a na base c.
log
log
log
a
c
c
b
b
a
Função logarítmica 
Toda função f: + →
∗ , definida por f x xa( ) log , com a real, 
a 0 e a 1 é denominada função logarítmica.
Gráfico da função logarítmica
 • Quando a base é um número maior que 1.
y
xx
1
10
y
1
y
2
x
2
a > 1
x x y y2 1 2 1> ⇒ >
A função é crescente.
Para valores de x entre 0 e 1, loga x é negativo.
Para x = 1, loga x = 0.
Para valores de x maiores que 1, loga x é positivo.
O gráfico da função não intersecta o eixo das ordenadas.
2 Volume 4
 • Quando a base é um número entre 0 e 1.
y
x
x
1
10
y
1
y
2
x
2
0 < a < 1
x x y y2 1 2 1> ⇒ <
A função é decrescente.
Para valores de x entre 0 e 1, loga x é positivo.
Para x 1 , loga x 0 .
Para valores de x maiores que 1, loga x é negativo.
O gráfico da função não intersecta o eixo das ordenadas.
Função exponencial e função 
logarítmica
As funções exponencial e logarítmica, em uma mesma base, são 
inversas uma da outra. Os gráficos de uma função e de sua inversa são 
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, em 
relação à reta de equação y = x.
Observe a seguir os gráficos das funções inversas f x x( ) log2 e 
f x x− =1 2( ) .
x876543
3
4
5
6
7
8
y
2
2
1
1
0–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
y = 2x
y = x
y = log 2x
Equações logarítmicas
Uma equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base 
é denominada equação logarítmica.
Exemplo: log ( )x x− + =1 4 8 2
Condições de existência:
Base: 
x
x
x
x
I
− >
− ≠
⎧
⎨
⎩
⇒
>
≠
⎧
⎨
⎩
1 0
1 1
1
2
( )
Logaritmando: 4 8 0 2x x II+ > ⇒ >− ( )
1
1 2
(I)
(II)
(I) ∩ (II)
2
–2
Portanto, x deve ser maior que 1 e diferente de 2.
log ( )x x− + =1 4 8 2
( )x x
x x x
x x x ou x
− = +
− + = +
− − = ⇒ = = −
1 4 8
2 1 4 8
6 7 0 7 1
2
2
2
Como –1 não satisfaz as condições de existência, então S { }7 .
Inequações logarítmicas
Inequações logarítmicas são aquelas que apresentam a incógnita no 
logaritmando ou na base. 
 
>
> ⇔ >
↑ ↑
a 2 a 1 2 1
o sentido da
desigualdade
é mantido
Para :
log x log x x x
a 1
 
< <
> ⇔ <
↑ ↑
a 2 a 1 2 1
o sentido da
desigualdade
é invertido
:
log x l
P
og x x
a
x
ra 0 a 1
Matemática 3
Atividades
Logaritmo
1. Calcule o valor dos logaritmos a seguir.
a) log3 81
log3
4
81
3 81
3 3
4
x
x
x
x
b) log 1
5
625
5
log1
5
4
625
1
5
625
5 5
4
4
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
− =
= −
−
x
x
x
x
x
c) log8 32 
log
( )
8
3 5
3
5
2
32
8 32
2 2
2 2
3
5
2
5
6
x
x
x
x
x
x
d) log
2
5
3
16
log
2
5
3 5
3 45
3
4
5
3
16
2 16
2 2
2 2
3
4
5
12
5
=
( ) =
=
=
=
=
x
x
x
x
x
x
e) log ,0 01 
log ,
,
10
2
0 01
10 0 01
10 10
2
=
=
=
= −
−
x
x
x
x
f) log 2
3
32
243
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
log2
3
5
32
243
2
3
32
243
2
3
2
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
x
x
x
x
g) log5 7
1
125
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
log5 7
37
3
7
1
125
5
1
5
5 5
3
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
=
= −
−
x
x
x
x
h) log 4
25
4
125
8
25
log 4
25
4
3
4
2
3
4
125
8
4
25
5
2
2
5
2
5
2
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
x
x
x
x
== −
= −
3
4
3
8
x
4 Volume 4
2. Determine o valor de k em cada equação.
a) logk 8 3
logk
k
k
k
8 3
8
8
2
3
3
b) logk
1
16
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎝ ⎠
logk
k
1
16
2
1
16
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
 
Como k deve ser um número positivo, então k
1
4
.
c) log5 2k = −
log5
2
2
5
1
25
k
k
k
= −
=
=
−
d) log ,k 0 25 1= −
log ,
,
k
k
k
k
k
0 25 1
0 25
1 25
100
1 1
4
4
1
= −
=
=
=
=
−
e) log5
5 5 k
log5
5
1
5
5
5 5
5 5
1
5
5 k
k
k
k
f) log9 27
1
2
k
2
log
( )
( )
9
1
2
1
2
2
2
27
1
2
9 27
27
9 27
3
k
k
k
k
k
=
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= ( )
=
=
9
3. Calcule o valor de cada uma das expressões.
a) log log1
2
22
1
2
+ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
2
log
log
1
2
2
2
1
2
2
2 2 1 1
1
2
2
1
2
2 2
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= ⇒ − = ⇒ = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
=
−
−
x
x
x
y
y
x x
y
11
1
2
2
1
2
1
2
1 1 2
⇒ = −
+ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − + − = −
y
log log ( )
b) log log log log3 3 3 327 9 3 1 
log
log
log
log
lo
3
3
3
2
3
3
27
3 27
3 3 3
9
3 9
3 3 2
3 1
1 0
=
=
= ⇒ =
=
=
= ⇒ =
=
=
x
x
y
y
x
x
y
y
gg log log log3 3 3 327 9 3 1 3 2 1 0 6+ + + = + + + =
Matemática 5
c) 
log log ,
log log
4 10
2 9
16 0 001
1
64
3
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
 
⎝ ⎠
log
log ,
,
lo
4
2
10
3
16
4 16
4 4 2
0 001
10 0 001
10 10 3
=
=
= ⇒ =
=
=
= ⇒ = −−
x
x
y
y
x
x
y
y
gg2
6
1
64
2
1
64
2 2 6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
= ⇒ = −−
z
z
z
z
log
( )
log log ,
log
9
2
1
2
4 10
2
3
9 3
3 3 2
1
2
1
4
16 0 001
1
64
=
=
= ⇒ = ⇒ =
+
⎛
⎝⎜
w
w w
w
w
⎞⎞
⎠⎟
⋅
= + −
− ⋅
= −
−
=
log
( )
9 3
2 3
6
1
4
1
3
2
2
3
d) 4 7 24 7 21 2 2 3log log log6 + −+ ⋅ 
4 6
7 7 7 7 2 14
2 2 3 9
4
4
7 7
2 2
6
1 2 1 2
2 3 3
2
2
log
log log
log log
l
=
= ⋅ = ⋅ =
= ( ) = =
+
⋅
oog log log4 7 26 1 2 2 37 2 6 14 9 11+ − = + − =+ ⋅
4. Determine para quais valores de x existe cada um dos 
seguintes logaritmos:
a) log ( )4 2 10x
2 10 0
2 10
5
x
x
x
+ >
> −
> −
b) log ( )x x1 2 1
2 0
1 0
1 1
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
− >
− >
− ≠
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
>
>
≠
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
1
 
Portanto, x 1 e x 2. 
5. (IFRS) O número log3 30 está entre
a) 0 e 1
b) 1 e 2
X c) 3 e 4
d) 4 e 9
e) 9 e 11
log3 30
3 30
x
x
Como 3 27
3
 e 3 81
4
, x está entre 3 e 4.
6. (UNITAU – SP) Sabendo-se que A = +log log , ,
73
7 0 001
é correto afirmar que
a) A 7
b) A 3
c) A 1
X d) A 0
e) A = −1
log
log ,
,
7
3
3
3
3
7
7 7
7 7
3
1 3
0 001
10 0 001
10 10
=
( ) =
=
= ⇒ =
=
=
= ⇒ =−
x
x
x
y
y
x
x
y
y −−
= + − =
3
3 3 0A ( )
6 Volume 4
7. (UFRGS – RS) Atribuindo para log2 o valor 0,3, então 
o valor de 100
0 3,
 é
a) 3. X b) 4. c) 8. d) 10. e) 33.
log ,
,
2 0 3
10 20 3
 
Usamos a igualdade anterior para obter o valor de 
1000 3, . 
100 10
100 10
100 2
100 4
0 3 2 0 3
0 3 0 3 2
0 3 2
0 3
, ,
, ,
,
,
( )
( )
8. (FGV – RJ) A intensidade de um som representada por 
I, é a potência do som recebida por unidade de área de 
uma superfície,e é medida na unidade W m/
2
.
 A intensidade mais baixa que o ser humano ainda con-
segue ouvir é I W m0
12 210= − / .
 Quando ouvimos um som de intensidade I, o nível 
sonoro, representado por , é o número dado por 
β = ⋅10
0
log
I
I
 cuja intensidade chama-se decibel (dB).
 Certo dia na Rua São João Clemente no Rio de Janeiro, 
ao meio dia, foi medida a intensidade sonora do tráfego 
de veículos de 10
4 2W m/ .
 Nesse momento, o nível sonoro era de:
a) 100 dB
X b) 80 dB
c) 60 dB
d) 40 dB
e) 90 dB
β
β
β
β
= ⋅
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= ⋅
=
−
−
− − −
10
10
10
10
10 10
10
0
4
12
4 12
log
log
log ( )
I
I
⋅⋅
= ⋅
=
log10
10 8
80
8
β
β
O nível sonoro era de 80 dB. 
9. Considerando log , , log , log , ,2 0 30 3 0 48 7 0 85e
determine: 
a) log48
log og( )
log log log
log , ,
log ,
48 2 3
48 2 3
48 4 0 3 0 48
48 12 0
4
4
= ⋅
= +
= ⋅ +
= +
l
,,
log ,
48
48 168=
b) log36
log log( )
log log log
log log log
log
36 2 3
36 2 3
36 2 2 2 3
36
2 2
2 2
= ⋅
= +
= ⋅ + ⋅
= 22 0 3 2 0 48
36 156
⋅ + ⋅
=
, ,
log ,
c) log5
log log
log log log
log ,
log ,
5
10
2
5 10 2
5 1 0 3
5 0 7
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= −
= −
=
d) log75
log log( )
log log log
log log
,
75 3 5
75 3 5
75 3 2 5
75 0 48
2
2
= ⋅
= +
= + ⋅
=
log
log ++ ⋅
=
2 0 7
75 188
,
log ,
e) log80
log l g( )
log log log
log log log
log ,
80 2 5
80 2 5
80 4 2 5
80 4 0
4
4
= ⋅
= +
= ⋅ +
= ⋅
o
33 0 7
80 19
+
=
,
log ,
Matemática 7
f) log 285
log log ( )
log log( )
log ( log log )
28 2 7
28 2 7
28
1
5
2 2 7
5 25
5 2
1
5
5
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ +
llog ( , , )
log ,
28
1
5
2 0 3 0 85
28 0 29
5
5
= ⋅ ⋅ +
=
g) log ,0 14
log , log
log , log( ) log
log , log
0 14
14
100
0 14 2 7 100
0 14 2
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ −
= + llog
log , , ,
log , ,
7 2
0 14 0 30 0 85 2
0 14 0 85
−
= + −
= −
h) log
108
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
log log
log log log l
108
7
2 3
7
108
7
2 3
2 3
2 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = + − oog
log log log log
log ,
7
108
7
2 2 3 3 7
108
7
2 0 3 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ + ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ + ⋅00 48 0 85
108
7
119
, ,
log ,
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
i) log ,2 4
log , log
log , log( ) log
log , log log
2 4
24
10
2 4 2 3 10
2 4 2
3
3
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ −
= + 33 1
2 4 3 2 3 1
2 4 3 0 3 0 48 1
2 4 0 38
−
= ⋅ + −
= ⋅ + −
=
log , log log
log , , ,
log , ,
j) log
49
144
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
log log log
log log log( )
49
144
49 144
49
144
7 2 32 4 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − ⋅
llog log log log
log ,
49
144
2 7 4 2 2 3
49
144
2 0 85
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ − ⋅ − ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ −44 0 3 2 0 48
49
144
0 46
⋅ − ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
, ,
log ,
10. Dados log ,a m 5 loga n 3 e log ,a p 2 calcule 
loga
m p
n
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
3
4
.
log log log log
log l
a a a a
a
m p
n
m p n
m p
n
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = + −
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
3
4
3 4
3
4
oog log log
log
log
a a a
a
a
m p n
m p
n
m p
n
+ ⋅ − ⋅
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = + ⋅ − ⋅
⋅
3 4
5 3 2 4 3
3
4
3
44
1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = −
11. Sendo loga x2 e log ,a y3 = calcule log
,
a
36
15
3⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
em função de x e y.
log
,
log log ,
log
,
log (
a a a
a a
36
15
36 15
36
15
2 3
3
3
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ 22
1
3
3
3
2
36
15
1
3
2 2 2 3
) log
log
,
( log log ) (l
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ ⋅ + ⋅ −
a
a a a oog log )
log
,
( ) ( )
log
,
a a
a
a
x y y x
3 2
36
15
1
3
2 2
36
15
3
3
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ + − −
⎛
⎝⎜
⎞⎞
⎠⎟
= + + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
2 2
3
36
15
5
3
3
x y
x y
x y
alog
,
8 Volume 4
12. Considerando que log , log log ,p p pa b e c27 9 3
determine o valor de logp
a
b c2 3⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 
log log log log
log log
p p p p
p p
a
b c
a b c
a
b c
a
2 3
2 3
2 3
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − −
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −− ⋅ − ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − ⋅ − ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
2 3
27 2 9 3 3
2 3
2 3
log log
log
log
p p
p
p
b c
a
b c
a
b c ⎠⎠
⎟ = 0
13. (MACKENZIE – SP) O pH do sangue humano é calcula-
do por pH
X
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟log
1
, sendo X a molaridade dos íons 
H O3 . Se essa molaridade for dada por 4 0 10
8, ⋅ − e, 
adotando-se log ,2 0 30, o valor desse pH será: 
a) 7,20
b) 4,60
c) 6,80
d) 4,80
X e) 7,40 
pH
pH
pH
pH
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= − −
= − − −
= −
−
−
log
log log log
log ( )
1
4 10
1 4 10
0 2 8
8
8
2
22 0 30 8
0 6 8
7 4
⋅ +
= − +
=
,
,
,
pH
pH
14. (ESPM – SP) Se log2 a e log3 b , o valor de x na 
expressão 9 5
x
 é igual a:
X a) 
1
2
a
b
b) 
1 b
a
c) 
a
b
2
d) 
a b
2
e) 
b
a
1
2
Vamos apresentar duas possíveis soluções:
I. 9 5
9 5
3
10
2
10 2
2 3
1
2
2
x
x
x
x
a
b
=
=
⋅ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
⋅
= −
log log
log log
log log
log
II. log
log
( )
( )
2 10 2
3 10 3
9 5
3
10
2
10
10
10
10 1
2
2
2
= ⇒ =
= ⇒ =
=
=
=
=⋅
a
b
a
b
x
x
b x
a
b x 00
1
2
1− ⇒ =
−a x
a
b
 
15. (INSPER – SP) Uma pessoa irá escolher dois números 
reais positivos A e B. Para a maioria das possíveis 
escolhas, o logaritmo decimal da soma dos dois 
números escolhidos não será igual à soma de seus 
logaritmos decimais. Porém, se forem escolhidos os 
valores A e B r4 , tal igualdade se verificará. Com 
essas informações, pode-se concluir que o número r 
pertence ao intervalo
a) [ , ; , ]10 11 .
b) ] , ; , ]11 12 .
c) ] , ; , ]12 13 .
X d) [ , ; , ]13 14 .
e) [ , ; , ]14 15 .
Queremos que a seguinte igualdade seja verificada:
log( ) log logA B A B+ = + 
Como log( ) log logA B A B⋅ = + , temos:
log( ) log( )A B A B
A B A B
+ = ⋅
+ = ⋅
Para A 4 e B r :
4 4
3 4
4
3
1333
+ = ⋅
=
= =
r r
r
r ,
Portanto, r pertence ao intervalo [ , ; , ]13 14 .
Matemática 9
16. (UFGD – MS) Sabendo que log2 x e log3 y , o va-
lor de log120 é dado por:
a) x y− +5
X b) 2 1x y
c) x y+ −1 
d) 3 2x y
e) 4 5x y 
log log( )
log log( )
log log log log
120 12 10
120 2 3 10
120 2 3 1
2
2
= ⋅
= ⋅ ⋅
= + + 00
120 2 2 3 1
120 2 1
log log log
log
= ⋅ + +
= + +x y
17. (UESPI) Se log log27 27
1
3
y x− = , então, a relação entre 
x e y é dada por:
a) y x2
b) x y3
X c) y x3
d) 
x
y
9
e) 3 1x y− =
y
log log
log
27 27
27
1
3
3
1
3
1
3
27
27
3 3
y x
y
x
y
x
y
x
y
x
y x
− =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
=
= ⇒ =
18. (UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido pela 
expressão
 pH H= − +log[ ] ,
 em que [ ]H indica a concentração, em mol/L, de íons 
de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10.
 Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador 
verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogê-
nio era [ ] ,H
+ −= ⋅5 4 10 8 mol/L.
 Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores 
aproximados de 0,30 para log 2, e de 0,48, para log 3.
 Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH des-
sa solução foi
X a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 d) 7,74
pH H
pH
pH
pH
= −
= − ⋅
= − ⋅ ⋅
= − +
+
−
−
log[ ]
log( , )
log( )
(log lo
5 4 10
2 3 10
2
8
3 9
gg log )
log log
, ,
,
3 10
2 3 3 9
0 3 3 0 48 9
7 26
3 9+
= − − +
= − − ⋅ +
=
−
pH
pH
pH
19. (ITA – SP) A soma 
log
log
1 2
1 2
2
1
4 32
8
/
/
n
n
n
+
=
∑ é igual a
a) 
8
9
.
b) 
14
15
.
c) 
15
16
.
X d) 
17
18
.
e) 1.
O símbolo denota um somatório. Por exemplo, 
( )2 1
1
10
x
x
+
=
∑ é o somatório de 2 1x com x variando de 
1 até 10, ou seja, ( )2 1 5 7 21 120
1
10
x
x
+ = + + + + =
=
∑ 3 . 
log log
log ( )
log (
1 2 1 2
1
1 2
1 2
2
32 32
1
32
1
5
5
8
/ /
/
/
n n
n
n n n
n
= =
= ⋅ = ⋅ − = −
=+ ++ ⋅ =
= + ⋅ − = − −
2 8
2 3 3 6
1 2) log
( ) ( )
/
n n
Assim:
log
log
1 2
1 2
2
1
4
1
4
2
1
4
32
8
5
3 6
5
3 6
5
3
1
/
/
n
n
n n
n
n
n
n n n
+
= =
=
∑ ∑
∑
=
−
− −
=
=
+
= ⋅
⋅⋅ +
=
= ⋅ + + +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= ⋅
+ + +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
=
∑
( )nn 2
5
3
1
3
1
8
1
15
1
24
5
3
40 15 8 5
120
1
4
⎟⎟ = ⋅ =
5
3
68
120
17
18
10 Volume 4
20. Sendo log ,2 0 30 e log , ,3 0 48= calcule:
a) log4 24
log
loglog
log
log( )
log
log
log log
l
4
4
3
2
4
24
24
4
24
2 3
2
24
3 2 3
2
=
=
⋅
=
⋅ +
⋅ oog
log
, ,
,
,
,
,
2
24
3 0 3 0 48
2 0 3
138
0 6
2 34 =
⋅ +
⋅
= =
b) log3 54
log
log
log
log
log( )
log
log
log log
log
3
3
3
3
54
54
3
54
2 3
3
54
2 3 3
3
=
=
⋅
=
+ ⋅
llog
, ,
,
,
,
,3 54
0 3 3 0 48
0 48
174
0 48
3 625=
+ ⋅
= =
c) log18 4
log
log
log
log
log
log( )
log
log
log l
18
18
2
2
18
4
4
18
4
2
2 3
4
2 2
2 2
=
=
⋅
=
⋅
+ ⋅ oog
log
,
, ,
,
,
,
3
4
2 0 3
0 3 2 0 48
0 6
126
0 4818 =
⋅
+ ⋅
=
d) log5 300
 
log
log
log
log
log( )
log
log
lo
5
5
2
5
300
300
5
300
3 10
10
2
300
=
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
gg log
log log
log
,
,
,
,
,
3 2 10
10 2
300
0 48 2 1
1 0 3
2 48
0 7
3 545
+ ⋅
−
=
+ ⋅
−
=
e) log8 27 
log
log
log
log
log
log
log
,
,
,
8
3
3
8
8
27
3
2
27
3 3
3 2
27
0 48
0 3
16
=
=
⋅
⋅
= =
f) log12 30 
log
log
log
log
log( )
log( )
log
log l
12
12 2
12
30
30
12
30
3 10
2 3
30
3
=
=
⋅
⋅
=
+ oog
log log
log
,
, ,
,
,
,
10
2 2 3
30
0 48 1
2 0 3 0 48
148
108
13712
⋅ +
=
+
⋅ +
=
21. Sendo p e q números positivos e diferentes de 1 e 
logq p 3 , calcule:
a) logp q p
log
log
log
log
p
q
q
p
q
q
p
q
1
3
Observação: também podemos utilizar a igualdade 
log
log
p
q
q
p
1 1
3
.
b) log
q
p
2
5
 
q
log
log
log
log
log
log
q
q
q
q
q
q
p
p
q
p
p
q
2
2
5
5
2
5 5
2
5 3
2 1
15
2
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Observação: também podemos utilizar as propriedades 
dos logaritmos.
log log
q q
p p
2
5 5
1
2
5
2
3
15
2
= ⋅ ⋅ = ⋅ = .
Matemática 11
c) log
p
q3
log
log
log
log
log
log
p
q
q
p
q
q
q
q
p
q
q
p
3
3
3 3
1
2
3 1
1
2
3
3
2
3
2
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= ⋅ =
Observação: também podemos utilizar as propriedades 
dos logaritmos.
log log log
/p p p
q q q3 3
1 2
3 2 6
1
3
2= = ⋅ ⋅ = ⋅ = .
22. Simplifique as expressões a seguir.
a) log log log log2 36 5 135 13 6 4 
log log log log
log
log
log
log
log
log
l
2 36 5 13
2
5 13 6 4
5
2
13
6
6
5
⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅
oog
log
log
log
log
log
log
log
log
log
2
13
5
2
13
2 6
6
5
2 2
13
1
2
=
= ⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
=
b) 5 3 8 77 9 2log og log⋅ ⋅l )
log log log
log
log
log
log
log
log
log
log
3 8 7
2
3
7 9 2
7
3
3
2
2
7
7
3
⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= ⋅
22 3
3 2
2
7
2
3
⋅
⋅
⋅ =
log
log
log
log
5 5 5 253 8 77 9 2
2
3 23 3log og log⋅ ⋅ = = =l
23. (UNIMONTES – MG) Se a, b e c são três números reais 
positivos, tais que loga b 2 e logab c 1, então 
loga c é
a) 2
X b) 3
c) 4
d) 9
log
log
log
log log log
log
log
ab
a
a
a a a
a
a
c
c
ab
c a b
c
c
=
=
= +
= +
=
1
1
1 2
3
24. (UDESC) Sabendo que os números reais x, y e z são 
tais que log y x 5 e log y z 7 , então log x
x y
z
2 3
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
é igual a:
a) –5
X b) –3
c) –2
d) 
57
5
e) 
41
5
 
5
log log log log
log
x x x x
x
x y
z
x y z
x y
z
2 3
4
2 3 4
2 3
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = + −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = 22 3 4
2 3
1
4
2 3
4
+ ⋅ − ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = + ⋅ − ⋅
log log
log
log
log
log
x x
x
y
y
y z
x y
z x
z
yy
x
x
x y
z
log
2 3
4
2 3
1
5
4
7
5
2
25
5
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = + ⋅ − ⋅ = − = −
25. (UFSCAR – SP) Adotando-se log2 a e log3 b , o 
valor de log ,15 135 é igual a
a) 
3ab
b a
.
b) 
2 1
2
b a
b a
− +
−
.
c) 
3b a
b a
.
d) 
3b a
b a
+
−
.
X e) 
3 1b a
b a
− +
−
. 
b a
log
log
log ,
log
log( )
log
log
,
,
15
15
3
3
135
135
15
135
3 5
3
2
3
=
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
++ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
=
⋅ + −
−
log
log log
log
log log log
log log
,
10
2
3 2
135
3 3 10 2
3
15
22
135
3 1
15log
b a
, =
+ −
−
b a
26. (FUVEST – SP) Seja x 0 tal que a sequência 
a x1 2log , a x2 4 4log ( ) , a x3 8 8log ( ) forme, 
nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, 
a a a1 2 3 é igual a
12 Volume 4
a) 
13
2
X b) 
15
2
c) 
17
2
d) 
19
2
e) 
21
2
 
2
a a a a
x x x x
x
2 1 3 2
4 2 8 4
2
2
4 8 4
4
4
− = −
− = −
−
log ( ) log log ( ) log ( )
log ( )
log
loog
log ( )
log
log ( )
log
log log
log
2
2
2
2
2
2 2
2
8
8
4
4
2
4
2
x
x x
x
= −
⋅
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − xx
x
x x
x
x x x
a
=
+
+ − =
+
= ⇒ = ⇒ =
=
log log
log log
log
log
lo
2 2
2 2
2
2
3
1
8
3
2
3
3
3 2 8
gg
log ( ) log
log ( ) log
2
2 4 4
3 8 8
1 2 3
8 3
4 8 32
5
2
8 8 64 2
=
= ⋅ = =
= ⋅ = =
+ + =
a
a
a a a 33
5
2
2
15
2
+ + =
 
Função logarítmica
27. Classifique as funções a seguir em crescente ou de-
crescente.
a) f x x( ) log 1
44
Como 0 < a < 1, a função é decrescente.
b) g x x( ) log3 3
Como a > 1, a função é crescente.
c) h x x( ) log ( )5
2
2 
2
Como a > 1, a função é crescente.
d) t x x( ) log ( )= +
2
2
1 
2
Como 0 < a < 1, a função é decrescente.
28. Dada a função f x x( ) log 2 , assinale V para as afirma-
ções verdadeiras e F para as falsas.
a) ( ) f f( ) ( )100 2 10= ⋅ 
b) ( ) f( )1000 6
c) ( ) f( ) f( )− + =10 10 0
d) ( ) f f( ( )100000 2
e) ( ) O domínio de f é *.
a) Verdadeira.
f
f
( ) log log
( ) log
100 100 2 100 2 2 4
2 10 2 10 2 2 1 4
2
2
= = ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
Observação: para valores positivos de x, 
f x x x( ) log log .= = ⋅2 2
Assim, f f( ) log log ( )100 2 100 2 10 2 102= ⋅ = ⋅ = ⋅ .
b) Verdadeira.
f( ) log1000 1000 2 3 62= = ⋅ =
c) Falsa.
f
f
f
( ) f( ) log( ) log
( ) f( ) log log
(
− + = − +
− + = +
−
10 10 10 10
10 10 100 100
2 2
110 10 2 2 4) f( )+ = + =
d) Verdadeira.
f f f
f f f
f f
( ( ) (log )
( ( ) ( log )
( (
100000 100000
100000 2 100000
100
2=
= ⋅
0000 2 5
100000 10
100000 10 2 1 22
) ( )
( ( ) ( )
( ( ) log
= ⋅
=
= = ⋅ =
f
f f f
f f
e) Verdadeira.
x x2 0 0> ⇒ ≠
Portanto, o domínio é *.
29. Na figura a seguir, está representado o gráfico da 
função g: + →
∗
 definida por g x x ba( ) log ( )= + .
–1
–1
1 2 3 4 5 6 7–2
–2
0
1
2
y
x
V
V
F
V
V
Matemática 13
a) Calcule os valores de a e b.
O gráfico da função passa pelos pontos ( , )1 0 , ( , )1 1 e 
( , )7 2 . Substituindo dois desses pontos na função, te-
mos:
g
b
a b b
g
b
a a
a
a
( )
log ( )
( )
log ( )
− =
− + =
= − + ⇒ =
=
+ =
= + ⇒ =
1 0
1 0
1 2
1 1
1 1
1 2 3
0
1
 
b) Determine g( ).0
g x x
g
g
( ) log ( )
( ) log ( )
( ) log
= +
= +
=
3
3
3
2
0 0 2
0 2
c) Calcule g g g( ) ( ) ( ).− + +3 3 25
g x x
g
g
g
( ) log ( )
( ) log ( )
( ) log ( )
( ) log (
= +
− = − +
= +
= +
3
3
3
3
2
3 3 2
3 3 2
25 25 22 27 3
3 3 25
3 2 3 2 3
3
3 3
3
) log
( ) g( ) g( )
log ( ) log ( )
log
= =
− + + =
= − + + + + =
=
g
[[( ) ( )]
log [ ]
log
2 3 2 3 3
4 3 3
1 3 0 3 3
3
3
− ⋅ + + =
= − + =
= + = + =
30. (FATEC – SP) Seja a função f: + →
∗
 definida por
f x x
x
( ) log log= −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟10 10
3
410
 A abscissa do ponto de intersecção do gráfico de f com 
a reta de equação y − =2 0 é
a) 10 7− .
b) 10 3− .
X c) 10.
d) 102.
e) 10 4.
y x
x
y
y y
= −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
− =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
− = ⇒ =
log log10 10
3
410
2 0
2 0 2
 
Substituindo y 2 na primeira equação, temos:
log log
log
10 10
3
4
10
4
3
2
4
2
10
2
10
2
10
10
x
x
x
x
x
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
=
xx x pois x2 210 10 0= ⇒ = >( )
Portanto, os gráficos se intersectam no ponto ( , ),10 2 
cuja abscissa é 10. 
31. (UECE) O maior número inteiro contido na imagem da 
função real de variável real definida por 
f x x( ) log ( )= −2
2100 é 
X a) 6.
b) 4.
c) 5.
d) 7. 
Domínio da função:
100 0
10 10
2− >
− < <
x
x
A maior imagem é obtida para o menor valor de x
2
 tal 
que − < <10 10x , ou seja, para x 0 . Assim:
f
f
( ) log ( )
( ) log
0 100 0
0 100
2
2
2
= −
=
 
Como 2 100 26 7, f( )0 é um número entre 6 e 7. 
Portanto, o maior inteiro contido no conjunto-imagem da 
função f é 6.
32. (UNICAMP – SP) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma 
temperatura de 740 ºC. Em seguida, é exposta a umacorrente de ar a 40 ºC. Sabe-se que a temperatura no 
centro do cilindro varia de acordo com a função
 T t T T TAR
t
AR( ) ( )
/= − × +−0
1210
14 Volume 4
 sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e 
TAR a temperatura do ar. Com essa função, concluímos 
que o tempo requerido para que a temperatura no 
centro atinja 140 ºC é dado pela seguinte expressão, 
com o log na base 10:
a) 12 7 1[log( ) ] minutos.
b) 12 1 7[ log( )] minutos.
X c) 12 7log( ) minutos.
d) [ log( )]1 7 12/
T t T T T
T
T
AR
t
AR
AR
t
( ) ( )
( )
/
/
= − ⋅ +
=
=
= − ⋅ +
−
−
0
12
0
12
10
740
40
140 740 40 10 440
100 700 10
10
1
7
10 7
12
12
12
12 1
= ⋅
=
=
− = −
−
−
− −
t
t
t
t
/
/
/log( ) log( )
log77
12 7t = ⋅ log
 
33. (MACKENZIE – SP) O conjunto dos números reais, para 
os quais a função f x
x x
x
x( ) log=
+ +
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟+5
2
2
5 4
1
 está 
definida, é
a) 
b) {x x ou x }∈ ≤ − ≥/ 5 1
c) {x x ou x }∈ ≤ − >/ 5 1
d) {x ou x }∈ − < ≤ − ≥/ 6 5 1x
X e) {x ou x }∈ − < < − >/ 5 4 1x
x x I
x x II
x x
x
+ > ⇒ > −
+ ≠ ⇒ ≠ −
+ +
−
>
5 0 5
5 1 4
5 4
1
0
2
2
( )
( )
 
–4
–1
–1
1
+++++ ++++++++++++++– – – – – – – –
x
x
++++++++++++++++++++++ – – – – –
–1–4 1 x
+ +– –
x ou x III< − >4 1( ) 
De (I), (II) e (III), o domínio da função é 
{x ou x }∈ − < < − >| 5 4 1x
Equações logarítmicas
34. Resolva as seguintes equações.
a) log x− =2 4 2 
Condições de existência:
x x
x x
− > ⇒ >
− ≠ ⇒ ≠
2 0 2
2 1 3
 
log
( )
x
x
x ou x
x ou x
− =
− =
− = − = −
= =
2
2
4 2
2 4
2 2 2 2
4 0
Como apenas x 4 satisfaz as condições de existência, 
o conjunto-solução da equação é S { }.4
b) log ( )3 2 8 2x + = 
Condição de existência:
2 8 0 4x x+ > ⇒ > − 
log ( )3
2
2 8 2
3 2 8
9 2 8
2 1
1
2
x
x
x
x
x
+ =
= +
= +
=
=
O conjunto-solução da equação é S = ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
2
.
c) log ( )x x+ + =2
23 4 2 
Condições de existência:
x x
x x
x
+ > ⇒ > −
+ ≠ ⇒ ≠ −
+ >
2 0 2
2 1 1
3 4 02
 
Note que a terceira condição é satisfeita para qualquer 
x real.
log ( )
( )
( )
x x
x x
x x x
x x
x x
+ + =
+ = +
+ + = +
− =
⋅ − =
2
2
2 2
2 2
2
3 4 2
2 3 4
4 4 3 4
2 4 0
2 2 0
xx ou x= =0 2
O conjunto-solução da equação é S { , }0 2 .
Matemática 15
d) log( ) log( ) log( )4 1 2 4x x x− − − = − 
Condições de existência:
4 1 0
1
4
2 0 2
4 0 4
x x
x x
x x
− > ⇒ >
− > ⇒ >
− > ⇒ >
 
Portanto, x deve ser maior que 4.
log( ) log( ) log( )
log log( )
4 1 2 4
4 1
2
4
4 1
x x x
x
x
x
x
x
− − − = −
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
−
−22
4
4 1 6 8
10 9 0
1 9
2
2
= −
− = − +
− + =
= =
x
x x x
x x
x ou x
Como apenas x 9 satisfaz as condições de existência, o 
conjunto-solução da equação é S { }9 .
e) log log log3 9 27
11
6
x x x+ + = 
6
Condição de existência:
x 0 
log log log
log
log
log
log
log
log
3 9 27
3
3
3
3
3
3
11
6
9 27
11
6
x x x
x
x x
+ + =
+ + =
xx
x x
x x x
x
x
+ + =
+ + =
=
log log
log log log
log
log
3 3
3 3 3
3
3
2 3
11
6
6 3 2 11
11 11
== ⇒ =1 3x
O conjunto-solução da equação é S { }3 .
f) log log ,2 2 2 5x x+ = 
Condições de existência:
x
x
>
≠
0
1
 
log log ,
log
log
2
2
2
2 2 5
1 5
2
x
x
x
x+ =
+ =
Mudança de variável: log2 x y 
y
y y
y y
y ou y
x x
x x
+ =
+ =
− + =
= =
= ⇒ =
= ⇒ =
1 5
2
2 2 5
2 5 2 0
2
1
2
2 4
1
2
2
2
2
2
2
y
log
log
O conjunto-solução da equação é S { , }4 2 .
35. (IFG – GO) O conjunto-solução da equação logarítmica 
log ( ) log ( ) log ( )3 1
3
32 5 1 1x x x+ + + = + é
a) { , }2 2
b) { , }0 2
X c) { }2
d) { , }2 0
e) { }2
Condições de existência:
2 5 0
5
2
1 0 1
x x
x x
+ > ⇒ > −
+ > ⇒ > −
Portanto, x deve ser maior que –1.
log ( ) log ( ) log ( )
log ( )
log ( )
log
3 1
3
3
3
3
3
2 5 1 1
2 5
1
1
3
x x x
x
x
+ + + = +
+ +
+
⎛
⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +
+ − + = +
+
+
⎛
log ( )
log ( ) log ( ) log ( )
log
3
3 3 3
3
1
2 5 1 1
2 5
1
x
x x x
x
x⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
+
+
= +
+ = + +
= ⇒ = = −
log ( )3
2
2
1
2 5
1
1
2 5 2 1
4 2 2
x
x
x
x
x x x
x x ou x
Como apenas x = 2 satisfaz as condições de existência, o 
conjunto-solução da equação é S { }2 . 
36. (UEFS – BA) A equação 2 9 72 2
3 27log log
log
x − = tem 
como solução
a) x = −48
b) x = −27
c) x 27
d) x 36
X e) x 48
Condição de existência:
x 0 
2 9 7
9 7
9
2
2 2
3 2
2
2
2
2
2
2
3
7
7
3
log log
log log
log
log
log
x
x
x
− =
− =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
22
9
9 2 3 2 48 0
8
2
2 8 4
=
= ⋅ ⇒ = ⋅ = >
x
x x pois x( )
37. (UEPG – PR) Considerando as funções 
f x x x x( ) log( ) log( )= − + − −2 25 6 4 e g x x( ) ( )= − +2 2 1, 
assinale o que for correto. 
16 Volume 4
 (01) g(x) é crescente.
X (02) A solução da equação f x( ) 0 é 
1
2
.
 (04) O domínio de f(x) é { | }x x∈ < <2 3 . 
 (08) f g −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
2
1. 
X (16) A solução da equação g x( )
2
8
 é 
1
4
. 
8 4
Somatório: 18 (02 + 16).
(01) Incorreto.
g x
g x
g x
x
x
x
( ) ( )
( )
( ) ,
=
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
= ⋅
− +2
1
4
1
4
1
4
0 25
2 1
A função g é decrescente.
(02) Correto. Condições de existência:
x x x ou x
x x
2
2
5 6 0 2 3
4 0 2 2
− + > ⇒ < >
− > ⇒ − < <
 
Portanto, x deve ser maior que –2 e menor que 2.
log( ) log( )
log( ) log( )
x
x x x
x x x
x x
2 2
2 2
2 2
5 6 4 0
5 6 4
5 6 4
− + − − =
− + = −
− + = −
22 5 2 0 2
1
2
2x x x ou x− + = ⇒ = =
O conjunto-solução da equação é S = ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
2
. 
(04) Incorreto. Observe as condições de existência do item 
anterior.
O domínio da função f é { | }x x∈ − < <2 2 . 
(08) Incorreto.
g
f g f
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− − + −1
2
2 2
1
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
1( )
(16) Correto.
g x
x x
x
x
x
( )
( )
=
=
=
=
− − = − ⇒ =
− +
− −
− − −
2
8
2
2
8
2
2
2
2 2
2 2
5
2
1
4
2 1
2 2
1
2
3
2 2
1
2
3
38. Resolva os seguintes sistemas de equações.
a) 
2 64
42 2
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪log log
 
⎩
Condições de existência:
x 0
y 0 
x y
x y 6
2 2
4
2
2
2 64
2 2 x y 6
log x log y 4
log (x y) 4 x y 2 16
x y 6
x y 16
x y 6 x y 6
x y 16
(y 6) y 16
y 6y 16 0
y 2 ou y 8 (não convém)
x y 6
x 2 6 8
−
−
=
= ⇒ − =
+ =
⋅ = ⇒ ⋅ = =
− =⎧
⎨ ⋅ =⎩
− = ⇒ = +
⋅ =
+ ⋅ =
+ − =
= = −
= +
= + =
O conjunto-solução do sistema é S {( , )}8 2 . 
b) 
log log
log( ) log( ) log log
5 5 3
3 2
x y
x y x y
+ =
+ − − = −
⎧
⎨
⎩
 
⎩
Condições de existência:
x 0
y 0 
x y+ > 0 
Essa condição é naturalmente satisfeita caso as duas 
primeiras sejam.
x y− > 0 
5 5
3
5
2
log x log y 3
log (x y) 3 x y 5 125
log(x y) log(x y) log3 log2
x y 3
log log
x y 2
x y 3
x y 2
2x 2y 3x 3y x 5y
x y 125
x 5y
5y y 125
y 25 y 5 ou y 5 (não convém)
x 5 y
x 5 5 25
+ =
⋅ = ⇒ ⋅ = =
+ − − = −
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠
+ =
−
+ = − ⇒ =
⋅ =⎧
⎨ =⎩
⋅ =
= ⇒ = = −
=
= ⋅ =
O conjunto-solução do sistema é S {( , )}25 5 .
Matemática 17
39. (UFSCAR – SP) Um paciente de um hospital está 
recebendo soro por via intravenosa. O equipamento 
foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. 
Sabendo-se que este número x é solução da equação 
log log ,4 2 3x = e que cada gota tem volume de 0,3 mL, 
pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente 
recebe em uma hora é de:
a) 800 mL.
b) 750 mL.
c) 724 mL.
d) 500 mL.
X e) 324 mL. 
Condição de existência:
x 0 
log log
log
log
log
log
log
log log
log
4 2
2
2
2
2
2
2 2
2
3
4
3
2
3
2 3
x
x
x
x
x
=
=
=
= ⋅
= llog2
23
9x =
Como cada gota tem volume de 0,3 mL, são gotejados 
9 0 3 2 7⋅ =, ,mL mL de soro a cada 30 segundos, o 
que equivale a 5,4 mL de soro a cada minuto e 
60 5 4 324⋅ =, mL mL em uma hora. 
40. (UFCE) O número real x, positivo e diferente de 1, que 
satisfaz à equação log ( ) log logx x x x2 32 2⋅ = − é 
igual a:
a) 23
b) 2
X c) 2 23
d) 4
e) 4 23
Observe que as condições de existência estão estabele-
cidasno enunciado.
log ( ) log log
log ( )
log
log log
log l
x x x x
x
x
x x
2 3
2
3
2
2 2
2
2
2 2
1
2
2
⋅ = −
⋅ = −
+ oog log
log log
log
log
2 2
2 2
2
2
4
3
43
3
1
2
2 2 6
3 4
4
3
2
2
x x
x x
x
x
x
x
= − ⋅
+ = −
=
=
=
= == 2 23
Inequações logarítmicas
41. Resolva as inequações a seguir.
a) log ( ) log2 22 7 5x − > 
Condição de existência:
2 7 0
7
2
x x I− > ⇒ > ( ) 
A função y xlog2 é crescente.
log ( ) log
( )
2 22 7 5
2 7 5
2 12 6
x
x
x x II
− >
− >
> ⇒ >
De (I) e (II), temos que S x x= ∈ >{ | }6 . 
b) log log ( )1
2
1
2
4 1x x≤ − 
2 2
Condições de existência:
x I0 ( ) 
4 1 0
1
4
x x II− > ⇒ > ( ) 
A função y xlog1
2
 é decrescente.
log log ( )
( )
1
2
1
2
4 1
4 1
3 1
1
3
x x
x x
x x III
≤ −
≥ −
− ≥ − ⇒ ≤
De (I), (II) e (III), temos que S x x= ∈ < ≤⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
1
4
1
3
. 
c) log ( ) log
3 3
1 7x − < 
Condição de existência:
x x I− > ⇒ >1 0 1( ) 
A função y xlog
3
 é crescente.
log ( ) log
( )
3 3
1 7
1 7 8
x
x x II
− <
− < ⇒ <
De (I) e (II), temos que S x x= ∈ < <{ | }1 8 .
18 Volume 4
d) log ( )1
3
2 1 2x + ≥ − 
3
Condição de existência:
2 1 0
1
2
x x I+ > ⇒ > − ( )
A função y xlog1
3
 é decrescente.
log ( ) log
( )
1
3
1
3
2
2 1
1
3
2 1 9
2 8 4
x
x
x x II
+ ≥ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ ≤
≤ ⇒ ≤
−
De (I) e (II), temos que S x x= ∈ − < ≤⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
1
2
4 .
e) 
1
2
1
5 3⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ >
+log ( )x
 
⎝ ⎠
Condição de existência:
x x I+ > ⇒ > −3 0 3 ( ) 
A função y
x
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
 é decrescente e a função y xlog5 
é crescente.
1
2
1
1
2
1
2
3 0
5
5
3
3 0
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ >
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ >
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ <
+
+
log ( )
log ( )
log ( )
l
x
x
x
oog ( ) log
( )
5 53 1
3 1 2
x
x x II
+ <
+ < ⇒ < −
De (I) e (II), temos que S x x= ∈ − < < −{ | }3 2 .
42. Determine o domínio das funções a seguir.
a) f x x( ) log( )= +1 
Para que f(x) seja real, devemos ter log( )x + ≥1 0 .
Condição de existência de log( )x 1 :
x x I+ > ⇒ > −1 0 1( ) 
log( )
log( ) log
( )
x
x
x x II
+ ≥
+ ≥
+ ≥ ⇒ ≥
1 0
1 1
1 1 0
De (I) e (II), temos que o domínio da função é 
D x x= ∈ ≥{ | }0 .
b) g x x( ) log ( )= −1
2
3
3 4 
Como a raiz cúbica de qualquer número real também é 
real, basta estabelecer a condição de existência de 
log ( )1
2
3 4x .
3 4 0
3 4
4
3
x
x x
− >
> ⇒ >
 
O domínio da função é D x x= ∈ >⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
4
3
.
c) h x x( ) log log=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟1
3
1
3
4 
Para que h(x) seja real, devemos ter log log1
3
1
3
0x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
≥ .
Condição de existência de log1
3
x:
x I0 ( ) 
Condição de existência de log log1
3
1
3
x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
:
log
log log
( )
1
3
1
3
1
3
0
1
1
x
x
x II
>
>
<
log log
log log log
log
log
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
0
1
1
x
x
x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
≥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
≥
≤
11
3
1
3
1
3
1
3
x
x III
≤
≥
log
( )
De (I), (II) e (III), temos que o domínio da função é 
D x x= ∈ ≤ <⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
1
3
1 .
Matemática 19
43. (UFU – MG) O conjunto-solução da inequação 
log ( ) log ( )2 23 2 1 1− − + ≥x x no conjunto dos núme-
ros reais é
X a) x x∈ − < ≤
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
:
1
2
1
5
b) x x ou x∈ < − ≥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
:
1
2
1
5
c) x x ou x∈ < ≥ −
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
: 3
1
2
d) x x∈ − ≤ <
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
:
1
2
3
Condições de existência:
3 0 3− > ⇒ <x x I( ) 
2 1 0
1
2
x x II+ > ⇒ > − ( ) 
log ( ) log ( )
log log
2 2
2 2
3 2 1 1
3
2 1
2
3
2 1
2
− − + ≥
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≥
−
+
≥
x x
x
x
x
x
Como 3 x e 2 1x devem ser positivos, temos:
3
2 1
2 3 4 2
5 1
1
5
−
+
≥ ⇒ − ≥ + ⇒
⇒ − ≥ − ⇒ ≤
x
x
x x
x x III( )
De (I), (II) e (III), temos que S x x= ∈ − < ≤⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
1
2
1
5
.
44. (UECE) Se a função f: ( , )− →1 1 , é definida por 
f x
x
x
( ) log=
+
−10
1
1
, então os valores de x para os quais 
f x( ) 1 são todos os valores que estão no domínio de 
f e são
a) menores que 
9
11
.
b) maiores que 
9
11
. 
X c) menores que 
9
11
.
d) maiores que 
9
11
.
11
f x
x
x
x
x
x
x
( )
log
log log
<
+
−
<
+
−
<
+
−
<
1
1
1
1
1
1
10
1
1
10
10
10 10
Como x é maior que –1 e menor que 1, 1 x e 1 x são 
positivos. Assim:
1
1
10 1 10 10
11 9
9
11
+
−
< ⇒ + < − ⇒
⇒ < ⇒ <
x
x
x x
x x
45. (UERJ) Ao digitar corretamente a expressão log ( )10 2 
em uma calculadora, o retorno obtido no visor corres-
ponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse 
logaritmo não é um número real. Determine todos os 
valores reais de x para que o valor da expressão 
log (log (log ( ))), ,0 1 10 0 1 x seja um número real.
Condição de existência de log ( ),0 1 x :
x I0 ( ) 
Condições de existência de log (log ( )),10 0 1 x :
log ( )
log ( ) log
( )
,
, ,
0 1
0 1 0 1
0
1
1
x
x
x II
>
>
<
Condições de existência de log (log (log ( ))), ,0 1 10 0 1 x :
log (log ( ))
log (log ( )) log
log ( )
log
,
,
,
,
10 0 1
10 0 1 10
0 1
0 1
0
1
1
x
x
x
>
>
>
(( ) log ,
, ( )
,x
x III
>
<
0 10 1
0 1
De (I), (II) e (III), para que o valor da expressão 
log (log (log ( ))), ,0 1 10 0 1 x seja um número real, devemos ter 
0 0 1x , .
20 Volume 4
09
Sequências II
Progressão geométrica
Denomina-se progressão geométrica (PG) qualquer sequência numérica na qual o quociente entre cada termo e o anterior é cons-
tante. Esse quociente recebe o nome de razão (q).
Termo geral de uma PG
A fórmula do termo geral de uma PG é dada por:
a a qn
n= ⋅ −
1
1
Progressão geométrica e função exponencial
A fórmula do termo geral de uma PG é uma função que tem comportamento semelhante à função exponencial e que associa cada número 
n * ao valor de an .
a a q
a a
q
q
a
a
q
q
f n b a
a f n
a
q
b
q a
n
n
n
n
n
n
n
n
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
−
1
1
1
1
1
( )
( )
⎪⎪
 
Interpolação geométrica
Inserir termos entre dois outros de modo que a sequência formada seja uma PG é um procedimento denominado interpolação geométrica. 
Chamamos os termos inseridos (interpolados) de meios geométricos.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:
S
a a q
q
n
n=
− ⋅
−
1
1
 ou S
a q
q
n
n
=
⋅ −
−
1 1
1
( )
, sendo q 1
Limite da soma dos termos de uma PG 
Em uma PG de razão q, com − < <1 1q , o limite da soma dos n primeiros termos, quando n tende ao infinito, é dado por:
lim
n
nS
a
q→∞
=
−
1
1
Quando a razão da PG não está compreendida entre –1 e 1, o limite não existe, pois a soma não converge. Assim, não podemos utilizar a 
fórmula anterior. Caso seja utilizada, obteremos resultados que não fazem sentido. 
Progressão geométrica e juros compostos
De modo geral, um capital C, a uma taxa de capitalização composta i, transforma-se após t períodos de tempo em um montante dado por: 
M C it
t= ⋅ +( )1
Os montantes formam uma PG de razão 1 i .
21Matemática
Atividades
Progressão geométrica
1. Escreva os cinco primeiros termos de cada progressão 
geométrica.
a) a1 5 e q 4 
a
a a q
a a q
a a q
a a q
1
2 1
3 2
4 3
5 4
5
5 4 20
20 4 80
80 4 320
3
=
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = 220 4 1280⋅ =
Os cinco primeiros termos são: 5, 20, 80, 320, 1 280.
b) a 2 2 e q 2 
2. Considere uma PG em que o primeiro termo é 2 e 
o segundo termo é 6. Assinale V se a afirmação for 
verdadeira e F se for falsa.
a) ( F ) A razão é 4. 
b) ( V ) A PG é crescente.
c) ( V ) O quarto termo é 54. 
d) ( V ) O termo geral é dado por a n
n= ⋅
2
3
3 .
e) ( V ) A razão entre o décimo quinto e o décimo termos 
é 243.
a) Falsa.
q
6
2
3 
b) Verdadeira. Cada termo é maior que o anterior.
c) Verdadeira.
a a q
a
a
4 1
3
4
3
4
2 3
54
= ⋅
= ⋅
=
 
d) Verdadeira.
a a q
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
−
−
1
1
1
1
2 3
2
3
3
2
3
3
 
e) Verdadeira.
a
a
q15
10
5 53 243 
3. Considerando a PG 
2
3
1
3
2
, , ,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , determine:
a) a razão;
q
1
2
3
3
2
b) a fórmula do termo geral;
a a q
a
aa
n
n
n
n
n
n
n
= ⋅
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⎛
−
−
− −
1
1
1
1 1
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−n 2
c) o sétimo termo.
Podemos utilizar a fórmula do termo geral obtida no 
item anterior.
a
a
a
n
n
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
−
3
2
3
2
3
2
243
32
2
7
7 2
7
5
a a q
a
a
a a q
a a q
a a q
2 1
1
1
3 2
4 3
5 4
2 2
2
2
2
2 2
2 2 2 4
4 2
= ⋅
= ⋅
= =
= ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ =
 
Os cinco primeiros termos são: 2 , 2, 2 2 , 4, 4 2.
22 Volume 4
4. Uma PG tem seu termo geral dado por a n
n= −23 .
a) Determine a razão.
q
a
a
q
= =
= = =
−
−
2
1
3 2
3 1
1
2
2
2
2
2
2
4
1
2
 
b) Calcule a a1 5 .
a
a
a
a a
a a
n
n=
= = =
= = =
⋅ = ⋅
⋅ =
−
−
− −
2
2 2 4
2 2
1
4
4
1
4
1
3
1
3 1 2
5
3 5 2
1 5
1 5
c) Indique a posição do termo 
1
1024
.
a
n
n
n
n
n
=
=
=
− = −
=
−
− −
1
1024
2
1
2
2 2
3 10
13
3
10
3 10
Portanto, 
1
1024
 é o décimo terceiro termo.
5. Numa PG de razão 5, o quarto termo é 375. Qual é o 
primeiro termo?
a a q
a
a
a
4 1
3
1
3
1
1
375 5
375
125
3
= ⋅
= ⋅
=
=
6. Qual é a razão de uma PG na qual a1 3 e a12 6 144?
a a q
q
q
q
q
12 1
11
11
11
11 11
6 144 3
2 048
2
2
= ⋅
= ⋅
=
=
=
7. Numa PG, o quarto termo é 
1
3
 e o oitavo termo é 27.
a) Calcule a razão.
a a q
q
q
q
q ou q
8 4
4
4
4
4 4
27
1
3
81
3
3 3
= ⋅
= ⋅
=
=
= = −
b) Calcule o primeiro termo.
Se q = 3:
a a q
a
a
4 1
3
1
3
1
1
3
3
1
81
= ⋅
= ⋅
=
 
Se q = –3:
a a q
a
a
4 1
3
1
3
1
1
3
3
1
81
= ⋅
= ⋅ −
= −
( )
c) Escreva os 10 primeiros termos.
Existem duas progressões geométricas, uma com razão 
3 (crescente) e outra com razão –3 (oscilante).
q
q
=
= −
− − − −
3
1
81
1
27
1
9
1
3
1 3 9 27 81 243
3
1
81
1
27
1
9
1
3
1 3
, , , , , , , , ,
, , , , , , 99 27 81 243, , ,−
Matemática 23
8. Em uma progressão geométrica, a 6 64 e a 9 216.
a) Calcule o primeiro termo e a razão.
a a q
q
q
q
9 6
3
3
3
216 64
216
64
27
8
3
2
= ⋅
= ⋅
= =
=
 
a a q
a
a
a
6 1
5
1
5
1
1
64
3
2
64
32
243
2 048
243
= ⋅
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅
=
 
b) Quantos termos dessa PG são números inteiros?
Observe que a1
11
5
2
3
. Como a razão é 
3
2
, para obter o 
primeiro número inteiro, multiplicamos a1 por 
3
2
3
2
5 5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = . Assim, o primeiro número inteiro é 
a a q6 1
5 62 64= ⋅ = = . Os termos seguintes também são 
inteiros até que não seja mais possível dividir por 2. O 
último número inteiro é obtido multiplicando a6 por 
3
2
3
2
6 6
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = . Assim, a a q12 6
6 6
6
6
2
3
2
729= ⋅ = ⋅ = . Portan-
to, 7 termos da PG são números inteiros: 64, 96, 144, 
216, 324, 486, 729.
9. (UFRGS – RS) Para fazer a aposta mínima na Mega-
-sena uma pessoa deve escolher 6 números diferentes 
em um cartão de apostas que contém os números de 1 
a 60. Uma pessoa escolheu os números de sua aposta, 
formando uma progressão geométrica de razão inteira.
 Com esse critério, é correto afirmar que
X a) essa pessoa apostou no número 1.
b) a razão da PG é maior do que 3.
c) essa pessoa apostou no número 60.
d) a razão da PG é 3.
e) essa pessoa apostou somente em números ímpares.
10. (FGV – SP) Se o sétimo termo de uma progressão 
geométrica de termos positivos é 20, e o décimo ter-
ceiro termo é 11, então o décimo termo dessa progres-
são é igual a:
a) 2 39
b) 2 41
c) 2 43
X d) 2 55
e) 3 39
a a q
q
q
13 7
6
6
6
11 20
11
20
= ⋅
= ⋅
=
 
Como os termos da PG são positivos, q
11
20
6 .
Assim:
a a q
a
a
a
a
10 7
3
10
6
3
10
10
1
20
11
20
20
11
20
20 11
20
20
20
= ⋅
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= ⋅
= ⋅
00
211 2 5 2 55= ⋅ ⋅ =
 
11. (UECE) Sendo os números 7 , 73 , 76 termos 
consecutivos de uma progressão geométrica, o termo 
seguinte desta progressão é
X a) 1. b) 77 . c) 79 . d) 712 .
Razão da PG:
q
q
= = =
=
−
−
7
7
7
7
7
7
3
1
3
1
2
1
3
1
2
1
6
 
Assim:
a a q
a
a
a
4 3
4
6
1
6
4
1
6
1
6
4
0
7 7
7 7
7 1
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= =
−
−
 
A única PG pos-
sível é 1, 2, 4, 8, 
16, 32. Assim, a 
pessoa apostou 
no número 1, 
não apostou no 
número 60, a 
razão da PG é 2 e apenas um dos seis 
números apostados é ímpar. 
24 Volume 4
12. (UFT – TO) Sabendo-se que ( )2 7x , ( )x 1 e ( )x 7 
são três termos consecutivos de uma progressão geo-
métrica, então o valor positivo de x é:
a) 1 b) 3 X c) 5 d) 10 e) 14
q
x
x
x
x
x x x
x x x x x
=
+
−
=
+
+
⇒
⇒ + = − ⋅ + ⇒
⇒ + + = + − −
1
2 7
7
1
1 2 7 7
2 1 2 14 7
2
2 2
( ) ( ) ( )
449
5 50 0 5 102
⇒
⇒ + − = ⇒ = = −x x x ou x
 
O valor positivo de x é 5.
13. (ESPM – SP) Para que a sequência ( , , )9 5 3 se 
transforme numa progressão geométrica, devemos 
somar a cada um dos seus termos um certo número. 
Esse número é: 
a) par
b) quadrado perfeito
X c) primo 
d) maior que 15
e) não inteiro
( , , )− + − + +
− +
− +
=
+
− +
− + = − − + +
−
9 5 3
5
9
3
5
25 10 27 9 3
25
2 2
x x x PG
x
x
x
x
x x x x x
110 27 6
4 52
13
x x
x
x
= − −
− = −
=
 
Portanto, x é um número primo.
14. Três números formam uma PG, na qual a soma é –93 e 
o produto é 5 832. Determine esses números e a razão 
da PG.
Vamos chamar os números de 
x
q
, x e xq. Assim:
x
q
x xq
x
x
x
⋅ ⋅ =
=
=
= ⋅ = ⋅ =
5 832
5 832
5 832
2 3 2 3 18
3
3
3 63 2
 
x
q
x xq
q
q
q q
q q
q ou q
+ + = −
+ + = −
+ + =
+ + =
= −
93
18
18 18 93
18 111 18 0
6 37 6 0
1
6
2
2
== −6
 
Existem duas progressões geométricas, uma com razão 
1
6
 e outra com razão –6.
q
q
= −
−
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
= − −( )
= −
1
6
18
1
6
18 18
1
6
108 18 3
6
1
:
:
, , , ,
88
6
18 18 6 3 18 108
−
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − −, , ( ) ( , , )
 
15. Num programa de treinamento de 12 semanas, os 
atletas devem correr, a cada semana, 20% a mais que 
na anterior. Se, na primeira semana, os atletas corre-
rem 2 000 m por dia, qual será a distância percorrida 
em cada dia da 9ª. semana?
Como a distância percorrida em cada semana é 20% superior 
àquela percorrida na semana anterior, a sequência formada é 
uma PG de razão 1,2 e primeiro termo 2 000.
a a q
a
a
a
9 1
8
9
8
9
9
2 000 12
2 000 4 3
8 600
= ⋅
= ⋅
⋅
,
,
 
Em cada dia da 9ª. semana, os atletas deverão correr aproxi-
madamente 8 600 metros.
16. Sabendo que os números k 5 , k 2 e 
3
2
k
 formam, 
nessa ordem, uma progressão geométrica, determine:
a) o valor de k;
q
k
k
k
k
k
k
k
k k k k
k k
=
−
−
=
−
⇒
⇒ − = ⋅ − ⇒
⇒ − + = − ⇒
⇒ −
2
5
3
2
2
2
3
2
5
2 8 8 3 15
7
2
2 2
2
( ) ( )
−− = ⇒ = = −8 0 8 1k ou k
b) os três números;
k
k
=
− =
− =
⋅ =
= −
− − = −
− − = −
⋅ − = −
8
8 5 3
8 2 6
3 8
2
12
1
1 5 6
1 2 3
3 1
2
3
2
( )
Matemática 25
c) a soma e o produto dos três números.
( , , )
, ,
3 6 12
3 6 12 21
3 6 12 216
6 3
3
2
soma
produto
som
= + + =
= ⋅ ⋅ =
− − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
aa
produto
= − − − = −
= − ⋅ − ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
6 3
3
2
21
2
6 3
3
2
27( ) ( )
17. Em uma PG decrescente, sabe-se que
 
a a
a a
4 6
4 6
320
192
+ = −
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
.
a) Determine a razão e o primeiro termo.
a a
a a
4 6
4 6
320
192
+ = −
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Somando as equações, temos:
2 128
64
4
4
a
a
= −
= −
 
Assim:
a a
a
a
a a q
q
q q o
4 6
6
6
6 4
2
2
2
320
64 320
256
256 64
4 2
+ = −
− + = −
= −
= ⋅
− = − ⋅
= ⇒ =
( )
uu q = −2
Como a PG é decrescente, então q 2 . 
a a q
a
a
4 1
3
1
3
1
64 2
8
= ⋅
− = ⋅
= −
 
b) Determine a 5 .
a a q
a
a
5 4
5
5
64 2
128
= ⋅
= − ⋅
= −
( )
18. (UERN) O nono termo de uma progressão geométrica 
A, de razão q, é 1.792 e seu quarto termo é 56. Dessa 
forma, o quarto termo de outra progressão geométrica, 
B, com razão q 1 e cujo primeiro termo é igual ao 
primeiro termo da progressão A, é
X a) 189. b) 243. c) 729. d)946.
Progressão geométrica A
a a q
q
q
q
9 4
5
5
5
1792 56
32
2
= ⋅
= ⋅
=
=
 
a a q
a
a
4 1
3
1
3
1
56 2
56
8
7
= ⋅
= ⋅
= =
 
Progressão geométrica B
b b q
b
b
4 1
3
4
3
4
1
7 3
189
= ⋅ +
= ⋅
=
( )
19. (PUCSP) Suponha que em um portal da internet, o 
número de participantes de um bate-papo virtual 
(chat) varie a cada hora, segundo os termos de uma 
progressão geométrica. Considerando o período das 
22 horas às 5 horas da manhã, então, se às 24 ho-
ras havia 3 645 pessoas nas salas de bate-papo e às 
2 horas da manhã havia 405, é correto afirmar que, 
às 5 horas da manhã, a quantidade de internautas nas 
salas de bate-papo era um número
a) quadrado perfeito.
b) divisível por 7.
X c) múltiplo de 15.
d) par.
e) primo.
Considere que a1 3 645. Assim, a3 405.
a a q
q
q
q q pois q
3 1
2
2
2
2
405 3 645
405
3 645
1
9
1
3
0
= ⋅
= ⋅
=
= ⇒ = >( )
 
A quantidade de internautas às 5 horas da manhã cor-
responde ao sexto termo.
a a q
a
a
6 3
3
6
3
6
405
1
3
405
1
27
15
= ⋅
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ =
 
26 Volume 4
20. (UFG – GO) A figura a seguir é uma representação do 
Sistema Solar.
 Em 1766, o astrônomo alemão J. D. Tietz observou que 
as distâncias heliocêntricas dos planetas até então co-
nhecidos e do cinturão de asteroides obedeciam, com 
boa aproximação, a um padrão conhecido hoje como 
lei de Titius-Bode.
 Segundo esse padrão, a partir do planeta Vênus e in-
cluindo o cinturão de asteroides, subtraindo-se 0,4 das 
distâncias heliocêntricas, em unidades astronômicas 
(UA), obtém-se uma progressão geométrica com termo 
inicial 0,3 e razão 2. A distância da Terra ao Sol, por 
exemplo, é de, aproximadamente, 1 UA e, neste caso, 
1 0 4 0 3 2− = ×, , .
 Determine, segundo a lei de Titius-Bode, a distância 
heliocêntrica, em UA, do planeta Júpiter.
A distância heliocêntrica, em UA, do planeta Júpiter corres-
ponde ao quinto termo da PG adicionado de 0,4 UA.
a
q
a a q
a
a
1
5 1
4
5
4
5
0 3
2
0 3 2
4 8
=
=
= ⋅
= ⋅
=
,
,
,
 
Portanto, a distância heliocêntrica de Júpiter é 
4 8 0 4 5 2, , , .UA UA UA+ = 
21. (UFRGS – RS) Considere o padrão de construção repre-
sentado pelos desenhos abaixo.
 Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na 
etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove quadrados 
congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica 
a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo 
é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.
 Nessas condições, a área restante, na etapa 5, é
a) 
125
729
.
b) 
125
2187
.
c) 
625
729
.
d) 
625
2187
.
X e) 
625
6 561
.
A área de cada quadrado de uma etapa é 
1
9
 da área 
de cada quadrado da etapa anterior. Sendo an a área 
restante na etapa n, temos:
a
a
a
1
2
2
3
1 1
5
1
9
5
9
25
1
81
25
81
= =
= ⋅ =
= ⋅ =
 
A sequência formada é uma PG de razão 
5
9
.
a a q
a
a
5 1
4
5
4
5
1
5
9
625
6 561
= ⋅
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
 
22. Entre 16 e 81, são inseridos três números positivos, 
formando uma progressão geométrica. Escreva a PG 
formada.
a
a
a a q
q
q q pois q
1
5
5 1
4
4
4
16
81
81 16
81
16
3
2
0
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⇒ = >( )
 
A PG é (16, 24, 36, 54, 81).
23. Entre 1 024 e 1, são interpolados quatro meios geomé-
tricos. Escreva a PG formada.
a
a
a a q
q
q q
1
6
6 1
5
5
5
1024
1
1 1024
1
1024
1
4
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⇒ =
A PG é 1024 256 64 16 4 1, , , , ,( ).
Matemática 27
24. (UDESC) Considere a função f x x( ) = −22 5 . Sejam 
( , , , )a a a1 2 3 uma progressão aritmética de razão 
3 e f a( )1
1
8
. Analise as proposições.
 I. a 53 157
 II. A soma dos 11 primeiros termos da progressão arit-
mética é 145.
 III. f a( )5
212 
 IV. ( ( ), ( ), ( ), )f a f a f a1 2 3 é uma progressão geomé-
trica de razão 64. 
 Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
X b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
II. Falsa.
a a r
a
S
a a
S
11 1
11
11
1 11
11
10
1 10 3 31
2
11
1 31
2
= +
= + ⋅ =
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅⋅ =11 176
 
III. Verdadeira.
a a r
a
f a f
f a
5 1
5
5
5
2 13 5 21
4
1 4 3 13
13
2 2
= +
= + ⋅ =
=
= =⋅ −
( ) ( )
( )
IV. Verdadeira.
f a f
f a f
f a f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2 1 5 3
2
2 4 5 3
3
2 7 5
1 2 2
4 2 2
7 2
= = =
= = =
= =
⋅ − −
⋅ −
⋅ − == 29
A sequência ( , , , )2 2 23 3 9 é uma PG de razão 2 64
6
. 
I. Verdadeira.
f a
a a
a a r
a
a
( )1
2 5 3
1 1
53 1
53
1
8
2 2
2 5 3 1
52
1 52 3 157
1
=
=
− = − ⇒ =
= +
= + ⋅ =
− −
25. (UFU – MG) Assuma que a função exponencial de variável 
real T f t r e
k t= = ⋅ ⋅( ) , em que r e k são constantes reais 
não nulas, representa a variação da temperatura T ao 
longo do tempo t (em horas) com 0 t 4.
 Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) formam, 
nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 
1
4
 
e soma igual a 
255
128
, então o valor de r é um número 
múltiplo de 
a) 9. b) 5. X c) 3. d) 7. 
f r e
f r e
f r e
f r e
k
k
k
k
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
2
3
4
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
• f(1), f(2), f(3) e f(4) formam uma PG de razão 
1
4
.
r e
r e
e
k
k
k⋅
⋅
= ⇒ =
2 1
4
1
4
 
• f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4
255
128
+ + + =
r e r e r e r e
r e e e e
k k k k
k k k k
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + + +⎡⎣
⎤
⎦ =
2 3 4
2 3 4
255
128
25
( ) ( ) ( )
55
128
1
4
1
16
1
64
1
256
255
128
85
256
255
128
6
r
r r
⋅ + + +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⋅ = ⇒ =
 
Portanto, r é um múltiplo de 3.
26. (UEM – PR) Considerando as funções reais f e g defi-
nidas, respectivamente, por f x
x( ) 4 e g x x( ) log2 , 
assinale o que for correto.
(01) Se a a a1 2 3, , , for uma progressão aritmética 
de razão 2, então f a f a f a( ), ( ), ( ),1 2 3 é uma 
progressão geométrica de razão 8. 
X (02) Se a a a1 2 3, , , for uma progressão geométrica 
de razão 8, então g a g a g a( ), ( ), ( ),1 2 3 é uma 
progressão aritmética de razão 3.
X (04) A sequência g f g f g f( ( )), ( ( )), ( ( )),1 2 3 é uma pro-
gressão aritmética de razão 2.
28 Volume 4
 08) A sequência f g f g f g( ( )), ( ( )), ( ( )),1 2 3 é uma 
progressão geométrica de razão 4.
X 16) g g g g
1
2
1
2
1
2
1
2
55
1 2 3 10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − .
02) Correto. Considere uma progressão geométrica de 
razão 8: ( , , , )a a a1 1 18 64 
g a a
g a a a
g a a
( ) log
( ) log ( ) log
( ) log ( ) log
1 2 1
2 2 1 2 1
3 2 1
8 3
64
=
= ⋅ = +
= ⋅ = 22 1 6a +
 
A sequência g a g a g a( ), ( ), ( ),1 2 3 é uma PA de razão 3.
04) Correto. 
g f x x x
g f
g f
g f
x( ( )) log log
( ( ))
( ( ))
( ( ))
= = ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
2 24 4 2
1 2 1 2
2 2 2 4
3 == ⋅ =2 3 6
A sequência g f g f g f( ( )), ( ( )), ( ( )),1 2 3 é uma PA de ra-
zão 2.
08) Incorreto.
f g x
f g x
f g x x
f g
x
x
x
( ( ))
( ( )) ( )
( ( )) ( )
( ( ))
log
log
log
4
2
2
1
2
2
2
2
2 2
1 1
2 2 4
3 3 9
2
2
2
f g
f g
( ( ))
( ( ))
A sequência f g f g f g( ( )), ( ( )), ( ( )),1 2 3 é formada pelos 
quadrados dos números inteiros positivos.
16) Correto.
log log2 2
1 2 3
1
2
2
1
2
1
2
1
2
n
n n
g g g
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−
…++ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= − − − − − =
g
soma dos termos
de uma PA
1
2
1 2 3 10
10
10
…� ���� ����
−− −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ = −
1 10
2
10 55
Somatório: 22 (02 + 04 + 16).
01) Incorreto. Considere uma progressão aritmética de 
razão 2: ( , , , )a a a1 1 12 4 
f a
f a
f a
a
a a
a a
( )
( )
( )
1
2
2 2
3
4 4
4
4 4 4
4 4 4
1
1 1
1 1
=
= = ⋅
= = ⋅
+
+
 
A sequência f a f a f a( ), ( ), ( ),1 2 3 é uma PG de razão 
4 162 .
27. Com relação à PG ( , , , )2 4 8 , calcule:
a) a soma dos 9 primeiros termos;
q
S
a q
q
SS
n
n
= =
=
⋅ −
−
=
⋅ −
−
=
⋅ −
−
=
4
2
2
1
1
2 1 2
1 2
2 1 512
1
1022
1
9
9
9
( )
( )
( )
b) o número de termos para que a soma seja 16 382.
S
n
n
n
n
n
n
=
⋅ −
−
=
− = −
=
=
=
16 382
2 1 2
1 2
16 382
1 2 8 191
2 8 192
2 2
13
13
( )
Matemática 29
28. Calcule a soma dos 9 primeiros termos de uma PG em 
que a1 256 e a 7 2 916.
a a q
q
q
q
q ou q
7 1
6
6
6
6
2 916 256
2 916
256
729
64
3
2
3
2
= ⋅
= ⋅
=
=
= = −
 
Existem duas progressões geométricas, uma com 
razão 
3
2
 e outra com razão 
3
2
.
q
S
S
=
=
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
=
⋅ −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
3
2
256 1
3
2
1
3
2
256 1
19 683
512
9
9
9 11
2
256 2
19 683 512
512
19 171
9
9
S
S
= ⋅ ⋅
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
q
S
S
= −
=
⋅ − −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
− −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⋅ +
3
2
256 1
3
2
1
3
2
256 1
19 683
5
9
9
9
112
5
2
256
2
5
512 19 683
512
4 039
9
9
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⋅ ⋅
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
S
S
29. (UFAM) Uma empresa contratou um empregado para 
trabalhar de segunda a sexta durante duas semanas. 
O dono da empresa pagou R$ 1,00 pelo primeiro dia 
de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ele 
recebeu no dia anterior. Quanto o empregado recebeu 
pelos 10 dias que trabalhou?
a) R$ 511,00
b) R$ 660,00
c) R$ 830,00
d) R$ 941,00
X e) R$ 1.023,00
a
a
a
a a q
a
S
1
2
3
10 1
9
10
9
10
10
1
2
4
1 2 512
1 1 2
1 2
1 023
=
=
=
= ⋅
= ⋅ =
=
⋅ −
−
=
( )
 
30. (UEFS – BA) No dia 1º. de outubro, uma adolescente 
enviou pelo WhatsApp uma mensagem para n pesso-
as. No dia 2, cada uma das n pessoas que recebeu a 
mensagem a reenviou para outras duas novas pessoas, 
e assim sucessivamente.
 Considerando-se que, do dia 1º. até o final do dia 7 de 
outubro, 1 270 pessoas haviam recebido essa mensa-
gem, pode-se afirmar que o valor de n é
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 X e) 10
Dia 1.º de outubro: n pessoas
Dia 2 de outubro: 2n pessoas
Dia 3 de outubro: 4n pessoas
 
A sequência formada é uma PG de razão 2.
a a q
a n n
7 1
6
7
62 64
= ⋅
= ⋅ =
 
S
n
n
7
7
1270
1 2
1 2
1270
1270
127
10
=
⋅ −
−
=
= =
( )
30 Volume 4
31. (UEL – PR) A figura a seguir representa um modelo pla-
no do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta 
do mangue. A partir do caule, surgem duas ramifica-
ções da raiz e em cada uma delas surgem mais duas 
ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimen-
to vertical de uma ramificação, dado pela distância 
vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a 
metade do comprimento da ramificação anterior.
Figura 14: Modelo de raiz de planta de mangue.
 Sabendo que o comprimento vertical da primeira 
ramificação é de h m1 1= , qual o comprimento vertical 
total da raiz, em metros, até h10 ?
a) 
1
2
1
1
210
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b) 
1
2
1
1
29
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
X c) 2 1
1
210
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 2 1
1
1010
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
e) 2 1
1
29
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
O comprimento vertical total da raiz, em metros, até h10 
corresponde à soma dos 10 primeiros termos de uma PG 
cuja razão é 
1
2
 e o primeiro termo é 1.
S
S
10
10
10
10
1 1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
=
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
=
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= ⋅⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
210
 
32. (UFPel – RS) Sendo f(n) definida por f( )0 1 e 
f n
f n
( )
( )
+
=
1
3 , quando n∈ + , o valor da soma 
f f f f( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1000 é
a) 3 1
2
1001
.
b) 31000.
X c) 3 1
2
1001
. 
d) 31001.
e) 2 3 11001⋅ −( )
f) I.R.
2
Nas provas de vestibular dessa instituição, os candidatos 
tinham seis alternativas de resposta para cada questão. 
A última delas era sempre I.R., que significa ignoro a res-
posta. A opção por essa alternativa não modificava a nota 
do candidato.
f n
f n
f n f n
f
f f
f f
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (
+
= ⇒ + = ⋅
=
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅
1
3 1 3
0 1
1 3 0 3 1 3
2 3 11 3 3 9) = ⋅ =
A sequência ( ( ), ( ), f( ), )f f0 1 2 é uma PG de razão 3 e 
f f f f( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1000 é a soma dos 1 001 ter-
mos dessa PG.
S
S
1 001
1 001
1 001
1 001
1 1 3
1 3
3 1
2
=
⋅ −
−
=
−
( )
 
33. (INSPER – SP) Para percorrer 1 km, o jovem Zeno 
adota a estratégia de dividir seu movimento em vá-
rias etapas, percorrendo, em cada etapa, metade da 
distância que ainda falta até o ponto de chegada. A 
tabela mostra a distância percorrida por ele em cada 
etapa. Ao final da etapa n, a distância total percorrida 
por Zeno será igual a
X a) 
2 1
2
n
n
b) 
2 1
2
n
n
c) 
n
n2
d) 
2 1
2
n
n
e) 
2 1
2
n
n
Matemática 31
A distância total percorrida por Zeno corresponde à soma 
dos n primeiros termos de uma progressão geométrica 
cuja razão é 
1
2
 e o primeiro termo é 
1
2
.
S
S
n
n
n
n n
n
=
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
=
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2 1
2
 
34. Calcule o limite da soma dos termos de cada uma das 
progressões geométricas a seguir: 
a) 4
4
5
4
25
, , ,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
q = =
+ + + =
−
= =
4
5
4
1
5
4
4
5
4
25
4
1
1
5
4
4
5
5
 
b) ( , , , )40 20 10)
q = =
+ + + =
−
= =
20
40
1
2
40 20 10
40
1
1
2
40
1
2
80
 
c) − − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟60 20
20
3
, , , 
⎝ ⎠
q =
−
−
=
− − − − =
−
−
=
−
= −
20
60
1
3
60 20
20
3
60
1
1
3
60
2
3
90
d) ( , , , , )7 1 7 71 2)
q =
+ + + + =
−
= =
− −
1
7
7 1 7 7
7
1
1
7
7
6
7
49
6
1 2
 
e) 3 2
4
3
8
9
, , , ,− −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
⎝ ⎠
q =
−
− + − + =
− −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= =
2
3
3 2
4
3
8
9
3
1
2
3
3
5
3
9
5
32 Volume 4
35. Resolva a equação y
y y
+ + + =
4
5
16
25
10 .
5 25
q
y
y
y
y
y
= =
−
=
= ⇒ = ⋅ =
4
5 4
5
1
4
5
10
1
5
10 10
1
5
2
36. (ESPM – RS) A soma dos infinitos termos da progres-
são geométrica ( , , , )3 2 4x x , com x 0 , é igual a
a) 18
X b) 27
c) 36
d) 12
e) 45
q
x
x x
x
x
x x
= = ⇒
⇒ = ⇒ =
=
+ + + =
−
=
2
3
4
2
2
3
4
2
3
3 2 4 9 6 4
9 6 4
9
1
2
3
9
( , , , ) ( , , , )
11
3
9 3 27= ⋅ =
 
37. (UEPG – PR) Em uma progressão geométrica ilimitada, 
o primeiro termo vale 2 e cada termo é o triplo da soma 
de todos que o seguem. Sobre essa P.G., assinale o 
que for correto. 
X (01) A razão vale 
1
4
.
X (02) A soma dos seus termos é 
8
3
.
 (04) A soma dos três primeiros termos é maior que 3. 
X (08) O 10º. termo vale 2 17 . 
 (16) O 5º. termo vale 
1
64
.
Somatório: 11 (01 + 02 + 08).
(01) Correto. O primeiro termo é o triplo da soma dos de-
mais termos. Assim, a soma dos termos da PG é 
2
2
3
8
3
+ = .
a
q
q
q q
1
1
8
3
2
1
8
3
8 8 6
1
4
−
=
−
= ⇒ − = ⇒ =
 
(02) Correto. Ver item anterior.
(04) Incorreto.
a a a
a a a
a a a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
1
2
1
8
16 4 1
8
21
8
3
+ + = + +
+ + =
+ +
+ + = <
 
(08) Correto.
a a q
a
a
10 1
9
10
9
2
9
10 18
18 1
2
1
4
2
1
2
2
1
2
2 2 2
= ⋅
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ = ⋅ =− − 77
 
(16) Incorreto.
a a q
a
a
5 1
4
5
4
2
4
5 8 7
2
1
4
2
1
2
2
1
2
1
2
1
128
= ⋅
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ = =
38. (FGV – SP)
a) Um sábio da antiguidade propôs o seguinte proble-
ma aos seus discípulos:
 “Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 
7,5 metros de raio e se movimenta saltando em 
linha reta até o centro. Em cada salto, avança a 
Matemática 33
metade do que avançou no salto anterior. No primei-
ro salto avança 4 metros”.
 Em quantos saltos chega ao centro?
A sequência de saltos é uma progressão geométrica: 
( , , , ).4 2 1
Nesse caso, não é difícil obter o valor de n sem usar a 
fórmula da soma dos termos de uma PG. Observe que é 
fácil perceber que, somando os quatro primeiros termos, 
obtemos 7,5. 
4 2 1 0 5 7 5+ + + =, ,
A rã chega ao centro em 4 saltos.
Utilizando a fórmula, temos:
Sn
n
n
=
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
= ⇒ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒
⇒⎛
⎝
7 5
4 1
1
2
1
1
2
7 5 1
1
2
15
16
1
2
,
,
⎜⎜
⎞
⎠
⎟ = =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒=
n
n
1
16
1
2
4
4
b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação 
à situação do item a:
 “Se o primeiro salto da rã for de 3 metros, ela não 
chegará ao centro.”
 Justifique a afirmação.
A sequência de saltos é uma progressão geométrica: 
3
3
2
3
4
, , ,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Observe que a soma dos termos da PG converge para 6.
3
3
2
3
4
3
1
1
2
3
1
2
6+ + + =
−
= = 
Como a soma é menor que 7,5, a rã não chegará ao 
centro.
Utilizando a fórmula, temos:
Sn
n
n
=
⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
= ⇒ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒
⇒⎛
⎝
⎜
⎞
7 5
3 1
1
2
1
1
2
7 5 1
1
2
5
4
1
2
,
,
⎠⎠
⎟ = −
n
1
4
Como essa equação não tem solução, a rã não chega 
ao centro.
39. (UFJF – MG) Considere a igualdade:
 
1 3 5 179
2 2 2
8 100
2 3
+ + + +
+ + +
=
a a a
.
 O valor de a que satisfaz a igualdade pertence ao 
intervalo:
X a) [ , ]2 3
b) [ , ]0 5
c) [ , ]2 5
d) [ , ]5 3
e) 
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
2
2,
⎣ ⎦
O numerador é a soma dos termos de uma PA, e o 
denominador, o limite da soma dos termos de uma PG.
PA
r
a a n r
n n
n
= − =
= + − ⋅
= + − ⋅ ⇒ =
3 1 2
1
179 1 1 2 90
1 ( )
( )
 
PG
q
a
a
a2
2
2
2
 
1 179
2
90
2
1 2
8100
2
1 2
1
2 1 2 2 2 1
21
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
−
= ⇒
−
= ⇒
⇒ = − ⇒ ⋅ = ⇒
⇒ =+
a
a
a
a
a a a
a 22 10 ⇒ = −a
40. (ESPM – RJ) Na progressão geométrica infinita 
x
x x
, , ,
2 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , a soma de todos os termos de ordem 
ímpar menos a soma de todos os termos de ordem par 
é igual a 
32
3
. O valor de x é:
a) 8 b) 32 X c) 16 d) 4 e) 64) ) ) )
a a a a a a
x
x x x x x
1 3 5 2 4 6
32
3
4 16 2 8 32
32
+ + + − + + + =
+ + + − + + +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
( )
33
1
1
4
2
1
1
4
32
3
4
3 2
4
3
32
3
16
x
x
x
x
x
−
−
−
=
⋅ − ⋅ = ⇒ =
 
34 Volume 4
Problemas que envolvem 
PA e PG
41. (ACAFE – SC) A sequência numérica 0, 1, 2, 3, 4, 9, 6, 
27, 8 (...) possui 40 termos.
 A soma destes 40 termos é igual a:
a) 2 179 240 250
X b) 1 743 392 580
c) 2 397 164 275
d) 1 917 731 420
Podemos dividir a sequência em uma PA e uma PG, cada 
uma com 20 termos.
PA
r
a r
a
S
: ( , , , , )
a
0 2 4 6
2
19
0 19 2 38
0 38
2
20
20 1
20
20
=
= +
= + ⋅ =
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ ==
=
=
⋅ −
−
=
380
1 3 9 27
3
1 1 3
1 3
1743 392 20020
20
PG
S
: ( , , , , )
q
( )
 
A soma dos 40 termos da sequência é 
1743 392 200 380 1743 392 580+ = .
42. (UFRGS – RS) Três números formam uma progressão 
geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do ter-
ceiro número, obteremos uma progressão aritmética 
cuja soma dos termos é: 
a) 16.
X b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 26.
Os três termos da PG podem ser escritos da seguinte for-
ma: (x, 3x, 9x).
Ao subtrairmos 8 unidades do último termo da PG, obte-
mos a PA cujos três termos são: (x, 3x, 9x – 8).
Assim:
a a a a
x x x x
x x
x
x
2 1 3 2
3 9 8 3
2 6 8
4 8
2
− = −
− = − −
= −
=
=
 
A PA formada é (2, 6, 10), cuja soma dos termos é 18.
43. (UFSC) Sabendo que a sequência ( , , )1 3 2 2 1− − +x x x 
é uma P.A. e que a sequência ( , , )4 2 1 1y y y− + é uma 
P.G., determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) verdadeira(s).
X (01) O valor de x é 2.
X (02) O valor de y é 
1
8
.
X (04) A soma dos termos da P.A. é zero.
X (08) 
3
2
 é a razão da P.G.
X (16) A P.A. é crescente.
Somatório: 31 (01 + 02 + 04 + 08 + 16).
(01) Verdadeira.
( , , ) PA
x ( ) ( )
1 3 2 2 1
2 1 3 2 1 2
4 3 3
3 6 2
− − +
− − − = + − −
− = +
= ⇒ =
x x x
x x x
x x
x x
(02) Verdadeira.
2 1
4
1
2 1
4 4 1 4 4
8 1
1
8
2 2
y
y
y
y
y y y y
y y
−
=
+
−
− + = +
= ⇒ =
(04) Verdadeira.
x ( , , ) PA= → −2 5 0 5
A soma dos termos da PA é zero.
(08) Verdadeira.
y , ,= → −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
= − ⋅ = −
1
8
1
2
3
4
9
8
3
4
1
2
3
4
2
3
2
PG
q
(16) Verdadeira. A razão da PA é um número positivo.
Matemática 35
44. (MACKENZIE – SP) Se os números 3, A e B, nessa or-
dem, estão em progressão aritmética e os números 3, 
A 6 e B, nessa ordem, estão em progressão geomé-
trica, então o valor de A é
a) 12
X b) 15
c) 18
d) 21
e) 24
( , , )
( , , )
3
3
2 3
3 6
6
3 6
12 36 3
1
2
2
A B PA
A B A
B A
A B PG
A B
A
A A B
A
− = −
= −
−
−
=
−
− + =
− 22 36 6 9
18 45 0 15 3
3 2 3 3 3
15 2 15 3
2
A A
A A A ou A
A B
A B
+ = −
− + = ⇒ = =
= ⇒ = ⋅ − =
= ⇒ = ⋅ − == 27
 
Portanto, o valor de A pode ser 3 ou 15. Apenas o segundo 
está entre as alternativas.
Para A 3, temos a PA constante ( , , )3 3 3 e a PG osci-
lante ( , , )3 3 3 .
Para A 15, temos a PA ( , , )3 15 27 e a PG ( , , )3 9 27 .
45. (UEM – PR) Seja r um número inteiro positivo fixado. 
Considere a sequência numérica definida por 
a r
a a an n
1
1 1
=
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ +
 e assinale o que for correto. 
(01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência 
( , , , , , )a a a a a1 2 3 4 5 é 2.500r.
X (02) A sequência ( , , , , , )a a a a a1 2 4 8 16 é uma pro-
gressão geométrica.
X (04) A sequência ( , , , , , )a a a a a1 3 5 7 9 é uma pro-
gressão aritmética.
(08) O vigésimo termo da sequência 
( , , , , , )a a a a a1 2 4 8 16 é 2
20r .
X (16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência 
( , , , , , )a a a a a2 4 6 8 10 é 930r.
Somatório: 22 (02 + 04 + 16).
(01) Incorreto.
a r
a a a r
a a a r
a a a r
1
2 1 1
3 2 1
4 3 1
2
3
4
=
= + =
= + =
= + =
A sequência ( , , , , , )a a a a a1 2 3 4 5 é uma PA de razão r e 
primeiro termo r.
a r
S
a a
S
r r
r
50
50
1 50
50
50
2
50
50
2
50 1275
=
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ =
 
(02) Correto.
a r
a r
a r
a r
a r
1
2
4
8
16
2
4
8
16
A sequência ( , , , , , )a a a a a1 2 4 8 16 é uma PG de razão 2.
(04) Correto.
a r
a r
a r
a r
a r
1
3
5
7
9
3
5
7
9
A sequência ( , , , , , )a a a a a1 3 5 7 9 é uma PA de razão 2r.
(08) Incorreto. Sendo b20 o vigésimo termo da sequência, 
temos:
b b q
b r
20 1
19
20
192
= ⋅
= ⋅
 
(16) Correto.
( , , , , , )2 4 6 8 10r r r r r
A sequência é uma PA de razão 2r.
Sendo c30 o trigésimo termo da sequência, temos:
c r r
c r
S
r r
S r
30
30
30
30
2 29 2
60
2 60
2
30
930
= + ⋅
=
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
=
36 Volume 4
10
Função modular 
Módulo de um número real
Dado um número real x, o módulo ou valor absoluto de x é repre-
sentado por x e definido como:
x
x se x
x se x
=
≥
− <
⎧
⎨
⎩
,
,
0
0
Função modular
Para todo número x real, o módulo de x existe e é único. Assim, pode-
mos definir uma função que associa cada número real ao seu módulo.
Denomina-se função modular a função f: definida por 
f x x( ) , ou seja:
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
≥
− <
⎧
⎨
⎩
0
0
Gráficos de funções envolvendo módulos 
Exemplo: construção do gráfico da função g: definida por 
g x x x( )= − +2 6 5 .
 • Inicialmente, construímos o gráfico de f x x x( )= − +2 6 5 .
x6543
3
4
5
6
y
2
2
1
1
0–1–2
–2
–1
–3
–4
x6543
3
4
5
6
y
2
2
1
1
0–1–2
–2
–1
–3
–4
Os zeros da função são 1 e 5.
x
b
a
y
a
V
V
=
−
=
− −
⋅
=
=
−Δ
=
− − − ⋅ ⋅
⋅
=
−
= −
2
6
2 1
3
4
6 4 1 5
4 1
16
4
4
2
( )
[( ) ]
O vértice da parábola é V(3, –4).
x y= ⇒ = − ⋅ + =0 0 6 0 5 52
A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, 5).
 • Observe que, para 1 5x , a função f é negativa. Assim, o 
gráfico de g x x x( )= − +2 6 5 é obtido a partir do gráfico de 
f x x x( )= − +2 6 5 , refletindo a parte negativa em relação ao eixo x.
y x x
x
x
= ⇒ − + =
=
=
⎧
⎨
⎩
0 6 5 0
1
5
2 1
2
Para x 1 ou x 5 , a função f é positiva ou nula. Nesses intervalos, 
os gráficos de f e g coincidem.
Para 1 5x , os gráficos de f e g são simétricos em relação ao eixo 
das abscissas. 
Equações modulares
Toda equação que apresenta a incógnita em um módulo é uma 
equação modular. 
Inequações modulares
Sendo a > 0 :
 
•
•
•
•
x a a x a
x a x a ou x a
x a a x a
x a x a ou x a
< ⇔ − < <
> ⇔ < − >
≤ ⇔ − ≤ ≤
≥ ⇔ ≤ − ≥
37Matemática
Atividades
Módulo de um número real
1. Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.
a) (F ) 7 10 3− = −
b) ( V ) − + =3 2 1
c) ( V ) 2 22
d) ( V ) 2 7 5 2− = −( )
e) ( V ) 7 3 4 7 3 4+ − − − = − − − + −
f) ( F ) 3 2 3 2− = + 
a) Falsa.
7 10 3 3− = − =
b) Verdadeira.
− + = − =3 2 1 1
c) Verdadeira.
2 4 2
2 2
2
 
d) Verdadeira.
2 7 5 5
5 25 52
− = − =
− = =( )
e) Verdadeira.
7 3 4 7 3 4 6 6
7 3 4 7 3 4 6 6
+ − − − = + − = =
− − − + − = − − + = − =
 
f) Falsa.
3 2 2 3 3 2− = − ≠ +
2. Calcule o valor das expressões a seguir.
a) 1 3 4 5 2− + − + − + −
1 3 4 5 2
2 4 5 2
2 1 2
4 1 5
− + − + − + − =
= − + − + + =
= + + =
= + =
b) 
1
2
3
2
3
1
1
5
2− + − + − −
1
2
3
2
3
1
1
5
2
5
2
1
3
9
5
5
2
1
3
9
5
75 10 54
30
31
30
− + − + − − =
=
−
+ −
−
=
= + − =
=
+ −
=
c) 2 3 1 3 1 2 1⋅ − − ⋅ − −
2 3 1 3 1 2 1
2 3 1 3 2 1 1
2 3 2 3 2 3 1 2 3 3 2
⋅ − − ⋅ − − =
= ⋅ − − ⋅ − − =
= − − + − = −
( ) ( )
d) π π π− − − + −4 3 2 5 
π π π
π π π
π π π
− − − + − =
= − − − + − =
= − − + + − =
=
4 3 2 5
4 3 2 5
4 3 2 5
2
( )
3. Escreva as expressões a seguir sem utilizar o módulo:
a) x 3
Sinais da função y x= + 3 .
– +
–3 x
Portanto:
x
x se x
x se x
+ =
+ ≥ −
− − < −
⎧
⎨
⎩
3
3 3
3 3
,
,
 
38 Volume 4
b) x x+ − +2 8
Sinais das funções y x e y x= − +2 8 .
– – –
– – –+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
0
x
x4
x
x x
x x
x x x x x
<
= −
− + = − +
+ − + = − − + = − +
0
2 8 2 8
2 8 2 8 3 8
 
0 4
2 8 2 8
2 8 2 8 8
≤ <
=
− + = − +
+ − + = − + = − +
x
x x
x x
x x x x x
x
x x
x x
x x x x x
≥
=
− + = −
+ − + = + − = −
4
2 8 2 8
2 8 2 8 3 8
Portanto:
x x
x x
x se x
x se x
+ − + =
− + <
− + ≤ <
− ≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2 8
3 8 0
8 0 4
3 8 4
, se
,
,
c) x 2 25
Sinais da função y x= −2 25 . 
+ + –
x5– 5
Portanto:
x
x se x ou x
x se x
2
2
2
25
25 5 5
25 5 5
− =
− ≤ − ≥
− + − < <
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
,
Função modular
4. Com relação à função f x x( ) = − −2 2 :
a) determine o valor de 
f f
f
( ) ( )
( )
5 1
8
+ −
;
( )
f
f
f
f
( )
( )
( )
( )
5 2 5 2 2 3 1
1 2 1 2 2 3 1
8 2 8 2 2 6 4
5
= − − = − = −
− = − − − = − − = −
= − − = − = −
++ −
=
− + −
−
=
−
−
=
f
f
( )
( )
( )1
8
1 1
4
2
4
1
2
b) escreva a função f sem utilizar módulo;
x
f x x
x x
x
f x x
x x
≥
= − −
= − + = −
<
= − − +
= + − =
2
2 2
2 2 4
2
2 2
2 2
( ) ( )
f(x)
( ) ( )
f(x)
Portanto:
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
− ≥
<
⎧
⎨
⎩
4 2
2
c) complete a tabela;
x f(x)
0 0
1 1
2 2
3 1
4 0
d) construa o gráfico da função f;
y
2
0 1 2 3 4 x
1
Matemática 39
e) indique o maior valor assumido por f(x).
Observando o gráfico, podemos afirmar que o valor má-
ximo de f(x) é 2.
5. Com relação à função h x x( ) = − +4 2, com x [ , ]0 8 :
a) escreva a função h sem utilizar módulo;
x
h x x
x
x
h x x
x
≥
= − +
= −
<
= − + +
= − +
4
4 2
2
4
4 2
6
( )
h(x)
( )
h(x)
Portanto:
h x
x se x
x se x
( )
,
,
=
− ≥
− + <
⎧
⎨
⎩
2 4
6 4
b) complete a tabela;
x f(x)
0 6
2 4
4 2
6 4
8 6
c) construa o gráfico da função h;
y
2
4
6
0 2 4 6 8 x
d) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da 
função h, pelos eixos coordenados e pela reta de 
equação x 8.
A área da região pode ser obtida subtraindo a área de um 
triângulo da área de um retângulo. A base do triângulo 
mede 8 e a altura mede 4. As dimensões do retângulo 
são 8 e 6.
Área
Área
Área
= ⋅ −
⋅
= −
=
8 6
8 4
2
48 16
32
 
Portanto, a área da região é 32 unidades de área.
y
x = 8
2
4
6
0 2 4 6 8 x
6. (UFRGS – RS) A interseção dos gráficos das funções 
f e g, definidas por f x x( ) e g x x( ) = −1 , os quais 
são desenhados no mesmo sistema de coordenadas 
cartesianas, determina um polígono. A área desse 
polígono é:
a) 0,125.
b) 0,25.
X c) 0,5.
d) 1.
e) 2.
Observe os gráficos das funções f e g.
O polígono é um quadrado cujas diagonais medem 1. 
Sendo L a medida dos lados do quadrado, temos:
L
L
L
2 1
2 1
2 1
0 5
2
2
2
(L )
,
 
y
x
f
g
1
2
01
2
–
40 Volume 4
7. (UERN) Dentre os gráficos abaixo, assinale o que repre-
senta corretamente a função modular f x x( ) = − −2 1.
a) 
X b) 
c) 
d) 
Podemos calcular alguns valores de f(x).
f x x
f
f
f
( )
( )
( )
( )
= − −
− = − − − = − − =
− = − − − = − − =
− = − −
2 1
3 3 2 1 5 1 4
2 2 2 1 4 1 3
1 1 2 −− = − − =
= − − = − − =
= − − = − − =
= − − = −
1 3 1 2
0 0 2 1 2 1 1
1 1 2 1 1 1 0
2 2 2 1 0 1
f
f
f
( )
( )
( ) == −
= − − = − =
1
3 3 2 1 1 1 0f( )
O único gráfico que corresponde aos pontos obtidos é o da 
alternativa b.
8. (ACAFE – SC) O volume de água de uma piscina varia 
com o tempo, de acordo com a função definida por 
V t t t( ) = − − − −30 2 2 2 8 , com t∈ +. 
 Sabendo que o volume é medido em m3, após t horas, 
contadas a partir das 7 horas da manhã ( ),t = 0 analise 
as seguintes proposições:
 I. O volume de água na piscina permanece constante 
entre 8 horas e 11 horas da manhã.
 II. O volume constante é de 24 m3 de água.
 III. O volume da piscina também pode ser representado 
pela função V t(t) = −40 4 , se t 0 .
 IV. Às 12 horas a piscina se encontra com 20 m3 de 
água.
 Das proposições acima, tem-se exatamente:
a) 1 correta.
b) 2 corretas.
X c) 3 corretas.
d) 4 corretas.
Considere as funções y t= −2 2 e y t= −2 8.
2 2 0 1
2 8 0 4
1 2 2 0 2 8 0
30 2 2 2 8
− = ⇒ =
− = ⇒ =
≤ ⇒ − ≥ − <
= − − − − +
t t
t t
t t e t
V t t t( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
= +
< < ⇒ − < − <
= − − + − − + =
≥ ⇒
4 20
1 4 2 2 0 2 8 0
30 2 2 2 8 24
4 2
t
t t e t
V t t t
t −− < − ≥
= − − + − − = − +
2 0 2 8 0
30 2 2 2 8 4 40
t e t
V t t t t( ) ( ) ( )
 
Portanto:
V t
t se t
se t
t se t
( )
,
,
,
=
+ ≤
< <
− + ≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
4 20 1
24 1 4
4 40 4
 
I. Correta. Como t 1 corresponde às 8 horas e t 4 
corresponde às 11 horas, o volume de água na piscina 
permanece constante entre 8 horas e 11 horas da ma-
nhã. 
II. Correta. 
V t( ) 24 para 1 4t . 
III. Incorreta.
V t t( ) = −40 4 apenas para t 4 . 
IV. Correta. Como t 5 corresponde às 12 horas, temos:
V( )5 40 4 5 20= − ⋅ =
Matemática 41
Equações modulares
9. Resolva as equações modulares.
a) x 5
x
x ou x
=
= = −
5
5 5
S = −{ , }5 5 
b) 2 1 3x − =
2 1 3
2 1 3 2 1 3
2 4 2 2 2 1
x
x ou x
x x ou x x
− =
− = − = −
= ⇒ = = − ⇒ = −
S = −{ , }1 2
c) 8 3 2 5x x− = −
8 3 2 5
8 3 2 5 8 3 2 5
6 2 10 8
1
3
4
5
x x
x x ou x x
x ou x
x ou x
− = −
− = − − = − −
= − =
= − =
( )
S = −⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
3
4
5
,
d) 4 11 3 0
2
x x+ − =
=
+ − =
= = −
= ⇒ = = −
= −
2
x y
4y 11y 3 0
1
y ou y 3
4
1 1 1
x x ou x
4 4 4
x 3 (não convém)
Assim:
S = −⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
4
1
4
,
e) 1 2 1− = −x x  
Condição de existência:
1 0 1− ≥ ⇒ ≤x x 
1 2 1
1 2 1 1 2 1
0
2
3
− = −
− = − − = − −
= =
x x
x x ou x x
x ou x
( )
Como 0 1 e 
2
3
1, temos:
S = ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
0
2
3
, 
f) x x= − 5
Condição de existência:
x x− ≥ ⇒ ≥5 0 5 
x x
x x ou x x
falso
= −
= − = − −
= − =
5
5 5
0 5
5
2
( )
( ) ou x
Como 
5
2
5 , a equação não tem solução.
S =∅ 
10. Sejam f e g funções definidas por f x x( ) = + 3 e 
g x x( ) = −3 9 . Determine os valores de x para os quais 
f x g x( ) ( ) .
f x g x
x x
( ) ( )=
+ = −3 3 9
Condição de existência:
3 9 0 3x x− ≥ ⇒ ≥ 
x x
x x ou x x
x ou x
x ou x
+ = −
+ = − + = − −
− = − =
= =
3 3 9
3 3 9 3 3 9
2 12 4 6
6
3
2
( )
Como 6 3 e 
3
2
3 , temos:
S { }6 
11. (UFMS) Sejam p e q raízes da equação 6 15 18x + = . 
Encontre o valor de p q .
6 15 18
6 15 18 6 15 18
6 3 6 33
1
2
11
2
1
2
x
x ou x
x ou x
x ou x
p q
+ =
+ = + = −
= = −
= = −
+ = −
111
2
10
2
5 5p q+ = − = − =
42 Volume 4
12. (UDESC) A soma das raízes distintas da equação 
x x x2 5 6 3− + = − é:
a) 10
b) 7
c) 0
d) 3
X e) 4
Condição de existência:
x x x ou x2 5 6 0 2 3− + ≥ ⇒ ≤ ≥ 
x x x
x x x ou x x x
x x x raiz du
− = − +
− = − + − = − − +
− + = ⇒ =
3 5 6
3 5 6 3 5 6
6 9 0 3
2
2 2
2
( )
( ppla ou
x x x ou x
)
2 4 3 0 1 3− +