Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Taxas Relacionadas MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Agora, veremos problemas em que temos de determinar a taxa de variação de uma variável, quando se sabe como a taxa de outra variável relacionada varia. Denomina-se problema de taxas relacionadas o problema de determinação de uma taxa de variação a partir de outras taxas de variação conhecidas. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Estratégias para resolução de problemas de taxas relacionadas (i) Leia várias vezes o enunciado até compreender o problema. (ii) Se posśıvel, faça uma ilustração que lhe permita compreender melhor o problema proposto. (iii) Identifique as variáveis e as constantes. Use t para tempo. Suponha que todas as variáveis sejam funções deriváveis de t. (iv) Anote as informações fornecidas pelo enunciado do problema. (v) Anote a quantidade que você quer determinar. (vi) Escreva uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema. (vii) Derive em relação a t. (viii) Substitua as informações coletadas anteriormente e obtenha o desejado. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Exemplo Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 m de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0, 14rad/min. A que velocidade o balão sobe neste momento? h 500 m α MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Utilizamos t para representar o tempo e consideramos que α e h são funções deriváveis de t. 1) dαdt = 0, 14rad/min quando α = π 4 e a distância entre o telêmetro e o ponto de decolagem é 500 metros. 2) Queremos determinar dhdt quando α = π 4 . 3) Escreva uma equação que relacione as variáveis h e α. tanα = h 500 ou h = 500 tanα 4) Derive em relação a t. dh dt = 500(sec2 α) dα dt MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas 5) Calcule dh dt ∣∣∣∣ α=π/4 = 500( √ 2)2(0, 14) = 140 No momento em questão, o balão sobe a uma velocidade de 140 m/min. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Exemplo Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque à razão de 0.001 m3/min calcule a razão em que o ńıvel de água está subindo quando a altura é 1 m? 4 m h 2 m r MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Neste caso temos a informação de que dV dt = 1 1000 m3/min e desejamos descobrir dh dt ∣∣∣∣ h=1 . O volume de água do tanque cônico de altura h e raio r é dado por V = 1 3 πr2h. A altura do ńıvel de água, o raio da lâmina de água da superf́ıcie e o volume de água depende do tempo t. Devemos escrever tal volume em função apenas da altura. Por semelhança de triângulos r h = 2 4 r = h 2 . MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Dáı, V = 1 12 πh3. Derivando em relação a t e avaliando a expressão obtida para h = 1, encontramos dV dt = 1 12 π(3h2) dh dt dV dt ∣∣∣∣ h=1 = π 12 (3.12) dh dt ∣∣∣∣ h=1 dh dt ∣∣∣∣ h=1 = 1 250π Logo, a altura do ńıvel de água está subindo a uma taxa de 1 250π m/min. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Exemplo Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0, 2 km do cruzamento e o segundo a 0, 15 km? MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Sejam P o cruzamento e t o tempo decorrido desde que os carros começaram a se aproximar de P, x km a distância do primeiro carro ao cruzamento, y km a distância do segundo carro ao cruzamento e z km a distância entre os dois carros. Logo, dx dt = −90 e dy dt = −60. Observe que o sinal em ambos os casos é negativo, pois como x e y medem a distâncias dos carros ao ponto P, x e y decrescem a medida que t cresce. Assim, a variação é negativa. Queremos determinar dz dt quando x = 0, 2 e y = 0, 15. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Por Pitágoras temos z2 = x2 + y2. Derivando ambos os lados desta equação em relação a t 2z dz dt = 2x dx dt + 2y dy dt dz dt = x dx dt + y dy dt z Quando x = 0, 2 e y = 0, 15, da equação z2 = x2 + y2, conclúımos que z = 0, 25. Substituindo da equação acima, encontramos dz dt ∣∣∣ z=0,25 = (0, 2) · (−90) + (0, 15)(−60) 0, 25 = −108. Logo, no instante em questão, os carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de 108 km/h. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Exemplo Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m? h r MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas Como a altura h do monte coincide com o raio da base, o volume do monte de areia é dado por V = π 3 h3 e a área da base é dada por A = πh2. Derivando em relação a t ambas as expressões e avaliando em h = 4, obtemos MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas dA dt ∣∣∣∣ h=4 = 2π · 4 dh dt ∣∣∣∣ h=4 (1) dV dt ∣∣∣∣ h=4 = π · 42 dh dt ∣∣∣∣ h=4 (2) Como dV dt ∣∣∣∣ h=4 = 10, por (2) encontramos dh dt ∣∣∣∣ h=4 = 5 8π . Substituindo este valor em (1), obtemos dA dt ∣∣∣∣ h=4 = 8π 5 8π = 5. Portanto, a área da base está aumentando a uma taxa de 5 m2/h quando a altura do monte é de 1 m. MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV Taxas Relacionadas
Compartilhar