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14 Taxas Relacionadas - MAT 140 - 2017-I

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Taxas Relacionadas
MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor
Intermediário
Alexandre Miranda Alves
Anderson Tiago da Silva
Edson José Teixeira
MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário UFV
Taxas Relacionadas
Agora, veremos problemas em que temos de determinar a taxa de variação
de uma variável, quando se sabe como a taxa de outra variável relacionada
varia. Denomina-se problema de taxas relacionadas o problema de
determinação de uma taxa de variação a partir de outras taxas de variação
conhecidas.
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Estratégias para resolução de problemas de taxas relacionadas
(i) Leia várias vezes o enunciado até compreender o problema.
(ii) Se posśıvel, faça uma ilustração que lhe permita compreender
melhor o problema proposto.
(iii) Identifique as variáveis e as constantes. Use t para tempo. Suponha
que todas as variáveis sejam funções deriváveis de t.
(iv) Anote as informações fornecidas pelo enunciado do problema.
(v) Anote a quantidade que você quer determinar.
(vi) Escreva uma equação que relacione as variáveis envolvidas no
problema.
(vii) Derive em relação a t.
(viii) Substitua as informações coletadas anteriormente e obtenha o
desejado.
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Taxas Relacionadas
Exemplo
Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado
por um telêmetro colocado a 500 m de distância do ponto da decolagem.
No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é π/4, o ângulo
aumenta a uma taxa de 0, 14rad/min. A que velocidade o balão sobe neste
momento?
h
500 m
α
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Utilizamos t para representar o tempo e consideramos que α e h são
funções deriváveis de t.
1) dαdt = 0, 14rad/min quando α =
π
4 e a distância entre o telêmetro e
o ponto de decolagem é 500 metros.
2) Queremos determinar dhdt quando α =
π
4 .
3) Escreva uma equação que relacione as variáveis h e α.
tanα =
h
500
ou h = 500 tanα
4) Derive em relação a t.
dh
dt
= 500(sec2 α)
dα
dt
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5) Calcule
dh
dt
∣∣∣∣
α=π/4
= 500(
√
2)2(0, 14) = 140
No momento em questão, o balão sobe a uma velocidade de 140
m/min.
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Exemplo
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de
altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque à razão de 0.001
m3/min calcule a razão em que o ńıvel de água está subindo quando a
altura é 1 m?
4 m
h
2 m
r
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Taxas Relacionadas
Neste caso temos a informação de que
dV
dt
=
1
1000
m3/min e desejamos
descobrir
dh
dt
∣∣∣∣
h=1
. O volume de água do tanque cônico de altura h e raio
r é dado por
V =
1
3
πr2h.
A altura do ńıvel de água, o raio da lâmina de água da superf́ıcie e o
volume de água depende do tempo t. Devemos escrever tal volume em
função apenas da altura. Por semelhança de triângulos
r
h
=
2
4
r =
h
2
.
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Dáı,
V =
1
12
πh3.
Derivando em relação a t e avaliando a expressão obtida para h = 1,
encontramos
dV
dt
=
1
12
π(3h2)
dh
dt
dV
dt
∣∣∣∣
h=1
=
π
12
(3.12)
dh
dt
∣∣∣∣
h=1
dh
dt
∣∣∣∣
h=1
=
1
250π
Logo, a altura do ńıvel de água está subindo a uma taxa de
1
250π
m/min.
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Exemplo
Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um
seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo
a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um
do outro no instante em que o primeiro carro está a 0, 2 km do cruzamento
e o segundo a 0, 15 km?
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Sejam P o cruzamento e t o tempo decorrido desde que os carros
começaram a se aproximar de P, x km a distância do primeiro carro ao
cruzamento, y km a distância do segundo carro ao cruzamento e z km a
distância entre os dois carros. Logo,
dx
dt
= −90 e dy
dt
= −60.
Observe que o sinal em ambos os casos é negativo, pois como x e y medem
a distâncias dos carros ao ponto P, x e y decrescem a medida que t cresce.
Assim, a variação é negativa.
Queremos determinar
dz
dt
quando x = 0, 2 e y = 0, 15.
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Por Pitágoras temos
z2 = x2 + y2.
Derivando ambos os lados desta equação em relação a t
2z
dz
dt
= 2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
dz
dt
=
x
dx
dt
+ y
dy
dt
z
Quando x = 0, 2 e y = 0, 15, da equação z2 = x2 + y2, conclúımos que
z = 0, 25.
Substituindo da equação acima, encontramos
dz
dt
∣∣∣
z=0,25
=
(0, 2) · (−90) + (0, 15)(−60)
0, 25
= −108.
Logo, no instante em questão, os carros estão se aproximando um do outro
a uma taxa de 108 km/h.
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Taxas Relacionadas
Exemplo
Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é
igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h,
a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m?
h
r
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Taxas Relacionadas
Como a altura h do monte coincide com o raio da base, o volume do monte
de areia é dado por
V =
π
3
h3
e a área da base é dada por
A = πh2.
Derivando em relação a t ambas as expressões e avaliando em h = 4,
obtemos
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Taxas Relacionadas
dA
dt
∣∣∣∣
h=4
= 2π · 4 dh
dt
∣∣∣∣
h=4
(1)
dV
dt
∣∣∣∣
h=4
= π · 42 dh
dt
∣∣∣∣
h=4
(2)
Como
dV
dt
∣∣∣∣
h=4
= 10, por (2) encontramos
dh
dt
∣∣∣∣
h=4
=
5
8π
. Substituindo
este valor em (1), obtemos
dA
dt
∣∣∣∣
h=4
= 8π
5
8π
= 5.
Portanto, a área da base está aumentando a uma taxa de 5 m2/h quando
a altura do monte é de 1 m.
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