Cálculo Diferencial e Integral II AVG4

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 1) - 0,50 ponto(s) 
 
Considere que a massa de um boi em confinamento seja dada por 
 
 
 
 
na qual M é a massa, em quilogramas, e x o tempo, em dias. A 
taxa de variação de sua massa é dada pela função 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 2) - 0,50 ponto(s) 
 
A velocidade com que uma planta cresce é descrita pela derivada 
de sua altura em relação ao tempo. Uma planta tem altura h em 
centímetros, dada em relação ao tempo t em semanas, 
por . No instante semanas, a velocidade com 
que a planta está crescendo é de 
A) 
+ 5 cm/semana. 
B) 
+ 3 cm/semana. 
C) 
+ 2 cm/semana. 
D) 
+ 4 cm/semana. 
E) 
+ 1 cm/semana. 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 3) - 0,50 ponto(s) 
 
Os logaritmos foram criados para resolver equações exponenciais 
presentes, por exemplo, no cálculo de juros compostos. Eles 
possuem aplicações em campos muito variados da ciência e 
podem surgir "espontaneamente" em situações aparentemente 
não relacionadas a eles. 
 
Como exemplo, tem-se a integral indefinida: 
 
Diante dessas informações, utilize esse dado para calcular a 
integral a seguir e assinale a alternativa correta. 
 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 4) - 0,50 ponto(s) 
 
Nessa questão, a resposta é dada pela soma dos números que 
identificam as alternativas corretas. 
 
(01) O valor da derivada primeira de no 
ponto é 6. 
 
(02) Considere a seguinte equação: , onde x é 
a renda mensal e y é o consumo mensal de uma família (x e y em 
reais). A equação dada indica que o salário da família está 
congelado. 
 
(04) Se , então . 
 
(08) A altura de uma árvore, em metros, é dada pela 
fórmula , onde é a idade em anos. A altura 
máxima que a árvore pode atingir é 10 metros. 
 
(16) A função horária de um móvel 
é (unidades no SI), então a velocidade desse 
móvel, no instante , vale 13. 
 
Assinale a alternativa que corresponde à soma dos números que 
identificam as afirmativas CORRETAS. 
A) 
29 
B) 
24 
C) 
23 
D) 
28 
E) 
31 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 5) - 0,50 ponto(s) 
 
O tamanho da população de uma espécie de peixe em um conjunto 
de lagos depende da quantidade de cágados predadores. Em 
lagos onde não há cágados, são encontrados em média 100 
peixes; em lagos com 8 cágados, são encontrados em média 60 
peixes. Assumindo que a relação do número de peixes com o 
número de cágados é linear, qual é a equação que descreve o 
número de peixes em função do número de cágados? 
A) 
y=100 - 6x 
B) 
y=100 - 5x 
C) 
y=100 - 4x 
D) 
y=100 - x 
E) 
y=100 - 2x 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 6) - 0,50 ponto(s) 
 
No Laboratório de Tecnologias de uma empresa automobilística, 
um funcionário está trabalhando com um equipamento mecânico 
protegido em sua parte superior por uma chapa metálica no 
formato de um quadrado, medindo 3 m de lado. Esse funcionário, 
atento à situação e buscando cuidados com seu segurança, 
resolveu medir a temperatura da chapa, chegando ao modelo 
matemático da temperatura, indicada 
pela função , onde representa a 
temperatura em Cº para e (ambas variáveis em 
metros), em função das dimensões laterais da chapa metálica. 
 
Considerando os dados indicados, marque a alternativa que 
apresenta a relação relativa à taxa de variação da temperatura 
para fixo. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 7) - 0,50 ponto(s) 
 
O esboço de um gráfico implica o estudo de muitos aspectos do 
comportamento da função. Como exemplo, considere o texto a 
seguir. 
 
Valores Máximos e Mínimos Locais 
 
Encontre os números críticos de f [os números c nos 
quais ou não existe]. Use, então, o Teste da Primeira 
Derivada. Se muda de positiva para negativa em um número 
crítico c, então f (c) é um máximo local. Se muda de negativa 
para positiva em c, então f (c) é um mínimo local. Apesar de ser 
usualmente preferível usar o Teste da Primeira Derivada, você 
pode usar o Teste da Segunda Derivada se e . 
Então implica que f(c) é um local mínimo, 
enquanto implica que f (c) é um máximo local. 
 
STEWART, James. Cálculo - Volume 1: Tradução da 8ª edição 
norte-americana. 
 
Em relação à função , é correto afirmar que a 
função possui um mínimo local em 
A) 
 e um máximo local em . 
B) 
 e um máximo local em . 
C) 
 e um máximo local em . 
D) 
 e um máximo local em . 
E) 
 e um máximo local em . 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 8) - 0,50 ponto(s) 
 
A produção de uma mina de carvão, após x horas de operação, é 
de toneladas por hora, 
para . A produção será máxima, em toneladas de 
carvão por hora, para o valor de x , com , que seja 
raiz de em que é a derivada de . 
Indique essa raiz. 
A) 
20. 
B) 
18. 
C) 
17. 
D) 
19. 
E) 
16. 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 9) - 0,50 ponto(s) 
 
São feitas as seguintes afirmativas: 
 
(01) Com uma lata de tinta, é possível pintar 50 m2 de parede. Para 
pintar as paredes de uma sala de 8 m de comprimento, 4 m de 
largura e 3 m de altura, gasta-se uma lata e mais uma parte de 
uma segunda lata. A porcentagem de tinta que resta na segunda 
lata é 56%. 
(02) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma 
piscina retangular com 1 m de profundidade: 
Projeto 1: dimensões do retângulo: 16 m x 25 m 
Projeto 2: dimensões do retângulo: 10 m x 40 m 
Sabendo-se que a piscina será revestida de azulejos cujo preço é 
R$ 10,00 o metro quadrado, então a despesa com azulejos do 
Projeto 1 será maior do que a do Projeto 2. 
(04) A velocidade do som na água varia com a temperatura. 
Sabendo-se que à temperatura de 104,4 ºC a velocidade é de 1538 
e que à temperatura de 110 ºC a velocidade é de 1532 , então o 
valor aproximado da velocidade do som na água a 100 ºC será 
1542,94 . 
(08) No cálculo da integral, foram usados dois métodos: o TFC e a 
regra do trapézio. O erro relativo percentual propagado pela 
utilização dos dois métodos é de 30%. 
(16) Cada degrau de uma escada é um paralelepípedo retângulo 
de dimensões 15 cm, 30 cm e 60 cm. Se a escada tiver 20 degraus, 
então o volume do concreto a ser usado para construí-la será 540 
dm3. 
 
 
Assinale a alternativa que corresponde à SOMA DOS NÚMEROS 
que identificam as AFIRMATIVAS CORRETAS. 
A) 
15 
B) 
30 
C) 
31 
D) 
28 
E) 
29 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 10) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma embalagem de pizza é feita a partir de um pedaço retangular 
de papelão medindo 20 cm por 40 cm. Para tanto, são cortados 
seis quadrados de igual tamanho, três ao longo de cada um dos 
lados longos do retângulo, sendo depois o papelão dobrado de 
maneira adequada para criar a embalagem (veja a figura abaixo); 
seja ”x” o comprimento de cada um dos lados dos seis quadrados. 
Para qual valor de x o volume da embalagem será máximo? 
 
 
A) 
7,0 
B) 
25,0 
C) 
8,0 
D) 
5,0 
E) 
3,7 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 11) - 0,50 ponto(s) 
 
No aeroporto da cidade de Patos de Minas, está instalada a 
empresa de táxi aéreo “Voe Conosco”, cuja receita mensal é dada 
pela equação R(x)=8000x-100x² reais quando o preço cobrado por 
passageiro é de “x” reais. Sabendo-se que receita marginal é 
calculada pela a derivada da receita, qual o valor da receita 
marginal R’? 
A) 
8000-10x 
B) 
80000 - x 
C) 
8000 – 200x 
D) 
8000 – 100x 
E) 
800 – 200x 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 12) - 0,50 ponto(s) 
 
Seja S uma superfície suave e f uma função de três variáveis f(x, 
y, z), diz-se que a integral de superfície de f será definida 
por . Sabe-se que é possível transformar a integral de 
superfície em uma integral dupla, para tanto, é preciso seguir os 
seguintes passos: 
 
1. parametrizar a curva S em função de u e v; 
2. rescrever f(x, y, z) em função de u e v; 
3. calcular dS, sendo este dado pelo módulo do vetor normal.Fazendo essas considerações, teremos: 
 
 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a integral de 
superfície dada por , sendo e 
considerando a superfície no primeiro octante, será: 
A) 
 
B) 
3 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 13) - 0,50 ponto(s) 
 
Considere a função definida por para 
todo real. É CORRETO afirmar: 
A) 
 
B) 
A função tem um valor máximo para 
 
C) 
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no 
ponto de abscissa 1 é igual a 8. 
 
D) 
 
 
E) 
O gráfico da função é uma parábola que não intercepta o eixo das 
ordenadas. 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 14) - 0,50 ponto(s) 
 
O conceito de integral de uma função teve como princípio o cálculo 
da área de uma curva gerada por uma função no Plano Cartesiano, 
considerando um determinado intervalo de valores. A região dessa 
curva deverá ser dividida em enézimos retângulos, cujas áreas 
serão somadas (integradas), obtendo assim o valor da área a ser 
calculada. Dessa forma, o cálculo dessa área é definido como a 
integral definida de uma função. Posteriormente, o conceito de 
integral ficou relacionado à antiderivada de uma função, 
constituindo assim um novo conceito, a Integral Indefinida. 
Portanto, o cálculo de uma integral de uma função está relacionado 
à sua antiderivada. 
 
De acordo com o exposto, determine a integral . 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 15) - 0,50 ponto(s) 
 
A empresa Siga Ambiental está pesquisando o reservatório 
principal de uma cidade que foi contaminado recentemente com 
tricloroetileno, um agente cancerígeno, em virtude de um 
vazamento proveniente de lixo químico abandonado. A empresa 
fez uma proposta aos membros do conselho da cidade que indica 
o custo da remoção de “x” por cento dos poluentes químicos, 
medido em milhares de reais. A proposta é dada pela equação: 
 
 
 
O conselho, por sua vez, sugeriu que a empresa fizesse uma 
remoção de 80% do poluente. 
 
A partir dessas informações, pode-se dizer que o valor que será 
pago a empresa será de 
A) 
1 milhão de reais. 
B) 
1,25 milhões de reais. 
C) 
0,95 milhões de reais. 
D) 
0,50 milhões de reais. 
E) 
0,125 milhões de reais. 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 16) - 0,50 ponto(s) 
 
A interpretação da derivada como uma taxa também ocorre na 
economia, em os termos custo marginal, receita marginal e lucro 
marginal são usados para designar as taxas de variação do custo, 
receita e lucro. Muitas decisões econômicas são baseadas na 
análise do custo e receita marginal. Uma regra básica é a seguinte: 
se o lucro marginal é positivo, vale a pena aumentar a produção; 
se o lucro marginal é negativo, vale a pena diminuir a produção. 
 
Uma fábrica produz 120 unidades mensais e vende x unidades por 
mês. A função custo é e a função receita 
é . 
 
Um estudante, ao deparar-se com essa situação, afirmou o 
seguinte: 
 
I. A empresa deve aumentar a produção. 
 
 PORQUE 
 
II. O lucro marginal é positivo. 
 
Sobre as asserções apresentadas pelo estudante e sobre a 
relação entre elas, é CORRETO afirmar: 
A) 
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda 
não é uma justificativa da primeira. 
B) 
Ambas as asserções são proposições falsas. 
 
 
 
 
 
 
 
C) 
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é 
verdadeira. 
D) 
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é 
falsa. 
E) 
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é 
uma justificativa da primeira. 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 17) - 0,50 ponto(s) 
 
Considerando f uma função de duas variáveis, sendo (x,y) 
pertencente ao domínio D da função, sabe-se que o gráfico 
de f será o conjunto de todos os pontos (x,y,z) pertencente a R³. 
Por exemplo, pode-se observar o domínio do gráfico da função 
f(x,y)=x+y , representada na figura a seguir, como sendo a sombra 
que o mesmo fará com o plano xy. 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o domínio 
de f(x,y)=x+y será 
A) 
R 
B) 
D=(x,y) y=-x 
C) 
D=(x,y) x=y 
D) 
D=(x,y) y>-x 
E) 
D=(x,y) x>y 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 18) - 0,50 ponto(s) 
 
A integral é importante na análise das funções. Por exemplo, a 
integral da função preço, em relação à quantidade, representa a 
receita. A integral é 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 19) - 0,50 ponto(s) 
 
A operação de integração apresenta muitas dificuldades práticas. 
Existem técnicas muito úteis, mas nenhuma resolve todas as 
situações. Entre os métodos existentes, destacam-se: a integração 
por substituição, por partes, por frações parciais, por substituição 
trigonométrica. Além disso, existem métodos numéricos e 
computacionais. A existência de tantas formas para se calcular as 
integrais ilustra sua complexidade. Para se tornar um bom 
"resolvedor" de problemas que envolvem integrais, é necessário 
adquirir familiaridade com o maior número possível de métodos de 
cálculo. 
 
Considere o método das frações parciais, que pode ser necessário 
em casos em que a função a ser integrada envolve frações de 
funções polinomiais. Diante disso, pode-se afirmar que 
a decomposição em frações parciais da 
função mostra que: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Questão 20) - 0,50 ponto(s) 
 
 
 
Se um gás (real) for mantido em um cilindro a uma temperatura 
constante T, a pressão P estará relacionada com o volume V de 
acordo com a fórmula em que a, b, n e R são constantes. Quanto 
vale dP/dV ? 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E)