EP11-CIII-2013-2-Aluno

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP11 – CÁLCULO III – 2013-2
Exerćıcio 1 Seja z = cos(x2 + y4), x = t4, y = t2. Calcule
dz
dt
usando a regra da cadeia.
Exerćıcio 2 Consideremos f(x, y, z) =
√
5− (x2 + y2 + z2).
(a) Seja ~α(t) =
(
cos(t),
√
2 sen(t), cos(t)
)
. Usando a regra da cadeia, calcule a derivada de
(fo~α) (t).
(b) Seja ~β : R → R3 tal que ~β(2) = (1, 0, 1) e ~β ′(2) = (1,−1, 0). Calcule
d
dt
(
fo~β
)
(2).
Exerćıcio 3 Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).
(a) Expresse g ′(t) em termos das derivadas parciais de f .
(b) Calcule g ′(0) admitindo
∂f
∂x
(0,−1) =
1
3
.
Exerćıcio 4 Suponha que, para todo t, f(5t, t3) = arctg(t) é diferenciável.
(a) Supondo que
∂f
∂y
(5, 1) =
11
6
, calcule
∂f
∂x
(5, 1).
(b) Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto (5, 1, f(5, 1)).
Exerćıcio 5 A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cm/min e o
raio está crescendo a uma taxa de 4 cm/min. Determine a taxa de variação do volume no instante
em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm.
Exerćıcio 6 Se z = x3 + y2, x = rs2 e y = r2 sen(s), usando a regra da cadeia, calcule
∂z
∂r
e
∂z
∂s
.
Exerćıcio 7 Suponha que u = f(x, y) e v = g(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann,
isto é, as equações ux = vy e uy = −vx.
Se x = r cos(θ), y = r sen(θ), mostre que
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂θ
e
∂v
∂r
= −
1
r
∂u
∂θ