PROVA N2

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Dado um cilindro circular reto de raio r e altura h , sua area de 
superficie total s é a soma da area da base com altura, isto é v=πr²h. 
Considere uma lata fechada com form de um cilindro circular reto. Se 
o volume da lata é de 54 π cm ³, determine o valor da altura h e do 
raio r para que seja usado a menor quantidade de material em sua 
fabricação 
Utilizando multiplicadores de Lagrange, temos que o raio vale 3 cm, 
logo a altura vale 6 cm. 
Explicação passo-a-passo: 
Esta é uma questão de multiplicadores de Lagrange, onde existe uma 
função f que queremos maximizar ou minimizar, e uma função g sendo 
a condição. 
Este metodo nos diz que: 
 
E então vamos encontrar as funções do nosso problema. 
A função f do nosso problema, que queremos minimizar é a função 
área, para minimizar os custos: 
 (área do cilindro). 
E a nossa função condição é o volume: 
 (volume do cilindro). 
Onde Vo é um valor constante. 
Então fazendo as derivadas: 
 
 
Temos: 
 
 
Agora temos estas duas equações e para simplificar vamos dividir a 
de cima pela de baixo: 
 
 
 
 
 
Então temos a nossa condição, para esta área ser minima, 
precisamos que a altura seja duas vezes o raio. 
Agora basta substituir esta altura no volume e poderemos descobrir 
seus valores: 
 
 
 
 
 
Assim temos que o raio vale 3 cm, logo a altura vale 6 cm. 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). Resposta correta. A 
alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que 
apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , 
portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada 
na afirmativa. 
 
I apenas 
O processo de cálculo da derivada de uma função a partir de sua definição se torna 
um pouco complicado em alguns casos, pois sua definição envolve cálculos de limites. 
No entanto, a partir da definição, é possível formular regras de derivação que 
possibilitam encontrar derivadas com mais facilidade. 
 
Considerando o exposto, sobre as regras de derivação, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. Se , então . 
II. Se , então . 
III. Se , então . 
IV. Se , então . 
 
Está correto o que se afirma em: 
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a 
forma , onde e são funções contínuas” 
(STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso 
contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo. 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
Leia o trecho a seguir: 
“[...] a tentativa de resolvermos o problema de determinar áreas nos levou à definição 
de integral definida”. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 884. 
 
Assim, aplicando um procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido, 
chegaremos à definição de integral dupla. 
 
Utilizando a ideia da integral dupla, assinale a alternativa que representa o volume do 
sólido que está acima da região e abaixo do 
paraboloide :
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou 
decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, 
então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é 
determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no 
ponto na direção do vetor . 
B - A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades