Unidade 2 - Regras e seu uso

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Matemática Aplicada
Armando Leite Ferreira
2MATEMÁTICA APLICADA
Regras e Seu Uso
Esperamos que, ao final desta unidade, você seja capaz de:
 » Conceituar regra de três.
 » Distinguir regra direta de indireta.
 » Diferenciar as regras de três simples e composta.
 » Aplicar corretamente as regras de três em suas formas direta e indireta.
Unidade 02
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Fica a dica: Observe os sinais
Durante o texto vocês vão se deparar com alguns sinais dando destaque a partes do texto. Fique atento!
Os ícones abaixo indicam pontos de maior importância no texto. A cor pode variar de acordo com a relevância do 
tema. Entenda:
Cuidado Normal Atenção Crítico
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relacionadas ao tema estudado, empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, o ambiente AVMI...
 O ícone ao lado indica Atividades que deverão ser realizadas para sedimentar o conhecimento aprendido.
Regras e
seu uso02
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2.1 Regra de Três
O que vem a ser Regra de Três
Chamamos regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a duas ou 
mais grandezas. Em geral conhecemos 3 variáveis e queremos determinar uma quarta.
Temos dois tipos de regra de três: simples (trabalha com apenas duas grandezas) e composta (que envolve mais de duas gran-
dezas).
Regra de três simples 
É um processo prático para a resolução de problemas que envolvem apenas duas 
grandezas, que podem ser direta ou inversamente proporcionais. 
Na verdade, a regra de três simples nada mais é que uma formulação para determinar a quarta proporcional em grandezas 
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo 
Para se construir um muro de 17m² são necessários 3 trabalhadores. 
Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51m²?
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Há duas grandezas envolvidas (área do muro e número de trabalhadores) e temos três valores conhecidos.
Precisamos encontrar o número de trabalhadores para construir 51m². Para isso, vamos armar o problema para descobrir 
se temos uma regra de três simples direta ou inversa:
Solução: montando a tabela  e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.
Área (m2) Nº de trabalhadores
17 3
51 X
Verifique se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. A área cresce de 17 para 51 metros quadrados. Para 
construir um muro maior (no mesmo tempo que o menor) é preciso ter MAIS trabalhadores. Logo, área e número de tra-
balhadores têm o mesmo sentido: ambos aumentam.
17 3
51 x
Como se trata de uma regra de três simples direta, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em X, assim:
17 3
51 x
Logo, montando a equação:
x x x17 51 3 17
51 3 9# #= = =
Portanto, serão necessários 9 trabalhadores para construir um muro de 51m².
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Exercício Semi-Resolvido 1
Um veículo com velocidade de 120 km/h gasta 15 minutos em certo 
percurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em 
minutos, será gasto no mesmo percurso?
Montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na 
mesma coluna, temos:
Velocidade (km/h) Tempo (minutos)
120 15
60 X
Neste caso, vemos que se a velocidade diminui o tempo de percurso aumenta. Logo, trata-se de uma regra de três simples 
inversa, a seta terá sentido contrário (se diminuímos a velocidade, o tempo do percurso aumenta).
Velocidade Tempo
120 15
60 x
Como é inversa, devemos inverter os valores no sentido da seta e multiplicar em cruz (em X):
60 15
120 x
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Logo, montando a equação:
x x x x120
60 15 60 120 15 60
120 15 30# #= = = =
 
Portanto, será gasto um tempo de 30 minutos para fazer o mesmo percurso a 60 quilômetros por hora.
NOTE BEM: Na regra de três simples utilizamos as setas azuis, independentemente 
do sentido (para cima ou para baixo) para representar a variável a determinar. As 
setas vermelhas são utilizadas para representar a variável conhecida quando ela 
é inversamente proporcional à variável a ser determinada.
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 Exercícios Propostos de Regra de Três Simples
1. Uma vela de 360 mm de altura diminui 1,8 mm por minuto. Determine quanto tempo levará para a vela se consumir por 
inteiro.
2. Duas empresas foram contratadas para fazer a obra de restauro de um prédio público. A previsão era de 40 dias para térmi-
no do serviço. Depois do 13º dia de trabalho, uma das empresas teve problemas em Curitiba e teve que abandonar a obra. 
Em quantos dias a empresa que ficou terminará a obra sabendo que a quantidade de operários caiu à metade?
3. Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas mesmas condições e com a velo-
cidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?
4. Em condições normais, 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, nas mesmas condições, 15 homens montam 50 
máquinas. Determine os dias necessários para o término do trabalho. 
5. A reforma do assoalho de uma sala substitui 49 tábuas corridas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 
cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. Determine o número de tacos necessários para essa substituição.
6. Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. Determine quanto ele atrasa em um dia. 
7. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar che-
gar em terra nadando. Com um náufrago a menos, quanto tempo os alimentos irão durar?
8. Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, 
a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, determine quantas ligações atenderá diariamente 
cada uma delas em média.
9. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o per-
curso de volta em 50 min. Determine a velocidade média desse ônibus.
10. Uma certa quantidade de suco foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas 
de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?
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Regra de três composta 
 É o método de calcular um valor desconhecido quando possuímos três ou mais 
grandezas direta ou inversamente proporcionais. Se diferencia da regra de três 
simples, pois admite mais de uma grandeza.
 
 
Exemplo 
Em uma gráfica existem 3 rotativas que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 120.000 
folhas. A empresa pegou um grande projeto e precisa imprimir 360.000 folhas em 9 dias, mas tem medo que uma das má-
quinas quebre. Considerando operar sempre com duas máquinas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterrupta-
mente para que o trabalho seja feito a tempo?
Por se tratar de uma maior complexidade vamos transformar em passos o que já 
fizemos na regra de três simples.
 
 
Passo 1: Identificar as grandezas envolvidas.
Rotativas Horas/Dia Dias Folhas
3 10 4 120.000
2 X 9 360.000
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Passo 2: Verificar quais grandezas variam direta ou inversamente com a que está sendo procurada.
Vamos inicialmente reduzir o problema a várias regras de três simples. 
1. Rotativas com horas/dia que é onde se encontra a incógnita, isto é, o X.
Inversa:  se diminuem o número de rotativas, precisa aumentar a carga horária de trabalho. Assim, se as rotativas diminuem 
() é preciso compensar com horas de trabalho a mais ().
Rotativas Horas/Trab.
3 10
2 x
2. Dias com horas/dia, onde está o X.
Inversa: se aumentam () o número de dias de trabalho, pode ser diminuída () a carga horária de trabalho. Assim, também 
coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.
 
Dias Horas/Trab.
4 10
9 x
3. Folhas Impressas com horas/dia, ondeestá o X.
Direta: aumentando a quantidade de folhas impressas () precisamos aumentar a carga horária de trabalho(). 
Folhas Imp. Horas/Trab.
120000 10
360000 x
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Passo 3: Para montar a regra de três composta basta unir as análises das variáveis (grandezas):
Horas/Trab. Rotativas Dias Folhas Imp.
10 3 4 120.000
x 2 9 360.000
 
Observe que a cor da seta (azul ou vermelha) indica se são grandezas que variam 
direta ou inversamente com a grandeza a ser calculada. O sentido (para cima ou 
para baixo) serve apenas para lembrar se ela diminui ou aumenta.
 
Passo 4: Inverte-se os valores das variáveis (denominador, parte de baixo, vai para o numerador, parte de cima) que são 
inversamente proporcionais (seta vermelha) a variável que se deseja conhecer. As relações diretamente proporcionais são 
deixadas como estão. O processo é análogo ao de regra de três simples.
Horas/Trab. Rotativas Dias Folhas Imp.
10 2 9 120.000
x 3 4 360.000
Passo 5: Finalmente, para resolver, vamos isolar a variável que possui a incógnita, isto é, o x, para formar a equação: 
Horas/Trab. Rotativas Dias Folhas Imp.
10 2 9 120.000
x 3 4 360.000
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Como é possível ver, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multi-
plicamos em linha. Assim, temos a seguinte equação:
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
x x x x x h
10
3
2
4
9
360 000
120 000 10
3 4 360 000
2 9 120 000 10
4 320 000
2 160 000
2 160 000
10 4 320 000 20# # # #
# # #= = = = =
Logo, as máquinas restantes devem funcionar 20 horas/dia para produzir 360.000 folhas em 9 dias.
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Exercício Semi-Resolvido 2
Sua empresa trabalha sob empreitada (contrato para realizar um serviço). Seu lucro depende da boa gestão dos seus recursos. 
Você precisa mandar uma proposta para um cliente que quer prazo e custo baixo. Você sabe que em 14 dias entrará um novo 
contrato, logo sua proposta deve levar em conta isso. Para tal, você sabe que os 25 operários disponíveis pelos próximos 10 
dias fazem 2/5 (dois quintos) do projeto, trabalhando 8 horas por dia.
Depois de 14 dias, cinco operários terão de sair do projeto, a carga horária será reduzida em 1 hora. Antes de mandar a pro-
posta, é preciso definir em quantos dias a obra ficará pronta.
Passo 1: Identificar as grandezas envolvidas.
 
Dias Operários Jornada de Trabalho Trabalho Contratado
14 25 8 2 (partes de 5)
x 20 _____ 3 (partes de 5)
Passo 2: Verificar quais grandezas variam direta ou inversamente com a que está sendo procurada.
Vamos inicialmente reduzir o problema a várias regras de três simples. 
1. Operários com Dias que é onde se encontra a incógnita, isto é, o X.
Inversa:  se diminuem o número de operários, é preciso aumentar o número de dias trabalhados. Assim se o número de 
operários diminuem () é preciso compensar com dias de trabalho a mais ().
Operários Dias
25 14
20 x
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2. Trabalho Contratado com Dias, onde está o X.
Direta: se aumenta o trabalho () o número de dias também aumenta () a carga horária de trabalho. Assim, também colo-
quemos uma seta contrária, isto é, para baixo.
Trabalho Dias
2 14
3 x
3. Jornada com Dias, onde está o X.
Inversa: reduzindo a jornada de trabalho () precisamos aumentar os dias trabalhados (). 
Jornada Dias
8 14
7 x
Passo 3: Para montar a regra de três composta basta unir todas as análises das variáveis:
Dias Operários Jornada Trabalho
14 _____ 8 2
x 20 7 3
Regras e
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Passo 4: Inverte-se os valores das variáveis (denominador, parte de baixo, vai para o numerador, parte de cima) que são inver-
samente proporcionais (seta vermelha) a variável que se deseja conhecer. As relações diretamente proporcionais são deixadas 
como estão. 
Dias Operários Jornada Trabalho
14 20 7 2
x 25 8 _____
Passo 5: Finalmente, para resolver, vamos isolar a variável que possui a incógnita, isto é, o x, para formar a equação: 
Dias Operários Jornada Trabalho
14 20 7 2
x 25 8 3
Como pode ver, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplica-
mos em linha. Assim, temos a seguinte equação:
x x x x x dias
14
25
20
8
7
3
2 14
25 8 3
20 7 2 14
600
280
280
14 600 30# # # #
# # #= = = = =
Logo, a obra será terminada em ____ dias com 20 operários trabalhando _____ horas/dia.
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 Exercícios Propostos de Regra de Três Composta
1. Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Considerando um outro 
compartimento de 500m3 de capacidade e 5 ralos, 
2. Uma família com 2 duas pessoas consome 12m³ de água a cada 30 dias. Um hóspede, com os mesmos hábitos de consumo, 
irá se juntar a ela brevemente. Determine quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana.
3. Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Determine quantas horas 25 trabalha-
dores precisarão para descarregar 350 caixas.
4. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Determine quantos caminhões serão necessários para descarre-
gar 125m3 em 5 horas.
5. Uma universidade lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para 
doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas 
diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos entraram no grupo. Juntos, 
passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, calcule a quantidade de alimentos que foram arrecadados 
ao final do prazo estipulado.
6. Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas tone-
ladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
7. Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 
7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário:
8. Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas reti-
ram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias?
9. Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores preci-
sarão para descarregar 350 caixas?
10. Em 3 horas, no período da manhã, 10 pessoas confeccionaram bandeirinhas para a festa junina da escola. À tarde, 15 pes-
soas irão confeccionar o dobro de bandeirinhas. Quanto tempo levarão para isso?
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PARA QUE SERVE ESSE CONHECIMENTO?
Na Unidade 1, você aprendeu o conceito de razão e depois que a igualdade entre razões é denominada proporção. Você 
deve ter reparado que o cálculo da quarta proporcional é o que utilizamos na regre de três simples direta.
Aprendeu também que as grandezas (ou variáveis) podem se relacionar entre si de forma direta ou indiretamente pro-
porcional. A compreensão destas características das grandezas permite que equacionemos os problemas de regra de 
três de forma geral.
A regra de três pode ser utilizada em muitos problemas do dia. Por exemplo, um hospital pode dimensionar o número 
de pessoas trabalhando por turno de acordo com a expectativa de ocupação, idem para um restaurante. Um engenheiro 
pode dimensionar o tempo de obra ou o material consumido (se houver proporcionalidade entre eles).
Ou seja, resolve uma série de problemas em que uma determinada grandeza varia proporcionalmente (direta ou indi-
retamente) a outras. Veremos na Unidade 5 que soluções mais abrangentes para problemas similarespodem ser dadas 
utilizando o conceito de funções.