regra de 30001

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4.1 Definição
4 REGRA DE TRÊS
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou
inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grande-
zas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.
4.2 Regra de três simples
Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual
corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da
segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.*
* Por serem conhecidos, ordinariamente, três elementos é que. designamos pelo nome de regra de
três.
Fabiano
Máquina de escrever
Matemática e Estatística - 1º Semestre - RH
Prof. Fabiano 
Fabiano
Máquina de escrever
42 I MATEMÁTICA FINANCEIRA FÁCIL
Exercício resolvido
1. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto
gastaria se tivesse comprado 8 m?
Resolução:
Neste problema figuram duas grandezas:
comprimento e preço do tecido. Se o
comprimento for multiplicado por 2, 3, ...,
o preço ficará multiplicado por 2, 3, ... Po-
demos, então, concluir que estamos tra-
balhando com grandezas diretamente
proporcionais.
Chamando de x o valor que desejamos co-
nhecer (preço de 8 m de tecido), dispomos,
em uma primeira linha horizontal, os valo-
res conhecidos das duas grandezas que se
correspondem e, em uma segunda linha,
o outro valor conhecido da primeira e o x,
que representa o valor correspondente da
segunda e que se quer conhecer:
I Comprimento (m) Preço (R$) !
6 15
8 x
Em seguida, colocamos uma seta vertical na
coluna onde se encontra o x, com a ponta
voltada para ele. Se as grandezas forem di-
retamente proporcionais, como no nosso
exemplo, colocaremos uma segunda seta
vertical de mesmo sentido na coluna dos
outros dados. Assim:
16-115'8--' x
Armamos a proporção formada pelas razões
que construímos, seguindo as setas:
6 15
8 x
e determinamos o valor de x:
8 x 15
x = --- ~x=20
6
Logo, o preço procurado é:
R$ 20,00
NOTAS:
• t importante observar que as quan-
tidades correspondentes a uma mes-
ma grandeza devem ser expressas na
mesma unidade de medida.
• Quando as grandezas que figuram no
problema são diretamente propor-
cionais, dizemos que a regra de três
é direta.
2. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias,
em quantos dias 20 operários fariam a mes-
ma obra?
Resolução:
Temos:
I
x
Operários Dias
6 10
20
Seo número de operários for multiplicado por
2, 3, ... , o número de dias ficará dividido por
2,3, ..., respectivamente.* Logo, as grandezas
relacionadas são inversamente proporcionais.
Assim, a coluna que contém x é assinalada
como no problema anterior e a outra coluna
é assinalada com uma segunda seta vertical,
de sentido contrário ao da primeira:
j6 -11020--h
Em seguida, invertemos os valores da co-
luna do número de operários (por ser uma
grandeza inversamente proporcional à de
número de dias):
120-110.6 --.x
Daí:
Resolva
1. Um operário recebe R$ 836,00por 20 dias
de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?
2. Uma viagem foi feita em 12dias, percorren-
do-se 150 km por dia. Quantos dias seriam
empregados para fazer a mesma viagem,
percorrendo-se 200km por dia?
REGRA DETRÊS I 43
Logo, serão necessários:
3 dias
NOTAS:
• Quando as grandezas que figuram no
problema são inversamente propor-
cionais, dizemos que a regra de três
é inversa.
• Convém observar que, nos problemas
de Matemática, geralmente são con-
sideradas condições iguais. No pro-
blema 2, por exemplo, supõe-se que
os operários produzam igualmente
e que as condições de trabalho tam-
bém sejam iguais.
3. Se 1 e de álcool pesa 8 g, a quantos litros
equivalem 32,4kg de álcool?
4. Em um navio com uma tripulação de 800
marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto
tempo durarão os víveres se o navio receber
mais 100marinheiros?
* Isso acontecerá dentro de certos limites; a partir de um certo número de homens (número-
limite) a lei não se aplica mais, pois o seu aumento não mais vai influir no trabalho, podendo até
prejudicá-lo.
44 I MATEMÁTICA FINANCEIRA FÁCIL
4.3 Regra de três composta
Como dissemos antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas
relacionadas entre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção
de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada
uma das outras grandezas.
Exercícios resolvidos
1. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rota-
tivas gastam 56 min, em que tempo 7 rotati-
vas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000
desses exemplares?
Resolução:
Temos a seguinte disposição prática dos dados:
Exemplares Rotativas Tempo (min)
.87500 5 56
350.000 7 x
Fixando a segunda grandeza (número de
rotativas), vemos que a primeira grandeza
(número de exemplares) e a terceira (tem-
po) são diretamente proporcionais, pois du-
plicando o número de exemplares, o tempo
empregado duplicará. Fixando, agora, a pri-
meira grandeza, vemos que a segunda e a
terceira são inversamente proporcionais,
pois duplicando o número de rotativas, o
tempo necessário se reduzirá à metade.
Assim, temos:
I 87.500
, 350.000
I 87.500
, 350.000
o que nos permite escrever, pela proprieda-
de da grandeza proporcional a várias outras
(p.33):
56 87.500 x 7
x 350.000 x 5
Daí:
8 4
56 x J5G:OOÕ x 5x = '------'----,,~ +rr:-
~xj
1 1
isto é:
x = 160 min ou x = 2 h 40 min
NOTA:
• Na resolução da regra de três com-
posta, após a disposição dos dados,
verificação do tipo de proporcionali-
dade e inversão dos dados das gran-
dezas inversamente proporcionais:
I 87.500
, 350.000
Invertendo os valores da segunda grandeza, podemos fazer uso da seguinte regra prática: o
vem: valor de x é dado pela fração que tem por nume-
rador o produto do valor oposto a x (56)pelos
valores que estão na mesma linha de x (350.000
e 5) e por denominador o produto dos valores
pertencentes à outra linha e que ainda não fo-
ram considerados (87.500e 7):
87.500 5 56
350.000 7--- ~
Assim:
56 x 350.000 x 5 2 h 40 .x = =>x= mln
87.500 x 7
2. Quinze operários, trabalhando 9 h por dia,
construíram 36 m de muro em 16 dias. Em
quanto tempo 18 operários farão 60 m do
mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
Resolução:
Temos:
IOperários Jornadas Comprimentos Dias
(h) (m)
15 9 36 16
18 8 60 x
Resolva
1. Uma família composta de 6 pessoas conso-
me, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilo-
gramas de pão serão consumidos em 5 dias,
estando 2 pessoas ausentes?
REGRA DE TRÊS I 45
Verificamos, com facilidade, que a quarta
grandeza (número de dias) é diretamente
proporcional à terceira (comprimento) e
inversamente proporcional à primeira (nú-
mero de operários) e à segunda (jornada de
trabalho diário). Assim:
i1518 I 36• 60
Invertendo os valores da primeira e da se-
gunda grandezas, temos:
18 8 36 16
I15---9---60--- x
Calculando o valor de x:
= 5 x 5 => x = 25
Logo, os operários farão o muro em:
25 dias
2. Quinze homens, trabalhando 8 h diárias,
cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias.
Quantos homens devem ser acrescentados
para que em 15 dias, trabalhando 6 h diá-
rias, cavem os 600 m3 restantes?
46 I MATEMÁTICA FINANCEIRA FÁCIL
Exercícios
1. Se 35 m de um tecido custam R$ 140,00,
quanto se pagará por 12 m?
2. Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar
um trabalho, quantos tratores o fariam em
4 dias?
3. Um trem percorreu 24,5 km em 28 mino Que
distância percorreria, com a mesma veloci-
dade, em 54 min?
4. Um empreiteiro calculou terminar uma obra
em 32 dias, empregando 15 operários. Ten-
do conseguido apenas 12 operários, em
quantos dias terminará o mesmo trabalho?
5. Um operário faz, em 12 dias, um trabalho
cuja dificuldade é representada por 0,2. Em
quantos dias poderia fazer outro trabalho
cujo coeficiente de dificuldade fosse O,25?
6. Trabalhando 6 h por dia um operário pode
fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos
dias, nas mesmas condições, poderia fazê-Io,
trabalhando 8 h por dia?7. Em um acampamento militar com 300 sol-
dados há víveres para 20 dias. Tendo che-
gado mais 140 soldados, a quanto se deve
reduzir a ração diária para que o alimento
dure ainda o mesmo tempo?
8. Uma lebre está 80 m à frente de um cão que
a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m,
o cão percorre 21 m. Quantos metros deverá
percorrer o cão para alcançar a lebre?
9. Um automóvel, correndo com a velocida-
de de 84 krn/h, deve percorrer uma certa
distância em 9 h. Depois de 3 h de viagem
houve um desarranjo no motor e o automó-
vel teve de parar durante 45 mino Com que
velocidade deve continuar a viagem para
chegar ao ponto final na hora fixada?
10. Se ~ de uma obra foram avaliados em
5 5
R$ 268.400,00, qual é o valor de - da
11
mesma obra?
11. As dificuldades de dois trabalhos estão na
razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20
m do primeiro trabalho, quantos metros
fará do segundo, no mesmo tempo?
12. Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâme-
tro, respectivamente, estão ligadas por uma
correia de transmissão. Enquanto a maior
dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor?
13. Para fazer um muro de 52 m de compri-
mento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h.
Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários
para fazer 39 m de um muro igual?
14. Comparando-se os preços pelos quais são
vendidas diversas frutas, verificamos que
15 pêras valem 9 maçãs; 25 abacates valem
15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates.
Quantas laranjas poderão ser trocadas por
9 pêras?
1 S. Um motoqueiro, numa velocidade de 80
km/h, percorreu certa distância em 6 dias,
viajando 4 ~ h por dia. "Afrouxando" em
2
~ a sua velocidade e viajando 6 h por dia,
10
quantos dias levará para percorrer a mes-
ma distância?
16. Certo trabalho é executado por 8 máqui-
nas iguais, que trabalham 6 h diárias, em 15
dias. Quantos dias levariam 10 máquinas
do mesmo tipo para executar o triplo do
trabalho anterior, trabalhando 5 h diárias,
REGRA DE TRÊS I 47
com a velocidade que torna o rendimento
1 . 7- maior.
8
17. Dois cavalos foram pagos em razão direta
de suas velocidades e inversa de suas ida-
des. Sabendo que a velocidade do primei-
ro está para a do segundo como 3 está para
4, que as idades do primeiro e do segundo
são, respectivamente, 3 anos e 9 meses e
5 anos e 4 meses, e que pelo primeiro fo-
ram pagos R$ 480,00, qual foi o preço do
segundo?
18. Na construção de uma estrada trabalharam
20 homens durante 18 dias. Em seguida
trabalharam 24 homens durante 10 dias.
Em quanto tempo teria ficado pronta se os
24 homens houvessem trabalhado desde o
começo?