CONFIABILIDADE

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PROF.	
  WAGNER	
  BARBOSA,	
  M.Sc.	
  
ENG DA CONFIABILIDADE 
Uma Ferramenta para a Gestão da 
Manutenção e Operações 
Wagner	
  Barbosa,	
   Eng	
  Mecânico	
   formado	
  pelo	
  UFPE,	
  Mestre	
   em	
  Eng	
  
de	
  Produção	
  pela	
  UFPE,	
  Doutorando	
  em	
  Eng	
  de	
  Produção	
  também	
  pela	
  
UFPE;	
  Atuação	
  na	
  área	
  de	
  Petróleo	
  E&P,	
  Armazenagem	
  e	
  Distribuição;	
  
Atuação	
   também	
   em	
   Eólica,	
   especificamente	
   na	
   érea	
   de	
   fabricação	
   e	
  
construção	
  de	
  equipamentos	
  e	
  parques	
  Eólicos;	
  Forte	
  atuação	
  na	
  área	
  de	
  
Qualidade;	
   Ger.	
   Técnico	
   de	
  OIC-­‐INMETRO;	
   Pesquisador	
   do	
   CEERMA	
  
na	
  área	
  de	
  Risco	
  e	
  Confiabilidade;	
  Professor	
  do	
  curso	
  de	
  Engenharia	
  de	
  
Produção.	
  
Apresentação do Professor 
1.  Fundamentos da Análise da Confiabilidade 
2.  Base Matemática da Confiablidade 
3.  Elementos da Confiabilidade de Componentes 
4.  Análise da Confiabilidade de Sistemas 
5.  Confiabilidade e Disponibilidade de Itens Reparáveis 
SUMÁRIO 
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DA 
CONFIABILIDADE 
1.1 Porque Estudar Confiabilidade? 
1.2 Entendendo Falha 
1.3 Modelos de Falha 
1.4 Domínimos e Dimensões da Confiabilidade 
1.5 Mecanismos de Falha 
1.6 Definição Incial de Confiabilidade/Manutenabilidade/
Disponibilidade e Riscos 
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DA CONFIABILIDADE 
•  Equipamentos	
  falham	
  
•  Sistemas	
  e	
  componentes	
  não	
  são	
  perfeitos	
  
•  O	
  que	
  seria	
  um	
  sistema	
  perfeito?	
  
•  Sistema	
  perfeito	
  é	
  aquele	
  que	
  sempre	
  se	
  mantém	
  operacional	
  e	
  atinge	
  
os	
  objetivos	
  sem	
  a	
  ocorrência	
  de	
  falha	
  durante	
  a	
  sua	
  vida	
  útil	
  
•  Na	
  prática	
  isto	
  não	
  acontece!	
  
•  Sistema	
  perfeito	
  é	
  inviável:	
  
•  Economicamente	
  
•  Tecnologicamente	
  
Porque	
  Estudar	
  Confiabilidade?	
  
O	
  Nosso	
  Conhecimento	
  É	
  Limitado!	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Exemplos	
  de	
  falhas	
  em	
  equipamentos	
  do	
  dia	
  a	
  dia	
  
ü  Máquina	
  de	
  lavar:	
  
Causa:	
  falha	
  devido	
  ao	
  desgaste	
  “normal”	
  de	
  componentes	
  
ü  Torradeira	
  elétrica	
  pegou	
  fogo:	
  
Causa:	
  projeto	
  ineficiente	
  da	
  tomada	
  do	
  mesmo	
  dada	
  a	
  quantidade	
  de	
  
corrente	
  passando	
  na	
  tomada	
  
ü  Controle	
  remoto	
  parou	
  de	
  funcionar:	
  
Causa:	
   falha	
   “aleatória”	
   de	
   um	
   componente	
   eletrônico	
   do	
   controle	
  
remoto	
  
Exemplos	
   de	
   falhas	
   mais	
   significantes:	
   maior	
   impacto	
   econômico	
   e	
  
social	
  
ü  Em	
  1946	
  a	
  totalidade	
  da	
  frota	
  do	
  Lockheed	
  Constellation	
  "Connie"	
  foi	
  retida	
  
após	
  acidente	
  com	
  uma	
  das	
  aeronaves	
  matando	
  quatro	
  dos	
  cinco	
  tripulantes	
  
Causa:	
  falha	
  no	
  projeto	
  dos	
  condutores	
  elétricos	
  que	
  levaram	
  a	
  fuselagem	
  
pegar	
  fogo	
  
ü  Em	
   1979	
   a	
   turbina	
   esquerda	
   de	
   um	
   DC-­‐10	
   partiu-­‐se,	
   descolou-­‐se	
   da	
  
fuselagem	
   durante	
   a	
   decolagem	
   matando	
   271	
   pessoas	
   (tripulação	
   e	
  
passageiros)	
  e	
  2	
  pessoas	
  em	
  solo,	
  foi	
  considerado	
  o	
  pior	
  acidente	
  aéreo	
  até	
  11	
  
de	
  setembro,	
  e	
  continua	
  sendo	
  o	
  pior	
  acidente	
  individual	
  em	
  solo	
  americano	
  
até	
  hoje.	
  
Causa:	
  procedimentos	
  de	
  manutenção	
  inadequados,	
  os	
  quais	
  introduziam	
  
estresses	
  excessivos	
  nos	
  pinos	
  de	
  sustentação	
  quando	
  da	
  remoção	
  da	
  turbina	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Exemplos	
  de	
  falhas	
  mais	
  significantes:	
  maior	
  impacto	
  econômico	
  e	
  social	
  
ü  Acidente	
  na	
  usina	
  nuclear	
  Three	
  Mile	
  Island	
  nos	
  EUA	
  em	
  1979	
  que	
  resultou	
  na	
  
destruição	
  parcial	
  do	
  reator	
  nuclear	
  liberando	
  radioatividade	
  
Causas:	
  Falha	
  mecânica	
  e	
  erro	
  humano.	
  
–	
  Quando	
  o	
  sistema	
  backup	
  de	
  resfriamento	
  estava	
  em	
  manutenção,	
  ar	
  cortou	
  o	
  fluxo	
  de	
  água	
  de	
  
resfriamento	
  para	
  o	
  reator	
  –	
  Luzes	
  dos	
  alarmes	
  estavam	
  encobertas	
  por	
  tags	
  de	
  manutenção	
  
–	
  A	
  PSV	
  falhou	
  fechada	
  
–	
   Operadores	
   estavam	
   lendo	
   instrumentos	
   que	
   não	
   operavam	
   adequadamente	
   ou	
   estavam	
  
tomando	
  decisões	
  errôneas	
  baseando-­‐se	
  nos	
  instrumentos	
  operacionais	
  
ü  Explosão	
  da	
  nave	
  espacial	
  Challenger	
  em	
  1986	
  
Causas:	
  –	
  Falha	
  dos	
  anéis	
  de	
  borracha	
  (chamados	
  “o-­‐rings”)	
  usados	
  para	
  vedar	
  as	
  quatro	
  
estações	
  dos	
  foguetes	
  booster	
  (externos)	
  
–	
  Lançamento	
  efetuado	
  em	
  temperatura	
  ambiental	
  abaixo	
  de	
  zero.	
  Nunca	
  feito	
  antes!	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Fonte:	
  O	
  Autor	
  
A	
  partir	
  desses	
  exemplos,	
  pode-­‐se	
  concluir	
  que	
  o	
  impacto	
  de	
  falhas	
  em	
  produtos	
  
ou	
   equipamentos	
   variam	
   desde	
   meras	
   inconveniências	
   ,	
   lesões	
   em	
   pessoas,	
  
grandes	
  perdas	
  econômicas,	
  e	
  morte.	
  
Em	
  geral,	
  as	
  causas	
  dessas	
  falhas	
  incluem:	
  
•  Projeto	
  inadequado	
  
•  Erro	
  humano	
  
•  Procedimentos	
  de	
  construção	
  ou	
  produção	
  faltosos	
  
•  Manutenção	
  inadequada	
  
•  Procedimentos	
  de	
  teste	
  e	
  inspeção	
  inapropriados	
  
•  Inexistência	
  de	
  proteções	
  (barreiras)	
  contra	
  estresses	
  ambientais	
  excessivos	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Assim,	
   a	
   importância	
   e	
   o	
   interesse	
   crescentes	
   em	
   confiabilidade	
   tem	
   sido	
  
motivado	
  por	
  diversos	
  fatores	
  como	
  por	
  exemplo:	
  
•  Aumento	
  da	
  complexidade	
  e	
  sofisticação	
  dos	
  sistemas;	
  
•  Conscientização	
  do	
  consumidor;	
  
•  Surgimento	
  de	
  leis	
  e	
  regulamentações;	
  
•  Altos	
  custos	
  das	
  falhas,	
  reparos	
  e	
  programas	
  de	
  garantia	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Uma	
  pesquisa	
  conduzida	
  pelo	
   instituto	
  Gallup	
  em	
  1985	
  encomendada	
  pela	
  American	
  
Society	
   for	
   Quality	
   Control	
   (ASQC)	
   entrevistou	
   mais	
   de	
   1000	
   pessoas	
   perguntando	
  
quais	
  seriam	
  os	
  atributos	
  mais	
  imortantes.	
  
Os	
  valores	
  médios	
  dos	
   10	
  atributos	
  mais	
   importantes	
  estão	
   listados	
  a	
  seguir	
  em	
  uma	
  
escala	
   de	
   1	
   (menos	
   importante)	
   até	
   10	
   (mais	
   importante)	
   os	
   mais	
   importantes	
   para	
  
estes	
  na	
  escolha	
  de	
  um	
  produto:	
  
Entendendo	
  Falha	
  
Atributo	
  Valor	
  Médio	
  
Desempenho	
   9,5	
  
Longo	
  tempo	
  de	
  duração	
  (Confiabilidade)	
   9,0	
  
Serviço	
   8,9	
  
Facilidade	
  de	
  reparo	
  (Manutenibilidade)	
   8,8	
  
Garan=a	
   8,4	
  
Facilidade	
  de	
  uso	
   8,3	
  
Aparência	
   7,7	
  
Marca	
   6,3	
  
Embalagem	
   5,8	
  
Úl=mo	
  modelo	
   5,4	
  
Fonte:	
  Quality	
  Progress,	
  vol.	
  18,	
  pp.	
  12-­‐17,	
  1985	
  
Confiabilidade e Manutenibilidade estão classificados entre os mais importantes atributos de um 
produto segundo os consumidores.
•  O	
  que	
  é	
  uma	
  falha?	
  
•  Falha	
  é	
  a	
  incapacidade	
  do	
  sistema	
  de	
  realizar	
  a	
  sua	
  função;	
  
•  Durante	
   a	
   vida	
   útil	
   de	
   um	
   sistema,	
   o	
   mesmo	
   é	
   submetido	
   a	
  
diversos	
  desafios;	
  
•  Se	
   o	
   sistema	
   não	
   possui	
   a	
   capacidade	
   de	
   realizar	
   a	
   sua	
   função	
  
dado	
   este	
   desafio,	
   então	
   o	
   mesmo	
   falha.Veja	
   o	
   seguinte	
  
diagrama.	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
Exemplos:	
  
	
  
•  	
   Uma	
   bomba	
   de	
   água	
   de	
   incêndio	
   falha	
   quando	
   a	
   mesma	
   é	
  
incapaz	
  de	
  fornecer	
  a	
  vazão	
  de	
  água	
  requerida	
  durante	
  a	
  operação;	
  
• 	
  Um	
  carro	
  “zero”	
   falha	
  quando	
  o	
  seu	
  consumo	
  de	
  combustível	
  é	
  
maior	
   do	
   que	
   o	
   “anunciado”	
   pelo	
   fabricante	
   e/ou	
   esperado	
   pelo	
  
consumidor;	
  
• 	
  Um	
  sensor	
  de	
  CO	
  falha	
  quando	
  o	
  mesmo	
  torna-­‐se	
  descalibrado;	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
	
  Stress-­‐Strength	
  (Carga-­‐Resistência)	
  
	
  
§ 	
  Este	
  modelo	
  é	
  baseado	
  no	
  conceito	
  que	
  um	
  sistema	
  está	
  sujeito	
  a	
  
cargas	
  durante	
  a	
  sua	
  vida	
  útil;	
  
§ 	
  O	
  mesmo	
  falha	
  se	
  a	
  resistência	
  é	
  menor	
  do	
  que	
  a	
  carga	
  aplicada	
  
(força	
  mecânica,	
  campo	
  elétrico,	
  etc).	
  Veja	
  a	
  figura	
  que	
  segue.	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
	
  Stress-­‐Strength	
  (Carga-­‐Resistência)	
  
	
  
• 	
  A	
  curva	
  à	
  esquerda	
  representa	
  a	
  variabilidade	
  nas	
  possíveis	
  cargas	
  
aplicadas	
  ao	
  sistema;	
  
•  	
   Considerando-­‐se	
   uma	
   população	
   de	
   sistemas	
   do	
   mesmo	
   tipo	
  
(válvulas	
  do	
  mesmo	
  modelo	
  de	
  um	
  mesmo	
  fabricante;	
  
•  	
   Ao	
   se	
   aplicar	
   uma	
   certa	
   carga	
   C’,	
   todos	
   aqueles	
   sistemas	
   que	
  
tiverem	
   uma	
   resistência	
   menor	
   do	
   que	
   a	
   carga	
   aplicada	
   (área	
  
tracejada	
  à	
  esquerda	
  de	
  C’)	
  irão	
  falhar;	
  
Note	
   que	
   este	
   modelo	
   de	
   falha	
   assume	
   que	
   a	
   resistência	
   é	
  
independente	
  do	
  tempo.	
  Logo:	
  
Não	
   há	
   efeitos	
   de	
   corrosão	
   ou	
   fadiga,	
   por	
   exemplo,	
   os	
   quais	
  
acarretam	
   em	
   degradação	
   da	
   resistência	
   do	
   sistema	
   com	
   o	
   tempo,	
  
i.e.,	
  o	
  sistema	
  não	
  deteriora!	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
	
  Damage-­‐Endurance	
  (Dano-­‐Resistência)	
  
	
  
•  	
  Incluem-­‐se	
  efeitos	
  de	
  corrosão,	
  fadiga;	
  
•  	
  Falha	
  ocorre	
  quando	
  o	
  dano	
  excede	
  a	
  resistência	
  do	
  sistema;	
  
Exemplo:	
  bondinho	
  do	
  Pão	
  de	
  Açúcar	
  (Rio	
  de	
  Janeiro,	
  21/10/2000)	
  
Cabo	
  de	
  tração	
  do	
  bondinho	
  rompe,	
  100	
  pessoa	
  ficaram	
  presas	
  em	
  dois	
  
bondinhos	
  durante	
  1	
  hora;	
  
•  	
  Causa	
  provável:	
  
	
  Corrosão	
  interna	
  do	
  cabo	
  de	
  tração;	
  
	
  Modelo	
   de	
   falha	
   semelhante	
   ao	
   anterior,	
   porém	
   considera-­‐se	
   que	
   o	
   dano	
  
resultante/induzido	
   pela	
   carga	
   aplicada	
   acumula	
   irreversivelmente,	
   i.e.,	
  O	
  
sistema	
  deteriora	
  com	
  o	
  tempo;	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
	
  Challenge-­‐Response	
  (Desafio-­‐Resposta)	
  
	
  
•  	
   Falha	
   do	
   sistema	
   passa	
   desapercebida	
   até	
   que	
   o	
   mesmo	
   é	
  
necessário;	
  
• 	
  Somente	
  quando	
  o	
  sistema	
  é	
  desafiado	
  (chamado	
  para	
  operar),	
  a	
  
falha	
   se	
   torna	
   evidente.	
   O	
   mesmo	
   falha	
   em	
   responder	
  
apropriadamente;	
  
	
  Exemplos:	
  
•  	
  Sistemas	
  stand-­‐by;	
  
•  	
  Defeitos	
  em	
  softwares;	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
Tolerance-­‐Requirements	
  (Tolerância-­‐Especificações)	
  
	
  
• 	
  Quando	
  um	
  sistema	
  está	
  operando	
  mas	
  não	
  satisfatoriamente;	
  
• 	
  O	
   fator	
  de	
   tolerância	
   é	
  uma	
  variável	
   contínua	
  que	
   indica	
  o	
  grau	
  de	
  
degradação	
  na	
  qualidade	
  do	
  desempenho	
  do	
  sistema;	
  
•  	
   Especificações	
   determinam	
   o	
   desempenho	
   desejado	
   do	
   sistema	
   e	
  
indicam	
  o	
  ponto	
  de	
  transição	
  de	
  aceitável	
  para	
  inaceitável;	
  
	
  
	
  Exemplos:	
  
•  	
  Perda	
  de	
  contraste	
  em	
  uma	
  máquina	
  copiadora;	
  
•  	
  Perda	
  de	
  pressão	
  de	
  um	
  compressor;	
  
Modelos	
  de	
  Falha 
Sistemas	
  tem	
  aumentado	
  em	
  complexidade	
   levando	
  ao	
  surgimento	
  de	
  sistemas	
  onde	
  
não	
  há	
  apenas	
  o	
  hardware,	
  mas	
  também	
  software	
  e	
  operadores	
  humanos	
  
Falhas	
  podem	
  surgir	
  de	
  problemas	
  de	
  software	
  ou	
  erros	
  humanos	
  assim	
  como	
  a	
  partir	
  
de	
  falhas	
  no	
  hardware	
  
Tem-­‐se,	
  então,	
  os	
  chamados	
  Sistemas	
  X-­‐Ware:	
  	
  
Sistemas	
   constituídos	
   de	
   elementos	
   interativos	
   de	
   hardware,	
   software,	
   e	
   operadores	
  
humanos	
  (veja	
  a	
  seguinte	
  figura)	
  
Exemplos:	
  
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
• 	
  Equipamentos	
  médicos	
  
• 	
  Cockpit	
  de	
  aviões	
  
• 	
  Automóveis	
  
• 	
  Salas	
  de	
  controle	
  em	
  processo	
  
petroquímicos	
  
•  Falhas	
  pode	
  ser	
  por	
  um	
  desses	
  elementos	
  isoladamente;	
  
•  Pode	
   ser	
   a	
   partir	
   da	
   combinação/interação	
   de	
   harware,	
   software	
   e	
  
operadores	
  humanos	
  
•  As	
   falhas	
   em	
   sistemas	
   x-­‐ware	
   são	
   geralmente	
   dinâmicas	
   (um	
   evento	
  
iniciador	
  resulta	
  em	
  uma	
  sequência	
  de	
  eventos);	
  
•  Falhas	
   podem	
   ocorrer	
   quando	
   cada	
   um	
   dos	
   elementos	
   de	
   hardare,	
  
software,	
  e	
  operador	
  humano	
  estão	
  funcionando	
  dentro	
  das	
  condições	
  
especificadas;	
  
•  A	
  falha	
  do	
  sistema	
  x-­‐ware	
  pode	
  resulta	
  da	
  interação	
  simultânea	
  destes	
  
três	
  elementos;	
  
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
Confiabilidade	
  humana:	
  
Inicialmente,	
  provia-­‐se	
  apenas	
  diretrizes	
  com	
  relação	
  a:	
  
•  Tamanho	
  e	
  tipo	
  de	
  letras	
  em	
  instrumentos	
  
•  Escolha	
  de	
  cores	
  para	
  alarmes	
  
•  Escolha	
  da	
  forma	
  e	
  textura	
  dos	
  botões	
  de	
  controle,	
  etc	
  
•  Recentemente,	
   tem-­‐se	
   intensa	
   atividade	
   de	
   pesquisa	
   sobre	
   taxas	
   de	
  
erros	
  humanos	
  baseados	
  em	
  fatores	
  físicos	
  e	
  ambientais	
  
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
Confiabilidade	
  de	
  software:	
  
•  Tem-­‐se	
  usado	
  técnicas	
  de	
  confiabilidade	
  de	
  hardware	
  
•  Porém,	
  falhas	
  em	
  software	
  são	
  intrinsecamente	
  distintas	
  das	
  falhas	
  em	
  
hardware.	
  Por	
  exemplo,	
  uma	
  vez	
  detectadas,	
  as	
  falhas	
  em	
  softwares	
  são	
  
erradicadas	
  e	
  as	
  mesmas	
  não	
  voltam	
  a	
  ocorrer	
  
•  Assim,	
   intensa	
   atividade	
   de	
   pesquisa	
   ocorre	
   no	
   desenvolvimento	
   de	
  
novas	
  metodologias	
  para	
  a	
  análise	
  da	
  confiabilidade	
  em	
  softwares	
  
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
•  O	
  conhecimento	
  a	
  respeito	
  do	
  sistema	
  é	
  a	
  base	
  da	
  confiabilidade;	
  
•  Em	
   princípio,	
   tendo-­‐se	
   o	
   conhecimento	
   total	
   dos	
   processos	
  
químicos,	
   físicos	
   e	
   até	
   biológicos	
   através	
   dos	
   quais	
   falhas	
   se	
  
desenvolvem,	
   poder-­‐se-­‐ia	
   descrever	
   exatamente	
   o	
   que	
   iria	
  
acontecer	
   com	
   um	
   sistema	
   e	
   predizer	
   exatamente	
   quando	
   o	
  
mesmo	
  iria	
  falhar.	
  
Dimensões	
  da	
  Confiabilidade 
•  Caso	
  o	
  conhecimento	
  fosse	
  completo	
  sobre	
  o	
  sistema,	
  estaríamos	
  
na	
  dimensão	
  (visão)	
  determinística	
  da	
  confiabilidade:	
  
•  Com	
   um	
  procedimento	
   “ideal”	
   baseado	
   num	
   conhecimento	
  
total	
   do	
   sistema,	
   poderíamos	
   garantir	
   que	
   um	
   dado	
  
equipamento	
   irá	
  operar	
  sem	
  falhaspor	
  um	
  período	
  mínimo	
  
de	
  tempo	
  (ou	
  número	
  de	
  ciclos).	
  
Dimensões	
  da	
  Confiabilidade 
Na	
  prática,	
  porém:	
  
•  Nós	
   não	
   temos	
   um	
   entendimento	
   perfeito	
   de	
   ciência	
   e	
  
engenharia;	
  
•  Mais	
   crítico,	
   nós	
   não	
   temos	
   os	
   recursos	
   ($)	
   para	
   realizar	
   uma	
  
análise	
  completa	
  do	
  sistema	
  até	
  o	
  seu	
  nível	
  mais	
  elementar	
  (nível	
  
atômico);	
  
Como consequência, as incertezas são muitas!
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
•  Logo	
  temos	
  que	
  ser	
  capazes	
  de	
  operar	
  com	
  um	
  conhecimento	
  
menos	
  perfeito:	
  
•  Trabalhamos	
   com	
   uma	
   garantia	
   menos	
   perfeita	
   que	
   um	
  
equipamento	
  será	
  capaz	
  operar	
  sem	
  falhas.	
  
•  Esta	
  é	
  a	
  dimensão	
  (visão)	
  probabilística	
  da	
  confiabilidade:	
  
Por	
  exemplo:	
  podemos	
  assegurar	
  que	
  é	
  99%	
  provável	
  que	
  o	
  nosso	
  
equipamento	
  irá	
  operar	
  sem	
  falhas	
  por	
  um	
  certo	
  tempo	
  (ou	
  número	
  
de	
  ciclos).	
  
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
Os	
  Domínios	
  da	
  Confiabilidade 
Fonte:	
  Modarres,	
  M.	
  Et.al.,	
  201
0	
  	
  
•  São	
  Processos	
  físicos,	
  cuja	
  ocorrência	
  conduz	
  a	
  um	
  estresse	
  ou	
  
é	
  causada	
  por	
  ele;	
  
•  Pode	
  deteriorar	
  a	
  capacidade	
  (resistência)	
  de	
  um	
  item;	
  
•  O	
  mecanismos	
  de	
  falha	
  de	
  equipamento	
  mecânico,	
  eletrônico	
  
e	
  elétrico	
  são	
  diferentes;	
  
Mecanismo	
  de	
  Falha 
Mecanismo	
  de	
  Falha 
Fonte:	
  Tinga,	
  T.,	
  2013	
  
Intuitivamente:	
  
Um	
  produto	
  confiável	
   é	
  aquele	
  em	
  que	
  o	
  consumidor	
  pode	
  contar	
  
para	
   realizar	
  o	
  que	
  ele/ela	
  esperam	
  do	
  mesmo,	
  por	
  um	
  período	
  de	
  
tempo.	
  
Formalmente:	
  
Confiabilidade	
   é	
   a	
  probabilidade	
   que	
  um	
  sistema	
   (componente,	
  
produto)	
   irá	
   realizar	
   uma	
   determinada	
   função,	
   por	
   um	
   dado	
  
período	
  de	
  tempo,	
  sob	
  condições	
  operacionais	
  específicas.	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
•  Falhas	
  é	
  definida	
  em	
  relação	
  à	
  função	
  realizada	
  pelo	
  sistema;	
  
•  Unidade	
  de	
  tempo	
  deve	
  ser	
  identificada:	
  
•  Tempo	
  corrido	
  (calendário)	
  
•  Tempo	
  de	
  operação	
  
•  Ciclos	
   (exemplo,	
   pousos	
   de	
   um	
   avião,	
   giros	
   de	
   um	
   motor	
  
elétrico,	
  	
  Etc.)	
  
Pode-­‐se	
   usar	
   outras	
   unidades	
   além	
   da	
   grandeza	
   tempo,	
   como	
   por	
  
exemplo:	
  
•  Quilômetros	
  percorridos;	
  
•  Unidades	
  ou	
  bateladas	
  produzidas;	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
As	
  condições	
  operacionais	
  devem	
  ser	
  especificadas:	
  
Condições	
  de	
  operação:	
  
•  Uso	
  (temperatura,	
  corrente,	
  pressão,	
  etc);	
  
•  Manutenção;	
  
•  Transporte.	
  
Condições	
  ambientais:	
  
•  Temperatura	
  
•  Umidade	
  
•  Vibração	
  
•  Altitude,	
  etc	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
Exemplo	
  Resolvido	
  1:	
  
Considere	
   um	
   modelo	
   de	
   bateria	
   para	
   carro	
   cujo	
   fabricante	
   mantém	
  
registro	
   das	
   unidades	
   devolvidas.	
   Quando	
   um	
   consumidor	
   retorna	
   uma	
  
bateria	
   (mesmo	
   funcionando)	
  durante	
   a	
   garantia,	
   considera-­‐se	
  uma	
   falha,	
  
pois	
  a	
  mesma	
  não	
  atendeu	
  as	
  expectativas	
  do	
  consumidor!	
  	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
Fonte:	
  dreams=me.com	
  Fonte:	
  fazerfacil.com.br	
  
•  Ao	
   final	
   dos	
   10	
   meses	
   de	
   uso,	
  
14	
   baterias	
   falharam	
   de	
   um	
  
total	
  de	
  1000;	
  
•  Logo,	
   temos	
   uma	
   indicação	
   da	
  
probabilidade	
   de	
   falha	
   neste	
  
período:	
  F(10)	
  =	
  0.014;	
  
•  Então,	
   sendo	
   confiabilidade	
   as	
  
não-­‐falhas,	
   a	
   confiabilidade	
  
deste	
  modelo	
  de	
  bateria	
  é	
  R(10)	
  
=	
  0.986;	
  
•  Pode-­‐se	
   dizer	
   que	
   é	
   98.6%	
  
provável	
   que	
  uma	
  nova	
  bateria	
  
ainda	
   estará	
   funcionando	
   após	
  
10	
  meses	
  de	
  operação;	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
Assuma	
  que	
  o	
  seguinte	
  gráfico	
  tenha	
  sido	
  ob=do	
  
para	
  36	
  meses:	
  
•  A	
   confiabilidade,	
   R	
   (t),	
  
decresce	
   para	
   95%	
   em	
   24	
  
meses;	
  
•  A	
   confiabilidade	
   a=nge	
   50%	
  
em	
  32	
  meses;	
  
•  Quanto	
   maior	
   o	
   tempo	
   t,	
  
m e n o r 	
   s e r á 	
   a	
  
confiabilidade;	
  
•  A	
   função	
   de	
   confiabilidade,	
  
R ( t ) , 	
   é 	
   u m a	
   f u n ç ã o	
  
monotonia	
  decrescente;	
  Do ponto de vista do fabricante, qual a melhor garantia?? 24 meses?? 
12 meses??
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
Qualidade	
  pode	
  ser	
  considerada	
  como	
  o	
  grau	
  em	
  que	
  um	
  produto	
  atende	
  
as	
  expectativas/exigências	
  do	
  consumidor.	
  
Confiabilidade,	
   preocupa-­‐se	
   com	
   a	
   duração	
   do	
   uso	
   de	
   um	
   produto	
   a	
  
partir	
  do	
  momento	
  em	
  que	
  o	
  mesmo	
  entra	
  em	
  operação.	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
•  	
  Assim,	
   se	
  qualidade	
   pode	
   ser	
   caracterizada	
  por	
  um	
  conjunto	
  
de	
  atributos	
  de	
  forma	
  e	
  função;	
  
•  A	
   confiabilidade	
   pode	
   ser	
   considerada	
   como	
   um	
   atributo	
   da	
  
qualidade:	
  
•  Confiabilidade	
  está	
  relacionada	
  com	
  a	
  função	
  desempenhada	
  
pelo	
  produto;	
  
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
Definição	
  de	
  Confiabilidade 
Fonte:	
  Modarres,	
  	
  M.,	
  (2013)	
  
Hierarquia	
  da	
  melhora	
  do	
  desempenho	
  de	
  sistemas	
  
Melhorar	
  o	
  Desempenho	
  do
	
  Item	
  
Melhorar	
  Confiabilidade	
   Melhorar	
  Manutenibilidade	
  
Prolongar	
  a	
  Vida	
  de	
  um	
  Item	
  
Minimizar	
  o	
  Tempo	
  Requerido	
  par
a	
  Restaurar	
  um	
  Item	
  de	
  Volta	
  ao	
  S
erviço	
  logo	
  após	
  a	
  Falha	
  Fazer	
  o	
  Estudo	
  da	
  Eng	
  de	
  
Confiabilidade	
  	
  
Es=mar	
  e	
  Reduzir	
  a	
  Ta
xa	
  de	
  Falha	
  
•  Realizar	
  uma	
  análise	
  de	
  trade-­‐o
ff	
   entre	
   fatores	
   crí=cos	
   (ex.	
   Au
mentar	
  o	
  Peso	
  vs.	
  Aumentar	
  a	
  R
esistencia	
  Mecânica;	
  
•  Estudar	
  os	
  fatores	
  Ambientais	
  e
	
  de	
  Projeto	
  que	
  promovem	
  fato
res	
  de	
  falha;	
  
•  Especificar	
  materiais	
  mais	
  resist
entes;	
  
•  Realizar	
  a	
  Análise	
  de	
  
Confiabilidade;	
  
•  Realizar	
   Modelagem	
  
dos	
  sistemas	
  e	
  anális
es;	
  
•  Análise	
   dos	
   Maiores	
  
Contribuidores	
  da	
  Fa
lha..	
  
•  Re-­‐projetar	
   (unidade
s)	
  para	
  melhorar	
  a	
  ac
essibilidade;	
  
•  Es=mar	
  o	
  MTTR;	
  
•  Re-­‐projetar	
   montam
gem	
  de	
   item	
  para	
  re
duzir	
  o	
  número	
  de	
  su
b	
  ajustes;	
  
Definição	
  de	
  Manutenibilidade 
• 	
   Quando	
   um	
   equipamento	
   é	
   passível	
   de	
   manutenção	
   (corretiva	
   ou	
  
preventiva),	
   a	
   facilidade	
   com	
   a	
   qual	
   o	
   mesmo	
   sofre	
   manutenção,	
  
reparo,	
  e	
  retorna	
  à	
  operação	
  é	
  medida	
  através	
  de	
  sua	
  manutenibilidade	
  
• 	
  Formalmente:	
  
Manutenibilidade	
  é	
  a	
  probabilidade	
  que	
  um	
  sistema	
  falho,	
  seja	
  retornado	
  
para	
   operação	
   dentro	
   de	
   um	
   período	
   de	
   tempo,	
   quando	
   manutenção	
   é	
  
realizada	
  de	
  acordo	
  com	
  procedimentos	
  estabelecidos	
  
Manutenibilidade	
  é	
  uma	
  medida	
  do	
  downtime	
  do	
  equipamento,	
  i.e.,	
  do	
  
tempo	
  que	
  o	
  mesmo	
  se	
  encontra	
  fora	
  de	
  serviço;•  	
   Equipamentos	
   reparáveis	
   (que	
   sofrem	
   manutenção)	
   nem	
   sempre	
  
estão	
  “prontos”	
  (disponíveis)	
  quando	
  são	
  requisitados;	
  
• 	
  Assim:	
  
Disponibilidade	
   é	
   a	
   probabilidade	
   que	
   um	
   sistema	
   está	
   operacional	
  
(realizando	
   a	
   sua	
   função)	
   em	
   um	
   dado	
   instante	
   quando	
   utilizado	
   sob	
  
condições	
  específicas	
  
Definição	
  de	
  Disponibilidade 
•  	
   Como	
   veremos	
   depois,	
   a	
   disponibilidade	
   pode	
   ser	
   matematicamente	
  
definida	
   de	
   diversas	
   formas,	
   dependendo	
   de	
   como	
   são	
  medidos	
   o	
   tempo	
  
operacional	
  e	
  o	
  tempo	
  fora	
  de	
  serviço	
  do	
  sistema	
  
Por	
   exemplo,	
   a	
   disponibilidade	
   (média)	
   de	
   um	
   sistema	
   pode	
   ser	
  
interpretada	
  como	
  a	
  porcentagem	
  do	
  tempo	
  que	
  o	
  mesmo	
  está	
  operacional	
  
Leva	
  em	
  conta	
  tanto	
  o	
  tempo	
  operacional	
  do	
  sistema,	
  e	
  o	
  tempo	
  fora	
  de	
  
serviço	
  (o	
  downtime	
  -­‐	
  manutenibilidade).	
  
Definição	
  de	
  Disponibilidade 
Logo,	
  risco	
  pode	
  ser	
  expresso	
  quantitativamente	
  como:	
  
R	
  =	
  <	
  Si	
  ,	
  Pi	
  ,	
  Ci	
  >	
  
Onde:	
  
• 	
  Si	
  é	
  o	
  cenário	
  (evento)	
  indesejado	
  
• 	
  Pi	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  o	
  evento	
  S	
  vir	
  a	
  ocorrer	
  
• 	
  Ci	
  são	
  as	
  consequências	
  resultantes	
  da	
  ocorrência	
  do	
  evento	
  S	
  
Análise	
  de	
  Riscos	
  consiste	
  em	
  responder	
  as	
  seguintes	
  perguntas:	
  
•  O	
  que	
  pode	
  acontecer	
  de	
  errado?	
  
•  Qual	
  a	
  probabilidade	
  disto	
  vir	
  a	
  acontecer?	
  
•  Se	
  acontecer,	
  quais	
  são	
  as	
  consequências?	
  
•  Qual	
   é	
   a	
   nossa	
   “confiança”	
   nessas	
   respostas	
   ?	
   Ou	
   seja,	
   quais	
   são	
   as	
  
incertezas	
  
Definição	
  de	
  Risco 
Referências	
  
• 	
  SANTOS,	
  W.	
  B.	
  &	
  DROGUETT,	
  E.	
  L.	
  (2005)	
  ANÁLISE	
  PROBABILÍSTICA	
  DE	
  RISCOS	
  
VIA	
  REDES	
  BAYESIANAS:	
  UMA	
  APLICAÇÃO	
  NA	
  CONSTRUÇÃO	
  DE	
  POÇOS	
  
MULTILATERAIS.	
  (Mestrado-­‐Programa	
  de	
  Pós-­‐graduação	
  em	
  Engenharia	
  de	
  
Produção	
  /	
  UFPE).	
  
• 	
  MODARRES,	
  M.;	
  KAMINSKIY,	
  M.	
  &	
  KRIVTSOV,	
  V.	
  (2013)	
  –	
  Reliability	
  
Engineering	
  and	
  Risk	
  Analysis,	
  New	
  York.	
  
	
  
• 	
  DROGUETT,	
  E.L.	
  (2002)	
  –	
  Introdução	
  a	
  Confiabilidade	
  e	
  Riscos.	
  Material	
  de	
  
aula.	
  Departamento	
  de	
  Engenharia	
  de	
  Produção	
  –	
  Centro	
  de	
  Tecnologia	
  e	
  
Geociência,	
  Universidade	
  Federal	
  de	
  Pernambuco.	
  64	
  páginas.	
  
BASE MATEMÁTICA DA 
CONFIABILIDADE 
2.1 Introdução 
2.2 Elementos da Probabilidade 
2.3 Características de uma V.A. 
2.4 Distribuições de Probabilidade 
BASE MATEMÁTICA DA CONFIABILIDADE 
Discutimos	
   os	
   elementos	
   da	
   teoria	
  matemática	
   que	
   são	
   relevantes	
   para	
   o	
  
estudo	
  da	
  confiabilidade	
  de	
  componentes;	
  
Começamos	
  com	
  uma	
  apresentação	
  de	
  conceitos	
  básicos	
  de	
  probabilidade;	
  
Em	
   seguida,	
   considerar	
   brevemente	
   alguns	
   conceitos	
   fundamentais	
   das	
  
estatísticas	
  que	
  são	
  usados	
  na	
  análise	
  de	
  dados	
  de	
  confiabilidade;	
  
Introdução 
Conjunto:	
  é	
  uma	
  coleção	
  de	
   itens	
  ou	
  elementos,	
  cada	
  um	
  com	
  algumas	
  
características	
  específicas;	
  
Conjunto	
  Universo:	
  é	
  um	
  conjunto	
  que	
  inclui	
  todos	
  os	
  itens	
  de	
  interesse	
  
é	
  definido	
  como	
  conjunto	
  universo	
  (Ω).	
  
Subconjunto:	
   refere-­‐se	
   a	
   uma	
   coleção	
   de	
   objetos	
   que	
   pertencem	
   a	
   um	
  
conjunto	
  universo.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
22 Chapter 2 
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c 
Q. 
n 
Figure 2.1 Venn diagram. 
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all 
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E. 
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle 
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0. 
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong 
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or 
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and 
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,. 
I 
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E, 
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10, 
respectively. Then 
The union of these two sets is: 
Diagrama	
  de	
  Venn	
  
Por	
  exemplo:	
  
Ω	
  representa	
  o	
  conjunto	
  de	
  todas	
  os	
  motores	
  do	
  Metrô-­‐JP;	
  
Os	
  motores	
  elétricos	
  é	
  um	
  subconjunto	
  E1.	
  
E2	
  pode	
  representar	
  os	
  motores	
  elétricos	
  de	
  um	
  fabricante	
  específico	
  
O	
  diagrama	
  de	
  Venn	
  na	
  figura	
  abaixo	
  mostra	
  o	
  conjunto	
  universo	
  Ω,	
   	
  um	
  
retângulo,	
  e	
  subconjuntos	
  de	
  E1,	
  e	
  E2,	
  por	
  círculos.	
  
Também	
  pode	
  ser	
  visto	
  que	
  E2,	
  é	
  um	
  subconjunto	
  de	
  E1;	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
22 Chapter 2 
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c 
Q. 
n 
Figure 2.1 Venn diagram. 
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all 
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E. 
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle 
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0. 
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong 
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or 
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and 
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,. 
I 
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E, 
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10, 
respectively. Then 
The union of these two sets is: 
Diagrama	
  de	
  Venn	
  
E2	
  	
  	
  	
  	
  E1	
  	
  	
  	
  	
  Ω	
  	
  
Representação	
  por	
  Símbolo
s	
  
Complemento:	
  Denotado	
  por	
  Ē	
  ou	
  não-­‐E,	
  é	
  o	
  conjunto	
  de	
  todos	
  os	
  itens	
  
no	
  conjunto	
  universo	
  que	
  não	
  pertencem	
  ao	
  conjunto	
  E.	
  	
  
Na	
  figura	
  abaixo	
  a	
  área	
  não	
  sombreada	
  fora	
  do	
  conjunto	
  E2,	
  delimitada	
  pelo	
  
retângulo,	
  representa	
  Ē2.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
22 Chapter 2 
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c 
Q. 
n 
Figure 2.1 Venn diagram. 
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all 
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E. 
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle 
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0. 
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong 
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or 
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and 
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,. 
I 
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E, 
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10, 
respectively. Then 
The union of these two sets is: 
Diagrama	
  de	
  Venn	
  
Uniãode	
  Dois	
  Conjuntos	
   :	
  A	
  união	
  é	
  simbolizada	
  tanto	
  por	
  E1	
  U	
  E2,	
  ou	
  
E1	
  +	
  E2,	
  e	
  é	
  lido	
  E1	
  ou	
  E2.	
  	
  
A	
  área	
  sombreada	
  na	
  figura	
  abaixo	
  mostra	
  a	
  união	
  dos	
  conjuntos	
  E1	
  e	
  E2.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
União	
  de	
  dois	
  conjuntos,	
  de	
  E1	
  e	
  E
2	
  
22 Chapter 2 
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c 
Q. 
n 
Figure 2.1 Venn diagram. 
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all 
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E. 
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle 
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0. 
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong 
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or 
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and 
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,. 
I 
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E, 
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10, 
respectively. Then 
The union of these two sets is: 
Intersecção	
  de	
  Dois	
  Conjuntos	
  :	
  A	
  interseção	
  de	
  dois	
  conjuntos,	
  E1	
  e	
  E2,	
  
é	
  o	
  conjunto	
  de	
  itens	
  que	
  são	
  comuns	
  entre	
  os	
  dois	
  conjuntos;	
  
Este	
  conjunto	
  é	
  simbolizado	
  por	
  E1	
  ⋂	
  E2	
  ou	
  E1	
  .	
  E2.	
  É	
  lido	
  E1	
  e	
  E2.	
  	
  
Na	
  Figura	
  abaixo,	
  a	
  área	
  sombreada	
  representa	
  a	
  intersecção	
  de	
  E1	
  e	
  E2.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Intersecção	
  de	
  dois	
  conjuntos,	
  de	
  E1	
  e	
  E2	
  
Basic Reliability Mathematics 23 
E , u E 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 } 
or, if E , = { x, y , z } and E, = { x, t, z }, then 
Note that element x is in both sets E , and El. 
The intersection of two sets, E , and E,, is the set of items that are common 
to both E , and El. This set is symbolized by E , n E, or E, . E?, and is read E , and 
El. In Fig. 2.3, the shaded area represents the intersection of E , and E,. 
Figure 2.3 Intersection of two sets, E , and E,. 
Suppose E , is a set of manufactured devices that operate for t > 0 but fail 
prior to 1000 hours of operation. If set E, represents a set of devices that operate 
between 500 and 2000 hours, then E , n E, can be obtained as follows: 
E , = { t l O < t < 1000) 
E, = { t I 500 < t < 2000 } 
E , n E , = ( t 1 5 0 0 < t < l O O O ) 
Also, if sets E, = { x, y , z } and E. = { x, t, z }, then 
Note that the first two sets in this example represent “continuous” elements, and 
the second two sets represent “discrete” elements. This concept will be discussed 
in more detail further in this chapter. 
A null or empty set, 0, refers to a set that contains no items. One can easily 
see that the complement of a universal set is a null set, and vice versa. That is, 
Conjunto	
  nulo	
  ou	
  vazio:	
  refere-­‐se	
  a	
  um	
  conjunto	
  que	
  não	
  contém	
  itens.	
  
Pode-­‐se	
   facilmente	
   ver	
   que	
   o	
   complemento	
   do	
   conjunto	
   universo	
   é	
   um	
  
conjunto	
  nulo,	
  e	
  vice-­‐versa;	
  
Dois	
  conjuntos	
  ,	
  E1	
  e	
  E2,	
  são	
  mutualmente	
  exclusivo	
  ou	
  disjuntos	
  quando	
  
E1	
  ⋂	
  E2	
  =	
  Ø.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Conjuntos	
  mutuamente	
  exclusivos,	
  E1	
  e	
  E2	
  
24 Chapter 2 
Two sets, E , and E,, are termed mutually exclusive or disjoint when E , n E, = 0. 
In this case, there are no elements common to E,and E,. Two mutually exclusive 
sets are illustrated in Fig. 2.4. 
~~ ~ 
Figure 2.4 Mutually exclusive sets, E , and E,. 
From the discussions thus far, as well as from the examination of the Venn 
diagram, the following conclusions can be drawn: 
The intersection of set E and a null set is a null set: 
E n @ = @ 
The union of set E and a null set is E: 
E u @ = E 
The intersection of set E and the complement of E is a null set: 
E n E = Q ) 
The intersection of set E and a universal set is E: 
E n Q = E 
The union of set E and a universal set is the universal set: 
E u Q = Q 
The complement of the complement of set E is E: 
E = E 
The union of two identical sets E is E: 
(2.4) 
(2.7) 
Álgebra	
  Booleana	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Exercício:	
  Simplificar	
  a	
  expressão	
  abaixo	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
[ !⋂! ∪ !⋂! ∪ !⋂! ]!
Evento	
  Aleatório	
  (ou	
  simplesmente	
  evento):	
  é	
  a	
  combinação	
  de	
  vários	
  
elementos	
  do	
  espaço	
  amostral;	
  
Na	
  Teoria	
  da	
  Probabilidade,	
  os	
  elementos	
  compõem	
  um	
  conjunto	
  são	
  
resultados	
  de	
  um	
  experimento.	
  
Assim,	
   o	
   conjunto	
   universo	
  Ω	
   representa	
   a	
   lista	
   de	
   todos	
   os	
   possíveis	
  
resultados	
  de	
  um	
  experimento	
  e	
  é	
  chamado	
  de	
  espaço	
  de	
  amostral	
  do	
  
experimento.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Exemplo	
  1:	
  	
  
Experimento:	
  “jogar	
  um	
  dado”	
  
Espaço	
  amostral:	
  {1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6}	
  
Evento:	
  “obter	
  um	
  número	
  ímpar	
  ao	
  jogar	
  um	
  dado”	
  
Este	
  evento	
  é	
  subconjunto	
  do	
  espaço	
  amostral	
  com	
  elementos	
  {1,	
  3,	
  5};	
  	
  
Exemplo	
  2:	
  
Experimento:	
  “partida	
  de	
  uma	
  bomba”	
  
Espaço	
  amostral:	
  {Funiona,	
  Falha}	
  
Evento:	
  “falha	
  da	
  bomba	
  na	
  partida”	
  	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
A	
   cada	
   evento	
   aleatório	
   E	
   está	
   associada	
   uma	
   probabilidade	
   P(E)	
   de	
  
ocorrência	
  deste	
  evento:	
  
	
  
	
  
NE	
   é	
   o	
   número	
   de	
   elementos	
   no	
   conjunto	
   E,	
   ou	
   seja,	
   o	
   número	
   de	
  
resultados	
  favoráveis	
  ao	
  evento	
  E;	
  
N	
  é	
  o	
  número	
  de	
  elementos	
  resultados	
  possíveis;	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -2-
“falha da bomba na partida”. Note que “falha da bomba na partida” é
um subconjunto do experimento “partida da bomba”
 Tem-se que “falha da bomba na partida” é um evento
 Este evento possui como único resultado favorável dentre os
possíveis no espaço amostral o elemento “falhar”
 Assim, os elementos que compõem um conjunto são considerados como os
possíveis resultados de um experimento
 Conjunto Universo (S) é uma coleção de todos os possíveis elementos em um
experimento
 Espaço Amostral é este conjunto de todos os possíveis resultados (elementos)
de um experimento
 Os elementos do espaço amostral são mutuamente exclusivos:
 Dois elementos quaisquer do espaço amostral não podem ocorrer ao
mesmo tempo
 Por exemplo, no caso da partida da bomba, a mesma não pode
funcionar e falhar simultaneamente!
 Evento Aleatório (ou simplesmente evento) é a combinação de vários
elementos do espaço amostral
 Exemplo 1:
 Experimento: “jogar um dado”
 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Evento: “obter um número ímpar ao jogar um dado”
 Este evento representa um subconjunto do espaço amostral com
elementos {1, 3, 5}
 Exemplo 2:
 Experimento: “partida de uma bomba”
 Espaço amostral: {Funiona, Falha}
 Evento: “falha da bomba na partida”
 A cada evento aleatório E está associada uma probabilidade P(E) de ocorrência
deste evento:
P E
N
N
E( ) =
onde,
é o número de elementos no conjunto E, ou seja, o número de resultadosN E
favoráveis ao evento E
Axiomas	
  da	
  Probabilidade	
  
Dado	
  em	
  espaço	
  amostral	
  S	
  e	
  um	
  evento	
  E:	
  
	
  0	
  ≤	
  P(E)	
  ≤	
  1,	
  para	
  cada	
  evento	
  E	
  ⊂	
  S.	
  Assim:	
  	
  
	
  P(E)	
  =	
  0	
  evento	
  impossível	
  (E	
  nuncaocorre)	
  	
  
	
   P(E)	
   =	
   1	
   evento	
   com	
   absoluta	
   certeza	
   de	
   ocorrer	
   (E	
   sempre	
  
ocorre)	
  
	
  
Por	
  exemplo:	
  
	
  Se	
  o	
  evento	
  E	
  é	
  a	
  falha	
  de	
  um	
  motor	
  na	
  partida,	
  quanto	
  mais	
  próximo	
  
de	
  1	
  for	
  o	
  valor	
  de	
  P(E),	
  mais	
  provável	
  é	
  que	
  a	
  bomba	
  venha	
  a	
  falhar	
  na	
  
partida.	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Axiomas	
  da	
  Probabilidade	
  
Sendo	
  a	
  P(E1	
  ∪	
  E2	
  ∪	
  …	
  ∪	
  En)	
  =	
  P(E1)	
  +	
  P(E2)+	
  …	
  +P(En),	
  onde	
  os	
  eventos	
  
E1	
  ,	
  E2,	
  …	
  ,	
  En	
  são	
  mutuamente	
  exclusivos	
  (disjuntos),	
  ou	
  seja,	
  dois	
  eventos	
  
Ei	
  ,	
  Ej	
  quaisquer	
  não	
  ocorrem	
  ao	
  mesmo	
  tempo;	
  
P(S)	
  =	
  1,	
  probabilidade	
  do	
  espaço	
  amostral	
  é	
  iguala	
  1;	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Eventos	
  Independentes	
  
Dois	
   eventos	
  A	
   e	
   B	
   são	
   independentes	
   se	
   a	
   ocorrência	
   ou	
  não	
  de	
   um	
  
deles	
  não	
  depende	
  ou	
  não	
  altera	
  a	
  probabilidade	
  de	
  ocorrência	
  do	
  outro	
  
evento;	
  
Logo:	
  	
  
P(A|B)	
  =	
  P(A)	
  
Onde	
  P(A|B)	
  é	
  a	
  probabilidade	
  condicional,	
  ou	
  seja,	
  a	
  probabilidade	
  
de	
  A	
  dado	
  que	
  o	
  evento	
  B	
  já	
  ocorreu;	
  
Então,	
  para	
  dois	
  eventos	
  A	
  e	
  B	
  independentes:	
  	
  
P(A∩	
  B)	
  =	
  P(A).P(B)	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Eventos	
  Dependentes	
  
Quando	
   dois	
   eventos	
   A	
   e	
   B	
   são	
   dependentes,	
   a	
   probabilidade	
   de	
  
ocorrência	
  ou	
  não	
  de	
  um	
  deles	
  é	
  alterada	
  pela	
  ocorrência	
  ou	
  não	
  do	
  
outro	
  evento:	
  	
  
P(A|B)≠	
  P(A)	
  	
  
Considere	
  o	
  diagrama	
  a	
  seguir:	
  	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
 Eventos Dependentes:
 Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
 Considere o diagrama a seguir:
 Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
 Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
 Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
 E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
 Assim:
 A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
 representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
 Exemplo 5:
 Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Note	
  que	
  uma	
  vez	
  obtida	
  a	
  informação	
  de	
  que	
  o	
  evento	
  B	
  já	
  ocorreu,	
  a	
  
probabilidade	
   de	
   ocorrência	
   de	
   qualquer	
   evento	
   que	
   não	
   inclua	
   B	
   é	
  
zero;	
  
Ou	
   seja,	
   o	
   espaço	
   amostral	
   resultante	
   fica	
   agora	
   reduzido	
   aquele	
  
correspondente	
  ao	
  evento	
  B.	
  
Logo	
  a	
  probabilidade	
  condicional	
  é:	
  
	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
 Eventos Dependentes:
 Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
 Considere o diagrama a seguir:
 Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
 Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
 Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
 E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
 Assim:
 A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
 representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
 Exemplo 5:
 Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
 Eventos Dependentes:
 Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
 Considere o diagrama a seguir:
 Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
 Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
 Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
 E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
 Assim:
 A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
 representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
 Exemplo 5:
 Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
 Eventos Dependentes:
 Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
 Considere o diagrama a seguir:
 Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
 Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
 Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
 E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
 Assim:
 A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
 representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
 Exemplo 5:
 Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Exemplo	
  Resolvido	
  2:	
  
Quando	
   dois	
   componentes	
   estão	
   operando	
   em	
   paralelo,	
   ambos	
   devem	
  
falhar	
  para	
  implicar	
  em	
  falha	
  do	
  sistema.	
  
	
  
	
  
	
  
Considere	
   dois	
   componentes	
   idênticos	
   operando	
   em	
   paralelo	
   os	
   quais	
  
dividem	
  uma	
  certa	
  carga	
  operacional.	
  
Se	
   um	
   dos	
   componentes	
   falha,	
   a	
   probabilidade	
   de	
   falha	
   do	
   outro	
  
componente	
   aumenta	
   como	
   conseqüência	
   do	
   aumento	
   do	
   estress	
   (carga	
  
operacional)	
  sobre	
  ele	
  imposto.	
  	
  
	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -7-
1
2
Sistema
BA
 Considere dois componentes idênticosoperando em paralelo os quais
dividem uma certa carga operacional. Se um dos componentes falha, a
probabilidade de falha do outro componente aumenta como conseqüência
do aumento do estress (carga operacional) sobre ele imposto.
 Assim, sejam
A o evento que componente 1 falha
B o evento que componente 2 falha
onde
P A P B( ) ( ) .= = 0 05
P A B P B A( | ) ( | ) .= = 010
Então, a probabilidade de falha do sistema, ou seja, a probabilidade que
ambos os componentes falhem é:
P A B P A B P B x
P A B ou seja
( ) ( | ) ( ) . .
( ) . .
∩ = =
∩ =
010 0 05
0 005 0 5%
 Exemplo 6 (Resolver):
 Um sistema em paralelo de dois componentes está em estado falho 3% do
tempo. Componente 1 está em estado falho 8% do tempo, e componente
2 está em estado falho 6% do tempo. Quais são as probabilidades de falha
do componente 1 uma vez que o componente 2 já falhou, e do
componente 2 dado que o componente 1 falhou ?
 Probabilidade da União de Dois Eventos:
 Observe a seguinte figura representando a união de dois eventos A e B
 Uma vez que A e B não são mutuamente exclusivos, tem-se que e P A( ) P B( )
ambos incluem . Logo, deve ser excluída umaP A B( )∩ P A B( )∩
Exemplo	
  Resolvido	
  2:	
  
Seja:	
  
A	
  o	
  evento	
  que	
  componente	
  1	
  falha;	
  
B	
  o	
  evento	
  que	
  componente	
  2	
  falha.	
  
P(A)	
  =	
  P(B)	
  =	
  0,05	
  
	
  P(A|B)	
  =	
  P(B|A)=	
  0,10	
  	
  
Então,	
  a	
  probabilidade	
  de	
  falha	
  do	
  sistema,	
  ou	
  seja,	
  a	
  probabilidade	
  que	
  
ambos	
  os	
  componentes	
  falhem	
  é:	
  	
  
P(A∩	
  B)	
  =	
  P(A|B).P(B)	
  =	
  0,10	
  .	
  0,05	
  	
  
P(	
  A	
  ∩	
  B)	
  =	
  0.005	
  ou	
  seja	
  0,5%	
  	
  
	
  
	
  
	
  
Elementos	
  da	
  Probabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -7-
1
2
Sistema
BA
 Considere dois componentes idênticos operando em paralelo os quais
dividem uma certa carga operacional. Se um dos componentes falha, a
probabilidade de falha do outro componente aumenta como conseqüência
do aumento do estress (carga operacional) sobre ele imposto.
 Assim, sejam
A o evento que componente 1 falha
B o evento que componente 2 falha
onde
P A P B( ) ( ) .= = 0 05
P A B P B A( | ) ( | ) .= = 010
Então, a probabilidade de falha do sistema, ou seja, a probabilidade que
ambos os componentes falhem é:
P A B P A B P B x
P A B ou seja
( ) ( | ) ( ) . .
( ) . .
∩ = =
∩ =
010 0 05
0 005 0 5%
 Exemplo 6 (Resolver):
 Um sistema em paralelo de dois componentes está em estado falho 3% do
tempo. Componente 1 está em estado falho 8% do tempo, e componente
2 está em estado falho 6% do tempo. Quais são as probabilidades de falha
do componente 1 uma vez que o componente 2 já falhou, e do
componente 2 dado que o componente 1 falhou ?
 Probabilidade da União de Dois Eventos:
 Observe a seguinte figura representando a união de dois eventos A e B
 Uma vez que A e B não são mutuamente exclusivos, tem-se que e P A( ) P B( )
ambos incluem . Logo, deve ser excluída umaP A B( )∩ P A B( )∩
Variáveis	
  Aleatórias	
  
Considere	
  as	
  seguintes	
  situações:	
  
Ao	
   lançar	
   dois	
   dados,	
   sabemos	
   que	
   a	
   soma	
   X	
   dos	
   dois	
   números	
  
obtidos	
  deve	
  ser	
  um	
  inteiro	
  entre	
  2	
  e	
  12,	
  porém	
  não	
  podemos	
  predizer	
  
com	
  certeza	
  qual	
  valor	
  de	
  X	
  será	
  obtido;	
  
No	
  popular,	
  diz-­‐se	
  que	
  cada	
  valor	
  possível	
  de	
  X	
  tem	
  uma	
  “chance”	
  de	
  
ocorrer;	
  
Da	
  mesma	
  forma,	
  ao	
  selecionar	
  uma	
  lâmpada	
  fluorescente	
  a	
  partir	
  de	
  
uma	
   linha	
   de	
   produção	
   nós	
   não	
   podemos	
   predizer	
   exatamente	
   qual	
  
será	
   a	
   sua	
   vida	
   útil	
  X,	
   ou	
   seja,	
   quanto	
   tempo	
   a	
   lâmpada	
   irá	
   operar	
  
antes	
  de	
  falhar.	
  
	
  
Caracterísca	
  de	
  uma	
  V.A. 
Variável	
  Aleatória	
  é	
  uma	
  variável	
  que	
  pode	
  assumir	
  valores	
  de	
  acordo	
  
com	
  determinadas	
  probabilidades	
  associadas	
  a	
  estes	
  possíveis	
  valores;	
  
Estas	
   probabilidades	
   formam	
   a	
  Distribuição	
   de	
   Probabilidade	
   da	
  
variável	
  aleatória	
  X.	
  
Cada	
  valor	
  de	
  X,	
  ou	
  um	
  intervalo	
  de	
  valores	
  de	
  X,	
  está	
  associado	
  a	
  uma	
  
probabilidade.	
  
Caracterísca	
  de	
  uma	
  V.A. 
Notação:	
  
Letras	
   maiúsculas	
   (X,	
   Y,	
   T)	
   são	
   usadas	
   para	
   representar	
   uma	
  
variável	
  aleatória	
  (v.a.);	
  
Letra	
   minúsculas	
   são	
   usadas	
   para	
   expressar	
   os	
   valores	
   que	
   a	
   v.a.	
  
pode	
  assumir.	
  
Por	
   exemplo,	
   se	
  X	
   é	
   o	
  número	
   de	
   vezes	
  que	
   um	
   produto	
   sai	
   de	
  
especificação	
   durante	
   um	
   determinado	
   período	
   de	
   tempo	
   t,	
   então	
   xi	
  
representa	
   o	
   número	
   observado	
   de	
   vezes	
   que	
   o	
   produto	
   saiu	
   de	
  
especificação;	
  
Caracterísca	
  de	
  uma	
  V.A. 
Tipos	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias:	
  
Discretas:	
  	
  
Quando	
  os	
  valores	
  (possíveis	
  resultados)	
  que	
  podemser	
  assumidos	
  pela	
  
v.a.	
  são	
  contáveis.	
  
Ocorrem	
  em	
  experimentos	
  nos	
  quais	
  nós	
  contamos.	
  
Exemplos:	
  	
  
Número	
  de	
  carros	
  em	
  uma	
  rua;	
  
Falhas	
  na	
  partida	
  de	
  uma	
  bomba;	
  
Caracterísca	
  de	
  uma	
  V.A. 
Tipos	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias:	
  
Contínuas:	
  	
  
Ocorre	
  em	
  experimentos	
  nos	
  quais	
  nós	
  medimos;	
  
Exemplos:	
  	
  
Voltagem	
  elétrica;	
  	
  
Pressão	
  sanguinea;	
  	
  
Tempo	
  de	
  reparo	
  de	
  uma	
  bomba;	
  
	
  
Caracterísca	
  de	
  uma	
  V.A. 
Distribuição	
  Uniforme	
  
A	
  distribuição	
  uniforme	
  é	
  um	
  dos	
  modelos	
  discretos	
  mais	
  simples;	
  
Ela	
   descreve	
   uma	
   variável	
   aleatória	
   com	
   um	
   número	
   finito	
   de	
   valores	
  
inteiros	
  de	
  a	
  a	
  b;	
  
Isto	
  é,	
  a	
  distribuição	
  inteira	
  depende	
  somente	
  de	
  dois	
  parâmetros	
  a	
  e	
  b.	
  
Cada	
  valor	
  é	
  igualmente	
  provável.	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Uniforme	
  
Parâmetros:	
  
a	
  =	
  Limite	
  Inferior	
  
b	
  =	
  Limite	
  Superior	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Uniforme	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Benoulli	
  
Um	
  experimento	
  aleatório	
  que	
  tem	
  somente	
  dois	
  resultados	
  possíveis;	
  
Denominamos	
   um	
   dos	
   eventos	
   de	
   “sucesso”	
   (denotado	
   X	
   =	
   1)	
   e	
   o	
  
outro	
  de	
  “fracasso”	
  (denotado	
  X	
  =	
  0);	
  
A	
  probabilidade	
  de	
  sucesso	
  é	
  denotada	
  por	
  π;	
  
A	
  probabilidade	
  de	
  fracasso	
  é	
  1	
  –	
  π;	
  
As	
  probabilidades	
  somam	
  1,	
  isto	
  é,	
  P(0)	
  +	
  P(1)	
  =	
  (1	
  –	
  π)	
  +	
  π	
  =	
  1.	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Benoulli	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Binomial	
  
A	
   distribuição	
   binomial	
   ocorre	
   quando	
   um	
   ensaio	
   de	
   Bernoulli	
   é	
  
repetido	
  n	
  vezes.	
  
Cada	
  ensaio	
  de	
  Bernoulli	
  é	
  independente	
  e	
  a	
  probabilidade	
  de	
  sucesso	
  
π	
  permanece	
  constante	
  em	
  cada	
  ensaio.	
  
	
  
Em	
  um	
  experimento	
  binomial,	
  estamos	
  interessados	
  em:	
  
X	
   =	
   O	
   número	
   de	
   sucesso	
   em	
   n	
   ensaios,	
   tal	
   que	
   a	
   variável	
   aleatória	
  
binomial	
   X	
   seja	
   a	
   soma	
   de	
   n	
   variáveis	
   aleatórias	
   Xi	
   de	
   Bernoulli	
  
independentes:	
  
X	
  =	
  X1	
  +	
  X2	
  +	
  ...	
  +	
  Xn	
  
	
  
Distribuiçõesde	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Binomial	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
O	
   modelo	
   assume	
   que	
   os	
   eventos	
   de	
   interesse	
   são	
   uniformemente	
  
dispersas	
   ao	
   acaso	
   em	
   um	
   tempo	
   ou	
   espaço,	
   com	
   alguma	
   intensidade	
  
constante,	
  λ.	
  
Por	
  exemplo,	
  V.A.	
  X	
  pode	
  representar	
  o	
  número	
  de	
  falhas	
  observadas	
  no	
  
processo	
  de	
  uma	
  planta	
  por	
  ano	
  (domínio	
  de	
  tempo);	
  
O	
  número	
  de	
  barras	
  que	
  chegam	
  a	
  uma	
  dada	
  estação	
  por	
  hora	
  (domínio	
  
de	
   tempo),	
   se	
   eles	
   chegam	
   aleatoriamente	
   e	
   de	
   forma	
   independente	
   no	
  
tempo;	
  
Ele	
  também	
  pode	
  representar	
  o	
  número	
  de	
  fissuras	
  por	
  unidade	
  de	
  área	
  de	
  
uma	
  folha	
  de	
  metal	
  (domínio	
  espacial);	
  
	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Distribuição	
  Normal	
  
A	
   distribuição	
   normal	
   de	
   probabilidade	
   é	
   definida	
   por	
   dois	
  
parâmetros,	
  μ	
  e	
  σ.	
  Ela	
  é	
  frequentemente	
  denotada	
  por	
  N(μ;	
  σ).	
  	
  
O	
  domínio	
  de	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  normal	
  é	
  −∞	
  <	
  x	
  <	
  +∞.	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Conhnuas 
Distribuição	
  Normal	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Basic Reliability Mathematics 51 
p = o 
U = 0.5 
. 
4 
t - 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
~~ ~ ~ 
Figure 2.5 Normal distribution. 
The integral cannot be evaluated in a closed form, so the numerical 
integration and tabulation of normal cdf are required. However, it would be 
impractical to provide a separate table for every conceivable value of p and 0. 
One way to get around this difficulty is to use the transformation of the normal pdf 
to the so-called standard normal pdf which has a mean of zero (p = 0) and a 
standard deviation of 1 (0 = 1). This can be achieved by means of the r.v. 
transformation 2, such that 
(2.43) 
That is, whenever r.v. T takes on a value t , the corresponding value of r.v. 2 is 
given by z = (t - p)/a. Therefore, if Ttakes on values t = t , or t = tz, the r.v. 2 takes 
on values z , = (t, - p)a, and z2 = (t2 - p)/a. Based on this transformation, we can 
write 
Distribuição	
  LogNormal	
  
	
  
Uma	
  V.A.	
  definida	
  positivamente	
  é	
  distribuída	
  de	
  forma	
  lognormal,	
  
se	
  seu	
  logaritmo	
  é	
  distribuído	
  normalmente.	
  
A	
  distribuição	
  lognormal	
  tem	
  aplicações	
  consideráveis	
  em	
  engenharia.	
  
Uma	
  aplicação	
   importante	
  desta	
  distribuição	
  é	
  a	
  de	
   representar	
  uma	
  
variável	
   aleatória,	
   que	
   é	
   o	
   resultado	
   da	
   multiplicação	
   de	
   muitas	
  
variáveis	
  aleatórias	
  independentes.	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Conhnuas 
Distribuição	
  LogNormal	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Basic Reliability Mathematics 53 
PI-(-" < T < 0) = Pr(-w < 2 = - 1700/280 = -6.07) = 6.42 x 10"" 
which can be considered as negligible. So, finally, one can write 
Pr(-a < T < 1000) = Pr(0 < T < 1000) = Pr(-a < Z < -2.5) = 0.0062 
L ognorma I Distribution 
A positively defined random variable is said to be lognormally distributed 
if its logarithm is normally distributed. The lognormal distribution has 
considerable applications in engineering. One major application of this distribution 
is to represent a random variable that is the result of multiplication of many 
independent random variables. 
If T is a normally distributed r.v., the transformation Y = exp(T) transforms 
the normal pdf representing r.v. T with mean p, and standard deviation U, to a 
lognormal pdf,&), which is given by 
2.0 
1.8 
1.6 
1.4 
1.2 
1 .o 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0.0 
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 
Figure 2.6 Lognormal distribution. 
Basic Reliability Mathematics 53 
PI-(-" < T < 0) = Pr(-w < 2 = - 1700/280 = -6.07) = 6.42 x 10"" 
which can be considered as negligible. So, finally, one can write 
Pr(-a < T < 1000) = Pr(0 < T < 1000) = Pr(-a < Z < -2.5) = 0.0062 
L ognorma I Distribution 
A positively defined random variable is said to be lognormally distributed 
if its logarithm is normally distributed. The lognormal distribution has 
considerable applications in engineering. One major application of this distribution 
is to represent a random variable that is the result of multiplication of many 
independent random variables. 
If T is a normally distributed r.v., the transformation Y = exp(T) transforms 
the normal pdf representing r.v. T with mean p, and standard deviation U, to a 
lognormal pdf,&), which is given by 
2.0 
1.8 
1.6 
1.4 
1.2 
1 .o 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0.0 
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 
Figure 2.6 Lognormal distribution. 
Distribuição	
  Exponencial	
  
Essa	
   distribuição	
   foi	
   historicamente	
   a	
   primeira	
   distribuição	
   usada	
  
como	
   um	
  modelo	
   de	
   distribuição	
   do	
   tempo	
   até	
   a	
   falha,	
   e	
   ainda	
   é	
   o	
  
mais	
  utilizado	
  em	
  problemas	
  de	
  confiabilidade.	
  
A	
  distribuição	
  tem	
  somente	
  um	
  parâmetro	
  na	
  PDF;	
  
	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Conhnuas 
Distribuição	
  Exponencial	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Basic Reliability Mathematics 55 
From (2.47) and (2.48), p, and o, can also be determined in terms of pl and ol. 
(2.49) 
(2.50) 
Exponential Distribution 
This distribution was historically the first distribution used as a model of 
time-to-failure distribution, and it is still the most widely used in reliability 
problems. The distribution has one-parameter pdf given by 
(2.5 I ) 
Figure 2.7 Exponential distribution. 
Figure 2.7 illustrates the exponential pdf. In reliability engineering applications, 
the parameter A is referred to as the failure rate. This notion is introduced in 
Basic Reliability Mathematics 55 
From (2.47) and (2.48), p, and o, can also be determined in terms of pl and ol. 
(2.49) 
(2.50) 
Exponential Distribution 
This distribution was historically the first distribution used as a model of 
time-to-failure distribution, and it is still the most widely used in reliability 
problems. The distribution has one-parameter pdf given by 
(2.5 I ) 
Figure 2.7 Exponential distribution. 
Figure 2.7 illustrates the exponential pdf. In reliability engineering applications, 
the parameter A is referred to as the failure rate. This notion is introduced in 
Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Esta	
  distribuição	
  é	
  amplamente	
  usado	
  para	
  representar	
  o	
  tempo	
  até	
  a	
  
falha	
  ou	
  a	
  duração	
  de	
  vida	
  dos	
  componentes,	
  bem	
  como	
  sistemas;	
  
A	
   V.A.	
   contínua	
   T	
   representa	
   o	
   tempo	
   até	
   a	
   falha	
   segue	
   uma	
  
distribuição	
  Weibull	
  se	
  o	
  seu	
  pdf	
  é	
  dado	
  por:	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Conhnuas 
Distribuição	
  Weibull	
  
Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  -­‐	
  Discreta 
Basic Reliability Mathematics 57 
(2 .52) 
L 0, otherwise 
Figure 2.8 shows the Weibull pdf‘s with various values of parameters of a 
and (3. A careful inspection of these graphs reveals that the parameter (3 determines 
the shape of the distribution pdf. Therefore, p is referred to as the shape 
parameter. The parameter a, on the other hand, controls the scale of the 
distribution. For this reason, a is referred to as the scale parameter. In the case 
when p = 1, the Weibull distribution is reduced to the exponential distribution with 
A = l /a , so the exponentialdistribution is a particular case of the Weibull 
distribution. For the values of p > 1, the distribution becomes bell-shaped with 
some skew. We will elaborate on this distribution and its use in reliability analysis, 
further in Chapter 3. 
Figure 2.8 Weibull distribution. 
Basic Reliability Mathematics 57 
(2 .52) 
L 0, otherwise 
Figure 2.8 shows the Weibull pdf‘s with various values of parameters of a 
and (3. A careful inspection of these graphs reveals that the parameter (3 determines 
the shape of the distribution pdf. Therefore, p is referred to as the shape 
parameter. The parameter a, on the other hand, controls the scale of the 
distribution. For this reason, a is referred to as the scale parameter. In the case 
when p = 1, the Weibull distribution is reduced to the exponential distribution with 
A = l /a , so the exponential distribution is a particular case of the Weibull 
distribution. For the values of p > 1, the distribution becomes bell-shaped with 
some skew. We will elaborate on this distribution and its use in reliability analysis, 
further in Chapter 3. 
Figure 2.8 Weibull distribution. 
Referências	
  
•  DROGUETT,	
   E.L.	
   (2002)	
   –	
   Elementos	
   de	
   Probabilidade	
   e	
   EstaGsHca	
  
Aplicados	
   a	
   Análise	
   de	
   Confiabilidade	
   e	
   Risco.	
   Material	
   de	
   aula.	
  
Departamento	
   de	
   Engenharia	
   de	
   Produção	
   –	
   Centro	
   de	
   Tecnologia	
   e	
  
Geociência,	
  Universidade	
  Federal	
  de	
  Pernambuco.	
  21	
  páginas.	
  
•  MODARRES,	
   M.;	
   KAMINSKIY,	
   M.	
   &	
   KRIVTSOV,	
   V.	
   (2013)	
   –	
   Reliability	
  
Engineering	
  and	
  Risk	
  Analysis,	
  New	
  York.	
  
•  P.,	
   DOANE,	
   D.,	
   SEWARD,	
   E..	
   EstaGsHca	
   Aplicada	
   à	
   Administração	
   e	
  
Economia,	
  4th	
  EdiHon.	
  AMGH,	
  01/2014.	
  VitalBook	
  file.	
  
ELEMENTOS DA CONFIABILIDADE 
DE COMPONENTES 
3.1 Denifinção de Componentes vs Sistema Não Reparáveis 
3.2 Conceito de Confiabilidade 
3.3 Definição de Taxa de Falha 
3.4 Definição de Confiabilidade Condicional 
3.3 Distribuições Confiabilidade mais Comuns 
ELEMENTOS DA CONFIABLIDADE DE COMPONENTES 
Sistema	
  é	
  um	
  conjunto	
  de	
  dois	
  ou	
  mais	
  componentes	
  interconectados	
  
para	
  a	
  realização	
  de	
  uma	
  ou	
  mais	
  funções;	
  
A	
   distinção	
   entre	
   sistema,	
   subsistema	
   e	
   componente	
   é	
   meramente	
   por	
  
conveniência	
   de	
  modelagem	
   e	
   determinada,	
  muitas	
   vezes	
   na	
   prática,	
   pelo	
  
nível	
  de	
  detalhamento	
  desejado	
  assim	
  como	
  pelo	
  nível	
  de	
  informação	
  (dados	
  
de	
   falha,	
   manutenção,	
   etc)	
   que	
   se	
   tem	
   a	
   disposição.	
   Veja	
   a	
   seguinte	
  
ilustração.	
  
Componentes	
  vs	
  Sistemas	
  Não	
  Reparáveis 
Componente	
  ou	
  Sistema	
  Não	
  Reparável:	
  
	
  É	
  aquele	
  que	
  está	
  operando	
  em	
  t	
  =	
  0	
  (início	
  do	
  período	
  de	
  observação)	
  e	
  
que	
  continua	
  em	
  serviço	
  até	
  o	
  tempo	
  de	
  falha	
  em	
  T	
  =	
  t;	
  
Ao	
  ocorrer	
  uma	
  falha,	
  nós	
  não	
  consideramos	
  a	
  possibilidade	
  de	
  o	
  mesmo	
  
ser	
  reparado	
  e	
  colocado	
  novamente	
  em	
  operação	
  	
  
Assim,	
  pode-­‐se	
  considerar	
  que	
  um	
  componente	
  não	
  reparável	
  é	
  aquele	
  
que	
  é	
  descartado	
  ou	
  substituído	
  por	
  um	
  novo	
  componente	
  quando	
  o	
  
mesmo	
  falha:	
  
A	
  “manutenção” de	
  um	
  sistema	
  Não	
  Reparável	
  compreende	
  em	
  sua	
  
completa	
  substituição	
  por	
  um	
  novo	
  componente	
  
Componentes	
  vs	
  Sistemas	
  Não	
  Reparáveis 
Componente	
  ou	
  Sistema	
  Não	
  Reparável:	
  
A	
   confiabilidade	
   de	
   sistemas/componentes	
   não	
   reparáveis	
   é	
   analisada	
  
através	
  da	
  distribuição	
  do	
  tempo	
  de	
  falha;	
  
Esta	
   distribuição	
   pode	
   ser	
   representada	
   pela	
   função	
   de	
   densidade	
   de	
  
probabilidade	
   (PDF),	
   função	
   de	
   distribuição	
   acumulada	
   (CDF),	
   ou	
   taxa	
   de	
  
falha:	
  
Exemplos:	
  
Lâmpadas	
  
Transistores	
  
Alguns	
  tipos	
  de	
  satélites	
  não	
  passíveis	
  de	
  manutenção	
  
Componentes	
  vs	
  Sistemas	
  Não	
  Reparáveis 
Componente	
  ou	
  Sistema	
  Reparável:	
  	
  
•  É	
  aquele	
  que	
  após	
  falhar	
  é	
  colocado	
  novamente	
  em	
  operação	
  através	
  de	
  
qualquer	
  procedimento	
  que	
  não	
  seja	
  a	
  completa	
  substituição	
  do	
  mesmo	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  É	
  passível	
  de	
  manutenção	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  Sofre	
  reparo	
  
	
  
Utilizaremos	
   o	
   termo	
   componente	
   para	
   nos	
   referirmos	
   ao	
   item	
   a	
   ser	
  
analisado	
  
Componentes	
  vs	
  Sistemas	
  Não	
  Reparáveis 
Confiabilidade,	
   é	
   definida	
   como	
   a	
   probabilidade	
   R(t)	
   que	
   um	
   sistema	
  
(componente)	
  irá	
  funcionar	
  durante	
  algum	
  período	
  de	
  tempo	
  t;	
  
Sendo	
  T	
   a	
   variável	
   aleatória	
   contínua	
   que	
   expressa	
   o	
   tempo	
   de	
   falha	
   do	
  
componente,	
  T	
  ≥	
  0	
  ,	
  a	
  Função	
  de	
  Confiabilidade,	
  R(t)	
  ,	
  pode	
  ser	
  expressa	
  
como:	
  
	
  
Onde	
   t	
   é	
   o	
   instante	
   final	
   do	
   período	
   durante	
   o	
   qual	
   o	
   componente	
   é	
  
observado,	
  é	
  o	
  tempo	
  de	
  missão	
  do	
  mesmo;	
  
O	
  componente	
  falha	
  em	
  t	
  ou	
  após	
  t;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  função	
  de	
  confiabilidade,	
  R(t)	
  ,	
  deve	
  satisfazer	
  três	
  condições:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  função	
  de	
  confiabilidade	
  pode	
  ser	
  interpretada	
  de	
  duas	
  formas:	
  
	
  
•  R(t)	
   é	
   a	
   probabilidade	
   que	
   um	
   determinado	
   componente	
   esteja	
  
operando	
  em	
  t;	
  
•  Se	
   observarmos	
   um	
   conjunto	
  dos	
  mesmos	
   componentes,	
  R(t)	
   é	
   a	
  
fração	
  esperada	
  da	
  população	
  que	
  está	
  operacional	
  em	
  t.	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Como	
  R2(t)	
  >	
  R1(t)	
   para	
   todo	
  0	
  ≤	
   t	
  ≤	
  
+∞	
   ,	
   pode-­‐se	
   dizer	
   que	
   equipamentos	
  
feitos	
  por	
  fabricante	
  2,	
  são	
  superiores	
  
do	
   que	
   os	
   feitos	
   pelo	
   fabricante	
   1	
  
quanto	
  a	
  confiabilidade;	
  
•  	
   A	
   função	
   de	
   confiabilidade	
   pode	
   ser	
   usada	
   para	
   comparar	
   o	
  
comportamento	
  de	
  diversos	
  componentes:	
  
•  Por	
   exemplo,	
   considere	
   dois	
   componentes	
   iguais	
   produzidos	
   por	
  
diferentes	
   fabricantes,	
   cujas	
   curvas	
   de	
   confiabilidade	
   são	
   mostradas	
   a	
  
seguir:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
• 	
  A	
  Função	
  de	
  Distribuição	
  Acumulada	
  é	
  definida	
  como	
  
	
  
	
  
Logo,	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Corresponde	
  a	
  probabilidade	
  que	
  o	
  componente	
  falhe	
  antes	
  de	
  t.	
  
Note	
  que:	
  
	
  
	
  
	
  
F(t)	
  é	
  Monotonicamente	
  crescente	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
•  	
  A	
  Função	
  de	
  Densidade	
  de	
  Probabilidade	
  é	
  definida	
  por:	
  
	
  	
  
•  A	
  PDF	
  descreve	
  a	
  forma	
  da	
  distribuição	
  do	
  tempo	
  de	
  falha;	
  
•  É	
  a	
  representação	
  “visual”	
  da	
  distribuição	
  do	
  tempo	
  de	
  falha.	
  	
  
•  	
  As	
  propriedades	
  da	
  PDF	
  são:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
•  	
  Tendo-­‐se	
  a	
  f(t),	
  podemos	
  obter	
  R(t)	
  e	
  F(t):	
  
	
  
•  	
  Probabilidade	
  de	
  Falha	
  F(t):	
  
•  	
  Integrando,	
  
•  	
  Resultando	
  em:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
• 	
  Tendo-­‐sea	
  f(t),	
  podemos	
  obter	
  R(t)	
  e	
  F(t):	
  
	
  
• 	
  Função	
  Confiabilidade:	
  
	
  
	
  
• 	
  Integrando,	
  
	
  
• 	
  Resultando	
  em:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
•  	
  F(to)	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  falha	
  antes	
  de	
  to;	
  
•  	
  R(to)	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  a	
  falha	
  ocorra	
  após	
  ou	
  em	
  to;	
  
	
  Assim,	
  se	
  observarmos	
  uma	
  população	
  dos	
  mesmos	
  componentes:	
  
•  F(to)	
  corresponde	
  à	
  fração	
  de	
  componentes	
  que	
  falharão	
  antes	
  de	
  to,	
  
•  R(to)	
  é	
  a	
  fração	
  de	
  componentes	
  que	
  irão	
  falhar	
  após	
  ou	
  em	
  to;	
  	
  	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
•  	
  A	
  probabilidade	
  de	
  que	
  uma	
  falha	
  ocorra	
  entre	
  os	
  instantes	
  T	
  =	
  t1	
  e	
  T	
  
=	
  t2,	
  ou	
  seja,	
  dentro	
  do	
  intervalo	
  de	
  tempo	
  [t1,	
  t2]	
  é	
  dada	
  por:	
  
•  O	
  que	
  resulta	
  em:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
• 	
  Exercício	
  1:	
  
Dada	
  a	
  seguinte	
  função	
  de	
  densidade	
  de	
  probabilidade	
  para	
  o	
  tempo	
  de	
  
falha	
  (em	
  horas	
  de	
  operação)	
  de	
  um	
  compressor,	
  
	
  
	
  
	
  
a.  Qual	
  é	
  a	
  confiabilidade	
  para	
  uma	
  missão	
  de	
  100	
  horas?	
  
b.  Qual	
   é	
   a	
   probabilidade	
   de	
   falha	
   deste	
   compressor	
   entre	
   10	
   e	
   100	
  
horas?	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
• 	
  O	
  Tempo	
  Médio	
  de	
  Falha	
  (MTTF	
  –	
  Mean	
  Time	
  To	
  Failure)	
  é	
  definido	
  
por	
  
	
  
•  Corresponde	
   a	
   média,	
   ou	
   valor	
   esperado,	
   da	
   distribuição	
   de	
  
probabilidade	
  do	
  tempo	
  de	
  falha	
  T;	
  
	
  
Outra	
  forma	
  de	
  calcular	
  o	
  MTTF:	
  
	
  
	
  
•  A	
   qual	
   é	
   uma	
   expressão	
   mais	
   fácil	
   de	
   aplicar	
   na	
   prática	
   do	
   que	
   a	
  
anterior.	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Outras	
   medidas	
   de	
   tendência	
   central	
   da	
   Distribuição	
   do	
  
Tempo	
  de	
  Falha	
  
	
  	
  
•  A	
   média,	
   MTTF,	
   do	
   tempo	
   de	
   falha	
   de	
   um	
   componente	
   é	
  
apenas	
  uma	
   das	
   possíveis	
  medidas	
  de	
   tendência	
   central	
   da	
  
distribuição	
  de	
  T	
  .	
  	
  
•  Outras	
   medidas	
   são	
   também	
   usadas	
   em	
   análise	
   de	
  
confiabilidade;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Outras	
  medidas	
   de	
   tendência	
   central	
   da	
  Distribuição	
  do	
  Tempo	
  de	
  
Falha	
  
	
  
Mediana:	
  
• 	
  A	
  mediana	
  do	
  tempo	
  de	
  falha	
  T	
  de	
  um	
  componente	
  é	
  definida	
  como:	
  
	
  
	
  
• 	
  Equivalentemente,	
  para	
  uma	
  população	
  de	
  componentes,	
  tem-­‐se	
  50%	
  das	
  
falhas	
  ocorrendo	
  antes	
  da	
  mediana	
  de	
  T,	
  e	
  50%	
  das	
  falhas	
  acontecendo	
  após	
  
T;	
  	
  
Na	
   prática,	
   a	
   mediana	
   tmed	
   é	
  
preferível	
   à	
  média	
   (MTTF),	
   quando	
   a	
  
distribuição	
   de	
   T	
   é	
   altamente	
   não	
  
simétrica	
  (a	
  distribuição	
  é	
  	
  “skewed”)	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Outras	
  medidas	
   de	
   tendência	
   central	
   da	
  Distribuição	
  do	
  Tempo	
  de	
  
Falha	
  
	
  
Moda:	
  
	
  
•  tmod	
   equivale	
   ao	
  máximo	
  da	
   função	
  de	
   densidade	
  de	
   probabilidade	
  
(PDF);	
  
•  Portanto,	
   para	
   um	
   intervalo	
   de	
   tempo	
   em	
   torno	
   da	
   moda	
   tmod,	
   a	
  
probabilidade	
   de	
   falha	
   será	
   maior	
   neste	
   intervalo	
   do	
   que	
   para	
  
qualquer	
  outro	
  intervalo	
  de	
  tempo	
  do	
  mesmo	
  tamanho.	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Outras	
  medidas	
   de	
   tendência	
   central	
   da	
  Distribuição	
  do	
  Tempo	
  de	
  
Falha	
  
Observe	
  no	
  gráfico	
  da	
  densidade	
  de	
  probabilidade	
  (PDF)	
  as	
  posições	
  
relativas	
  entre	
  o	
  MTTF,	
  tmed	
  e	
  tmod	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Outras	
  medidas	
   de	
   tendência	
   central	
   da	
  Distribuição	
  do	
  Tempo	
  de	
  
Falha	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Relação	
  da	
  simetria	
  da	
  PDF	
  e	
  o	
  comportamento	
  do	
  MTTF,	
  tmed	
  e	
  tmod	
  
Outras	
  medidas	
   de	
   tendência	
   central	
   da	
  Distribuição	
   do	
   Tempo	
  
de	
  Falha	
  
	
  
Exerçicio	
  2	
  
• 	
  Considere	
  a	
  seguinte	
  PDF:	
  
	
  
com	
  t	
  em	
  horas.	
  Determine:	
  
a.  A	
  função	
  de	
  confiabilidade;	
  
b.  O	
  MTTF;	
  
c.  A	
  mediana	
  t	
  do	
  tempo	
  de	
  falha;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Outras	
  medidas	
  de	
  tendência	
  central	
  da	
  Distribuição	
  do	
  Tempo	
  de	
  
Falha	
  
	
  
Importante!!:	
  
	
  
•  Mesmo	
   que	
   dois	
   componentes	
   possuam	
   o	
   mesmo	
   MTTF,	
   as	
   suas	
  
confiabilidades	
   podem	
   ser	
   bem	
   distintas	
   para	
   o	
   mesmo	
   tempo	
  
operacional!	
  
•  Veja	
  o	
  exemplo	
  a	
  seguir;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Exercício	
  3:	
  
	
  
	
  
com	
  MTTF1	
  =	
  500h	
  .	
  	
  
•  Considere	
  agora	
  que	
  temos	
  um	
  segundo	
  componente	
  cuja	
  confiabilidade	
  
é	
  fornecida	
  pela	
  seguinte	
  expressão:	
  
	
  
	
  
	
  
onde	
  MTTF2	
  =	
  500	
  h.	
  	
  
•  Ou	
  seja,	
  ambos	
  os	
  componente	
  possuem	
  tempos	
  médios	
  de	
  falha	
  iguais:	
  
MTTF1	
  =	
  MTTF2	
  .	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Exercício	
  3:	
  
	
  
Porém,	
  para	
  T	
  =	
  400	
  h	
  :	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
•  Resultando	
   em	
   níveis	
   de	
   confiabilidade	
   substancialmente	
   diferentes	
  
para	
  os	
  componentes	
  em	
  um	
  mesmo	
  período	
  de	
  operação!	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Observe	
   	
   a	
   variação	
   da	
   confiabilidade	
   no	
   tempo	
   para	
   ambos	
   os	
  
componentes	
  
•  Logo,	
  o	
  MTTF	
  por	
  si	
  só	
  não	
  caracteriza	
  completamente	
  a	
  distribuição	
  
do	
  tempo	
  de	
  falha;	
  
•  Outras	
  medidas	
  são	
  necessárias,	
  como	
  a	
  variância;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Variância:	
  
	
  
•  Como	
   vimos,	
   a	
   variância	
   é	
   uma	
   medida	
   de	
   dispersão	
   dos	
   tempos	
   de	
  
falha	
  em	
  torno	
  do	
  MTTF	
  (média):	
  
	
  
•  A	
  variância	
  também	
  pode	
  ser	
  dada	
  como:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Desvio	
  Padrão:	
  
	
  
•  Corresponde	
  a	
  raiz	
  quadrada	
  da	
  variância:	
  
•  É	
  mais	
   fácil	
  de	
   interpretar	
  do	
  que	
  a	
  variância	
  σ2	
  uma	
  vez	
  que	
  o	
  desvio	
  
padrão	
  σ	
  possui	
  a	
  mesma	
  dimensão	
  (unidade)	
  do	
  tempo	
  de	
  falha	
  T;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Taxa	
  de	
  Falha	
  ou	
  Força	
  de	
  Mortalidade	
  Instantânea,	
  h(t):	
  
	
  
•  É	
  a	
  probabilidade	
  de	
  falha	
  por	
  unidade	
  de	
  tempo	
  do	
  componente	
  
(ou	
  sistema)	
  uma	
  vez	
  que	
  o	
  mesmo	
  tenha	
  operado	
  até	
  o	
  instante	
  
t	
  :	
  
	
  
•  Ou	
   seja,	
   a	
   taxa	
   de	
   falha	
   é	
   a	
   probabilidade	
   condicional	
   de	
   falha	
   por	
  
unidade	
  de	
  tempo	
  (instantânea)	
  dado	
  que	
  o	
  componente	
  (ou	
  sistema)	
  
já	
  tenha	
  operado	
  até	
  o	
  instante	
  t;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Taxa	
  de	
  Falha	
  Acumulada,	
  H(t):	
  
	
  
• 	
  Corresponde	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  acumulada	
  durante	
  um	
  período	
  de	
  tempo	
  t	
  ,	
  
i.e.,	
  [0,	
  t]	
  
	
  
	
  
§ 	
  H(t)	
  tem	
  as	
  seguintes	
  propriedades:	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Curva	
  da	
  Banheira	
  
	
  
•  A	
  formada	
  taxa	
  de	
  falha	
  indica	
  como	
  o	
  componente	
  “envelhece”,	
  
ou	
  seja,	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  mostra	
  as	
  mudanças	
  na	
  probabilidade	
  de	
  falha	
  
de	
  um	
  componente	
  ao	
  longo	
  de	
  sua	
  operação;	
  
•  Comportamento	
   da	
   taxa	
   de	
   falha:	
   em	
   geral,	
   podem-­‐se	
   identificar	
  
três	
  tipos	
  básicos	
  da	
  taxa	
  de	
  falha	
  (veja	
  a	
  figura	
  abaixo)	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Crescente:	
  
•  O	
  componente	
  está	
  sujeito	
  a	
  um	
  processo	
  de	
  desgaste;	
  
•  O	
   componente	
   possui	
   uma	
   maior	
   probabilidade	
   de	
   falha	
   à	
   medida	
   que	
   o	
   tempo	
  
operacional	
  aumenta;	
  
Decrescente:	
  
•  O	
   componente	
   possui	
   uma	
  menor	
   probabilidade	
   de	
   falha	
   com	
   o	
   passar	
   do	
   tempo	
  
operacional;	
  
•  Observa-­‐se	
  em	
  geral	
  no	
  início	
  da	
  operação	
  de	
  um	
  novo	
  componente	
  devido	
  a	
  falhas	
  
devido	
  a	
  erro	
  de	
  projeto,	
  manufatura	
  ou	
  construção,	
  ou	
  instalação	
  do	
  mesmo;	
  
Constante:	
  
•  O	
  componente	
  possui	
  uma	
  taxa	
  de	
  falha	
  aproximadamente	
  constante;	
  
•  As	
  falhas	
  são	
  aleatórias,	
  ou	
  seja,	
  a	
  probabilidade	
  de	
  falha	
  do	
  componente	
  é	
  a	
  mesma	
  
para	
  qualquer	
  valor	
  do	
  tempo	
  operacional;	
  
Conceito	
  de	
  Confiabilidade 
Curva	
  da	
  Banheira	
  
Exercício	
  4:	
  
A	
  taxa	
  de	
  falha	
  linear	
  de	
  um	
  equipamento	
  é	
  dada	
  por,	
  com	
  t	
  e	
  horas:	
  
(a)  Determine	
  a	
  função	
  de	
  confiabilidade	
  R(t)	
  	
  
(b)  Qual	
   o	
   Tempo	
  Operacional	
   para	
   um	
   confiabilidade	
   desejada	
   de	
  
98%?	
  
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -13-
a qual é a taxa de falha ou força de mortalidade instantânea.
 Taxa de Falha Acumulada, :H t( )
 Corresponde a taxa de falha acumulada durante um período de tempo ,t
i.e., [ , ]0 t
H t h d
t
( ) ( )= τ τ
0
 tem as seguintes propriedades:H t( )
H( )0 0=
, ou seja, o componente vai falhar!lim ( )
t
H t
→∞
= ∞
 É uma função não decrescenteH t( )
9. Caracterização do Tempo de Falha de um Componente
 Uma determinada função de densidade de probabilidade, função de confiabilidade,
função de distribuição acumulada, taxa de falha, ou taxa de falha acumulada
especifica/caracteriza completamente a distribuição do tempo de falha de um
componente
 Ou seja, com qualquer uma destas funções, ,f t R t F f h t H t( ), ( ), ( ), ( ), ( )
pode-se determinar qualquer uma das outras funções e assim caracterizar por
completo o comportamento do tempo de falha de um componente
 Por exemplo, a confiabilidade pode ser obtida a partir da taxa de falha da seguinte
forma:
[ ]R t h dt( ) exp ( )= − τ τ0
 Em geral,
H t h d R t
f
R
d
t t
( ) ( ) ln ( )
( )
( )
= = − =τ τ
τ
τ
τ
0 0
Exemplo 5:
Dada a taxa de falha linear , onde está em horas, qualh t x t( ) = −5 10 6 t
é o tempo de operação atingido para uma confiabilidade desejada de 98%?
Curva	
  da	
  Banheira	
  
Exercício	
  4:	
  
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -13-
a qual é a taxa de falha ou força de mortalidade instantânea.
 Taxa de Falha Acumulada, :H t( )
 Corresponde a taxa de falha acumulada durante um período de tempo ,t
i.e., [ , ]0 t
H t h d
t
( ) ( )= τ τ
0
 tem as seguintes propriedades:H t( )
H( )0 0=
, ou seja, o componente vai falhar!lim ( )
t
H t
→∞
= ∞
 É uma função não decrescenteH t( )
9. Caracterização do Tempo de Falha de um Componente
 Uma determinada função de densidade de probabilidade, função de confiabilidade,
função de distribuição acumulada, taxa de falha, ou taxa de falha acumulada
especifica/caracteriza completamente a distribuição do tempo de falha de um
componente
 Ou seja, com qualquer uma destas funções, ,f t R t F f h t H t( ), ( ), ( ), ( ), ( )
pode-se determinar qualquer uma das outras funções e assim caracterizar por
completo o comportamento do tempo de falha de um componente
 Por exemplo, a confiabilidade pode ser obtida a partir da taxa de falha da seguinte
forma:
[ ]R t h dt( ) exp ( )= − τ τ0
 Em geral,
H t h d R t
f
R
d
t t
( ) ( ) ln ( )
( )
( )
= = − =τ τ
τ
τ
τ
0 0
Exemplo 5:
Dada a taxa de falha linear , onde está em horas, qualh t x t( ) = −5 10 6 t
é o tempo de operação atingido para uma confiabilidade desejada de 98%?
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -14-
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 250 500 750 1000 1250 1500
Tempo de Operação [horas]
R(
t)
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
5.0E-03
6.0E-03
7.0E-03
8.0E-03
h(
t) 
Confiabilidade Taxa de Falha
Tem-se que:
[ ] [ ]
[ ]
R t h d x d
R t x t
t t
( ) exp ( ) exp
( ) exp .
= − = −
= −
−
−
τ τ τ τ
0
6
0
6 2
5 10
2 5 10
Para um nível de confiabilidade de 98% o tempo operacional
correspondente é:
[ ]R t x t( ) exp . .98 6 98 22 5 10 0 98= − =−
resolvendo para :t98
t horas98 89 89 90= ≈.
Observe no próximo gráfico o comportamento da taxa de falha e da
confiabilidade deste equipamento em função do tempo operacional.
Observe que com o aumento do tempo de operação do equipamento, o
mesmo apresenta uma menor confiabilidade. Ou seja, é menos provável
que este equipamento complete a sua missão uma vez que a probabilidade
condicional de falha do mesmo aumenta enquanto o equipamento se
mantém em serviço.
Exemplo 6 (Resolver):
No exemplo anterior, qual é a taxa de falha acumulada?
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -14-
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 250 500 750 1000 1250 1500
Tempo de Operação [horas]
R(
t)
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
5.0E-03
6.0E-03
7.0E-03
8.0E-03
h(
t) 
Confiabilidade Taxa de Falha
Tem-se que:
[ ] [ ]
[ ]
R t h d x d
R t x t
t t
( ) exp ( ) exp
( ) exp .
= − = −
= −
−
−
τ τ τ τ
0
6
0
6 2
5 10
2 5 10
Para um nível de confiabilidade de 98% o tempo operacional
correspondente é:
[ ]R t x t( ) exp . .98 6 98 22 5 10 0 98= − =−
resolvendo para :t98
t horas98 89 89 90= ≈.
Observe no próximo gráfico o comportamento da taxa de falha e da
confiabilidade deste equipamento em função do tempo operacional.
Observe que com o aumento do tempo de operação do equipamento, o
mesmo apresenta uma menor confiabilidade. Ou seja, é menos provável
que este equipamento complete a sua missão uma vez que a probabilidade
condicional de falha do mesmo aumenta enquanto o equipamento se
mantém em serviço.
Exemplo 6 (Resolver):
No exemplo anterior, qual é a taxa de falha acumulada?
Curva	
  da	
  Banheira	
  
Exercício	
  5:	
  Um	
  compressor	
  tem	
  confiabilidade	
  dada	
  por,	
  onde	
  a	
  é	
  um	
  
parâmetro	
   representando	
   o	
   tempo	
   máximo	
   (útil)	
   de	
   operação	
   do	
  
compressor.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
a)  Encontre	
  f	
  (t)	
  
b)  Determine	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  do	
  compressor	
  
c)  Determine	
  o	
  MTTF	
  	
  
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -15-
h(t)
t
Decrescente
Constante
Crescente
Exemplo 7 (Resolver):
Um compressor tem confiabilidade dada por:
R t
t
a
t a( ) ;= − ≤ ≤1 0
2
2
onde é um parâmetro representando o tempo máximo (útil) dea
operação do compressor. (a) Encontre , (b) determine a taxa def t( )
falha do compressor, © e o seu MTTF, (d) construir os gráficos da
confiabilidade, PDF e taxa de falha deste equipamento em função do seu
tempo operacional.
10. A Curva da Banheira
 A forma da taxa de falha indica como o componente “envelhece”, ou seja, a taxa
de falha mostra as mudanças na probabilidade de falha de um componente ao
longo de sua operação
 Comportamento da taxa de falha: em geral, podem-se identificar três tipos
básicos da taxa de falha (veja a próxima
figura)
 Crescente:
O componente está sujeito a um processo de desgaste
O componente possui uma maior probabilidade de falha à medida
que o tempo operacionalaumenta
 Decrescente:
O componente possui uma menor probabilidade de falha com o
passar do tempo operacional
Observa-se em geral no início da operação de um novo
Confiabilidade	
  Condicional	
  
Confiabilidade	
  Condicional	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  componente	
  
(ou	
  sistema)	
  irá	
  operar	
  por	
  um	
  tempo	
  adicional	
  t	
  dado	
  que	
  o	
  mesmo	
  já	
  
tenha	
  operado	
  durante	
  um	
  período	
  T0	
  
A	
  confiabilidade	
  de	
  um	
  componente	
   (ou	
   sistema)	
  operar	
  por	
  um	
  tempo	
  
adicional	
  t	
  uma	
  vez	
  que	
  o	
  mesmo	
  já	
  tenha	
  operado	
  por	
  um	
  período	
  T0	
  é:	
  
)(
)()/(
BP
BAPBAP ∩ P(t /T0 ) =
P (T ≥ T0 + t)∩ (T ≥ t0 )[ ]
P(T ≥ T0 )
R(t /T0 ) =
P (T ≥ T0 + t)[ ]
P(T ≥ T0 )
Confiabilidade	
  Condicional	
  
Período	
  de	
  Burn-­‐In	
  (Queima).	
  
	
  
Exercício	
   6:	
   Um	
   determinado	
   componente	
   eletrônico	
   usado	
   em	
   um	
  
tubo	
  de	
  raio-­‐x,	
  possui	
  uma	
  taxa	
  de	
  falha	
  (decrescente),	
  com	
  t	
  em	
  anos.	
  
Seja	
  a	
  Taxa	
  de	
  Falha:	
  
	
  
	
  
	
  
a)  Qual	
  o	
  tempo	
  de	
  operação	
  para	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  90%:	
  
Confiabilidade	
  Condicional	
  
Período	
  de	
  Burn-­‐In	
  (Queima).	
  
	
  
Exercício	
  7:	
  Suponha	
  agora	
  que	
  o	
  fabricante	
  realiza	
  um	
  “burn-­‐in”	
  de	
  6	
  
meses	
  para	
  estes	
  componentes	
  antes	
  de	
  enviá-­‐los	
  ao	
  consumidor	
  (i.e.,	
  o	
  
fabricante	
  dos	
  tubos	
  de	
  raio-­‐x).	
   	
  Temos	
  agora	
  T0	
  =	
  6	
  meses	
  =	
  0.5	
  ano.	
  
Dica:	
  Confiabilidade	
  Condicional!	
  
	
  	
  
a)  Qual	
  o	
  tempo	
  de	
  operação	
  para	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  90%	
  :	
  
Confiabilidade	
  Condicional	
  
Período	
  de	
  Burn-­‐In	
  (Queima).	
  
	
  
Exercício	
  8:	
  Considere	
  que	
  um	
  motor	
  elétrico	
  de	
  VLT	
  possui	
  a	
  seguinte	
  
taxa	
  de	
  falha,	
  onde	
  t	
  é	
  medido	
  em	
  anos:	
  
Observe	
  que	
  agora	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  é	
  crescente.	
  
	
  
	
  
a)  Qual	
  o	
  tempo	
  de	
  operação	
  para	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  90%	
  :	
  
Confiabilidade	
  Condicional	
  
Período	
  de	
  Burn-­‐In	
  (Queima).	
  
	
  
Exercício	
   9:	
   Considerando	
   agora	
   um	
   período	
   de	
   “burn-­‐in”	
   de	
   1	
   mês	
  
apenas	
   (0,083	
   ano).	
   Temos	
   agora	
   T0	
   =	
   1	
   meses	
   =	
   0.083	
   ano.	
   Dica:	
  
Confiabilidade	
  Condicional!	
  
	
  
a)  Qual	
  o	
  tempo	
  de	
  operação	
  para	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  90%	
  :	
  
A	
  distribuições	
  a	
  serem	
  discutidas	
  são:	
  
	
  
• Distribuição	
  Exponencial	
  
• Distribuição	
  de	
  Weibull	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Estas	
   distribuições	
   de	
   probabilidade	
   são	
   ditas	
   teóricas	
   uma	
   vez	
   que	
   as	
  
mesmas	
  são	
  obtidas	
  matematicamente	
  e	
  não	
  empiricamente	
  
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
É	
   uma	
   das	
   mais	
   conhecidas	
   e	
   usadas	
   distribuições	
   de	
   probabilidade	
   em	
  
análise	
  de	
  confiabilidade	
  de	
  sistemas:	
  
Fácil	
  de	
  usar:	
  matematicamente	
  simples	
  requerendo	
  apenas	
  a	
  quantificação	
  
de	
  um	
  único	
  parâmetro	
  
Aplicável	
  em	
  situações	
  onde	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  é	
  (aproximadamente)	
  constante:	
  
As	
  falhas	
  são	
  aleatórias;	
  
O	
   componente	
  ou	
   sistema	
  não	
  deteriora	
  ou	
  melhora	
   com	
  o	
   tempo	
  em	
  
operação;	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
Parte-­‐se	
  do	
  princípio	
  de	
  que	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  é	
  constante:	
  
	
  
	
  
	
  
Confiabilidade,	
  	
  
Sabemos	
  que:	
  como	
  h(t)	
  =	
  λ	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Função	
  Probabilidade	
  de	
  Falha	
  
	
  
	
  
Logo,	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Função	
  Densidade	
  de	
  Probabilidade	
  
	
  
	
  
Logo,	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
O	
  Tempo	
  Médio	
  de	
  Falha	
  (MTTF	
  –	
  Mean	
  Time	
  To	
  Failure)	
  é	
  definido	
  
por	
  
	
  
	
  
Substituindo:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Variância	
   -­‐	
   Como	
   vimos,	
   a	
   variância	
   é	
   uma	
   medida	
   de	
   dispersão	
   dos	
  
tempos	
  de	
  falha	
  em	
  torno	
  do	
  MTTF	
  (média):	
  
	
  
	
  
• 	
  A	
  variância	
  também	
  pode	
  ser	
  dada	
  como:	
  
• 	
  Variância	
  da	
  Exponencial	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
Característica	
  interessante!!	
  
	
  	
  
	
  
Uma	
  importante	
  característica	
  da	
  distribuição	
  exponencial	
  é	
  observada	
  ao	
  
se	
  obter	
  a	
  confiabilidade	
  atingida	
  para	
  um	
  tempo	
  operacional	
  equivalente	
  
ao	
  MTTF:	
  
Um	
  equipamento	
   cujo	
   tempo	
  de	
   falha	
   segue	
  a	
  distribuição	
  exponencial,	
  
possui	
  chance	
  um	
  pouco	
  melhor	
  do	
  que	
  1/3	
  de	
  sobreviver	
  até	
  o	
  seu	
  MTTF!	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
•  Idealmente,	
  o	
  período	
  de	
  taxa	
  de	
   falha	
  constante	
  deve	
  dominar	
  a	
  
vida	
  útil	
  do	
  sistema;	
  
•  Em	
   situações	
   em	
   que	
   a	
   taxa	
   de	
   falha	
   do	
   componente	
   ou	
   sistema	
   é	
  
constante	
  ou	
  aproximadamente	
  constante;	
  
•  Em	
   situações	
   em	
   que	
   um	
   componente	
   possui	
   distintos	
  
comportamentos	
   da	
   taxa	
   de	
   falha	
   ao	
   longo	
   do	
   período	
   em	
   que	
   o	
  
mesmo	
  é	
  utilizado,	
  a	
  distribuição	
  exponencial	
  é	
  predominante;	
  
•  Em	
  geral	
  componentes	
  eletrônicos;	
  
•  Para	
  simplificar	
  a	
  análise	
  de	
  sistemas	
  complexos:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Exercício	
  10:	
  Um	
  sistema	
  de	
  radar	
  possui	
  uma	
  taxa	
  de	
  falha	
  constante	
  
de	
  0,00034	
  falha	
  por	
  hora	
  de	
  operação.	
  
	
  
a)  Calcule	
  o	
  MTTF;	
  
b)  Confiabilidade	
  para	
  30	
  dias	
  de	
  operação.	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Características:	
  
•  O	
   Modelo	
   Exponencial	
   implica	
   que	
   um	
   componente	
   não	
   sofre	
  
desgaste;	
  
•  Consideremos	
   que	
   um	
   determinado	
   componente	
   já	
   tenha	
   operado	
  
por	
  um	
  período	
  T0	
  e	
  que	
  nós	
  estejamos	
  interessados	
  em	
  determinar	
  
a	
   confiabilidade	
   em	
   um	
   período	
   adicional	
   de	
   tempo	
   t	
   (veja	
  
ilustração);	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Características:	
  
	
  
	
  
	
  
Ou	
   seja,	
   nós	
   estamos	
   interessados	
   na	
   confiabilidade	
   condicional	
   deste	
  
equipamento	
  completar	
  uma	
  missão	
  t	
  uma	
  vez	
  que	
  o	
  mesmo	
  tenha	
  estado	
  
em	
  operação	
  (e	
  sem	
  falhas)	
  por	
  T0	
  :	
  
O	
  tempo	
  de	
  falha	
  depende	
  somente	
  do	
  tamanho	
  do	
   intervalo	
  de	
  tempo	
  de	
  
operação	
  (t)	
  e	
  não	
  do	
  tempo	
  operacional	
  acumulado	
  do	
  equipamento	
  (T	
  0).	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Características:	
  
•  Um	
   sistema	
   ou	
   componente	
   cujo	
   tempo	
   de	
   falha	
   é	
   descrito	
   por	
   umadistribuição	
  exponencial	
  não	
  sofre	
  desgaste;	
  
•  Por	
   exemplo,	
   a	
   probabilidade	
   de	
   falha	
   de	
   um	
   componente	
   para	
   uma	
  
missão	
  de	
  30	
  horas	
  dado	
  que	
  o	
  mesmo	
  se	
  encontre	
  em	
  operação	
  sem	
  
falhas	
   por	
   1.000	
   horas	
   será	
   idêntica	
   à	
   de	
   um	
   componente	
   novo	
  
(assumindo	
  que	
  ambos	
  seguem	
  a	
  distribuição	
  exponencial	
  com	
  a	
  mesma	
  
taxa	
  de	
  falha);	
  
•  Assim,	
   um	
   componente	
   que	
   segue	
   a	
   distribuição	
   exponencial	
   não	
  
lembra	
  por	
  quanto	
  tempo	
  o	
  mesmo	
  já	
  operou;	
  
A	
  distribuição	
  exponencial	
  não	
  possui	
  memória!	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Exercício	
   11:	
  O	
   tempo	
   de	
   operação	
   de	
   um	
   determinado	
   equipamento	
   é	
  
distribuído	
  exponencialmente	
  com	
  MTTF	
  de	
  500	
  h.	
  
	
  
a)  Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  deste	
  equipamento	
  operar	
  sem	
  falhas	
  por	
  
600	
  horas?	
  
b)  Se	
   o	
   mesmo	
   tem	
   estado	
   em	
   operação	
   por	
   600	
   horas,	
   qual	
   é	
   a	
  
probabilidade	
   deste	
   equipamento	
   falhar	
   dentro	
   das	
   próximas	
   100	
  
horas	
  de	
  operação?	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Exponencial	
  
	
  
Exercício	
  11:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
• 	
  Taxa	
  de	
  falha	
  
	
  
	
  
É	
  uma	
  distribuição	
  de	
  probabilidade	
  flexível	
  a	
  qual	
  permite	
  descrever	
  
taxas	
  de	
  falha	
  constante,	
  crescente	
  e	
  decrescente,	
  sendo	
  uma	
  das	
  mais	
  
empregadas	
  em	
  engenharia	
  de	
  confiabilidade;	
  onde	
  α,	
  β	
  são	
  os	
  parâmetros	
  
da	
  distribuição:	
  
	
  
α	
  ≡	
  é	
  o	
  parâmetro	
  de	
  escala,	
  adimensional;	
  
β	
  ≡	
  é	
  o	
  parâmetro	
  de	
  forma,	
  dimensão	
  de	
  tempo;	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Função	
  Confiabilidade:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Função	
  Probabilidade	
  de	
  Falha:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Função	
  Densidade	
  de	
  Probabilidade:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  β	
  (Parâmetro	
  de	
  Forma)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -32-
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
f(t
)
β=0.5 β=1.5 β=2.0 β=4.0
Valor Propriedade
0 1< <β h(t) decrescente
β = 1 h(t) constante (dist. Exponencial)
1 2< <β h(t) crescente e côncava
β = 2 h(t) crescente e linear (dist. Rayleigh)
β > 2 h(t) crescente e convexa
3 4≤ ≤β h(t) crescente e aprox. simétrica (dist. Normal)
Observe os próximos gráficos da PDF e da taxa de falha para a
distribuição de Weibull com diferentes valores do parâmetro de
forma e para um mesmo valor do parâmetro de escala ( )α = 3
Para	
  β	
  =	
  3,6	
  ,	
  a	
  distribuição	
  de	
  Weibull	
  é	
  aproximadamente	
  a	
  distribuição	
  Normal	
  
Para	
  β	
  =	
  2.5	
  ,	
  a	
  distribuição	
  de	
  Weibull	
  é	
  aproximadamente	
  a	
  distribuição	
  LogNormal	
  
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  β	
  (Parâmetro	
  de	
  Forma)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull	
  para	
  diferentes	
  β	
  e	
  o	
  α	
  =	
  3:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -32-
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
f(t
)
β=0.5 β=1.5 β=2.0 β=4.0
Valor Propriedade
0 1< <β h(t) decrescente
β = 1 h(t) constante (dist. Exponencial)
1 2< <β h(t) crescente e côncava
β = 2 h(t) crescente e linear (dist. Rayleigh)
β > 2 h(t) crescente e convexa
3 4≤ ≤β h(t) crescente e aprox. simétrica (dist. Normal)
Observe os próximos gráficos da PDF e da taxa de falha para a
distribuição de Weibull com diferentes valores do parâmetro de
forma e para um mesmo valor do parâmetro de escala ( )α = 3
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  β	
  (Parâmetro	
  de	
  Forma)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull	
  para	
  diferentes	
  β	
  e	
  o	
  α	
  =	
  3:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -33-
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
h(
t)
β=0.5 β=1.5
β=2.0 β=4.0
Note que a distribuição de Weibull é bastante flexível podendo
representar uma grande variedade de formatos (comportamentos)
do tempo de falha de equipamentos
Inclusive, a distribuição de Weibull pode ser utilizada para
aproximar outras distribuições de probabilidade (veja tabela
anterior):
– Quando , a distribuição Exponencial é um casoβ = 1
particular da distribuição de Weibull
h t
t
cte( ) = = ≡ =
−1 11 1
α α α
λ
– Quando , tem-se a distribuição de Rayleigh: umβ = 2
caso especial da distribuição de Weibull que é
caracterizada por uma taxa de falha crescente e linear
– Para , a distribuição de Weibull éβ = 2 5.
aproximadamente equivalente a distribuição LogNormal.
Note, porém, que a LogNormal não é um caso especial da
Weibull, apenas que para este valor do parâmetro de
forma, a distribuição de Weibull possui forma semelhante
a da distribuição LogNormal (PDFs semelhantes)
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  β	
  (Parâmetro	
  de	
  Forma)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull	
  para	
  diferentes	
  β	
  e	
  o	
  α	
  =	
  3:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -34-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
R
(t)
β=0.5 β=1.5 β=2.0 β=4.0
– Para , a distribuição de Weibull éβ = 36.
aproximadamente equivalente a distribuição Normal.
Como antes, a distribuição Normal não é um caso especial
da distribuição de Weibull.
Note que uma taxa de falha crescente pode crescer:
– A uma taxa decrescente (côncava) quando 1 2< <β
– A uma taxa constante (linear) quando β = 2
– A uma taxa crescente (convexa) quando . Emβ > 2
particular, taxas de falha que são convexas refletem um
processo de desgaste extremamente agressivos
É importante frisar que apesar da distribuição de Weibull ser capaz
de representar todas as três fases da curva da banheira, ela o faz
para distintos valores do parâmetro de forma:
– Não existe nenhum valor do parâmetro de forma que
resulte em uma taxa de falha com a forma da curva da
banheira (decrescente, constante e crescente)
Observe os seguintes gráficos da confiabilidade e da CDF para
diversos valores do parâmetro de forma é um mesmo valor do
parâmetro de escala ( )α = 3
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  β	
  (Parâmetro	
  de	
  Forma)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull	
  para	
  diferentes	
  β	
  e	
  o	
  α	
  =	
  3:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -35-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
F(
t)
β=0.5 β=1.5 β=2.0 β=4.0
– Como é esperado, quanto maior o valor do parâmetro de
forma, menor será a confiabilidade para um mesmo tempo
de operacional
– Analogamente, para valores mais elevados do parâmetro
de forma, a probabilidade acumulada de falha, CDF, é
maior para um mesmo tempo de missão
Note nos gráficos anteriores que todas as curvas de confiabilidade
e CDF passam através do mesmo ponto no qual :t = α
( )R T e e( )≤ = =− −α α α
β
1
R T() .≤ =α 0 368
Logo, 63.2% de todas as falhas vão ocorrer ao se atingir t = α
independentemente do valor do parâmetro de forma. Por isso, o
parâmetro de escala é também conhecido como Vidaα
Característica
 Análise do impacto do parâmetro de escala ( ) no comportamento daα
distribuição de Weibull:
O parâmetro de escala influencia tanto a média como a dispersão
dos tempos de falha de um equipamento (observe a próxima
figura)
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
Característica	
  interessante!!	
  
	
  
Note	
  nos	
  gráficos	
  anteriores	
  que	
  todas	
  as	
  curvas	
  de	
  confiabilidade	
  e	
  CDF	
  
passam	
  através	
  do	
  mesmo	
  ponto	
  no	
  qual	
  t	
  =	
  α.	
  
Um	
   equipamento	
   cujo	
   tempo	
   de	
   falha	
   segue	
   a	
   distribuição	
   Weibull,	
  
possui	
  chance	
  um	
  pouco	
  melhor	
  do	
  que	
  1/3	
  de	
  sobreviver	
  até	
  o	
  seu	
  α !	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -35-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
F(
t)
β=0.5 β=1.5 β=2.0 β=4.0
– Como é esperado, quanto maior o valor do parâmetro de
forma, menor será a confiabilidade para um mesmo tempo
de operacional
– Analogamente, para valores mais elevados do parâmetro
de forma, a probabilidade acumulada de falha, CDF, é
maior para um mesmo tempo de missão
Note nos gráficos anteriores que todas as curvas de confiabilidade
e CDF passam através do mesmo ponto no qual :t = α
( )R T e e( )≤ = =− −α α α
β
1
R T( ) .≤ =α 0 368
Logo, 63.2% de todas as falhas vão ocorrer ao se atingir t = α
independentemente do valor do parâmetro de forma. Por isso, o
parâmetro de escala é também conhecido como Vidaα
Característica
 Análise do impacto do parâmetro de escala ( ) no comportamento daα
distribuição de Weibull:
O parâmetro de escala influencia tanto a média como a dispersão
dos tempos de falha de um equipamento (observe a próxima
figura)
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -35-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
F(
t)
β=0.5 β=1.5 β=2.0 β=4.0
– Como é esperado, quanto maior o valor do parâmetro de
forma, menor será a confiabilidade para um mesmo tempo
de operacional
– Analogamente, para valores mais elevados do parâmetro
de forma, a probabilidade acumulada de falha, CDF, é
maior para um mesmo tempo de missão
Note nos gráficos anteriores que todas as curvas de confiabilidade
e CDF passam através do mesmo ponto no qual :t = α
( )R T e e( )≤ = =− −α α α
β
1
R T( ) .≤ =α 0 368
Logo, 63.2% de todas as falhas vão ocorrer ao se atingir t = α
independentemente do valor do parâmetro de forma. Por isso, o
parâmetro de escala é também conhecido como Vidaα
Característica
 Análise do impacto do parâmetro de escala ( ) no comportamento daα
distribuição de Weibull:
O parâmetro de escala influencia tanto a média como a dispersão
dos tempos de falha de um equipamento (observe a próxima
figura)
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  α	
  (Parâmetro	
  de	
  Escala)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull,	
  α	
  e	
  o	
  β	
  =	
  2:	
  
Ele	
  influencia	
  tanto	
  a	
  média	
  como	
  a	
  dispersão	
  dos	
  tempos	
  de	
  falha	
  de	
  
um	
  equipamento.	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -36-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 0.5 1 1.5 2
T
R
(t)
α=0.5 α=1.0 α=2.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
h(
t) a=0.5 a=1.0 a=2.0
– Neste gráfico da confiabilidade para distintos valores do
parâmetro de escala e valor fixo do parâmetro de forma
( ), observa-se que à medida que aumenta, aβ = 2 α
confiabilidade também aumenta para um determinado
instante
– Ou seja, tem-se uma aumento na dispersão dos tempos de
falha
O coeficiente angular da taxa de falha h(t)diminui com o aumento
do parâmetro de escala (melhoria da confiabilidade), como é
observado na próxima figura
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Caracterização:	
  
Efeito	
  do	
  α	
  (Parâmetro	
  de	
  Escala)	
  no	
  comportamento	
  da	
  distribuição	
  de	
  
Weibull,	
  α	
  e	
  o	
  β	
  =	
  2:	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -36-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 0.5 1 1.5 2
T
R
(t)
α=0.5 α=1.0 α=2.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
T
h(
t) a=0.5 a=1.0 a=2.0
– Neste gráfico da confiabilidade para distintos valores do
parâmetro de escala e valor fixo do parâmetro de forma
( ), observa-se que à medida que aumenta, aβ = 2 α
confiabilidade também aumenta para um determinado
instante
– Ou seja, tem-se uma aumento na dispersão dos tempos de
falha
O coeficiente angular da taxa de falha h(t)diminui com o aumento
do parâmetro de escala (melhoria da confiabilidade), como é
observado na próxima figura
O	
  coeficiente	
  angular	
  da	
  taxa	
  de	
  falha	
  h(t)diminui	
  com	
  o	
  aumento	
  do	
  parâmetro	
  de	
  
escala;	
  
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
O	
  Tempo	
  Médio	
  de	
  Falha	
  (MTTF	
  –	
  Mean	
  Time	
  To	
  Failure)	
  é	
  definido	
  
por	
  
	
  
Onde:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Sendo	
  x	
  inteiro	
  positivo!	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -37-
É importante observar que diferentemente da distribuição Exponencial, para a
distribuição de Weibull não há relação direta entre o MTTF e a taxa de falha h(t)
 MTTF:
MTTF = +α
β
Γ 1
1
onde é a função gamma:( )Γ x
( )Γ x y e dyx y= − −
∞ 1
0
Quando x é um inteiro positivo:
( ) ( )Γ x x= − 1 !
 Variância:
σ α
β β
2 2
2
1
2
1
1
= + − +Γ Γ
 Quando usar?
 A flexibilidade da distribuição de Weibull a torna em um modelo
apropriado para uma grande variedade de problemas encontrados na
prática:
Análise da resistência à corrosão
Tempo de falha de componentes eletrônicos
 Devido a sua capacidade de descrever taxas de falha crescentes, a
distribuição de Weibull é um modelo a ser considerado quando nos
deparamos com componentes/sistemas sujeitos a desgaste
Exemplo 13:
(a) Qual é a confiabilidade de um sistema para um tempo operacional de 40
hrs se o tempo de falha do mesmo segue uma distribuição de Weibull com β = 18.
e ?α = 115h
Para t = 40 hrs,
( )R t e t( )
.
= − 115
1 8
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -37-
É importante observar que diferentemente da distribuição Exponencial, para a
distribuição de Weibull não há relação direta entre o MTTF e a taxa de falha h(t)
 MTTF:
MTTF = +α
β
Γ 1
1
onde é a função gamma:( )Γ x
( )Γ x y e dyx y= − −
∞ 1
0
Quando x é um inteiro positivo:
( ) ( )Γ x x= − 1 !
 Variância:
σ α
β β
2 2
2
1
2
1
1
= + − +Γ Γ
 Quando usar?
 A flexibilidade da distribuição de Weibull a torna em um modelo
apropriado para uma grande variedade de problemas encontrados na
prática:
Análise da resistência à corrosão
Tempo de falha de componentes eletrônicos
 Devido a sua capacidade de descrever taxas de falha crescentes, a
distribuição de Weibull é um modelo a ser considerado quando nos
deparamos com componentes/sistemas sujeitos a desgaste
Exemplo 13:
(a) Qual é a confiabilidade de um sistema para um tempo operacional de 40
hrs se o tempo de falha do mesmo segue uma distribuição de Weibull com β = 18.
e ?α = 115h
Para t = 40 hrs,
( )R t e t( )
.
= − 115
1 8
É	
  importante	
  observar	
  que	
  diferentemente	
  da	
  distribuição	
  Exponencial,	
  
para	
  a	
  distribuição	
  de	
  Weibull	
  não	
  há	
  relação	
  direta	
  entre	
  o	
  MTTF	
  e	
  a	
  
taxa	
  de	
  falha	
  h(t);	
  
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -37-
É importanteobservar que diferentemente da distribuição Exponencial, para a
distribuição de Weibull não há relação direta entre o MTTF e a taxa de falha h(t)
 MTTF:
MTTF = +α
β
Γ 1
1
onde é a função gamma:( )Γ x
( )Γ x y e dyx y= − −
∞ 1
0
Quando x é um inteiro positivo:
( ) ( )Γ x x= − 1 !
 Variância:
σ α
β β
2 2
2
1
2
1
1
= + − +Γ Γ
 Quando usar?
 A flexibilidade da distribuição de Weibull a torna em um modelo
apropriado para uma grande variedade de problemas encontrados na
prática:
Análise da resistência à corrosão
Tempo de falha de componentes eletrônicos
 Devido a sua capacidade de descrever taxas de falha crescentes, a
distribuição de Weibull é um modelo a ser considerado quando nos
deparamos com componentes/sistemas sujeitos a desgaste
Exemplo 13:
(a) Qual é a confiabilidade de um sistema para um tempo operacional de 40
hrs se o tempo de falha do mesmo segue uma distribuição de Weibull com β = 18.
e ?α = 115h
Para t = 40 hrs,
( )R t e t( )
.
= − 115
1 8
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
A	
  Variância	
  é	
  definido	
  por	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -37-
É importante observar que diferentemente da distribuição Exponencial, para a
distribuição de Weibull não há relação direta entre o MTTF e a taxa de falha h(t)
 MTTF:
MTTF = +α
β
Γ 1
1
onde é a função gamma:( )Γ x
( )Γ x y e dyx y= − −
∞ 1
0
Quando x é um inteiro positivo:
( ) ( )Γ x x= − 1 !
 Variância:
σ α
β β
2 2
2
1
2
1
1
= + − +Γ Γ
 Quando usar?
 A flexibilidade da distribuição de Weibull a torna em um modelo
apropriado para uma grande variedade de problemas encontrados na
prática:
Análise da resistência à corrosão
Tempo de falha de componentes eletrônicos
 Devido a sua capacidade de descrever taxas de falha crescentes, a
distribuição de Weibull é um modelo a ser considerado quando nos
deparamos com componentes/sistemas sujeitos a desgaste
Exemplo 13:
(a) Qual é a confiabilidade de um sistema para um tempo operacional de 40
hrs se o tempo de falha do mesmo segue uma distribuição de Weibull com β = 18.
e ?α = 115h
Para t = 40 hrs,
( )R t e t( )
.
= − 115
1 8
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
A	
   flexibilidade	
   da	
   distribuição	
   de	
   Weibull	
   a	
   torna	
   em	
   um	
   modelo	
  
apropriado	
   para	
   uma	
   grande	
   variedade	
   de	
   problemas	
   encontrados	
   na	
  
prática:	
  	
  
• 	
  	
  Análise	
  da	
  resistência	
  à	
  corrosão	
  	
  
• 	
  	
  Tempo	
  de	
  falha	
  de	
  componentes	
  eletrônicos	
  
Devido	
   a	
   sua	
   capacidade	
   de	
   descrever	
   taxas	
   de	
   falha	
   crescentes,	
   a	
  
distribuição	
   de	
   Weibull	
   é	
   um	
   modelo	
   a	
   ser	
   considerado	
   quando	
   nos	
  
deparamos	
  com	
  componentes/sistemas	
  sujeitos	
  a	
  desgaste	
  	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Exercício	
   12:	
   Um	
   sistema	
   de	
   transmissão	
   possui	
   os	
   dados	
   de	
   falha	
  
seguindo	
  uma	
  distribuição	
  de	
  Weibull,	
  com	
  α	
  =	
  115	
  h	
  e	
  β	
  =	
  1,8.	
  Calcule	
  
as	
  alternativas	
  abaixo	
  para	
  tempo	
  operacional	
  de	
  40	
  h.	
  
	
  
a)  Qual	
  a	
  confiabilidade?	
  
b)  Qual	
  é	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  neste	
  instante?	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Exercício	
  12:	
  	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Exercício	
   13:	
   Considerando	
   que	
   o	
   tempo	
   de	
   falha	
   de	
   um	
   sensor	
   de	
  
temperatura	
  segue	
  uma	
  distribuição	
  de	
  Weibull	
  com	
  β	
  =	
  1/3	
  e	
  α	
  =	
  16.000	
  
h,	
  encontre:	
  
	
  
a)  A	
  Confiabilidade	
  para	
  20.000	
  h?	
  
b)  MTTF	
  
c)  Variância	
  
d)  A	
  vida	
  característica,	
  ou	
  seja,	
  instante	
  onde	
  aproximadamente	
  63%	
  das	
  
falhas	
  ocorrem?	
  
e)  Tempo	
  operacional	
  atingido	
  para	
  um	
  nível	
  de	
  confiabilidade	
  de	
  90%	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -37-
É importante observar que diferentemente da distribuição Exponencial, para a
distribuição de Weibull não há relação direta entre o MTTF e a taxa de falha h(t)
 MTTF:
MTTF = +α
β
Γ 1
1
onde é a função gamma:( )Γ x
( )Γ x y e dyx y= − −
∞ 1
0
Quando x é um inteiro positivo:
( ) ( )Γ x x= − 1 !
 Variância:
σ α
β β
2 2
2
1
2
1
1
= + − +Γ Γ
 Quando usar?
 A flexibilidade da distribuição de Weibull a torna em um modelo
apropriado para uma grande variedade de problemas encontrados na
prática:
Análise da resistência à corrosão
Tempo de falha de componentes eletrônicos
 Devido a sua capacidade de descrever taxas de falha crescentes, a
distribuição de Weibull é um modelo a ser considerado quando nos
deparamos com componentes/sistemas sujeitos a desgaste
Exemplo 13:
(a) Qual é a confiabilidade de um sistema para um tempo operacional de 40
hrs se o tempo de falha do mesmo segue uma distribuição de Weibull com β = 18.
e ?α = 115h
Para t = 40 hrs,
( )R t e t( )
.
= − 115
1 8
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -37-
É importante observar que diferentemente da distribuição Exponencial, para a
distribuição de Weibull não há relação direta entre o MTTF e a taxa de falha h(t)
 MTTF:
MTTF = +α
β
Γ 1
1
onde é a função gamma:( )Γ x
( )Γ x y e dyx y= − −
∞ 1
0
Quando x é um inteiro positivo:
( ) ( )Γ x x= − 1 !
 Variância:
σ α
β β
2 2
2
1
2
1
1
= + − +Γ Γ
 Quando usar?
 A flexibilidade da distribuição de Weibull a torna em um modelo
apropriado para uma grande variedade de problemas encontrados na
prática:
Análise da resistência à corrosão
Tempo de falha de componentes eletrônicos
 Devido a sua capacidade de descrever taxas de falha crescentes, a
distribuição de Weibull é um modelo a ser considerado quando nos
deparamos com componentes/sistemas sujeitos a desgaste
Exemplo 13:
(a) Qual é a confiabilidade de um sistema para um tempo operacional de 40
hrs se o tempo de falha do mesmo segue uma distribuição de Weibull com β = 18.
e ?α = 115h
Para t = 40 hrs,
( )R t e t( )
.
= − 115
1 8
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Características:	
  
	
  
	
  
	
  
A	
  distribuição	
  de	
  Weibull	
  tem	
  memória!	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -39-
A distribuição de Weibull tem memória!
(a) R(t) e construa o gráfico R x t
(b) Tipo de comportamento da taxa de falha, construindo o gráfico h x t
(c) MTTF
(d) Variância
(e) A vida característica, ou seja, instante onde aproximadamente 63% das
falhas ocorrem
(f) Tempo operacional atingido para um nível de confiabilidade de 90%
 Confiabilidade Condicional:
 Para a distribuição de Weibull, temos
( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
R t T
T t
T
( | )
exp
exp
0
0
0
=
− +
−
α
α
β
β
R t T
T t T
( | ) exp0
0 0= −
+
+
α α
β
β
Exemplo 15:
Se no exemplo anterior fosse usado um período de “burn-in” de 10 horas, qual
seria o tempo operacional atingido para um nível de confiabilidade de 90%?
Inicialmente, observe no seguinte gráfico como a confiabilidade e a taxa
de falha se comportam em função do tempo operacional quando o sensor
de temperatura não é previamente submetido ao “burn-in”
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -39-
A distribuição de Weibull tem memória!
(a) R(t) e construa o gráfico R x t
(b) Tipo de comportamento da taxa de falha, construindo o gráfico h x t
(c) MTTF
(d) Variância
(e) A vida característica, ou seja, instante onde aproximadamente 63% das
falhas ocorrem
(f) Tempo operacional atingido para um nível de confiabilidade de 90%
 Confiabilidade Condicional:
 Para a distribuição de Weibull, temos
( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
R t T
T t
T
( | )
exp
exp
0
0
0
=
− +
−
α
α
β
β
R t T
T t T
( | ) exp0
0 0= −
+
+
α α
ββ
Exemplo 15:
Se no exemplo anterior fosse usado um período de “burn-in” de 10 horas, qual
seria o tempo operacional atingido para um nível de confiabilidade de 90%?
Inicialmente, observe no seguinte gráfico como a confiabilidade e a taxa
de falha se comportam em função do tempo operacional quando o sensor
de temperatura não é previamente submetido ao “burn-in”
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Exercício	
  14:	
  Se	
  no	
  exemplo	
  anterior	
  fosse	
  usado	
  um	
  período	
  de	
  “burn-­‐in”	
  de	
  
10	
   horas,	
   qual	
   seria	
   o	
   tempo	
   operacional	
   a=ngido	
   para	
   um	
   nível	
   de	
  
confiabilidade	
  de	
  90%.	
  β	
  =	
  1/3	
  e	
  α	
  =	
  16.000	
  h.	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -39-
A distribuição de Weibull tem memória!
(a) R(t) e construa o gráfico R x t
(b) Tipo de comportamento da taxa de falha, construindo o gráfico h x t
(c) MTTF
(d) Variância
(e) A vida característica, ou seja, instante onde aproximadamente 63% das
falhas ocorrem
(f) Tempo operacional atingido para um nível de confiabilidade de 90%
 Confiabilidade Condicional:
 Para a distribuição de Weibull, temos
( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
R t T
T t
T
( | )
exp
exp
0
0
0
=
− +
−
α
α
β
β
R t T
T t T
( | ) exp0
0 0= −
+
+
α α
β
β
Exemplo 15:
Se no exemplo anterior fosse usado um período de “burn-in” de 10 horas, qual
seria o tempo operacional atingido para um nível de confiabilidade de 90%?
Inicialmente, observe no seguinte gráfico como a confiabilidade e a taxa
de falha se comportam em função do tempo operacional quando o sensor
de temperatura não é previamente submetido ao “burn-in”
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Exercício	
  14:	
  	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -40-
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 100 200 300 400 500
Tempo [h]
R(
t)
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
2.0E-03
2.5E-03
3.0E-03
3.5E-03
4.0E-03
4.5E-03
5.0E-03
h(
t)
R(t) h(t)
Agora, dado um período de 10 horas de “burn-in”, temos que a
confiabilidade do sensor de temperatura para uma dada missão de t horas
é:
R t
t
( | ) exp10
10
16000
10
16000
1 3 1 3
= −
+
+
Para , tem-seR t( | ) .90 10 0 90=
( )t Ln90
1 3 3
16000 0 90
10
16000
10= − + −.
resultando em
t hrs90 10124= .
O qual é um aumento significativo no tempo de operação do sensor de
temperatura quando comparado com o valor anteriormente obtido de 18.7
horas (exemplo 14). Note que este resultado foi possível pois temos uma
taxa de falha h(t) decrescente.
Observe na figura que segue o comportamento da confiabilidade para
ambos os casos discutidos. Note que no caso do sensor ter passado por
um período de “burn-in”, temos a confiabilidade condicional .R t( | )10
A	
  Distribuição	
  Weibull	
  
	
  
Exercício	
  14:	
  	
  
Distribuições	
  de	
  Confiabilidade 
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -41-
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo [h]
Co
nf
ia
bi
lid
ad
e
R(t) R(t|To)
15. A Distribuição Normal
 Tem sido aplicada na modelagem de processos de fadiga e desgaste
 A função de densidade de probabilidade (PDF) é dada por:
f t
t
t( ) exp ; , ,= −
−
− ∞ < < ∞ − ∞ < < ∞ >
1
2
1
2
0
2
πσ
µ
σ
µ σ
onde é a média da distribuição, é a variânciaµ σ 2
 Uso limitado na análise de confiabilidade envolvendo tempo de falha:
 A v.a. pode assumir valores negativos!T
 Em alguns casos quando é positiva e bem maior que , aµ σ
probabilidade de tempos negativos é desprezível
 Observe o gráfico que segue da PDF em função do tempo de falha. Note
que a distribuição Normal é simétrica com o MTTF (média), moda e
mediana coincidentes
Caracterísjca	
  das	
  Principais	
  Distribuições	
  
Referências	
  
•  DROGUETT,	
   E.L.	
   (2002)	
   –	
   Análise	
   de	
   Componentes	
   Não	
   Reparáveis.	
  
Departamento	
   de	
   Engenharia	
   de	
   Produção	
   –	
   Centro	
   de	
   Tecnologia	
   e	
  
Geociência,	
  Universidade	
  Federal	
  de	
  Pernambuco.	
  85	
  páginas.	
  
•  MODARRES,	
   M.;	
   KAMINSKIY,	
   M.	
   &	
   KRIVTSOV,	
   V.	
   (2013)	
   –	
   Reliability	
  
Engineering	
  and	
  Risk	
  Analysis,	
  New	
  York.	
  Editora	
  CRC	
  Press.	
  
ANÁLISE DA CONFIABILIDADE DE 
SISTEMAS 
4.1 Introdução 
4.2 Método do Diagrama de Blocos 
4.3 Avaliação por Árvore de Falhas e Sucesso 
ANÁLISE DA CONFIABILIDADE DE SISTEMAS 
Introdução	
  
•  A	
   análise	
   da	
   confiabilidade	
   de	
   um	
   sistema	
   a	
   partir	
   de	
   seus	
  
componentes	
   básicos	
   é	
   um	
   dos	
   mais	
   importantes	
   aspectos	
   da	
  
engenharia	
  de	
  confiabilidade;	
  
•  Um	
   sistema	
   corresponde	
   a	
   um	
   conjunto	
   de	
   itens	
   como	
  
subsistemas,	
   componentes,	
   software	
   e	
   operadores	
   (elemento	
  
humano),	
  cujo	
  funcionamento	
  adequado	
  e	
  coordenado	
  implicam	
  no	
  
próprio	
  funcionamento	
  do	
  sistema;	
  
•  Na	
   análise	
   da	
   confiabilidade	
   de	
   um	
   sistema,	
   portanto,	
   torna-­‐se	
  
necessária	
  a	
  avaliação	
  não	
  só	
  das	
  relações	
  entre	
  componentes	
  mas	
  
também	
   das	
   confiabilidades	
   dos	
   mesmos	
   a	
   fim	
   de	
   podermos	
  
determinar	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  sistema	
  como	
  um	
  todo;	
  
Análise	
  da	
  Confiabilidade	
  de	
  Sistemas	
  
Introdução	
  
•  Aqui	
   apresentaremos	
   procedimentos	
   para	
   a	
   modelagem	
   das	
  
relações	
   entre	
   componentes	
   e	
   posterior	
   quantificação	
   da	
  
confiabilidade	
   do	
   sistema.	
   Em	
   particular,	
   estaremos	
   aptos	
   a	
  
responder	
  as	
  seguintes	
  perguntas:	
  
	
   -­‐	
   Como	
   as	
   probabilidades	
   de	
   falha	
   de	
   componentes	
   podem	
   ser	
  
utilizadas	
  na	
  avaliação	
  do	
  desempenho	
  do	
  sistema?	
  
	
  -­‐	
  Qual	
  é	
  o	
  impacto	
  da	
  arquitetura	
  do	
  sistema	
  na	
  confiabilidade	
  do	
  mesmo?	
  
	
  -­‐	
  Quais	
  são	
  os	
  benefícios	
  da	
  utilização	
  de	
  componentes	
  redundantes?	
  
	
   -­‐	
  Qual	
   é	
   o	
   impacto	
   de	
   falhas	
   de	
  modo	
   comum	
  na	
   confiabilidade	
  do	
  
sistema?	
  
Análise	
  da	
  Confiabilidade	
  de	
  Sistemas	
  
Introdução	
  
•  Abordaremos	
  os	
  seguintes	
  métodos	
  para	
  a	
  avaliação	
  da	
  confiabilidade	
  
do	
  sistema	
  a	
  partir	
  de	
  seus	
  componentes	
  constituintes:	
  
	
  -­‐	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  
	
  -­‐	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  
	
  -­‐	
  Árvore	
  de	
  Eventos	
  
•  FMEA	
   como	
   ferramenta	
   de	
   apoio	
   para	
   a	
   análise	
   de	
   sistemas	
   e	
   seus	
  
componentes;	
  
Análise	
  da	
  Confiabilidade	
  de	
  Sistemas	
  
•  Diagrama	
   de	
   Blocos	
   são	
   frequentemente	
   utilizados	
   na	
   prática	
   para	
  
modelar	
  o	
  impacto	
  das	
  falhas	
  (ou	
  funcionamento)	
  de	
  componentes	
  
no	
  desempenho	
  do	
  sistema;	
  
•  Um	
   Diagrama	
   de	
   Blocos	
   reflete	
   a	
   relação	
   funcional	
   entre	
   os	
  
componentes	
  do	
  sistema;	
  
•  Cada	
   Bloco	
   corresponde	
   a	
   uma	
   função	
   desempenhada	
   por	
   um	
  
componente	
  ou	
  conjunto	
  de	
  componentes	
  para	
  o	
  qual	
  dispomos	
  de	
  
dados	
  de	
  Confiabilidade;	
  
Diagrama	
  de	
  Blocos	
  é	
  uma	
  rede	
  descrevendo	
  a	
   função	
  do	
  sistema.	
  
Se	
   um	
   sistema	
   possui	
   mais	
   de	
   uma	
   função,	
   então	
   cada	
   função	
   é	
  
considerada	
   individualmente	
   e	
   um	
   diagrama	
   de	
   blocos	
   distinto	
   é	
  
estabelecido	
  para	
  cada	
  função	
  do	
  sistema.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  
Por	
  exemplo,	
  considere	
  um	
  sistema	
  comn	
  componentes	
  distintos:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
•  Quando	
   existem	
  uma	
  conexão	
  entre	
  os	
  pontos	
   a	
   e	
  b,	
   podemos	
  dizer	
  
que	
  o	
  componente	
   i	
   está	
   funcionando,	
   ou	
   seja,	
   que	
  o	
  modo	
  de	
   falha	
  	
  
representado	
  	
  NÃO	
  ocorre;	
  
•  Podemos	
   afirmar	
   que	
   uma	
   função	
   ou	
   um	
   conjunto	
   de	
   funções	
  
específicas	
   representadas	
   por	
   este	
   bloco	
   SÃO	
   satisfatoriamente	
  
desempenhadas;	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  
Por	
  exemplo,	
  considere	
  um	
  sistema	
  com	
  n	
  componentes	
  distintos:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
•  Logo,	
  podemos	
  dizer	
  que	
  o	
  modo	
  de	
   falha	
  ou	
  modos	
  de	
   falha	
  
não	
  ocorrem	
  neste	
  componente	
  representado	
  pelo	
  Bloco;	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  
O	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  representa	
  as	
  diversas	
  maneiras	
  através	
  das	
  quais	
  
n	
   componentes	
   estão	
   interconectados	
   para	
   a	
   realização	
   de	
   uma	
  
determinada	
  função	
  do	
  sistema.	
  
•  Considere	
  um	
  sistema	
  formado	
  por	
  n	
  componentes	
  independentes;	
  
•  O	
   modelo	
   em	
   série	
   assume	
   que	
   todos	
   os	
   n	
   componentes	
  
independentes	
   devem	
   estar	
   funcionando	
   para	
   que	
   o	
   sistema	
  
desempenhe	
  a	
  sua	
  função	
  apropriadamente;	
  
•  O	
  sistema	
  falha	
  se	
  qualquer	
  um	
  de	
  seus	
  componentes	
  falhar;	
  
•  A	
   representação	
   de	
   um	
   sistema	
   em	
   série	
   de	
   n	
   componentes	
   é	
  
apresentado	
  abaixo:	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
•  	
   A	
   confiabilidade	
   do	
   sistema,	
   Rs(t),	
   pode	
   ser	
   obtida	
   a	
   partir	
   das	
  
confiabilidades	
  de	
  seus	
  componentes:	
  
Considere	
  dois	
  componentes	
  em	
  série,	
  R1(t),	
  R2(t):	
  
	
  
	
  E1	
  à	
  Evento	
  de	
  que	
  o	
  componente	
  1	
  não	
  falha;	
  
	
  E2	
  à	
  Evento	
  de	
  que	
  o	
  componente	
  2	
  não	
  falha;	
  
	
  
• 	
  Como	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  componente	
  opere	
  (não	
  falhe)	
  durante	
  
um	
  período	
  de	
  tempo	
  t	
  é	
  a	
  sua	
  confiabilidade,	
  então	
  temos	
  que:	
  
P(E1)	
  =	
  R1(t)	
  
P(E2)	
  =	
  R2(t)	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
•  Para	
  um	
  sistema	
  em	
  série,	
  a	
  confiabilidade	
  para	
  uma	
  missão	
  t,	
  Rs(t),	
  
é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  todos	
  os	
  componentes	
  simultaneamente	
  
operem	
  satisfatoriamente	
  durante	
  a	
  missão	
  t:	
  
	
  
Rs(t)	
  =	
  P(E1	
  ∩	
  E2)	
  
	
  
•  Assumindo	
  que	
  os	
  componentes	
  são	
  independentes	
  (a	
  falha	
  ou	
  não	
  
falha	
  de	
  um	
  deles	
  não	
  altera	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  outro);	
  
•  Então	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  sistema	
  é	
  o	
  produto	
  das	
  probabilidades	
  
individuais	
  de	
  completar	
  a	
  missão:	
  
	
  
Rs(t)	
  =	
  P(E1).P(E2)	
  =	
  R1(t).R2(t)	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
• 	
  Generalizando	
  para	
  n	
  componentes	
  independentes	
  em	
  série:	
  
	
  	
  
• 	
  É	
  importante	
  notar	
  que	
  para	
  um	
  sistema	
  em	
  série	
  tem-­‐se:	
  
A	
   confiabilidade	
   de	
   um	
   sistema	
   em	
   série	
   nunca	
   é	
  maior	
   do	
   que	
   a	
  menor	
  
confiabilidade	
  de	
  seus	
  componentes	
  constituintes;	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
Ri(t )	
   10	
   100	
   1000	
  
0,900	
   0,3487	
   0,266x10-4	
   0,1747x10-45	
  
0,950	
   0,5987	
   0,00592	
   0,5292x10-22	
  
0,990	
   0,9044	
   0,3660	
   0,432x10-4	
  
0,999	
   0,9900	
   0,9048	
   0,3677	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
•  A	
  medida	
  que	
  a	
  quantidade	
  de	
  componentes	
  aumenta,	
  a	
  confiabilidade	
  
do	
  sistema	
  cai	
  de	
  forma	
  significativa;	
  
•  Logo,	
   deve-­‐se	
   reduzir	
   ao	
   máximo	
   sistemas	
   com	
   muito	
  
componentes	
  em	
  série;	
  
Taxa	
  de	
  Falha	
  Constante	
  
	
  
•  Se	
  cada	
  componente	
  possui	
  uma	
  taxa	
  de	
  falha	
  constante,	
  λ	
   i	
  ,	
  ou	
  seja,	
  o	
  
tempo	
   de	
   falha	
   de	
   cada	
   componente	
   é	
   distribuído	
   de	
   acordo	
   com	
   a	
  
distribuição	
  Exponencial,	
  então	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  sistema	
  é:	
  
•  A	
  Confiabilidade	
  do	
  Sistema	
  é	
  dada	
  por:	
  
•  Onde,	
  λ	
  s,	
  é	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  do	
  sistema	
  dada	
  por	
  
Quando	
   todos	
   os	
   componentes	
   em	
   série	
   possuem	
   taxa	
   de	
   falha	
  
constante,	
  o	
  sistema	
  também	
  possui	
  taxa	
  de	
  falha	
  constante;	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
Exercício	
  14:	
  Considere	
  um	
  sistema	
  composto	
  por	
  quatro	
  componentes	
  em	
  
série	
   os	
   quais	
   são	
   independentes	
   e	
   possuem	
   a	
   mesma	
   taxa	
   de	
   falha	
  
constante	
  λ.	
  Se	
  Rs(100)	
  =	
  0,95.	
  
	
  
a)  Encontre	
  o	
  MTTF	
  de	
  cada	
  componente.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série	
  
•  Dois	
   ou	
   mais	
   componentes	
   estão	
   em	
   paralelo,	
   ou	
   são	
   redundantes,	
  
quando	
   todos	
   os	
   componentes	
   devem	
   falhar	
   para	
   que	
   o	
   sistema	
  
falhe;	
  
•  Se	
   pelo	
   menos	
   um	
   dos	
   componentes	
   funciona,	
   então	
   o	
   sistema	
  
continua	
  a	
  funcionar	
  (não	
  falha);	
  
•  Ativo	
   significa	
   que	
   todos	
   os	
   componentes	
   estão	
   operando	
   durante	
   o	
  
período	
  de	
  missão	
  do	
  sistema;	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Paralelo	
  (Ajvo)	
  
•  	
  	
  Para	
  apenas	
  dois	
  componentes:	
  
	
  
	
  
•  o	
  qual	
  resulta	
  em	
  
	
  
•  Assim,	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  sistema	
  é:	
  
	
  
•  Generalizando	
  para	
  n	
  componentes	
  independentes:	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Paralelo	
  (Ajvo)	
  
• 	
  	
  Note	
  que	
  para	
  um	
  sistema	
  em	
  paralelo	
  ativo	
  
	
  
	
  
uma	
  vez	
  que	
  	
  
	
  
	
  
deve	
  ser	
  menor	
  do	
  que	
  a	
  probabilidade	
  de	
   falha	
  do	
  componente	
  de	
  maior	
  
confiabilidade	
  
A	
   confiabilidade	
   de	
   um	
   sistema	
   em	
   paralelo	
   ativo	
   é	
   pelo	
   menos	
   igual	
   a	
  
confiabilidade	
  do	
  seu	
  componente	
  mais	
  confiável.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Paralelo	
  (Ajvo)	
  
•  Para	
  um	
  sistema	
  redundante	
  nos	
  quais	
  todos	
  os	
  componentes	
  possuem	
  
taxa	
  de	
  falha	
  constante,	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  sistema	
  é:	
  
onde	
  λi	
  é	
  a	
  taxa	
  de	
  falha	
  do	
  i-­‐ésimo	
  componente.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Paralelo	
  (Ajvo)	
  
Exercício	
   15:	
   Para	
   um	
   sistema	
   formado	
   por	
   dois	
   componentes	
   em	
  
paralelo	
  ativo	
  e	
  possuindo	
  taxas	
  de	
  falha	
  constantes	
  λ1	
  e	
  λ2.	
  
	
  
a)  Determine	
  o	
  MTTF	
  do	
  sistema.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Paralelo	
  (Ajvo)	
  
Sistemas	
   complexos	
   tipicamente	
   incluem	
  componentes	
   em	
  paralelo	
   e	
  
em	
  série.	
  Veja	
  a	
  figure	
  que	
  segue;	
  
1.  Identifique	
   e	
   categorize	
   os	
   subsistemassérie	
  ou	
  paralelo	
  
2.  Caso	
  exista	
  em	
  paralelo	
  resolva	
  primeiro	
  e	
  
depois	
   determine	
   a	
   confiabilidade	
   de	
  
cada	
  subsistema	
  em	
  série.	
  
3.  Determine	
   a	
   confiabilidade	
   de	
   cada	
  
subsistema	
  em	
  paralelo;	
  
4.  Utilize	
   cada	
   subsistema	
   em	
   série	
   e/ou	
  
paralelo	
   como	
   um	
   novo	
   bloco	
   fazendo	
  
parte	
   de	
   um	
   novo	
   sistema	
   em	
   um	
   nível	
  
mais	
  elevado	
  de	
  detalhamento	
  
5.  Repita	
  os	
  passos	
  anteriores	
  até	
  completar	
  
a	
  análise	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série-­‐Paralelo	
  
	
  Exercício	
   16:	
  Um	
   sistema	
   possui	
   100	
   componentes	
   distribuídos	
   em	
   três	
  
subsistemas	
  diferentes.	
  
	
  
Subsistema	
   A	
  à	
   é	
   composto	
   por	
   20	
   componentes	
   em	
   série	
   sendo	
   que	
  
cada	
  um	
  deste	
  componentes	
  apresenta	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  95%.	
  	
  
Subsistema	
   B	
   à	
   é	
   composto	
   por	
   20	
   componentes	
   em	
   série	
   cada	
   um	
  
destes	
  com	
  confiabilidade	
  de	
  93%.	
  	
  
Subsistema	
   C	
  à	
   é	
   composto	
   por	
   60	
   componentes	
   em	
   série	
   sendo	
   que	
  
cada	
  componentes	
  apresenta	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  96%.	
  	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série-­‐Paralelo	
  
	
   Exercício	
   16:	
   Os	
   subsistemas	
   B	
   e	
   C	
   estão	
   cada	
   um	
   em	
   série	
   com	
   o	
  
subsistema	
  A,	
  mas	
  estão	
  em	
  paralelo	
  entre	
   si.	
  Qual	
  é	
  a	
   confiabilidade	
  do	
  
sistema?	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série-­‐Paralelo	
  
•  Sistemas	
  redundantes	
  podem	
  ser	
  obtidos	
  a	
  partir	
  de	
  duas	
  configurações	
  
básicas:	
  
•  Cada	
   componente	
   do	
   sistema	
   pode	
   possuir	
   um	
   ou	
   mais	
  
componentes	
   em	
   paralelo	
   a	
   este,	
   o	
   que	
   é	
   conhecido	
   como	
  
Redundância	
  em	
  Baixo	
  Nível	
  
•  O	
  sistema	
  como	
  um	
  todo	
  pode	
  ser	
  colocado	
  em	
  paralelo	
  com	
  
um	
   ou	
   mais	
   sistemas	
   idênticos	
   a	
   este.	
   Esta	
   configuração	
   é	
  
conhecido	
  como	
  Redundância	
  em	
  Alto	
  Nível	
  
Redundância	
  em	
  Baixo	
  Nível	
   Redundância	
  em	
  Alto	
  Nível	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série-­‐Paralelo	
  –	
  Tipos	
  de	
  Redundâncias	
  
Redundância	
  em	
  Baixo	
  Nível	
  
Redundância	
  em	
  Alto	
  Nível	
  
Um	
  sistema	
  com	
  redundância	
  em	
  baixo	
  nível	
  possui	
  maior	
  confiabilidade	
  do	
  
que	
   com	
   redundância	
   em	
  alto	
  nível.	
  Devido	
   ao	
  menor	
  número	
  de	
   trajetos	
  
para	
  a	
  ocorrência	
  da	
  falha	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série-­‐Paralelo	
  –	
  Tipos	
  de	
  Redundâncias	
  
Exercício	
   17:	
   Um	
   equipamento	
   de	
   rádio	
   transmissão	
   consiste	
   de	
   três	
  
sistemas	
   principais:	
   fonte	
   de	
   potência,	
   um	
   receptor,	
   e	
   um	
  
amplificador,	
  com	
  confiabilidades	
  de	
  0.8,	
  0.9,	
  e	
  0.85,	
  respectivamente.	
  	
  
	
  
a)  Calcule	
   as	
   confiabilidades	
  deste	
   sistema	
  para	
   ambas	
   as	
   configurações	
  
de	
  redundância	
  em	
  alto	
  nível	
  e	
  baixo	
  nível	
  considerando	
  subsistemas	
  
de	
  dois	
  componentes	
  em	
  paralelo;	
  
b)  Qual	
  apresentou	
  melhor	
  Confiabilidade?	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistema	
  em	
  
Série-­‐Paralelo	
  –	
  Tipos	
  de	
  Redundâncias	
  
•  Redundância	
  k-­‐N	
  (lê-­‐se	
  k	
  de	
  N)	
  é	
  um	
  generalização	
  de	
  N	
  componentes	
  
em	
  paralelo	
  quando	
  existe	
  a	
  condição	
  de	
  que	
  k	
  componentes	
  do	
  total	
  de	
  
N	
  componentes	
  idênticos	
  e	
  independentes	
  devem	
  funcionar	
  para	
  que	
  o	
  
sistema	
  funcionar.	
  
Note	
  que:	
  
•  Devemos	
  ter	
  k	
  ≤	
  N;	
  
•  Quando	
   k	
   =	
   1	
   tem-­‐se	
   o	
   caso	
   de	
   redundância	
   completa,	
   ou	
   seja,	
   é	
  
apenas	
   necessário	
   que	
   qualquer	
   componente	
   opere	
   satisfatoriamente	
  
para	
  o	
  sistema	
  funcionar;	
  
•  Quando	
  k	
  =	
  N,	
  tem-­‐se	
  que	
  os	
  N	
  componentes	
  estão	
  em	
  série,	
  ou	
  seja,	
  
todos	
  devem	
  funcionar	
  para	
  o	
  sistema	
  funcionar	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistemas	
  k-­‐
N	
  
Confiabilidade	
  de	
  um	
  sistema	
  k-­‐N:	
  
	
  
•  É	
  obtida	
  a	
  partir	
  da	
  Distribuição	
  de	
  Probabilidade	
  Binomial;	
  	
  
•  Se	
   cada	
   componente	
   é	
   considerado	
   como	
   sendo	
   um	
   evento	
  
independente	
   com	
  probabilidade	
   constante	
   de	
   sucesso	
   R	
   (a	
   sua	
  
confiabilidade),	
  então:	
  
é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  exatamente	
  x	
  componentes	
  estejam	
  operando.	
  
Portanto:	
  
	
  
é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  k	
  ou	
  mais	
  sucessos	
  a	
  partir	
  de	
  N	
  componentes.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistemas	
  k-­‐
N	
  
Exercício	
  18:	
  Um	
  certo	
  tipo	
  de	
  foguete	
  utilizado	
  no	
  transporte	
  de	
  satélites	
  
para	
   a	
   orbita	
   terrestre	
   requer	
   que	
   3	
   (três)	
   de	
   suas	
   4	
   (quatro)	
   turbinas	
  
operem	
   satisfatoriamente	
   para	
   que	
   o	
   foguete	
   atinja	
   a	
   orbita	
   da	
   Terra.	
  
Sabendo	
  que	
  cada	
  turbina	
  possui	
  uma	
  confiabilidade	
  de	
  0.97.	
  
	
  
a)  Estime	
  a	
  probabilidade	
  de	
  sucesso	
  do	
  foguete	
  alcançar	
  a	
  orbita.	
  
Método	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  –	
  Sistemas	
  k-­‐
N	
  
•  Até	
   agora	
   trabalhamos	
   com	
   a	
   hipótese	
   de	
   que	
   todos	
   os	
   N	
  
componentes	
  do	
  sistema	
  falham	
  de	
  forma	
  independente.	
  
•  Esta	
  hipótese,	
  entretanto,	
  pode	
  ser	
  muitas	
  vezes	
  violada	
  em	
  sistemas.	
  
Por	
  exemplo:	
  
•  Diversos	
   componentes	
   que	
   obtém	
   energia	
   elétrica	
   a	
   partir	
   do	
  
mesmo	
  gerador;	
  
•  Condições	
   ambientais	
   como	
   calor	
   excessivo	
   ou	
   vibração	
   podem	
  
afetar	
  diversos	
  componentes	
  da	
  mesma	
  forma;	
  
•  Erros	
   operacionais	
   ou	
   de	
  manutenção,	
   falhas	
   de	
   projeto,	
   uso	
   de	
  
materiais	
   de	
   baixa	
   qualidade	
   na	
   fabricação	
   podem	
   também	
  
contribuir	
  para	
  a	
  ocorrência	
  de	
  falhas	
  de	
  causa	
  comum;	
  
Método	
   do	
   Diagrama	
   de	
   Blocos	
   –	
   Falha	
   de	
  
Causa	
  Comum	
  
•  O	
  modo	
  de	
  falha	
  de	
  causa	
  comum	
  pode	
  ser	
  considerado	
  em	
  série	
  com	
  
os	
  componentes	
  que	
  são	
  afetados	
  por	
  este	
  tipo	
  de	
  falha	
  
•  A	
   figura	
   que	
   segue	
   mostra	
   um	
   modo	
   de	
   falha	
   de	
   causa	
   comum	
  
associado	
  a	
  três	
  componentes	
  em	
  paralelo:	
  
A	
  confiabilidade	
  do	
  sistema	
  é	
  dada	
  por	
  
Método	
   do	
   Diagrama	
   de	
   Blocos	
   –	
   Falha	
   de	
  
Causa	
  Comum	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Introdução	
  
	
  
•  Árvore	
   de	
   falhas	
   é	
   um	
   método	
   gráfico	
   de	
   análise	
   de	
   sistemas	
  
alternativo	
  a	
  diagrama	
  de	
  blocos;	
  
•  Árvore	
   de	
   falhas	
   difere	
   com	
   relação	
   ao	
   diagrama	
   de	
   blocos	
   nos	
  
seguintes	
  aspectos;	
  
	
  
•  É	
   um	
   processo	
   de	
   análise	
   dedutivoestruturado	
   em	
   termos	
   de	
  
eventos	
  ao	
  invés	
  de	
  componentes	
  (por	
  exemplo,	
  equipamentos);	
  
•  A	
   análise	
   é	
   realizada	
   em	
   termos	
   de	
   falhas	
   ao	
   invés	
   de	
  
confiabilidade	
  (sucesso	
  na	
  operação	
  de	
  equipamentos);	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Introdução	
  
	
  
•  Uma	
  das	
   vantagens	
   de	
   focalizar	
   a	
   análise	
   em	
   termos	
  de	
   falhas	
  é	
  
que	
  falhas	
  são	
  em	
  geral	
  mais	
  fáceis	
  de	
  definir	
  e	
  identificar	
  do	
  que	
  
não-­‐falhas,	
   além	
   do	
   fato	
   de	
   que	
   normalmente	
   existe	
   um	
   número	
  
bem	
  mais	
   reduzido	
   de	
   formas	
  que	
  um	
   sistema	
  pode	
   falhar	
  do	
  que	
  
maneiras	
  do	
  mesmo	
  funcionar	
  (não	
  falhar).	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Árvore	
   de	
   Falhas	
   é	
   um	
   processo	
   dedutivo	
   através	
   do	
   qual	
   um	
   evento	
  
indesejável	
  chamado	
  de	
  evento	
  topo	
  é	
  postulado	
  e	
  as	
  possíveis	
  formas	
  
deste	
  evento	
  ocorrer	
  são	
  sistematicamente	
  deduzidas;	
  
Em	
   cada	
   nível	
   da	
   árvore	
   de	
   falha,	
   os	
   eventos	
   considerados	
   representam	
   as	
  
causas	
   imediatas,	
   necessárias,	
   e	
   suficientes	
   para	
   a	
   ocorrência	
   do	
   evento	
  
(eventos)	
   em	
  um	
  nível	
   imediatamente	
   superior	
   a	
   estes,	
   incluindo	
  o	
   evento	
  
topo	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Simbologia	
  
	
  
E	
  (AND)	
  –	
  Portão	
  Lógico	
  define	
  que	
  a	
  saída	
  somente	
  ocorre	
  se	
  todos	
  
os	
   eventos	
   de	
   entrada	
   ocorrer.	
   Corresponde	
   a	
   interseção	
   das	
  
entradas;	
  
OU	
  (OR)	
  -­‐	
  Portão	
  Lógico	
  define	
  que	
  a	
  saída	
  ocorre	
  se	
  pelo	
  menos	
  
um	
   dos	
   eventos	
   de	
   entrada	
   ocorrer.	
   Corresponde	
   a	
   união	
   das	
  
entradas;	
  
Evento	
   Intermediário	
  –	
  Evento	
   que	
   resulta	
   da	
   combinação	
   lógica	
  
de	
   outros	
   eventos	
   e	
   geralmente	
   corresponde	
   a	
   saída	
   de	
   um	
   portão	
  
lógico;	
  
Evento	
  Básico	
  –	
  Evento	
  que	
  NÃO	
  requer	
  mais	
  desenvolvimento.	
  
Exercício	
   19:	
  Na	
  figura	
  que	
  segue,	
  o	
  portão	
  OR	
   indica	
  que	
  a	
  “ruptura	
  do	
  
tanque”	
   ocorre	
   ou	
   por	
   “sobre-­‐pressão”	
   ou	
   por	
   “fadiga	
   da	
   parede	
   do	
  
tanque”	
  (falha	
  inerente	
  ao	
  tanque).	
  
A	
  falha	
  devido	
  a	
  fadiga	
  é	
  considerada	
  como	
  evento	
  básico.	
  Por	
  outro	
  lado,	
  
o	
   evento	
   “sobre-­‐pressão”	
   é	
   considerado	
   como	
   intermediário	
   e	
  
posteriormente	
  desenvolvido	
  através	
  do	
  uso	
  de	
  um	
  portão	
  AND.	
  Assim,	
  se	
  
o	
   evento	
   “temperatura	
   excessiva”	
   e	
   “falha	
   da	
   PSV”	
   ocorrerem,	
   então	
   a	
  
ruptura	
  do	
  tanque	
  ocorrerá.	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Desenvolvendo	
  uma	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  a	
  partir	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  
	
  
•  O	
  desenvolvimento	
  de	
  uma	
  árvore	
  de	
  falha	
  é	
  um	
  procedimento	
  dedutivo,	
  
ou	
   seja,	
   é	
   a	
   sistemática	
  decomposição	
  das	
   falhas	
   começando	
  do	
  evento	
  
topo	
  e	
  prosseguindo	
  em	
  direção	
  às	
  suas	
  causas;	
  
	
  
Exercício	
  20:	
  Considere	
  um	
  circuito	
  elétrico	
  representado	
  pelo	
  se	
  diagrama	
  
de	
  blocos	
  a	
  seguir	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Desenvolvendo	
  uma	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  a	
  partir	
  do	
  Diagrama	
  de	
  Blocos	
  
	
  
•  A	
  função	
  deste	
  sistema	
  é	
  fornecer	
  corrente	
  	
  elétrica	
  no	
  ponto	
  y.	
  
•  Logo	
  o	
  evento	
  topo	
  pode	
  ser	
  “Não	
  Há	
  Corrente	
  em	
  Y”	
  
•  Claramente,	
  o	
  evento	
  topo	
  resulta	
  da	
  ausência	
  simultânea	
  de	
  corrente	
  a	
  
partir	
  dos	
  três	
  ramos	
  deste	
  sistema	
  em	
  paralelo:	
  
•  Falha	
  do	
  componente	
  A;	
  
•  Falha	
  do	
  componente	
  B;	
  
•  Falha	
  do	
  componente	
  C	
  ou	
  falha	
  do	
  componente	
  D;	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Desenvolvendo	
   uma	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   a	
   partir	
   do	
   Diagrama	
   de	
  
Blocos	
  
	
  
•  A	
   Árvore	
   de	
   falha	
   resultante	
   para	
   este	
   evento	
   topo	
   é	
   mostrada	
   a	
  
seguir:	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Exercício	
   21:	
  Considere	
   o	
   sistema	
   de	
   bombeamento	
   mostrado	
   a	
   seguir.	
  
Vazão	
  suficiente	
  de	
  água	
  é	
  bombeada	
  do	
  tanque	
  T-­‐1	
  quando	
  apenas	
  uma	
  
da	
  duas	
  bombas	
  P-­‐1	
  ou	
  P-­‐2	
  opera	
  adequadamente.	
  Todas	
  as	
  válvulas	
  de	
  V-­‐1	
  
até	
   V-­‐5	
   estão	
   normalmente	
   abertas.	
   O	
   sistema	
   de	
   controle	
   S	
  
automaticamente	
   aciona	
   ambas	
   as	
   bombas	
   P-­‐1	
   e	
   P-­‐2	
   quando	
   há	
   a	
  
necessidade	
   de	
   água.	
   Se	
   uma	
   das	
   bombas	
   falha	
   na	
   partida	
   ou	
   durante	
  
operação,	
  o	
  sistema	
  ainda	
  realiza	
  a	
  sua	
  função	
  satisfatoriamente	
  se	
  apenas	
  
uma	
   das	
   bombas	
   operar.	
   Ambas	
   as	
   bombas	
   e	
   o	
   sistema	
   de	
   controle	
  
utilizam	
  a	
  mesma	
  fonte	
  de	
  energia	
  originada	
  pelo	
  gerador	
  AC.	
  Assuma	
  que	
  
sempre	
  há	
  suficiente	
  água	
  no	
  tanque	
  T-­‐1,	
  não	
  há	
  falhas	
  humanas,	
  e	
  não	
  há	
  
falhas	
  relevantes	
  nas	
  tubulações.	
  
Desenvolva	
  uma	
  árvore	
  de	
  fala	
  para	
  este	
  sistema.	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Representação	
  do	
  Sistema:	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
Para	
  o	
  evento	
  topo	
  “Falha	
  no	
  fornecimento	
  de	
  Água”,	
  a	
  árvore	
  de	
  falha	
  é	
  
mostrada	
  na	
  figura	
  que	
  segue:	
  
Note	
   que	
   nós	
   consideramos	
   apenas	
   um	
   modo	
   de	
   falha	
   para	
   ambas	
   as	
  
bombas.	
  
Avaliação	
  por	
  Árvore	
  de	
  Falhas	
  -­‐	
  FTA	
  
A	
  avaliação	
   lógica	
  ou	
  qualitativa	
  de	
  uma	
  árvore	
  de	
   falha	
  consiste	
  na	
  
determinação	
   de	
   todas	
   as	
   combinações	
   de	
   eventos	
   que	
   levam	
   a	
  
ocorrência	
  do	
  evento	
  topo,	
  ou	
  seja,	
  na	
  identificação	
  dos	
  conjuntos	
  de	
  
cortes	
  mínimos;	
  
	
  
•  Corte	
   corresponde	
   a	
   um	
   conjunto	
   de	
   eventos	
   que	
   levam	
   a	
  
ocorrência	
  do	
  evento	
  topo.	
  
•  Corte	
   Mínimo	
   é	
   um	
   corte	
   o	
   qual	
   não	
   possui	
   eventos	
  
desnecessários,	
  ou	
  seja,	
  todos	
  os	
  eventos	
  deste	
  corte	
  devem	
  ocorrer	
  
para	
  causar	
  a	
  ocorrência	
  do	
  evento	
  topo.	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
•  É	
   importante	
   notar	
   que	
   cortes	
   e	
   cortes	
   mínimos	
   são	
   definidos	
   no	
  
contexto	
  de	
  falha	
  do	
  sistema;	
  
•  O	
   complemento	
   lógico	
   de	
   um	
   corte	
   é	
   um	
   conjunto	
   de	
   eventos	
  
chamado	
  de	
  caminho;	
  
•  O	
  complemento	
  lógico	
  de	
  um	
  corte	
  mínimo	
  é	
  um	
  caminho	
  mínimo.	
  
•  Caminho	
   é	
   um	
   conjunto	
   de	
   eventos	
   cuja	
   ocorrência	
   implica	
   o	
  
funcionamentodo	
  sistema.	
  
•  Caminho	
   Mínimo	
   é	
   o	
   caminho	
   que	
   não	
   possui	
   eventos	
  
desnecessários,	
   ou	
   seja,	
   possui	
   o	
   mínimo	
   de	
   eventos	
   necessários	
  
para	
  garantir	
  o	
  funcionamento	
  do	
  sistema.	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
A	
  avaliação	
  qualitativa	
  de	
  uma	
  árvore	
  de	
  falha	
  envolve	
  a	
  determinação	
  
dos	
  seus	
  cortes	
  mínimos:	
  
	
  
•  Os	
   cortes	
   mínimos	
   podem	
   ser	
   obtidos	
   através	
   de	
   simples	
  
manipulação	
  Booleana	
  dos	
  eventos	
  representados	
  na	
  árvore	
  de	
  falha	
  
com	
   o	
   objetivo	
   de	
   expressar	
   o	
   evento	
   topo	
   em	
   termos	
   de	
   eventos	
  
básicos	
   não	
   redundantes,	
   ou	
   seja,	
   em	
   termos	
   de	
   seus	
   cortes	
  
mínimos;	
  
•  Note	
  que	
  redundância	
   existe	
  quando	
  um	
  mesmo	
  evento	
  ocorre	
  mais	
  
de	
  uma	
  vez	
  na	
  árvore	
  de	
  falha	
  ou	
  quando	
  este	
  evento	
  é	
  um	
  subconjunto	
  
de	
  um	
  outro	
  evento,	
  vamos	
  mostrar	
  a	
  seguir.	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Exercício	
   22:	
   Considere	
   a	
   árvore	
   de	
   falha	
   abaixo.	
   Vamos	
   chamar	
   de	
   os	
  
portões	
  de	
  Gi;	
  
	
  
a)  Encontre	
  os	
  cortes	
  mínimos	
  e	
  os	
  caminhos	
  mínimos;	
  
b)  Calcule	
  a	
  probabilidade	
  de	
  ocorrência	
  do	
  evento	
  topo;	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Exercício	
   22:	
   Os	
   caminhos	
   mínimos	
   podem	
   ser	
   obtidos	
   como	
  
complemento	
  dos	
  cortes	
  mínimos:	
  
T = A⋅B⋅C + A⋅B⋅D 
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Exercício	
   22:	
   Considere	
   a	
   árvore	
   de	
   falha	
   de	
   falhas	
   abaixo.	
   Encontre	
   a	
  
probabilidade	
   de	
   ocorrência	
   do	
   evento	
   topo	
   se	
   as	
   probabilidades	
   dos	
  
eventos	
  A,	
  B,	
  e	
  C	
  são	
  iguais	
  a	
  0.1.	
  
	
  
Os	
  cortes	
  mínimos	
  encontrados	
  foram:	
  
C1	
  =	
  A	
  .	
  B	
  .	
  C	
  
C2	
  =	
  A	
  .	
  B	
  .	
  D	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Exercício	
  23:	
  Considere	
  a	
  árvore	
  de	
   falha	
  do	
  diagrama	
  de	
  blocos	
  abaixo.	
  
Considere	
  as	
  seguintes	
  probabilidades	
  de	
  falha:	
  
P(1)	
  =	
  P(2)	
  =	
  P(3)	
  =	
  0,1	
  
P(4)	
  =	
  P(5)	
  =	
  P(6)	
  =	
  0,01	
  
P(7)	
  =	
  0,01	
  
	
  
a)  Encontre	
  os	
  cortes	
  mínimos;	
  
b)  Determine	
  a	
  probabilidade	
  de	
  ocorrência	
  do	
  evento	
  topo;	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Exercício	
   24:	
   Considere	
   a	
   árvore	
   de	
   falha	
   abaixo	
   e	
   as	
   seguintes	
  
probabilidades	
  de	
  falha:	
  
P(A)	
  =	
  0,1	
  
P(B)	
  =	
  0,2	
  
P(C)	
  =	
  0,3	
  
P(D)	
  =	
  0,4	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
a)  Encontre	
  os	
  cortes	
  mínimos;	
  
b)  Determine	
  a	
  probabilidade	
  de	
  ocorrência	
  do	
  evento	
  topo;	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
System Reliability Analysis 275 
4.15 Consider the reliability diagram below. 
4 
a) Find all minimal path sets. 
b) Find all minimal cut sets. 
c) Assuming each component has a reliability of 0.90 for a given 
mission time, compute the system reliability over mission time. 
4.16 In the following fault tree, find all minimal cut sets and path sets. Assuming 
all component failure probabilities are 0.01, find the top event probability. 
4.17 An event tree is used in reactor accident estimation as shown: 
Sequence 1 - X Y 
- 
Sequence a - X Y 
Sequence 3 - X 
Exercício	
   de	
   Casa:	
   Considere	
   a	
   árvore	
   de	
   falha	
   abaixo.	
   Encontre	
   os	
  
cortes	
   mínimos,	
   determine	
   a	
   probabilidade	
   de	
   ocorrência	
   do	
   evento	
  
topo.	
  Assuma	
  que:	
  
• 	
   Todas	
   as	
   válvulas	
   possuem	
   a	
  mesma	
   probabilidade	
   de	
   falhar	
   fechada	
  
igual	
  a	
  0.02	
  
• 	
  As	
  bombas	
  possuem	
  probabilidade	
  de	
  falhar	
  igual	
  a	
  0.01	
  
• 	
  A	
  probabilidade	
  de	
  ruptura	
  do	
  tanque	
  é	
  0.0001	
  
• 	
   As	
   probabilidades	
   de	
   falha	
   do	
   sistema	
   de	
   controle	
   e	
   do	
   gerador	
   são	
  
iguais	
  a	
  0.001	
  
Avaliação	
   por	
   Árvore	
   de	
   Falhas	
   –	
   FTA	
   –	
  
Análise	
  Quanjtajva	
  
Referências	
  
•  DROGUETT,	
   E.L.	
   (2002)	
   –	
   Análise	
   da	
   Confiabilidade	
   de	
   Sistemas.	
  
Departamento	
   de	
   Engenharia	
   de	
   Produção	
   –	
   Centro	
   de	
   Tecnologia	
   e	
  
Geociência,	
  Universidade	
  Federal	
  de	
  Pernambuco.	
  35	
  páginas.	
  
•  MODARRES,	
   M.;	
   KAMINSKIY,	
   M.	
   &	
   KRIVTSOV,	
   V.	
   (2013)	
   –	
   Reliability	
  
Engineering	
  and	
  Risk	
  Analysis,	
  New	
  York.	
  Editora	
  CRC	
  Press.	
  
CONFIABILIDADE E 
DISPONIBILIDADE DE ITENS 
REPARÁVEIS 
5.1 Introdução 
5.2 Modelos de Sistemas Reparáveis 
5.2 Modelos Probabilísticos de Sistemas Reparáveis 
5.3 Análise da Taxa de Falha 
5.4 Análise da Disponibilidade de Sistemas 
CONFIABILIDADE E DISPONIBILIDADE DE SISTEMAS 
Introdução	
  
	
  
Confiabilidade	
   e	
   Disponibilidade	
   representam	
   importantes	
  parâmetros	
  
de	
   desempenho	
   de	
   um	
   sistema,	
   no	
   que	
   diz	
   respeito	
   à	
   sua	
   capacidade	
  
para	
   cumprir	
   a	
   missão	
   necessária	
   durante	
   um	
   determinado	
   período	
   de	
  
funcionamento.	
  
5	
  
Confiabilidade	
   e	
   Disponibilidade	
   de	
  
Sistemas	
  Reparáveis	
  	
  
Introdução	
  
A	
   partir	
   deste	
   ponto	
   de	
   vista,	
   dois	
   tipos	
   principais	
   de	
   sistemas	
   podem	
   ser	
  
definidos:	
  
1.   Sistemas	
   que	
   deve	
   satisfazer	
   uma	
   missão	
   especificada	
   dentro	
   de	
  
um	
   período	
   designado	
   de	
   tempo:	
   neste	
   caso,	
   a	
   confiabilidade	
   é	
   o	
  
indicador	
  de	
  desempenho	
  apropriado	
  da	
  capacidade	
  de	
  atingir	
  o	
  objetivo	
  
pretendido	
  sem	
  a	
  ocorrência	
  de	
  falhas;	
  
5	
  
Confiabilidade	
   e	
   Disponibilidade	
   de	
  
Sistemas	
  Reparáveis	
  	
  
Introdução	
  
A	
   partir	
   deste	
   ponto	
   de	
   vista,	
   dois	
   tipos	
   principais	
   de	
   sistemas	
   podem	
   ser	
  
definidos:	
  
2.   Sistemas	
   que	
   sofrem	
   Manutenção:	
   neste	
   caso,	
   a	
   disponibilidade	
  
quantifica	
   de	
   forma	
   adequada	
   a	
   capacidade	
   do	
   sistema	
   para	
   realizar	
   a	
  
missão.	
  	
  
5	
  
Confiabilidade	
   e	
   Disponibilidade	
   de	
  
Sistemas	
  Reparáveis	
  	
  
Introdução	
  
Procedimentos	
   básicos	
   de	
   manutenção	
   podem	
   ser	
   distinguidos	
  
em:	
  
a.   Corretiva	
   (não	
  agendada):	
   Substituição	
  ou	
   reparo	
  de	
  unidades	
  
que	
  falharam;	
  
b.   Preventiva:	
   Realização	
   de	
   inspeções	
   regulares,	
   e	
   possivelmente	
  
reparos,	
  seguindo	
  um	
  determinado	
  plano	
  de	
  manutenção;	
  
c.   Condicionado:	
  Executar	
  uma	
  ação	
  de	
  reparo	
  após	
  a	
  detecção	
  de	
  
degradação.	
  
5	
  
Confiabilidade	
   e	
   Disponibilidade	
   de	
  
Sistemas	
  Reparáveis	
  	
  
Alguns	
  exemplos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis•  	
  Automóveis;	
  
•  ︎	
  Malhas	
  de	
  automação	
  e	
  controle;	
  
•  	
  Compressores.	
  
5	
  
Confiabilidade	
   e	
   Disponibilidade	
   de	
  
Sistemas	
  Reparáveis	
  	
  
Sistemas	
  reparáveis	
  até	
  a	
  primeira	
  falha	
  são	
  tratados	
  como	
  não-­‐reparáveis.	
  
Modelos	
  para	
  Sistemas	
  Reparáveis:	
  
	
  
• Modelos	
  de	
  Substituição	
  
• Modelos	
  de	
  Manutenção	
  
• Modelos	
  de	
  Reparo	
  
6	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
7	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  
	
  
•  Usados	
  quando	
  um	
  item	
  não-­‐reparável	
  é	
  substituído	
  por	
  um	
  outro	
  
após	
  a	
  falha	
  	
  
•  ︎Item	
  pode	
  ser	
  um	
  sistema	
  ou	
  componente	
  	
  
Exemplo:	
  Uma	
  lâmpada	
  é	
  colocada	
  em	
  um	
  soquete	
  e	
  substituída	
  por	
  
outra	
  nova	
  lâmpada	
  ao	
  falhar	
  	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
7	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  	
  
	
  
Escolha	
  da	
  política	
  de	
  substituição	
  a	
  ser	
  seguida	
  quando	
  da	
  falha	
  de	
  
um	
  item.	
  
•  Políticas	
  de	
  Substituição:	
  
•  Substituição	
  após	
  falha;	
  
•  Substituição	
  por	
  idade;	
  
•  Substituição	
  em	
  blocos	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
10	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  	
  
	
  
•  ︎Substituição	
  após	
  Falha:	
  
•  Itens	
  são	
  substituídos	
  somente	
  após	
  falharem;	
  
•  Útil	
  caso	
  as	
  falhas	
  não	
  sejam	
  catastróficas	
  e	
  o	
  custo	
  associado	
  
com	
  a	
  substituição	
  não	
  é	
  elevado;	
  
•  Tempo	
  de	
  detecção	
  e	
  substituição	
  considerados	
  desprezíveis;	
  	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
11	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  	
  
	
  
•  Substituição	
  por	
  Idade:	
  
•  Itens	
   são	
   substituídos	
   após	
   falharem	
   ou	
   após	
   atingirem	
  
uma	
  determinada	
  idade	
  c,	
  o	
  que	
  vier	
  primeiro;	
  
•  Tempo	
  de	
  substituição	
  é	
  desprezível;	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
12	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  	
  
	
  
•  Substituição	
  em	
  Blocos:	
  
•  Itens	
   são	
   substituídos	
   após	
   a	
   falha	
   e	
   ao	
   atingir	
   os	
  
tempos	
  operacionais	
  c,	
  2c,	
  3c,…	
  
•  Note	
   que	
   c	
   é	
   uma	
   período	
   pré-­‐determinado	
   no	
   qual	
   é	
  
conveniente	
  substituir	
  todos	
  os	
  itens	
  operacionais	
  
•  Política	
  mais	
  fácil	
  de	
  administrar	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
13	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  	
  
	
  
•  A	
  escolha	
  do	
  modelo	
  de	
  substituição	
  apropriado	
  depende:	
  
•  Custo	
  das	
  falhas;	
  
•  Custos	
  administrativos.	
  	
  
•  ︎	
   As	
   políticas	
   de	
   substituição	
   por	
   idade	
   e	
   em	
   blocos	
   tendem	
   a	
  
substituição	
  por	
  falha	
  quando	
  c	
  →	
  ∞;	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
Modelo	
  de	
  Substituição	
  	
  
	
  
Sejam:	
  	
  
•  n
f	
  
(t)	
   :	
   número	
   esperado	
   de	
   itens	
   substituídos	
   até	
   t	
   na	
  
política	
  de	
  substituição	
  por	
  falha;	
  
•  na	
   (t)	
   :	
   número	
   esperado	
   de	
   itens	
   substituídos	
   até	
   t	
   na	
  
política	
  de	
  substituição	
  por	
  idade;	
  
•  n
b	
  
(t)	
   :	
   número	
   esperado	
   de	
   itens	
   substituídos	
   até	
   t	
   na	
  
política	
  de	
  substituição	
  em	
  blocos;	
  
•  Note	
  que:	
  
para qualquer c > 0 
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
15	
  
Modelos	
  de	
  Manutenção	
  
	
  
•  Usados	
   quando	
   tanto	
   manutenção	
   preventiva	
   como	
  
manutenção	
  corretiva	
  são	
  aplicados	
  a	
  um	
  sistema.	
  	
  
•  ︎	
  Manutenção	
  Preventiva:	
  	
  
•  Realização	
  de	
  atividades	
  no	
  sistema	
  antes	
  da	
  falha;	
  	
  
•  Exemplos:	
   Troca	
   de	
   óleo	
   de	
   um	
   carro,	
   lubrificação	
   de	
  
rolamentos	
  	
  
•  ︎	
  Manutenção	
  Corretiva:	
  	
  
•  Ações	
  realizadas	
  no	
  sistema	
  após	
  falha	
  do	
  mesmo	
  ;	
  
•  Exemplo:	
  Reparo	
  do	
  Sistema	
  de	
  Geração	
  de	
  Energia.	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
16	
  
Modelos	
  de	
  Manutenção	
  
	
  
•  Ambas	
   as	
  manutenções	
   preventiva	
   e	
   corretiva	
   acarretam	
   na	
  
retirada	
  de	
  operação	
  do	
  sistema	
  por	
  um	
  período	
  de	
  tempo;	
  
•  Qual	
   é	
   o	
   tempo	
   ótimo	
   para	
   a	
   realização	
   da	
   manutenção	
  
preventiva?	
  
•  Exemplo:	
   Fabricantes	
   de	
   automóveis	
   recomendam	
   intervalos	
  
de	
  manutenção	
  fixos	
  em	
  multiplos	
  de	
  5.000	
  Km	
  em	
  geral;	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
17	
  
Modelos	
  de	
  Reparo	
  
	
  
•  São	
  apropriados	
   quando	
   atividades	
   de	
   reparo	
   são	
   realizadas	
  
apenas	
  após	
  a	
  falha	
  do	
  sistema.	
  
•  Em	
  casos	
  em	
  que	
  manutenção	
  preventiva	
  seja	
   inviável	
  ou	
  de	
  
elevado	
  custo.	
  
•  ︎Isso	
  resulta	
  em	
  uma	
  seqüência	
  de	
  falhas	
  que	
  tendem:	
  	
  
•  A	
   se	
   aglomerar	
   com	
   o	
   aumento	
   do	
   tempo	
   se	
   o	
   item	
   está	
  
deteriorando	
  (um	
  carro);	
  
•  A	
  se	
  afastarem	
  se	
  o	
  item	
  está	
  melhorando	
  (software);	
  
Modelos	
  de	
  Sistemas	
  Reparáveis	
  
18	
  
•  Diferentes	
  modelos	
  probabilísticos	
  podem	
  ser	
  usados;	
  	
  
•  A	
   escolha	
   do	
  modelo	
   depende	
   do	
   tempo	
   de	
   indisponibilidade	
  
(em	
  manutenção	
  –	
  “down	
  time”);	
  
•  Se	
   o	
   tempo	
   total	
   em	
   que	
   o	
   item	
   está	
   indisponível	
   devido	
   a	
  
manutenção	
  preventiva	
  ou	
  corretiva	
  é	
  desprezível:	
  
•  Processos	
  Homogêneo	
  de	
  Poisson;	
  
•  Processos	
  Não-­‐Homogêneo	
  de	
  Poisson;	
  
•  Caso	
   contrário,	
   i.e.,	
   tempo	
   de	
   substituição,	
   tempo	
   em	
  
manutenção,	
  ou	
  tempo	
  de	
  reparo	
  não	
  são	
  desprezíveis:	
  
•  Processos	
  de	
  Markov;	
  
Modelos	
  Probabilísjcos	
  
19	
  
Item	
   em	
   deterioração	
   tem	
  
falhas	
   que	
   tendem	
  a	
   ser	
  mais	
  
freqüentes	
   com	
   o	
   passar	
   do	
  
tempo	
  	
  
Item	
  em	
  melhoria	
  tem	
  falhas	
  
que	
   tendem	
   a	
   ser	
   menos	
  
freqüentes	
   com	
   o	
   passar	
   do	
  
tempo	
  	
  
Análise	
  da	
  Taxa	
  de	
  Falha	
  
19	
  
•  Os	
   tempos	
   de	
   falha	
   de	
   itens	
   reparáveis	
   são	
   descritos	
   pelo	
  
mecanismo	
   probabilístico	
   caracterizando	
   uma	
   seqüência	
   de	
  
variáveis	
  aleatórias	
  (Processo	
  Estocástico).	
  
•  Em	
  geral	
  temos:	
  
Análise	
  da	
  Taxa	
  de	
  Falha	
  
19	
  
Exercício	
   25:	
   	
  Os	
   tempos	
  de	
   falha	
  da	
  porta	
   dos	
  VLTs	
   (tempo	
  de	
  
calendário	
   em	
   dias)	
   estão	
   na	
   tabela	
   abaixo,	
   correspondendo	
   a	
   7	
  
falhas	
  a	
  partir	
  de	
  t	
  =	
  0	
  até	
  um	
  tempo	
  total	
  de	
  410	
  dias;	
  
•  Os	
   dados	
   são	
   de	
   um	
   único	
   sistema	
   e	
   os	
   tempos	
   de	
   reparo	
   são	
  
considerados	
  desprezíveis;	
  
•  Ou	
   seja,	
   considera-­‐se	
  que	
  o	
   sistema	
   seja	
   colocado	
   em	
  operação	
  
quase	
  que	
  imediatamente	
  após	
  a	
  falha	
  tenha	
  ocorrido;	
  
Análise	
  da	
  Taxa	
  de	
  Falha	
  
19	
  
Exercício	
  25:	
  
Análise	
  da	
  Taxa	
  de	
  Falha	
  
19	
  
•  ︎	
  Sistema	
  Triste	
   ︎︎	
  
•  Os	
  tempos	
  entre	
  ocorrências	
  decrescem	
  com	
  o	
  tempo	
  
•  O	
  sistema	
  está	
  se	
  deteriorando	
  
•  Falhas	
  são	
  mais	
  freqüentes	
  como	
  acúmulo	
  do	
  tempo	
  	
  
•  ︎	
  Sistema	
  Feliz	
  ☺	
  
•  Os	
  tempos	
  entre	
  ocorrências	
  crescem	
  com	
  o	
  tempo	
  
•  O	
  sistema	
  está	
  melhorando	
  
•  Falhas	
  são	
  menos	
  freqüentes	
  com	
  o	
  acúmulo	
  do	
  tempo	
  	
  
Análise	
  da	
  Taxa	
  de	
  Falha	
  
23	
  
Definição	
  de	
  Disponibilidade:	
  
	
  
•  A	
   disponibilidade	
   é	
   definida	
   como	
   a	
   probabilidade	
   de	
   um	
   sistema	
  
estar	
   disponível	
   para	
   operar,	
   ou	
   em	
   estado	
   operativo,	
   quando	
  
requerido	
  em	
  um	
  instante	
  de	
  tempo	
  t.	
  
	
  
•  O tempo total disponível para operar de um sistema é denominado uptime 
(u(t));
•  O tempo total indisponível para operar é denominado downtime (d(t)). 
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
23	
  
Definição	
  de	
  Disponibilidade:	
  
	
  
•  A	
   função	
   Disponibilidade	
   Instantânea	
   é	
   dada	
   pela	
   relação	
  
entre	
   o	
   tempo	
   total	
   disponível	
   para	
   operar	
   (uptime)	
   e	
   o	
  
tempo	
  total	
  útil	
  para	
  operar	
  (uptime	
  +	
  downtime).	
  
	
  
•  A Disponibilidade Média pode ser obtida integrando-se A(t) em um 
período de tempo T de interesse, obtendo-se:
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
23	
  
Definição	
  de	
  Tempo	
  Médio	
  Entre	
  Falha	
  -­‐	
  MTBF:	
  
•  Após	
   reparo,	
   o	
   tempo	
   médio	
   até	
   a	
   próxima	
   falha	
   é	
  
denominado	
   tempo	
   médio	
   entre	
   falhas	
   ou	
   MTBF	
   (Mean	
  
Time	
  Between	
  Failures);	
  
•  O	
   tempo	
   entre	
   falhas	
   é	
   medido	
   entre	
   o	
   instante	
   de	
  
tempo	
  em	
  que	
  o	
  sistema	
   teve	
  sua	
   função	
  reparada	
  até	
  o	
  
instante	
   em	
   que	
  apresente	
   uma	
  nova	
   falha,	
   ou	
   seja,	
   não	
  
leva	
  em	
  consideração	
  o	
  tempo	
  de	
  reparo	
  da	
  função;	
  
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
23	
  
Definição	
  de	
  Tempo	
  Médio	
  de	
  Reparo	
  -­‐	
  MTTR:	
  
•  Após	
   a	
   falha,	
   o	
   tempo	
   médio	
   até	
   o	
   sistema	
   retorna	
   a	
  
operação,	
   é	
   denominado	
   tempo	
   médio	
   de	
   reparo	
  MTTR	
  
(Mean	
  Time	
  To	
  Repare);	
  
•  Assim,	
   uma	
   vez	
   escolhida	
   a	
   distribuição	
   de	
   probabilidade	
  
que	
   melhor	
   representa	
   o	
   tempo	
   de	
   reparo,	
   pode-­‐se	
   de	
  
forma	
  similar	
  ao	
  que	
  é	
  feito	
  para	
  os	
  tempos	
  de	
  falha,	
  obter	
  
a	
   estimativa	
   para	
   o	
   tempo	
   médio	
   de	
   reparo	
   ou	
   MTTR	
  
(Mean	
  Time	
  to	
  Repair).	
  	
  
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
23	
  
Assumindo-­‐se	
  que:	
  
•  Um	
  reparo	
  perfeito;	
  
•  Disponibilidade	
   em	
   regime	
   estacionário	
   uma	
   função	
   da	
  
confiabilidade,	
  representada	
  por	
  uma	
  taxa	
  de	
  falha	
  constante	
  igual	
  a	
  λ	
  ,	
  
e	
  uma	
  taxa	
  de	
  reparo	
  constante	
  igual	
  a	
  μ;	
  
•  E	
   após	
   desenvolvimentos	
   matemáticos,	
   a	
   equação	
   para	
   cálculo	
   da	
  
ambas	
  seguindo	
  uma	
  distribuição	
  exponencial	
  é	
  dada	
  por:	
  
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
2	
  
Exercício	
   26	
   :	
  Os	
   tempos	
   de	
   falha	
   da	
   porta	
   dos	
   VLTs	
   (tempo	
   de	
  
calendário	
   em	
   dias)	
   estão	
   na	
   tabela	
   abaixo,	
   correspondendo	
   a	
   7	
  
falhas	
  a	
  partir	
  de	
  t	
  =	
  0	
  até	
  um	
  tempo	
  total	
  de	
  410	
  dias;	
  
	
  
a)  Calcule	
  o	
  MTBF	
  
Numero de Falhas N(t) Tempo Ti Tempo entre Ocorrências de Falha Xi
0 0 0
1 177 177
2 242 65
3 293 51
4 336 43
5 368 32
6 395 27
7 410 15
Soma 410
MTBF 59
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
2	
  
Exercício	
   27:	
   Abaixo	
   são	
   apresentados	
   os	
   dados	
   da	
   tempos	
   de	
  
funcionamento	
   e	
   tempo	
   de	
   reparo	
   do	
   motor	
   de	
   tração	
   do	
   VLT.	
  
Calcule:	
  
	
  
a)  MTBF,	
  MTTR,	
  a	
  Taxa	
  de	
  Falha,	
  a	
  Taxa	
  de	
  Reparo;	
  
b)  Disponibilidade	
  e	
  Indisponibilidade	
  do	
  sistema.	
  
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
2	
  
Exercício	
  27:	
  
Tempo entre 
Ocorrência de 
Falha (h)
Tempo de 
Reparo (h)
1 320 8
2 370 8
3 300 12
4 390 5
5 350 9
6 310 15
Soma 2040 57
Média 340 9,5
Análise	
  da	
  Disponibilidade	
  de	
  Sistemas	
  
Referências	
  
•  FOGLIATO,	
  F.	
  S.	
  &	
  RIBEIRO,	
  J.	
  L.	
  D.	
  (2009)	
  –	
  Confiabilidade	
  E	
  Manutenção	
  
Industrial,	
  Editora	
  Elsevier.	
  
•  MODARRES,	
   M.;	
   KAMINSKIY,	
   M.	
   &	
   KRIVTSOV,	
   V.	
   (2013)	
   –	
   Reliability	
  
Engineering	
  and	
  Risk	
  Analysis,	
  New	
  York.	
  Editora	
  CRC	
  Press.	
  
•  ZIO-­‐AN,	
  E	
  (2007)	
  -­‐	
  (Series	
  on	
  Quality,	
  Reliability	
  and	
  Engineering	
  StaHsHcs)	
  
IntroducHon	
  to	
  the	
  Basics	
  of	
  Reliability	
  and	
  Risk	
  Analysis-­‐World,	
  Scien=fic	
  
Publishing	
  Company.	
  
•  ZUO,	
  W.	
  &	
  ZUO,	
  M.	
  (2003)	
  –	
  OpHmal	
  Reliability	
  Modeling	
  –	
  Principles	
  and	
  
ApplicaHons.	
  Editora	
  Wiley.	
  
OBRIGADO!!! 
Wagner Barbosa 
email: wagner@guideoi.com	
  
LINKEDIN:	
  	
  Wagner	
  Barbosa	
  dos	
  Santos	
  
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  wbsanto