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CONFIABILIDADE
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PROF.
WAGNER
BARBOSA,
M.Sc.
ENG DA CONFIABILIDADE
Uma Ferramenta para a Gestão da
Manutenção e Operações
Wagner
Barbosa,
Eng
Mecânico
formado
pelo
UFPE,
Mestre
em
Eng
de
Produção
pela
UFPE,
Doutorando
em
Eng
de
Produção
também
pela
UFPE;
Atuação
na
área
de
Petróleo
E&P,
Armazenagem
e
Distribuição;
Atuação
também
em
Eólica,
especificamente
na
érea
de
fabricação
e
construção
de
equipamentos
e
parques
Eólicos;
Forte
atuação
na
área
de
Qualidade;
Ger.
Técnico
de
OIC-‐INMETRO;
Pesquisador
do
CEERMA
na
área
de
Risco
e
Confiabilidade;
Professor
do
curso
de
Engenharia
de
Produção.
Apresentação do Professor
1. Fundamentos da Análise da Confiabilidade
2. Base Matemática da Confiablidade
3. Elementos da Confiabilidade de Componentes
4. Análise da Confiabilidade de Sistemas
5. Confiabilidade e Disponibilidade de Itens Reparáveis
SUMÁRIO
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DA
CONFIABILIDADE
1.1 Porque Estudar Confiabilidade?
1.2 Entendendo Falha
1.3 Modelos de Falha
1.4 Domínimos e Dimensões da Confiabilidade
1.5 Mecanismos de Falha
1.6 Definição Incial de Confiabilidade/Manutenabilidade/
Disponibilidade e Riscos
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DA CONFIABILIDADE
• Equipamentos
falham
• Sistemas
e
componentes
não
são
perfeitos
• O
que
seria
um
sistema
perfeito?
• Sistema
perfeito
é
aquele
que
sempre
se
mantém
operacional
e
atinge
os
objetivos
sem
a
ocorrência
de
falha
durante
a
sua
vida
útil
• Na
prática
isto
não
acontece!
• Sistema
perfeito
é
inviável:
• Economicamente
• Tecnologicamente
Porque
Estudar
Confiabilidade?
O
Nosso
Conhecimento
É
Limitado!
Entendendo
Falha
Exemplos
de
falhas
em
equipamentos
do
dia
a
dia
ü Máquina
de
lavar:
Causa:
falha
devido
ao
desgaste
“normal”
de
componentes
ü Torradeira
elétrica
pegou
fogo:
Causa:
projeto
ineficiente
da
tomada
do
mesmo
dada
a
quantidade
de
corrente
passando
na
tomada
ü Controle
remoto
parou
de
funcionar:
Causa:
falha
“aleatória”
de
um
componente
eletrônico
do
controle
remoto
Exemplos
de
falhas
mais
significantes:
maior
impacto
econômico
e
social
ü Em
1946
a
totalidade
da
frota
do
Lockheed
Constellation
"Connie"
foi
retida
após
acidente
com
uma
das
aeronaves
matando
quatro
dos
cinco
tripulantes
Causa:
falha
no
projeto
dos
condutores
elétricos
que
levaram
a
fuselagem
pegar
fogo
ü Em
1979
a
turbina
esquerda
de
um
DC-‐10
partiu-‐se,
descolou-‐se
da
fuselagem
durante
a
decolagem
matando
271
pessoas
(tripulação
e
passageiros)
e
2
pessoas
em
solo,
foi
considerado
o
pior
acidente
aéreo
até
11
de
setembro,
e
continua
sendo
o
pior
acidente
individual
em
solo
americano
até
hoje.
Causa:
procedimentos
de
manutenção
inadequados,
os
quais
introduziam
estresses
excessivos
nos
pinos
de
sustentação
quando
da
remoção
da
turbina
Entendendo
Falha
Exemplos
de
falhas
mais
significantes:
maior
impacto
econômico
e
social
ü Acidente
na
usina
nuclear
Three
Mile
Island
nos
EUA
em
1979
que
resultou
na
destruição
parcial
do
reator
nuclear
liberando
radioatividade
Causas:
Falha
mecânica
e
erro
humano.
–
Quando
o
sistema
backup
de
resfriamento
estava
em
manutenção,
ar
cortou
o
fluxo
de
água
de
resfriamento
para
o
reator
–
Luzes
dos
alarmes
estavam
encobertas
por
tags
de
manutenção
–
A
PSV
falhou
fechada
–
Operadores
estavam
lendo
instrumentos
que
não
operavam
adequadamente
ou
estavam
tomando
decisões
errôneas
baseando-‐se
nos
instrumentos
operacionais
ü Explosão
da
nave
espacial
Challenger
em
1986
Causas:
–
Falha
dos
anéis
de
borracha
(chamados
“o-‐rings”)
usados
para
vedar
as
quatro
estações
dos
foguetes
booster
(externos)
–
Lançamento
efetuado
em
temperatura
ambiental
abaixo
de
zero.
Nunca
feito
antes!
Entendendo
Falha
Entendendo
Falha
Fonte:
O
Autor
A
partir
desses
exemplos,
pode-‐se
concluir
que
o
impacto
de
falhas
em
produtos
ou
equipamentos
variam
desde
meras
inconveniências
,
lesões
em
pessoas,
grandes
perdas
econômicas,
e
morte.
Em
geral,
as
causas
dessas
falhas
incluem:
• Projeto
inadequado
• Erro
humano
• Procedimentos
de
construção
ou
produção
faltosos
• Manutenção
inadequada
• Procedimentos
de
teste
e
inspeção
inapropriados
• Inexistência
de
proteções
(barreiras)
contra
estresses
ambientais
excessivos
Entendendo
Falha
Assim,
a
importância
e
o
interesse
crescentes
em
confiabilidade
tem
sido
motivado
por
diversos
fatores
como
por
exemplo:
• Aumento
da
complexidade
e
sofisticação
dos
sistemas;
• Conscientização
do
consumidor;
• Surgimento
de
leis
e
regulamentações;
• Altos
custos
das
falhas,
reparos
e
programas
de
garantia
Entendendo
Falha
Uma
pesquisa
conduzida
pelo
instituto
Gallup
em
1985
encomendada
pela
American
Society
for
Quality
Control
(ASQC)
entrevistou
mais
de
1000
pessoas
perguntando
quais
seriam
os
atributos
mais
imortantes.
Os
valores
médios
dos
10
atributos
mais
importantes
estão
listados
a
seguir
em
uma
escala
de
1
(menos
importante)
até
10
(mais
importante)
os
mais
importantes
para
estes
na
escolha
de
um
produto:
Entendendo
Falha
Atributo
Valor
Médio
Desempenho
9,5
Longo
tempo
de
duração
(Confiabilidade)
9,0
Serviço
8,9
Facilidade
de
reparo
(Manutenibilidade)
8,8
Garan=a
8,4
Facilidade
de
uso
8,3
Aparência
7,7
Marca
6,3
Embalagem
5,8
Úl=mo
modelo
5,4
Fonte:
Quality
Progress,
vol.
18,
pp.
12-‐17,
1985
Confiabilidade e Manutenibilidade estão classificados entre os mais importantes atributos de um
produto segundo os consumidores.
• O
que
é
uma
falha?
• Falha
é
a
incapacidade
do
sistema
de
realizar
a
sua
função;
• Durante
a
vida
útil
de
um
sistema,
o
mesmo
é
submetido
a
diversos
desafios;
• Se
o
sistema
não
possui
a
capacidade
de
realizar
a
sua
função
dado
este
desafio,
então
o
mesmo
falha.Veja
o
seguinte
diagrama.
Modelos
de
Falha
Exemplos:
•
Uma
bomba
de
água
de
incêndio
falha
quando
a
mesma
é
incapaz
de
fornecer
a
vazão
de
água
requerida
durante
a
operação;
•
Um
carro
“zero”
falha
quando
o
seu
consumo
de
combustível
é
maior
do
que
o
“anunciado”
pelo
fabricante
e/ou
esperado
pelo
consumidor;
•
Um
sensor
de
CO
falha
quando
o
mesmo
torna-‐se
descalibrado;
Modelos
de
Falha
Stress-‐Strength
(Carga-‐Resistência)
§
Este
modelo
é
baseado
no
conceito
que
um
sistema
está
sujeito
a
cargas
durante
a
sua
vida
útil;
§
O
mesmo
falha
se
a
resistência
é
menor
do
que
a
carga
aplicada
(força
mecânica,
campo
elétrico,
etc).
Veja
a
figura
que
segue.
Modelos
de
Falha
Stress-‐Strength
(Carga-‐Resistência)
•
A
curva
à
esquerda
representa
a
variabilidade
nas
possíveis
cargas
aplicadas
ao
sistema;
•
Considerando-‐se
uma
população
de
sistemas
do
mesmo
tipo
(válvulas
do
mesmo
modelo
de
um
mesmo
fabricante;
•
Ao
se
aplicar
uma
certa
carga
C’,
todos
aqueles
sistemas
que
tiverem
uma
resistência
menor
do
que
a
carga
aplicada
(área
tracejada
à
esquerda
de
C’)
irão
falhar;
Note
que
este
modelo
de
falha
assume
que
a
resistência
é
independente
do
tempo.
Logo:
Não
há
efeitos
de
corrosão
ou
fadiga,
por
exemplo,
os
quais
acarretam
em
degradação
da
resistência
do
sistema
com
o
tempo,
i.e.,
o
sistema
não
deteriora!
Modelos
de
Falha
Damage-‐Endurance
(Dano-‐Resistência)
•
Incluem-‐se
efeitos
de
corrosão,
fadiga;
•
Falha
ocorre
quando
o
dano
excede
a
resistência
do
sistema;
Exemplo:
bondinho
do
Pão
de
Açúcar
(Rio
de
Janeiro,
21/10/2000)
Cabo
de
tração
do
bondinho
rompe,
100
pessoa
ficaram
presas
em
dois
bondinhos
durante
1
hora;
•
Causa
provável:
Corrosão
interna
do
cabo
de
tração;
Modelo
de
falha
semelhante
ao
anterior,
porém
considera-‐se
que
o
dano
resultante/induzido
pela
carga
aplicada
acumula
irreversivelmente,
i.e.,
O
sistema
deteriora
com
o
tempo;
Modelos
de
Falha
Challenge-‐Response
(Desafio-‐Resposta)
•
Falha
do
sistema
passa
desapercebida
até
que
o
mesmo
é
necessário;
•
Somente
quando
o
sistema
é
desafiado
(chamado
para
operar),
a
falha
se
torna
evidente.
O
mesmo
falha
em
responder
apropriadamente;
Exemplos:
•
Sistemas
stand-‐by;
•
Defeitos
em
softwares;
Modelos
de
Falha
Tolerance-‐Requirements
(Tolerância-‐Especificações)
•
Quando
um
sistema
está
operando
mas
não
satisfatoriamente;
•
O
fator
de
tolerância
é
uma
variável
contínua
que
indica
o
grau
de
degradação
na
qualidade
do
desempenho
do
sistema;
•
Especificações
determinam
o
desempenho
desejado
do
sistema
e
indicam
o
ponto
de
transição
de
aceitável
para
inaceitável;
Exemplos:
•
Perda
de
contraste
em
uma
máquina
copiadora;
•
Perda
de
pressão
de
um
compressor;
Modelos
de
Falha
Sistemas
tem
aumentado
em
complexidade
levando
ao
surgimento
de
sistemas
onde
não
há
apenas
o
hardware,
mas
também
software
e
operadores
humanos
Falhas
podem
surgir
de
problemas
de
software
ou
erros
humanos
assim
como
a
partir
de
falhas
no
hardware
Tem-‐se,
então,
os
chamados
Sistemas
X-‐Ware:
Sistemas
constituídos
de
elementos
interativos
de
hardware,
software,
e
operadores
humanos
(veja
a
seguinte
figura)
Exemplos:
Os
Domínios
da
Confiabilidade
•
Equipamentos
médicos
•
Cockpit
de
aviões
•
Automóveis
•
Salas
de
controle
em
processo
petroquímicos
• Falhas
pode
ser
por
um
desses
elementos
isoladamente;
• Pode
ser
a
partir
da
combinação/interação
de
harware,
software
e
operadores
humanos
• As
falhas
em
sistemas
x-‐ware
são
geralmente
dinâmicas
(um
evento
iniciador
resulta
em
uma
sequência
de
eventos);
• Falhas
podem
ocorrer
quando
cada
um
dos
elementos
de
hardare,
software,
e
operador
humano
estão
funcionando
dentro
das
condições
especificadas;
• A
falha
do
sistema
x-‐ware
pode
resulta
da
interação
simultânea
destes
três
elementos;
Os
Domínios
da
Confiabilidade
Confiabilidade
humana:
Inicialmente,
provia-‐se
apenas
diretrizes
com
relação
a:
• Tamanho
e
tipo
de
letras
em
instrumentos
• Escolha
de
cores
para
alarmes
• Escolha
da
forma
e
textura
dos
botões
de
controle,
etc
• Recentemente,
tem-‐se
intensa
atividade
de
pesquisa
sobre
taxas
de
erros
humanos
baseados
em
fatores
físicos
e
ambientais
Os
Domínios
da
Confiabilidade
Confiabilidade
de
software:
• Tem-‐se
usado
técnicas
de
confiabilidade
de
hardware
• Porém,
falhas
em
software
são
intrinsecamente
distintas
das
falhas
em
hardware.
Por
exemplo,
uma
vez
detectadas,
as
falhas
em
softwares
são
erradicadas
e
as
mesmas
não
voltam
a
ocorrer
• Assim,
intensa
atividade
de
pesquisa
ocorre
no
desenvolvimento
de
novas
metodologias
para
a
análise
da
confiabilidade
em
softwares
Os
Domínios
da
Confiabilidade
• O
conhecimento
a
respeito
do
sistema
é
a
base
da
confiabilidade;
• Em
princípio,
tendo-‐se
o
conhecimento
total
dos
processos
químicos,
físicos
e
até
biológicos
através
dos
quais
falhas
se
desenvolvem,
poder-‐se-‐ia
descrever
exatamente
o
que
iria
acontecer
com
um
sistema
e
predizer
exatamente
quando
o
mesmo
iria
falhar.
Dimensões
da
Confiabilidade
• Caso
o
conhecimento
fosse
completo
sobre
o
sistema,
estaríamos
na
dimensão
(visão)
determinística
da
confiabilidade:
• Com
um
procedimento
“ideal”
baseado
num
conhecimento
total
do
sistema,
poderíamos
garantir
que
um
dado
equipamento
irá
operar
sem
falhaspor
um
período
mínimo
de
tempo
(ou
número
de
ciclos).
Dimensões
da
Confiabilidade
Na
prática,
porém:
• Nós
não
temos
um
entendimento
perfeito
de
ciência
e
engenharia;
• Mais
crítico,
nós
não
temos
os
recursos
($)
para
realizar
uma
análise
completa
do
sistema
até
o
seu
nível
mais
elementar
(nível
atômico);
Como consequência, as incertezas são muitas!
Os
Domínios
da
Confiabilidade
• Logo
temos
que
ser
capazes
de
operar
com
um
conhecimento
menos
perfeito:
• Trabalhamos
com
uma
garantia
menos
perfeita
que
um
equipamento
será
capaz
operar
sem
falhas.
• Esta
é
a
dimensão
(visão)
probabilística
da
confiabilidade:
Por
exemplo:
podemos
assegurar
que
é
99%
provável
que
o
nosso
equipamento
irá
operar
sem
falhas
por
um
certo
tempo
(ou
número
de
ciclos).
Os
Domínios
da
Confiabilidade
Os
Domínios
da
Confiabilidade
Fonte:
Modarres,
M.
Et.al.,
201
0
• São
Processos
físicos,
cuja
ocorrência
conduz
a
um
estresse
ou
é
causada
por
ele;
• Pode
deteriorar
a
capacidade
(resistência)
de
um
item;
• O
mecanismos
de
falha
de
equipamento
mecânico,
eletrônico
e
elétrico
são
diferentes;
Mecanismo
de
Falha
Mecanismo
de
Falha
Fonte:
Tinga,
T.,
2013
Intuitivamente:
Um
produto
confiável
é
aquele
em
que
o
consumidor
pode
contar
para
realizar
o
que
ele/ela
esperam
do
mesmo,
por
um
período
de
tempo.
Formalmente:
Confiabilidade
é
a
probabilidade
que
um
sistema
(componente,
produto)
irá
realizar
uma
determinada
função,
por
um
dado
período
de
tempo,
sob
condições
operacionais
específicas.
Definição
de
Confiabilidade
• Falhas
é
definida
em
relação
à
função
realizada
pelo
sistema;
• Unidade
de
tempo
deve
ser
identificada:
• Tempo
corrido
(calendário)
• Tempo
de
operação
• Ciclos
(exemplo,
pousos
de
um
avião,
giros
de
um
motor
elétrico,
Etc.)
Pode-‐se
usar
outras
unidades
além
da
grandeza
tempo,
como
por
exemplo:
• Quilômetros
percorridos;
• Unidades
ou
bateladas
produzidas;
Definição
de
Confiabilidade
As
condições
operacionais
devem
ser
especificadas:
Condições
de
operação:
• Uso
(temperatura,
corrente,
pressão,
etc);
• Manutenção;
• Transporte.
Condições
ambientais:
• Temperatura
• Umidade
• Vibração
• Altitude,
etc
Definição
de
Confiabilidade
Exemplo
Resolvido
1:
Considere
um
modelo
de
bateria
para
carro
cujo
fabricante
mantém
registro
das
unidades
devolvidas.
Quando
um
consumidor
retorna
uma
bateria
(mesmo
funcionando)
durante
a
garantia,
considera-‐se
uma
falha,
pois
a
mesma
não
atendeu
as
expectativas
do
consumidor!
Definição
de
Confiabilidade
Fonte:
dreams=me.com
Fonte:
fazerfacil.com.br
• Ao
final
dos
10
meses
de
uso,
14
baterias
falharam
de
um
total
de
1000;
• Logo,
temos
uma
indicação
da
probabilidade
de
falha
neste
período:
F(10)
=
0.014;
• Então,
sendo
confiabilidade
as
não-‐falhas,
a
confiabilidade
deste
modelo
de
bateria
é
R(10)
=
0.986;
• Pode-‐se
dizer
que
é
98.6%
provável
que
uma
nova
bateria
ainda
estará
funcionando
após
10
meses
de
operação;
Definição
de
Confiabilidade
Assuma
que
o
seguinte
gráfico
tenha
sido
ob=do
para
36
meses:
• A
confiabilidade,
R
(t),
decresce
para
95%
em
24
meses;
• A
confiabilidade
a=nge
50%
em
32
meses;
• Quanto
maior
o
tempo
t,
m e n o r
s e r á
a
confiabilidade;
• A
função
de
confiabilidade,
R ( t ) ,
é
u m a
f u n ç ã o
monotonia
decrescente;
Do ponto de vista do fabricante, qual a melhor garantia?? 24 meses??
12 meses??
Definição
de
Confiabilidade
Qualidade
pode
ser
considerada
como
o
grau
em
que
um
produto
atende
as
expectativas/exigências
do
consumidor.
Confiabilidade,
preocupa-‐se
com
a
duração
do
uso
de
um
produto
a
partir
do
momento
em
que
o
mesmo
entra
em
operação.
Definição
de
Confiabilidade
•
Assim,
se
qualidade
pode
ser
caracterizada
por
um
conjunto
de
atributos
de
forma
e
função;
• A
confiabilidade
pode
ser
considerada
como
um
atributo
da
qualidade:
• Confiabilidade
está
relacionada
com
a
função
desempenhada
pelo
produto;
Definição
de
Confiabilidade
Definição
de
Confiabilidade
Fonte:
Modarres,
M.,
(2013)
Hierarquia
da
melhora
do
desempenho
de
sistemas
Melhorar
o
Desempenho
do
Item
Melhorar
Confiabilidade
Melhorar
Manutenibilidade
Prolongar
a
Vida
de
um
Item
Minimizar
o
Tempo
Requerido
par
a
Restaurar
um
Item
de
Volta
ao
S
erviço
logo
após
a
Falha
Fazer
o
Estudo
da
Eng
de
Confiabilidade
Es=mar
e
Reduzir
a
Ta
xa
de
Falha
• Realizar
uma
análise
de
trade-‐o
ff
entre
fatores
crí=cos
(ex.
Au
mentar
o
Peso
vs.
Aumentar
a
R
esistencia
Mecânica;
• Estudar
os
fatores
Ambientais
e
de
Projeto
que
promovem
fato
res
de
falha;
• Especificar
materiais
mais
resist
entes;
• Realizar
a
Análise
de
Confiabilidade;
• Realizar
Modelagem
dos
sistemas
e
anális
es;
• Análise
dos
Maiores
Contribuidores
da
Fa
lha..
• Re-‐projetar
(unidade
s)
para
melhorar
a
ac
essibilidade;
• Es=mar
o
MTTR;
• Re-‐projetar
montam
gem
de
item
para
re
duzir
o
número
de
su
b
ajustes;
Definição
de
Manutenibilidade
•
Quando
um
equipamento
é
passível
de
manutenção
(corretiva
ou
preventiva),
a
facilidade
com
a
qual
o
mesmo
sofre
manutenção,
reparo,
e
retorna
à
operação
é
medida
através
de
sua
manutenibilidade
•
Formalmente:
Manutenibilidade
é
a
probabilidade
que
um
sistema
falho,
seja
retornado
para
operação
dentro
de
um
período
de
tempo,
quando
manutenção
é
realizada
de
acordo
com
procedimentos
estabelecidos
Manutenibilidade
é
uma
medida
do
downtime
do
equipamento,
i.e.,
do
tempo
que
o
mesmo
se
encontra
fora
de
serviço;•
Equipamentos
reparáveis
(que
sofrem
manutenção)
nem
sempre
estão
“prontos”
(disponíveis)
quando
são
requisitados;
•
Assim:
Disponibilidade
é
a
probabilidade
que
um
sistema
está
operacional
(realizando
a
sua
função)
em
um
dado
instante
quando
utilizado
sob
condições
específicas
Definição
de
Disponibilidade
•
Como
veremos
depois,
a
disponibilidade
pode
ser
matematicamente
definida
de
diversas
formas,
dependendo
de
como
são
medidos
o
tempo
operacional
e
o
tempo
fora
de
serviço
do
sistema
Por
exemplo,
a
disponibilidade
(média)
de
um
sistema
pode
ser
interpretada
como
a
porcentagem
do
tempo
que
o
mesmo
está
operacional
Leva
em
conta
tanto
o
tempo
operacional
do
sistema,
e
o
tempo
fora
de
serviço
(o
downtime
-‐
manutenibilidade).
Definição
de
Disponibilidade
Logo,
risco
pode
ser
expresso
quantitativamente
como:
R
=
<
Si
,
Pi
,
Ci
>
Onde:
•
Si
é
o
cenário
(evento)
indesejado
•
Pi
é
a
probabilidade
de
que
o
evento
S
vir
a
ocorrer
•
Ci
são
as
consequências
resultantes
da
ocorrência
do
evento
S
Análise
de
Riscos
consiste
em
responder
as
seguintes
perguntas:
• O
que
pode
acontecer
de
errado?
• Qual
a
probabilidade
disto
vir
a
acontecer?
• Se
acontecer,
quais
são
as
consequências?
• Qual
é
a
nossa
“confiança”
nessas
respostas
?
Ou
seja,
quais
são
as
incertezas
Definição
de
Risco
Referências
•
SANTOS,
W.
B.
&
DROGUETT,
E.
L.
(2005)
ANÁLISE
PROBABILÍSTICA
DE
RISCOS
VIA
REDES
BAYESIANAS:
UMA
APLICAÇÃO
NA
CONSTRUÇÃO
DE
POÇOS
MULTILATERAIS.
(Mestrado-‐Programa
de
Pós-‐graduação
em
Engenharia
de
Produção
/
UFPE).
•
MODARRES,
M.;
KAMINSKIY,
M.
&
KRIVTSOV,
V.
(2013)
–
Reliability
Engineering
and
Risk
Analysis,
New
York.
•
DROGUETT,
E.L.
(2002)
–
Introdução
a
Confiabilidade
e
Riscos.
Material
de
aula.
Departamento
de
Engenharia
de
Produção
–
Centro
de
Tecnologia
e
Geociência,
Universidade
Federal
de
Pernambuco.
64
páginas.
BASE MATEMÁTICA DA
CONFIABILIDADE
2.1 Introdução
2.2 Elementos da Probabilidade
2.3 Características de uma V.A.
2.4 Distribuições de Probabilidade
BASE MATEMÁTICA DA CONFIABILIDADE
Discutimos
os
elementos
da
teoria
matemática
que
são
relevantes
para
o
estudo
da
confiabilidade
de
componentes;
Começamos
com
uma
apresentação
de
conceitos
básicos
de
probabilidade;
Em
seguida,
considerar
brevemente
alguns
conceitos
fundamentais
das
estatísticas
que
são
usados
na
análise
de
dados
de
confiabilidade;
Introdução
Conjunto:
é
uma
coleção
de
itens
ou
elementos,
cada
um
com
algumas
características
específicas;
Conjunto
Universo:
é
um
conjunto
que
inclui
todos
os
itens
de
interesse
é
definido
como
conjunto
universo
(Ω).
Subconjunto:
refere-‐se
a
uma
coleção
de
objetos
que
pertencem
a
um
conjunto
universo.
Elementos
da
Probabilidade
22 Chapter 2
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c
Q.
n
Figure 2.1 Venn diagram.
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E.
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0.
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,.
I
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E,
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10,
respectively. Then
The union of these two sets is:
Diagrama
de
Venn
Por
exemplo:
Ω
representa
o
conjunto
de
todas
os
motores
do
Metrô-‐JP;
Os
motores
elétricos
é
um
subconjunto
E1.
E2
pode
representar
os
motores
elétricos
de
um
fabricante
específico
O
diagrama
de
Venn
na
figura
abaixo
mostra
o
conjunto
universo
Ω,
um
retângulo,
e
subconjuntos
de
E1,
e
E2,
por
círculos.
Também
pode
ser
visto
que
E2,
é
um
subconjunto
de
E1;
Elementos
da
Probabilidade
22 Chapter 2
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c
Q.
n
Figure 2.1 Venn diagram.
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E.
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0.
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,.
I
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E,
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10,
respectively. Then
The union of these two sets is:
Diagrama
de
Venn
E2
E1
Ω
Representação
por
Símbolo
s
Complemento:
Denotado
por
Ē
ou
não-‐E,
é
o
conjunto
de
todos
os
itens
no
conjunto
universo
que
não
pertencem
ao
conjunto
E.
Na
figura
abaixo
a
área
não
sombreada
fora
do
conjunto
E2,
delimitada
pelo
retângulo,
representa
Ē2.
Elementos
da
Probabilidade
22 Chapter 2
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c
Q.
n
Figure 2.1 Venn diagram.
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E.
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0.
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,.
I
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E,
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10,
respectively. Then
The union of these two sets is:
Diagrama
de
Venn
Uniãode
Dois
Conjuntos
:
A
união
é
simbolizada
tanto
por
E1
U
E2,
ou
E1
+
E2,
e
é
lido
E1
ou
E2.
A
área
sombreada
na
figura
abaixo
mostra
a
união
dos
conjuntos
E1
e
E2.
Elementos
da
Probabilidade
União
de
dois
conjuntos,
de
E1
e
E
2
22 Chapter 2
between subsets E, and E, and the universal set can be symbolized by E, c E, c
Q.
n
Figure 2.1 Venn diagram.
The complement of a set E, denoted by, f? and called E not, is the set of all
items (or more specifically events) in the universal set that do not belong to set E.
In Fig. 2.1, the nonshaded area outside of the set E, bounded by the rectangle
represents E, . It is clear that sets E, and E, together comprise 0.
The union of two sets, E, and E,, is a set that contains all items that belong
to E, or E,. The union is symbolized either by E, U E, or E, + E,, and is read E, or
E,. That is, the set E, U E, represents all elements that are in E,, E, or both E, and
E,. The shaded area in Fig. 2.2 shows the union of sets E, and E,.
I
Figure 2.2 Union of two sets, E , and E,
Suppose E, and E, represent positive odd and even numbers between 1 and 10,
respectively. Then
The union of these two sets is:
Intersecção
de
Dois
Conjuntos
:
A
interseção
de
dois
conjuntos,
E1
e
E2,
é
o
conjunto
de
itens
que
são
comuns
entre
os
dois
conjuntos;
Este
conjunto
é
simbolizado
por
E1
⋂
E2
ou
E1
.
E2.
É
lido
E1
e
E2.
Na
Figura
abaixo,
a
área
sombreada
representa
a
intersecção
de
E1
e
E2.
Elementos
da
Probabilidade
Intersecção
de
dois
conjuntos,
de
E1
e
E2
Basic Reliability Mathematics 23
E , u E 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 }
or, if E , = { x, y , z } and E, = { x, t, z }, then
Note that element x is in both sets E , and El.
The intersection of two sets, E , and E,, is the set of items that are common
to both E , and El. This set is symbolized by E , n E, or E, . E?, and is read E , and
El. In Fig. 2.3, the shaded area represents the intersection of E , and E,.
Figure 2.3 Intersection of two sets, E , and E,.
Suppose E , is a set of manufactured devices that operate for t > 0 but fail
prior to 1000 hours of operation. If set E, represents a set of devices that operate
between 500 and 2000 hours, then E , n E, can be obtained as follows:
E , = { t l O < t < 1000)
E, = { t I 500 < t < 2000 }
E , n E , = ( t 1 5 0 0 < t < l O O O )
Also, if sets E, = { x, y , z } and E. = { x, t, z }, then
Note that the first two sets in this example represent “continuous” elements, and
the second two sets represent “discrete” elements. This concept will be discussed
in more detail further in this chapter.
A null or empty set, 0, refers to a set that contains no items. One can easily
see that the complement of a universal set is a null set, and vice versa. That is,
Conjunto
nulo
ou
vazio:
refere-‐se
a
um
conjunto
que
não
contém
itens.
Pode-‐se
facilmente
ver
que
o
complemento
do
conjunto
universo
é
um
conjunto
nulo,
e
vice-‐versa;
Dois
conjuntos
,
E1
e
E2,
são
mutualmente
exclusivo
ou
disjuntos
quando
E1
⋂
E2
=
Ø.
Elementos
da
Probabilidade
Conjuntos
mutuamente
exclusivos,
E1
e
E2
24 Chapter 2
Two sets, E , and E,, are termed mutually exclusive or disjoint when E , n E, = 0.
In this case, there are no elements common to E,and E,. Two mutually exclusive
sets are illustrated in Fig. 2.4.
~~ ~
Figure 2.4 Mutually exclusive sets, E , and E,.
From the discussions thus far, as well as from the examination of the Venn
diagram, the following conclusions can be drawn:
The intersection of set E and a null set is a null set:
E n @ = @
The union of set E and a null set is E:
E u @ = E
The intersection of set E and the complement of E is a null set:
E n E = Q )
The intersection of set E and a universal set is E:
E n Q = E
The union of set E and a universal set is the universal set:
E u Q = Q
The complement of the complement of set E is E:
E = E
The union of two identical sets E is E:
(2.4)
(2.7)
Álgebra
Booleana
Elementos
da
Probabilidade
Exercício:
Simplificar
a
expressão
abaixo
Elementos
da
Probabilidade
[ !⋂! ∪ !⋂! ∪ !⋂! ]!
Evento
Aleatório
(ou
simplesmente
evento):
é
a
combinação
de
vários
elementos
do
espaço
amostral;
Na
Teoria
da
Probabilidade,
os
elementos
compõem
um
conjunto
são
resultados
de
um
experimento.
Assim,
o
conjunto
universo
Ω
representa
a
lista
de
todos
os
possíveis
resultados
de
um
experimento
e
é
chamado
de
espaço
de
amostral
do
experimento.
Elementos
da
Probabilidade
Exemplo
1:
Experimento:
“jogar
um
dado”
Espaço
amostral:
{1,
2,
3,
4,
5,
6}
Evento:
“obter
um
número
ímpar
ao
jogar
um
dado”
Este
evento
é
subconjunto
do
espaço
amostral
com
elementos
{1,
3,
5};
Exemplo
2:
Experimento:
“partida
de
uma
bomba”
Espaço
amostral:
{Funiona,
Falha}
Evento:
“falha
da
bomba
na
partida”
Elementos
da
Probabilidade
A
cada
evento
aleatório
E
está
associada
uma
probabilidade
P(E)
de
ocorrência
deste
evento:
NE
é
o
número
de
elementos
no
conjunto
E,
ou
seja,
o
número
de
resultados
favoráveis
ao
evento
E;
N
é
o
número
de
elementos
resultados
possíveis;
Elementos
da
Probabilidade
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -2-
“falha da bomba na partida”. Note que “falha da bomba na partida” é
um subconjunto do experimento “partida da bomba”
Tem-se que “falha da bomba na partida” é um evento
Este evento possui como único resultado favorável dentre os
possíveis no espaço amostral o elemento “falhar”
Assim, os elementos que compõem um conjunto são considerados como os
possíveis resultados de um experimento
Conjunto Universo (S) é uma coleção de todos os possíveis elementos em um
experimento
Espaço Amostral é este conjunto de todos os possíveis resultados (elementos)
de um experimento
Os elementos do espaço amostral são mutuamente exclusivos:
Dois elementos quaisquer do espaço amostral não podem ocorrer ao
mesmo tempo
Por exemplo, no caso da partida da bomba, a mesma não pode
funcionar e falhar simultaneamente!
Evento Aleatório (ou simplesmente evento) é a combinação de vários
elementos do espaço amostral
Exemplo 1:
Experimento: “jogar um dado”
Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: “obter um número ímpar ao jogar um dado”
Este evento representa um subconjunto do espaço amostral com
elementos {1, 3, 5}
Exemplo 2:
Experimento: “partida de uma bomba”
Espaço amostral: {Funiona, Falha}
Evento: “falha da bomba na partida”
A cada evento aleatório E está associada uma probabilidade P(E) de ocorrência
deste evento:
P E
N
N
E( ) =
onde,
é o número de elementos no conjunto E, ou seja, o número de resultadosN E
favoráveis ao evento E
Axiomas
da
Probabilidade
Dado
em
espaço
amostral
S
e
um
evento
E:
0
≤
P(E)
≤
1,
para
cada
evento
E
⊂
S.
Assim:
P(E)
=
0
evento
impossível
(E
nuncaocorre)
P(E)
=
1
evento
com
absoluta
certeza
de
ocorrer
(E
sempre
ocorre)
Por
exemplo:
Se
o
evento
E
é
a
falha
de
um
motor
na
partida,
quanto
mais
próximo
de
1
for
o
valor
de
P(E),
mais
provável
é
que
a
bomba
venha
a
falhar
na
partida.
Elementos
da
Probabilidade
Axiomas
da
Probabilidade
Sendo
a
P(E1
∪
E2
∪
…
∪
En)
=
P(E1)
+
P(E2)+
…
+P(En),
onde
os
eventos
E1
,
E2,
…
,
En
são
mutuamente
exclusivos
(disjuntos),
ou
seja,
dois
eventos
Ei
,
Ej
quaisquer
não
ocorrem
ao
mesmo
tempo;
P(S)
=
1,
probabilidade
do
espaço
amostral
é
iguala
1;
Elementos
da
Probabilidade
Eventos
Independentes
Dois
eventos
A
e
B
são
independentes
se
a
ocorrência
ou
não
de
um
deles
não
depende
ou
não
altera
a
probabilidade
de
ocorrência
do
outro
evento;
Logo:
P(A|B)
=
P(A)
Onde
P(A|B)
é
a
probabilidade
condicional,
ou
seja,
a
probabilidade
de
A
dado
que
o
evento
B
já
ocorreu;
Então,
para
dois
eventos
A
e
B
independentes:
P(A∩
B)
=
P(A).P(B)
Elementos
da
Probabilidade
Eventos
Dependentes
Quando
dois
eventos
A
e
B
são
dependentes,
a
probabilidade
de
ocorrência
ou
não
de
um
deles
é
alterada
pela
ocorrência
ou
não
do
outro
evento:
P(A|B)≠
P(A)
Considere
o
diagrama
a
seguir:
Elementos
da
Probabilidade
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
Eventos Dependentes:
Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
Considere o diagrama a seguir:
Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
Assim:
A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
Exemplo 5:
Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Note
que
uma
vez
obtida
a
informação
de
que
o
evento
B
já
ocorreu,
a
probabilidade
de
ocorrência
de
qualquer
evento
que
não
inclua
B
é
zero;
Ou
seja,
o
espaço
amostral
resultante
fica
agora
reduzido
aquele
correspondente
ao
evento
B.
Logo
a
probabilidade
condicional
é:
Elementos
da
Probabilidade
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
Eventos Dependentes:
Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
Considere o diagrama a seguir:
Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
Assim:
A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
Exemplo 5:
Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
Eventos Dependentes:
Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
Considere o diagrama a seguir:
Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
Assim:
A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
Exemplo 5:
Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -6-
BABA
Eventos Dependentes:
Quando dois eventos A e B são dependentes, a probabilidade de
ocorrência ou não de um deles é alterada pela ocorrência ou não do outro
evento:
P A B P A( | ) ( )≠
Considere o diagrama a seguir:
Note que uma vez obtida a informação de que o evento B já
ocorreu, a probabilidade de ocorrência de qualquer evento que não
inclua B é zero
Ou seja, o espaço amostral resultante fica agora reduzido aquele
correspondente ao evento B.
Logo, a probabilidade condicional é:
P A B
P A B
P B
( | )
( )
( )
=
∩
E a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B (interseção) é:
P A B P A B P B( ) ( | ) ( )∩ =
Assim:
A probabilidade condicional pode ser interpretada comoP A B( | )
um espaço amostral reduzido no qual o evento B define o conjunto
de todas as possíveis ocorrências (i.e., o espaço amostral
reduzido) e a interseção representa os eventos em B queA B∩
também estão em A
representa a percentagem de eventos de B que tambémP A B( | )
estão em A
Exemplo 5:
Quando dois componentes estão operando em paralelo, ambos devem
falhar para implicar em falha do sistema. Veja a seguinte figura.
Exemplo
Resolvido
2:
Quando
dois
componentes
estão
operando
em
paralelo,
ambos
devem
falhar
para
implicar
em
falha
do
sistema.
Considere
dois
componentes
idênticos
operando
em
paralelo
os
quais
dividem
uma
certa
carga
operacional.
Se
um
dos
componentes
falha,
a
probabilidade
de
falha
do
outro
componente
aumenta
como
conseqüência
do
aumento
do
estress
(carga
operacional)
sobre
ele
imposto.
Elementos
da
Probabilidade
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -7-
1
2
Sistema
BA
Considere dois componentes idênticosoperando em paralelo os quais
dividem uma certa carga operacional. Se um dos componentes falha, a
probabilidade de falha do outro componente aumenta como conseqüência
do aumento do estress (carga operacional) sobre ele imposto.
Assim, sejam
A o evento que componente 1 falha
B o evento que componente 2 falha
onde
P A P B( ) ( ) .= = 0 05
P A B P B A( | ) ( | ) .= = 010
Então, a probabilidade de falha do sistema, ou seja, a probabilidade que
ambos os componentes falhem é:
P A B P A B P B x
P A B ou seja
( ) ( | ) ( ) . .
( ) . .
∩ = =
∩ =
010 0 05
0 005 0 5%
Exemplo 6 (Resolver):
Um sistema em paralelo de dois componentes está em estado falho 3% do
tempo. Componente 1 está em estado falho 8% do tempo, e componente
2 está em estado falho 6% do tempo. Quais são as probabilidades de falha
do componente 1 uma vez que o componente 2 já falhou, e do
componente 2 dado que o componente 1 falhou ?
Probabilidade da União de Dois Eventos:
Observe a seguinte figura representando a união de dois eventos A e B
Uma vez que A e B não são mutuamente exclusivos, tem-se que e P A( ) P B( )
ambos incluem . Logo, deve ser excluída umaP A B( )∩ P A B( )∩
Exemplo
Resolvido
2:
Seja:
A
o
evento
que
componente
1
falha;
B
o
evento
que
componente
2
falha.
P(A)
=
P(B)
=
0,05
P(A|B)
=
P(B|A)=
0,10
Então,
a
probabilidade
de
falha
do
sistema,
ou
seja,
a
probabilidade
que
ambos
os
componentes
falhem
é:
P(A∩
B)
=
P(A|B).P(B)
=
0,10
.
0,05
P(
A
∩
B)
=
0.005
ou
seja
0,5%
Elementos
da
Probabilidade
Confiabilidade e Análise de Risco
Enrique López Droguett -7-
1
2
Sistema
BA
Considere dois componentes idênticos operando em paralelo os quais
dividem uma certa carga operacional. Se um dos componentes falha, a
probabilidade de falha do outro componente aumenta como conseqüência
do aumento do estress (carga operacional) sobre ele imposto.
Assim, sejam
A o evento que componente 1 falha
B o evento que componente 2 falha
onde
P A P B( ) ( ) .= = 0 05
P A B P B A( | ) ( | ) .= = 010
Então, a probabilidade de falha do sistema, ou seja, a probabilidade que
ambos os componentes falhem é:
P A B P A B P B x
P A B ou seja
( ) ( | ) ( ) . .
( ) . .
∩ = =
∩ =
010 0 05
0 005 0 5%
Exemplo 6 (Resolver):
Um sistema em paralelo de dois componentes está em estado falho 3% do
tempo. Componente 1 está em estado falho 8% do tempo, e componente
2 está em estado falho 6% do tempo. Quais são as probabilidades de falha
do componente 1 uma vez que o componente 2 já falhou, e do
componente 2 dado que o componente 1 falhou ?
Probabilidade da União de Dois Eventos:
Observe a seguinte figura representando a união de dois eventos A e B
Uma vez que A e B não são mutuamente exclusivos, tem-se que e P A( ) P B( )
ambos incluem . Logo, deve ser excluída umaP A B( )∩ P A B( )∩
Variáveis
Aleatórias
Considere
as
seguintes
situações:
Ao
lançar
dois
dados,
sabemos
que
a
soma
X
dos
dois
números
obtidos
deve
ser
um
inteiro
entre
2
e
12,
porém
não
podemos
predizer
com
certeza
qual
valor
de
X
será
obtido;
No
popular,
diz-‐se
que
cada
valor
possível
de
X
tem
uma
“chance”
de
ocorrer;
Da
mesma
forma,
ao
selecionar
uma
lâmpada
fluorescente
a
partir
de
uma
linha
de
produção
nós
não
podemos
predizer
exatamente
qual
será
a
sua
vida
útil
X,
ou
seja,
quanto
tempo
a
lâmpada
irá
operar
antes
de
falhar.
Caracterísca
de
uma
V.A.
Variável
Aleatória
é
uma
variável
que
pode
assumir
valores
de
acordo
com
determinadas
probabilidades
associadas
a
estes
possíveis
valores;
Estas
probabilidades
formam
a
Distribuição
de
Probabilidade
da
variável
aleatória
X.
Cada
valor
de
X,
ou
um
intervalo
de
valores
de
X,
está
associado
a
uma
probabilidade.
Caracterísca
de
uma
V.A.
Notação:
Letras
maiúsculas
(X,
Y,
T)
são
usadas
para
representar
uma
variável
aleatória
(v.a.);
Letra
minúsculas
são
usadas
para
expressar
os
valores
que
a
v.a.
pode
assumir.
Por
exemplo,
se
X
é
o
número
de
vezes
que
um
produto
sai
de
especificação
durante
um
determinado
período
de
tempo
t,
então
xi
representa
o
número
observado
de
vezes
que
o
produto
saiu
de
especificação;
Caracterísca
de
uma
V.A.
Tipos
de
Variáveis
Aleatórias:
Discretas:
Quando
os
valores
(possíveis
resultados)
que
podemser
assumidos
pela
v.a.
são
contáveis.
Ocorrem
em
experimentos
nos
quais
nós
contamos.
Exemplos:
Número
de
carros
em
uma
rua;
Falhas
na
partida
de
uma
bomba;
Caracterísca
de
uma
V.A.
Tipos
de
Variáveis
Aleatórias:
Contínuas:
Ocorre
em
experimentos
nos
quais
nós
medimos;
Exemplos:
Voltagem
elétrica;
Pressão
sanguinea;
Tempo
de
reparo
de
uma
bomba;
Caracterísca
de
uma
V.A.
Distribuição
Uniforme
A
distribuição
uniforme
é
um
dos
modelos
discretos
mais
simples;
Ela
descreve
uma
variável
aleatória
com
um
número
finito
de
valores
inteiros
de
a
a
b;
Isto
é,
a
distribuição
inteira
depende
somente
de
dois
parâmetros
a
e
b.
Cada
valor
é
igualmente
provável.
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Uniforme
Parâmetros:
a
=
Limite
Inferior
b
=
Limite
Superior
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Uniforme
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Benoulli
Um
experimento
aleatório
que
tem
somente
dois
resultados
possíveis;
Denominamos
um
dos
eventos
de
“sucesso”
(denotado
X
=
1)
e
o
outro
de
“fracasso”
(denotado
X
=
0);
A
probabilidade
de
sucesso
é
denotada
por
π;
A
probabilidade
de
fracasso
é
1
–
π;
As
probabilidades
somam
1,
isto
é,
P(0)
+
P(1)
=
(1
–
π)
+
π
=
1.
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Benoulli
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Binomial
A
distribuição
binomial
ocorre
quando
um
ensaio
de
Bernoulli
é
repetido
n
vezes.
Cada
ensaio
de
Bernoulli
é
independente
e
a
probabilidade
de
sucesso
π
permanece
constante
em
cada
ensaio.
Em
um
experimento
binomial,
estamos
interessados
em:
X
=
O
número
de
sucesso
em
n
ensaios,
tal
que
a
variável
aleatória
binomial
X
seja
a
soma
de
n
variáveis
aleatórias
Xi
de
Bernoulli
independentes:
X
=
X1
+
X2
+
...
+
Xn
Distribuiçõesde
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Binomial
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
de
Poisson
O
modelo
assume
que
os
eventos
de
interesse
são
uniformemente
dispersas
ao
acaso
em
um
tempo
ou
espaço,
com
alguma
intensidade
constante,
λ.
Por
exemplo,
V.A.
X
pode
representar
o
número
de
falhas
observadas
no
processo
de
uma
planta
por
ano
(domínio
de
tempo);
O
número
de
barras
que
chegam
a
uma
dada
estação
por
hora
(domínio
de
tempo),
se
eles
chegam
aleatoriamente
e
de
forma
independente
no
tempo;
Ele
também
pode
representar
o
número
de
fissuras
por
unidade
de
área
de
uma
folha
de
metal
(domínio
espacial);
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
de
Poisson
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Distribuição
Normal
A
distribuição
normal
de
probabilidade
é
definida
por
dois
parâmetros,
μ
e
σ.
Ela
é
frequentemente
denotada
por
N(μ;
σ).
O
domínio
de
uma
variável
aleatória
normal
é
−∞
<
x
<
+∞.
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Conhnuas
Distribuição
Normal
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Basic Reliability Mathematics 51
p = o
U = 0.5
.
4
t -
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
~~ ~ ~
Figure 2.5 Normal distribution.
The integral cannot be evaluated in a closed form, so the numerical
integration and tabulation of normal cdf are required. However, it would be
impractical to provide a separate table for every conceivable value of p and 0.
One way to get around this difficulty is to use the transformation of the normal pdf
to the so-called standard normal pdf which has a mean of zero (p = 0) and a
standard deviation of 1 (0 = 1). This can be achieved by means of the r.v.
transformation 2, such that
(2.43)
That is, whenever r.v. T takes on a value t , the corresponding value of r.v. 2 is
given by z = (t - p)/a. Therefore, if Ttakes on values t = t , or t = tz, the r.v. 2 takes
on values z , = (t, - p)a, and z2 = (t2 - p)/a. Based on this transformation, we can
write
Distribuição
LogNormal
Uma
V.A.
definida
positivamente
é
distribuída
de
forma
lognormal,
se
seu
logaritmo
é
distribuído
normalmente.
A
distribuição
lognormal
tem
aplicações
consideráveis
em
engenharia.
Uma
aplicação
importante
desta
distribuição
é
a
de
representar
uma
variável
aleatória,
que
é
o
resultado
da
multiplicação
de
muitas
variáveis
aleatórias
independentes.
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Conhnuas
Distribuição
LogNormal
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Basic Reliability Mathematics 53
PI-(-" < T < 0) = Pr(-w < 2 = - 1700/280 = -6.07) = 6.42 x 10""
which can be considered as negligible. So, finally, one can write
Pr(-a < T < 1000) = Pr(0 < T < 1000) = Pr(-a < Z < -2.5) = 0.0062
L ognorma I Distribution
A positively defined random variable is said to be lognormally distributed
if its logarithm is normally distributed. The lognormal distribution has
considerable applications in engineering. One major application of this distribution
is to represent a random variable that is the result of multiplication of many
independent random variables.
If T is a normally distributed r.v., the transformation Y = exp(T) transforms
the normal pdf representing r.v. T with mean p, and standard deviation U, to a
lognormal pdf,&), which is given by
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1 .o
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Figure 2.6 Lognormal distribution.
Basic Reliability Mathematics 53
PI-(-" < T < 0) = Pr(-w < 2 = - 1700/280 = -6.07) = 6.42 x 10""
which can be considered as negligible. So, finally, one can write
Pr(-a < T < 1000) = Pr(0 < T < 1000) = Pr(-a < Z < -2.5) = 0.0062
L ognorma I Distribution
A positively defined random variable is said to be lognormally distributed
if its logarithm is normally distributed. The lognormal distribution has
considerable applications in engineering. One major application of this distribution
is to represent a random variable that is the result of multiplication of many
independent random variables.
If T is a normally distributed r.v., the transformation Y = exp(T) transforms
the normal pdf representing r.v. T with mean p, and standard deviation U, to a
lognormal pdf,&), which is given by
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1 .o
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Figure 2.6 Lognormal distribution.
Distribuição
Exponencial
Essa
distribuição
foi
historicamente
a
primeira
distribuição
usada
como
um
modelo
de
distribuição
do
tempo
até
a
falha,
e
ainda
é
o
mais
utilizado
em
problemas
de
confiabilidade.
A
distribuição
tem
somente
um
parâmetro
na
PDF;
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Conhnuas
Distribuição
Exponencial
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Basic Reliability Mathematics 55
From (2.47) and (2.48), p, and o, can also be determined in terms of pl and ol.
(2.49)
(2.50)
Exponential Distribution
This distribution was historically the first distribution used as a model of
time-to-failure distribution, and it is still the most widely used in reliability
problems. The distribution has one-parameter pdf given by
(2.5 I )
Figure 2.7 Exponential distribution.
Figure 2.7 illustrates the exponential pdf. In reliability engineering applications,
the parameter A is referred to as the failure rate. This notion is introduced in
Basic Reliability Mathematics 55
From (2.47) and (2.48), p, and o, can also be determined in terms of pl and ol.
(2.49)
(2.50)
Exponential Distribution
This distribution was historically the first distribution used as a model of
time-to-failure distribution, and it is still the most widely used in reliability
problems. The distribution has one-parameter pdf given by
(2.5 I )
Figure 2.7 Exponential distribution.
Figure 2.7 illustrates the exponential pdf. In reliability engineering applications,
the parameter A is referred to as the failure rate. This notion is introduced in
Distribuição
Weibull
Esta
distribuição
é
amplamente
usado
para
representar
o
tempo
até
a
falha
ou
a
duração
de
vida
dos
componentes,
bem
como
sistemas;
A
V.A.
contínua
T
representa
o
tempo
até
a
falha
segue
uma
distribuição
Weibull
se
o
seu
pdf
é
dado
por:
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Conhnuas
Distribuição
Weibull
Distribuições
de
Probabilidade
-‐
Discreta
Basic Reliability Mathematics 57
(2 .52)
L 0, otherwise
Figure 2.8 shows the Weibull pdf‘s with various values of parameters of a
and (3. A careful inspection of these graphs reveals that the parameter (3 determines
the shape of the distribution pdf. Therefore, p is referred to as the shape
parameter. The parameter a, on the other hand, controls the scale of the
distribution. For this reason, a is referred to as the scale parameter. In the case
when p = 1, the Weibull distribution is reduced to the exponential distribution with
A = l /a , so the exponentialdistribution is a particular case of the Weibull
distribution. For the values of p > 1, the distribution becomes bell-shaped with
some skew. We will elaborate on this distribution and its use in reliability analysis,
further in Chapter 3.
Figure 2.8 Weibull distribution.
Basic Reliability Mathematics 57
(2 .52)
L 0, otherwise
Figure 2.8 shows the Weibull pdf‘s with various values of parameters of a
and (3. A careful inspection of these graphs reveals that the parameter (3 determines
the shape of the distribution pdf. Therefore, p is referred to as the shape
parameter. The parameter a, on the other hand, controls the scale of the
distribution. For this reason, a is referred to as the scale parameter. In the case
when p = 1, the Weibull distribution is reduced to the exponential distribution with
A = l /a , so the exponential distribution is a particular case of the Weibull
distribution. For the values of p > 1, the distribution becomes bell-shaped with
some skew. We will elaborate on this distribution and its use in reliability analysis,
further in Chapter 3.
Figure 2.8 Weibull distribution.
Referências
• DROGUETT,
E.L.
(2002)
–
Elementos
de
Probabilidade
e
EstaGsHca
Aplicados
a
Análise
de
Confiabilidade
e
Risco.
Material
de
aula.
Departamento
de
Engenharia
de
Produção
–
Centro
de
Tecnologia
e
Geociência,
Universidade
Federal
de
Pernambuco.
21
páginas.
• MODARRES,
M.;
KAMINSKIY,
M.
&
KRIVTSOV,
V.
(2013)
–
Reliability
Engineering
and
Risk
Analysis,
New
York.
• P.,
DOANE,
D.,
SEWARD,
E..
EstaGsHca
Aplicada
à
Administração
e
Economia,
4th
EdiHon.
AMGH,
01/2014.
VitalBook
file.
ELEMENTOS DA CONFIABILIDADE
DE COMPONENTES
3.1 Denifinção de Componentes vs Sistema Não Reparáveis
3.2 Conceito de Confiabilidade
3.3 Definição de Taxa de Falha
3.4 Definição de Confiabilidade Condicional
3.3 Distribuições Confiabilidade mais Comuns
ELEMENTOS DA CONFIABLIDADE DE COMPONENTES
Sistema
é
um
conjunto
de
dois
ou
mais
componentes
interconectados
para
a
realização
de
uma
ou
mais
funções;
A
distinção
entre
sistema,
subsistema
e
componente
é
meramente
por
conveniência
de
modelagem
e
determinada,
muitas
vezes
na
prática,
pelo
nível
de
detalhamento
desejado
assim
como
pelo
nível
de
informação
(dados
de
falha,
manutenção,
etc)
que
se
tem
a
disposição.
Veja
a
seguinte
ilustração.
Componentes
vs
Sistemas
Não
Reparáveis
Componente
ou
Sistema
Não
Reparável:
É
aquele
que
está
operando
em
t
=
0
(início
do
período
de
observação)
e
que
continua
em
serviço
até
o
tempo
de
falha
em
T
=
t;
Ao
ocorrer
uma
falha,
nós
não
consideramos
a
possibilidade
de
o
mesmo
ser
reparado
e
colocado
novamente
em
operação
Assim,
pode-‐se
considerar
que
um
componente
não
reparável
é
aquele
que
é
descartado
ou
substituído
por
um
novo
componente
quando
o
mesmo
falha:
A
“manutenção” de
um
sistema
Não
Reparável
compreende
em
sua
completa
substituição
por
um
novo
componente
Componentes
vs
Sistemas
Não
Reparáveis
Componente
ou
Sistema
Não
Reparável:
A
confiabilidade
de
sistemas/componentes
não
reparáveis
é
analisada
através
da
distribuição
do
tempo
de
falha;
Esta
distribuição
pode
ser
representada
pela
função
de
densidade
de
probabilidade
(PDF),
função
de
distribuição
acumulada
(CDF),
ou
taxa
de
falha:
Exemplos:
Lâmpadas
Transistores
Alguns
tipos
de
satélites
não
passíveis
de
manutenção
Componentes
vs
Sistemas
Não
Reparáveis
Componente
ou
Sistema
Reparável:
• É
aquele
que
após
falhar
é
colocado
novamente
em
operação
através
de
qualquer
procedimento
que
não
seja
a
completa
substituição
do
mesmo
-‐
É
passível
de
manutenção
-‐
Sofre
reparo
Utilizaremos
o
termo
componente
para
nos
referirmos
ao
item
a
ser
analisado
Componentes
vs
Sistemas
Não
Reparáveis
Confiabilidade,
é
definida
como
a
probabilidade
R(t)
que
um
sistema
(componente)
irá
funcionar
durante
algum
período
de
tempo
t;
Sendo
T
a
variável
aleatória
contínua
que
expressa
o
tempo
de
falha
do
componente,
T
≥
0
,
a
Função
de
Confiabilidade,
R(t)
,
pode
ser
expressa
como:
Onde
t
é
o
instante
final
do
período
durante
o
qual
o
componente
é
observado,
é
o
tempo
de
missão
do
mesmo;
O
componente
falha
em
t
ou
após
t;
Conceito
de
Confiabilidade
A
função
de
confiabilidade,
R(t)
,
deve
satisfazer
três
condições:
Conceito
de
Confiabilidade
A
função
de
confiabilidade
pode
ser
interpretada
de
duas
formas:
• R(t)
é
a
probabilidade
que
um
determinado
componente
esteja
operando
em
t;
• Se
observarmos
um
conjunto
dos
mesmos
componentes,
R(t)
é
a
fração
esperada
da
população
que
está
operacional
em
t.
Conceito
de
Confiabilidade
Como
R2(t)
>
R1(t)
para
todo
0
≤
t
≤
+∞
,
pode-‐se
dizer
que
equipamentos
feitos
por
fabricante
2,
são
superiores
do
que
os
feitos
pelo
fabricante
1
quanto
a
confiabilidade;
•
A
função
de
confiabilidade
pode
ser
usada
para
comparar
o
comportamento
de
diversos
componentes:
• Por
exemplo,
considere
dois
componentes
iguais
produzidos
por
diferentes
fabricantes,
cujas
curvas
de
confiabilidade
são
mostradas
a
seguir:
Conceito
de
Confiabilidade
•
A
Função
de
Distribuição
Acumulada
é
definida
como
Logo,
Conceito
de
Confiabilidade
Corresponde
a
probabilidade
que
o
componente
falhe
antes
de
t.
Note
que:
F(t)
é
Monotonicamente
crescente
Conceito
de
Confiabilidade
•
A
Função
de
Densidade
de
Probabilidade
é
definida
por:
• A
PDF
descreve
a
forma
da
distribuição
do
tempo
de
falha;
• É
a
representação
“visual”
da
distribuição
do
tempo
de
falha.
•
As
propriedades
da
PDF
são:
Conceito
de
Confiabilidade
•
Tendo-‐se
a
f(t),
podemos
obter
R(t)
e
F(t):
•
Probabilidade
de
Falha
F(t):
•
Integrando,
•
Resultando
em:
Conceito
de
Confiabilidade
•
Tendo-‐sea
f(t),
podemos
obter
R(t)
e
F(t):
•
Função
Confiabilidade:
•
Integrando,
•
Resultando
em:
Conceito
de
Confiabilidade
•
F(to)
é
a
probabilidade
de
falha
antes
de
to;
•
R(to)
é
a
probabilidade
de
que
a
falha
ocorra
após
ou
em
to;
Assim,
se
observarmos
uma
população
dos
mesmos
componentes:
• F(to)
corresponde
à
fração
de
componentes
que
falharão
antes
de
to,
• R(to)
é
a
fração
de
componentes
que
irão
falhar
após
ou
em
to;
Conceito
de
Confiabilidade
•
A
probabilidade
de
que
uma
falha
ocorra
entre
os
instantes
T
=
t1
e
T
=
t2,
ou
seja,
dentro
do
intervalo
de
tempo
[t1,
t2]
é
dada
por:
• O
que
resulta
em:
Conceito
de
Confiabilidade
•
Exercício
1:
Dada
a
seguinte
função
de
densidade
de
probabilidade
para
o
tempo
de
falha
(em
horas
de
operação)
de
um
compressor,
a. Qual
é
a
confiabilidade
para
uma
missão
de
100
horas?
b. Qual
é
a
probabilidade
de
falha
deste
compressor
entre
10
e
100
horas?
Conceito
de
Confiabilidade
•
O
Tempo
Médio
de
Falha
(MTTF
–
Mean
Time
To
Failure)
é
definido
por
• Corresponde
a
média,
ou
valor
esperado,
da
distribuição
de
probabilidade
do
tempo
de
falha
T;
Outra
forma
de
calcular
o
MTTF:
• A
qual
é
uma
expressão
mais
fácil
de
aplicar
na
prática
do
que
a
anterior.
Conceito
de
Confiabilidade
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
• A
média,
MTTF,
do
tempo
de
falha
de
um
componente
é
apenas
uma
das
possíveis
medidas
de
tendência
central
da
distribuição
de
T
.
• Outras
medidas
são
também
usadas
em
análise
de
confiabilidade;
Conceito
de
Confiabilidade
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
Mediana:
•
A
mediana
do
tempo
de
falha
T
de
um
componente
é
definida
como:
•
Equivalentemente,
para
uma
população
de
componentes,
tem-‐se
50%
das
falhas
ocorrendo
antes
da
mediana
de
T,
e
50%
das
falhas
acontecendo
após
T;
Na
prática,
a
mediana
tmed
é
preferível
à
média
(MTTF),
quando
a
distribuição
de
T
é
altamente
não
simétrica
(a
distribuição
é
“skewed”)
Conceito
de
Confiabilidade
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
Moda:
• tmod
equivale
ao
máximo
da
função
de
densidade
de
probabilidade
(PDF);
• Portanto,
para
um
intervalo
de
tempo
em
torno
da
moda
tmod,
a
probabilidade
de
falha
será
maior
neste
intervalo
do
que
para
qualquer
outro
intervalo
de
tempo
do
mesmo
tamanho.
Conceito
de
Confiabilidade
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
Observe
no
gráfico
da
densidade
de
probabilidade
(PDF)
as
posições
relativas
entre
o
MTTF,
tmed
e
tmod
Conceito
de
Confiabilidade
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
Conceito
de
Confiabilidade
Relação
da
simetria
da
PDF
e
o
comportamento
do
MTTF,
tmed
e
tmod
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
Exerçicio
2
•
Considere
a
seguinte
PDF:
com
t
em
horas.
Determine:
a. A
função
de
confiabilidade;
b. O
MTTF;
c. A
mediana
t
do
tempo
de
falha;
Conceito
de
Confiabilidade
Outras
medidas
de
tendência
central
da
Distribuição
do
Tempo
de
Falha
Importante!!:
• Mesmo
que
dois
componentes
possuam
o
mesmo
MTTF,
as
suas
confiabilidades
podem
ser
bem
distintas
para
o
mesmo
tempo
operacional!
• Veja
o
exemplo
a
seguir;
Conceito
de
Confiabilidade
Exercício
3:
com
MTTF1
=
500h
.
• Considere
agora
que
temos
um
segundo
componente
cuja
confiabilidade
é
fornecida
pela
seguinte
expressão:
onde
MTTF2
=
500
h.
• Ou
seja,
ambos
os
componente
possuem
tempos
médios
de
falha
iguais:
MTTF1
=
MTTF2
.
Conceito
de
Confiabilidade
Exercício
3:
Porém,
para
T
=
400
h
:
• Resultando
em
níveis
de
confiabilidade
substancialmente
diferentes
para
os
componentes
em
um
mesmo
período
de
operação!
Conceito
de
Confiabilidade
Observe
a
variação
da
confiabilidade
no
tempo
para
ambos
os
componentes
• Logo,
o
MTTF
por
si
só
não
caracteriza
completamente
a
distribuição
do
tempo
de
falha;
• Outras
medidas
são
necessárias,
como
a
variância;
Conceito
de
Confiabilidade
Variância:
• Como
vimos,
a
variância
é
uma
medida
de
dispersão
dos
tempos
de
falha
em
torno
do
MTTF
(média):
• A
variância
também
pode
ser
dada
como:
Conceito
de
Confiabilidade
Desvio
Padrão:
• Corresponde
a
raiz
quadrada
da
variância:
• É
mais
fácil
de
interpretar
do
que
a
variância
σ2
uma
vez
que
o
desvio
padrão
σ
possui
a
mesma
dimensão
(unidade)
do
tempo
de
falha
T;
Conceito
de
Confiabilidade
Taxa
de
Falha
ou
Força
de
Mortalidade
Instantânea,
h(t):
• É
a
probabilidade
de
falha
por
unidade
de
tempo
do
componente
(ou
sistema)
uma
vez
que
o
mesmo
tenha
operado
até
o
instante
t
:
• Ou
seja,
a
taxa
de
falha
é
a
probabilidade
condicional
de
falha
por
unidade
de
tempo
(instantânea)
dado
que
o
componente
(ou
sistema)
já
tenha
operado
até
o
instante
t;
Conceito
de
Confiabilidade
Taxa
de
Falha
Acumulada,
H(t):
•
Corresponde
a
taxa
de
falha
acumulada
durante
um
período
de
tempo
t
,
i.e.,
[0,
t]
§
H(t)
tem
as
seguintes
propriedades:
Conceito
de
Confiabilidade
Curva
da
Banheira
• A
forma
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