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Introdução à Probabilidade e à Estatı́stica
Prof. Kayo Douglas
Universidade Federal do ABC
21 de outubro de 2016
Organização:
Prof. Kayo Douglas Aulão IPE
Docentes
1. Pedro Lauridsen Ribeiro
2. Vladimir Perchine
3. André Martin Timpanaro
Prof. Kayo Douglas Aulão IPE
Conteúdo
1. Análise Combinatória
2. Elementos de Probabilidade
3. Espaços Equiprováveis
4. Probabilidade Condicional
Prof. Kayo Douglas Aulão IPE
Permutações
Quando queremos ver de quantas formas podemos rearranjar
uma sequência de n valores
Pn = n!
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Anagramas
Quando queremos calcular a quantidade de anagramas de
uma palavra com n letras que não se repetem
ANn = n!
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Anagramas
Quando queremos calcular a quantidade de anagramas de
uma palavra de n letras, composta das letras l1, l2, l3, . . . , lk em
que cada letra li se repete ti vezes
ANRt1,t2,...,tk =
n!
t1!t2!t3! . . . tk !
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Anagramas
Ex: A palavra CONTINENTE tem
ANR1,1,3,2,1,2 =
(1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2)!
1!1!3!2!1!2!
anagramas
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Arranjos
Quando queremos ver de quantas formas diferentes podemos
Ordenar k dados a partir de um conjunto de n elementos (Sem
Repetição)
An,k =
n!
(n − k)!
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Arranjos
Quando queremos ver de quantas formas diferentes podemos
Ordenar k dados a partir de um conjunto de n elementos (com
repetição)
ARn,k = nk
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Combinações
Quando queremos ver quantos conjuntos de k elementos
diferentes podemos obter a partir de um conjunto de n
elementos
Cn,k =
(
n
k
)
=
n!
k !(n − k)!
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Combinações
Exemplo: Suponha que em uma sala de aula tenhamos 6
carteiras em um fileira, aonde querem sentar 3 meni- nos e 3
meninas.
1. De quantas maneiras diferentes as crianças podem sentar
na fileira?
2. E se os 3 meninos quiserem ficar juntos e as 3 meninas
quiserem ficar juntas? (ou seja, os 3 meninos em
sequência e as 3 meninas em sequência, não importando
qual dos grupos vem primeiro) De quantas maneiras eles
poderiam sentar?
3. E se apenas os 3 meninos quiserem ficar juntos?
4. E se as crianças quiserem se sentar alternando meninas e
meninos? (não importando se começamos a fileira com
meninas ou meninos)
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Combinações
Exemplo: Uma pessoa quer vender três DVDs da sua coleção
que conta com 15 filmes de Drama, 13 de Comédia e 6 de
Aventura. Quantas escolhas existem se ela quiser vender dois
DVDs de um gênero e mais um, de outro?
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Número de soluções inteiras Positivas
O Número de Soluções Inteiras Positivas da equação
x1 + x2 + x3 + . . .+ xr = n é dado por:
SPn,r =
(
n − 1
r − 1
)
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Número de soluções inteiras Positivas
Exemplo: Temos 10 vagas de monitores para 6 disciplinas, e
precisamos decidir quantos monitores vão atuar em cada
disciplina. Quantas opções de distribuição de vagas temos, se
nenhuma disciplina pode ficar sem pelo menos um monitor?
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Número de soluções inteiras Não-Negativas
O Número de Soluções Inteiras Não-negativas da equação
x1 + x2 + x3 + . . .+ xr = n é:
SNn,r =
(
n + r − 1
r − 1
)
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Número de soluções inteiras Não-Negativas
Exemplo: De quantas formas diferentes podemos distribuir 15
bolinhas em 4 caixas?
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Número de soluções inteiras Não-Negativas
Exemplo: Temos 37 mil reais que devem ser aplicados entre 4
carteiras diferentes. Cada aplicação deve ser feita em múltiplos
de mil reais, e os investimentos mı́nimos que podem ser feitos
são de 2,2,3 e 8 mil reais. Quantas estratégias de aplicação
diferentes existem se uma aplicação tiver que ser feita em cada
carteira?
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Número de soluções inteiras Não-Negativas
Exemplo: Temos 37 mil reais que devem ser aplicados entre 4
carteiras diferentes. Cada aplicação deve ser feita em múltiplos
de mil reais, e os investimentos mı́nimos que podem ser feitos
são de 2,2,3 e 8 mil reais. Quantas estratégias de aplicação
diferentes existem se uma aplicação tiver que ser feita em cada
carteira?
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Espaço Amostral
Definição: Chamamos de Espaço Amostral o conjunto de
todos os resultados possı́veis de um experimento
Ex: ao lançarmos um dado, e verificamos a face virada pra
cima:
Ω = {1,2,3,4,5,6}
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Espaço Equiprovável
Definição: Chamamos de Espaço Equiprovável um espaço
amostral onde cada elemento tem a mesma probabilidade de
acontecer Ex:
1. A face de cima, ao lançarmos um dado;
2. Uma carta escolhida ao acaso num baralho;
3. Uma bola sorteada em uma caixa;
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Evento
Definição: Chamamos de Evento um subconjunto de Ω,
normalmente seguindo alguma condição:
Ex: se queremos saber apenas dos resultados pares no
lançamento do dado:
E = {2,4,6}
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Intersecção
Definição: Chamamos de Intersecção de eventos o
subconjunto de Ω no qual cada elemento pertence a todos os
eventos em questão
A ∩ B = {x ∈ Ω tal que x ∈ A E x ∈ B}
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União
Definição: Chamamos de União de eventos o subconjunto de
Ω no qual cada elemento pertence a pelo menos um dos
eventos em questão
A ∪ B = {x ∈ Ω tal que x ∈ A OU x ∈ B}
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Exclusão Mútua
Definição: Dizemos que dois eventos são mutuamente
excludentes (ou exclusivos) quando a intersecção entre eles é
vazia, ou seja, eles não podem ocorrer ao mesmo tempo.
Ex:
1. Um número não pode ser par e ı́mpar ao mesmo tempo;
2. Uma moeda, ao ser lançada, não pode dar cara e coroa;
3. ao lançar bolas numa cesta, um jogador não pode acertar
duas vezes em dez e acertar três vezes em dez;
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Probabilidade
Def 1:Quando repetimos um experimento n vezes a
probabilidade de um evento E acontecer é dada pela
proporção entre a quantidade n(E) de vezes que esperamos
que esse evento ocorra nesses n lançamentos. Dessa forma
P(E) = lim
n→∞
n(E)
n
Essa definição é chamada Definição Frequentista de
probabilidade
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Probabilidade
Def 2:Probabilidade é uma função que leva do espaço amostral
(S ou Ω) ao intervalo [0,1] que respeita os seguintes axiomas:
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. P(Ω) = 1
3. Quando os eventos E1,E2,E3 · · · são mutuamente
exclusivos dois a dois:
P(
∞⋃
i=1
Ei) =
∞∑
i=1
P(Ei)
Essa definição é chamada Definição Axiomática de
probabilidade
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Probabilidade Condicional
Quando queremos saber a probabilidade de um evento A
sabendo que um evento B aconteceu, isto é, a probabilidade
de A tal que B:
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
ou
P(A|B) = |A ∩ B|
|B|
em espaços equiprováveis
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Ex 3
Seja o lançamento de dois dados honestos. Qual é a
probabilidade condicional de que pelo menos um deles caia no
6 se os dados caı́rem em números diferentes?
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Ex 3
R: Considere Nd o evento onde os dois números são diferentes
e 16 o evento de ao menos um deles ser 6
P(16|Nd ) =
P(16 ∩ Nd )
P(Nd )
=
|16 ∩ Nd |
|Nd |
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Ex 3
R:
16 = {(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6);
(6,5); (6,4); (6,3); (6,2); (6,1)}
Nd = {(x , y)|x , y = 1,2,3,4,5,6; x 6= y}
16 ∩ Nd = {(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6);
(6,5); (6,4); (6,3); (6,2); (6,1)}
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Teorema de Bayes
Quando queremos saber P(B|A) a partir de P(A|B)
P(B|A) = P(A ∩ B)
P(A)
=
P(B) · P(A|B)
P(A)
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Teorema de Bayes
Resultado 1:
P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
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Teorema de Bayes
Resultado 2:
P(A) = P(B) · P(A|B) + P(BC) · P(A|BC)
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Ex 4
Sabe-seque um ”soro da verdade”, quando aplicado a um
suspeito, é 90% eficaz quando a pessoa é culpada 99% eficaz
quando é inocente. Um suspeito é retirado de um grupo de
onde 95% delas jamais cometeram qualquer crime. Se o soro
indica ”culpado”, qual a probabilidade de o suspeito ser
inocente?
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Ex 4
Tomando C o evento no qual o suspeito é culpado, I inocente e
A o evento onde o teste aponta um suspeito como culpado.
R:O exercı́cio nos dá:
1. P(I) = 95%
2. P(C) = 5%
3. P(A|I) = 1%
4. P(A|C) = 90%
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Ex 4
R:Dessa forma
P(I|A) = P(I) · P(A|I)
P(I) · P(A|I) + P(C) · P(A|C)
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Ex 4
R:
P(I|A) = 0.95 · 0.01
0.95 · 0.01 + 0.05 · 0.9
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Exemplo
Suponha que E e F sejam eventos para os quais P(E) = 0.4,
P(F ) = 0.3 e P(E ∩ F ) = 0.2. Calcule:
1. P(E ∩ F )
2. P(E ∪ F )
3. P(F C)
4. P(EC)
5. P(E ∩ F C)
6. P(EC ∪ F )
7. P(EC ∪ F C)
8. P(EC ∩ F C)
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Exemplo
Um grupo de 20 homens e 20 mulheres é dividido
aleatoriamente em 2 grupos de 20 pessoas. Use a fórmula de
Stirling n! ≈
√
2πn
(n
e
)n para estimar a probabilidade de ambos
os grupos possuı́rem o mesmo número de homens
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Exemplo
Você pede ao seu vizinho regar uma planta enquanto você
está viajando. Sem água, a planta morrerá com probabilidade
0,8; e com água, com 0,15. Você tem 90% de certeza de que o
vizinho se lembrará de regar a planta.
1. Qual a probabilidade que a planta estará viva quando você
voltar?
2. Se a planta estiver morta quando você voltar, qual a
probabilidade de que seu vizinho tenha se esquecido de
regá-la?
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Exemplo
No depósito de uma fábrica de chocolates temos caixas de
bombons de 2 tipos:
Tipo A Essas caixas contém 60% de bombons recheados
Tipo B Essas caixas contém 30% de bombons recheados
Também sabemos que 100 das 300 caixas são do tipo A
enquanto que as restantes são do tipo B e que a única coisa
que distingue as caixas é a composição. Se eu pegar uma
dessas caixas e tirar um bombom de dentro, determine a
probabilidade que essa seja uma caixa do tipo A se
(a) O bombom for recheado
(b) O bombom não for recheado
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