MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Média aritmética 
Uma das mais importantes medidas estatísticas utilizadas é a média. Ela é, por exemplo, utilizada no 
cálculo de nossa média escolar. 
A média caracteriza o centro da distribuição de frequências; ela é considerada o ponto de equilíbrio de uma 
distribuição. 
 
Cálculo da média aritmética para dados isolados 
A média aritmética representada por x , é dada pela soma de x1+x2+x3+...+xn , dividida por n (número total 
da amostra), ou seja: 
 
Veja o exemplo a seguir: 
Um administrador deseja calcular o tempo médio, em minutos, de espera do lanche “X TUDO” em sua 
lanchonete. Para isso, analisa uma amostra de 10 pedidos, cujo tempo de espera está listado a seguir: 20; 
15; 25; 19; 18; 16; 20; 15; 10; 12 
A média é calculada da seguinte maneira: 
 
 
 
Cálculo da média aritmética para o caso de distribuição de frequências. 
Exemplo: Em uma amostra de 40 parafusos produzidos por uma metalúrgica, foram medidos os diâmetros, 
em milímetros, conforme a tabela abaixo. Qual é a medida média do diâmetro? 
 
 
 
 
 
2 
 
Tabela 1. Frequências. 
 
Neste caso utilizamos a fórmula: 
 
Pois a tabela mostra que existem 5 parafusos com diâmetro igual a 1,1mm, 10 parafusos com diâmetro 1,2 
mm e assim por diante. 
 
Tabela 2 
 
 
 
Veja o outro exemplo a seguir: 
 
3 
 
Onde xi é representado pelo ponto médio da classe. 
Tabela 3. Classes de salários. 
Classes de 
salários 
(em Meticais) 
Ponto 
médio i
f
 
ii fx  
[500;1000[ 750 8 6000 
[1000;1500[ 1250 4 5000 
[1500;2000[ 1750 9 15750 
[2000;2500[ 2250 7 15750 
[2500;3000[ 2750 10 27500 
[3000;3500[ 3250 5 16250 
[3500;4000[ 3750 7 26250 
Total 50 112500 
Meticaisx 2250
50
112500

 
Mediana (Me) 
 
A mediana é uma medida de tendência central. Ela divide um conjunto ordenado de dados em duas partes 
com igual número de elementos. 
No caso de dados isolados temos: 
Se a amostra é constituída por um número ímpar de elementos, a mediana é o valor que fica no centro dos 
dados ordenados. 
Exemplo: 20, 20, 24, 25, 30. 
A mediana é 24. 
 
Se a amostra é constituída por um número par de elementos, a mediana é a média aritmética dos dois 
valores centrais dos dados ordenados. 
Exemplo: 20, 20, 24, 26, 30 e 36 
A mediana é 
 
4 
 
Para os dados agrupados, a mediana é calculada através da fórmula: 
h
fme
fa
n
LiMe 


1
2
 
onde: 
Li : limite inferior da classe que contém a mediana. 
n : frequência total. 
1fa : soma de todas as frequências das classes anteriores à mediana. 
fme: frequência da classe que contém a mediana. 
h : amplitude do intervalo da classe da mediana. 
 
Qual é a diferença entre média e mediana? 
 
Embora sejam duas medidas de tendência central, a média e a mediana possuem conceitos diferentes. 
Observe o conjunto de dados abaixo: 
 
2, 3, 4, 5, 9, 15, 35, 98. 
 
Calculando a média obtemos: 
 
Calculando a mediana obtemos: 
 
O que podemos perceber nesse caso é que o cálculo da média levou em consideração todos os valores do 
conjunto de dados numéricos, sendo assim influenciada pelos maiores valores. A mediana levou apenas em 
consideração os seus dois valores centrais. 
Embora a média aritmética seja bastante utilizada, há casos em que a mediana descreve melhor a situação. 
Cabe ao pesquisador procurar a medida mais conveniente. 
 
5 
 
Moda 
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência. 
Exemplo. 
Para o conjunto de dados: 10, 12, 12, 23, 12, 25, 20, a moda é 12. 
Curiosidade: Para os dados agrupados, a moda é calculada através da fórmula: 
h
dd
d
LiMe 


21
1
 
onde: 
Li: limite inferior da classe modal. 
d1: diferença entre a frequência classe modal e a classe imediatamente anterior. 
d2: diferença entre a frequência classe modal e a classe imediatamente seguinte. 
h: amplitude do intervalo da classe modal. 
 
Um conjunto de dados pode ser: 
 Amodal: quando nenhum dado se repete. 
Exemplo. 2, 3, 5, 9, 10 e 12. 
 Modal: quando um valor se repete. 
Exemplo: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7 e 9. 
Moda: 4. 
 Bimodal: quando dois valores se repetem. 
Exemplo. 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 e 10. 
Moda: 4 e 6. 
 Trimodal: quando três valores se repetem. 
Exemplo. 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6 e 8. 
Moda: 2, 4 e 6. 
 Polimodal: mais do que três valores se repetem. 
Exemplo. 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10. 
Moda: 1, 3, 5 e 7. 
 
 
 
 
 
6 
 
Exemplo 1 
Do exemplo de salários, determine moda e mediana. 
Classes de salários. 
Classes de 
salários 
(em Meticais) 
Ponto 
médio if
 
fa
 
[500;1000[ 750 8 8 
[1000;1500[ 1250 4 12 
[1500;2000[ 1750 9 21 
[2000;2500[ 2250 7 28 
[2500;3000[ 2750 10 38 
[3000;3500[ 3250 5 43 
[3500;4000[ 3750 7 50 
Total 50 
 
Mediana 
h
fme
fa
n
LiMe 


1
2
 
Passos 
Determinar 
2
n
 para identificar a classe mediana 25
2
50
2

n
. Para identificar a classe mediana, deve-se 
verificar na frequência acumulada, o número menor possível, que seja maior ou igual a 25 para este 
exemplo. Observando a tabela, observa-se que a classe mediana é [2000;2500[. Logo, 
Li=2000; 21
1 fa ; 7fme ; h=500 
7,2285500
7
2125
2000 

Me
 
Moda h
dd
d
LiMe 


21
1
 
Passos 
Classe modal é a classe que apresenta a maior frequência absoluta. 
Para o presente exemplo, a classe modal é [2500;3000[. Logo, 
2500Li ; 37101 d ; 55102 d ; 500h 
5,2687500
53
3
2500 

Me
 
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DELEGAÇÃO DE MASSINGA 
CURSOS DE LICENCIATURA EM ENSINO DE QUÍMICA, GEOGRAFIA, HISTÓRIA E PSICOLOGIA 
EDUCACIONAL 
Ficha de Exercícios de Consolidação 
 
Caros Estudantes, apresento-vos a seguir exercícios referentes às medidas de tendência Central. 
Resolvam em grupos de no mínimo três elementos e máximo quatro elementos e entreguem, 
trabalhos organizados, no encontro da próxima semana. Sem mais, as minhas calorosas saudações. 
 
Exercicios 
1. Mediram-se as alturas de 11 alunos de uma turma da 12a classe e obteve-se os seguintes resultados: 
1,75; 1;72; 1,70; 1,68; 1,68; 1,65; 1,65; 1,58; 1,56; 1,50; 1,49. 
Determine: 
a) A moda; b) A mediana; c) A média aritmética. 
 
2. Calcule a média aritmética para cada uma das distribuições: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
3. Considere a seguinte tabela que representa a distribuição das alturas dos alunos de uma turma. 
Classifique a variável em Estudo 
a) Indique a amplitude da distribuição e de cada classe. 
b) Calcule a moda. 
c) Calcule a mediana. 
d) Calcule a média aritmética. 
xi 10 11 12 13 
fi 5 8 10 6 
xi 2 3 4 5 6 
fi 3 9 19 25 28 
xi 85 87 88 89 90 
fi 3 9 19 25 28 
Altura em 
metros 
Efectivos 
[45,1;40,1[ 3 
[50,1;45,1[ 10 
[55,1;50,1[ 12 
[60,1;55,1[ 5 
[65,1;60,1[ 2 
[70,1;65,1[ 4 
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4. Dada a amostra: 
 28 33 27 30 31 30 33 30 33 29 
 27 33 31 27 31 28 27 29 31 24 
 31 33 30 32 30 33 27 33 31 33 
 23 29 30 24 28 34 30 30 18 17 
 18 15 16 17 17 18 19 19 20 29 
a) Agrupe os elementos em classe (use h = 5) 
b) Construa a tabela das frequências absolutas acumuladas. 
c) Represente no mesmo sistema de eixos, os polígonos das duas frequências acumuladas. 
d) Determine a mediana e visualize-a graficamente na sua figura. 
5. A classificação final, em percentagem, de matemática de 80 estudantes de uma Universidade 
Estatal, e dada na tabela seguinte: 
68 84 75 82 68 90 62 88 76 96 
73 79 88 73 60 93 61 59 85 75 
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 
66 78 82 75 94 7769 74 68 60 
96 78 80 61 75 95 60 79 83 71 
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 
Determine: 
a) A amplitude da distribuição; 
b) O número de classes e as suas amplitudes (use a formula de Sturges) 
c) Constrói a tabela de frequências absolutas, relativas e acumuladas. 
d) Quantos estudantes receberam graus abaixo de 83? 
e) Qual é a percentagem dos estudantes que receberam graus entre 83 e 95? 
f) Qual é o valor da moda. 
 
Osvaldo Gouveia