Medidas de Posição e Séries Estatísticas

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - Campus Cabo Frio - Curso: Sistema de Informação 
Disciplina: Probabilidade e estatística Computacional - Profª Gilselene Guimarães 
 
Aula 4 – Medidas de Posição 
 
Séries Estatísticas: 
Denominamos série estatística a toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados 
estatísticos, em função da época, do local ou da espécie dos dados. 
Disso, podemos concluir que as variáveis: tempo, local e espécie são os componentes fundamentais de tais 
séries, e elas poderão ser denominadas:Históricas, Geográficas ou Específicas, respectivamente, dependendo 
do elemento variável. 
_ Série Histórica, Cronológica , Temporal ou Marcha . A variável é o tempo. 
_ Série Geográfica, Espacial, Territorial ou de localização. A variável é o local. 
_ Série Específica , Qualitativa ou Categórica . A variável é o fato ou categoria, permanecendo fixos o local e o 
tempo. 
_Séries Mistas ou Conjugadas. São composições de duas ou mais das anteriores. 
 
 
 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
A análise de variáveis quantitativas costuma sintetizar as informações contidas nos dados sob a forma de 
medidas, que podem ser representadas em diferentes grupos como as medidas de posição ou de tendência 
central. 
 
Medidas de posição central, como o próprio nome revela, preocupam-se com a caracterização e a definição do 
centro de dados. As mais importantes são: média, moda e mediana. 
 
Estas medidas dão o valor do ponto central em torno do qual os dados se distribuem. 
 
Os centros de dados 
Imagine que um professor desejasse comparar a performance de dois alunos na sua disciplina, através dos 
conceitos obtidos durante o semestre. As notas dos dois alunos estão apresentadas na tabela seguinte: 
Aluno Notas 
Pedro 7,0 4,0 8,0 5,0 
Thiago 3,0 9,0 4,0 6,0 
 
Provavelmente, a primeira ideia e o primeiro procedimento empregado para sintetizar a informação contida 
nas notas dos dois alunos envolveria a obtenção de médias. 
Aluno Média 
Pedro 6,0 
Thiago 5,5 
 
OBS: Segundo os valores encontrados, seria possível concluir que Pedro apresentou uma performance 
acadêmica ligeiramente superior a Thiago. A média, assim como as demais medidas de tendência central, 
correspondem a valores que resumem o comportamento central dos dados e podem representar um conjunto 
de dados. 
 
● Média aritmética  A média é, provavelmente, a mais usual medida empregada em Estatística. 
Corresponde a um valor representativo do centro geométrico de um conjunto de dados, apresentando um 
valor único e utilizando todos os dados analisados no seu cálculo. Além disso, apresenta a importante 
característica, nem sempre desejável, de ser sensível aos valores discrepantes, ou seja, considera 
demasiadamente os extremos em relação ao universo estudado. 
 
 
 
2 
 
 
• Para conjunto de dados simples (não agrupados): 
 
É definida pelo somatório dos dados dividido pela quantidade de números da série. 
 
1
n
i
xi
x
n
==

 
 
Ex.: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 
18 e 12 litros, determine a produção média da semana. 
 
 
 
 
 
• Para conjunto de dados agrupados(média ponderada): 
Quando os dados analisados estiverem tabulados, isto é, contados. Neste caso, é preciso ponderar as 
somas dos dados por suas frequências. 
 
 Ẍ=
 ∑ 𝐱𝐢𝐟𝐢𝐧𝐢=𝟏
∑ 𝐟𝐢
 
 
Ex.: considerando a distribuição relativa a 34 famílias de 4 filhos, tomados para variável o número de 
filhos do sexo masculino, determine a média de filhos (homens) entre as famílias. 
Nº DE FILHOS 0 1 2 3 4 
Fi 2 6 10 12 4 ∑ = 34 
 
 
 
 
● Para dados agrupados em tabela de distribuição de frequências  primeiro obtém-se o ponto médio. 
Depois multiplica-se o ponto médio de cada classe pela respectiva frequência, soma-se os produtos e 
divide-se a soma pelo somatório total da frequência dos dados. Exemplo: 
 
Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas 
 Classe Ponto Médio Frequência 
 1,5├ 2,0 1,75 3 
 2,0├ 2,5 2,25 16 
 2,5├ 3,0 2,75 31 
 3,0├ 3,5 3,25 34 
 3,5├ 4,0 3,75 11 
 4,0├ 4,5 4,25 4 
 4,5├ 5,0 4,75 1 
 Total 100 
 
 X = 1,75 . 3 + 2,25 . 16 + ...+ 4,25 . 4 + 4, 75 . 1 = 300,00 = 3,00 
 100 100 
 
 
3 
Exercícios: 
1) Um sorveteiro vendeu, nas quatro últimas semanas, 1.500, 1.300, 1.100 e 1.800 picolés. Qual foi a 
quantia média vendida na semana? 
 
 
 
 
 
 
 
2) Os salários de quatro funcionários das Indústrias Maquinarias Ltda. São: 20.000,00; 30.000,00; 
15.000,00; 10.000,00. Determine a média aritmética de seus salários? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A tabela a seguir mostra o número de vezes que alunos estiveram ausentes das aulas em determinada 
semana. Encontre a média aritmética? 
Aulas perdidas em uma semana Número de vezes (Frequência) 
0 8 
1 10 
2 12 
3 6 
Total 
 
 
 
 
 
 
4) Você recebeu uma proposta de trabalho, em que poderá optar pela empresa que irá atuar. Os dados 
abaixo representam os salários dos funcionários destas duas empresas. 
Empresa A 
Salário (R$): 900 650 700 520 3600 680 
Empresa B 
Classes Salariais (R$) Nº de empregados 
600 |---760 2 
760 |---920 3 
920 |---1080 1 
Pede-se: 
a) O salário médio de cada empresa. 
b) Com base nos resultados acima, que empresa você escolheria para trabalhar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
● Mediana  A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados. Uma distribuição terá 50% 
dos seus valores antes e 50% dos valores depois da mediana. De todas as vantagens relacionadas para a 
mediana, a principal consiste no fato de não ser afetada por valores extremos. 
 
Cálculo para dados não agrupados 
• Se a quantidade de dados da amostra for um número ímpar, a mediana é o valor que fica no centro 
dos dados ordenados. Exemplo: 1, 2, 3, 5, 9 → quantidade de dados igual a 5 →número ímpar 
Logo, a mediana é o número central dos dados ordenados, ou seja igual a 3. 
 
• Se a quantidade de dados da amostra for um número par, a mediana é a média aritmética dos dois 
valores que ficam na posição central dos dados ordenados. 
Exemplo: 1, 2, 3, 4, 7, 9 → quantidade de dados igual a 6 →número par 
Logo, a mediana será o valor referente à média aritmética dos números 3 e 4, ou seja 3 + 4 / 2 = 3,5 
 
Cálculo para dados agrupados sem intervalos de classe 
Devemos seguir os seguintes passos: 
1º) Determinamos as frequências acumuladas; 
2º) Calculamos a soma da frequência simples dividido por 2; 
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior ao resultado 
obtido acima. Tal classe será a classe mediana. 
 
= 40 / 2 =.20 
 logo a classe que contém a 
Fiac imediatamente superior a 20 é a 
3ª classe, portanto 2 é o valor 
mediano desta distribuição. 
 
 
 
 
Cálculo para dados agrupados com intervalos de classe 
 
 Md = l + 
(
∑ 𝐟𝐢
𝟐
 – 𝐅𝐚𝐜 (𝐚𝐧𝐭.))
𝐅𝐢
 . 𝐡 
 
 
Devemos seguir os seguintes passos da distribuição anterior: 
1º) Determinamos as frequências acumuladas; 
2º) Calculamos a soma da frequência simples dividido por 2; 
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior ao resultado 
obtido acima. Esta será a classe mediana. 
 
 
 
 
Nº DE MENINOS frequência = fi Frequência acumulada 
0 4 4 
1 9 13 
2 11 24 
3 8 32 
4 5 37 
5 3 40 
total 40 
l → limite inferior da classe mediana 
Fac(ant) → frequência acumulada anterior à 
classe mediana 
h→ amplitude da classe mediana 
 
 
5 
Ex: 
classes frequência = fi Frequência acumulada= fac 
50 |------------ 54 4 4 
54 |------------ 58 9 13 
58 |------------ 62 11 24 
62 |------------ 66 8 32 
66 |------------ 70 5 37 
70 |------------ 74 3 40 
total 40 
= 40 / 2 =.20; logo.aclasse mediana será 58|---------- 62 
 
Exercícios 
1) Os números de defeitos existentes em diferentes lotes de tecidos foram iguais a: 37 – 45 – 52 – 610 – 
49 – 55 – 37. Qual a mediana destes valores? 
 
 
 
 
 
 
2) Os dados a seguir referem-se ao número de livros estudados por mês em uma determinada turma de 
Contabilidade durante 12 meses. Calcule a mediana? 
10 9 8 5 5 3 5 5 6 7 9 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Moda  É o valor mais frequente de um conjunto de dados. 
A distribuição pode ser: 
• Unimodal→ 1 moda 
• Bimodal → 2 modas 
• Multimodal → 3 ou mais modas 
Amodal→ sem moda 
Exemplos: 
1, 2, 3, 4 e 5 – não tem moda – também chamado de amodal; 
1, 2, 2, 3, 4, 4 e 5 – tem duas modas: 2 e 4 – também chamados de bimodal. 
 
A moda, diferentemente das outras medidas de tendência central, pode ser obtida mesmo que a variável seja 
qualitativa. Basta verificar a frequência do dado apresentado que tem maior valor. 
 
 
 
Exercícios: 
Calcule e classifique a Moda das distribuições abaixo: 
a) 17 23 17 25 38 b) 43 49 51 57 60 
 
 
6 
 
 
c) 
 
 
Para dados agrupados em classes, há diversas fórmulas para o cálculo da Moda: 
1º CÁLCULO DA MODA BRUTA 
 
 Mo = l + L / 2 
 
 
2º Fórmula de Czuber: para calcular a moda com base nesta fórmula, devem ser seguidos alguns passos: 
1 Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior frequência). 
2 Passo: Aplica-se a fórmula. 
 
Em que: 
l = limite inferior da classe modal 
fi post = frequência absoluta imediatamente posterior á classe modal 
fi ant = frequência absoluta imediatamente anterior á classe modal 
h = amplitude da classe 
 
Exemplo: Determinar a moda para a distribuição. 
Classes F 
0 |- 1 3 
1 |- 2 10 
2 |- 3 17 (MAIOR FREQUÊNCIA) 
3 |- 4 8 
4 |- 5 5 
Total 43 
 
1 Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe 2|- 3. 
2 Passo: Aplica-se a fórmula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Xi fi 
35 3 
40 3 
45 5 
50 2 
h
fipostfiant
fipost
lM o
+
+=
 
 
7 
EXERCÍCIOS 
1. Num estudo feito numa escola, recolheram-se dados referentes às seguintes variáveis: 
(A) idade (E) tempo gasto diariamente no estudo 
(B) ano de escolaridade (F) distância de casa à escola 
(C) sexo (G) local de estudo 
(D) nota na disciplina de Matemática (H) número de irmãos 
 
a) Das variáveis indicadas, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas? 
b) Das variáveis quantitativas, mostrar quais são contínuas. 
 
2. Para o ROL de dados a seguir: 
 a) Calcule o número de classes e construa a tabela 
b) Calcule as frequências absolutas simples e acumulada 
b) Calcule a média aritmética, mediana e a moda. X = 161; Md= 160,54; Mo = 159,88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinado 
município do Estado: 
 
Milímetros de chuva 
 
 
a) Determinar o número de classes 
b) Construir a tabela de frequências absolutas simples; 
c) Determinar as frequências absolutas acumuladas; 
d) Determinar as frequências simples relativas; 
e) Calcular a média aritmética, a mediana e a moda. X = 161; Md= 160,54; Mo = 159,88 
 
 
 
 
 
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 
144 152 159 160
160 151 157 146
154 145 151 150
142 146 142 141
141 150 143 158
 
 
8 
4. Para a DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS a seguir: 
 a) Calcule e interprete a: 
* Média aritmética, mediana e moda 
X = 150,2; Md= 149; Mo = 143 (BRUTA) OU Mo = 146(CZUBER) 
* Frequência absoluta acumulada 
* Frequência relativa simples 
* Frequência relativa acumulada 
 
 
 
Classes fi 
150 |- 154 4 
154 |- 158 9 
158 |- 162 11 
162 |- 166 8 
166 |- 170 5 
170 |- 174 3