Estatica dos Fluídos e Dinâmica dos Fluídos 2 Nadson

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Universidade Estadual do Maranhão – UEMA 
Física Licenciatura – Programa Ensinar 
Disciplina: Ondas e Fluídos 
Profº Nazareno Filho 
Nadson Rodrigues Cutrim Junior 
 
Estática dos Fluídos 
Muito do que valorizamos em nossas vidas é fluido, a água que bebemos, nadamos, 
tomamos banho e o próprio sangue em nossas veias. 
O fluido é uma substância que se deforma continuamente ao ser submetida a uma 
tensão, não importando a quão pequena ela seja essa tensão. A estática dos fluidos 
estuda o fluido em repouso, também sendo conhecida como hidrostática. Os sólidos e 
fluidos se diferenciam pela forma em que respondem às tensões tangencias exercidas 
sobre ambos. 
Teorema de Stevin 
"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao 
produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as 
profundidades dos pontos”. 
 
 
 
 
 
 
Da figura acima tem-se que: 
Equação 1: 
 
em que são versores nas três direções coordenadas. 
Ao simplificar a equação chega-se a 
Equação 2: 
 
 
substituindo m por dxdydz e simplificando os fatores comuns, chega -se a: 
Equação 3: 
 
 
De forma compacta, podemos expressar a equação 1 empregando o conceito de 
gradiente de um escalar e do operador Nabla . 
 Equação 4: 
 
 
A equação 1 (ou 4) é conhecida como Equação Geral da Estática dos Fluidos. Dessas 
equações infere-se que a pressão não depende de x e de y, ou seja, a pressão em um 
plano horizontal é constante. Logo dessa forma: 
Equação 5: 
 
 
Desta forma a pressão constante em x e de y, é função apenas de z, logo a Equação 5 
pode ser escrita assim: 
 
 
 
 
Suas aplicações serão mostradas apenas Princípio de Pascal e Vasos Comunicantes: 
Princípio de Pascal 
Trata-se do equilíbrio dos líquidos, dando como exemplo à prensa hidráulica de forma 
que: 
Se o recipiente da figura estiver cheio de água fechado, tem-se 
duas aberturas, uma bem maior que a outra, colocando-se um 
pistão em cada saída este pistão pequeno então terá a força de 
 
cem homens empurrando o pistão cem vezes maior. Desta forma qualquer que seja a 
proporção das aberturas estarão em equilíbrio. Ou seja: 
𝑚 𝑒 𝑚 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑠𝑡õ𝑒𝑠 𝐴 𝑒 𝐴 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 
. 
Vasos comunicantes 
“A altura de um líquido incompressível em equilíbrio estático preenchendo diversos 
vasos comunicantes independe da forma dos 
mesmos.” 
Se tivermos um tubo em forma de U como o da 
figura, temos líquidos com 𝑝 ≠ 𝑝 que não se 
misturam desta forma eles iram subir de forma 
totalmente diferente em relação ao plano da figura 
ao lado que passa pelo mesmo fluido. Dando-se que p é a pressão sobre AB vai ser dada 
por: 
𝑝 = 𝑝 + 𝑝 𝑔ℎ = 𝑝 + 𝑝 𝑔ℎ 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 
ℎ
ℎ
=
𝑝
𝑝
 
 
Principio de Arquimedes 
“Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido 
em equilíbrio recebe uma força vertical para cima 
denominada empuxo, de intensidade igual, mas de 
sentido contrário ao peso da porção deslocada de fluido 
e aplicada no ponto onde estava localizado o centro de 
massa desta porção de fluido.” 
Esta força denominada empuxo será maior, quanto mais denso for o líquido e sua 
origem está relacionada com o fato de a pressão no líquido aumentar com a 
profundidade (Princípio de Stevin). 
Considere um objeto totalmente imerso em um fluido estático, como na figura, 
considere, também, elementos finitos de volume que serão utilizados para 
determinação da força vertical sobre o corpo em função da pressão hidrostática. Da 
equação 𝑃 − 𝑃 =
−𝑝𝑔(𝑧 − 𝑧 ) =
teremos 𝑝𝑔(𝑧 − 𝑧) 
quê: 
 
 
 
A força vertical 𝑑𝐹 resultante sobre o volume elementar é igual a: 
 
Observamos que (ℎ − ℎ )𝑑𝐴 = 𝑑𝑉 são volume do elemento cilíndrico. A força total 
𝐹 é denominada força de empuxo e, é obtida por integração sobre todo o volume do 
objeto, desta 
maneira: 
 
 
Onde V é o volume do objeto. Como 𝜌 é a densidade do liquido, temos que 𝜌 𝑉 
corresponde a à massa do líquido deslocado pela imersão do objeto e então pode-se 
anunciar o resultado anterior como 
Princípio de Arquimedes. 
Variação da Pressão Atmosférica com a Altitude 
A expressão = −𝑝𝑔 vale para qualquer fluido em equilíbrio no campo de gravidade, 
para um liquido, 𝜌 é a contante que levou a 𝑝(𝑧 ) − 𝑝(𝑧 ) = −𝑝𝑔(𝑧 − 𝑧 ). Para um 
gás, porém é preciso levar e conta o fato que 𝜌 varia de acordo com a pressão. 
A temperatura sendo constante, decorre da lei dos gases perfeitos onde a densidade é 
diretamente proporcional à pressão: 
 
 
 
desta forma z = 0 como sendo ao nível do mar. 
Substituindo ( )
( )
=
( )
( )
= a = −𝜌𝑔, tem 
𝑑𝜌
𝜌
=
𝜌 𝑔
𝜌
𝑑𝑧 = −𝜆𝑑𝑧 
Sendo 𝜆 = uma constante. A ( )
( )
=
( )
( )
= é análoga à equação para a variação 
da velocidade de um foguete integrando-se desta forma: 
 
 
Isso nos leva à famosa lei de Halley: 
 
 
 
 
Dinâmica dos Fluidos 
É “o ramo da ciência aplicada que se preocupa com o movimento dos líquidos”, de 
acordo com o American Heritage Dictionary. A dinâmica dos fluidos é um dos dois ramos 
da mecânica dos fluidos, sendo estas o estudo dos fluidos e como as forças os afetam. (O 
outro ramo é a estática de fluidos, que lida com fluidos em repouso como vimos acima). 
Características do Escoamento 
Com fluido em movimento, seu fluxo é um entre dois tipos 
principais. O fluxo é chamado regular, ou laminar, se cada 
partícula do fluido segue uma direção plana de modo que 
estas direções são diferentes estás partículas nunca se 
cruzaram uma com a outra, assim como na Figura 15.14. 
Dessa, em um fluxo constante, a velocidade de um fluido 
em qualquer ponto permanece constante no tempo. 
Acima de uma velocidade crítica, o fluxo do fluido torna-se turbulento. Em um fluxo 
turbulento e um fluxo irregular caracterizado por pequenas regiões de redemoinhos. 
Como exemplo, o fluxo de água em um rio torna-se turbulento em regiões com rochas 
e outros obstáculos, muitas vezes formando corredeiras “de água branca”, 
demonstrados pela figura. 
 
Para a viscosidade dos fluidos temos: 
 Fluido não viscoso, a este o atrito interno é desprezado. Um corpo se movendo pelo 
fluido não experimenta nenhuma força viscosa. 
Líquido incompressível. Supõe-se que a densidade do fluido permaneça constante, 
independentemente da pressão. 
Fluxo estacionário. Em fluxo regular, a velocidade do fluido em qualquer ponto 
permanece constante no tempo. 
 
Fluxo irrotacional. O fluxo de fluido é irrotacional se o fluido não tem momento angular 
sobre nenhum ponto. Se uma pequena roda de pás colocada em qualquer local no fluido 
não girar pelo centro de massa, o fluxo é irrotacional. “Se a roda girasse, caso houvesse 
turbulência, o fluxo seria rotacional”. 
Equações fundamentais 
De forma simplificada do ponto de vista termodinâmico, temos as equações que 
governam o fluido, sendo estas: 
Continuidade dos Fuidos 
onde 𝜌 é a densidade e v nosso campo de velocidades do 
fluido. 
 
Equação do Movimento 
 
Sendo da 2ª lei de Newton onde f será a densidade da 
força resultante que está atuando no fluido. Ao ser 
desmembrada teremos: 𝑓 = f + f + f onde f representa as forças de pressão (por 
unidade de volume), f as forças devidas a campos externos, por exemplo a gravidade, 
e f as forças de viscosidade, isto é, o atrito interno que existe em qualquer fluido real. 
Entretanto, no contexto visado por esse artigo (escoamento potencial) será suficiente 
assumir um fluido ideal, isto é, com viscosidade nula. 
Equação de Bernoulli 
É um princípio presente na Hidrodinâmica que pode ser entendido de 
maneira análoga ao princípio de Stevin da Hidrostática. Isso quer dizer 
que como os fluidos estão em movimento, deve-se considerar um 
termo adicional, que não é considerado no princípio de Stevin, 
contendo as velocidades dos fluidos envolvidos. 
Considere 2 pontosquaisquer e dentro de um fluido em movimento 
sob a ação da aceleração da gravidade (mostrado na figura). Uma vez 
que está velocidade seja uma grandeza vetorial, que sempre é tangente a trajetória, as 
velocidades vetoriais serão diferentes. O princípio de Bernoulli diz então que, deve-se 
levar em conta um setor potencial, um setor cinético e um setor potencial gravitacional. 
O que nos resultará a está equação: 
 
 
Reescrevendo a equação temos: 
 
 
Onde p, h e v são as nossas diferenças entre as pressões A e B, alturas A e B e velocidades 
A e B respectivamente. O princípio de Bernoulli é um tipo de equação de conservação 
de energia e apresenta inúmeras aplicações em Mecânica dos Fluidos. 
Aplicações 
Fórmula de Torriceli 
A figura mostra as formas das linhas de corrente, iniciadas na 
superfície livre, onde a pressão da atmosfera p . Ao aplicas a 
equação de Bernoulli z + + = C' entre o ponta A e um ponto 
B na parte cilíndrica do jato, onde a pressão retorna a p na figura e a velocidade é v: 
 
 
 
z -z = h é a altura que o liquido desce entre a superfície e o orifício da figura dessa 
forma obtém-se, v = 2gh dessa forma a velocidade seria a mesma atingida em queda 
livre de uma altura h. Foi esse o resultado que obteve Evangelista Torricelli em 1636. 
Tubo de Pitot 
É um dispositivo para medir a pressão ou a velocidade em um 
fluido em movimento, é necessário algum instrumento nele 
para que tenha a perturbação do escoamento, mostrado na 
figura. 
Sendo a pressão em um ponto de estagnação se elevando para p chamada de pressão 
dinâmica, devido a perca de velocidade do fluído. 
Colocando um manômetro para medirmos p-p , 
teremos um tubo pitot como o da figura. Sendo 𝜌 a 
densidade do fluido no tubo em U da figura e h a 
diferença dos níveis entre os ramos teremos, 
analogamente a p-p = 𝜌gh. 
 
 
 
Pela p = p + 𝜌v , o que permite o escoamento do fluido: 
 
 
 
Este é o sistema utilizado para medir a velocidade dos aviões. 
 
 
 
 
Existem outras aplicações como: 
 Recuperação de Petróleo; 
 Previsão Numérica de Tempo; 
 Propagação de Ondas em Meios Heterogêneos; 
 Turbulência em Líquidos; 
 
 
Referencias 
https://pt.wikibooks.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos/O_tubo_de_Pitot/ 
https://impa.br/pesquisa/dinamica-dos-fluidos/ 
https://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0102-47442008000400003&script=sci_arttext/ 
https://www.livescience.com/47446-fluid-dynamics.html/ 
https://phys.libretexts.org/Bookshelves/College_Physics/Book%3A_College_Physics_(OpenSta
x)/11%3A_Fluid_Statics/ 
Curso de Física Básica Volume 2 H.Moysés Nussenzveig 
Princípios da Física Volume 2 Oscilações, Ondas e Dinâmica