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FACULDADE ESTÁCIO NAZARÉ 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
PROF.: SILVIO TADEU 
 
1-POTÊNCIAÇÃO 
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 4.4.4.4 pode ser indicado na forma 44. 
Assim, o símbolo na , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: 

fatores n
n aaaaa ....... 
- a é a base; 
- n é o expoente; 
- o resultado é a potência. 
 
Por definição temos que: aaea  10 1 
 
Lembre!! 
 
 Número negativo elevado a expoente par fica positivo. 
 
(-3)² = -3.-3 = 9 
(-1)10 = -1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1=1 
 
 Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. 
 
(-3)5 = -3.-3.-3.-3.-3 = -243 
 
(-1)9 = -1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1 = 1 
 
 O sinal negativo dentro dos parênteses indica uma base negativa e fora indica que após a potência devemos tomar 
o oposto. 
- (2)4 ≠ (-2)4 
-(2.2.2.2) ≠ -2.-2.-2.-2 
-16 ≠ 16 
 
Perceba que o sinal faz parte da base quando está dentro dos parênteses 
 
 
Exemplos 
 
a) 2⁴ = 2 . 2 . 2 .2 = 16 
 
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49 
 
 
 
 
c) (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8 
 
d) (1/2)² = (1/2) . (1/2) = ¼ 
 
e) – (2)3 = - (2 . 2 . 2) = - 8 
 
f) – (- 3)2 = - (-3) . (-3) = - 9 
 
Exercícios de fixação 
1) Calcule 
a) 7² = 
b) 4² = 
c) 2⁵ = 
d) 8¹ = 
e) 9⁰ = 
f) (-9)² = 
g) (-5)³ = 
h) (-1)⁷ = 
i) (-15)¹ = 
j) (-10)⁰ = 
k) (+3)⁴ = 
l) (-1)⁵ ⁶ = 
m) (-10)⁵ = 
 
2) Calcule: 
 
a) 2⁵ = 
b) (-2)⁵ = 
c) -2⁵ = 
d) 2⁴ = 
e) (-2)⁴ = 
f) -2⁴ = 
g) –(-3)⁴ = 
h) –(-5)³ = 
i) –(+2)⁶ = 
 
3) Calcule: 
 
a) (3/2)² = 
b) (-1/2)⁴ = 
c) (-1/3)³ = 
d) (-4/5)⁰ = 
 
 
e) (-5/9)¹ = 
f) (+7/8)¹ = 
g) (-1/2)⁵ = 
h) (-4/3)² = 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIA 
 
 A potência como algumas outras operações matemática possui uma série de propriedades, observe o quadro 
abaixo e verifica as propriedades e seus exemplos: 
 
Fonte: https://pt-static.z-dn.net/files/d7c/a0a75a68a44abc25f98f991da5e95ac0.png 
 
Exercícios de fixação 
1)Calcule: 
a) 7⁻ ² = 
b) 5⁻ ³ = 
c) 2⁻ ⁴ = 
d) 2⁻ ⁵ = 
e) (-3)⁻ ² = 
f) –(-3)⁻ ² = 
 
2)Calcule: 
a) (3/2)⁻ ² = 
b) (1/2)⁻ ³ = 
c) (2/3)⁻ ² = 
d) (-1/4)⁻ ² = 
e) (5/2)⁻ ³ = 
f) (-1/2)⁻ ⁴ = 
 
3) Classifique como verdadeiro ou falso: 
a) 5⁷ . 5² = 5⁹ 
b) 3⁹ : 3⁴ = 3⁵ 
c) 8⁵ : 8⁻ ³ = 8² 
 
 
d) 7⁵ – 7³ = 7² 
e) 7⁶ ⁻ ⁵ = 7⁶ / 7⁵ 
f) (7³)² = 7⁵ 
g) ( 5 + 2 )² = 5² + 2² 
h) 3² + 3³ + 3⁵ = 3¹⁰ 
 
4) Simplifique, aplicando a propriedades de potência: 
 
a) (3 . 7)⁵ . ( 3 .7 )² = 3⁷ . 7⁷ 
b) (5xy²) . (2x²y³) = 10x³y⁵ 
c) ( a² . b)² . (a . b)³ = a⁷ . b⁵ 
d) (7xy²)² . (x³y²)⁴ = 49x¹⁴ y¹² 
 
 
1.3.3-POTÊNCIA 
 
A potenciação é uma aplicação da propriedade de potência em que a base é formada pelo produto de dois 
fatores. 
 
(2.104)3 = 23.(104)3 = 8.1012 
 
2- Estudo dos Radicais: 
Objetivos a serem alcançados: 
- Calcular a raiz “n” de um número real não negativo; 
- Efetuar cálculos de expressões com a presença de radicais; 
- Simplificar radicais; 
- Comparar radicais; 
- Realizar operações com radicais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação; 
- Aplicar as operações e as propriedades dos radicais para racionalizar os denominadores 
 
2-RADICIAÇÃO 
 
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: 
 
 
 
abba nn 
 
 2n  en 
 
Exemplos: 
√4 = 2, pois 2² = 4 
3√8 = 2, pois 2³ = 8 
 
 
 
 Na raiz 
n a , temos: 
- O número n é chamado índice; 
- O número a é chamado radicando. 
 
Podemos relacionar a potência e o radical, uma vez que são operações inversas, através da relação. 
 
 
 
 
 
A relação pode ser utilizada nos dois sentidos, isto é, de radical para potência e de potência para radical. 
Uma vez que não conhecemos a raiz de um número, podemos através do processo de decomposição em fatores 
primos determiná-la com relativa facilidade. 
Vejamos: 
3√64 
 
Para iniciar devemos fatorar o número 64.Assim, encontramos que: 64 = 2.2.2.2.2.2 = 26. 
Substituindo na raiz temos: 
 
3√64 = 3√26 
 
 
Logo pela propriedade temos acima temos que: 
3√64 = 3√26 = 26/3=2² = 4 
 
 
Escrevendo o radicando na forma de potência divide-se o expoente pelo índice da raiz conservando a base. 
 
Agora, vamos calcular: √1024 
 
 
 
 
 
 
Em alguns casos o expoente não será divisível pelo índice do radical assim realizamos a decomposição em 
parcelas onde uma é divisível, e portanto sai do radical, e outra não divisível e logo permanecerá no radical. Observe: 
 
Agora, faremos a 3√1024 
 
 
 
 
 
 
Anotações: 
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________ 
 
Perceba que a primeira parte é divisível pelo índice e por isso fica fora do radical, já a segunda não é divisível, 
mas é possível simplificar. Na forma literal, por exemplo: 
 
√x9 = x9/2 = √x8.x1 = x4√x 
 
2.1-OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
2.1.1-SOMA E SUBTRAÇÃO 
 
 Quando temos radicais semelhantes (entenda semelhantes como radicais de mesmo índice e radicando) em uma 
adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se, ou subtraindo, os fatores externos desses radicais. 
 
Exemplos: 
 
3√5+7√5-4√5 = √5.(3+7-4) = 6√5 
 
-45√3 + 65√3 - 45√3 = (-4+6-4) 5√3 = -25√3 
 
 
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma. 
 
Se os radicais são diferentes, e não podemos reduzi-los, operamos somente os semelhantes e deixamos as 
parcelas de radicais diferentes, ou quando possível simplificamos para igualar; observe: 
 
2√7 + 5√3 - 8√7 + √3 = (2-8) √7 + (5+1) √3 = -6√7 +6√3 
 
√8 + √32 - √2 = √2³ + √25 - √2 = 2√2+4√2-√2 = 5√2 
 
 
Exercícios de Fixação 
1-Simplifique 1081061012  : 
 
 
 
 
 
 
 
2-Determine as somas algébricas: 
a)  333 2
4
5
222
3
7
 
b) 
3
5
5
5
2
5
6
5
 
c)  3333 382423825 
d)  4545 610712678
 
3-Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: 
a)  452632203285 
 
 
b)  729501518138528 
c)  201010864812456 
d)  10
4
1
250
4
1
90
2
3
 
e)  4444 24396248696 
f)  33333 4
5
8
2216256
5
2
325 
g)  555 248664 
h)  333
125
24
10
729
375
81
64
81
4
 
Exercícios propostos 
1-Calcule as somas algébricas: 
a)  xxxx 6410 
b)  baba 144896814 
c)  333 1000827 aa 
d) 
4 944 5 3122 aaaaa 
e)  aaaxaxa 434 32 
f)  baba 835 44 
g)  x
xy
x
yx
81
10094
2
 
h)  4
4 544 4
1682
c
a
cbca
 
 
2.1.2-MULTIPLICAÇÃO 
 
Na multiplicação de radicais devemos considerar basicamente três casos, veremos cada um separadamente mas 
lembramos que eles podem aparecer associados em um problema. 
 
1º CASO: Radicais que possuem o mesmo índice 
 
Devemos conservar o radical e multiplicar os radicandos normalmente. 
 
√5. √3. √2 = √5.3.2=√30 
 
5√7.5√10.5√2 = 5√7.10.2 = 5√140 
 
Anotações: 
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________ 
 
2º caso: Radicais com o mesmo radicando 
 
Neste caso podemos transformar o radical em potência e aplicar a propriedade de produto de potências de 
mesma base, podemos ainda ter casos em que os radicandos podem ser igualados. 
3√3.5√3 = 31/3.31/5 = 3(5+3)/15 = 15√38 
4√2.5√4 = 21/4.22/5 = 2(5+8)/20 = 20√313 
 
Anotações: 
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
3º caso: Radicais e radicandos diferentes 
 
Devemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre os índices para igualá-los e depois procedemos como no primeiro 
caso; vejamos dois exemplos: 
 
√5.³√3 = 6√5³.6√3²=6√5³.3² 
 
Observe que o M.M.C. dos índices é 6, por isso ambos foram transformados para radical de índice 6. 
 
√5.4√2=4√52.4√2 = 4√5².2 
 
Anotações: 
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________ 
 
 
2.1.3-DIVISÃO 
 
Para a divisão também veremos três casos básicos que são análogos aos da multiplicação. 
 
 
1ºcaso: Radicais de mesmo índices. 
 
Nesta situação podemos dividir os radicandos normalmente ou deixá-los na forma de fração. 
 
√6÷√3 = √(6/3) = √2 
 
4√4 ÷4√6 = 4√(4/6) = 4√2/3 
 
 
Em algumas ocasiões será mais indicado deixar a resposta na forma de fração, como no exemplo acima. 
 
2ºcaso: Radicandos iguais. 
 
O segundo caso pode ser reduzido a uma divisão de potencias de mesma base. 
 
√6 ÷ ³√6 = 61/2÷ 61/3 = 63/6-2/6 = 6√65 
 
 
3ºcaso: Radicandos e índices diferentes. 
 
Assim como na multiplicação determinamos o M.M.C. dos índices e posteriormente aplicamos o 1° caso. 
 
√2 ÷ ³√3 = 6√2³ ÷ 6√3² = 6√8/9 
 
 
OBS: Todas as operações que vimos podem ser aplicadas em ambos os sentidos da igualdade, de acordo com a 
necessidade. 
 
 
RADICAL DE RADICAL 
 
√ √ √𝐵
𝑃𝑁
𝑀
= √𝐵
𝑀.𝑁.𝑃
 
 
 
3-RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
 
 
Racionalizar o denominador de uma fração é transformar uma fração com denominador irracional em uma equivalente 
com denominador racional. Para abordarmos o assunto mais detalhadamente analisaremos alguns casos. 
Vejamos inicialmente um exemplo a expressão 1/√3. 
Considerando √3 = 1,732 (aproximadamente com três casas decimais), vamos encontrar o valor decimal da 
expressão1/√3: 
 
1/√3 = 
 
 
Voltemos a considerar a expressão 1/√3: 
Usando a propriedade da equivalência das frações, multiplicamos o numerador e o denominador dessa fração 
pelo mesmo número √3, calculando, a seguir, o valor decimal do resultado: 
 
1/√3 = 
 
Como você pôde observar, as expressões 1/√3 e √3/3 são equivalentes e obtivemos o mesmo resultado 
decimal: 0,577. Porém, você deve ter notado que foi muito mais simples dividir √3 por 3 do que 1 por √3. 
Por esse motivo, usamos a racionalização transformando 1/√3 em √3/3, no qual o denominador é um número racional. 
 
 
1ºcaso: Raiz Quadrada 
 
 Vamos tornar racional o denominador da expressão1/√7. 
 Se multiplicarmos o denominador √7 por √7, teremos: 
 
√7. √7 = √49 = √7² = 7 
 
 Por esse motivo, dizemos que √7 é o fator racionalizante da expressão1/√7. 
 Conhecendo o fator racionalizante, vamos, então, multiplicar o numerador e o denominador da expressão dada 
pelo fator racionalizante e teremos: 
 
1
√7
=
1
√7
∙
√𝟕
√𝟕
=
√7
√72
=
√7
7
 
 
 
 
 Racionalizando o denominador da expressão 
5
3√10
. 
 Se multiplicarmos3√10 por √10, teremos3. √10. √10 = 3. √10² = 3.10 = 30. 
 Então, dizemos que √10 é o fator racionalizante da expressão 
5
3√10
. 
 
 
 
 
 
 
 
2ºcaso: Radical com índice maior que 2 
Vamos tornar racional o denominador da expressão 
1
√𝑎2
5 , com 𝑎 > 0. 
Expressão equivalente com 
o denominador racional 
 
 
Quando o índice do radical for diferente de 2, devemos ter um pouco mais de cuidado para achar o fator racionalizante. 
Na expressão 
1
√𝑎2
5 , o fator racionalizante é dado por √𝑎5−2
5
= √𝑎3
5
. 
Então, teremos: 
1
√𝑎2
5 =
1
√a2
5 ∙
√𝐚𝟑
𝟓
√𝐚𝟑
𝟓 =
√𝑎3
5
√𝑎2 ∙ 𝑎3
5 =
√𝑎3
5
√𝑎5
5 =
√𝑎3
5
𝑎
 
 
 
 
Racionalizar o denominador da expressão 
21
√35
7 . 
Nessa expressão, o fator racionalizante é √37−5
7
= √32
7
. 
Então, teremos: 
21
√35
7 =
21
√35
7 ∙
√32
7
√32
7 =
21√32
7
√35 ∙ 32
7 =
21√32
7
√37
7 =
21√32
7
3
= 7√32
7
 
 
 
3ºcaso: Soma de radicais 
Vamos tornar racional o denominador da expressão 
1
√5+√2
. 
Lembrando da regra dos produtos notáveis, observamos que: 
 
(√5 + √2) ∙ (√5 − √2) = (√5)
2
− (√2)
2
= 5 − 2 = 3 
 
 
Produto da soma pela diferença de 
dois termos. 
 
Então, você nota que o fator racionalizante da expressão dada é (√5 - √2). 
 
1
√5 + √2
=
1
√5 + √2
∙
(√𝟓 − √𝟐)
(√𝟓 − √𝟐)
=
(√5 − √2)
(√5)
2
− (√2)
2 = 
 
=
√5 − √2
5 − 2
=
√5 − √2
3
 
 
Racionalizar o denominador da expressão 
2+√2
2−√2
. 
Considerando o exemplo anterior e observando a expressão dada, dizemos que o fator racionalizante dessa expressão é 
(2 + √2). 
 
 
2 + √2
2 − √2
=
2 + √2
2 − √2
∙
(2 + √2)
(2 + √2)
=
4 + 2√2 + 2√2 + √22
(2)2 − (√2)
2 = 
Expressão equivalente com 
o denominador racional 
 
 
4 + 2√2 + 2√2 + 2
4 − 2
=
6 + 4√2
2
= 
2(3 + 2√2)
2
= 3 + 2√2 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1-Calcule 
a)  737576 
b)  18250325 
c)  333 3524812 
d)  2354 
e)  55 223 
f)  3234 
g) 
52
108
 
 
2-Simplifique os radicais e efetue: 
 
a)  33 8822 xxxx 
b)  3333 19224323434 
c)  32 5334 xxxxyxy 
 
3-Efetue: 
a)  32 9423 xxaxxxa 
b)  aaaaa 335 445 
c)  3216450253842 xxx 
d)  32 373 aaaabab 
 
 
4-Escreva na forma mais simplificada: 
 
a) xx. 
b)  xx3 
c)  aa 7 
d) 
x
x3
 
e) 
2
3
x
x
 
f)  43.xx 
g) 7.xx 
h) 
3 43 aa 
i)  aa4 
j)    23 aa 
k)  425 b
 
5-Efetue as multiplicações e divisões: 
 
 
 
a) 
4 223 5 .. baaba 
b) 22
3 2 4.4 xaxa 
c) xx .
10 3 
d) yxyxxy 33 22 .. 
e)  43 aaa 
f) 
3
3 5
a
a
 
 
6-Efetue: 
 
a) 
8 3
4 2
a
a
 
b) 
4 5
6 23
ba
ba
 
c) 
3
4 32
xy
yx
 
d) 

4
6
9
272
 
e)  43
3
1
53 bbb 
f) 
4
6
25.5
125.3
 
7-Torne racional o denominador das seguintes expressões: 
a) 
2
√6
. 
b) 
6
√3
. 
c) 
√3
√5
. 
d) 
20
3√3
. 
e) 
7√3
2√7
. 
f) 
1−√3
√3
. 
g) 
√2+√5
√5
. 
h) 
3−√2
√2
. 
 
8-Sabendo que 𝑥 e 𝑦 são números reais positivos, racionalize o denominador das seguintes expressões: 
a) 
𝑥
√𝑥
. 
 
 
b) 
𝑥
2√𝑦
. 
c) 
𝑥𝑦
5√𝑥
. 
d) 
𝑥√𝑦
𝑦√𝑥
. 
 
9-Escreva na forma mais simples possível as expressões: 
a) √
2
11
. 
b) √
5
3
. 
c) √
1
2
. 
d) √
3
8
. 
e) √0.9. 
f) √0,3. 
 
Referências 
 
PROJETO ARARIBÁ PLUS. Matemática. 4 ed. São Paulo: Moderna,2015 . (Obra coletiva concebida, desenvolvida e 
produzida pela Editora Moderna). 
 
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011. 
 
CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI, Jose Ruy; GIOVANNI JR., José Ruy. Conquista da Matemática. 
3.ed.São Paulo: FTD, 2015 
 
DANTE. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2011. 
 
GIOVANNI, José Ruy ; GIOVANNI, José Ruy. Pensar & descobrir. São Paulo: FTD, 2010. 
 
IMENES, Luiz Marcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Moderna, 2012. 
 
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 
2013. 
 
RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática. São Paulo: Scipione, 2013. 
 
TOSATTO, Claudia Mirian, et al. Matemática. Curitiba: Positivo, 2005. 
 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática ideias e desafios.16. ed. São Paulo: Saraiva, 2011