Pequenas Oscilacoes

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Pequenas Oscilações 
Estágio Supervisionado de Docência 
Eduardo B. Guedes 
 
 
 
 
 
01/10/2012 
 
 
 
Introdução 
• A Lagrangeana para uma partícula de massa m sob a ação de um potencial 
U(x) se escreve: 
)(
2
1 2 xUxmL
UTL



• Se U(x) tem um mínimo em x = x0 e queremos estudar o movimento nas 
proximidades do mínimo, podemos expandir o potencial numa série de 
Taylor: 
...))(("
2
1
))((')()( 200000  xxxUxxxUxUxU
Introdução 
• Fazendo as seguintes mudanças de variável, obtemos a Lagrangeana de 
um oscilador harmônico: 
2
0
2
0000
2
1
2
1
)(";)(;)()(
kqUqmL
xUkxUUxtxtq



 • A mesma coisa acontece quando temos N corpos. Em especial, estamos 
interessdos no problema de N osciladores interagentes, que realizam seus 
movimentos ao redor de um mínimo. Vejamos um exemplo simples. 
 
Introdução 
• Sistema com 2 massas e 3 molas: 
 k k k 
x 
• A segunda lei de Newton para as duas massas (m1 = m2 = m) se escreve: 





)(
)(
1222
1211
xxkkxxm
xxkkxxm


Equações acopladas!! 
Introdução 
• Porém, podemos fazer uma mudança de coordenadas “esperta” 
 
 
)cos()(
)cos()(
2222
1111




tat
tat






22
11
122121
3
;



km
km
xxxx


para obtermos: 
 
 Equações desacopladas!! 
• Essas novas coordenadas são chamadas de modos normais e obedecem 
equações deoscilador harmônico desacopladas, cujas soluções são: 
Introdução 
• Nas coordenadas originais do problema: 
)]cos()cos([
2
1
)(
2
1
)(
)]cos()cos([
2
1
)(
2
1
)(
222111212
222111211




tatatx
tatatx
• As constantes são obtidas das 4 condições iniciais. 
• O movimento de x1 e x2 é uma superposição de oscilações com essas 
frequências. 
Introdução 
• Uma escolha conveniente de condições iniciais pode fazer com que 
apenas uma das frequências seja excitada: 





















1
1
;
1
1
)cos(
)(
)(
)(
21
2,12,12,12,1
2
1
2,1
aa
ac
tx
tx
t



C.I.’s tais que a2 = 0 C.I.’s tais que a1 = 0 
)()(
)cos(
2
)(
)cos(
2
)(
21
11
1
2
11
1
1
txtx
t
a
tx
t
a
tx





)()(
)cos(
2
)(
)cos(
2
)(
21
22
2
2
22
2
1
txtx
t
a
tx
t
a
tx





Movimentos onde as coordenadas x1 e x2 vibram com 
apenas uma das frquências naturais se chamam 
modos normais de vibração. A solução geral do 
problema é uma mistura deles! 
Introdução 
• O regime de pequenas oscilações nos leva a equações lineares. Desse 
modo, sempre é possível encontrar N modos normais de vibração, que 
oscilam com frequências normais (ou naturais) bem definidas. Esses 
modos são linearmente independentes e o movimento geral do sistema 
pode ser escrito como uma superposição (combinação linear) de modos. 
 
 
Teoria 
• De um modo geral, podemos escrever a energia cinética de um sistema de 
N corpos em termos das coordenadas generalizadas: 
 
 
 
 
k
N
kj
jjk qqMT 


1,2
1
• E o potencial (que agora depende de várias variáveis): 
 
 
 
 
),...,( 21 NqqqUU 
Teoria 
• Estamos interessados no movimento em torno do mínimo x0, podemos 
fazer: 
 
 
 
 ...))((
2
1
)(),...,(),...,(
1,
00
0
2
1
0
0
000
121 2












N
kj
kkjj
kj
N
k
kk
k
N
qqqq
qq
U
qq
q
U
qqqUqqqU
N
• A condição de mínimo nos garante que: 
 
 
 
 
0
0



kq
U
Teoria 
• Definimos a matriz Hessiana: 
 
 
 
 
0
2
kj
jk
qq
U
A



• E utilizamos como coordenadas o desvio mínimo 
 
 
 
 
0qqx kk 
• Para obter 
 
 
 
 



N
kj
kjjkk
N
kj
jjk xxAxxML
1,1, 2
1
2
1

Teoria 
• As equações de movimento são acopladas: 
 
 
 
 
),...,1(
11
NkxAxM
x
L
x
L
dt
d
N
j
jkj
N
j
jkj
kk

















• Como encontrar as frequências naturais e os modos normais de vibração 
desse sistema? 
 
 
 
 
Teoria 
• Vamos supor que todas as coordenadas oscilam com mesma frequência e 
fase: 
 
 
 
 
)cos()(   tatx jjj
Obs.: esse não é o movimento mais geral, mas estamos interessados em 
descobrir os modos normais de vibração e suas respectivas frequências 
naturais (ou características). 
 
 
 
Teoria 
• Substituindo nas equações de movimento, encontramos: 
 
 
 
 
  0~~ 2
11
2

 

aMA
aAaM
N
j
jkj
N
j
jkj



ou 
 
 
 
Sistema linear homogêneo! 
• Para haver uma solução não-trivial, o determinante da matriz deve ser 
nulo: 
 
 
 
  0~~det 2  MA  Equação de ordem N para ². (É possível mostrar que TODAS as raízes são reais.) 
Teoria 
• A os autovalores desse sistema nos fornecem as frequências naturais. 
• Os autovetores são chamados de amplitudes, e estão definidos a menos 
de um fator multiplicativo. 
• As amplitudes são ortogonais! 
• As amplitudes associadas a cada frequência determinam como cada 
coordenadas vibra no modo normal correspondente. 
• No exemplo da introdução: 
 
 
 
 




















1
1
;
1
1
)cos(
)(
)(
)(
21
2,12,12,12,1
2
1
2,1
aa
ac
tx
tx
t



)()( 21 txtx 

)()( 21 txtx 

Teoria 
• Será que os modos normais encontrados desacoplam a Lagrangeana? 
• Em forma matricial, temos: 
 
 
 
 
















N
r
rrrrr
rs
N
sr
rrsr
N
sr
srs
rs
N
sr
rsr
N
sr
srs
mmL
aMaaMaL
aAaaMaL
xAxxMxL
1
222
1,
2
1,
1,1,
2
1
2
1
~
2
1~
2
1
~
2
1~
2
1
~
2
1~
2
1








 

N
r
r
r
n tatx
1
)()( 

rrr aMaA


~~ 2
srrrs maMa ,
~


Osciladores desacoplados! 
Exemplo 
• Como exemplo, resolveremos a molécula linear triatômica: 
 
 
 
 
l 
k k 
Exemplo 
0;;
])()[(
2
1
),,(
31
2
13
21
2
12
11
2
11
2
2
23
2
21321














qq
U
Ak
qq
U
Ak
qq
U
A
qq
U
A
lxxlxxkxxxU
kj
jk
Exemplo 
0
0
2
0
00
00
00
;
0
2
0
2
2
2







































mkk
kMkk
kmk
m
M
m
M
kk
kkk
kk
A



Exemplo 
0)]2()1(2[
0
110
121
011
;;
2
2
02
0
2
















rrr
r
m
k
M
m
r








Exemplo 
M
m
m
k
r
m
k
2
1
2
1
1
00
33
22
11







































1
2
1
;
1
0
1
;
1
1
1
321 raaa

• Frequências naturais: 
 
 
 
 
• Amplitudes 
 
 
 
Exemplo 
• Analisando os modos normais: 
 
 
 
 









)cos()(
)cos()(
)cos()(
111)3(
111)2(
111)1(
1




tNtx
tNtx
tNtx
Exemplo 
• Analisando os modos normais: 
 
 
 
 









)cos()(
0)(
)cos()(
222)3(
)2(
222)1(
2



tNtx
tx
tNtx
Exemplo 
• Analisando os modos normais: 
 
 
 
 











)cos()(
)cos(
2
)(
)cos()(
333)3(
333)2(
333)1(
3




tNtx
tN
r
tx
tNtx
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Modos normais! 
Equação para um 
oscilador harmônico! 
un-1 
n+1 n-1