Projeto vibrações

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO VALE DO IPOJUCA - UNIFAVIP | Wyden 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DE ANÁLISE VIBRACIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARUARU – PE 
2020 
2 
 
Danilo Ewerton da Silva Santos - 141092657 
Elder Pereira da Silva – 142090735 
José Wildson Ferreira da Silva – 171093670 
Stéphanie dos Santos Silva - 172090822 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DE ANÁLISE VIBRACIONAL 
 
 
 
 
Projeto de análises vibracional, sobre: 
métodos analíticos e experimentais, FFT, 
FRF, PSD, diagrama de bode, 
espectrograma e periodograma, métodos 
paramétricos, apresentado no curso de 
graduação de engenharia mecânica, durante 
a disciplina de Oscilações e Vibrações, na 
data: 05/10/2020. 
Orientação: Prof.º Yuri Moraes. 
 
 
 
 
 
 
CARUARU – PE 
2020 
3 
 
Resumo 
 
 
 
O presente trabalho apresenta uma metodologia de analises 
vibracional. De modo que foi realizada toda uma revisão bibliográfica 
sobre os métodos de analise vibracional, tais como, método analítico e 
experimental, Fast Fourier transform (FFT), Frequency Response 
Function (FRF), Power Spectral Density (PSD), diagrama de Bode, 
espectrograma, periodograma, Métodos paramétricos. O projeto visa 
exemplificar os métodos de modo a ter fácil compreensão dos gráficos 
que serão analisados, dentro os estudos de caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Lista de ilustrações 
 
Figura 1 – Espectro Eletromagnético ........................................................................ 23 
Figura 2 - Sentido longitudinal ................................................................................... 34 
Figura 3 - Sentido transversal ................................................................................... 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Lista de Gráficos 
 
Gráfico 1 - Onda senoidal no domínio de tempo ....................................................... 12 
Gráfico 2 - Transformada de Fourier da onda senoidal ............................................. 12 
Gráfico 3 - Diagrama de Bode ................................................................................... 13 
Gráfico 4 - Comparação de padrões de teste............................................................ 15 
Gráfico 5 - Comparação de padrões de teste............................................................ 15 
Gráfico 6 - Densidade espectral de potência de velocidade ..................................... 18 
Gráfico 7 - Densidade espectral de potência de deslocamento ................................ 19 
Gráfico 8 - Comparação do padrão de testes............................................................ 19 
Gráfico 9 - Comparação do padrão de testes............................................................ 20 
Gráfico 10 - Comparação do padrão de testes.......................................................... 20 
Gráfico 11 - Comparação de ambientes de teste padrão .......................................... 21 
Gráfico 12 - Comparação de ambientes de teste padrão .......................................... 22 
Gráfico 13 - Comparação de ambientes de teste padrão .......................................... 22 
Gráfico 14 - Vibração do motor do carro durante a marcha lenta .............................. 27 
Gráfico 15 - FFT do motor do carro durante a marcha lenta ..................................... 28 
Gráfico 16 - Vibração do motor do carro ................................................................... 29 
Gráfico 17 - FFT do motor do carro durante a marcha lenta e aceleração ................ 29 
Gráfico 18 - Vibração do motor do carro ................................................................... 30 
Gráfico 19 - Espectrograma do motor do carro ......................................................... 30 
Gráfico 20 - Exposição à vibração de aeronaves a jato ............................................ 31 
Gráfico 21 - 1.000 pontos de exposição à vibração de carga de aeronaves a jato ... 32 
Gráfico 22 - 10.000 pontos de exposição à vibração de carga de aeronaves a jato . 32 
Gráfico 23 - 100.000 pontos de exposição à vibração de carga de aeronaves a jato
 .................................................................................................................................. 32 
Gráfico 24 .................................................................................................................. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Sumário 
 
1. INTRODUÇÂO .............................................................................................. 07 
1.1. Objetivo ................................................................................................... 08 
1.1.1. Objetivo geral ........................................................................................... 08 
1.1.2. Objetivo especifico ................................................................................... 08 
2. REVISAO BIBLIOGRAFICA ......................................................................... 09 
2.1. Métodos analíticos e experimentais ..................................................... 09 
2.2. Fast Fourier Transform (FFT) ................................................................ 10 
2.2.1. Transformação de Fourier em tempo contínuo ........................................ 10 
2.2.2. Transformação de Fourier em tempo discreto (DFT) ............................... 11 
2.3. Frequency Response Function (FRF) .................................................. 12 
2.3.1. Representação gráfica de FRF ................................................................ 13 
2.4. Power Spectral Density (PSD) ............................................................... 14 
2.4.1. Benefícios e recursos de PSDs ................................................................ 16 
2.5. Espectrograma ....................................................................................... 23 
2.5.1. Espectrometria visível .............................................................................. 23 
2.6. Periodograma ......................................................................................... 24 
2.6.1. Aplicações ................................................................................................ 25 
2.7. Métodos paramétricos ........................................................................... 25 
2.7.1. Estatística Z .............................................................................................. 25 
2.7.2. Estatística T de Studente ........................................................................ 26 
3. ESTUDO DE CASO ...................................................................................... 27 
3.1. O estudo de caso de FFT e Espectrograma ........................................ 27 
3.2. O estudo de caso de PSD ...................................................................... 30 
3.3. O estudo de caso de FRF ..................................................................... 34 
3.4. O estudo de caso de métodos paramétricos ....................................... 34 
4. CONCLUSÃO ................................................................................................ 38 
 
Referências .................................................................................................. 40 
 
7 
 
1. Introdução 
 
Rao (2009, p. 06), descreve que qualquer movimento que se repita após um 
intervalo de tempo é denominado vibração ou oscilação, ainda segundo Rao (2009, 
p. 05) os primeiros estudiosos da área de vibração concentraram seus esforços no 
entendimento dos fenômenos naturais e no desenvolvimento de teorias matemáticas 
para descrever a vibração de sistemas físicos. Mas recentemente, muitas 
investigações foram motivadas pelas aplicações da vibração na área da engenharia, 
como projeto de maquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas e sistemasde 
controle. 
Rao (2009, p. 05), ainda descreve que, devido ao efeito devastador que as 
vibrações podem causar, o teste de vibração tornou-se um procedimento padrão no 
projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas de engenharia. 
Atualmente as indústrias têm enfrentado desafios, tais como: redução de 
custos de manutenção, aumento do tempo de operação das maquinas. A busca por 
novas técnicas para ajudar a reduzir esses custos são intensas. Uma das melhores 
técnicas é a analises de vibração, que é um dos métodos de diagnostico mais 
importantes para identificar uma possível falha nos componentes de um 
equipamento. 
A presente pesquisa foi realizada por um grupo de alunos do curso de 
engenharia mecânica, a fim de exemplificar e demonstrar métodos de analises 
vibracional, como o método analítico e experimental, Fast Fourier transform (FFT), 
Frequency Response Function (FRF), Power Spectral Density (PSD), diagrama de 
Bode, espectrograma, periodograma, Métodos paramétricos. E por fim, demonstrar a 
aplicação destes métodos em estudos de caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
1.1. OBJETIVOS 
 
1.1.1. Objetivo geral 
Este trabalho como objetivo desenvolver um estudo sobre os métodos de 
analises vibracional, e posterior analisar estudos de casos. 
 
1.1.2. Objetivo específico 
A fim de cumprir o objetivo geral, procura-se alcançar os seguintes objetivos 
específicos: 
 Fazer uma revisão bibliográfica a respeito de métodos analíticos e 
experimentais, Fast Fourier transform (FFT), Frequency Response 
Function (FRF), Power Spectral Density (PSD), diagrama de Bode, 
espectrograma, periodograma, Métodos paramétricos. 
 Escolha de um estudo de caso. 
 Analises das resoluções para os estudos de caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
2. Revisão bibliográfica 
 
2.1. Métodos analíticos e experimentais 
Na engenharia a simulação numérica é uma ferramenta de grande 
utilidade, ela apresenta muitos benefícios para se chegar a uma solução dos 
problemas de engenharia, mas sempre aliada a métodos tradicionais. 
De modo geral, seguindo com o uso dessa abordagem é possível resolver 
diversos problemas de engenharia, entre eles o que representa um enfoque 
principal dessa pesquisa que é a analise vibratória. Vamos detalhar o uso dos 
seguintes métodos: 
a) Métodos Analíticos – Métodos analíticos representam soluções 
baseadas em fórmulas matemáticas, são desenvolvidas em grande 
parte de forma manual, nelas são definidas variáveis de entrada que 
são usadas para o cálculo de uma ou mais variáveis de saída. Uma 
metodologia simples, em geral de baixo custo e baixa complexidade, 
que proporciona uma resposta rápida e direta após a solução de 
algumas equações. 
Os cálculos analíticos apresentam limitações em sua 
aplicabilidade para casos práticos. As equações geralmente 
contemplam características físicas e idealizadas, muito simplificadas se 
comparadas com o que se observa na realidade, ou são restritas se 
comparadas às condições específicas previstas no cálculo. Desta 
forma, os resultados obtidos podem apresentar um desvio significativo 
se comparado ao produto real, o que ocasiona problemas como sobre 
dimensionamento, fatores de segurança elevados e, 
consequentemente, maiores custos de produção, além de não 
proporcionarem um entendimento detalhado do comportamento do 
objeto em estudo. 
 
b) Métodos Experimentais – Os métodos experimentais fazem o uso de 
protótipos físicos do equipamento ou produto, construídos em escala 
real ou reduzida, esses protótipos são submetidos a um ensaio que 
representa uma determinada condição de operação. 
O teste de abalos sísmicos em estruturas metálicas, casas, 
prédios e etc., é um exemplo clássico de método experimental, que 
podem ser destrutivos ou não destrutivos. A qualidade dos resultados 
obtidos neste tipo de abordagem é alta, uma vez que a avaliação é 
realizada em um protótipo que apresenta as características físicas e 
construtivas do projeto. Além disso, nestes ensaios são usados 
dispositivos e sistemas para aferição de dados, garantido uma 
compreensão detalhada de fenômenos de interesse. 
 
10 
 
Porém, o desenvolvimento desses testes experimentais exige 
um maior investimento, tanto pelo custo de construção do protótipo, 
quanto pela disponibilidade de infraestrutura necessária para os ensaios. 
O processo de desenvolvimento pode exigir a realização 
de múltiplas iterações até atingir um design adequado, com impacto direto 
no tempo e custo do projeto. Com isso, a abordagem experimental se 
caracteriza por custos elevados e prazos extensos, impactando no 
processo produtivo. 
 
 
2.2. Fast Fourier Transform (FFT) 
Qualquer forma de onda é, na verdade, apenas a soma de uma série de 
sinusóides simples de diferentes frequências, amplitudes e fases. Uma série de 
Fourier é aquela série de ondas senoidais; e usamos a análise de Fourier ou 
análise de espectro para desconstruir um sinal em seus componentes de onda 
sinusoidal individuais. O resultado é a amplitude de aceleração / vibração em 
função da frequência, o que nos permite realizar análises 
no domínio da frequência (ou espectro) para obter uma compreensão mais 
profunda do nosso perfil de vibração. A maioria das análises de vibração 
normalmente será feita no domínio da frequência. 
Existe uma vasta literatura que trata das características de transformação 
de Fourier. A FFT (do inglês “Fast Fourier Transform”) é uma ferramenta 
matemática que realiza a transição entre as variáveis de tempo e frequência de 
sinais. 
2.2.1. Transformação de Fourier em tempo contínuo 
A transformada de Fourier é definida pela equação: 
 
 
 
 
E o inverso é: 
 
 
Essas equações nos permitem ver quais frequências existem no sinal x 
(t). Uma formulação mais técnica disso é dizer que essas equações nos 
11 
 
permitem traduzir um sinal entre o domínio do tempo para o domínio da 
frequência. Observe que essas equações usam a ξ (a letra grega Xi) para 
implicar frequência em vez de ω (Omega), que geralmente se refere à 
frequência angular (ω = 2πξ). A transformada de Fourier de um sinal 
dependente do tempo produz uma função dependente da frequência. 
 
2.2.2. Transformação de Fourier em tempo discreto (DFT) 
A transformada discreta de Fourier (DFT) é a maneira mais direta de 
aplicar a transformada de Fourier. Para usá-lo, basta amostrar alguns pontos 
de dados, aplicar a equação e analisar os resultados. A amostragem de um 
sinal leva-o do domínio do tempo contínuo para o tempo discreto. A entrada 
para uma função discreta deve ser um número inteiro. Amostrar um sinal x (t) 
no período de amostra T s irá transformá-lo em x [n] de modo que: 
 
x [n] = x (nT s ) 
 
Assim, uma onda senoidal de frequência f s = 1kHz amostrada em T s = 
10uS se tornará: 
 
 
x [n] = sin ( 2πf s nT s ) = sin ( 0,02πn ) 
 
Uma forma comum da equação DFT é: 
 
 
 
Aqui, N é o número total de pontos incluídos na equação, e m, a 
entrada para a função transformada, aproximadamente se correlaciona com a 
frequência da mesma forma que n se correlaciona com o tempo com a 
equação: 
 
 
 
 
 
Para ter uma melhor ideia da transformada de Fourier, abaixo é 
proposto primeiramente uma função senoidal no domínio do tempo e posterior 
transformação para o domínio da frequência (JOSÉ GUILHERME, 2018?). 
12 
 
 
Gráfico 1 - Onda senoidal no domínio de tempo 
 
 
Gráfico 2 - Transformada de Fourier da onda senoidal 
 
2.3. Frequency Response Function (FRF) 
Segundo HEY (2014), o método da resposta em frequência, nada mais é que 
a observação da resposta de um sistema, através de um sinal de entrada senoidal, 
cuja frequência é variada dentro de uma faixa preestabelecida. A vantagem do uso 
deste método reside no fato de que a mesma pode ser obtida experimentalmente, 
sem a necessidade do conhecimento prévio da função de transferência. 
Uma vez conhecida o sinal de entrada no domínio do tempo F(t) econsiderando um mapeamento da função de transferência H(s) em s = jω, sendo ω 
uma frequência que varia em um intervalo de análise, obtém-se a então chamada 
função de resposta em frequência (FRF) H(jω) = H(ω) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
( ) 
 
 
13 
 
2.3.1. Representação gráfica de FRF 
Vamos mostrar a seguir a forma de representação de funções resposta 
em frequência, por meio do gráfico de bode. 
 
Diagrama de bode 
São gráficos logarítmicos usados na determinação da resposta em 
frequência de um sistema. Esses gráficos podem também ser utilizados na 
identificação da função de transferência de um sistema linear 
Pode-se representar uma Função de resposta em frequência (FRF) 
graficamente de diferentes formas. A mais comum é o diagrama de Bode que 
consiste em descrever o módulo e a fase da FRF com a amplitude em dB. 
Diagramas de Bode é um gráfico no qual são apresentados dois 
gráficos simultâneos. O primeiro apresenta a relação entre o módulo em dB 
da função de transferência e no segundo é apresentado o ângulo em graus da 
função de transferência. Ambos os gráficos são construídos em função da 
frequência na escala logarítmica. 
Exemplo: 
 
Gráfico 3 - Diagrama de Bode 
 
14 
 
Essa representação é muito usada, pois nela podemos identificar 
claramente as frequências naturais e as amplitudes de associadas a cada 
uma delas. O pico mostrado no lado esquerdo do gráfico 3 e o ponto de 
inflexão nas curvas do gráfico da direita correspondem a essa frequência 
natural. Esses pontos são mais fáceis de enxergar quando o sistema tem 
amortecimento baixo. 
 
Vantagens da escala logarítmica: 
 
 Multiplicação de módulos é convertida em adição. 
 É possível representar frequências de ordens de grandeza muito 
diversas. 
 O esboço da curva do logaritmo do módulo é simples. Neste contexto 
utilizamos aproximações por assíntotas para esboçar o diagrama de 
módulo logarítmico. 
 Permitir o traçado de esboços das curvas de resposta em frequência 
de maneira simples e imediata. 
 
 
2.4. Power Spectral Density (PSD) 
A vibração no mundo real é frequentemente "aleatória" com muitos 
componentes de frequência diferentes. As densidades espectrais de potência (PSD 
ou, como são frequentemente chamadas, densidades espectrais de aceleração ou 
ASD para vibração) são usadas para quantificar e comparar diferentes ambientes de 
vibração. 
Para ilustrar o que é um PSD, vamos analisar alguns dados! Aqui estão os 
perfis de vibração no domínio do tempo ao longo de 1 minuto para alguns ambientes 
diferentes: 
 NAVMAT (temperatura e triagem de vibração aleatória para 
empreiteiros da Marinha) 
 Aeronave a jato de MIL-STD-810 (outro padrão de teste para aplicações 
militares) 
 Caminhão rodoviário de MIL-STD-810 
 Carga ferroviária de MIL-STD-810 
 Embarque de MIL-STD-810 
http://www.vibrationdata.com/webinars/unit4/navm.pdf
https://info.endaq.com/hubfs/MIL-STD-810H.pdf
https://info.endaq.com/hubfs/MIL-STD-810H.pdf
https://info.endaq.com/hubfs/MIL-STD-810H.pdf
https://info.endaq.com/hubfs/MIL-STD-810H.pdf
15 
 
 
Gráfico 4 - Comparação de padrões de teste 
 
Olhar para esses dados no domínio do tempo pode nos dizer que a vibração 
em um jato é provavelmente mais severa do que em trilhos. Mas isso só é 
determinado observando a amplitude do pico, que nem sempre é um bom 
indicador. E não nos diz onde está essa energia ou qual é a densidade de potência. 
É por isso que temos a densidade espectral de potência! 
 
Gráfico 5 - Comparação de padrões de teste 
16 
 
Podemos observar que o PSD plota a potência ( g 2 / Hz) no eixo y como uma 
função da frequência ( Hz) no eixo x. Neste formato, podemos ver claramente a 
distinção entre os ambientes de vibração. 
Para saber quem é g 2 / Hz , vamos definir como um PSD é calculado. A 
função de densidade espectral de potência XPSD (f) é calculada a partir da 
transformada discreta de Fourier X (f) como: 
 
O fator da metade é necessário para converter a amplitude do pico 2 / Hz para 
rms 2 / Hz. 
O passo de frequência é finito na prática e é o inverso da duração total 
medida. 
 
Este passo de frequência é a menor frequência de onda senoidal que pode 
ser resolvida. Um Δf mais amplo dá maior confiança no PSD em termos de 
suavização dos componentes espectrais. 
 
2.4.1. Benefícios e recursos de PSDs 
Largura da bandeja ajustável para suavizar 
Podemos perceber o quanto os gráficos de PSDs são “limpos”, outro 
grande benefício dos PSDs porque eles dependem da largura do 
compartimento de frequência. 
 
Raiz da área sob um PSD é igual a gRMS 
Tirar a raiz quadrada da área sob um PSD resultará no nível de 
vibração RMS. O cálculo desta área requer fórmulas de integração especiais 
devido ao formato log-log dos gráficos PSD. Primeiro você precisa calcular a 
inclinação N entre cada segmento: 
 
A área a i para um segmento é então: 
17 
 
 
 
E, finalmente, o nível geral para m segmentos totais é então: 
 
 
Usando o conjunto anterior de PSDs no ambiente de vibração do jato 
de carga, podemos comparar o RMS cumulativo para as diferentes larguras 
de caixa de 0,02 Hz e 4,3 Hz. Embora o PSD com a largura do compartimento 
menor seja muito barulhento, ao calcular o gRMS dos respectivos PSDs (raiz 
da área sob a curva) os dois rastreiam um ao outro perfeitamente. 
 
 
O cálculo desse RMS cumulativo também é uma maneira útil de ver 
quais componentes de frequência estão contribuindo com a maior parte da 
amplitude de aceleração. 
18 
 
Integrando um PSD de aceleração para velocidade e deslocamento 
Outro recurso útil dos PSDs é a facilidade de converter um PSD de 
aceleração em um PSD de velocidade correspondente e um PSD de 
deslocamento. Deixei: 
 APSD = PSD de aceleração 
 VPSD = Velocity PSD 
 DPSD = Deslocamento PSD 
 
As fórmulas de integração são: 
 
 
A execução desse cálculo é uma maneira útil e robusta de 
compreender o aspecto da velocidade e do deslocamento do seu ambiente de 
vibração, que pode informar as decisões de projeto. A seguir estão os PSDs 
de velocidade e deslocamento da carga a jato MIL-STD-810. 
 
 
Gráfico 6 - Densidade espectral de potência de velocidade 
 
19 
 
 
Gráfico 7 - Densidade espectral de potência de deslocamento 
 
 
Agora vamos trazer de volta os outros padrões de teste para comparar seus PSDs 
de velocidade e deslocamento correspondentes. 
 
Gráfico 8 - Comparação do padrão de testes 
 
20 
 
 
Gráfico 9 - Comparação do padrão de testes 
 
 
 
Gráfico 10 - Comparação do padrão de testes 
 
21 
 
São visíveis os benefícios de usar PSDs. Nem todas as frequências 
podem ser tratadas igualmente! O ambiente de vibração para carga ferroviária 
parece menos severo do que o ambiente de jato. Mas, ao reconhecer a 
densidade de frequência mais baixa do ambiente ferroviário, você pode prever 
que introduzirá velocidades e deslocamentos mais altos do que o ambiente do 
jato. Vamos trazer de volta o domínio do tempo do ambiente de jato e 
ferroviário: 
 
Gráfico 11 - Comparação de ambientes de teste padrão 
Aqui, mostra que o avião a jato tem um ambiente mais severo, mas 
quando olhamos para o ambiente de velocidade, eles têm uma amplitude 
semelhante. E a energia cinética é proporcional à velocidade ao quadrado, 
portanto, devemos estar mais preocupados com isso quando nos 
preocupamos com a fadiga. 
22 
 
 
Gráfico 12 - Comparação de ambientes de teste padrão 
 
E agora, quando convertemos todo o caminho para o deslocamento, 
podemos ver o quanto esse ambiente ferroviário é "mais forte"! 
 
Gráfico 13 - Comparação de ambientes de teste padrão 
 
23 
 
2.5. Espectrograma 
Espectrogramas são gráficos que analisam a densidade espectral da energia 
de maneira dinâmica, é uma forma de visualizar a intensidade de um sinal através 
do tempo e em várias frequências sendo um gráfico planar (frequência X tempo), 
podendo ainda ser formadospor um gráfico de superfície, porém é mais utilizada a 
planar, pois utilizam diferentes cores para mostrar a intensidade do espectro que 
vária do violeta ao vermelho tornando possível a análise da composição química do 
material emissor tendo como exemplo a estrela. 
Observação: a terceira dimensão do espectrograma é a amplitude que é 
representada pela variação das cores, onde as mais escuras representam 
amplitudes menores e as mais claras amplitudes maiores. 
 
 
Figura 1 – Espectro Eletromagnético 
 
2.5.1. Espectrometria visível 
Uma substancia é determinada pela sua cor ao ser observada, isso 
quando a mesma é absorvida ou transmitida. 
Ao ser observado percebesse uma única cor, porém, esta na verdade é 
composta por outras cores misturadas que a formam. O espectrômetro é o 
aparelho que vai dividir estas cores em suas respectivas, tornando possível a 
comparação com outros espectros para assim classifica-la. 
 
24 
 
2.6. Periodograma 
Periodograma é uma estimativa (cálculo aproximado) da densidade de um 
espectro de sinal. Tal termo foi criado por Arthur Schuster em 1898, sendo um dos 
métodos mais sofisticado e mais comum para analisar a amplitude x características 
de frequência de filtros FIR e funções da janela. A FFT também é uma sequência 
temporal de periodograma. 
Atualmente são usadas duas definições para o periodograma, em uma é 
usada o tempo de média e na outra não. 
Pegando a função de autocorrelação da transformada de Fourier, temos: 
Para suficientemente pequenos valores de parâmetro T, uma aproximação 
arbitrariamente-precisas para o X (f) pode ser observada na região da função: 
 
 
que é precisamente determinado pelas amostras x (nT) que se estendem a duração 
diferente de zero de x (t). 
E para valores suficientemente grandes de parâmetro N , pode ser avaliada a 
uma frequência perto arbitrariamente por um somatório da forma: 
 
 
 
 
onde x N é um somatório periódica: 
 
 
Quando avaliada para todos os números inteiros, k, entre 0 e N-1, a matriz: 
 
 
 
25 
 
É um periodograma. 
 
2.6.1. Aplicações: 
 
Pode ser utilizado no Matlab e octave. 
Uma de suas deficiências está relacionado a sua variância, pois, 
conforme forem utilizados cada vez mais amostras de cálculo da frequência 
sua variância não irá diminuir conforme for aumentando. 
Não fornece a média necessária para analisar sinais noiselike ou 
mesmo sinusóides em proporções baixas de sinal-para-ruído. 
Poderá ser usado o periodograma quando há a necessidade de ser 
calculado um periodograma de janela de cada um e calcular uma média de 
matriz, ou seja, o método de periodogramas em média (método de welch) ou 
usando a técnica de suavização quando se quer suavizar o ruído. 
 
2.7. Métodos paramétricos 
Métodos paramétricos são indicados quando podemos assumir que a 
distribuição dos dados é de maneira normal, nele é usada a escala de razão. O 
método paramétrico é um ramo da estatística que pressupõe que os dados são 
oriundos de um tipo de distribuição de probabilidade e faz dedução sobre 
os parâmetros da distribuição. 
Pode ser utilizado para uma amostra ou para comparação entre duas 
amostras, de acordo com as informações colhidas sobre variância ou desvio padrão, 
é utilizada a estatística Z, que está baseada na curva Normal, ou a estatística T de 
Student. 
Na forma geral, métodos paramétricos fazem mais suposições, se essas 
suposições adicionais estiverem corretas, os métodos paramétricos poderão 
produzir estimativas mais precisas comparados aos métodos da estatística não 
paramétrica. 
Porém, quando as hipóteses estão incorretas, os métodos paramétricos 
tornam-se errados. 
Os métodos paramétricos têm um grande poder estatístico. Assim é muito 
provável que você detecte um efeito significativo. 
 
2.7.1. Estatística Z 
Teste Z é qualquer teste estatístico no qual a distribuição do teste 
estatístico sob a hipótese nula pode ser aproximada por uma distribuição 
normal. É um teste estatístico usado para inferência. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Par%C3%A2metros&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica_n%C3%A3o_param%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica_n%C3%A3o_param%C3%A9trica
26 
 
 
Onde: 
 ̅ – é a media da amostra 
 – é um valor dos dados 
 – é o Desvio Padrão 
 
2.7.2. Estatística T de Studente 
A estatística T é uma distribuição de probabilidade teórica. Tem 
propriedades simétricas e semelhantes à curva normal padrão, porém possui 
algumas diferenças, ou seja, uma simulação da T de Student pode gerar 
valores mais extremos que uma simulação da normal. O parâmetro v que a 
define e caracteriza a sua forma é o número de graus de liberdade. Quanto 
maior for esse parâmetro, mais próxima da normal ela será. 
Temos Z, que é uma variável aleatória de distribuição normal segue o 
padrão e possui média 0 e variância 1, e V, uma variável aleatória com 
distribuição Chi-quadrado com v graus de liberdade. Se Z e V são 
independentes, então a distribuição da variável aleatória t será: 
 
Essa é a distribuição t de Student com ν graus de liberdade. 
A variável aleatória t também é dada por: 
 
 
 
segue uma distribuição t de Student com graus de liberdade. 
 
 
 
 
ou 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Chi-quadrado
27 
 
3. Estudo de caso 
O método de Estudos de Caso trata de uma metodologia de ensino variante 
da Aprendizagem Baseada em Problemas (do inglês Problem Based Learning, PBL). 
Esse método consiste em expor o aluno a situações reais, que utilizem dos 
conhecimentos previamente adquiridos para à resolução do problema. São 
apresentados na forma de narrativas ou de qualquer descrição de eventos, que são 
denominados casos, cujo contexto deverá encaminhar os estudantes para o 
levantamento de hipóteses e tomada de decisão final para a resolução do caso. 
Ao decorrer deste trabalho iremos apresentar quatro estudos de caso 
relacionados aos temas estudados anteriormente. 
 
3.1. O estudo de caso de FFT e Espectrograma 
 
Análise de vibração de um motor de carro 
Em aplicações do mundo real, normalmente haverá muitos componentes de 
frequência diferentes de um perfil de vibração, bem como ruído mecânico e 
elétrico. Vejamos alguns dados obtidos no motor de um carro de passeio 
enquanto ele estava em marcha lenta e façamos algumas análises de 
vibração. Esses dados foram gerados com um registrador de dados de vibração 
do sensor enDAQ (anteriormente conhecido como Slam Stick) como parte de 
uma série de vídeos de instruções. 
 
 
Gráfico 14 - Vibração do motor do carro durante a marcha lenta 
 
https://endaq.com/collections/endaq-sensors-shock-vibration-s-series
https://support.endaq.com/article/178-original-how-to-videos
28 
 
 
Gráfico 15 - FFT do motor do carro durante a marcha lenta 
 
Podemos usar a análise de espectro do perfil de vibração para indicar 
qual era a velocidade de rotação do virabrequim do motor. Este é um motor de 4 
cilindros e 4 tempos. O motor opera com dois pares de pistões que se deslocam 
fora de fase entre si e duas combustões de pistão por rotação do eixo de 
manivela; então a frequência dominante da vibração do motor será o dobro da 
velocidade de rotação do eixo da manivela. No FFT, há claramente uma 
frequência dominante em 30 Hz ou 1.800 RPM, o que nos diz que em marcha 
lenta o eixo da manivela está girando a 900 RPM (ou 15 Hz) onde também há 
um pico no FFT. O uso de um FFT em nossa análise de vibração deu pistas 
sobre o que estava causando a vibração medida. 
Em muitas aplicações, a frequência de vibração muda com o tempo e 
você pode ter problemas se apenas olhar para oFFT. Vamos diminuir o zoom da 
área onde o motor do carro está funcionando a uma taxa relativamente fixa e 
calcular um FFT de todo o sinal. Neste teste o motor ficou parado por um 
período de tempo, em ponto morto, então o motor foi acelerado antes de deixá-lo 
funcionar novamente e finalmente desligá-lo. A frequência de vibração mudou 
drasticamente durante o teste; mas o FFT não captura isso. Sabemos pelo 
gráfico anterior que quando estava ocioso havia uma frequência de vibração 
dominante bastante significativa de 30 Hz; mas este pico é silenciado quando 
você tenta olhar para o FFT de um ambiente de vibração em mudança. 
29 
 
 
Gráfico 16 - Vibração do motor do carro 
 
 
 
Gráfico 17 - FFT do motor do carro durante a marcha lenta e aceleração 
 
Neste exemplo, e em outros onde a frequência de vibração muda com o 
tempo, precisamos de um espectrograma. Um espectrograma funciona dividindo 
os dados do domínio do tempo em uma série de blocos e obtendo o FFT desses 
períodos de tempo. Essas séries de FFTs são sobrepostas umas às outras para 
visualizar como a amplitude e a frequência do sinal de vibração mudam com o 
tempo. Vire este gráfico de superfície tridimensional de FFTs de lado, adicione 
uma escala de cores para representar a amplitude (geralmente funciona melhor 
quando você olha para a cor / amplitude em uma escala logarítmica) e você fica 
com um espectrograma! 
De volta ao exemplo do motor do carro, onde o motor foi acelerado um 
pouco. O espectrograma mostrado abaixo ilustra como as frequências 
dominantes mudam com o tempo em relação a quando o motor do carro estava 
ocioso e ligado. Usando um espectrograma, o analisador obtém uma 
30 
 
compreensão muito mais profunda do perfil de vibração e como ele muda com o 
tempo. 
 
Gráfico 18 - Vibração do motor do carro 
 
 
Gráfico 19 - Espectrograma do motor do carro 
 
 
3.2. O estudo de caso de PSD 
Muitas vibrações no mundo real, especialmente durante o trânsito, podem 
ser chamadas de vibração “aleatória” porque é movimento em muitas 
frequências ao mesmo tempo. FFTs são ótimos para analisar vibração quando 
há um número finito de componentes de frequência dominante; mas densidades 
espectrais de potência (PSD) são usadas para caracterizar sinais de vibração 
aleatórios. Um PSD é calculado multiplicando cada bin de frequência em um 
FFT por seu conjugado complexo que resulta no espectro real único de 
amplitude em g 2 . O principal aspecto de um PSD que o torna mais útil do que 
um FFT para análise de vibração aleatória é que este valor de amplitude é 
então normalizado para a largura do compartimento de frequência para obter 
31 
 
unidades de g 2/ Hz. Ao normalizar o resultado, eliminamos a dependência da 
largura do compartimento para que possamos comparar os níveis de vibração 
em sinais de diferentes comprimentos. 
 
Análise de vibração de cargas de aeronaves a jato 
Por causa de como os PSDs cancelam o efeito da largura de banda de 
um espectro de frequência, muitos padrões de teste descreverão seu ambiente 
de vibração com um PSD. Vamos examinar um exemplo do MIL-STD-810G. A 
Figura 20 descreve os níveis de aceleração típicos aos quais cargas de 
aeronaves a jato são expostas, conforme mostrado abaixo. 
 
Gráfico 20 - Exposição à vibração de aeronaves a jato 
 
Para transportar algo em um avião a jato, seria necessário fazer alguns 
testes em seu dispositivo / equipamento para provar que o objeto pode 
sobreviver à exposição prolongada a esses níveis de vibração. A maioria dos 
sistemas de controle de agitador terá esses perfis de exposição integrados, mas 
eles também podem ser construídos facilmente, dados alguns níveis PSD 
conhecidos e taxas de aumento / diminuição. Vamos dar uma olhada em alguns 
dados capturados por um sensor enDAQ quando ele estava sendo animado com 
esses níveis de vibração. 
https://cdn2.hubspot.net/hubfs/637862/MIL-STD-810.pdf
https://endaq.com/collections/endaq-sensors-shock-vibration-s-series
32 
 
 
Gráfico 21 - 1.000 pontos de exposição à vibração de carga de aeronaves a jato 
 
 
Gráfico 22 - 10.000 pontos de exposição à vibração de carga de aeronaves a jato 
 
 
Gráfico 23 - 100.000 pontos de exposição à vibração de carga de aeronaves a jato 
 
Os dados brutos no domínio do tempo não nos dizem muito, embora seja 
surpreendente a amplitude de quase 20g da vibração. Vamos fazer algumas 
análises de vibração e calcular os FFTs e PSDs desses sinais para ver como o 
comprimento do sinal afeta a amplitude do FFT, mas não do PSD. 
33 
 
 
Gráfico 24 
 
As linhas vermelhas no PSD são os limites de erro de entrada em que o 
agitador está tentando manter o sinal. Como você pode ver, o PSD de diferentes 
comprimentos de sinal apenas preenche essa área, mas a amplitude não muda 
no geral. A amplitude da FFT, entretanto, diminui à medida que a largura de 
banda é aumentada. A amplitude PSD não muda porque é normalizada para a 
largura do compartimento de frequência. Esta normalização que ocorre em um 
cálculo PSD torna muito mais desejável ser usado ao analisar sinais de vibração 
aleatórios. 
 
 
 
 
 
34 
 
3.3. O estudo de caso de FRF 
 
Aplicação do FRF acústico ao Ruído, Vibração e Aspereza (e-NVH) 
Máquinas elétricas quando sujeita a excitações eletromagnéticas causam 
uma resposta acústica que geralmente é quantificada usando o estator ou rotor 
(podendo ser um motor ou gerador elétrico) através do nível de potência sonora 
irradiada pela mesma, enquanto que as ondas de estresse de Maxwell que é 
dada em [N/m2] ou o magnético equivalente forças por dente dado em [N] é 
quantificado através da excitação que a estrutura sofre. O FRF acústico em uma 
malha acústica predefinida que serve para simular microfones virtuais ao redor 
do julgo externo através do nível de pressão do som também pode ser expressa. 
A unidade do FRF acústico é dada por [W/Pa2] ou então [W/N2]. 
Ondas de tensão de Maxwell e FRFs quando provenientes da 
decomposição de Fourier ao longo do entreferro causada por uma resposta do 
rotor ou estator a forças magnéticas pode ser quantificado. 
 
3.4. O estudo de caso de métodos paramétricos 
Estudo de caso referente a uma dissertação de mestrado do curso de 
engenharia mecânica, com o título: 
 
- Análise das vibrações e identificação paramétrica em tratores de pneus 
agrícola. 
O uso de técnicas de modelamento, visando o estabelecimento 
de um conjunto de equações que possam monitorar 
adequadamente a análise prévia do comportamento dinâmico 
e/ou vibratório do sistema trator na sua interação com o solo, é 
uma realidade.... Procura-se verificar os vetores de resposta 
em deslocamentos no domínio da frequência (vibrações da 
estrutura de suspensão do trator) a partir de um procedimento 
utilizando técnica de identificação de parâmetros. SILVA, João 
Carlos Barbosa da. Análise das vibrações e identificação 
paramétrica em tratores de pneus agrícola. 1999. 138f. 
(Dissertação de Mestrado), Programa de Pós-graduação em 
Engenharia Mecânica, Centro de Ciências e Tecnologia, 
Universidade Federal de Campina Grande - Paraíba - Brasil, 
1999. 
 
Segundo SILVA, João Carlos Barbosa da. (1999, Dissertação de 
Mestrado, p.19) “Os corpos rígidos livres no espaço possuem seis graus de 
liberdade e, podem ser descritos por: 
35 
 
1) Movimento de translação ao longo dos eixos x (transversal), y 
(longitudinal) e z (vertical). 
2) Movimento de rotação ao redor dos eixos x ("pitch"), y ("roll") e z 
("yaw"). 
 
 
 
Considerações ao deslocamento do trator como premissas básicas para 
efeito de modelamento e obtenção das equações diferenciais de movimento, as 
seguintes características: 
a) Velocidade constante; 
b) Rodas traseiras e dianteiras sempre em contato com o solo; 
c) Resistência ao rolamento desprezível; 
d) Conjunto de rodas dianteiro representado como um sistema simples 
de rigidez e amortecimento; 
e) Trator como sendo um corporígido. 
 
Para o sistema em estudo são assumidos três graus de liberdade: 
a) Um modo de vibração em translação, isto é, deslocamento vertical do 
centro de gravidade da estrutura; 
b) Um modo cónico (movimento pitch ou de rotação em torno do 
eixotransversal que passa pelo centro de gravidade), e; 
c) Um modo cónico de vibração (movimento roll ou de rotação em torno 
do eixo longitudinal em relação ao centro de gravidade). 
36 
 
 
Produção de excitação com sinal sintetizado 
 
Em particular, o sinal a ser utilizado como fonte de excitação no 
sistema mecânico em estudo, é obtido por síntese de sinais de baixa 
auto-correlação com baixo fator de pico, sintetizado a partir dos 
ângulos de fase dos harmónicos que o compõe, com ângulos de fase 
no intervalo de 0 a . Gerar este sinal em computador digital significa 
buscar séries temporais de comprimento finito 
 , cujos coeficientes de autocorrelação são definidos por, 
 
 
( )
∑ ( )
 
 tal que estes coeficientes assumam valores 
pequenos para k > 1. Deste modo, considera-se um sinal periódico de 
período T. SILVA, João Carlos Barbosa da. Análise das vibrações e 
identificação paramétrica em tratores de pneus agrícola. 1999. 138f. 
(Dissertação de Mestrado), Programa de Pós-graduação em 
Engenharia Mecânica, Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade 
Federal de Campina Grande - Paraíba - Brasil, 1999. 
Segundo SILVA, João Carlos Barbosa da. (1999, Dissertação de 
Mestrado, p.19) “Estes e outros fatores são pontos importantes no problema de 
Figura 2 - Sentido longitudinal 
Figura 3 - Sentido transversal 
37 
 
identificação de parâmetros de sistemas mecânicos. O conhecimento preliminar, 
se possível, da origem destes e de outros erros que porventura possam surgir, 
pode assegurar, dentro de certas limitações, uma estimação razoável para os 
parâmetros do sistema. 
 
1) ruídos em transdutores (de deslocamento, velocidade etc), e ruídos 
introduzidos nos processos computacionais devido a falta de precisão 
numérica (truncamento); 
2) ruídos que não são detectados nos pontos de entradas que contribuem 
na saída passando pelo sistema, e que são incorrelatos com as 
entradas; 
3) problemas de não linearidade do sistema entre as entradas e as saídas. 
Os erros de "bias" são erros sistemáticos que tem como origens 
primárias principais: 
4) ruídos nas medidas de entradas que não passam através do sistema, e 
ruídos que surgem em pontos de saída do sistema não correlatos com 
as entradas; 
5) erros devido à baixa resolução em frequência na estimação da 
densidade espectral; 
6) não linearidade paramétrica do sistema; 
7) ruídos não medidos nas entradas que contribuem na saída passando 
pelo sistema, e que são correlatos com as medidas de entradas.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
4. Conclusão 
 
A presente pesquisa abordou métodos de análise vibracional com estudos de 
caso do mesmo. Neste trabalho buscamos demonstrar um estudo sobre métodos 
analíticos e experimentais sobre o FFT, FRF, PSD, espectrograma, periodograma, 
diagrama de bode e métodos paramétricos. 
Primeiramente foi feito um estudo sobre os métodos analíticos e 
experimentais, com isso, concluímos tamanha importância dessas abordagens em 
diversas áreas, ao relatarmos que métodos analíticos nos dão respostas rápidas, de 
baixa complexidade e custo, e que são feitas através do desenvolvimento de 
fórmulas matemáticas. Contudo percebemos algumas limitações quando aplicadas a 
casos mais práticos, como: não demonstrar de maneira detalhada o entendimento 
sobre o material estudado, problemas em dimensionamentos, custo de produção, 
entre outros. Logo, é um método mais bem visto em procedimentos mais teóricos. 
Entretanto, os métodos experimentais irão nos dar uma melhor resposta em 
métodos práticos, ao fazer uso de protótipos que nos darão respostas mais 
detalhadas do produto ou equipamento, pois, apresentam características do mesmo, 
e com isso junto aos sistemas de aferição de dados que são impostas aos testes, 
conseguiremos obter um resultado mais detalhado sobre o objeto de estudo. 
Em um segundo momento desta pesquisa falamos sobre o FFT que é a 
transformada de Fourier, onde vimos que na verdade, as formas de ondas são uma 
série de sinusóides simples de diferentes frequências, amplitudes e fases, para 
assim obtermos uma compreensão mais aprofundada do perfil de vibração que é 
feita através da análise do domínio da frequência, com esboço matemático e gráfico. 
Por conseguinte, foi feito uma pesquisa sobre a FRF (função resposta de 
frequência) e Diagrama de Bode, no qual relatamos que a FRF pode ser obtido sem 
nenhum entendimento prévio da função de transferência, através de um experimento 
que nos dará a resposta de um sistema que surgirá por um sinal de entrada 
senoidal, no qual também pode ser esboçada através do diagrama de Bode que nos 
retrata essa resposta de sinal, mas que também pode ser usado para identificar a 
função de transferência de um sistema linear. 
No estudo do PSD que é a densidade espectral de potência, analisamos 
alguns perfis de vibração no domínio do tempo, métodos analíticos com gráficos e 
gráficos comparativos de um jato e trilho, que ao introduzirmos velocidade e 
deslocamento percebemos que o ambiente ferroviário é “mais forte”. 
No estudo do espectrograma abordamos a intensidade de um sinal através do 
tempo, onde, através disto, relatamos que o gráfico planar é o mais utilizado, por 
demonstrar a intensidade do espectro por diferentes cores, variando do vermelho ao 
violeta. 
39 
 
No estudo do periodograma fizemos uma análise mais analítica, pois se trata 
de uma estimativa, ou seja, um cálculo aproximado da densidade de um espectro de 
sinal, no qual foi feita a sua representação matemática e apontamos algumas 
características e aplicação. 
Tendo em vista os métodos paramétricos, demonstramos ser um método 
mais dedutivo, pois foi criado no ramo da estatística por pressupor que os dados são 
oriundos de um tipo de distribuição de probabilidade, onde, pode ser usado na 
estatística Z e na estatística T. 
Por fim, usamos estudos de casos para relatarmos de maneira mais prática e 
entendível, alguns assuntos relacionados aos temas apresentados neste trabalho, 
para assim haver uma melhor visualização desses métodos de analise vibracional 
com exemplos usuais no nosso dia-a-dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Referências 
 
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