Gabarito - Lista 1

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LISTA I – MICROECONOMIA I - PREFERÊNCIAS, UTILIDADE, 
MAXIMIZAÇÃO DE UTILIDADE E ESCOLHA 
 
Monitor: Marcel Ferreira de Oliveira 
 
QUESTÃO 1 
Exercícios 3.1, 3.3, 3.4, 3.10, 3.12 e 3.13 de Nicholson e Snyder ed. 10. 
 
Resposta: 
3.1. Aqui nós calculamos a TMS para cada uma dessas funções: 
a. 
 
 
 
 
 
, a TMS é constante; 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, a TMS é decrescente; 
c. 
 
 
 
 
 
, a TMS é decrescente; 
d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, a TMS é crescente; 
e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, a TMS é decrescente; 
 
3.3. 
a. , logo (decrescente em x), mas as 
utilidades marginais são constantes; 
b. 
 
 
 
 , logo (decrescente 
em x), mas as utilidades marginais são crescentes; 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, logo (decrescente em x), 
mas as utilidades marginais são decrescentes. 
Obs: isso mostra que transformações monotônicas podem afetar a utilidade marginal ser 
decrescente, mas não a TMS. 
 
3.4. Considere as funções avaliadas nos pontos e . 
a. O caso onde o mesmo bem é o limitador (i.e. ou 
 ) é desinteressante, pois 
 . Se os bens 
limites diferem, então . Logo e 
 , logo as curvas de indiferença são convexas; 
b. Novamente, o caso em que os bens máximos são o mesmo não é interessante. Se 
os bens diferem, , logo e 
 , então as curvas de indiferença são côncavas, não convexas; 
c. Aqui , então as 
curvas de indiferença são ambas côncavas e convexas – é uma função linear 
(note que não são nem estritamente côncavas ou estritamente convexas). 
 
3.10 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Note que o resultado não depende da soma , 
que, ao contrário do que ocorre na teoria da produção, não possui significância 
na teoria do consumidor, pois as preferências do consumidor podem ser 
representadas por várias transformações monotônicas de uma mesma função de 
utilidade; 
b. Matematicamente segue direto do item anterior. Se , então o individual 
valoriza o bem x relativamente mais, logo para ; 
c. A função é homotética em e , mas não em x e y. 
 
3.12. 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, então a função é homotética (note que se você 
multiplicar ambos os argumentos por , eles irão se cancelar); 
b. Se , então 
 
 
, uma constante (substitutos perfeitos); 
Se , então 
 
 
 
 
 
 , que é o caso da Cobb-Douglas; 
c. Para , logo a TMS é decrescente; 
d. Segue que se , ; 
e. Se , então 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
; 
Se , 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a TMS muda mais dramaticamente quando do que quando 
 ; quanto menor δ, mais nitidamente curvada será a curva de indiferença. 
Quando , a curva de indiferença fica em formato de L, implicando 
proporções fixas. 
 
 
 
3.13. 
a. , logo . Isto é, a TMS não depende do bem x, então 
a inclinação das curvas de indiferença para a função do tipo quaselinear é 
constante ao longo de qualquer linha para a qual y é constante; 
b. , então a condição para quase-concavidade se reduz para 
 
 
 
Note que uma forma de caracterizar quase-concavidade para funções com 
apenas dois argumentos
1
 é: 
 
 
 
Como, no nosso caso, , 
 , , e , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que é sempre verdade, pois . Ou seja, a função é de fato quase-côncava. 
c. Uma curva de indiferença é dada por , onde k é um dado nível 
de utilidade; 
d. A utilidade marginal de x é constante, a utilidade marginal de y é decrescente. 
Conforme a renda aumenta, o consumidor irá eventualmente escolher apenas 
adicionar x (a solução do problema de um consumidor com essa utilidade 
implica que y ótimo não depende da renda, então qualquer aumento de renda 
será para consumo apenas de x); 
e. Um caso potencialmente útil é quando queremos que y seja um bem específico, 
enquanto x pode ser “todo resto”. 
 
 
 
1
 Aqui a resposta do Nicholson utiliza a fórmula derivada no capítulo 2 para caracterizar quase-
concavidade, partindo de um problema de maximização com restrição linear. Outra forma de derivar a 
fórmula é notando que, para funções quase-côncavas (no caso de preferências, com preferências 
convexas), devemos ter uma TMS fracamente decrescente (isto é, ). 
Como , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assumindo utilidade marginal positiva (i.e. ), temos TMS decrescente apenas se: 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
Sabe-se que Kiko, o filho querido da Dona Florinda, possui cinco carrinhos e 
duas bolas. Numa manhã, ao conversar com Chaves, em frente à casa do Senhor 
Madruga, diz a este que prefere ter cinco carrinhos e duas bolas a ter três carrinhos e 
três bolas. Mas adiciona que prefere ter três carrinhos e três bolas a possuir dois 
carrinhos e cinco bolas. Chiquinha ouve a conversa. Mais tarde, Kiko brinca com 
Jaiminho e propõe uma troca de para modo que fique no final com dois carrinhos e 
cinco bolas. Chiquinha novamente ouve a conversa. As preferências de Kiko são 
transitivas? Explique. 
 
Resposta: 
Denote os carrinhos por C e as bolas por B. Então, 
i. 
ii. 
iii. 
Não são transitivas, pois se fossem, ele não aceitaria a troca, visto que, por 
transitividade, deveríamos ter . 
 
QUESTÃO 3 
Suponha um indivíduo com preferências monotônicas que escolhe uma cesta de 
consumo qualquer. Se propusermos a este indivíduo outra cesta ( tal que 
 e . Podemos ter certeza de que ele irá aceitar a nova cesta? Isto é, 
podemos afirmar que este indivíduo estará numa situação melhor, pior ou igual? 
Justifique sua resposta. 
 
Resposta: 
Se as preferências são monotônicas, então vale que se existem duas cestas e 
 de tal modo que com alguma desigualdade estrita para 
algum dos bens (isto é, a segunda cesta possui pelo menos a mesma quantidade dos dois 
bens e pelo menos um bem em maior quantidade), então . Porém, no 
exercício, , logo não podemos afirmar se ele prefere a nova cesta ou não. 
 
QUESTÃO 4 
Quais das seguintes funções são transformações monótonas de ? Para 
as que são, quais são as transformações que dá essa equivalência? 
a. 
b. 
c. 
 
Resposta: 
a. . 
Sim. Note que se , então . 
b. 
Sim. Note que se , então 
c. Não. Note que , mas . 
 
QUESTÃO 5 
Considere as funções de utilidade: 
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
Para cada uma delas: 
a. Indique o tipo de preferência (i.e. se são completas, transitivas, contínuas, 
monótonas, convexas, estritamente convexas, quase côncavas, quase convexas); 
b. Represente o mapa de indiferença; 
c. Determine a taxamarginal de substituição de y por x. 
 
Resposta: 
a. Copletas, transitivas e contínuas: (i) sim; (ii) sim; (iii) sim; (iv) sim; 
Monótona: (i) sim; (ii) sim; (iii) sim; (iv) sim; 
Pref. Convexa: (i) sim; (ii) sim; (iii) sim; (iv) sim 
Pref. Estritamente convexa: (i) sim; (ii) não; (iii) não; (iv) sim; 
Função Quase-côncava: (i) sim; (ii) sim; (iii) sim; (iv) sim; 
Função Quase-convexa: (i) não; (ii) sim; (iii) não; (iv) não. 
b. As curvas de nível possuem os seguintes formatos (com ): 
i. 
 
 
 
 
 
 
ii. 
iii. Complementares perfeitos ( para linhas verticais, para 
linhas horizontais) 
iv. 
c. (i) 
 
 
 
 
 
 
 
; (ii) 
 
 
 ; (iii) indefinido; (iv) 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 6 
Assinale Verdadeiro (V) ou Falso(F): 
a. Se as preferências forem convexas, o indivíduo prefere uma cesta balanceada; 
b. A convexidade das preferências implica em TMS decrescente; 
c. Se as preferências forem homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre as 
quantidades consumidas dos dois bens; 
d. Seja uma função de utilidade homotética e . 
Então, . 
 
Resposta: 
a. Falso. Contraexemplo: indivíduo com preferências do tipo “substitutos 
perfeitos”. A afirmação só seria verdadeira se fossem estritamente convexas. 
b. Falso. Contraexemplo: A TMS é constante para o caso de preferências do tipo 
“substitutos perfeitos”. É convexidade estrita que implica TMS decrescente. 
c. Verdadeiro. É a própria definição de preferências homotéticas. 
d. Verdadeiro. Quando as preferências são homotéticas, a TMS depende apenas da 
razão entre os bens (i.e. ). 
 
QUESTÃO 7 
Seja a função de utilidade tal que D é o número de unidades de um bem 
doméstico e M é o número de unidades de um bem importado. A função de utilidade é 
do tipo Cobb-Douglas. Sabe-se que, se a taxa de substituição econômica dos bens 
importados por domésticos for 1/2, o indivíduo consumirá a mesma quantidade dos dois 
bens, em equilíbrio. Pede-se: qual é a taxa marginal de substituição de M por D se a 
cesta de consumo é ? 
 
Resposta. 
Como a função de utilidade é do tipo Cobb-Douglas, temos 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do enunciado, sabemos que quando , logo 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 8 
Exercícios 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.6, 4.8 e 4.10 de Nicholson e Snyder ed. 10. 
 
Resposta: 
4.1. Monte o lagrangiano: 
 
CPO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rearranjando, 
 
Substituindo na restrição, encontramos: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
. 
a. Substituindo os valores: e 
b. A utilidade sob a cesta do item (a) é , ou . 
Da condição de ótimo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Então . Substituindo na curva de indiferença: 
 
 
 
 
 
Portanto Paul precisará de outro dólar. 
 
4.2. Para facilitar, faça a transformação 
 
 
 
 
 
 . Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. 
 e 
 . 
b. 
 e 
 
c. No item (a), 
 
 
 
 , e no item (b), 
 
 
 
 . Para 
alcançar a utilidade do item (b) aos preços do item (a), esse indivíduo precisará 
de mais renda. Pela função de utilidade indireta, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
 
Com essa renda, ele seria capaz de comprar: a cesta , 
que lhe daria uma utilidade de . (Obs: no solutions os resultados são um 
pouco diferentes porque ele dividiu os preços e renda por 2). 
 
4.3. 
a. Se custo não é um problema, então não há restrição orçamentária. Portanto, 
 
 
 
 
 
 
b. Restrição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na restrição, 
 
 
4.4. Pra facilitar as contas, use a transformação . Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
a. e 
b. Esse não é um máximo local porque as curvas de indiferença não possuem TMS 
decrescente (na verdade, elas são círculos concêntricos). Portanto, nós temos as 
condições necessárias, mas não suficientes para o máximo. Na verdade, a 
alocação calculada é a utilidade mínima. 
 
4.6. 
a. Se , então e , logo e , com . 
Se , pois e , logo não sobra nada para comprar x e y; 
Se , então e , logo e 
 , o que implica em , menos do que no caso . 
b. Mesmo com a utilidade marginal de z “não vale a pena” o preço do bem. 
Note que o “1” na função de utilidade faz com que o indivíduo incorra em 
alguma utilidade marginal decrescente antes que qualquer bem seja comprado. 
Para ver, no ótimo interior devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar as contas, use a transformação e calcule as 
utilidades marginais. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa última expressão é menor do que 1 para todo . Mesmo se , 
 
 
 
 
 
 . 
c. Resolvendo o problema, a CPO do problema transformado implica que devemos 
ter . Substituindo na restrição, 
 
Para , devemos ter , ou . 
 
4.8 
OBS: Essa questão não está no gabarito detalhado (solutions) e nem no final do livro. 
Além disso, achei a própria questão confusa, então não estou muito confiante da 
solução. Em todo caso, aqui vai minha tentativa de resolução: 
a. Como a quilometragem é 25 milhas por galão, a desutilidade de pagar a gasolina, y, 
é dada por , onde p é o preço do galão. Portanto, a utilidade “líquida” 
( ) é dada por: 
 
 
 
 
Sujeita à restrição 
 
 
 ou . 
O ótimo irrestrito é dado por: 
 
Substituindo , temos que número máximo de milhas é 250, mas o número 
ótimo é . 
b. Nesse caso , mas isso viola a restrição de 
 . Logo o número ótimo de milhas é . 
c. Dado que z é o número de pneus furados e x é o número de milhas, então é o 
número de pneus furados por milha. Considere que esse valor pode ser zero ou 1 
(nenhum pneu furado por milha ou um pneu furado por milha). Então: 
 
 
De modo que . Então . Portanto a desutilidade 
de um pneu furado é e a utilidade “líquida” do indivíduo é: 
 
O novo custo é 50 por cada pneu furado que ele tiver de substituir. Então o custo 
total é . Portanto, a restrição é 
 , ou 
 
No ótimo irrestrito, , então o número de milhas que maximiza a utilidade 
de Mr. Carr depois de levar em conta a probabilidade esperada de pneus furados é 
 . Apesar disso, achei o item confuso. O custo caso ocorra um pneu 
furado é maior do que a renda dele, então ele não teria como pagar um novo pneu o 
evento ocorra e não dirigiria nenhuma milha se fosse o caso… 
 
4.10 
a. No ótimo, 
 
 
 
 
 
 
 
Então substituindo na função de utilidade, temos: 
 
 
 
 
 
 
b. Isolando a renda na expressão acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. A elasticidade do gasto em relação a é dado por :Isso significa que quanto mais importante for x na função de utilidade do 
indivíduo, maior será a proporção em que os gastos devem ser incrementados 
para compensar por um aumento proporcional no preço de x. 
 
 
QUESTÃO 9 
 Considere a figura abaixo, que representa a linha de restrição orçamentária (AB) 
de um consumidor que consome apenas dois tipos de bens (com quantidades e ) e 
possui uma renda . 
 
Analise cada uma das afirmações abaixo, indicando se elas são verdadeiras ou falsas, 
justificando detalhadamente a sua resposta: 
 
 
 10 
 
 
 
 5 
2.5 5 
 
 A 
B 
a. A função de utilidade não é compatível com a escolha da cesta 
 . 
b. A função de demanda marshaliana pelo bem 1, dada por , onde 
e representam os preços dos dois bens, é compatível com a utilidade 
apresentada no item anterior. 
c. A expressão algébrica da linha de orçamento (AB) é dada por . 
d. O preço do bem 2 relativo ao bem 1 é igual a 2. 
 
Resposta: 
Note que 
 
 
 
 
 
 , logo 
 
 
 e 
 
 
. Portanto 
 . 
a. Falso. A demandas marshalianas são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 ; 
b. Falso. No item anterior vimos que a demanda marshaliana pelo bem 1 é dada por 
 ; 
c. Verdadeiro. Basta dividir por 5; 
d. Verdadeiro. 
 
 
 
 
 
 . 
 
QUESTÃO 10 
 Suponha um indivíduo com função de utilidade 
 
 
 
 e 
que possui uma renda de . Suponha ainda que os preços de mercado para os bens 
 e são, respectivamente, e . Diante disso: 
a. Encontre as demandas marshalianas por e ; 
b. Represente o problema graficamente; 
c. Qual o valor que o indivíduo atribui a estes bens no ponto de ótimo? 
d. Suponha que este indivíduo pudesse gastar 1 real a mas em . Quanto isso 
aumentaria sua utilidade? E se fosse em ? Justifique sua resposta. 
e. Suponha que o governo subsidie a produção de , e esse chega ao consumidor 
valendo metade do preço. Qual é a nova demanda pelos bens? 
f. Suponha agora que o governo coloque um imposto sobre a produção de e 
esse agora chega ao consumidor 20% mais caro (mantendo o bem 
subsidiado). Qual é a nova demanda pelos bens? 
g. Ao final das modificações de preço, o consumidor ficou em melhor ou pior 
situação? 
 
Resposta: 
a. Demandas: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
. Aplicando os valores do 
exercício, 
 e 
 ; 
b. 
 
c. O valor do relativo é dado pela TMS, que no ótimo é igual a razão entre os 
preços: 
 
 
 
 
 
; 
d. Antes da mudança: 
 
 
 
 
 
 
 
Depois da mudança, o indivíduo consumirá a mais de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No segundo caso, agora o indivíduo consome a mais de , logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Com o novo subsídio, . Então 
 
 
 
 
 
 
 ; 
f. Com o novo imposto, . Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g. Agora ele consome 
 
 
 
 
 , então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 11 
 Um indivíduo tem a função de utilidade dada por 
 
Responda: 
a. Escreva a função de utilidade indireta, ou seja, a utilidade do indivíduo (no 
ótimo) em função dos preços e da renda: ; 
b. Suponha que o indivíduo tenha uma renda de 100 e que . Qual 
a utilidade deste indivíduo no ponto de ótimo? 
 
 
 6 
 
 4 
5 15 
 
c. Suponha agora que o governo decida taxar o bem x com um imposto de 2 por 
unidade. Se o indivíduo continuasse comprando a mesma cesta, o que 
aconteceria com sua utilidade? 
d. Suponha agora que ao invés de cobrar um imposto sobre o produto, o governo 
decida taxar a renda do indivíduo de modo a arrecadar o mesmo valor monetário 
que arrecadaria no item anterior (este tipo de imposto é chamado de lump-sum). 
O que aconteceria com a utilidade do indivíduo? 
 
Resposta: 
a. 
 
 
; 
b. 
 
 
 
c. 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 12 
 Considere a seguinte função de utilidade: 
 
Responda: 
a. Escreva a função de utilidade indireta como função dos preços, , e da renda 
I; 
b. Considere a função indireta do item anterior e suponha que ela é fixada em um 
nível . Qual é o menor nível de renda que o indivíduo precisa ter para poder 
consumir uma cesta que lhe dê esta utilidade? (Dê a renda como uma função dos 
preços dos bens e do nível de utilidade); 
c. Se o indivíduo quiser saber qual é o menor gasto que ele poderia realizar para 
obter o nível de utilidade , como ficaria seu problema? Escreva formalmente o 
problema deste indivíduo e encontre suas funções de demanda (Resolva o 
Lagrangeano); 
d. Suponha que . Qual é o menor gasto que o indivíduo deve 
realizar para atingir este nível de utilidade? 
e. Suponha que agora o preço do bem x aumente para . O que acontece 
com a utilidade deste indivíduo? Qual é o montante de renda que deveria ser 
dado a ele para compensá-lo pela perda de utilidade? Se ele fosse compensado, o 
que aconteceria com a sua demanda por x e y? 
 
Resposta: 
a. 
 
 
 
 , onde é a função de utilidade indireta; 
b. 
 
 
, onde é a função dispêndio; 
c. Resolvendo o problema dual 
 obtemos as seguintes 
funções de demanda: 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
; 
d. 
 
 
e. Utilidade antes da mudança de preço: 
 
 
 
 
 
Utilidade depois da mudança de preço: 
 
 
 
 
 
Note que , logo a utilidade diminuiu. A renda posterior, , que 
compensa o consumidor pela perda de utilidade é aquela que iguala ambas 
as equações. Isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, . Isto é, a renda do consumidor precisa dobrar para que ele 
mantenha o mesmo nível de utilidade aos novos preços.