Álgebra Linear - Kunze e Hoffman

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

I' 
ALGEBRA 
LINEAR 
RIO DE JANEIRO 
SÃO PAULO 
2� EDIÇÃO 
KENNETH HOFFMAN 
jssociate Professor of Mathematics 
Massachusetts lnstitute of Technology 
RAY KUNZE 
Associate Professor of Mathematics 
Washington University 
St. Louis, Mo. 
Tradução de 
RENATE WATANABE 
Professora .de Matemática da Universidade Mackenzie 
0t LIVROS TÍCNICOS E Clf Nlf HCOS EDITORA 
COPYRIGHT © 197 9, Kenneth Hoffman e Ray K unze 
Proibida a reprodução, mesmo 
parcial, e por qualquer process'i, 
sem autorização expressa dos 
Autores e Editor. 
11!- edição - 1971 
Reirnpressões - 1973 e 1976 
21!- edição - 1979 
CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. 
Hoffman, Kenneth. 
H647a Álgebra linear / Kenneth Hoffman [e) Ray Kunze; tra-
79-0363 
dução de Renate Watanabe. - 2. ed. - Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 1979. 
Tradução de: Linear a1gebra 
Apêndice 
Bibliografia 
1. Álgebra linear 1. Kunze, Ray 1. Título 
· . · 
CDD - 512.5 
CDU - 512.8 
ISBN 85-216-0062�3 · 
( 
DireitOs desta edição reservados: 
LIVROS Tf'.CNICOS E CIENTIFICOS EDITORA S. A. 
Av. Venezuela, 163 -Centro 
20220 - Rio de Janeiro - RJ 
i979 
Impresso no Brasil 
PREFÁCIO 
Nosso propósito original ao escrever este livro foi fornecer um 
texto para o curso de graduação em Álgebra Linear no M assachu­
setts Jnstitute of Technology. Esse curso se destinava ao terceiro ano 
dos que optassem por Matemática, embora três quartos dos estu­
dantes que o freqüentavam se especializassem em outras disCiplinas 
tecnológicas e cientificas e variassem desde calouros até estudantes 
de pós�graduação. Essa descrição da audiência do M.I.T. para o 
texto permanece, em linhas gerais, correta até hoje. Os dez anos 
decorridos desde a primeira edição viram a proliferação de cursos 
de Álgebra Linear por todo o país e ofereç,elam a um dos Autores 
a oportunidade de lecionar essa matéria básica para diversos grupos 
na Brandeis University, Washington University (St. Louis) e Univer­
sity of California (lrvine). 
Nosso objetivo principal ao revisar o livro Álgebra linear foi 
adaptá-lo p,ara uma maior variedade de cursos. De um lado, 
estruturamos os capítulos, principalmente os mais difíceis, de tal 
modo que existis6em, ao longo do caminho, vários pontos naturais 
de parada, possibilitando ao instrutor escolher de diversas ma­
neiras os tópicos para um curso trimestral ou, semestral. Por outro 
lado, aumentamos a· quantidade da matéria para que o texto 
pudesse ser usado em um curso de Álgebra Linear mais amplo, de 
um ano, ou mesmó como um livro de referência para matemáticos. 
As maiores alterações ocorreram no nosso tratamento . de 
formas canônicas e· espaços com produto interno. No Cap. 6 não 
mais começamos com a teoria espacial geral que fundamenta a 
teoria das formas canônicas. Tratamos inicialmente os valores 
característicos em relação com teoremas de triangulação e diagona­
lização e em seguida escalamos o caminho para a teoria geral. 
VIII - PREFACIO 
Separamos o Cap. 8 em dois, de modo que os tópicos fundamentais 
sobre espaços com produto interno e diagonalização unitária fos­
sem seguidos de um novo Cap. 9, que, por sua vez, trata de formas 
sesquilineares e das propriedades mais sofisticadas de operadores 
normais, incluindo operadores normais sobre espaços com pro­
duto interno. 
Introduzimos também pequenas alterações e melhoramentos 
na primeira edição, porém a filosofia subjacente do texto perma­
neceu inalterada. 
Concessão alguma foi feita ao fato de a maioria dos alunos 
não estar interessada primordialmente em Matemática, porque 
acreditamos que um curso de Matemática não deveria fornecer 
a estudantes de Ciências, Engenharia ou Ciências Sociais um amon­
toado de métodos, e sim proporcionar a eles uma compreensão dos 
conceitos matemáticos fundamentais. 
Por outro lado, estávamos profundamente conscientes da grande 
variação de conhecimentos que os estudantes poderiam possuir e, 
em particular, do fato de terem eles tido muito pouca experiência 
com· o raciocínio matemático abstrato. Por essa razão, evitamos 
a introdução de muitas idéias abstratas logo no início do livro. 
Como complemento incluímos um Apêndice, onde são apresen­
tadas idéias básicas tais como conjunto, função e relação de equi­
valência. Achamos mais proveitoso não insistir nessas idéias inde­
pendentemente, e sim aconselhar os estudantes a ler o Apêndice 
à medida que elas surgissem. 
Em todo o livro incluímos uma grande diversidade de exem­
plos dos conceitos importantes que ocorrem. O estudo de tais 
exemplos é de fundamental importância e tende a minimizar o 
número de estudantes que conseguem repetir definições, teoremas 
e demonstrações em ordem lógica, sem apreender o significado dos 
conceitos abstratos. O livro contém também uma ampla gama de 
exercícios graduados (em torno de seiscentos), que variam desde 
aplicações rotineiras aos que desafiarão até os melhores alunos. 
Pretendemos que esses exercícios sejam parte importante do texto. 
O Cap. 1 trata de sistemas de equações lineares e sua reso­
lução por meio de operações elementares sobre linhas de matrizes. 
Tem sido nosso costume despender seis aulas nessa matéria, o que 
proporciona ao estudante um esboço das origens da Álgebra Linear 
e das técnicas de cálculo computacionais necessárias ao entendi­
mento de exemplos das idéias mais abstratas ocorrentes nos capítulos 
PREFÁCIO - IX 
posteriores. O Cap. 2 discorre sobre espaços vetoriais, subespaços, 
bases e dimensão. O Cap. 3 trata <;tas transformações lineares, 
sua álgebra, sua representação por matrizes, bem como de isomor­
fismo, funcionais lineares e espaços duais. 
O Cap. 4 define a álgebra dos polinômios sobre um corpo, 
os ideais naquela álgebra e a decomposição de um polinômio em 
fatores primos. Nele também são tratadas as raízes, a fórmula de 
Taylor e a fórmula de interpolação de Lagrange. O Cap. 5 desen­
volve determinantes de matrizes quadradas, sendo o determinante 
encarado como uma função n-linear alternada das linhas de uma 
i;natriz, e prossegue com o estudo das funções multilineares spbre 
módulos e o anel de Grassman. A matéria sobre módulos coloca 
o conceito de determinante em um contexto mais amplo e abran­
gente do que o normalmente encontrado em livros elementares. 
Os Caps. 6 e 7 contêm uma discussão dos conceitos funda­
mentais para a análise de uma só transformação linear sobre um 
espaço vetorial de dimensão finita; a análise de valores caracte­
rísticos, transformações trianguláveis e diagonalizáveis; os conceitos 
de partes diagonalizáveis e nilpotentes de uma transformação mais 
geral e as formas racional e canônica de Jordan. Os teoremas da 
decomposição primária e cíclica desempenham um papel central, 
chegando-se a este último por meio do estudo de subespaços admis­
síveis. O· Cap. 7 inclui a discussão de matrizes sobre um domínio 
de polinômios, o cálculo de fatores invariantes e divisores elemen­
tares de uma matriz e o desenvolvimento da forma canônica de 
Smith. O capítulo termina com uma discussão sobre operadores 
semi-simples, para completar a análise de um só operador. 
O Cap. 8 trata, com algum detalhe, dos espaços de dimensão 
fini,ta com produto interno. Desenvolve· a geometria básica, rela­
cionando o conceito de ortogonalização à idéia de "melhor apro­
ximação de um vetor" e passando aos conceitos de projeção orto­
gonal de um vetor sobre um subespaço e o suplementar ortogonal 
de um subespaço. O capítulo ainda trata dos operadores unitários 
e culmina com a diagonalização de operadores normais e auto­
adjuntos. 
O Cap. 9 introduz as formas sesquilineares, relaciona-as com 
os operadores positivos e auto-adjuntos sobre um espaço côm 
produto interno, prossegue com a teoria espectral de operadores 
normais
e, em seguida, com resultados mais sofisticados a respeito 
de operadores normais sobre espaços reais ou complexos com 
produto interno. 
X-PREFACIO 
. O Cáp. JO discute as formas bilineares, ressaltando as formas 
canônicas para formas simétricas e anti-simétricas, bem como 
grupos que conservam formas não-degeneradas, .principalmerite os 
grupos ortogonal, unitário, pseudo-ortogonal e de Lorentz. 
Acreditamos que qualquer curso que use este texto deva desen­
volver completamente os Caps. 1, 2 e 3 com a possível exclusão das 
Seçs. 3.6 e 3.7, que tratam do bidual e Q.a transposta de urna trans­
formação linear. Os Caps. 4 e 5, sobre .polinômios e determinantes, 
podem ser tratados com diversos graus de profundidade: . Ideais de 
polinômios e as propriedades fundamentais dos determinantes 
podem ser apenas esboçados, sem maior prejuízo do fluxo de lógica 
do texto; no entanto, sentimo-nos inclinados a desenvolver cuida­
dosamente esses capítulos (salvo os resultado.s sobre módulos), 
porque o seu conteúdo ilustra· muito bem as idéias básicas da 
Álgebra Linear. Um curso elementar pode então ser satisfatoria­
mente concluído com as quatro .Primeiras seções do Cap. 6; junta­
mente com o (novo) Cap. 8. Se as formas racionais e as de Jordan 
forem incluídas, então será necessário desenvolver mais extensiva­
me11te o Cap. 6. 
N.osso reconhecimento permanece para com aqueles que con­
tribuíram na primeira edição, principalmente os Profs. Harry Furst­
enberg, Louis Howard, Daniel Kan, Edward l horp, Sta. Judith 
Bowers, Sra. Bettx Ann (Sargent) Rose e Sra. Phyllis Ruby. Que­
remos acrescentar nossos agradecimentos aos muitos estudantes e 
colegas cujos comentários perspícuos nos levaram a esta revisão 
e à equipe da Prentice"Hall, pela paciente colaboração .com dois 
autores envolvidos nas agonias da administração. acadêmica. Por 
último, nossos agradecimentos à Sra. Sophia Koulouras pela sua 
habilidade e incansável esforço na datilografia do manuscrito 
revisado. 
K.M.H. / R.A.K. 
SUMÁRIO 
CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES LINEARES ............................... . 
l.i". Corpos Comutativos .............. : ......................... . 
1.2. Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
1.3. Matrizes e Operações Elementares sobre Linhas...... . . . . . . . . . . 7 
1.4. Matrizes Linha-Reduzidas à Forma: em Escada .. . . . . . . . . . . . . . . 1 4 
1.5. Multiplicação de Matrizes ......................... , . . . . . . . . . . 20 
1.6. Matrizes Inversíveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 
CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS.................................. 3 5 
2.1. Espaços Vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3 5 
2.2 . . ·subespaços ........................... : .... · ................ .". 43 
2.3. Bases e' Dimensão . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . . . .. 50 
2.4. Coordenadas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
2.5. Resumo de Linha-equivalência .. _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 
2.6. Cálculos Concernentes a Subespaços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 
CAPÍTULO 3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES....................... 85 
3 .1. Transformações Lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 
3.2. A Álgebra das Transformações Lineares...... . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
3.3 Isomorfismo ........................ : .............. : .......... 107 
3.4. Representação de Transformações por Matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . 109 
3.5. Funcionais Lineares . . . . . . .
•
. . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 1 23 
3.6. O Bidual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 
3.7. A Transposta de uma Transformação Linear .................. : 14 2 
CAPÍTULO 4. POLINÔMIOS ............ : . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 
4.1. Álgebras..................................................... 148 
4.2. A Algebra dos Polinômios................................... 1 49 
4.3. Interpolação de Lagrange .................. ·.... . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7 
4.4. Ideais de Polinômios ................................... : . . . . 1 6 1 
4.5. A Decomposição de um Polinômio em Fatores Primos......... 170 
CAPÍTULO 5. DETERMINANTES ....................... . .. ,.......... 178 
�i".I. Anéis Comutativos . .............. . :........................ 178 
5.2. Funções Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 
XII - SUMARIO 
5.3. Permutações e a Unicidade dos Determinantes... . . . . . . . . . . . . . . 190 
5.4. Propriedades Adicionais dos Determinantes.... . . . . . . . . . . . . . . . . 198 
5.5. Módulos........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 
5.6. Funções Multilineares........................................ 210 
5.7. O Anel de Grassman........................................ 221 
CAPÍTULO 6. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES................ 2 32 
6.1. Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 32 
6.2. Valores Característicos....................................... 2 3 3 
6:3. Polinômios Anuladores....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 44 
6.4. Subespaços Invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4 
6.5. Triangulação Simultânea; Diagonalização Simultânea . . . . . . . . . . . 264 
6.6. Decomposições em Soma Direta.............. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 67 
6. 7. Somas Diretas Invariantes..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 
6.8. O Teorema da Decomposição Primária.......... . . . . . . . . . . . . . . 280 
CAPÍTULO 7. AS FORMAS RACIONAL E DE JORDAN.. . . . . . . . . . . . . 290 
7.1. Subespaços Cíclicos e Anuladores............................. 290 
7.2. Decomposições Cíclicas e a Forma Racional................... 2 9 5 
7.3. A Forma d e Jordan........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 
7.4. Cálculo dos Fatores Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 
7.5. Resum.o; ·Operadores Semi-Simples............................ 3 3 5 
CAPÍTULO 8. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO............ . . . . . . 3 45 
8.1. Produtos Internos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 45 
8.2. Espaços com Produto Interno................................ 3 5 4 
8.3. Funcionais Lineares e Adjuntos....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 
8.4. Operadores Unitários.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 
8.5. Operadores Normais... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 
CAPÍTULO 9. ·OPERADORES SOBRE ESPAÇOS COM PRODUTO 
INTERNO.............................................. 40 6 
9.1. Introdução.................................................. 40 6 
9.2. Formas so
.
\:>�e. Espaços com Produto Interno................... 40 6 9.3. Formas Positivas.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 
9.4. Mais sobre Formas..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 
9.5. Teoria Espectral..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 
9.6. ,Outras Propriedades dos Operadores Normais.......... . . . . . . . . 444 
CAPÍTULO 10. FORMAS BILINEARES................................ 457 
10.1. Formas Bilineares...........................................
457 
10.2. Formas Bilineares Simétricas ......................... '...... . . 468 
10.3. Formas Bilineares Anti-Simétricas.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 
10.4. Grupos que Conservam Formas Bilineares.... . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 
APÊNDICE................................................ 491 
A. l. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 
A.2. Funções.................................................... 49 3 
A.3. Relações de Equivalência...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 
A.4. Espaços Quocientes.................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 
SUMÁRIO - XIII 
A.5. Relações de Equivalência em Álgebra Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 
A.6. O Axioma da Escolha.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 
BIBLIOGRAFIA............................................ 510 
ÍNDICE.................................................... 511 
1.1 Çorpos Comutativos 
Capítulo 1 
EQUAÇÕES LINEARES 
Supomos que o leitor tenha familiaridade com a álgebra ele­
mentar dos· números reais e complexos. Para uma grande parte 
deste livro as propriedades algébricas dos números que usaremos 
podem ser facilmente deduzidas da pequena lista abaixo de pro­
priedades da adição e da multiplicação. Indicamos por F o con­
junto dos números reais ou o conjunto dos números complexos. 
\ . 
1. A adição é comutativa, 
para todos x e y em F. 
2. A adição é associativa, 
x + (y + z) = (x + y) + z 
para todos x, y e z em F. 
3. Existe um único elemento O (zero) em F tal que x +O= x, 
para todo x em F. 
4. A cada x em F corresponde um único elemento ( - x) em 
F tal que x + ( - x) = O. 
5. A multiplicação é comutativa, 
xy = yx 
para todos x e y em F. 
6. A multiplicação é associativa, 
x(yz) = (xy) z 
para todos x, y e z em F. 
2 - ALGEBRA LINEAR 
7. Existe um único elemento não-nulo 1 (um) em F tal que 
xl = x, para todo x em F. 
8. A cada x não-nulo em F corresponde um único x -1 (ou 
1/x) em F tal que xx-1 = 1. 
9. A multiplicação é distributiva em relação à adição; isto é, 
x(y + z) = xy + xz, para todos x, y e z em F. 
Suponhamos que se tenha um conjunto F de objetos x, .l::j__Z, • • • 
e duas operações sobre os elementos de F como segue. A primeira 
operação, denominada adição, associa a cada par de elementos x, y 
em F um elemento (x + y) em F; a segunda operação, denominada 
multiplicação, associa a cada par x, y um elemento xy em F; e estas 
duas operações satisfazem as condições (1)-(9) acima. O conjunto F, 
munido destas duas operações, é então denominado um corpo 
comutativo*. A grosso modo, um corpo é um conjunto munido 
de algumas operações sobre seus objetos, as quais se comportam 
como a µ<lição, subtração, multiplicação e divisão usuais de nú­
meros no sentido de que elas obedecem às nove regras de álgebra 
acima relacionadas. Com as propriedades usuais da adição e multi­
plicação, o conjunto C dos números complexos é um corpo, como 
o é o conjunto R dos números reais. 
Na maior parte deste livro, os "números" que usamos podem 
ser os elementos de qualquer corpo F. Para permitir esta generali­
zação, usaremos a palavra "escalar" ao invés de "número':. O leitor 
não perderá muito se supuser sempre que o corpo de escalares seja 
um subcorpo do corpo dos números complexos. Um subcorpo do 
corpo C é um conjunto F de números complexos que é um corpo 
em relação às operações usuais de adição e multiplicação de nú­
meros complexos. Isto significa que O e 1 estão no conjunto F e 
que se x e y são elementos de F então (x + y), - x, xy e x-1 (se x #-O) 
também o são. Um exemplo de um subcorpo desta natureza é o 
corpo R dos números reais; de fato, se identificarmos os números 
reais com os números complexos (a+ ib) para os quais b = O, o 
O e o 1 do corpo complexo são números reais e, se -:X e y são reais, 
(x + y), - x, xy, e x-1 (se x #- O) també.m o são. Daremos outros 
(*) Neste livro, sempre teremos corpos comutativos, portanto abreviaremos a 
denominação escrevendo simplesmente corpos (N. do T.) 
EQUAÇÔES LINEARES - 3 
exemplos abaixo. O objetivo de nossa discussão sobre subcorpos 
é essencialmente o seguinte: quando trabalhamos com escalares de 
um certo subcorpo de C, a realização das operações de adição, 
subtração, multiplicação ou divisão sobre estes escalares não nos 
tira daquele subcorpo. 
Exemplo 1. O conjunto dos inteiros positivos: 1, 2, 3, ... , 
não é um subcorpo de C, por diversas razões. Por exemplo, O não 
é um inteiro positivo; para qualquer inteiro positivo n; - n não é 
um inteiro positivo; para qualquer inteiro n, exceto 1, 1/n não é um 
inteiro positivo. 
Exemplo 2. O conjunto dos inteiros: ... , -2, -1, O, 1, 2, ... , 
não é um subcorpo de C, pois para um inteiro n, 1/n não é um 
inteiro a menos que n seja 1 ou - 1. Com as operações usuais de 
adição e multiplicação, o conjunto dos inteiros satisfaz todas as 
condições (1)-(9) com exceção da condição (8). 
Exemplo 3. O conjunto dos números racionais, isto é, núme­
ros da forma p/q, onde p e q são inteiros e q =F O, é um subcorpo 
do corpo dos números complexos. A divisão, que não é possível 
dentro do conjunto dos inteiros, pode ser feita dentro do conjunto 
dos números racionais. O leitor interessado deve verificar que 
qualquer subcorpo de C contém todos os números racionais. 
Exemplo 4. O conjunto de todos os números complexos da 
forma x + y J2, onde x e y são racionais, é um subcorpo de C. 
Deixamos a cargo do leitor a verificação deste fato. 
Nos exemplos e exercícios deste livro, o leitor deve supor que 
o corpo em questão é um subcorpo dos números complexos, a não 
ser que seja explicitamente declarado que o corpo é mais geral. 
Não queremos nos estender sobre esse ponto mas, devemos indi­
car por que adotamos tal convenção. Se F é um corpo, pode ser 
possível adicionar um número finito de parcelas iguais à unidade 1 
e obter O (veja o exercício 5 após a seção 1.2): 
1+1 + ... + 1 =o. 
Isto não acontece no corpo dos números complexos (ou em qual­
quer de seus subcorpos). Quando este fato acontecer em F, o 
menor n, tal que a soma de n l's é O, é chamado característica do 
4 -. ALÓEBRA LINEAR 
corpo F. Se este fato não acontecer em F, então (por alguma 
estranha razão) F se diz um corpo de característica zero. Freqüen­
temente quando supomos que F é um subcorpo de C, queremos 
é garantir que F seja um corpo de característica zero; mas, num 
primeiro contato com álgebra linear, é melhor, em geral, não nos 
preocuparmos muito com a característica de corpos. 
1.2 Sistemas de Equações Lineares 
Suponhamos que F seja um corpo. Consideremos o problema 
da determinação de n escalares (elementos de F) xi> ... , xn que 
satisfaçam as condições 
(1-1) 
Â11X1 + Â12X2 + ... + A1nXn = Y1 
Â21X1 + Â22X2 + · · · + A2nXn = Y2 
Aml X1 + Am2X2 + · · · + AmnXn = Ym 
onde y , , ... , Ym e Aii' 1 � i � m, 1 �j � n, .são elementos dados 
de F. Denominamos (1-1) um sistema de m equações lineares a n 
incógnitas. Toda n- upla ( (x 1, • • • , xn) de elementos de F que satis� 
faz a cada uma das equações em (1-1) é dita uma solução do sis­
tema. Se y1 = y2 = . . . = Ym = O, dizemos que o sistema é homo­
gêneo, ou que cada uma ·das equações é homogênea. 
O método mais importante para determinar as soluções de 
um sistema de equações lineares é talvez o método de eliminaÇão. 
Podemos ilustrar este método com o sistema homogêneo 
2x1 - x2 + x3 = Ü 
x1 + 3x2 + 4x3 = O. 
Somando ( - 2) vezes a segunda equação à primeira equação obtemos 
ou x2 = ..,. x3. Somando 3 vezes a primeira equação à segunda 
equação, obtemos 
ou x1 = - x3. Assim, concluímos que se (x1, x2, x3) é uma solução 
então x1 = x2 = -
x3. Reciprocamente, pode-se verificar pronta-
ÉQUAÇÔES LINEARES - 5 
mente que toda terna deste tipo é uma solução. Assim, o conjunto 
de soluções consiste de todas as ternas (-a, -a, a) .. 
Determinamos as soluções deste sistema de equações "elimi­
nando incógnitas", isto é, multiplicando equações por escalares e 
daí somando-as para obter equações em que alguns dos xj não 
estejam presentes. Queremos formalizar ligeiramente este processo 
para que possamos compreender por que ele funciona e para que 
possamos efetuar os cálculos necessários para resolvermos um 
sistema de uma maneira organizada. 
Para o sistema arbitrário (1-1), suponhamos selecionar m esca­
lares, multiplicar a j-ésima equação por c.1 e daí somar. Obtemos 
a equação 
(c1A11 + . . . + cmAml) X1 + ... + (c1A1n + .. . + cmAmn) xn = 
= C1Y1 + ··· + CmYm· 
Tal equa.ção será por nós denominada uma combinação linear das. 
equações em (1-1). Evidentemente, toda solução do sistema de 
equações (1-1) também será uma solução desta nova equação. 
Esta é a idéia fundamental do processo de eliminação. Se temos 
outro sistema de equações lineares 
(1-2) 
no qual cada uma das k equações é uma combinação linear das 
equações em (1-1), então toda solução de (1-1) é uma solução deste 
novo sistema. É claro que pode acontecer que algumas soluções 
de (1-2) não sejam soluções de (1-1). Isto obviamente não acontece 
se cada equação do sistema original é uma combinação linear das 
equações do novo sistema. Diremos que dois sistemas de equações 
lineares. são equivalentes se· cada equação de cada sistema for uma 
combinação linear das equações do outro sistema. Podemos então 
enunciar formalmente nossas observações como segue. 
Teorema 1. Sistemas equivalentes de equações lineares têm exa­
tamente as mesmas soluções. 
Para o processo de eliminação ser eficiente na determinação 
das soluções de um sistema como (1-1), é necessário que se saiba, 
6 - ALGEBRA LINEAR 
formando combinações lineares das equações dadas, como pro­
duzir um sistema equivalente de equações que seja mais fácil 
de resolveu Na próxima seção discutiremos um método para con­
seguir isto. 
Exercícios 
1. Verificar que o conjunto de números complexos descrito no Exemplo 4 é um 
subcorpo de e. 
2. Seja F o corpo dos números complexos. Os dois seguintes sistemas de equa­
ções lineares são equivalentes? Em caso afirmativo, exprimir cada equação 
de cada sistema como uma combinação linear das equações do outro sistema. 
X1 - X2 = 0 
2x1 + X2 = 0 
3x1 + X2 = 0 
X1 + X2 = 0 
3. Repetir o Exercício 2 para os seguintes sistemas de equações: 
-X1 + X2 + 4x3 = 0 
x1 + 3x2 + 8x3 =O 
!x' + X2 + !x3 = O 
4. Repetir o Exercício 2 para os sistemas seguintes: 
5. Seja F um conjunto que contém exatamente dois elementos, O e 1. Definamos 
uma adição e uma multiplicação pelas tábuas: 
+ o 
o o 1 
1 1 o 
� 
o o 
o 1 . 
Verificar que o conjunto F, munido destas duas operações, é um corpo. 
6. Demonstrar que se dois sistemas homogêneos de equações lineares a duas 
incógnitas têm as mesmas soluções, então eles são equivalentes. 
7. Demonstrar que todo subcorpo do corpo dos números complexos contém 
todos os números racionais. 
8. Demonstrar que todo corpo de característica zero contém uma cópia do corpo 
dos números racionais. 
EQUAÇÔES LINEARES - 7 
1.3 Matrizes e Operações Elementares sobre Linhas 
Não podemos deixar de observar que, ao formarmos combi­
nações lineares de equações lineares, não há necessidade de conti­
nuarmos escrevendo as "incógnitas" xl' . . . , x., uma vez que, na 
realidade, fazemos cálculos ap�nas com os coeficientes A;1 e os 
escalares Y;· Abreviaremos o sistema (1-Í) por 
AX = Y 
onde 
Denominamos A a matriz dos coeficientes do sistema. Rigo­
rosamente falando, a tabela retangular acima exibida não é uma 
matriz, mas sim uma representação de uma matriz. Uma m X n 
matriz sobre o corpo F é umà função A do conjunto dos pares de 
inteiros (i, j), 1 :::;; i :::;; m, 1 :::;;j:::;; n, no corpo F. Os elementos da 
matriz A são os escalares A(i,j) = A;1 e, com bastante freqüência, 
o mais conveniente é descrever a matriz exibindo seus elementos 
numa tabela retangular com m linhas e n colunas, como acima. 
Assim X (acima) é, ou define uma n x 1 matriz e Y é uma m x 1 
matriz. Por ora, AX = Y nada mais é. que uma notação taqui­
gráfica para o nosso sistema de equações lineares. Posteriormente, 
quando houvermos definido uma multiplicação de matrizes, aquilo 
significará que Y é o produto de A por X. 
Queremos agora considerar operações sobre linhas da matriz A 
que correspondam a formar combinações lineares das equações do 
sistema AX = Y. Restringiremos nossa atenção a três operações 
elementares sobre as linhas de uma m x n matriz A sobre o corpo F: 
1. multiplicação de uma linha de A por um escalar e não-nulo; 
2. substituição da r-ésima linha de A pela linha r mais e vezes 
a linha s, sendo e um escalar arbitrário e r # s; 
3. transposição de duas linhas de A. 
8 -'- ALGEBRA LINEAR 
Uma operação elementar sobre linhas é assim um tipo particular 
de função (regra) e que associa a cada m x n matriz A uma m x n 
matriz e (A). Pode-se descrever e com precisão nos três casos acima 
como segue: 
1. e(A);j = Aij se i # r, e(A),i = cA,r 
2. e(A)ij = Aij se i # r, e(A),i = A,i + cA,r 
3. e(A)ij = A;, se i é diferente de r e de s, e(A),i = A•i' 
e(A),i = A,r 
Ao definirmos e(A) não importa muito o número de colunas de A, 
mas o número de linhas de A é crucial. Por exemplo, deve-se tomar 
cuidado ao decidir o que significa trocar as linhas 5 e 6 de uma 
5 x 5 matriz. Para evitar tais complicações, convencionaremos que 
uma operação elementar e sobre as linhas é definida sobre a classe 
das m x n matrizes sobre F, para um certo m fixo mas para n arbi­
trário. Em outras palavras, um e particular é definido sobre a classe 
das matrizes com m linhas sobre F. 
Uma razão para nos restringirmos a estes três tipos simples de 
operações sobre linhas é que, tendo efetuado um.a tal operação e 
sobre uma matriz A, podemos voltar a A efetuando uma operação 
do mesmo tipo sobre e(A). 
Teorema 2. A cada operação elementar sobre linhas e corres­
ponde uma operação elementar sobre linhas e tal que, do mesmo tipo 
que e, e1 (e(A)) = e(e1(A)) =A para qualquer A. Em outras palavras, 
a operação U'unção) inversa de uma operação elementar sobre linhas' 
existe e é uma operação elementar sobre linhas do mesmo tipo. 
Demonstração. (1) Suponhamos que e seja a operação que mul­
tiplica a r-ésima linha de uma matriz pelo escalar não-nulo e. Seja 
e1 a operação que multiplica a linha r por c 
1
• (2) Suponhamos 
que e seja a operação que substitui a linha r pela linha -r mais e 
vezes a linhas, r # s. Seja e1 a operação que substitui a linha r pela 
linha r mais ( - e) vezes a linha s. (3) Se e transpõe as linhas r e s, 
seja e 1 = e. Em cada um destes três casos temos evidentemente 
e1(e(A)) = e(e1(A)) =A para cada A. 
Definição. Se A e B são m x n matrizes sobre o corpo F, dizemos 
que B é linha-equivalente a A se B pode ser obtida de A por uma 
seqüência finita de operaçães. elementares sobre linhas. 
EQUAÇÔES LINEARES - 9 
Usando o Teorema 2, o leitor deverá achar fácil verificar o 
que segue. Toda matriz é linha-equivalente a si mesma; se B é 
linha-equivalente a A, então, A é linha-equivalente a B; se B é linha­
equivalente a A e C é linha-equivalente a B, então C é linha-equi­
valente a A. Em outras palavras, a linha-equivalência é uma relação 
de equivalência (ver Apêndice). 
Teorema 3. Se A e B são m x n matrizes linha-equivalentes, 
os sistemas homogêneos de equações lineares AX = O e BX = O têm 
exatamente as mesmas soluções. 
Demonstração. Suponhamos passar de A para B por meio de 
uma seqüência finita de operações elementares sobre linhas:
A = A0 --> A2 --> ... --> Ak = B. 
Basta demonstrar que os sistemas AjX =O e Aj+1X =O têm as 
mesmas soluções, isto é, que uma operação elementar sobre linhas 
não altera o conjunto das soluções. 
Assim, suponhamos que B seja obtida de A por uma única 
operação elementar sobre linhas. Qualquer que seja o tipo da ope­
ração, (1), (2) ou (3), cada equação dos sistemas BX =O será uma 
combinação linear das equações do sistema AX =O. Como a in­
versa de uma operação elementar sobre linhas é uma operação 
elementar sobre linhas, cada equação em AX =O também será uma 
combinação línear das equações em BX =O. Logo estes dois sis­
temas são equivalentes e, pelo Teorema 1, têm as mesmas soluções. 
Exemplo 5. Suponhamos que F seja o corpo dos números 
racionais e que 
-1 
4 
6 
Efetuaremos uma seqüência finita de operações elementares sobre 
as linhas de A, indicando por números entre parênteses o tipo de 
operação efetuada. 
-1 
4 
6 
� - �] -8 r� 
-1 5 l 2 
-9 3 
4 o 
6 -1 
10 - ALGEBRA LINEAR 
[! -9 3 - �] Ql [! 4 o -2 -1 
[! 
-9 3 'i] m [! o -2 1 !. 2 
[! 
o 1 
-;�] m [! 
o -2 
1 !. 2 
l! o 1 o o 1 o 
-9 
4 
1 
o 
o 
1 
o 
o 
1 - 'i� 
!.1 3 
5 
-3 
3 
o 
l 
2 
..Ll. 2 
2 
!. 2 
1 
o 
!. 2 
= 
i]m 
"] -,{ Ql 
"] 
- 137 (2) 3 --
]_ 2 
A linha-equivalência de A com a matriz final na seqüência acima 
nos diz em particular que as soluções de 
e 
2x1 - x2 + 3x.i + 2x4 = O x1 + 4x2 - x4 = O 2x1 + 6x2 - x3 + 5x4 = O 
X3 - \1 X4 = Ü X1 + \7 X4 = Ü X2 - � x4 = Ü 
são exatamente as mesmas. No segundo sistema é evidente que 
atribuindo um valor racional arbitrário e a x4, obtemos uma solu­
ção ( -137 e, �e, \1 e, e), e também que toda solução é desta forma. 
Exemplo 6. Suponhamos que F seja o corpo dos· números 
complexos e que 
[-
1 i
] À= -i 3 . 
. . 1 2 
EOUAÇÔES LINEARES - 11 
Ao efetuarmos operações sobre linhas freqüentemente convém com­
binar várias operações do tipo (2). Com isto em mente 
[.-� 
-z 
1 
Assim o sistema de equações 
- X1 + ix2 = Ü 
-ix1 + 3x2 = O 
ix1 + 2x2 = O 
possui apenas a solução trivial x1 = x2 = O. 
Nos Exemplos 5 e 6 é óbvio que não efetuamos operações 
sobre linhas ao acaso. Nossa escolha de operações sobre linhas 
foi motivada por um desejo de simplificar a matriz dos coeficientes 
de uma maneira análoga à "eliminação de incógnitas" no sistema 
de equações lineares. Coloquemos agora uma definição formal do 
tipo da matriz à qual estávamos tentando chegar. 
Definição. Uma m x n matriz R é dita linha-reduzida se: 
(a) o primeiro elemento não-nulo em cada linha não-nula de R 
é igual a 1; 
(b) cada coluna de R que contém o primeiro elemento não-nulo 
de alguma linha tem todos os seus outros elementos nulos. 
Exemplo 7. Um exemplo de uma matriz linha-reduzida é a 
n X n matriz (quadrada) unidade J. Esta é a n x n matriz definida 
por 
{1, se i=j 
Iii = ôii = O, se i # j. 
Esta é a primeira de muitas ocasiões em que usaremos o símbolo 
de Kronecker (ô). ' 
Nos Exemplos 5 e 6, as matrizes finais nas seqüências apre­
sentadas são matrizes linha-reduzidas. Dois exemplos' de matrizes 
que não são linha-reduzidas são: 
12 - ALGEBRA LINEAR 
[1. o 
o 1 
o o 
-� �] [� � - �] . 
1 o o o o 
A segunda matriz não satisfaz a condição (a) porque o primeiro 
elemento não-nulo da primeira linha não é 1. A primeira matriz 
satisfaz a condição (a) mas não satisfaz a condição (b) na coluna 3. 
Demonstraremos agora que podemos passar de uma matriz 
arbitrária a uma matriz linha-reduzida por meio de um número 
finito de operações elementares sobre linhas. Combinado com o 
Teorema 3, isto nos fornecerá um instrumento eficiente pa�a a 
resolução de sistemas de equações lineares. 
Teorema 4. Toda m x n matriz sobre o corpo F é linha-equi­
valente a uma matriz linha-reduzida. 
Demonstração. Seja A uma m x n matriz sobre F. Se todo 
elemento na primeira linha de A é O, então a condição (a) está 
satisfeita no que diz respeito à linha l. Se a linha 1 tem um 
elemento não-nulo, seja k o menor inteiro positivo j para o qual 
A1j ::/=O. Multipliquemos a linha 1 por A�/ e então a condição (a) 
está satisfeita em relação à linha l. Agora, para cada i ;;:::: 2, some­
mos ( - Aik) vezes a linha 1 à linha i. Agora o primeiro elemento 
não-nulo da linha 1 ocorre na coluna k, este elemento é 1, e 
todos os outros elementos na coluna k são nulos. 
Consideremos agora a matriz que resultou das operações 
acima. Se todo elemento na linha 2 é nulo, nada fazemos à linha 2. 
Se algum elemento na linha 2 é diferente de O, multiplicamos a 
linha 2 por um escalar de modo que o primeiro elemento não-nulo 
seja 1. No caso em que a linha 1 tenha um primeiro elemento não­
nulo; na coluna k, este primeiro elemento não-nulo na linha 2 
não pode ocorrer na coluna k; digamos que ele aparece na coluna 
k' ::/= k. Somando múltiplos adequados da linha 2 às diversas linhas, 
podemos fazer com que todos os elementos na coluna k' sejam 
nulos, com exceção do 1 na linha 2. O fato importante a ser notado 
é este: ao efetuarmos estas últimas operações, não alteramos os 
elementos da linha 1 nas colunas 1, ... , k; além disso, não altera­
mos nenhum elemento da· coluna k. É claro que, se a linha 1 fosse 
identicamente nula, as operações com a linha 2 não afetariam 
a linha l. 
EQUAÇÕES LINEARES - 13 
Trabalhando com uma linha de cada vez da maneira acima, 
é evidente que, com um número finito de passos, chegaremos a 
uma matriz linha-reduzida. 
Exercícios 
1. Determinar todas as soluções do sistema de equações 
2. Se 
(1 - i) X1 - ix2 = 0 
2x1 + (l - i)x2 =O. 
determinar todas as soluções de AX =O, tornando A linha-reduzida. 
3. Se 
A= [ : 
-1 -4 º] -2 o o 3 
determinar todas as soluções de A.X = 2X e todas as soluções de AX = 3X. 
(O símbolo cX indica a matriz cujos elementos são e vezes os elementos 
correspondentes de X.) 
4. Encontrar uma matriz linha-reduzida que seja linha-equivalente a 
-(1 + i) 
-2 
2i �]· -1 
5. Demonstrar que as duas matrizes seguintes não são linha-equivalentes: 
[� ·-! �] [-� � -!] 
6. Seja 
A=[: �] 
uma 2 x 2 matriz com elementos complexos. Suponhamos que A seja linha­
reduzida e também que a + b + e + d = O. Demonstrar que existem exata­
mente três destas matrizes. 
14 - ALGEBRA LINEAR 
7. Demonstrar que a transposição de duas linhas de uma matriz pode ser conse­
guida por uma seqüência finita de operações elementares sobre linhas dos 
outros dois tipos. 
8. Consideremos o sistema de equações AX = O onde 
é uma 2 x 2 matriz sobre o corpo F. Demonstrar o que segue. 
(a) Se todo elemento de A é nulo, então todo par (x,, x2) é uma solução 
de AX =O. 
(b) Se ad - bc � O, o sistema AX = O possui apenas a solução trivial 
X1 = X2 = Ü. 
(e) Se ad - bc =O e algum elemento de A é diferente de O, então existe uma 
solução (x�, x�) tal que (x 1' x2) é uma· solução se, e somente se, existe um 
escalar y tal que x1 = yx�, x2 = yxg. 
1.4 Matrizes Linha-reduzidas à Forma em Escada 
Até agora, nosso trabalho com sistemas de equações lineares 
foi motivado por uma tentativa de determinar as soluções de um 
tal sistema. Na Seção 1.3 estabelecemos um método padronizado 
para determinar estas soluções. Desejamos agora obter algum 
conhecimento que seja um pouco mais teórico, e para tal propósito 
é conveniente ir um pouco além de matrizes linha-reduzidas. 
Definição. Uma m x n matriz R é dita uma matriz linha-redu­
zida à forma em escada se 
(a) R é linha-reduzida; 
(b) toda linha de R cujos elementos são todos nulos ocorre 
abaixo de todas as linhas que possuem um elemento não-nulo; 
( c) se as linhas 1, . . . , r são as linhas não-nulas de R 'e se o pri­
meiro elemento não-nulo da linha i ocorre na coluna k;, i = 1, ... , r, 
.então k1 < k2 < . .
. < k,. 
Pode-se também descrever uma m x n matriz R linha-reduzida 
à forma em escada como segue. Todo elemento em R é nulo ou 
então existe um inteiro positivo r, 1 :::;; r:::;; m, e r inteirosº positivos 
kl' ... , k, com 1 :::;; k;:::;; n e 
(a) Rii =O para i > r, e Rii =O se j < k;. 
(b) Riki =Ô;;• 1 :::;; i:::;; r, 1 :::;;j:::;; r. 
(c) k1 < ... <k,. 
EQUAÇÔES LINEARES - 15 
Exemplo 8. Dois exemplos de matrizes linha-reduzidas à forma 
em escada são n x n matriz unidade e a m x n matriz nula om·", na 
qual todos os elementos são nulos. O leitor não deverá encontrar 
nenhuma dificuldade para encontrar outros exemplos, mas gosta­
ríamos de dar mais um exemplo não-trivial: 
[o 1 
o o 
o o 
-� � �]· . 
o o o 
Teorema 5. Toda m x n matriz A é linha-equivalente a uma 
matriz linha-reduzida à forma em escada. 
Demonstração. Sabemos que A é linha-equivalente a uma 
matriz linha-feduzida. Portanto, basta observar que, efetuando um 
número finito de permutações das linhas de uma matriz linha­
reduzida, podemos transformá-la numa matriz linha-reduzida à 
forma em escada. 
Nos Exemplos 5 e 6, vimos a importância de matrizes linha­
reduzidas na solução, de sistemas homogêneos de equações lineares. 
Discutamos rapidamente o sistema RX = O, no caso em que R é 
uma matriz linha-reduzida à forma em escada. Sejam as linhas 
1, ... , r as linhas não-nulas de R e suponhamos que o primeiro 
elemento não-nulo da linha i ocorra na coluna ki. O sistema 
RX =O consiste então de r equações não-triviais. Além disso, a 
incógnita xki aparecerá (com coeficiente não-nulo) apenas na i-ésima 
equação. Se indicarmos por u1, .. ., un-r as. (n -r) incógnitas que 
são diferentes de xk1, .. ., xk,• então as r equações não-triviais em 
RX = O são da forma 
(1-3) 
n-r 
xk1 + L Ctpj = O 
.i= 1 
n-r 
xk + " C .u = O. r _L.i YJ J j=l 
Todas as soluções dos sistemas de equações RX = O são obtidas 
atribuindo-se valores arbitrários a ul' . . ., un-r e calculando os va­
lores correspondentes de xk1, ... , xk, por meio de (1-3). Por exem-
16 - ALGEBRA LINEAR 
pio, se R é a matriz do exemplo 8 acima, então r = 2, k1 = 2, k2 = 4, 
e as duas equações não-triviais do sistema RX =O são 
x2 - 3x3 + !x5 = O ou 
x4 + 2x5 = O ou 
Xz = 3x3 - !xs 
X4 = 2x5• 
Assim, podemos atribuir valores arbitrários a x1, x3 e x5, digamos 
x1 =a, x3 = b, x5 =e, e obter a solução (a,3b - !e, b, - 2c, e). 
Observemos mais um fato sobre o sistema de equações RX =0. 
Se o número r de linhas não-nulas de R é menor que n, então o 
sistema RX =O admite uma solução não-trivial, isto é, uma solução 
(x1, . .. , x,,) em que nem todo xj é nulo. De fato, como r < n, 
podemos tomar algum xj que não esteja entre as r incógnitas 
xk,, ... , xk, e daí construir uma solução como acima na qual este 
xj é 1. Esta observação nos leva a um dos conceitos mais funda­
mentais relativos a sistemas de equações lineares homogêneas. 
Teorema 6. Se A é uma m x n matriz e m :f. n, então o sistema 
homogêneo de equações lineares AX =O admite uma solução não­
trivial. 
Demonstração. Seja R uma matriz linha-reduzida à forma em 
escada que seja linha-equivalente a A. Então os sistemas AX = O 
e RX = O possuem, pelo Teorema 3, as mesmas soluções. Se r é o 
número de linhas não-nulas em R, então certamente r � m e como 
m < n, temos r < n. Decorre imediatamente de nossas observações 
ac�ma que AX =O admite uma solução não-trivial. 
r Teorema 7. Se A é uma n x n matriz (quadrada), então A é 
linha equivalente a n x n matriz unidade se, e somente se, o sistema 
de equações AX = O possuir apenas a solução trivial. 
Demonstração. Se A é linha-equivalente a J, então AX = O e 
IX = O têm as mesmas soluções. Reciprocamente, suponhamos que 
AX = O admita somente a solução trivial X = O. Seja R uma n x n 
matriz linha-reduzida à forma em escada que seja linha-equivalente 
a A, e seja r o número de linhas não nulas de R. Então RX = O 
não admite solução não-trivial. Assim, r 2 n. Mas como R possui 
n linhas, certamente r � n e temos r = n. Como isto significa que 
R possui na verdade um primeiro elemento não-nulo igual a 1 em 
cada uma de suas n linhas e como estes 1 ocorrem cada um numa 
das n colunas, R é, necessariamente, a n x n matriz unidade. 
EQUAÇÔES LINEARES - 17 
Perguntemos agora que operações elementares sobre linhas efe­
tuar para resolver um sistema de equações lineares AX = Y que 
não seja homogêneo. De início, devemos observar uma diferença 
básica entre este caso e o caso homogêneo, a saber, que enquanto 
o sistema homogêneo sempre admite a solução trivial x1 = . .. = 
= x" = O, um sistema não-homogêneo pode não ter nenhuma 
solução. 
Formemos a matriz completa A' do sistema AX = Y. Esta é 
a m x (n + 1) matriz cujas n primeiras colunas são as colunas de A 
e cuja última coluna é Y. Mais precisamente 
A;1 = AiJ' se j � n 
A;<n+1> = Y; 
Suponhamos que efetuemos uma seqüência de operações elemen­
tares sobre as linhas de A, obtendo uma matriz R linha-reduzida 
à forma em escada. Se efetuarmos esta mesma seqüência de opera­
ções sobre a matriz completa A', obteremos uma matriz R' cujas n 
primeiras colunas são as colurias de R e cuja última coluna contém 
certos escalares z 1, ... , zm. Os escalares z; são os elementos da 
m x 1 matriz 
que resulta de se aplicar a seqüência de operações sobre as linhas 
da matriz Y. Deve ser evidente ao leitor que, como na demons­
tração do Teorema 3, os sistemas AX = Y e RX = Z são equiva­
lentes e portanto admitem as mesmas soluções. É bem fácil saber 
se o sistema RX = Z possui soluções e em caso afirmativo deter­
minar todas as soluções. De fato, se R possuir r linhas não-nulas, 
com o primeiro elemento não-nulo da linha i ocorrendo na co­
luna k;, i 
= 
1, ... , r, então as r primeiras equações de RX = Z expri­
mem realmente xk·' . . . ,xk em termos dos (n-r)x restantes e dos 
escalares zl' . . ., :,. As (� - r) últimas equações �ão 
O = z,+ 1 
18 - ALGEBRA LINEAR 
portanto a condição para o sistema ter uma solução é que z; = O 
para i > r. Se esta condição é satisfeita, todas as soluções deste 
sistema podem ser determinadas, como no caso homogêneo, atri­
buindo-se valores arbitrários a (n - r) dos x.1 e daí calculando xk; 
por meio da i-ésima equação. 
Exemplo 9. Seja F o corpo dos números racionais e 
-2 
1 
5 
e suponhamos que se deseje resolver o sistéma AX = Y para certos 
y1, y2 e y3• Efetuemos uma seqüência de operações sobre as linhas 
da matriz completa A' que torne A linha-reduzida: 
rn -2 1 1 1 5 -1 Y,] [1 Y2 _@ O y3 O 
[� 
[8 
[1 
o 
o 
-2 
5 
5 
-2 
5 
o 
-2 
1 
o 
o 
1 
o 
1 y, ] 
-1 (Y2 - 2y1) _@ 
-1 Y3 
1 Y, ] 
-1 (Y2 - 2y1) Ql 
o (y3 - Y2 + 2y1). 
1 
y, ] 1 HY2 - 2yl) Ql -õ (Y3 - Y2 + 2y1) 
d_ t(y, + 2y,). ] 5 1 i(Y2 - 2y1) . -5 
o (y3 - Y2 + 2y1) 
A condição para que o sistema AX = Y tenha uma solução é por­
tanto 
e se os escalares y. dados satisfazem esta condição, todas as solu­
ções são obtidas atribuindo-se um valor e a x3 e depois calculando 
X1 = te + t(y1 + 2y2) 
Xz = te + HY2 - 2y1). 
EQUAÇÔES LINEARES - 19 
Façamos uma observação final sobre o sistema AX = Y. Supo­
nhamos que os elementos da matriz A e os escalares y1, ... , Ym 
estejam num subcorpo F 1 do corpo F. Se o sistema de equações 
AX = Y admite uma solução com xl' . . . , x,, em F, ele admite uma 
solução com x 1' . . . , x,, em F 1. De fato, sobre qualquer um dos 
dois corpos, a condição para o sistema admitir uma solução é 
que valham certas relações entre yl' . . . , Ym em F1 (a saber, as 
relações Z; =O para i > r, acima). Por exemplo, se AX = Y é um 
sistema de e4uac;ôes lineares no qual os escalares yk e A,i são 
números reais e, se existe uma solução na qual x 1, • . . , x,, são nú­
meros complexos, então existe uma solução com xl' .. . , x,, núme­
ros reais . 
. Exercicios 
1. Determinar todas as soluções do seguinte sistema de equações linha-reduzindo 
a matriz dos coeficientes: 
tx1 + 2x2 - 6x3 = O 
-4x1 + 5x3 = O 
-3x1 + 6x2 - 13x3 = O 
-1x1 + 2x2 - �x3 = O 
2. Determinar uma matriz linha-reduzida à forma em escada que seja equiva­
lente a 
[1 - i ] 
A= 2 2 · 
i 1 + i 
Quais são as soluções de AX = O? 
3. Descrever explicitamente todas as 2 x 2 matrizes linha-reduzidas à forma 
em escada. 
4. Consideremos o sistema de equações 
X1 - X2 + 2x3 = 1 
2x1 + 2x3 = 1 
x1 - 3xi + 4x3 = 2. 
Este sistema admite solução? Em caso afirmativo, descrever 'explicitamente 
todas as soluções. • 
5. Dar um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas 
que não admite solução. 
20 - ÁLGEBRA LINEAR 
6. Mostrar que o sistema 
não admite solução. 
x1 - 2x2 + x3 + 2x4 = l 
X1 + X2 - X3 + x4 = 2 
x1 + 7x2 - 5x3 - x4 = 3 
7. Determinar todas as soluções de 
8. Seja 
2x1 - 3x2 - 7x3 + 5x4 + 2x5 = -2 
x1 - 2x2 - 4x" + 3x4 + x 5 = -2 
2x1 - 4x3 + 2x4 + x5 = 3 
x1 - 5x2 - 7x3 + 6x4 + 2x5 = -7. 
Para que ternas (yl'y,,y3) o sistema AX = Y admite solução? 
9. Seja 
[ 3 -6 2 -1] 
A= -2 4 l 3 . o o l l 
l - 2 l o 
Para que (yl' y,, y3, y4) o sistema de equações AX = Y admite solução? 
10. Suponhamos que R e R', sejam 2 x 3 matrizes linha·reduzidas à forma em 
escada e que os sistemas RX = O e R' X = O admitam as mesmas soluções. 
Demonstrar que R = R'. 
1.5 Multiplicação de Matrizes 
É evidente (ou, de qualquer modo, deveria ser) que o processo 
de formar combinações lineares das linhas de uma matriz é um 
processo fundamental. Por esta razão é vantajoso introduzir um 
esquema sistemático para indicar exatamente que operações devem 
ser efetuadas. Mais especificamente, suponhamos que B seja uma 
n x p matriz sobre um corpo F com linhas {31, . . • , {30 e que a partir 
de B construamos uma matriz C com linhas y 1, • • • , y m formando 
certas combinações lineares 
( 1-4) 
EQUAÇÔES LINEARES - 21 
As linhas de C são determinadas pelos mn escalares A;; que são 
os elementos de uma m x n matriz A. Se (1-4) é desenvolvido como 
n 
( ci1 · · · cip) = I (A;,.B,1 ... A;,B,p) 
r= 1 
vemos que os elementos de C são dados por 
li 
cij = L A;,.B,r 
r=1 
Definição. Seja A uma m x n 111a1riz sobre o corpo F e seja B 
uma n x p matriz sobre F. O produto AB é a m x p mairiz C cujo 
elemento ij e 
n 
cij == I A;,B,r 
r= 1 
Exemplo 10. Eis alguns produtos de matrizes com elementos 
racionais. 
Neste caso 
Y1 = (5 -1 2) = 1 . (5 -1 2) + o . (15 4 8) 
Yz =(O 7 2)= -3(5 -12)+1. (15 4 8) 
(b) 
Neste caso 
(c) 
[1� 6 _:] [-� �J 12 [� 6 _;J 62 -3 8 8 -2 
Y2 = ( 9 12 -8) = -2 (O 6 1) + 3 (3 8 -2) 
Y3 =(12 62 -3)= 5(0 6 1)+4(3 8 -2) 
22 - ALGEBRA LINEAR 
(d) 
Neste caso 
1'2 = (6 12) = 3 (2 4) 
(e) [2 4] [-;J = [10] 
(f ) rn 1 �] D -5 1] rn 3 �] o 3 o o -1 o 
(g) [� -5 �][g 1 g] rn 1 �] 3 o 2 -1 o 9 
É importante observar que o produto de duas matrizes pode 
não estar definido; o produto é definido se, e somente se, o 
número de colunas da primeira matriz coincide com o número 
de linhas da segunda matriz. Assim, não faz sentido trocar a ordem 
dos fatores em (a), (b) e (c) acima. Freqüentemente escreveremos 
produtos como AB sem mencionar explicitamente as dimensões 
dos fatores e, em tais casos, estará subentendido que o produto 
está definido. De (d), (e), (f), (g) vemos que mesmo quando ambos 
os produtos AB e BA estão definidos não é necessariamente ver­
dade que AB = BA; em outras palavras a multiplicação de ma­
trizes não é comutativa. 
Exemplo 11. 
(a) Se 1 é a m X m matriz unidade e A é uma m X n matriz, 
IA=A. 
(b) Se I é a n x n matriz unidade e A é uma m x n matriz, 
AI= A. 
( c) Se <f·m é a k x m matriz nula, 01'·11 = <f·m A. Analogamente, 
AO"·P = om·P. 
Exemplo 12. Seja A uma m X n matriz sobre F. Nossa notação 
taquigráfica anterior, AX = Y, para sistemas de equações lineares, 
é coerente com nossa definição de produtos de matrizes. De fato, se 
EQUAÇÔES LINEARES - 23 
X= 
com xi em F, então AX é a m x 1 matriz 
Y= 
Y,,. 
tal que yi = Ai1x1 + Ai2x2 + ... + Ainxn. 
O uso de matrizes-coluna sugere uma notação que freqüen­
temente é útil. Se B for uma n x p matriz, as colunas de B são 
as l . . x n matrizes B�, ... , BP definidas por 11;•.;:L. 
A matriz B é a sucessão destas colunas: 
B 
= [Bl' ... ,B
P]. 
O elemento i, j da matriz produto AB é formado a partir da 
i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B. O leitor deve verificar 
que a j-ésima coluna de AB é ABJ: 
AB = [ABl' ... , ABP]. 
A despeito do fato de que um produto de matrizes depende da 
ordem em que os fatores são escritos, ele é independente da maneira 
pela qual elas são associadas, como o próximo teorema mostra. 
24 - ÁLGEBRA LINEAR 
Teorema 8. Se A, B, C são matrizes sobre o corpo F tais que 
os produtos BC e A(BC) são definidos, então estão definidos os pro­
dutos AB, (AB)C e 
A(BC) = (AB)C. 
Demonstração. Suponhamos que B seja uma n x p matriz. 
Como BC está definida, C é uma matriz com p linhas e BC tem 
n linhas. Como A(BC) está definido podemos supor que A é uma 
m x n matriz. Assim, o produto AB existe e é uma m x p matriz, 
do que segue que o produto (AB)C existe. Mostrar que A(BC) = 
= (AB) C significa mostrar que 
para cada i, j. Por definição, 
[A (BC)];j = L A;.(BC),., r 
r S 
= L L Ai,BrsC.rj 
s r 
= 
� ( � 
Ai,Brs) Csi 
= L (AB)isCsj 
s 
= [(AB) C];r 
Quando A é uma n x m matriz (quadrada), o produto AA 
está definido. Indicaremos esta matriz por A 2• Pelo Teorema 8, 
(AA) A 
= 
A(AA) ou A2A = AA2, de modo que o produto AAA está 
definido sem ambigüidade. Indicaremos este produto por A 3. Em 
geral, o produto AA ... A (k vezes) está definido sem ambigüidade 
e indicaremos este produto por Ak. 
Notemos que a relação A(BC) = (AB)C implica, entre outras 
coisas, que combinações lineares de combinações lineares das linhas 
de C são novamente combinações 'lineares das linhas de C. 
EQUAÇÔES LINEARES - 25 
Se B é uma dada matriz e C é obtida de B por. meio de uma 
operação elementar sobre linhas, então cada linha de C é uma 
combinação linear das linhas de B, logo existe uma matriz A tal 
que AB = C. Em geral, existem muitas dessas matrizes A e, dentre 
elas todas, é conveniente e possível escolher uma que tenha um 
número de propriedades especiais. Antes de passar a isto preci­
samos introduzir urna classe de matrizes. 
Definição. Uma rn x rn matriz é dita uma matriz elementar se 
ela pode ser obtida da rn x m matriz unidade por meio de uma única 
operação elementar sobre linhas. 
Exemplo 13. Uma 2 x 2 matriz elementar é necessariamente 
uma das seguintes: 
[1 
e
] [1 º] O 1 ' e 1 
[� �l e # O, [� �l e # O. 
Teorema 9. Seja e uma operação elementar sobre linhas e 
seja E a m x m matriz elementar E= e(I). Então, para toda m x n 
matriz A, 
e(A) = EA. 
Demonstração. O ponto-chave da demonstração é que o 
elemento da í-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto EA 
é obtido da i-ésirna linha de E e da j-ésirna coluna de A . . Os três 
tipos de operações elementares sobre linhas devem ser tratados 
separadamente. Daremos uma demonstração detalhada para uma 
operação do tipo (2). Os outros dois casos são de tratamento 
ainda mais simples que este, e serão deixados como exercícios. 
Suponhamos r # s e seja e a operação "substituição da linha r 
pela linha r mais e vezes a linha s". Então, 
Portanto, 
E - {ôik• i # r ik - ô,k + cô,.k• i = r. 
26 - ALGEBRA LINEAR 
(EA) . = f E A . = {A'k' i =1=· r 
'1 ik kJ A . + cA . i = r. 
· k=l TJ SJ' 
Em outras palavras, EA = e(A). 
Corolário. Sejam A e B m x n matrizes sobre o corpo F. Então 
B é linha-equivale111e a A se,
e somente se, B = PA, onde Pé um pro­
duto de m x m matrizes elementares. 
Demonstração. Suponhamos que B = P A, onde P = E • ... E2E 1 
e as E; são m x m matrizes elementares. Então E 1 A é linha­
equivalente a A e E2(E1A) é linha-equivalente a E1A. Assim E2E1A 
é linha-equivalente a A; continuando desta maneira, vemos que 
(E • . . . E1) A é linha-equivalente a A. 
Suponhamos agora que B seja linha-equivalente a A. Sejam 
El' E2' ... , E. as matrizes elementares correspondentes a alguma 
seqüência de operações elementares sobre linhas que levam A em 
B. Então B =(E • . . . E1) A. 
Exerci cios 
1. Sejam 
e= [1 -1]. 
Calcular ABC e CAB. 
2. Sejam 
Verificar diretamente que A(AB) = A2B. 
3. Determinar duas 2 x 2 matrizes A distintas tais que A2 =O mas A #O. 
4. Para a matriz A do Exercício 2, determinar matrizes elementares EI' Ev ... , 
E1 tais que 
5. Sejam 
-1] 
2 , 
o 
B = [ 3 1]. -4 4 
EQUAÇÔES LINEARES - 27 
Existe alguma matriz C tal que CA = lf? 
6. Seja A uma m x n matriz e B uma n x k matriz. Mostrar que as colunas 
de C = AB são combinações lineares das colunas de A. Se °'" .. ., °'• são 
as colunas de A e y1, ··:· yk são as colunas de C, então 
n 
Y; = I B,,.11.,. 
r=l 
7. Sejam A e B duas 2 x 2 matrizes tais que AB = 1. Demonstrar que BA = 1. 
8. Seja 
uma 2 x 2 matriz. Perguntamos quando é possível encontrar 2 x 2 matrizes 
A e B tais que C = AB - BA. Demonstrar que tais matrizes podem ser 
encontradas se, e somente se, C 11 + C 22 = O. 
/,\?' . 
il.6 Matrizes Inversíveis 
Suponhamos que P seja uma m x m matriz que seja um pro­
duto de matrizes _elementares. Para cada m x n matriz A, a matriz 
B = P A é linha-equivalente a A; logo A é linha-equivalente a B e 
existe um produto Q de matrizes elementares tal que A = QB. Em 
particular, isto é válido quando A é a m x m matriz unidade. Em 
outras palavras, existe uma m x m matriz Q, que é um produto de 
matrizes elementares, tal que QP = I. Como logo veremos, a exis­
tência de uma Q tal que QP = I é equivalente ao fato de P ser um 
produto de matrizes elementares. 
Definição. Seja A uma n x n matriz (quadrada) sobre o corpo F. 
Uma n x n matriz B tal que BA = I é dita uma inversa à esquerda 
de A; uma n x n matriz B tal que AB = I é dita uma inversa à di­
reita de A. Se AB = BA = I, então A é dita inversível. 
Lema. Se A possui uma inversa à esquerda B e uma inversa à 
direita C, então B = C. 
Demonstração. Suponhamos que BA = I e AC= I. Então 
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 
Assim, se A possui uma inversa à esquerda e uma à direita, 
A é inversível e possui uma única inversa bilateral, que indica­
remos por A - i e denominaremos simplesmente a inversa de A. 
28 - ALGEBRA LINEAR 
Teorema 10. Sejam A e B n x n matrizes sobre F. 
( i ) Se A é inversível, A-1 também o é e (A-1)-1 =A. 
(ii) Se A e B são inversíveis, AB também o é e (AB)-1 = B -1 A -1 . 
Demonstração. A primeira afirmação é evidente pela simetria 
da definição. A segunda decorre da verificação das relações 
Corolário. Um produto ·de matrizes inversíveis é inversível. 
Teorema 11. Uma matriz elementar é inversível. 
Demonstração. Seja E uma matriz elementar correspondente 
à operação elementar sobre linhas e. Se e1 é a operação inversa 
de e (Teorema 2) e E 1 = e 1 (J), então 
EE1 = e(E1) = e(e1(1)) = 1 
E1 E = e1(E) = e1(e(I)) = 1 
de modo que E é inversível e E1=E -
1
• 
Exemplo 14. 
(a) 
(b) 
(c) 
[� �rl [� �J 
[� �rl [� -�J 
[1 º
]
-l 
[ 
1 º
] e 1 -e 1 
(d) Quando e"# O, 
[
e º
]
-1 = [
c-1 º
] e [
1 o]-1 [1 O_ J. 01 O 1 Oc Oc1 
Teorema 12. Se A é uma n x n matriz, as seguintes afirmações 
são equivalentes: 
(i) A é inversível. 
EQUAÇÔES LINEARES - 29 
(ii) A é linha-equivalente a n x n matriz unidade. 
(iii) A é um produto de matrizes elementares. 
Demonstração. Seja R uma matriz linha-reduzida à forma em 
escada que seja linha· equivalente a A. Pelo Teorema 9 (ou seu 
corolário), 
R = Ek ... E2E1A 
onde El' ... , Ek são matrizes elementares. Cada Ei é inversível e, 
portanto, 
Como produtos de matrizes inversíveis são imcr-;Í\'eis. vemos que 
A é inversível se, e somente se, R é invers1vel. Como R é uma 
matriz (quadrada) linha-reduzida à forma em escada, R será inver­
sível se, e somente se, cada linha de R contiver um elemento não 
nulo, isto é. se, e somente se, R = I. Mostramos assim que A é 
inversível se, e somente se, R = I, e, se R = I então A= E;: 1 ... E� 1. 
Deve ser evidente agora que \i), (ii) e (iii) são afirmações equiva­
lentes sobre A. 
·Corolário. Se A é uma n x n matriz inversível e se uma se­
qüência de operações elementares sobre linhas reduz A a unidade, 
então aquela mesma seqüência de operações sobre linhas quando apli­
cada a 1 produz A-1. 
Corolário. Sejam A e B m x n m atrizes. Então B é linha­
equivalente a A se, e somente se, B = PA onde Pé uma m X m matriz 
inversível. 
Teorema 13. Para uma n x n matriz A, as seguintes afirmações 
são equivalentes: 
(i) A é inversível. 
(ii) O sistema homogêneo AX = O possui somente a solução 
trivial X = O. 
(iii) O sistema de equações AX = Y possui uma solução X para 
toda n x 1 matriz Y. 
Demonstração. De acordo com o Teorema 7, a condição (ii) 
é equivalente ao fato de que A é linha-equivalente a matriz unidade. 
Pelo Teorema 12, (i) e (ii) são, portanto, equivalentes. Se A for 
30 - ALGEBRA LINEAR 
inversível, a solução de AX = Y é X = A - 1 Y. Reciprocamente, 
suponhamos que AX = Y possua uma solução para cada Y. Seja 
R uma matriz linha-reduzida à forma em escada que seja linha­
equivalente a A. Queremos mostrar que R = 1. É suficiente mostrar 
que a última linha de R não é (identicamente) nula. Seja 
E= 
r 
o 
o 
o 
1 
Se o sistema RX = E puder ser resolvido em X, a última linha de 
R não pode ser nula. Sabemos que R = P A, onde P é inversível. 
Assim RX =E se, e somente se, AX = p-1 E. De acordo com (iii) 
este último sistema tem uma solução. 
Corolário. Uma matriz quadrada com inversa à esquerda ou à 
direita é inversível. 
Demonstração. Seja A uma n x n matriz. Suponhamos que A 
possua uma inversa à esquerda, isto é, uma matriz B tal que 
BA = 1. Então AX = O possui somente a solução trivial porque 
X= IX= B(AX). Portanto, A é inversível. Por outro lado, supo­
nhamos que A tenha uma inversa à direita, isto é, uma matriz C 
tal que AC= 1. Então C possui uma inversa à esquerda e é, por­
tanto, inversível. Segue daí que A= C 1 e portanto A é inversível 
com inversa C. 
Corolário. Seja A = A1 A2, • . • , Ak, onde AI' . . . , Ak são n x n 
matrizes (quadradas). Então A é inversível se, e somente se, cada 
Aj é inversível. 
Demonstração. Já demonstramos que o produto de duas ma­
trizes inversíveis é inversível. A partir disto vê-se facilmente que se 
cada A. é inversível então A é inversível. 
Suponhamos agora que A seja inversível. Demonstremos pri­
meiro que Ak é inversível. Suponhamos que X seja uma n x 1 ma­
triz e AkX = O. Então AX = (A1 ·'· Ak_1)AkX =O. Como A é inver­
sível temos X = O. Desta maneira, o sistema de equações AkX = O 
EOUAÇÔES LINEARES - 31 
não possui soluções não-triviais, portanto, Ak é inversível. Mas 
então A 1 • • • Ak _ 1 = AAk 1 é inversível. Pela razão anterior Ak- 1 é 
inversível. Prosseguindo desta forma, concluímos que cada Ai é 
inversível. 
Gostaríamos de fazer um comentário final sobre a resolução 
de equações lineares. Suponhamos que A seja uma m x n matriz e 
que desejamos resolver o sistema de equações AX = Y. Se R é uma 
matriz linha-reduzida à forma em escada que é equivalente a A, 
então R = P A, onde P é uma m x n matriz inversível. As soluções 
do sistema AX = Y são exatamente as soluções do sistema RX = 
= PY( = Z). Na prática, não é muito mais difícil determinar a ma­
triz P do que linha-reduzir A
a R. De fato, suponhamos que for­
memos a matriz completa A' do sistema AX = Y, com escalares 
arbitrários y1, • • • , Ym na última coluna. Se agora efetuarmos sobre 
A' uma seqüência de operações elementares sobre linhas que re­
duza A a R, tornar-se-á evidente o que é a matriz P. (O leitor deve 
consultar o Exemplo 9 onde, em essência, aplicamos este processo.) 
Em particular, se A é uma matriz quadrada, este processo mostrará 
claramente se A é inversível ou não e, se A for inversível, qual é a 
inversa P. Como já apresentamos o núcleo de um exemplo deste 
tipo de cálculo, contentar-nos-emos com um exemplo 2 x 2. 
Exemplo 15. Suponhamos que F seja o corpo dos números 
racionais e 
Então 
A- [2 - 1 - �l 
3 
-1 
Y2] (2l [1 Y1 ___, O 3 Y2 J (ll -7 y1-2y2 
onde se vê claramente que A é inversível e que 
32 _;__ ALGEBR.4 LINEAR 
Pode parecer muito trabalhoso continuar escrevendo os esca­
lares arbitrários y1, y2, • • • , no cálculo da inversa. Algumas pessoas 
acham mais simples trabalhar com duas seqüências de matrizes, 
uma descrevendo a redução de A à matriz unidade e a outra, 
registrando o efeito da mesma seqüência de operações, começando 
com a matriz unidade. O leitor deverá julgar por si mesmo qual 
é o melhor processo. 
Exemplo 16. Vamos determinar a inversa de 
A �[i !_ !] 2 1 3 1 4 
[i !_ '] [1 o �] 2 � ' � 1 1 3 1 o 4 
[� "] 2 3 1 _L. ii 12. ' 1 1 ii ' 45 [ 1 o º] -t 1 o -1 o 1 
[� 
[� 
[� 1 2 1 o 
[� o 1 o 
!_ q H o 2 ..L 1 12 o 180 -1 
!_ 2 1 
o 
i] [ 1 1 ' -6 1 30 
gl [- 9 -36 1 30 
gl [-3: 1 30 
o 12 -180 60 192 -180 - 36 192 -180 
�] 
º] o 180 - 60] -180 180 30] ·-180 . 180 
Deve ter ocorrido ao leitor que fizemos uma longa discussão 
sobre linhas de matrizes e pouco dissemos sobre colunas. Concen-
EQUAÇÔES LINEARES - 33 
tramas nossa atenção sobre as linhas porque isto pareceu mais na­
tural do ponto de vista de equações lineares. Como não existe evi­
dentemente nada sagrado sobre linhas, a discussão das últimas 
seções poderia muito bem ter sido feita usando-se colunas em vez de 
linhas. Se se define· uma operação elementar sobre colunas e uma 
coluna equivalência de maneira análoga à operação elementar 
sobre linhas e à linha-equivalência é evidente que cada m x n matriz 
será coluna equivalente a uma matriz "coluna-reduzida à forma 
em escada". Além disso, cada operação elementar sobre colunas 
será da forma A � AE, onde E é uma n x n matriz elementar e 
assim por diante. 
Exercícios 
1. Seja 
2. 
3. 
A = [-1
1
1 
� ! �]. 
-2 1 1 
Determinar uma matriz R linha-reduzida à forma em escada que seja linha­
equivalente a A e uma 3 x 3 matriz inversível P tal que R = PA. 
Fazer o Exercício 1, com 
A= [! 
o -�l -3 1 
Para cada uma das matrizes 
[2 5 4 -1 
6 4 -�] [� - � ;] 1 o 1 -2 
usar operações elementares sobre linhas para descobrir se é inversível e, em 
caso afirmativo, determinar a inversa. 
4. Seja 
l5 o ºJ A= 1 5 O · 
o 1 5 
Para que X existe um escalar e tal que AX = cX? 
34 - ALGEBRA LINEAR 
5. Descobrir se 
[1 2 3 4] A= O 2 3 4 o o 3 4 
o o o 4 
é inversível e determinar A - 1 caso exista. 
6. Suponhamos que A seja uma 2 x 1 matriz e que B seja uma 1 x 2 matriz. 
Demonstrar que C = AB não é inversível. 
7. Seja A uma n x n matriz (quadrada). Demonstrar as duas afirmações se­
guintes: 
(a) Se A é inversível e AB = O para alguma n x n matriz B, então B = O. 
(b) Se A não é inversível, então existe uma n x n matriz B tal que AB = O 
mas B "#O. 
8. Seja 
A= [� �l 
Demonstrar, usando operações elementares sobre linhas, que A é inversível 
se, e somente se, (ad - bc) "# O. 
9. Urna n x n matriz A se diz triangular-superior se A;; = O para i > j, isto é, 
se cada elemento abaixo da diagonal principal for O. Demonstrar que uma 
matriz (quadrada) triangular superior é inversível se, e somente se, cada 
elemento da sua diagonal principal for diferente de O. 
10. Demonstrar a seguinte generalização do Exercício 6. Se A é uma m x n 
matriz, B é uma n x m matriz e n < m, então AB não é inversível. 
11. Seja A uma m x n matriz. Mostrar que, por meio de um número finito de 
operações elementares sobre linhas e/ou colunas, pode-se passar de A a uma 
matriz R, "linha-reduzida à forma em escada" e "coluna-reduzida à forma 
em escada", isto é, Ri; = O se i "# j, R;; = 1, 1 ::;; i ::;; r, Ru = O Se i > r. 
Mostrar que R = P AQ, onde P é uma m x m matriz inversível e Q é uma 
n x n matriz inversível. 
12. O resultado do Exemplo 16 sugere que a matriz 
.l. 2 
A= 
.l. 
n 
.! 2 
1 3 
1 
n+l 
.l. 
1 ;;+1 
1 
rn=-r 
é inversível e que A - 1 possui elementos inteiros. Você saberia demonstrar 
este fato? 
2.1 Espaços Vetoriais 
Capítulo 2 
ESPAÇOS VETORIAIS 
Em várias partes da matemática, defrontamo-nos com um con­
junto, tal que é, ao mesmo tempo; significativo e interessante lidar 
com "combinações lineares" dos objetos daquele conjunto. Por 
exemplo, em nosso estudo de equações lineares, foi bastante na­
tural considerar combinações lineares das linhas de uma matriz. 
É provável que o leitor tenha estudado cálculo e tenha já lidado 
com combinações lineares de funções; isto certamente ocorreu se 
ele estudou equações diferenciais. Talvez o leitor tenha tido alguma 
experiência com vetores no espaço euclidiano tridimensional e, em 
particular, com combinações lineares de tais vetores. 
A grosso modo, a álgebra linear é o ramo da matemática que 
trata das propriedades comuns a sistemas algébricos constituídos 
por um conjunto mais uma noção razoável de uma "combinação 
linear" de elementos do conjunto. Nesta seção definiremos o objeto 
matemático que, como a experiência mostrou, é a abstração mais 
útil deste tipo de sistema algébrico. 
Definição. Um espaço vetorial (ou espaço linear) consiste do 
seguinte: 
(1) um corpo F de escalares; 
(2) um corpo V de objetos, denominados vetores; 
(3) uma regra (ou operação), dita adição de vetores, que associa 
a cada par de vetores a, f3 em V um vetor a + f3 em V, denominado 
a soma de a e {3, de maneira tal que: 
(a) a adição é comunicativa, a+ f3 = p +a; 
(b) a adição é associativa, a+ (/3 + y) =(a+ p) + y; 
(c) existe um único vetor O em V, denominado o vetor nulo, 
tal que a + O = a para todo a em V; 
36 - ALGEBRA LINEAR 
(d) para cada vetor <X em V existe um único vetor -a em V 
tal que a + ( - oc) =O; 
(4) uma regra (ou operação), dita multiplicação escalar, que 
associa a cada escalar· c em F e cada vetor IX em V um vetor CIX 
em V, denominado o produto de c por IX de maneira tal que: 
(a) 1 IX =IX para todo <X em V; 
(b) (c1c2)1X = c1(C21X); 
(c) c(IX + p) = CIX + cp; 
(d) (c1 + c2)1X = C1<X + C21X. 
É importante observar, como afirma a definição, que um es­
paço vetorial é um objeto composto de um corpo, um conjunto de 
"vetores" e duas operações com certas propriedades especiais. O 
mesmo conjunto de vetores pode ser parte de diversos espaços 
vetoriais (ver Exemplo 5 abaixo). Quando não há possibilidade 
de confusão, podemos simplesmente nos referir ao espaço vetorial 
por V ou, quando for desejável especificar o corpo, dizer que V é 
·um espaço vetorial sobre o corpo F. O noma, vetor" é aplicado 
aos elementos do conjunto V mais por conveniência. A origem do 
nome é encontrada no Exemplo 1 abaixo, mas não se deve em­
prestar muita importância ao nome ·uma vez que a variedade de 
objetos que aparecem como sendo os vetores em V podem não 
apre.sentar muita semelhança com qualquer conceito de vetor adqui­
rido a priori pelo leitor. Tentaremos indicar esta variedade através 
de uma lista de exemplos; nossa lista será consideravelmente am­
pliada assim que iniciarmos o estudo de espaços vetoriais. 
Exemplo 1. O espaço das n-upl_as, F. Seja F um corpo arbi­
trário e seja V o conjunto de todas as n-uplas IX= (xl' x2, • •
• , xn) 
de escalares xi em F. Se f3 = (y 1' Yi, . . . , y n) com · yi em F, a soma 
de a e f3 é definida por 
O produto de um escalar c por um vetor IX é definido por 
(2-2) 
O fato de. que esta adição de vetores e multiplicação escalar satis­
fazem as condições (3) e (4) é fácil de verificar, usando as proprie­
dades semelhantes da adição e multiplicação de elementos de F. 
ESPAÇOS VETORIAIS - 37 
Exemplo 2. O espaço das m x n matrizes, pm x ". Seja F um 
corpo arbitrário e sejam m e n inteiros positivos. Seja pm x" o 
conjunto de todas as m x n matrizes sobre o corpo F. A soma de 
dois vetores A e B em pm x • é definida por 
(2-3) 
O produto de um escalar e pela matriz A é definido por 
(2-4) 
Observar que F1 X n = F". 
Exemplo 3. O e�paço das funções de um conjunto· em· um 
corpo. Seja F um corpo arbitrário e seja S um conjunto não-vazio 
arbitrário. Seja V o conjunto das funções do conjunto S em F. 
A soma de dois vetores f e g em V é o wtor f + q. isto é, a função 
de S em F, definida por 
(2-5) ( f + g) (s) = f (s) + g(s). 
O produto do escalar e pela função f é a função cf definida por 
(2-6) (cf) (s) = cf (s). 
Os exemplos anteriores são os casos particulares deste. De fato, 
uma n-upla de elementos de F pode ser considerada como uma 
função do conjunto S dos inteiros 1, . . .. , n em F. Analogamente, 
uma m x n matriz sobre o corpo F é uma função do conjunto S de 
pares de inteiros (i, j), 1 ::;; i ::;; 111, 1 �j::;; n, no corpo F. Para este 
terceiro exemplo indicaremos como se faz para verificar que as 
operações por nós definidas satisfazem as condições (3) e (4). Para 
a adição de vetores: 
(a) Como a adição em F é comutativa, 
f(s) + g(s) = g(s) + f (s) 
para cada s em S, portanto as funções f + g e g + f são idênticas. 
(b) Como a adição em F é associativa, 
f (s) + [g(s) + h(s)] = [! (s) + g(s)] + h(s) 
38 - ALGEBRA LINEAR 
para cada s, portanto f + (g + h) e (f + g) + h são a mesma função. 
( c) O único vetor nulo é a função nula que associa a cada 
elemento de S o escalar O em F. 
(d) Para cada f em V, (-f) é a função dada por 
( -/) (s) = -f (s) . 
O leitor deverá achar fácil verificar que a multiplicação escalar 
satisfaz as condições de (4), fazendo como fizemos para a adição de 
vetores. 
Exemplo 4. O espaço das funções polinomiais sobre um corpo F. 
Seja F um corpo e seja V o conjunto das funções f de F em F que 
são da forma 
(2-7) f (x) = �o + c1x + . . . + cnx" 
onde cw .... e,, são escalares fixos em F (independentes de x). 
Uma função deste tipo é denominada uma função polinomial sobre 
F. Sejam a adição e multiplicação escalar definidas como no Exem­
plo 3. Deve-se observar aqui que se f e g são funções polinomiais 
e e está em F, então f + g e cf são também funções polinomiais. 
Exemplo 5. O corpo C dos números complexos pode ser con­
siderado como um espaço vetorial sobre o corpo R dos números 
reais. De maneira mais geral, seja F o corpo dos números reais, e 
seja V o conjunto das n-uplas ex = (x1, ... , x11) onde x1, ... , x11 são 
números complexos. Definamos a adição de vetores e a multipli­
cação escalar por (2-1) e (2-2), como no Exemplo i.' Desta forma 
obtemos um espaço vetorial sobre o corpo R que é bem diferente 
do espaço C" e do espaço R". , 
Há alguns fatos simples que decorrem quase imediatamente da 
definição de um espaço vetorial e que passamos a deduzir. Se e é 
um escalar e O é o vetor nulo, então, por 3 (e) e 4 (e), 
cO = c(O +O) = cO + cO. 
Somando -(cO) e usando 3(d) obtemos 
(2-8) cO =O. 
ESPAÇOS VETORIAIS' - 39 
Analogamente, para o escalar O e qualquer vetor oc temos que 
(2-9) Ooc =O. 
Se c é um escalar não-nulo e oc é um vetor tal que coe= O, então 
por (2-8), c-1(coc) = O. Mas 
c - 1(cex) = (c-1c)oc = lex = oc 
logo, ex = O. Assim, vemos que se c é um escalar e ex um vetor tal 
que ca. = O, então c é o escalar nulo ou oc é o vetor nulo. 
Se ex é um vetor arbitrário em V, então 
O = Oex = (1 - l)a. = la + ( - l)a. = a + ( - l)ex 
do que segue que 
(2-10) ( - l)a. = - ()(. 
Finalmente, as propriedades associativa e comutativa da adição de 
vetores implicam que uma soma envolvendo um certo número de 
vetores é independente da maneira pela qual estes vetores são com­
binados ou associados. Por exemplo, se °'1' °'2' oc3, oc4 são vetores 
em V, então 
e esta pode ser escrita sem confusão como 
Definição. Um vetor f3 em V é dito uma combinação linear 
dos vetores a.1' .. ., °'n em V se existem escalares cl' .. ., c0 em F tais 
que 
n 
= L cioci. 
i= 1 
Outras extensões da propriedade associativa da adição de ve­
tores e das propriedades distributivas 4 (e) e 4 ld) da multiplicação 
escalar aplicam-se a combinações lineares: 
40 - ALGEBRA LINEAR 
n n n 
L C/L; + L d;rx; = L (e;+ d;)ct; 
i=l i=l i=l 
n n 
e L C;ct; = L (cc)ct;. 
i= 1 i= 1 
Certas partes da álgebra linear são intimamente relacionadas 
com a geometria. A própria palavra "espaço" sugere algo geomé­
trico, como o faz a palavra "vetor" à maioria das pessoas. À me­
dida que prossigamos nosso estudo de espaços vetoriais, o leitor 
observará que grande parte da terminologia possui uma conotação 
geométrica. Antes de concluirmos esta seção introdutória sobre 
espaços vetoriais, vamos considerar a relação dos espaços veto­
riais com a geometria até um ponto que indique pelo menos a 
origem do nome "espaço vetorial". Esta será uma discussão breve 
e intuitiva. 
Consideremos o espaço vetorial R3. Na geometria analítica, 
identificamos as ternas (x1, x2' x3) de números reais com os pontos 
do espaço euclidiano tridimensional. Naquele contexto, um vetor 
é usualmente definido como sendo um segmento de reta orientado 
PQ, que vai de um ponto P do espaço a outro ponto Q. Jsto signi� 
fica uma formulação cuidadosa da idéia da "flecha" de P a Q. Da 
forma como os vetores são usados, pretende-se que eles sejam 
determinados por seu comprimento, direção e sentido. Assim, é 
necessário identificar dois segmentos de reta orientados se eles têm 
o mesmo comprimento, direção e sentido. 
O segrnento de reta orientado PQ, que vai do ponto P = (xl' 
x2' x3) ao ponto Q = (yl' y2' y3), tem o mesmo comprimento, di­
reção e sentido que o segmento de reta orientado que vai da ori­
gem O= (O, O, O) ao ponto (y1 - xl' y2 - x2, y3 - x3). Além disso, 
este é o único segmento que emana da origem e tem o mesmo 
comprimento, direção e sentido que PQ. Assim, se resolvermos 
estudar apenas os vetores que emanam da origem, existe exata­
mente um vetor associado a cada comprimento, direção e sen­
tido dados. 
O vetor OP, que vai da origem a P = (x1, x2, x3), é comple­
tamente determinado por P, portanto é possível identificar este 
vetor com o ponto P. Em nossa definição do espaço vetorial R3, 
os vetores são definidos como sendo simplesmente as ternas 
(xl' X2, x3). 
ESPAÇOS VETORIAIS - 41 
* Dados pontos P = (xl' x2, x3) e Q = (yl' y2, y3), a definição 
soma dos vetores OP e OQ pode ser dada geometricamente. 
os vetores não são paralelos, então os segmentos OP e OQ 
terminam. um plano e estes segmentos são dois dos lados de 
um paralelogramo naquele plano (ver Figura 1). Uma diagonal 
deste paralelogramo estende-se de O a um ponto S e a soma de 
Figura 1 
OP e OQ é definida como sendo o vetor OS. As coordenadas do 
ponto S são (x1 + y1, x2 + y2' x3 + y3), logo esta definição geomé­
trica da adição de vetores é equivalente à definição algébrica do 
Exemplo 1. 
A multiplicação escalar tem uma interpretação geométrica mais 
simples. Se e é um número real, então, o produto de e pelo vetor 
OP é o vetor que parte da origem, tem comprimento lei vezes o 
comprimento de OP, mesma direção que OP e um sêntido que 
concorda com o de OP se e>- O e é oposto ao de OP se e< O. 
Esta multiplicação escalar produz exatamente o vetor OT onde