livro compressão matemática 6ano

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Gapítulo 3
União e intersecção de conjuntos
Exemplos
à) Sendo À : 1 1 , 2, 3 ì e
b) Sendo C: {1,2.3.4}
c) sendo t = {1,2.3} e
B = {6,7Ì , temosqxe: AU B:11.2,3,6,1).
e D : {3, 4. 5, 6, 7}, temos que: C U, = { l , 2, 3. 4, 5, 6, 7ì .
F: {0. 1.2.3,41, ternos q! ìe: t U F = 10. 1,2,3,4ì .
2,1. Representaçáo ern diagrarnas de Venn
@@
Toda â .egino tachuradeToda â .egiáo hachüÌadr lbdâ a região hachuráda
1. Introduçâo
ConsideÌe os seguintes conjxmos: Á é o conjunÌo dâs àlunas do coÌégio queÍ,garn voÌeibot e a é o
conjunto das êlunas do colégio qìejogâm bdsqueteboÌ.
O professor de edücação físicâ mârcoü dois treinos: pârâ o primeiro, Íoram convocadas as âlunas quc
jogâm voÌeiboÌ oü br,squereboÌ e, pâÌà o segundo. 1bÌâÍn convocadas âs alunas que jogam voteibol €
TÉs amìsas, Regina, Crisúna e Rita. são josadorâs. Resina josâ só voÌeibot. Crisrina josa só
bâsqüetebol e Ri1âjoea voleiboÌ € bâsquetebol. Quem, dennc etas, deve comparecer ao DrimeiÌo lreuror
fqucm de\ecor rpareceÍ Jo segundol
CÌaro que âs lÌês devem comprìrecer Ào primeiro reino e âpenas RiÌa, dentre âs tìês. deve pâÌÌrcìpal
Esse exempÌo nos âjudalá a entender âs defiúções seguintes.
z. unrâo tou reuntao) de con. luntos
A união (ou reunião) de dois conìunlos Á e B, que indicâremos porA U A (Ìê-sc..Á união B"). é o
conjunto cuJos eÌementos !ão rodos aqueÌes que perÌencem â,,{ ou a B. Em símboÌos, temos:
ì
f ," -. r*-**.0".-r.*
2.2. Propriedades da uniáo de coniuntos
:] VÁ, B,
Em pâÌticuÌaÌ, temos. Z J A = At A U A = Ai Õ U Õ : ça
Conseqüentemente. lemos: Á!UÁ:UArU.. .U"1,= {-r Ì eÁi ou . r €,4 ' ou. . . l ; e Á"} .
3. Intersecçáo de conjuntos
A intenecção de dois conjuntos Á e B. que indicaremos poÌ Á n ,B (Ìè-se A inÊÌsecção B"), é o con-
jun|o cujos eÌementos são todos âqueles que pefencem a A e a B. Em símboÌos,
ExempÌos
a) SendoA : { l , 2, 3,4} e B = 13,4, 5. 6,7ì . temosA n B = {3.4J
b)SendoC= l i1,2,3| e D = 17,8,9,10),remosCnD =O.
Dizemos que dois conjuntos são disjuntos se, e somenÌe se, â inteÌsecção entre eìes foÌ o conjunto
v,ìzio. NoÌe, no exempÌo (b). que C eD são disjunros.
c) Sendo t = 1a,5.6) e F:12. l ,4,s,6,7ì , temostnF:14,s,61.
Note quet n F: t. Ìlso sc dcve âo fâto de,E c F.
3.1. Representaçáo em diagrarnas de Venn
'Iodà a Ìegiáo h..iurada Todâ â Ì.eião Ìtachürada
3.2. Propriedades da intersecçáo de conjuntos
1. '1i6:,a as4 6;;; ;r Y1, s.
Em paúicular, temos: çJ À A: Õ, A ì A: A; Ò ìÕ: Õ.
IIí, YA,B,C.
CoDseqüentementc, temos: Ár nÁrnár n . . . n,4, , : { Ì - Ì€Á1 e. Ì€Á2 e - !€43 e. . . Ì€,4, ,1.
n
B-ç1,
U"lão 
" 
Ì"Ì"r"""çá" d" 
"."jr"i"\
Exercícios resolvidos
ld i ï ì i ì ì1 sa" o"a" ' o* 
"ot" . ros 
Á=tr€zl-3<r<51 eB= (a€z 2 <_r < 81.
Detemlnar, U a e Ánr.
A=l-3, 2, 1,0, 1.2.3.4Ì è B=12,3.4,5.6,71
e Al \B:12,3,11.Á U A = I 3, 2, - Ì ,0. l , 2,3, :1, 5,6,7ì
hê,iì,iì ot'"*-d" " 
ne*", lembrè-se dds convenções:
' ÀF represerta a reta que pâssâ petos pontosÁ e Br
. Àd regeserta a semi rera.le origemÁ e que pasâ por B:
.,48 Íepresenta o segmenlo de reta de exÍemosÁ e B.
A . inr ìdv oú Fím (add tm- da\, f Í rço. .
a) ABlJ BD : AD
t r44tcD=AD
,)ADÕ8D=BD
Resolnçáo
Logo,
r)AUBUCUD
d) 4D 
^DE 
= 82
e)Pì Eç:4L
r) AD acD = CD
o4[.i pÃ. = L
h)ABUBA=AB
R€soÌução
â) V, pois ,{, é o co.juntô dÒs pont$ que peÍencem a IB oü ã ÈDj
b) 4 pojs exisle ponto em,4, que não peÍence J Á3 e nio prrren.e â CD. poÍ exempto. ún ponÌo errre B
eC;
c' V po \ AD e o con unto do. poro. qu. perrencem 
",tD 
e a AD:
d' Ê poi . . , ponro l . poÍ e\emp o. pe,ren. e a 4D e a Dd. e nao p.- íerê a AD.
c) F+oisoponLÒÁ. poÌ exempÌo, perrence âÀDe não penence a BC: Ìogo.,4 njô pode lenencer a
AD ì BCI
I V pois CD c,4r, assin C, é o conjülo dos pontos que pertencem aõ e aÁD;
c) R lois o conjunlo dos pÕn1os qu€ lerrencen aE e a FÁ é o conjunto AB-ì
h) Y pois -D é o conjunto dos pontos que pertercem a Ãã ou a FÃ.
lil-ifill sa" a"a.' ". ".t,"r.',
á={1,2,3,4.5Ì i B:13,4,5,6.7ì : C:{2,3,4,5.8,9} i D={10,11}.
b)Ánrnc c)ánAnCnD d)(,4n8)u(cnD)
a)ÁUBUCUD: {r r€,4 ou a€B ou r€C ou ÌeD}.
Logo,Á UB U CU, = {1,2, 3, :1,5,6,7, 8,9. 10, 11Ì.
b)Á nBnC: { Ì l r€Á e r€B e Ì€ C}.
Logo,AnBnC=13.4,5] .
c)Á nB n CnD: ix l Ì eÁ e a€B e Ì€C e r€Dl.
LoAo,AOBaiCa\D=Õ.
d)Á na = {3, :1.5ìrCnD= { ì .
Logo, ( ,{ n B) u (C n D) = {3.4, 5Ì .
h*..1 o tinet-, 
'"p*..nra 
05 con-unb\ n. a e a
Hrchürd a regiao que represenla o conjunro
Án(auc):
F
21
r-,","" ",..".,"",,"." ".","..",
Iniciâlmente. vaìÌos hachu.ar a região que coneç Agord, vâmos hachuÌa. a lnlerseção do conjunto Á
iFirirji'ii
Temos, assim, a relresentação do conjutoÁ n (B U C).
Colsidere un co.jufio lniveno a/ com dez elenertos. Sejam Á e B dois subconjunÌos de U tâìs que:
. Á n B possni exatamente três elemenrosi
. Á possui exatamente quatro elemertosr
, A possui exatancntc oito clcmentos.
Qtrdtos elementÒs peíence,ì ã U e não peÍÌèÍcen aÁ U a?
L Á n B possui lÍês eleneÍtos. IndiqrerÌos esse
faio escrevendo ô núúèro I nâ região Á n al
Á possui qúâlro èlementos. Já indicaúôs ÌÍê\ ele-
ment(N èú At lallâj portmto, apenas urn eldenro:
I I
III. , possui oilo elementos. Como já indlcúos
tÉs elementos em B. falrãm, porÌmto. cilco
IV Cono U posui dez eleÌÌentos e já foram indicr-
dos nove elemenÌos eb Á U B, temos que existe
apeüs nm elemcnlo que pcÍcDce a aI c não
2A
Uniáô e lnÌersecçáo dê conjuôios
jâ;È:i|: Reslver. Do @njunto uivcrso U = Z. o sìstema de ineqn.ções:
f+ ' , r<2-.+r (r)
Is_Ì+]>4Ì+5. (n)
Resolução
Resoller csse sistema cm Z signinca deteni!ü o conjunto,S de númúos úleiros que satiifaçam rs ne
qDrçõe. (l) e (ll) simultdneamcrrc. IniciaÌmcnte, deremimos o conjunrÒ soÌuçãoSr dainequâção (I):
41 9s2r+3+4Ì 2Ì<3+9..2Í <12..r<6.
Logo_Jr = I . . . , 1,0, Ì .2.3,4,5.6ì .
A seguìr deteminaúos o conjDnlo sÒlÌÌção ,tr dÀ inequaçãÒ (l l) |
5Ì+3>4r+5+5Ì 4f ,>5 3. . r>2.
Loso.. t r : {3, 4. 5. 6, 7, . . .1.
O conjÌìnlo solução ,t dô sisLemd é lo@âdo peìos elemenlos que peiÍencem a ,tÌ e J:, ou sela. S = .t1 n ,t2:
J = I . . . . 1.0. 1. 2, 3, 4,5.6ì n {3,4,5, ó,7. . ì .
Logo,J = 13.4,5,61.
rÊ7r:: Resolver â equâção (ï - l)(2r2 r l) = 0 no conjunto univeNoU = Z.
Resoluçáo
Püa resolver e$a eqMção, vaúos u!âr â propriedade do produto nulo, ou seja,
" ' : : . ,. , t . :d; ; _ o, . ; . t , , l i is , . .
(3r lxzrr r 1)=0e3Ì 1=0(I) ou 2rr- , 1=00D.
Determinudo o corjunto soluçãosÌ da equação (I),leúos: 3Ì 1:0 + 3r = 1 ..Ì:
Loeo. sr : l -1.
Deteminüdo o conjuto solução S, da equação (tr). temos: 2f a I = 0.
Da lõmuÌa resolutiva da equação dô 2! gnu, aÌr + ár + . : 0. isto é,
l
a
_ ba' [
'2. '
^=( 
1): 4.2.
com A = ,'? .k., temos:
t+ l í
í l ) :9. . r : I d f= 
t
\
í 1 lLoco.r :=lr ,7Ì .
O conjunlo soÌução S da equação prolosta é fÒmadÒ pelos èlementÒs quc pertenceú a S, oü Jr, ìsto é,
J=SÌUSr:
'111,{ j l
í r ì ìLo8o.r = 1i. ', il
29
f:u"r." -,"^*0,. **"r**
Exercícios btisicos
iEi-!ti'il.ì sao dados os conjuntos:
4 - t reT 4 r ' . 2t .
B= ( ̀Nt r<3);
â)ÁUa
b)AnB
c) ,'l u D
d)Ánp
e)AUAUD
1üiF;Ì paoos os conjunrsa. r. c deiemine:
a)ÁUBr
b)Á n Ai
r)AnCi
d)anc;
e)ÁnAnci
f )AUBUC_
iËìÊ.Jlii s"a".aoq".a n a = 12. 5),s = 12. 5,eÌ e
Á U A: {2,3,5,8,91, rcpresf l te no diagrama
ao Ìado os cÕnjuÍtôsÁ e B.
ìf,lllÍ.ii!;l satnao que a = { 1, 2, 4. 5. 6, 7, 8. 10, 1l },
B = | t .2.3,6.7.81 e C = {0, 1,2.3,4,5ì .
rcprcsente os corjuntos Á, B e C no diagÍma
tFiË:ì'iì:
c= Ix eZl 2 <x <5l i
I Í€ z l3 <r< 8ì .
f )ánanc
g),4nanCnD
h)(ÁuD)n(BUc)
i) (Ánr) u(Bnc)
sabèndoq!éÁ na = 11.2.3Ì.
AnC: {1,2,4,5}. , nc= 11.2.6Ì .
B= I l ,2,3,6,8,9ì , C = 11.2. t .5. 6. 10Ì ,
AnBatC:11,21 e Á Ua U C = {1,2,3,
4, 5, 6. 8, 9, 10Ì, represnle os conjuútosÁ. a e
C no diagr:m ao lãdo.
1BÌ4i; cosidüe um coújmro universo U com doze elementos. sejâr Á e a dôjs subconjunlos de ü ràis que:
. Á n B posú tÍês elemenros. exatâúenleì
.Á losu i ciìco elemen l,o,. e\drammrê:
.I lossui sete eldentos. eurmente.
Quantos elementos p€Íencem a U e úo ?erlencem a á U B:
30União e Ìnte6ecção de oônjuntôs
iqifrlí um coíj unro U losui lrecisanente 23 elemenÌos. Dois sulconjuntos Á e È de u são újs que:
. A possui doze eÌementos. lrocismènle;
. B possui nove elomenlos, pre.isamente;
. Existem exatmente cinco elèmenlos de U que !ão perrencem aÁ U A.
Deiemile o número de elementos deá n A.
!b,üÌiiÌ tt*t'"." .., ai"g.-as a resião que cmesporde aos sesuintes conjunlos:
a)ÁUAUC e)GnOU(ÁnC)U(BnC)
b)Ananc J)Án(duc)
: i ) ( i )
F'" -=
r ) (ánc)UB
)(BUC)n(ÁuD)
+l
e)AUA
T)CìD
g)aUCUD
h)BncnD
wi
t
c)(ÁnB)UC
@@
iÊj$'ái obseNando a icua, çlâsitìque como v ou F cada üna dâs afirna!õesl
^)ACa\BD=BCb)ABUBC=AD
.)EFìAC=1Bl
ÒÃEÕcD:Ç1
.)AÉ-,eD:A
tECniE={B}
s)Eõ .t IE = a
h)D nE = {D}
\ Eõ 
^EÉ 
ìEõ = Çt
Exercícios complementares
Ë,ï,i?i sao aaaos os conluros:
A=lxeZ f>0l B: l Ì€Di l3r ó<r+2ì;C=lxez x>ol iD=
I ) B\J D
VBND
c)aUC
d)Bnc
Resoha, no conjunlo uiverso ü = Z, o sistema de inequâções:
l5a 8<Ì+16
lo"-s<tr+t .
ResoÌva, no conjunto uÍile ô U = Z. o seguinb sìs1ema de inequações:
I s '+6<2x+24
l2r l<rr+2
t ì l>2r l .
31
fl,"'.. " r,"**0," o" -"r'*
a) {9, Ì01
b) 15,6.9, r0Ì
c) 12.5.6.7, 9, l0 l
V:2:'::: (FGV Sp) A paÍehachuÍadaDo gránco
a)án(BUC)
b)énÈ)uc
c)(ÁuB)nc
d)Áu(anc)
e) ncnhuma dàs anrqiores.
:Ô:r i i ! : Ddemine ü elorcs deÌ, , € Z, de úÒdô que r 3<3ì 5<2r+4.
Sugeúâo: esâ dutìa dcsÌgüaldade é eq!ÌvaÌe.te aÌ 3<3a 5 e 3_Ì j<2t+4i logo, basra
resolvef o sisteúdi
1r 
3<3Ì-5
t3Ì 5<2Ì+4.
C.5 ( rsr Ì iqup coÍ. , V ur l - caoa ,r 'd, lú dhrm. \oe. .
a) A intersecção de duas rlas lode sd um conjunrô uniríio.
b) A intesecção de duas fetas pode $eÌ o conjunto vúnr.
c) A ìntcrsecção de duas rcÌ.s pode ser um conjurro innrito.
d) A inteÌsccção dè duas rctas pode seÍ um conjunro con €xataìnente dois poÍos distìntos.
el A nLersccção de uúà rera conÌ nrna cituuntèÌtlcia lode sèÍ uÌr conjlnro con nais de dois ponÌôs dìsiintos.
f) A inreÌsecção de unà.etacomum círcuìo pode ser utu conjunto com nais dc doisponros dislìnlos.
elo:!:rl R.solva aeqÌação (jr 9)(-r: - ('Ì + 8) = 0no conjunto umverso tr :,/i.
C:t:i Rcsolvâ â e,iuação (rr 25)(r: r 6XÌ - 4) = 0no conjÌÌnlo unjvcBo ar: [.,r.
Que stõ e s do s v e stib ulnre s
Vït l i (Mackenzie sp) sat t+c queÁ uB U c = l , € N I <, < t0Ì , A n C= 12.7),rnC:12.5,61e
n d l !ç \ l l a 8l .Ocoq.nr,r c:
d) J2.5,6,7]
Vt:,:ii (U. Uberaba-MQ) No dìagraúa, a paÍe hachunìdr represenra:
4(ãnF)nc
b)rnG
.)Gn(EUr-)
d)(Enr)u(Fnc)
V4 I (Cesgrànno) Se I e y são conjunros e X UI = I. porle-se semprc conclun que:
,32
I
r )Ycr b) r '= I c)XnY:Y d)x=Õ e)YcY