U4 GABARITO LIVRO CALCULO NUMERICO UNIDADE 4

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Cálculo Numérico
UNIDADE 1
Cálculo Numérico
UNIDADE 1
LIVRO
UNIDADE 2
LIVRO
UNIDADE 3
APÊNDICE
UNIDADE 4
Integração Numérica
U4
1
Apêndice
Gabaritos comentados com respostas-padrão
CÁLCULO NUMÉRICO: UNIDADE 4
Gabarito 1 – Faça Valer a Pena – Seção 4.1 
1. Letra d.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
h b a
n
h h= − ⇒ = − ⇒ =1 75 1
3
0 25, ,
Assim xi :
Se desejamos 
1
1 75 2
2
3
1
,
∫
+
+






x x dx
x
 então f x x x( ) = +
+
2
2
3
1x
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) em função de xi .
i xi f xi( )
0 1 2
1 1,25 2,07
2 1,5 2,08
3 1,75 2,05
Gabarito 1 – Faça você mesmo - Seção 4.1
Resposta: 
2
3 2
3
32 03∫ ( ) ≅
xe
x
dx
x
ln
,
Resposta: 
0
1 2 3
1
1 11∫
+
+





 ≅
x x dx
x
,
Integração Numérica
U4
2
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
f x L x
x x x
1 1 2 07
1 1 5 1 75
1 25 1 1 25 1 5 1 25
( ) ( ) = −( ) −( ) −( )
−( ) −( ) −
,
, ,
, , , , 11 75,( )
f x L x
x x x
2 2 2 08
1 1 25 1 75
1 5 1 1 5 1 25 1 5 1
( ) ( ) = −( ) −( ) −( )
−( ) −( ) −
,
, ,
, , , , ,,75( )
f x L x
x x x
3 3 2 05
1 1 25 1 5
1 75 1 1 75 1 25 1 75
( ) ( ) = −( ) −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , , −−( )1 5,
f x L xn n( ) ( ) x3 x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) -22,22 +99,99 -148,65 +73,10
f x L x1 1( ) ( ) +69 -293,25 +405,72 -181,47
f x L x2 2( ) ( ) -69,33 +277,32 -359,82 +151,83
f x L x3 3( ) ( ) +22,78 -85,43 +105,47 -42,83
∑ ( ) ( )f x L xn n +0,23 -1,37 +2,72 +0,63
p x x x x( ) = − + + ⇒0 23 1 37 2 72 0 633 2, , , , Polinômio Interpolador de 
Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
1
1 75 2
2
1
1 753
1
, ,
∫ ∫
+
+





 ≅ ( )
x x dx p x dx
x
1
1 75 2
2
1
1 75
3 23
1
0 23 1 37 2 72 0 63
, ,
, , , ,∫ ∫
+
+





 ≅ − + +( )x x dx x x x dxx ==
0 06 0 46 1 36 0 63 3 36 1 59 1 774 3 2
1
1 75
, , , , , , ,
,
x x x x− + +( ) = − =
Integração Numérica
U4
3
∴
+
+





 ≅∫
1
1 75 2
2
3
1
1 77
,
,x x dx
x
2. Letra b.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
h b a
n
h h= − ⇒ = − ⇒ =1 8 1 4
2
0 2, , ,
Assim xi :
Se desejamos 
1 4
1 8
2
4
,
,
∫
+





x x dx
x
 então f x x x( ) = + 42x .
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) em função de xi .
i xi f xi( )
0 1,4 3,46
1 1,6 2,99
2 1,8 2,64
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
Integração Numérica
U4
4
f x L x
x x
1 1 2 99
1 4 1 8
1 6 1 4 1 6 1 8
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
f x L x
x x
2 2 2 64
1 4 1 6
1 8 1 4 1 8 1 6
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
f x L xn n( ) ( ) x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) +43,25 -147,05 +124,56
f x L x1 1( ) ( ) -74,75 +239,2 -188,37
f x L x2 2( ) ( ) +33 -99 +73,92
∑ ( ) ( )f x L xn n +1,5 -6,85 +10,11
p x x x( ) = − + ⇒1 5 6 85 10 112, , , Polinômio Interpolador de Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
1 4
1 8
2
1 4
1 84
,
,
,
,
∫ ∫
+




 ≅ ( )
x x dx p x dx
x
1 4
1 8
2
1 4
1 8
24 1 5 6 85 10 11
,
,
,
,
, , ,∫ ∫
+




 ≅ − +( ) =
x x dx x x dx
x
0 5 3 43 10 11 1 213 2
1 4
1 8
, , , ,
,
,
x x x− +( ) =
∴
+




 ≅∫
1 4
1 8
2
4 1 21
,
,
,x x dx
x
3. Letra e.
Integração Numérica
U4
5
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
h b a
n
h h= − ⇒ = − ⇒ =2 8 2 2
2
0 3, , ,
Assim xi :
Se desejamos 
2 2
2 8 4
,
,
∫
+ ( )





x ln x
dx
x
 então f x
x ln x( ) = + ( )4
x
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) em função de xi .
i xi f xi( )
0 2,2 1,66
1 2,5 1,55
2 2,8 1,46
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
f x L x
x x
1 1 1 55
2 2 2 8
2 5 2 2 2 5 2 8
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
f x L x
x x
2 2 1 46
2 2 2 5
2 8 2 2 2 8 2 5
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
Integração Numérica
U4
6
f x L xn n( ) ( ) x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) +9,22 -48,87 +64,54
f x L x1 1( ) ( ) -17,22 +86,1 -106,08
f x L x2 2( ) ( ) +8,11 -38,12 +44,61
∑ ( ) ( )f x L xn n +0,11 -0,89 +3,07
p x x x( ) = − + ⇒0 11 0 89 3 072, , , Polinômio Interpolador de Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
2 2
2 8
2 2
2 84
,
,
,
,
∫ ∫
+ ( )




 ≅ ( )
x ln x
dx p x dx
x
2 2
2 8
2 2
2 8
24 0 11 0 89 3 07
,
,
,
,
, , ,∫ ∫
+ ( )




 ≅ − +( ) =
x ln x
dx x x dx
x
0 04 0 45 3 07 0 953 2
2 2
2 8
, , , ,
,
,
x x x− +( ) =
∴
+ ( )




 ≅∫
2 2
2 8 4
4 68
,
,
,
x ln x
dx
x
4. Letra a.
Comentário:
Veja que já foi definido h = 0 5, 
Assim xi :
Integração Numérica
U4
7
Se desejamos 
4
5 5
10
,
∫ ( )






e
x
dx
x
ln
 então f x
e
x
x
( ) = ( )ln 10
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) em função de xi .
i xi f xi( )
0 4 14,8
1 4,5 23,65
2 5 37,94
3 5,5 61,06
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
f x L x
x x x
1 1 23 65
4 5 5 5
4 5 4 4 5 5 4 5 5 5
( ) ( ) = −( ) −( ) −( )
−( ) −( ) −( )
,
,
, , , ,
f x L x
x x x
2 2 37 94
4 4 5 5 5
5 4 5 4 5 5 5 5
( ) ( ) = −( ) −( ) −( )
−( ) −( ) −( )
,
, ,
, ,
f x L x
x x x
3 3 61 06
4 4 5 5
5 5 4 5 5 4 5 5 5 5
( ) ( ) = −( ) −( ) −( )
−( ) −( ) −( )
,
,
, , , ,
f x L xn n( ) ( ) x3 x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) -19,73 +295,95 -1474,82 +2441,59
f x L x1 1( ) ( ) +94,6 -1371,7 +6574,7 -10406
f x L x2 2( ) ( ) -151,76 +2124,64 -9826,46 +15024,24
f x L x3 3( ) ( ) +81,41 -1099,04 +4925,31 -7326,9
∑ ( ) ( )f x L xn n +4,52 -50,15 +198,73 -267,07
Integração Numérica
U4
8
p x x x x( ) = − + − ⇒4 52 50 15 198 73 267 073 2, , , , Polinômio Interpolador 
de Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
4
5 5
4
5 5
10
, ,
∫ ∫( )





 ≅ ( )
e
x
dx p x dx
x
ln
4
5 5
4
5 5
3 2
10
4 52 50 15 198 73 267 0
, ,
, , , ,∫ ∫( )





 ≅ − + −
e
x
dx x x x
x
ln
77( ) =dx
1 13 16 72 99 37 267 07 210 71 259 19 484 3 2
4
5 5
, , , , , , ,
,
x x x x− + −( ) = − − −( ) = 445
∴
( )





 ≅∫
4
5 5
10
48 45
,
,e
x
dx
x
ln
5. Letra c.
Comentário:
Veja que já foi definido h = 0 5, 
Assim xi :
Se desejamos 
6
7
2
5 2∫ −


x
x dx então f x x( ) = −5 22x
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) em função de xi .
Integração Numérica
U4
9
i xi f xi( )
0 6 -11,86
1 6,5 -12,88
2 7 -13,9
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
f x L x
x x
0 0 11 86
6 5 7
6 6 5 6 7
( ) ( ) = − −( ) −( )
−( ) −( )
,
,
,
f x L x
x x
1 1 12 88
6 7
6 5 6 6 5 7
( ) ( ) = − −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
f x L x
x x
2 2 13 9
6 6 5
7 6 7 6 5
( ) ( ) = − −( ) −( )
−( ) −( )
,
,
,
f x L xn n( ) ( ) x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) -23,72 +320,22 -1079,26
f x L x1 1( ) ( ) +51,52 -669,76 +2163,84
f x L x2 2( ) ( ) -27,8 +347,5 -1084,2
∑ ( ) ( )f x L xn n 0 -2,04 +0,38
p x x( ) = − + ⇒2 04 0 38, , Polinômio Interpolador de Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
6
7
2
6
75 2∫ ∫−


 ≅ ( )x x dx p x dx
6
7
2
6
75 2 2 04 0 38∫ ∫−


 ≅ − +( ) =x x dx x dx, ,
Integração Numérica
U4
10
− +( ) = −1 02 0 38 12 882
6
7
, , ,x x
∴ −




 ≅ −∫
6
7
2
5 2 12 88
x
x dx ,
6. Resposta: �
0 5
1 3
2
10
0 5
12 18
,
,
,
,∫ −





 ≅x
x
e
dxx
Comentário:
Veja que já foi definido h = 0 4, , assim calculamos os xi :
x a0 0 5= = , ; x x1 0 0 4 0 9= + =, , e x x bn2 1 3= = = , .
Se desejamos 
0 5
1 3
2
10
0 5,
,
,∫ −





x
x
e
dxx , então f x
x
ex
( ) = −10
0 52x ,
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) :
i xi f xi( )
0 0,5 39,39
1 0,9 11,61
2 1,3 5,21
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
f x L x
x x
0 0 39 39
0 9 1 3
0 5 0 9 0 5 1 3
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
f x L x
x x
1 1 11 61
0 5 1 3
0 9 0 5 0 91 3
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
Integração Numérica
U4
11
f x L x
x x
2 2 5 21
0 5 0 9
1 3 0 5 1 3 0 9
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
, ,
, , , ,
f x L xn n( ) ( ) x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) +123,09 -270,8 +144,02
f x L x1 1( ) ( ) -72,56 +130,61 -47,16
f x L x2 2( ) ( ) +16,28 -22,79 +7,33
∑ ( ) ( )f x L xn n +66,81 -162,98 +104,19
p x x x( ) = − + ⇒66 81 162 988 104 192, , , Polinômio Interpolador de 
Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
0 5
1 3
2
0 5
1 310
0 5,
,
,
,
,∫ ∫−





 ≅ ( )x
x
e
dx p x dxx
0 5
1 3
2
0 5
1 3
210
0 5
66 81 162 98 104 19
,
,
,
,
,
, , ,∫ ∫−





 ≅ − +( )x
x
e
dx x xx ddx =
22 27 81 49 104 19 155 863 2
0 5
1 3
, , , ,
,
,
x x x− +( ) =
∴ −





 ≅∫
0 5
1 3
2
10
0 5
12 18
,
,
,
,
x
x
e
dxx
7. Resposta: �
5
7 2 13 5
4
0 48∫
+ −
+





 ≅
−
x x
x
dx ,
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
Integração Numérica
U4
12
h b a
n
h h= − ⇒ = − ⇒ =7 5
2
1
Assim xi:
Se desejamos 
5
7 2 13 5
4∫
+ −
+






−
x x
x
dx então f x x x
x
( ) = + −
+






−2 13 5
4
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) em função de xi .
i xi f xi( )
0 5 0,26
1 6 0,2
2 7 0,17
Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange, estudado na 
seção 3.2.
f x L x
x x
0 0 0 26
6 7
5 6 5 7
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
f x L x
x x
1 1 0 2
5 7
6 5 6 7
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
f x L x
x x
2 2 0 17
5 6
7 5 7 6
( ) ( ) = −( ) −( )
−( ) −( )
,
f x L xn n( ) ( ) x2 x c
f x L x0 0( ) ( ) +0,13 -1,69 +5,46
f x L x1 1( ) ( ) -0,2 +2,4 -7
f x L x2 2( ) ( ) +0,09 -0,99 +2,7
∑ ( ) ( )f x L xn n +0,02 -0,28 +1,16
Integração Numérica
U4
13
p x x x( ) = − + ⇒0 02 0 28 1 162, , , Polinômio Interpolador de Lagrange.
Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p x( ) podemos realizar a 
integração.
5
7 2 1
5
73 5
4∫ ∫
+ −
+





 ≅ ( )
−
x x
x
dx p x dx
5
7 2 1
5
7
23 5
4
0 02 0 28 1 16∫ ∫
+ −
+





 ≅ − +( ) =
−
x x
x
dx x x dx, , ,
0 007 0 14 1 16 0 483 2
5
7
, , , ,x x x− +( ) =
∴
+ −
+





 ≅∫
−
5
7 2 13 5
4
0 48x x
x
dx ,
Gabarito 2 – Faça Valer a Pena – Seção 4.2
1. Letra b.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
, temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
1 75 1
5
0 15, ,
Assim, se desejamos 
1
1 75 2
2
3
1
,
∫
+
+






x x dx
x
, então f x x x( ) = +
+
2
2
3
1x
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
Gabarito 2 – Faça você mesmo - Seção 4.2
Resposta: ∴
( )
≅∫
2
3 2
3
32 26xe
x
dx
x
ln
,
Resposta: ∴
+
+





 ≅∫
0
1 2 3
1
1 11x x dx
x
,
Integração Numérica
U4
14
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 1 2 2
Interno 1,15 2,05 2,05
Interno 1,3 2,08 2,08
Interno 1,45 2,08 2,08
Interno 1,60 2,07 2,07
Externo 1,75 2,05 2,05
∑ 4,05 8,28
∑ • Externos ∑ • Internos
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
∴
+
+





 ≅∫
1
1 75 2
2
3
1
1 55
,
,x x dx
x
2. Letra d.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
− , temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
1 8 1 4
5
0 08, , ,
Assim, se desejamos 
1 4
1 8
2
4
,
,
∫
+





x x dx
x
, então f x x x( ) = + 42x
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
Integração Numérica
U4
15
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 1,4 3,46 3,46
Interno 1,48 3,26 3,26
Interno 1,56 3,08 3,08
Interno 1,64 2,92 2,92
Interno 1,72 2,77 2,77
Externo 1,80 2,64 2,64
∑ 6,61 12,03
∑ • Externos ∑ • Internos
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
∴
+




 ≅∫
1 4
1 8
2
4 1 21
,
,
,x x dx
x
3. Letra c
Comentário:
Definindo h b a
n
=
− , temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
2 8 2 2
6
0 1, , ,
Assim, se desejamos 
2 2
2 8 4
,
,
∫
+ ( )





x ln x
dx
x
, então f x x x( ) = + 42x
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
Integração Numérica
U4
16
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 2,2 1,66 1,66
Interno 2,3 1,62 1,62
Interno 2,4 1,59 1,59
Interno 2,5 1,55 1,55
Interno 2,6 1,52 1,52
Interno 2,7 1,49 1,49
Externo 2,8 1,46 1,46
∑ 3,12 7,77
∑ • Externos ∑ • Internos
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
∴
+ ( )




 ≅∫
2 2
2 8 4
0 93
,
,
,
x ln x
dx
x
4. Letra c.
Comentário:
Com h = 0 3, definido, se desejamos 
4
5 5
10
,
∫ ( )






e
x
dx
x
ln
, então f x e
x
x
( ) = ( )ln 10
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 4 14,8 14,8
Interno 4,3 19,59 19,59
Interno 4,6 25,98 25,98
Interno 4,9 34,51 34,51
Integração Numérica
U4
17
Interno 5,2 45,88 45,88
Externo 5,5 61,06 61,06
∑ 75,86 125,96
∑ • Externos ∑ • Internos
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
4
5 5
10
0 5 75 86 125 96 0 3
,
, , , ,∫ ( )





 ≅ +( )
e
x
dx
x
ln
�
∴
( )





 ≅∫
4
5 5
10
49 17
,
,e
x
dx
x
ln
5. Letra e
Comentário:
Com h = 0 2, definido, se desejamos 
6
7
2
5 2∫ −


x
x dx , então f x x( ) = −5 22x .
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 6 -11,86 -11,86
Interno 6,2 -12,27 -12,27
Interno 6,4 -12,68 -12,68
Interno 6,6 -13,09 -13,09
Interno 6,8 -13,49 -13,49
Externo 7 -13,9 -13,9
∑ -25,76 -51,53
∑ • Externos ∑ • Internos
Integração Numérica
U4
18
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
∴ −




 ≅ −∫
6
7
2
5 2 12 88
x
x dx ,
6. Resposta: ∴ −




 ≅ −∫
6
7
2
5 2 12 88
x
x dx ,
Comentário:
Com h = 0 2, definido, se desejamos 
0 5
1 3
2
10
0 5,
,
,∫ −





x
x
e
dxx , então 
f x x
ex
( ) = −10
0 52x ,
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 0,5 39,39 39,39
Interno 0,7 19,71 19,71
Interno 0,9 11,61 11,61
Interno 1,1 7,53 7,53
Externo 1,3 5,21 5,21
∑ 44,6 38,85
∑ • Externos ∑ • Internos
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
Integração Numérica
U4
19
∴ −





 ≅∫
0 5
1 3
2
10
0 5
12 23
,
,
,
,
x
x
e
dxx
7. Resposta: 
5
7 2 13 5
4
0 41∫
+ −
+





 ≅
−
x x
x
dx ,
Comentário:
Definindo h b a
n
=
− , temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
7 5
5
0 4,
Assim, se desejamos 
5
7 2 13 5
4∫
+ −
+






−
x x
x
dx , então f x x x
x
( ) = + −
+






−2 13 5
4
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e resolvemos pela forma prática:
xi f xi( ) Externos Internos
Externo 5 0,26 0,26
Interno 5,4 0,23 0,23
Interno 5,8 0,21 0,21
Interno 6,2 0,2 0,2
Interno 6,6 0,18 0,18
Externo 7 0,17 0,17
∑ 0,43 0,82
∑ • Externos ∑ • Internos
a
b
f x dx Externos Internos h∫ ( ) ≅ ∑ +∑( )0 5,
∴
+ −
+





 ≅∫
−
5
7 2 13 5
4
0 41x x
x
dx ,
Integração Numérica
U4
20
Gabarito 3 – Faça Valer a Pena – Seção 4.3
1. Letra e.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
, temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
1 75 1
5
0 15, ,
Assim, se desejamos 
1
1 75 2
2
3
1
,
∫
+
+






x x dx
x
, então f x x x( ) = +
+
2
2
3
1x
. Conhecendo 
f x( ) , calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 1 2 2
Ímpar 1 1,15 2,05 2,05
Par 2 1,3 2,08 2,08
Ímpar 3 1,45 2,08 2,08
Par 4 1,6 2,07 2,07
Extremo 5 1,75 2,05 2,05
∑ 4,05 4,13 4,15
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
Gabarito 3 – Faça você mesmo - Seção 4.3
Resposta: 
2
3 2
3
30 76∫ ( ) ≅
xe
x
dx
x
ln
,
Resposta: 
0
1 2 3
1
1 12∫
+
+





 ≅
x x dx
x
,
Integração Numérica
U4
21
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
1
1 75 2
2
3
1
1 44
,
,∫
+
+





 ≅
x x dx
x
2. Letra a.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
, temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
1 8 1 4
5
0 08, , ,
Assim, se desejamos 
1 4
1 8
2
4
,
,
∫
+





x x dx
x, então f x x x( ) = + 42x
. Conhecendo 
f x( ) , calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 1,4 3,46 3,46
Ímpar 1 1,48 3,26 3,26
Par 2 1,56 3,08 3,08
Ímpar 3 1,64 2,92 2,92
Par 4 1,72 2,77 2,77
Extremo 5 1,8 2,64 2,64
∑ 6,1 6,18 5,85
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
Integração Numérica
U4
22
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
1 4
1 8
2
4 1 13
,
,
,∫
+




 ≅
x x dx
x
3. Letra d.
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
, temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
2 8 2 2
6
0 1, , , .
Assim, se desejamos 
2 2
2 8 4
,
,
∫
+ ( )





x ln x
dx
x
, então f x
x ln x( ) = + ( )4
x
. 
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da 
forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 2,2 1,66 1,66
Ímpar 1 2,3 1,62 1,62
Par 2 2,4 1,59 1,59
Ímpar 3 2,5 1,55 1,55
Par 4 2,6 1,52 1,52
Ímpar 5 2,7 1,49 1,49
Extremo 6 2,8 1,46 1,46
∑ 3,12 4,66 3,11
Integração Numérica
U4
23
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
2 2
2 8 4
0 84
,
,
,∫
+ ( )




 ≅
x ln x
dx
x
4. Letra e.
Comentário:
Veja que h = 0 3, (dado). Se desejamos 
4
5 5
10
,
∫ ( )






e
x
dx
x
ln
, então f x e
x
x
( ) = ( )ln 10
. 
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da 
forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 4 14,8 14,8
Ímpar 1 4,3 19,59 19,59
Par 2 4,6 25,98 25,98
Ímpar 3 4,9 34,51 34,51
Par 4 5,2 45,88 45,88
Extremo 5 5,5 61,06 61,06
∑ 75,86 54,1 71,86
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
Integração Numérica
U4
24
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
4
5 5
10
43 6
,
,∫ ( )





 ≅
e
x
dx
x
ln
5. Letra d.
Comentário:
Com h = 0 2, definido, se desejamos 
6
7
2
5 2∫ −


x
x dx , então f x x( ) = −5 22x
. 
Conhecendo f x( ) calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da 
forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 6 -11,86 -11,86
Ímpar 1 6,2 -12,27 -12,27
Par 2 6,4 -12,68 -12,68
Ímpar 3 6,6 -13,09 -13,09
Par 4 6,8 -13,49 -13,49
Extremo 5 7 -13,9 -13,9
∑ -25,76 -25,36 -26,17
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
Integração Numérica
U4
25
∴ −




 ≅ −∫
6
7
2
5 2 12 57
x
x dx ,
6. Resposta: 
0 5
1 3
2
10
0 5
12 37
,
,
,
,∫ −





 ≅x
x
e
dxx
Comentário:
Com h = 0 2, defnido, se desejamos 
0 5
1 3
2
10
0 5,
,
,∫ −





x
x
e
dxx , então 
f x x( ) = −5 22x
. 
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da 
forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 0,5 39,39 39,39
Ímpar 1 0,7 19,71 19,71
Par 2 0,9 11,61 11,61
Ímpar 3 1,1 7,53 7,53
Extremo 4 1,3 5,21 5,21
∑ 44,6 27,24 11,61
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
Integração Numérica
U4
26
∴ −





 ≅∫
0 5
1 3
2
10
0 5
12 37
,
,
,
,
x
x
e
dxx
7. Resposta: 
5
7 2 13 5
4
0 38∫
+ −
+





 ≅
−
x x
x
dx ,
Comentário:
Definindo h b a
n
=
−
, temos:
h b a
n
=
−
=
−
=
7 5
5
0 4,
Assim, se desejamos 
5
7 2 13 5
4∫
+ −
+






−
x x
x
dx , então f x x x
x
( ) = + −
+






−2 13 5
4
. 
Conhecendo f x( ) , calculamos f xi( ) e efetuamos os demais cálculos da 
forma prática:
i xi f xi( ) f xExtremos( ) f xi Ímpar=( ) f xi Par=( )
Extremo 0 5 0,26 0,26
Ímpar 1 5,4 0,23 0,23
Par 2 5,8 0,21 0,21
Ímpar 3 6,2 0,2 0,2
Par 4 6,6 0,18 0,18
Extremo 5 7 0,17 0,17
∑ 0,43 0,43 0,39
∑ ( )f xExtremos ∑ ( )=f xi Ímpar ∑ ( )=f xi Par
a
b
Extremos i Ímpar i Parf x dx
h f x f x f x∫ ( ) ≅ ∑ ( ) + ∑ ( ) + ∑ ( ) = =3 4 2
Integração Numérica
U4
27
∴
+ −
+





 ≅∫
−
5
7 2 13 5
4
0 38x x
x
dx ,
Gabarito 4 – Faça Valer a Pena – Seção 4.4
1. Letra b.
Comentário:
h b a
n
=
−
=
−
=
4 1
4
0 75,
f x e
t
t"( ) = − 12
t0 t1 t2 t3 t4
t 1 1,75 2,5 3,25 4
f t"( ) 1,72 5,43 12,02 25,7 54,54
ET ≅ ⋅ −( ) ⋅ =
0 75
12
4 1 54 54 7 67
2, , ,
Gabarito 4 – Faça você mesmo - Seção 4.4
Resposta: |E
T
| ≅ 0,0033 e |E
s
| ≅ 0,00003
Resposta: |E
T
| ≅ 0,00203 e |E
s
| ≅ 0,000005
Integração Numérica
U4
28
2. Letra a.
Comentário:
t0 t1 t2 t3 t4 t5
t 1 1,6 2,2 2,8 3,4 4
f tIV ( ) -3,28 4,04 8,77 16,35 29,92 54,57
ES ≅ ⋅ −( ) ⋅ =
0 6
180
4 1 54 57 0 12
4, , ,
3. Letra e.
Comentário:
x0 x1 x2 x3 x4 x5
x 2 2,8 3,6 4,4 5,2 6
f xIV ( ) -0,86 -0,18 -0,06 -0,02 -0,01 -0,01
ES ≅ ⋅ −( ) ⋅ =
0 8
180
6 2 0 86 0 01
4, , ,
Integração Numérica
U4
29
4. Letra d.
Comentário:
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
x 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6
f x"( ) 1,65 1,79 1,86 1,9 1,93 1,95 1,96 1,97 1,97 1,98 1,98
ET ≅ ⋅ −( ) ⋅ =
0 4
12
6 2 1 98 0 11
2, , ,
5. Letra e.
Comentário:
x0 x1 x2 x3 x4 x5
x 1
3
1 2
15
114
15
211
15
3 8
15
4 1
3
f x"( ) –1,75 –0,23 –0,09 –0,05 –0,03 –0,02
ET ≅
( )
−




 = …=
0 8
12
4 1
3
1
3
1 75 0 3733333 28
75
2,
, ,� �
Integração Numérica
U4
30
6. Resposta: ES = 0 41,
Comentário:
x0 x1 x2 x3 x4
x 1 2,25 3,5 4,75 6
f xIV ( ) -6,000 -0,234 -0,040 -0,012 -0,005
ES = ⋅ −( ) ⋅ =
1 25
180
6 1 6 0 41
4, ,
7. Resposta: ET = 0 17,
Comentário:
x0 x1 x2 x3
x 1 2,7 4,4 6,1
f x"( ) -0,14 0,04 0,08 0,03
ET = −( ) =
1 7
12
6 1 1 0 14 0 17
2, , , ,� �