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Chagas – DEE / UFCG 
1 
 
UNIDADE I 
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME SENOIDAL 
 
1. Introdução 
Este capítulo trata da análise de circuitos que operam em regime permanente sob excitação 
senoidal. São estabelecidas as definições de fasor, impedância e admitância, formulando-se as 
leis de Kirchhoff no domínio da frequência. Descreve-se o processo de construção de diagramas 
de impedâncias e de diagramas fasoriais. Também é estudado o fenômeno de ressonância. 
Em seguida, são apresentados os conceitos de potência instantânea, ativa, reativa, aparente 
e complexa, além de fator de potência. 
Finalmente, são estudados aspectos relacionados à transmissão de energia em circuitos de 
corrente alternada, demonstrando-se o teorema da máxima transferência de potência e 
estabelecendo-se considerações sobre aplicação de capacitores para correção do fator de 
potência. 
2. Resposta à Excitação Senoidal 
A Fig. 1.1 ilustra o fenômeno de curto-circuito que ocorre em uma linha de transmissão de 
energia elétrica. Os parâmetros R e L são, respectivamente, a resistência e a indutância em 
série da linha e RL é a resistência da carga. Na frequência de 60 Hz, as capacitâncias podem ser 
desprezadas. Em t = 0, o curto-circuito é estabelecido através do fechamento da chave, quando 
o valor instantâneo da corrente é i(0) = I0. 
 
Fig. 1.1. Simulação de um curto-circuito em uma linha de transmissão. 
Se v(t) = Vm sen(ω t + θ), tem-se: 
)()(
)(
θω +=+ tsenVtiR
dt
tid
L m (1.1) 
Esta equação diferencial tem a seguinte solução: 
tLRmm esen
LR
V
Itsen
LR
V
ti )/(
222
0
222
)()()( −





−
+
−+−+
+
= αθ
ω
αθω
ω 
(1.2) 
( )RLtan /1 ωα −= (1.3) 
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Vê-se que a corrente resultante apresenta duas componentes: uma componente transitória, 
com decaimento exponencial, e uma componente senoidal de estado estacionário, como é 
mostrado na Fig. 1.2. 
 
Fig. 1.2. Forma de onda típica de uma corrente de curto-circuito em uma rede elétrica. 
O método de resolução mais indicada para (1.1) consiste no emprego da transformada de 
Laplace. Neste caso, obtém-se uma equação algébrica expressa no domínio da frequência 
complexa, s = σ + jω , a qual é resolvida e a solução é transformada de volta para o domínio do 
tempo. A constante σ é a frequência neperiana, que estabelece o modo de amortecimento da 
onda de i(t), enquanto a frequência angular ω estabelece o modo de oscilação. 
O foco de interesse deste estudo é o regime permanente senoidal, onde os amortecimentos 
não são considerados (σ = 0). Neste regime é empregado um ente matemático denominado 
fasor, definido no item a seguir. A análise fasorial consiste na descrição de grandezas senoidais 
no domínio da frequência s = jω, de modo a se substituir as equações integrodiferenciais no 
domínio do tempo por equações algébricas de coeficientes e variáveis complexas. 
3. Fasores 
3.1 Definição de Fasor 
Sendo e a base neperiana, a identidade de Euler estabelece que: 
θθθ senjcose j += (1.4) 
Para um número complexo Z, tem-se: 
bjasenZjcosZeZ j +=+== θθθZ (1.5) 
A constante j é a unidade imaginária, definida como j = √-1 = 1e jπ/2. Z é o módulo do 
número complexo e θ é a fase do mesmo. A primeira forma de representação, Z = Z ejθ, 
denomina-se forma exponencial ou forma polar. A expressão Z =a + j b é chamada forma 
cartesiana. 
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A representação de Z no plano complexo (plano Argand-Gauss) é mostrada na Fig. 1.3. 
 
Fig. 1.3. Representação de um número complexo no plano Argand-Gauss. 
22 baZ += (1.6) 
( )abtan /1−=θ (1.7) 
A seguir, são definidos os operadores Re e Im, que tomam, respectivamente, as parte real e 
imaginária de Z, ou seja: 
( ) ( ) ( ) acosZsenZjcosZReeZReRe j ==+== θθθθZ (1.8) 
( ) ( ) ( ) bsenZsenZjcosZImeZImIm j ==+== θθθθZ (1.9) 
Seja uma função expressa no domínio do tempo através da seguinte expressão: 
( )φω tcosFtf m +=)( (1.10) 
A função f( t ) é identificada por: 
• Fm - Amplitude, em unidades de f( t ). 
• ω - Frequência angular, em radianos/s. 
• φ - Defasagem angular, em radianos. 
Para a frequência angular, tem-se ω = 2πf = 2π / T, onde f é a frequência em Hertz e T é o 
período em segundos. 
Pode-se ainda escrever f( t ) como: 
( ) ( ) ( ) ( ) ].[][][ tjjmtjmmm eeFeReFRetsenjFtcosFRetf ωφφωφωφω ==+++= + (1.11) 
A seguir, considera-se a seguinte grandeza complexa: 
φj
m eF=F (1.12) 
Esta grandeza é definida como o fasor de f (t). Assim, partindo-se da função cosseno, o fasor 
desta função é um número complexo cujo módulo é a amplitude Fm, e cujo ângulo de fase é a 
defasagem angular, φ. 
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Uma observação importante é que o fasor não contém a informação da frequência angular, 
ω. Isto pode ser entendido se é considerado o operador F, tal que: 
[ ])(tfeF jm F== φF (1.13) 
O operador F estabelece uma correspondência entre as representações do sinal no domínio 
do tempo e no domínio da frequência. Assim, a informação da frequência torna-se implícita. Da 
mesma forma, tem-se: 
[ ]F-1()( F=+= )tcosFtf m φω (1.14) 
A maioria dos autores define fasor a partir da função cosseno. Entretanto, esta definição 
pode ser feita a partir da função seno, desde que se faça: 
( ) ].[ tjjm eeFImtf ωφ= (1.15) 
A representação de um fasor também pode ser feita pela notação de Steinmetz, ou seja: 
φ∠= mFF (1.16) 
Outra observação é que o módulo de um fasor também pode ser tomado como sendo o 
valor eficaz da onda (fasor eficaz), ao invés da amplitude (fasor amplitude). Assim, também é 
usual assumir: 
( ) φφ ∠=∠= em FF 2/F (1.16) 
Por enquanto, será considerado o fasor amplitude. Nas aplicações relacionadas a potência 
elétrica, o fasor eficaz passará a ser utilizado. 
Exemplo 1 - Calcular o fasor de ( )360.22220)( / tcostf ππ += 
Solução - Pela definição de fasor amplitude, tem-se: 
3/22202220 3/ ππ ∠== jeF 
]2220[)( 3/ tjj e.eRetf ωπ= 
Exemplo 2 - Calcular a função no domínio do tempo cujo fasor amplitude é F = 110√2∠-π/3. 
Solução - Dos desenvolvimentos anteriores: 
( )
])3/(2110)3/(2110[
]2110[]2110[)( 3/3/
πωπω
πωωπ
−+−=
== −−
tsenjtcosRe
eRee.eRetf tjtjj
 
)3/(2110)( πω −= tcostf 
Exemplo 3 - Calcular o fasor de ( )260.22110)( / tsentf ππ −= . 
Solução - Transformando a função em cosseno, tem-se: 
( ) ( ) ( )tcos tcos// tcostf 60.2211060.221102260.22110)( ππππππ −=−=−−= 
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021102110
21102110 0
∠−=−∠=
−== −−
π
π
F
F
jj ee
 
O fasor também poderia ser determinado a partir da função seno, resultando em: 
2/21102110 2/ ππ −∠== − jeF' 
Neste caso, todos os outros fasores relacionados ao problema também deveriam ser 
determinados a partir da função seno. 
3.2 Representação Gráfica de um Fasor 
A função F ejωt é denominada fasor girante, o qual consiste no fasor F exercendo um 
movimento de rotação no plano complexo, no sentido anti-horário, com uma velocidade 
angular ω, igual à frequência angular do sinal, como é mostrado na Fig. 1.4. 
 
Fig. 1.4. Interpretação gráfica do conceito de fasor. 
Assim, pode-se definir fasor do sinal f(t) como o número complexo F que, ao girar no sentido 
anti-horário com velocidade angular ω, a projeção do mesmo no eixo horizontal (eixo real) 
descreve a variação do referido sinal em função do tempo. 
4. Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
4.1 Impedância e Admitância 
Define-se impedância de um elemento de circuito linear, passivo e bilateral como sendo a 
relação entre o fasor tensão nos seus terminais e o fasor corrente que por ele circula, ou seja: 
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I
V
Z =(1.17) 
A unidade de impedância é ohm (Ω). Apesar de ser um número complexo igual à razão entre 
dois fasores, a impedância não é um fasor, pois não representa uma grandeza que varia 
senoidalmente com o tempo. 
Considerando o mesmo elemento de circuito, define-se admitância como a relação entre o 
fasor corrente e o fasor tensão, ou seja, o inverso da impedância: 
ZV
I
Y
1
 == (1.18) 
A unidade de admitância é o Siemens ( S ). 
4.2 Impedância de um Resistor 
No domínio do tempo, tem-se para o resistor: 
)()( tiRtv = (1.19) 
][)( tjeReti ωI= (1.20) 
Como o operador Re é linear, tem-se: 
][][][.)( tjtjtj eReeR.eReReRtv ωωω VII === (1.21) 
Assim, resulta: 
I V R= (1.22) 
Considerando o ângulo de fase da corrente igual a φ, vê-se na Fig. 1.5 que, no caso do 
resistor, os fasores tensão e corrente acham-se em fase. 
 
Fig. 1.5. Fasores tensão e corrente no caso de um resistor. 
Como Z = V / I, a impedância do resistor é numericamente igual à sua resistência (número 
real), ou seja: 
RR Z = (1.23) 
A admitância do resistor é: 
G
RR
R ===
11
Z
 Y (1.24) 
A grandeza G recebe o nome de condutância, expressa em siemens (S ). 
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4.3 Impedância de um Indutor 
Para o indutor, pode-se escrever no domínio do tempo: 
[ ] [ ] [ ]tjtjtj eReeLjReeRe
dt
d
L
dt
tdi
Ltv ωωω ω ..).(
)(
)( VII ==== (1.25) 
IV Ljω= (1.26) 
LL jXLj === ω
I
V
Z (1.27) 
Vê-se que a impedância de um indutor é um número imaginária puro. A grandeza XL = ω L é 
denominada reatância indutiva, expressa em ohms (Ω). 
Fazendo o ângulo de fase de V igual a φ, tem-se V = Vm ∠φ e I = Im ∠θ. o problema consiste 
em calcular a defasagem entre a corrente e a tensão; assim: 
)2/(2/
1
πθθπθφ ωωω +=== jm
j
m
jj
m
j
m eILeILeeILjeV (1.28) 
Assim, tem-se θ + π /2 = φ ou θ = φ - π /2. É mostrado na Fig. 1.6 que, no caso do indutor, a 
corrente acha-se atrasada de 90o da tensão. 
 
Fig. 1.6. Fasores tensão e corrente no caso de um indutor. 
A admitância do indutor é: 
L
L
L jB
L
j
Lj
=−===
ωω
111
Z
Y (1.29) 
A grandeza BL = - 1/ωL é denominada susceptância indutiva, expressa em siemens (S). 
4.4 Impedância de um Capacitor 
Para o capacitor, tem-se: 
[ ] [ ] [ ]tjtjtj eReeCjReeRe
dt
d
C
dt
tdv
Cti ωωω ω ..).(
)(
)( IVV ==== (1.30) 
VI Cjω= (1.31) 
CC jX
C
j
Cj
=−===
ωω
11
I
V
Z (1.32) 
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Como no caso do indutor, a impedância do capacitor é um número imaginária puro. A 
grandeza XC = -1/ω C recebe o nome de reatância capacitiva, sendo expressa em ohms (Ω). 
Se o ângulo de fase de V é igual a φ, tem-se V = Vm ∠φ e I = Im ∠θ. O problema consiste em 
calcular a defasagem entre a corrente e a tensão; assim: 
)2/(2/2/ 11
1
1 πθθπθπθφ
ωωωω
−==−== jmjm
j-j
m
jj
m
j
m e
C
I
eI
C
eeI
C
eeI
C
1
jeV - (1.33) 
Vê-se que θ - π /2 = φ ou θ = φ + π /2. É mostrado na Fig. 1.7 que, no caso do capacitor, a 
corrente acha-se adiantada de 90o da tensão. 
 
Fig. 1.7. Fasores tensão e corrente no caso de um capacitor. 
A admitância do capacitor é: 
C
C
C jBCj === ω
Z
Y
1
 (1.34) 
A susceptância capacitiva BC = ω C é expressa em siemens (S). 
5. Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
Se v1(t), v2(t), ..., vn(t) são as tensões nos elementos de um caminho fechado de um circuito, 
expressas no domínio do tempo, tem-se pela lei de Kirchhoff das malhas: 
0)(...)()( 21 =+++ tvtvtv n (1.35) 
Em regime permanente senoidal: 
0])....([
]......[
].[].[].[
21
21
21
21
21
21
=+++
=+++
=+++
tjj
mn
j
m
j
m
tjj
mn
tjj
m
tjj
m
tjj
mn
tjj
m
tjj
m
eeVeVeVRe
eeVeeVeeVRe
eeVRe...eeVReeeVRe
n
n
n
ωθθθ
ωθωθωθ
ωθωθωθ
 (1.36) 
Como e jωt ≠ 0 e Vmk e 
jθk = Vk, k = 1, ..., n, tem-se: 
0...21 =+++ nVVV (1.37) 
Logo, a lei de Kirchhoff das malhas permanece válida no domínio da frequência. 
No caso da lei de Kirchhoff dos nós, tem-se para as correntes que entram ou saem de um nó: 
0)(...)()( 21 =+++ tititi n (1.38) 
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Através de desenvolvimento análogo ao anterior, chega-se à conclusão de que a lei de 
Kirchhoff dos nós também permanece válida no domínio da frequência, ou seja: 
0...21 =+++ nIII (1.39) 
Neste ponto, conclui-se que os conceitos de fasor, impedância e admitância proporcionam 
notável simplificação na análise de circuitos em regime estacionário com excitação senoidal, 
pois as equações integrodiferenciais que descrevem os circuitos com capacitores e indutores 
podem ser substituídas por equações algébricas de variáveis e coeficientes complexos. 
6. Associações de Elementos no Domínio da Frequência 
São mostradas na Fig. 1.8 n impedâncias ligadas em série. Para a tensão V, pode-se escrever: 
( ) IZIZZZZZZV abnnIII =+++=+++= ...... 2121 (1.40) 
 
Fig. 1.8. Associação de impedâncias em série. 
A impedância equivalente vista dos terminais ab é: 
nab ZZZZ +++= ...21 (1.41) 
Assim, a impedância equivalente a várias impedâncias ligadas em série é igual à soma dessas 
impedâncias. 
Em termos de admitâncias, a associação em série é feita da seguinte forma: 
nab YYYY
1
...
111
21
+++= (1.42) 
Uma associação de n impedâncias ligadas em paralelo é mostrada na Fig. 1.9. 
 
Fig. 1.9. Associação de impedâncias em paralelo. 
Para a corrente I, tem-se: 
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10 
 
abnn Z
V
V
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
I =





+++=+++=
1
...
11
...
2121
 (1.43) 
nab ZZZZ
1
...
111
21
+++= (1.44) 
Esta impedância indica que, numa associação em paralelo de impedâncias, o inverso da 
impedância equivalente é igual à soma dos inversos das impedâncias individuais. 
Pela definição de admitância, conclui-se que: 
nab YYYY +++= ...21 (1.45) 
Na Fig. 1.10 são mostradas associações RL e RC em série. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 1.10. ( a ) Associação RL em série; ( b ) Associação RC em série. 
No caso da Fig. 1.10 (a) e da Fig. 1.10 (b) tem-se, respectivamente, as seguintes impedâncias: 
Lj RRL ω+=Z (1.46) 
ωC
j RRC
1
−=Z (1.47) 
Para as admitâncias, pode-se escrever: 
222 )()()(
1
ωLR
L
j
ωLR
R
ωLR
LjR
LjR 222
RL +
−
+
=
+
−
=
+
=
ωω
ω
Y (1.48) 
222
1
1
11
1
1
1





+
+





+
=





+
+
=
−
=
ωC
R
ωCj
ωC
R
R
ωC
R
C
jR
C
jR 222
RC
ω
ω
Y (1.49) 
Na Fig. 1.11 são mostradas associações RL e RC em paralelo. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 1.11. ( a ) Associação RL em paralelo; ( b ) Associação RC em paralelo. 
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Para a Fig. 1.11 (a) e Fig. 1.11 (b) tem-se, respectivamente: 
ωL
j
R
RL
11
−=Y (1.48) 
ωCj
R
RC +=
1
Y (1.49) 
Como exercício, sugere-se calcular ZRL e ZRC. 
No caso de uma associação RLC em série, tem-se para a impedância equivalente: 





 −
+=−+=
ωC
LCω
j R
ωC
jLj RRLC
11 2
ωZ (1.50) 
Numa associação RLC em paralelo, tem-se para a admitância equivalente: 





 −
+=+−=
ωL
LCω
j 
R
Cjω
ωL
j 
R
RLC
1111 2
Y (1.51) 
Exemplo 4 – Por um elemento de circuito passa uma corrente i(t) = 2,5 cos(2500t - 30o), 
estando este submetido a uma tensão v(t) = 5 sen(2500t - 30o). Qual é o elemento? 
Solução – Exprimindo v em termos de cosseno: 
)1202500(5)90302500(5)( ooo tscotscotv −=−−=oo 305,2,1205 −∠=−∠= IV 
2905,2
305,2
1205
jo
o
o
-Z
I
V
Z =∴−∠=
−∠
−∠
== 
Conclui-se que o elemento é um capacitor. 
F200
25002
1
2
1
2
1
µ===∴= 
x
C
C ωω 
Exemplo 5 – Um resistor de 10 Ω e um indutor de 5 mH estão em paralelo, como ,e 
mostrado na Fig. 1.12. A corrente no ramo indutivo é iL = 5 sen(2000t - 45
o
). Obter iT = iR + iL. 
 
Fig. 1.12. Circuito do Exemplo 5. 
Solução – Calculando o fasor IL a partir da função seno: 
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o
L 455 −∠=I
 
o
LL jxxLX 901010101050002
3 ∠==∴Ω=== − Zω 
( )( ) oooLL 45504559010 ∠=−∠∠== IZV
 
o
o
R
R
455
10
4550
∠=
∠
==
V
I
 
ooo
LRT 025455455 ∠=−∠+∠=+= III
 
)2000(25 tseniT = 
Exemplo 6 – O capacitor de 35 µF da Fig. 1.13 está em paralelo com um certo elemento. 
Identificar o elemento, sabendo que a tensão e a corrente total são, respectivamente, v = 150 
sen(3000t) e iT = 16,5 sen(3000t + 72,4
o
). 
 
Fig. 1.13. Circuito do Exemplo 5. 
Solução – Neste caso, os fasores são determinados a partir da função seno; assim: 
o
T
o 4,725,16,0150 ∠=∠= IV
 
o
C j
xx
j
C
j 9052,952,9
10353000
11
6
−∠=−=−=−= −ω
Z
 
o
o
o
C 9075,15
9052,9
0150
∠=
−∠
∠
==
C
Z
V
I
 
06,59075,154,725,16 =∠−∠=−= ooCTZ III ∴ Ω=
∠
== 6,29
06,5
0150
o
ZI
V
Z
 
O elemento é um resistor. Isso poderia ser concluído de imediato, pois os elementos são 
ideais e v e iT apresentam defasagem de 72,4
o. 
7. Diagramas Fasoriais 
Os diagramas fasoriais são representações dos fasores tensão e/ou correntes no plano 
complexo, de modo a reproduzirem graficamente as leis de Kirchhoff. Na Fig. 1.14, Fig. 1.15 e 
Fig. 1.16 são mostrados esses diagramas para os circuitos RL, RC e RLC em série. Na Fig. 1.17, 
Fig. 1.18 e Fig. 1.19 são considerados os circuitos RL, RC e RLC em paralelo. 
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Fig. 1.14. Associação RL em série e diagrama fasorial. 
 
 
 
Fig. 1.15. Associação RC em série e diagrama fasorial. 
 
 
 
Fig. 1.16. Associação RLC em série e diagrama fasorial – ( a ) XL < XC ; ( b ) XL > XC. 
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Fig. 1.17. Associação RL em paralelo e diagrama fasorial. 
 
 
 
Fig. 1.18. Associação RC em paralelo e diagrama fasorial. 
 
 
 
Fig. 1.19. Associação RLC em paralelo e diagrama fasorial – ( a ) XL < XC ; ( b ) XL > XC. 
Chagas – DEE / UFCG 
15 
 
Uma regra a ser seguida é que a grandeza de referência deve ser aquela que seja comum ao 
maior número possível de circuitos. Para os elementos em série, foi tomada a corrente. Para os 
elementos em paralelo, foi tomada a tensão. Por simplicidade, atribui-se a essa grandeza o 
ângulo de fase 0o. 
Exemplo 7 – Em relação ao circuito da Fig. 1.20, determinar a corrente fornecida pela fonte, 
a queda de tensão sobre cada elemento do circuito e esboçar o diagrama fasorial. Considera-se 
o fasor eficaz. 
 
Fig. 1.20. Circuito do Exemplo 7. 
Solução – A impedância total do circuito é: 
o
T jjj 1,53543483 ∠=+=−+=Z
 
o
o
o
1,5320
1,535
0100
−∠=
∠
∠
=I
 
oo
R xR 1,53601,53203 −∠=−∠== IV
 
oooo
LL xjjX 9,36160)1,5390(1601,53208 ∠=−∠=−∠== IV
 
ooo
CC xjX 1,14380)1,5390(204 −∠=−−∠=−= IV
 
O diagrama fasorial do circuito é mostrado na Fig. 1.21. 
 
Fig. 1.21. Diagrama fasorial do Exemplo 7. 
Uma observação importante é que a tensão da fonte é 100 V, enquanto a tensão no indutor 
é 160 V (explicar). 
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16 
 
Exemplo 8 – No circuito da Fig. 1.22, os valores medidos das correntes i, i1 e i2 são, 
respectivamente, 29,9/√2A, 22,3/√2A e 8//√2A. Determinar os valores de R e L para f = 60 Hz. 
 
Fig. 1.22. Circuito do Exemplo 8. 
Solução - Os valores de pico de i, i1 e i2 são, respectivamente, 29,9 A, 22,3 A e 8 A. Arbitran-
do a fase de i2 em 0
o, tem-se para o fasor amplitude de v: 
oox 0120081515 ∠=∠==
2
IV 
Como os elementos se acham ligados em paralelo, é mais conveniente trabalhar com 
admitâncias. Assim, tem-se para o ramo RL:
 
0,1858,0
0120
3,221 >−∠=
∠
−∠
== θθ
θ
o
V
I
Y
 
)(1858,0 θθ senjcos −=Y
 
No diagrama fasorial da Fig. 1.23, tem-se: 
932,0
83,222
83,229,29
2
222
21
2
2
2
1
2 =
−−
=∴++=
xx
coscosIIIII θθ 
 
Fig. 1.23. Diagrama fasorial do Exemplo 8. 
Assim, obtém-se θ = 21,25o. A admitância do ramo RL é, então: 
L
j
R
senjcos oo
ω
11
25,211858,025,211858,0 −=−=Y
 
Ω== 77,5
932,01858,0
1
x
R
 
mH4,39
602363,01858,0
1
==
xxx
L
π
 
Chagas – DEE / UFCG 
17 
 
8. Ressonância 
8.1 Definição 
Na Fig. 1.24 é mostrada uma fonte de tensão senoidal, a qual alimenta uma associação de 
resistores, indutores e capacitores interligados de forma arbitrária. Diz-se que ocorre 
ressonância quando a tensão aplicada v(t) e a corrente resultante i(t) estão em fase. Assim, a 
impedância vista dos terminais de entrada do circuito apresenta-se como uma resistência pura. 
 
Fig. 1.24. Representação de um circuito RLC alimentado por fonte de tensão senoidal. 
Nessas condições, as energias armazenadas nos campos elétricos dos capacitores e dos 
indutores são compartilhadas exclusivamente por esses elementos de circuito, sem que a fonte 
tome parte no processo. Assim, a interação entre a fonte e o resto do circuito resume-se ao 
fornecimento da energia que é dissipada nos elementos resistivos. 
Para explicar esse fenômeno, considerando o circuito RLC em série da Fig. 1.25. A 
impedância vista dos terminais da fonte é dada por: 
ZZjXR
ωC
ωLj R θ∠=+=




 −+=
1
Z (1.52) 
 
Fig. 1.25. Circuito RLC em série ressonante. 
O circuito se acha em ressonância quando as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam. 
Assim, Z = R quando 
LC
ω
ωC
ωL 0
1
0
1
==∴=− ω (1.53) 
A frequência angular ω0 é denominada frequência de ressonância, em rad/s. Em Hz, tem-se: 
LC
f0 π2
1
= (1.54) 
De (1.52), tem-se para Z e Y, tem-se: 
Chagas – DEE / UFCG 
18 
 
2
2 1 




 −+=
ωC
ωL RZ (1.55) 






=
ωRC
-LCω
 arctgZ
12
θ (1.56) 
2
2 1
1





 −+
=
ωC
ωL R
Y (1.57) 






−=
ωRC
-LCω
 arctgY
12
θ (1.58) 
São mostradas na Fig. 1.26 e a Fig. 1.27 as variações dos módulos e dos ângulos da 
impedância Z e da admitância Y vistas dos terminais de entrada do circuito. 
 
Fig. 1.26. Variações do módulos e dos ângulo da impedância Z. 
 
 
Fig. 1.27. Variações do módulos e do ângulos da admitância Y. 
Chagas – DEE / UFCG 
19 
 
8.2 Considerações sobre Energia 
Na análise a seguir, o circuito RLC em série é interpretado como um oscilador, cujo critério 
de avaliação de desempenho é estabelecido em termos de energia. Caso a resistência seja 
pequena, a energia dissipada em forma de calor também é pequena. Assim, o oscilador 
apresentará um comportamento próximo do ideal se as perdas ôhmicas forem muito menores 
que a energia armazenada. Com isso, ao se fornecer energia ao circuito, o mesmo será capaz de 
manter uma troca ou oscilação de energia entre capacitor e indutor durante um longo período, 
com um amortecimento mínimo nas amplitudes das ondas de tensão e de corrente. 
Diante do exposto, é necessário estabelecer um parâmetro de avaliação do grau de 
influência da resistência R no processo de amortecimento das oscilações. Esse critério é 
expresso em termos do fator de qualidade, Q, o qual é proporcional à relação entre a energia 
armazenada nos elementos armazenadores de energia, em qualquer instante, durante o 
fenômeno de ressonância, e a energia dissipada no resistor, considerando o intervalo de um 
ciclo, ou seja: 
CICLOPORDISSIPADAENERGIA
ARESSONÂNCIEMARMAZENADAENERGIA
π2=Q (1.59) 
Se a corrente é I = Im ∠0
o, então: 
tcosIti m ω=)( (1.60) 
A energia armazenada no indutor é: 
tcosILtiLtW mL ω
222
2
1
)(
2
1
)( == (1.61) 
No capacitor, o fasor tensão é: 
2/
1
π
ωω−∠=−=
C
I
C
j mC IV (1.62) 
No domínio do tempo: 
tsen
C
I
tcos
C
I
tV mmC ωω
πω
ω
=−= )2/()( (1.63) 
A energia armazenada no capacitor é dada por: 
tsen
C
I
tvCtW mCC ωω
2
2
2
2
2
1
)(
2
1
)( == (1.64) 
A energia total armazenada em qualquer é dada por: 





 +=+= tsen
LC
tcosILtWtWtW mCL ωω
ω 2
2
22 1
2
1
)()()( (1.65) 
Para ω = ω0 = 1/√(LC), tem-se: 
Chagas – DEE / UFCG 
20 
 
2222222
2
11
2
1
2
1
2
1
)( mmmom CVVC
LC
LVCLILtW ==== ω (1.66) 
Isso mostra que, em condições de ressonância, a energia total armazenada nos elementos 
reativos é constante, ou sela, não há troca de energia entre esses elementos e a fonte. 
A energia dissipada num circuito ressonante durante um ciclo é o produto da potência 
média, P, pelo período T = 1/ fo = 2π/ fo, ou seja: 
o
mm
D
f
IR
T
I
RTPW
22
.
22
=





== (1.67) 
Assim, da equação (1.59), o fator de qualidade do circuito é: 
R
L
R
Lf
f
IR
IL
Q oo
o
m
m ωπ
π ===
2
2
1
2
1
2
2
2
 (1.68) 
Vê-se que se R diminuir, o fator de qualidade aumenta, diminuindo o amortecimento. Assim, 
o comportamento do circuito oscilador aproxima-se do ideal. 
Para uma tensão de entrada V1 fixa, tem-se para o módulo da corrente: 
2
2
1
1
1





 −+
==
ωC
ωL R
V
VYI (1.69) 
Vê-se que o máximo valor de I ocorre para ω = ωo, ou seja: 
R
V
II o
1== (1.70) 
A variação de I em função de ω é mostrada na Fig. 1.28, considerando uma tensão constante 
na entrada. 
 
Fig. 1.28. Variação da corrente I em função de ω. 
Chagas – DEE / UFCG 
21 
 
Exemplo 9: Uma tensão V = 10 ∠0o, de frequência ω = 1000 rad/s é aplicada no circuito da 
Fig. 1.29. Ajusta-se L de modo que a tensão no resistor seja máxima. Achara a tensão em cada 
elemento. 
 
Fig. 1.29. Circuito do Exemplo 9. 
Solução - Para que a tensão no resistor seja máxima, a corrente também deverá ser máxima, 
o que implica em uma impedância total mínima. Para que isso ocorra, o circuito deverá estar 
em ressonância, ou seja: 
.50
10201000
11
6
Ω==== −xxC
LX L ω
ω
 
( ) oCL RXXj R 05∠==−+=Z 
o
o
o
02
05
010
 
∠=
∠
∠
==
Z
V
I
 
ooo
R xR 0100205 ∠=∠∠== IV
 
ooo
LL xjX 90100029005 ∠=∠∠== IV
 
ooo
LCC xjXjX 90100029005 −∠=∠−∠=−=−= IIV
 
Um fato interessante é que as tensões no capacitor e no indutor apresentam módulos 10 
vezes maiores que a tensão da fonte. Assim, a ressonância pode acarretar em valores muito 
elevados de tensão e corrente, pondo em risco a integridade da instalação e a vida das pessoas. 
Exemplo 10: Determinar o valor de C que torna o circuito da Fig. 1.30 ressonante em ω = 
500 rad/s. 
 
Fig. 1.30. Circuito do Exemplo 10. 
Solução – A admitância de entrada do circuito é: 
Chagas – DEE / UFCG 
22 
 






−
+
+





+
+=
+
+
+
+
−
=
−
+
+
=
100
6
5,695,69
34,8
100
8
34,8
34,8
68
68
34,8
1
68
1
222222
C
C
CC
C
C X
X
j
XX
jXj
jXj
Y
 
Em ressonância, tem-se: 
05,697,16
100
6
5,69
2
2
=+−∴=
+ CCC
C XX
X
X
 
Ω=Ω=∴
−±
= 88,782,8
2
5,6947,167,16
21
2
CCC XX
x
X ou
 
F53,2
88,7500
11
,F227
82,8500
11
2
2
1
1 µ===µ===
xX
C
xX
C
CC ωω 
Exemplo 11: O circuito da Fig. 1.31 representa a ligação em paralelo de um capacitor e um 
indutor não ideal, onde a resistência da bobina é RL. Achar a frequência de ressonância do 
circuito. 
 
Fig. 1.31. Circuito do Exemplo 11. 
Solução – Para a admitância de entrada do circuito, tem-se: 






+
−+
+
=+
+
−
=+
+
=
222222222
1
LR
L
Cj
LR
R
Cj
LR
LjR
Cj
LjR LL
L
L
L
L ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Y
 
Em ressonância, tem-se: 
L
CR
LCLR
L
C Lo
oL
o
2
222
1
1
−=∴
+
= ω
ω
ω
ω
 
Para RL = 0 (indutor ideal), tem-se ωo = 1/√(LC). Considerando uma fonte de tensão v(t) = 
Vm cosωt nos terminais de entrada do circuito, a corrente no indutor é: 
L
V
j
Lj
V
o
m
o
o
m
L ωω
−=
∠
=
0
I
 
Como ωoC = 1 / (ωo L), tem-se no capacitor: 
L
V
jVCj
o
mo
moC ω
ω =∠= 0.I
 
A corrente total é: 
Chagas – DEE / UFCG 
23 
 
0=+−=+=
L
V
j
L
V
j
o
m
o
m
CL ωω
III
 
Assim, tem-se um oscilador ideal, o qual recebe o nome de circuito tanque. No mesmo, 
nenhuma energia é trocada entre a fonte e o resto do circuito. Conforme será visto em 
detalhes mais adiante, durante meio ciclo de tensão, o indutor transfere energia do seu campo 
magnético para o campo elétrico do capacitor, invertendo-se esse processo no meio ciclo de 
tensão seguinte. Assim, o processo ocorre sem amortecimentos nas amplitudes da ondas de 
tensão e de corrente, pois não há dissipação de energia. 
9. Potência em Regime Senoidal 
9.1 Potência Instantânea 
Na Fig. 1.32 é mostrada uma fonte de tensão senoidal que alimenta uma associação de 
resistores, indutores e capacitores interligados de forma arbitrária. 
 
Fig. 1.32. Circuito RLC alimentado por fonte de tensão senoidal. 
Para a tensão e corrente, v(t) e i(t), é suposto que: 
tcosVtv m ω=)( (1.71) 
)()( φω += tcosIti m (1.72) 
Define-se potência instantânea como sendo: 
)(.)()()( φωω +== tcostcosItitvtp m (1.73) 
Da identidade trigonométrica 
( ) ( )[ ]bacosbacosboscacos ++−=
2
1
. (1.74) 
pode-se escrever para p(t): 
[ ] [ ])(2
22
)()(
2
1
)( φωφφωωφωω ++=+++−−= tcoscos
IV
ttcosttcosIVtp mmmm (1.75) 
[ ])(2)( φωφ ++= tcoscosIVtp (1.76) 
As grandezas V e I são os valores eficazes de v(t) e i(t). 
Chagas – DEE / UFCG 
24 
 
Na Fig. 1.33 são mostradas as variações de v(t), i(t) e p(t). 
 
Fig. 1.33. Variações de v(t), i(t) e p(t) em um circuito RLC com excitação senoidal. 
Assim, são tiradas as seguintes conclusões: 
• O valor médio de p(t) é P = VIcosφ. 
• A onda de p(t) pulsa com frequência 2ω em torno de P = VIcosφ , ou seja, p(t) perfaz dois 
ciclos completos para cada ciclo de v(t) e de i(t). 
• Durante certos intervalos de tempo, p(t) assume valores negativos. Isto indica que a 
energia é fornecida à fonte pelos elementos armazenadores de energia (indutores e 
capacitores). 
• A fonte entrega mais energia à carga do que recebe. Isto se deve à existência de elementos 
resistivos, essencialmente dissipadores de energia, os quais impõem um consumo 
correspondente a P = VIcosφ. 
Devido ao fato de p(t) apresentar o caráter pulsante mostrado na Fig. 1.33, podem ocorrer 
vibrações quando se aplica motores de indução monofásicos no acionamento de cargas como 
compressores de refrigeradores, por exemplo. Tal fato não ocorre quando se aplica motores 
trifásicos, pois a soma das potências instantâneas de cada fase resulta em um valor constante. 
Isto faz com que os motores de grandes potências sempre sejam do tipo trifásico. 
Nos casos em que o circuito é puramente resistivo ou é ressonante, v(t) e i(t) se acham em 
fase e φ = 0. Da equação 
( )tcosIVtpR ω21)( += (1.77) 
Como é mostrado na Fig. 1.34, p(t) assume apenas valores positivos, ou seja, o circuito 
apenas absorve energia da fonte. O valor médio de p(t) é P = VI. 
Chagas – DEE / UFCG 
25 
 
Se o circuito for puramente indutivo, φ = -90o na equação (1.76), de modo que: 
tsenIVtpL ω2)( = (1.78) 
Para o circuito puramente capacitivo, φ = 90o, e então: 
tsenIVtpC ω2)( −= (1.79) 
Na Fig. 1.35 e na Fig. 1.36 vê-se que, em qualquer instante, pL(t) e pC(t) apresentam sinais 
opostos. 
 
Fig. 1.34. Onda da potência instantânea em um circuito resistivo com excitação senoidal. 
 
Fig. 1.35. Onda da potência instantânea em um circuito indutivo com excitação senoidal. 
 
Fig. 1.36. Onda da potência instantânea em um circuito capacitivo com excitação senoidal. 
Chagas – DEE / UFCG 
26 
 
Os sinais opostos de pL(t)e pC(t) indicam que, durante um quarto de ciclo de tensão, o 
indutor recebe energia da fonte e, no quarto de ciclo subsequente, o mesmo passa a fornecer. 
O contrário ocorre com o capacitor. Ademais, essas potências oscilam em torno de um valor 
médio igual a zero, indicando que não são convertidas em outras formas de potências não-
elétricas. 
9.2 Potência Média ou Ativa 
Potência média é definida por: 
∫=
T
dttp
T
P
0
)(
1
 (1.80) 
Substituindo (1.76) em (1.80), obtém-se: 
φcosIVP = (1.81) 
A potência média é também chamada de potência real ou ativa. Ela corresponde à energia 
efetivamente consumida pela carga. No Sistema Internacional de Unidades, é medida em watts 
(W). Em indutores e capacitores, tem-se P = 0. 
9.3 Potência Reativa 
A expressão (1.76) também pode ser escrita como: 
( ) ( ) tsensenVItcoscosVIsentsencostcosVIcosVItp ωφωφφωφωφ 2.21.2.2)( −+=−+= (1.82) 
( ) tsenQtcosPtp ωω 221)( −+= (1.83) 
A componente P(1+cos2ωt) é sempre positiva e possui valor médio P = VIcosφ. 
A componente Qsen2ωt pode ser positiva (sentido fonte-carga) ou negativa (sentido carga-
fonte). É associada aos elementos armazenadores de energia (indutores e capacitores). 
A grandeza 
φsenVIQ= (1.84) 
é definida como potência reativa, a qual corresponde ao valor máximo da componente 
Qsen2ωt. A potência reativa é medida em volt-ampéres reativos (var). Para os resistores, Q = 0. 
Nas redes de energia elétrica, a existência de elevados valores de potência reativa circulando 
nas linhas constitui um fator indesejável, pois ocorrem perdas ôhmicas nos condutores e 
quedas de tensão nos terminais da carga. Além disso, um consumidor que requer excesso de 
potência reativa do sistema é penalizado com um acréscimo na sua conta de consumo de 
energia, como será visto em detalhes mais adiante. 
9.4 Potência Aparente 
Define-se potência aparente como sendo o produto dos valores eficazes da tensão e da 
corrente, ou seja: 
VIS = (1.85) 
Chagas – DEE / UFCG 
27 
 
A potência aparente é medida em volts-ampéres (VA). É a potência que se utiliza na 
especificação de equipamentos elétricos, como geradores, transformadores, etc. É mais usual 
utilizar seus múltiplos (kVA, MVA). 
9.5 Fator de Potência 
Define-se fator de potência de uma instalação como a relação entre a potência ativa 
consumida e a potência aparente, ou seja: 
APARENTE POTÊNCIA
 ATIVA POTÊNCIA
=FP (1.86) 
Em regime senoidal, tem-se: 
φφφ
φφ
 )( 
)( 
coscos
VI
cosVI
IV
IVFP =−
−
== (1.87) 
O fator de potência é uma grandeza de extrema importância na avaliação do desempenho 
das cargas elétricas. Das expressões (1.81), (1.84) e (1.85), vê-se que, para o mesmo valor de 
potência aparente, S, um baixo valor de FP implica em baixo valor de P e alto valor de Q, o que 
não é conveniente, conforme foi explicado. 
Para circuitos puramente resistivos ou ressonantes, φV =φI e cosφ =1. No caso de circuitos 
puramente indutivos ou capacitivos, a corrente e a tensão acham-se em quadratura e cosφ =0. 
No primeiro caso, diz-se “cosφ em atraso” (corrente atrasada da tensão); no segundo caso, diz-
se “cosφ em avanço”. 
9.6 Potência Complexa 
No estudo de potência em circuitos de corrente alternada, utiliza-se exclusivamente o 
conceito de fasor eficaz. Assim, define-se potência complexa como sendo: 
*
IVS = (1.88) 
A grandeza I* é o conjugado do fasor corrente. Se V = V ∠φV e I = I ∠φI, então: 
)-()-()-( IVIVIV jVIsenVIcosIV φφφφφφ +=∠=S (1.89) 
Fazendo φ = φV - φI, tem-se: 
jQPjVIsenVIcosIV +=+=∠= φφφS (1.90) 
9.7 Relações Adicionais para Potências 
Considerando uma impedância Z = R + j X, submetida a uma tensão V e uma corrente I, 
pode-se escrever: 
( ) jQPIXjIRI +=+==== 222ZIIZIVS *** (1.91) 
2IRP = (1.92) 
2IRP = (1.93) 
Chagas – DEE / UFCG 
28 
 
2IZS = (1.94) 
22 QPS += (1.95) 
( ) ( ) **** Z/ZVVV/ZVIVS /2* V==== (1.96) 
ZVS /2= (1.97) 
( ) ( ) ( )( ) jQPjsencosZVZVZZVZVV +=+=∠==== φφφ //Z/ZZS * 222222 /// (1.98) 
( ) φcosVP *Z/2= (1.99) 
( ) φsenVQ *Z/2= (1.100) 
9.8 Triângulo de Potências 
É usual relacionar S, P, Q e φ através do triângulo de potências, como é mostrado na Fig. 
1.37. 
 
(a) Fator de potência indutivo. (b) Fator de potência capacitivo. 
Fig. 1.37. Triângulos de potências para cargas. 
Como será visto mais adiante, a representação gráfica das potências permite que diversos 
problemas de solução analítica laboriosa possam ser mais facilmente resolvidos através de 
recursos da geometria euclidiana, como o teorema dePitágoras, lei dos senos, lei dos cossenos, 
etc. 
Exemplo 12: Dado um circuito com uma tensão aplicada v(t) = 14,14 cosωt e uma corrente 
i(t) = 17,1x10
-3
 cos(ωt-14,05o), determinar o triângulo de potências. 
Solução – Os fasores tensão e corrente são: 
oo 0100)2/14,14( ∠=∠=V
 oo xx 05,141009,1205,14)2/101,17( 33 −∠=−∠= −−I
 ooxx 05,14121,005,141009,1201 3 ∠=∠== −*IVS
 
0294,0117,0 j+=S 
970,00294,0117,0/117,0 22 =+=φcos
 
o-cos 1,14970,01 ==φ
 
O triângulo de potências é mostrado na Fig. 1.38. 
Chagas – DEE / UFCG 
29 
 
 
Fig. 1.38. Triângulos de potências relacionado ao Exemplo 12. 
Exemplo 13: A associação dos dois elementos da Fig. 1.39, com R = 5 Ω e XL = 15 Ω, 
apresenta uma tensão de 31,6 V no resistor. Achar a potência complexa e o fator de potência. 
 
Fig. 1.39. Associação de elementos do Exemplo 13. 
Solução – Arbitrando a fase de VR em 0
o, tem-se:
 o
R 06,31 ∠=V
 oo 032,65/06,31 ∠=∠=I 
VA4,632600200 22 =+=S
 
oSPcos 6,71316,04,632/200/ =∴=== φφ
 
ojQj P 6,714,632600200 ∠=+=+=S 
Exemplo 14: No circuito da Fig. 1.40, achar Z1 se a potência aparente total é 3373 VA, com 
fator de potência 0,938 adiantado, e o resistor de 3Ω dissipa uma potência de 666W. 
 
Fig. 1.40. Circuito do Exemplo 14. 
Solução – No resistor de 3Ω, tem-se: 
A9,143/6662
2
2 ==∴= IIRP 
var13329,146 2222 === xIXQ 
No circuito total, cosφ = 0,938, ou φ = 20,28o. Como cosφ é adiantado, o efeito capacitivo 
predomina sobre o indutivo. Assim, a potência complexa total é: 
Chagas – DEE / UFCG 
30 
 
1,11699,316328,203373 jo −=−∠=S 
ojjj 458,353401,25019,249713326661,11699,3163- 21 −∠=−=−−−== SSS 
o
I
S
V 6,71V100
9,14
1332666 22
2
2 =∴=
+
== φ
 
Ω−=−∠=
∠
== 224582,2
458,3534
100
2
*
1
2
1 j
V o
o
S
Z 
Exemplo 15: Determinar a potência dissipada nos resistores de 15Ω e 8Ω do circuito da Fig. 
1.41, sabendo que a potência média total do circuito é de 2000W. 
 
Fig. 1.41. Circuito do Exemplo 15. 
Solução – A impedância total é: 
84,029,503,936,5
2815
)28(15
1 j
j
j o −=−∠=
−+
−
=Z 
A44,1929,5/20002 ==∴= IIRP
 , 
oo 032,6044,19 ∠=∠=I
 
oox
j
j
06,994,6044,19
2815
28
1 −∠=∠−+
−
=I
 
W4,72294,61515 2211 === xIP 
W6,12774,722200012 =−=−= PPP 
Outro método: 
55,0
15
28
/
/ 22
1
2
2
1
2
1
2
1 =
+
==∴=
Z
Z
I
I
ZV
ZV
I
I
 
567,055,0
8
15
8
15
8,15 2
2
2
2
1
2
12
22
2
11 ==





=∴== x
I
I
P
P
IPIP
 
362,0362,0
1567,0
567,0 1
21
1 =∴=
+
=
+ P
P
PP
P
 
W6,723362,020001 == xP 
W3,12766,72320002 =−=P 
Chagas – DEE / UFCG 
31 
 
9.9 Teorema da Máxima Transferência de Potência 
Considerando o circuito da Fig. 1.42, é suposto que a impedância da fonte, ZS = RS+jXS, seja 
fixa. Deseja-se calcular a impedância da carga, Z, de modo que a potência dissipada na mesma 
seja máxima. 
 
Fig. 1.42. Fonte fornecendo potência máxima a uma carga. 
Serão considerados os seguintes casos: 
Caso 1: R e X variáveis. 
Neste caso, o módulo da corrente é: 
22 )()( RRRR
VI
SS
S
+++
= (1.101)
 
A potência dissipada é: 
22
2
2
)()( XXRR
VR
RIP
SS
S
+++
== (1.102)
 
Em relação a X, vê-se de (1.101) que a potência máxima ocorre para X = -XS, ou seja: 
2
2
)( RR
VR
P
S
S
+
= (1.103)
 
Para determinar R, faz-se dP/dR = 0, ou seja: 
0
)(
)(2.)(
4
2
2 =
+
+−+
=
RR
RRRRR
V
dR
dP
S
SS
S (1.104)
 
Resolvendo a equação, chega-se a R = RS. Assim, a máxima potência dissipada na carga 
ocorre quando sua impedância for igual ao conjugado da impedância da carga. Assim, diz-se 
que há casamento de impedâncias quando: 
*
ZZ S= (1.105) 
Isto quer dizer que o circuito é ressonante. De (1.103), a máxima potência dissipada em R é: 
S
S
MAX
R
V
P
4
2
= (1.106)
 
Chagas – DEE / UFCG 
32 
 
Como R = RS , a potência total fornecida pela fonte é: 
S
S
MAXF
R
V
P
2
2
, = (1.107)
 
Define-se rendimento ou eficiência na transmissão, η, como a relação entre a potência 
média consumida pela carga e a potência média fornecida pela fonte. Em condição de máxima 
potência transferida, tem-se: 
%50
,
, ===
MAXF
MAX
MAXF
P
P
Pη (1.108)
 
Os circuitos de comunicação e de instrumentação normalmente operam com impedâncias 
casadas. Por exemplo, a impedância de saída de um amplificador deve estar casada com a 
impedância do alto-falante a ele ligado, de modo a se obter a máxima potência de som. Assim, 
nesses circuitos, a preocupação consiste em se obter a máxima potência na saída, sem que haja 
preocupação com o valor da potência gerada. 
Nos circuitos elétricos de potência, a preocupação é com o máximo rendimento na 
transmissão, de modo a reduzir o custo da potência gerada. As usinas de energia elétrica 
devem entregar o máximo da energia por eles produzida aos centros consumidores com 
rendimentos bem maiores que 50% (normalmente, acima de 95%). Assim, nas redes de energia 
elétrica, as impedâncias nunca são casadas. 
Caso 2: R variável, X fixo. 
Neste caso, X ≠ 0. Da expressão (1.102), quando se iguala a zero a derivada de P em relação 
a R, tem-se: 
[ ]
0
])()[(
)(2.)()(
222
22
2 =
+++
+−+++
=
XXRR
RRRXXRR
V
dR
dP
SS
SSS
S (1.109)
 
Simplificando, obtém-se: 
22222 )()( XXRRXXRR SSSS ++=∴++= (1.110)
 
Caso 3: R variável, X = 0. 
Neste caso, de (1.110), tem-se: 
SSS ZXRR =+=
22
 (1.111)
 
Assim, a resistência da carga deverá ser igual ao módulo da impedância da fonte. 
Chagas – DEE / UFCG 
33 
 
10. Correção do Fator de Potência 
10.1 Considerações Gerais 
Os elementos típicos que compões as cargas nos sistemas elétricos são lâmpadas 
incandescentes e equipamentos de aquecimento, além de lâmpadas fluorescentes e motores 
de indução domésticos e industriais. Assim, pode-se afirmar que as cargas apresentam 
características que podem ser atribuídas a uma combinação de resistência e indutância. 
É sabido que a potência útil consumida pelas cargas é a potência ativa, P, a qual consiste na 
componente real da potência complexa, S = P + j Q. Em outras palavras, P é a componente de 
S que é convertida pelo usuário final em formas de potência não elétricas, correspondendo ao 
valor médio da potência instantânea p(t), como indica a expressão (1.76). 
A potência reativa, Q, corresponde à parte imaginária de S, que também é o valor de pico de 
uma componente senoidal de p(t), conforme é indicado em (1.76). Como o valor médio desta 
componente é nulo, Q pode ser associada a potências trocadas entre a fonte e elementos 
armazenadores de energia (capacitores e indutores), que não correspondem à energia 
efetivamente utilizada pelos consumidores. O transporte da potência reativa Q através dos 
circuitos deve ser minimizado, pelos seguintes motivos: 
• Ainda que a potência efetivamente utilizada pelo consumidor seja a potência ativa P, a 
concessionária de energia terá de fornecer uma potência S = √(P2+Q2), ou seja, além da 
potência ativa, ela também deverá fornecer a potência reativa requerida pelo consumidor. 
Isto implica em maior investimento nos sistemas de geração, transmissão e distribuição, pois 
os equipamentos serão sobredimensionados.
 • A potência reativa está associada a uma componente da corrente I igual a I senφ , a qual , 
ao circular na linha, produz perdas ôhmicas, reduzindo o rendimento na transmissão. 
• Conforme será visto, o transporte de potência reativa através da linha implica em queda 
de tensão nos terminais da carga. 
A solução mais simples e barata para evitar circulação de potência reativa na rede consiste 
em instalar bancos de capacitores junto à carga, no sentido de compensar o efeito indutivo da 
mesma, levando o circuito à condição de ressonância. Conforme foi visto, nessa condição não 
há troca de potência reativa entre a fonte e o resto do circuito, o que torna cosφ = 1. 
Na prática, não é necessário fazer cosφ = 1 (compensação total). O artigo 64 da Resolução 
456 de 29/11/2000, estabelecida pela ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica), estabelece 
o seguinte: “o fator de potência de referência, indutivo ou capacitivo, terá como limite mínimo 
permitido para instalações elétricas ou unidades consumidoras, o valor 0,92”. 
Chagas – DEE / UFCG 
34 
 
Caso a instalação apresente cosφ < 0,92, o consumidor terá sua conta de energia acrescida 
de acordo com o estabelecido no artigo 65 da citada resolução. 
A seguir, são feitas considerações em relação à instalação de capacitores junto às instalações 
dos consumidores. 
10.2 Capacitores em Paralelo 
A forma de correção de fator de potência mais utilizada é mostrada na Fig. 1.43. 
 
Fig. 1.43. Banco de capacitores instalado em paralelo com a carga. 
Os parâmetros R e X são, respectivamente, a resistência e a reatância da linha. Considera-se 
VR fixa e VS variável. Com a chave S aberta, tem-se: 
IIVV LRS jXR ++= (1.112)
 
Com S fechada, resulta: 
( ) ( ) ''' IIVIIIIVV LRCLCRS jXRjXR ++=++++= (1.113)
 
Os diagramas fasoriais do circuito antes e após a correção acham-se mostrados na Fig. 1.44. 
 Fig. 1.44. Diagramas fasoriais do circuito da Fig. 1.43 ( a ) S aberta; ( b ) S fechada. 
Após a correção, observa-se que: 
• Há melhoria no fator de potência da instalação (cos φ’ > cos φ). Caso cos φ < 0,92 e cos φ’ 
≥ 0,92, o consumidor deixa de ser penalizado por apresentar baixo fator de potência. 
Chagas – DEE / UFCG 
35 
 
• A queda de tensão ao longo da linha torna-se menor (VS’ - VR < VS - VR), ou seja, há melhor 
regulação. 
• A corrente requerida pela carga torna-se menor ( I’ < I ), ocorrendo menores perdas ou 
evitando-se sobredimensionamento dos condutores da linha e equipamentos. 
• Há possibilidade de instalação de cargas adicionais no sistema, sem necessidade de 
aumento das potências nominais dos equipamentos existentes no sistema (gerador, linha de 
transmissão, etc).
 
São mostrados na Fig. 1.45 os triângulos de potências correspondentes às situações de antes 
e de após a correção. 
 Fig. 1.45. Triângulos de potências antes (S, P, Q) e após a correção (S’, P, Q’).
 
A potência ativa P permanece constante. A potência reativa cai de Q para Q’, de modo que 
a potência reativa e a capacitância do banco de capacitores são dadas por: 
( )'' φφ tan- tanPQQQC =−= (1.114) 
22 Vf
Q
C C
π
= (1.115) 
As grandezas f e V são, respectivamente, a frequência e a tensão nominal do sistema. 
Exemplo 16: Um transformador de 250 kVA, tensão secundária nominal de 220 V, está 
funcionando a plena carga com fator de potência igual a 0,85 em atraso. (a) Qual a capacitância 
do banco necessário para corrigir o fator de potência para 0,98 atrasado? (b) Após a correção, é 
instalada outra carga em paralelo à carga já existente, com fator de potência iguala 0,85 em 
atraso. Qual o máximo valor de potência ativa dessa nova carga, sem que haja sobrecarga no 
transformador? 
Solução – ( a ) Considerando o triângulo de potências da Fig. 1.45, tem-se: 
53,0,8,31,85,0 === φφφ sencos o
 
Chagas – DEE / UFCG 
36 
 
kW5,21285,0250 === xcosSP φ 
kvar5,13253,0250 === xsenSQ φ 
ocos 5,11,98,0' == φφ
 
kvar2,435,11.5,212'' === otan tan P.Q φ
 
kvar3,892,435,132' =−=−= QQQC 
mF9,4
220602
89,3
2 22
===
xxVf
Q
C C
ππ 
( b ) Com o banco de capacitores e as cargas em paralelo, tem-se os triângulos de potência 
da Fig. 1.46. Para a carga adicional, tem-se: 
o
AAcos 8,3185,0 =∴= φφ 
 Fig. 1.46. Triângulos de potências das cargas do Exemplo 16.
 
Neste caso, S’’ = S = 250 kVA, pois o transformador volta a operar a plena carga. Para o 
triângulo maior, tem-se: 
22o2222 250)31,8(43,2)(212,5)()( =+++∴=+++ tanPPSQQ'PP AAAA 
PA = 26,3 kW 
É importante observar que, mesmo com a instalação da nova carga, o fator de potência 
continua maior que 0,92, ou seja: 
95,0
250
3.265,212
" =
+
=
+
=
S
PP
cos Aφ
 
Exemplo 17: Uma fonte de tensão senoidal VS fornece energia em 60 Hz a uma carga através 
de uma linha de transmissão. A linha pode ser representada pela associação em série de um 
resistor de 1Ω e um indutor de 8Ω. A carga consiste em um resistor de 160Ω em paralelo com 
um indutor de 240Ω, havendo também um banco de capacitores em derivação, ajustado de 
modo que as perdas na linha sejam mínimas. A tensão VS é ajustada para que se tenha 4800 V 
nos terminais da carga. (a) Qual o valor da capacitância, em µF? (b) Se o banco de capacitores 
for desligado do circuito, qual deve ser o aumento percentual de VS para que a tensão na carga 
continue no valor de 4800V? (c) Qual será o aumento percentual das perdas na linha? 
Chagas – DEE / UFCG 
37 
 
Solução – ( a ) O sistema descrito é representado pelo diagrama da Fig. 1.47. 
 
Fig. 1.47. Circuito do Exemplo 17. 
Para que as perdas na linha sejam mínimas, a corrente também deverá ser mínima. Assim, o 
banco de capacitores deverá ser ajustado de modo que a impedância total da carga seja 
máxima. Isso ocorre quando o módulo da admitância do ramo capacitivo é igual ao módulo da 
admitância do ramo indutivo (condição de ressonância), ou seja: 
LoLC XCYY /1=∴= ω 
µF05,11
240602
1
==
xx
C
π 
( b ) Sendo ZCC a impedância da carga com o banco de capacitores ligado, tem-se: 
A030
160
04800
160 o
o
CC
L
CCCC ∠=
∠
==∴Ω=
Z
V
IZ
 
V84,296,483530)81(04800 ooCCLLCCS, xj ∠=++∠=+= IZVV 
Sendo ZSC a impedância da carga sem o banco de capacitores, tem-se: 
Ω∠=
+
= oSC
j
jx
69,3313,133
240160
240160
Z
 
A69,3305,36
69,3313,133
04800 o
o
o
SC
L
SC −∠=∠
∠
==
Z
V
I
 
V51,277,499469,3305,36)81(04800 oooSCLLSCS, xj ∠=−∠++∠=+= IZVV 
%3,3
96,4835
96,483577,4994
100 =
−
=∆ xV% 
( c ) As perdas com e sem o banco de capacitores são, respectivamente: 
W900301
2 === xIRP 2CCLCC 
W6,129905,361
2 === xIRP 2SCLSC 
%4,44
900
9006,1299
100 =
−
=∆ xP% 
Chagas – DEE / UFCG 
38 
 
10.3 Capacitores em Série 
A instalação de capacitores em série com a carga, como é mostrado na Fig. 1.48, também 
causa aumento do fator de potência. Isto se explica pelo fato de que a instalação tem parte de 
sua reatância indutiva cancelada, aproximando-se de um circuito em condição de ressonância. 
 
Fig. 1.48. Banco de capacitores instalado em série com a carga. 
Os diagramas fasoriais da Fig. 1.49 ilustram as situações correspondentes ao banco de 
capacitores desligado (S fechada) e ao banco ligado (S aberta). 
 
Fig. 1.49. Diagramas fasoriais do circuito da Fig. 1.48 ( a ) S fechada; ( b ) S aberta. 
Observa-se que, com S aberta, cos φ’ > cos φ , e também que VS’ < VS (redução na queda de 
tensão ao longo da linha). Entretanto, a instalação de capacitores em série nunca é utilizada 
para correção de fator de potência. Isto se deve ao fato de que as cargas são ligadas em 
paralelo, sendo submetidas a tensões que devem variar dentro de faixas as mais estreitas 
possíveis. Com os capacitores em série, a carga sofre uma queda de tensão igual ao produto da 
corrente pela reatância capacitiva. Assim, a tensão na carga sofre significativas variações 
quando a corrente de carga do sistema varia. 
10.4 Consideração Final 
Deve ficar claro que todos os desenvolvimentos efetuados se relacionam ao regime senoidal, 
onde possíveis distorções nas formas de onda não são significativas. Em regime não senoidal, é 
necessário efetuar uma análise baseada em séries de Fourier. Nesse caso, problema da 
correção do fator de potência requer soluções mais elaboradas. 
Chagas – DEE / UFCG 
39 
 
Bibliografia 
[ 1 ] Desoer, C. A.; Kuh, E. S. Basic Circuit Theory, McGraw-Hill, 1969. 
[ 2 ] Dorf, , R. C. ; Svoboda, J. A. Introdução aos Circuitos Elétricos - 5ª ed., LTC, 2003. 
[ 3 ] Edminister, J. A. Circuitos Elétricos, Coleção Schaum, Makron - McGraw-Hill, 1991. 
[ 4 ] Hayt Jr., W. H. ; Kemmerly, J. C. Análise de Circuitos em Engenharia, McGraw-Hill do 
Brasil, 1975. 
[ 5 ] Irwin, J. D. Análise Básica de Circuitos para Engenharia, LTC, 2003. 
[ 6 ] Nilsson, J. W.; Riedel, S. Circuitos Elétricos, 5ª ed., Addison-Wesley, 1996.