mecflu_cap_4

Prévia do material em texto

Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
1 
 Equação da Energia e presença de uma 
máquina: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p g h p g h           
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
h h
g g      
 
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
p v p v
H h h H
g g        
 
 Se colocarmos uma máquina entre os pontos 
(1) e (2), escreveremos a relação como: 
 
1 2MH H H 
 
 Se 
2 1 0MH H H   
Motor; 
 Se 
2 1 0MH H H   
Turbina. 
 Vazões: 
 Definimos como: 
 Vazão em Peso: 
eso
g
P
Q
t


 
 Vazão em Massa: 
m
m
Q
t


 
 Vazão em Volume: 
V
Q
t



 
 Potência de uma máquina 
 A potência de uma máquina é definida como: 
m
t
E
P
t


 
 
m m eso
t
eso
E E P
P
t P t
  
 
 
m
eso
E
H
P

 
 Como: 
eso
t
P
P H
t
 

 
t
m g
P H
t

 

 
t
V g
P H
t
  
 

 
V
Q
t


 
g  
 
tP H Q  
 
 Rendimento de uma máquina: 
O Rendimento de uma máquina é definido quanto 
a sua natureza. 
 Se a máquina for um motor: 
B
B
eixoB
P
P
 
 
B B
eixoB eixoB
B B
P Q H
P P

 
 
  
 
 Se a máquina for uma turbina: 
T
T
fT
P
P
 
 
T T fT T T TP P P Q H         
 
A equação de Bernoulli, quando há uma 
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do 
fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da forma, 
considerando que há uma perda de carga Hp12 (Energia 
perdida por unidade de peso): 
h 
 
 h2 (2) 
 H2( p2,
2v

,h2) 
 
 
 M 
 
 H1( p1,
1v
 ,h1) 
 
 h1 (1) 
 
 
 
 
121 2M p
H H H H  
 
Se HM > 0  Bomba 
 
otP 
 
 
 
 
Bot
P
 
 
 
 
 Potência da Bomba e rendimento: 
B
ot
ot B B
ot
P
P QH
P
   
 
Se HM < 0  turbina 
 
otP 
 
 
 
 
 
 
Tot
P
 
 
 
 Potência da Turbina e rendimento: 
Tot
ot B T
ot
P
P QH
P
   
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
2 
 
 Equação da continuidade: 
1 2 1 1 2 2m m V V     
 
1 1 1 2 2 2v A v A 
 
Para fluidos incompressíveis: 
1 1 2 2v A v A
{2} 
 Equação de Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gy p gy
      
{3} 
1 2H H
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
Substituindo {2} em {3}, a velocidade é dada 
por: 
2
2
2
q
H O
p
v c



 
Com: 
2 4
1 1
2 2 4 4
1 2 1 2
q
A d
c
A A d d
 
 
 
A vazão será: 
1 1 2 2Q A v A v  
 
 Equação da energia para fluido real 
Nesse item será retirada a hipótese de fluido 
ideal; logo, serão considerados os atritos internos no 
escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de 
regime permanente, fluido incompressível, propriedades 
uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta 
última significa que não existe uma troca de calor 
provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar 
os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar 
que haverá uma perda de calor do fluido para o 
ambiente causada pêlos próprios atritos. Como será 
visto a seguir, a construção da equação da energia pode 
ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda 
de calor. 
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido 
fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8). 
 
 
 
 
 
 
Se, no entanto, houver atritos no transporte do 
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da 
energia, de forma que H1 > H2. 
Querendo restabelecer a igualdade, será 
necessário somar no segundo membro a energia dissi-
pada no transporte. 
121 2 p
H H H 
 
12p
H
: energia perdida entre (l) e (2) por unidade 
de peso do fluido. 
 
Como 
12 1 2p
H H H 
 e como H1 E H2 são 
chamados cargas totais, 
12p
H
 é denominado 'perda de 
carga'. 
Se for considerada também a presença de uma máquina 
entre (l) e (2), a equação da energia ficará: 
121 2M p
H H H H  
 
12
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
M p
v p v p
z H z H
g g
      
 
 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um 
fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a 
energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, 
a carga total a montante é sempre maior que a de jusante, 
desde que não haja máquina entre as duas. 
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente 
calculável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo 
da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por 
atrito poderá ser calculada por: 
12diss p
N QH 
 
 Exemplos: 
1. Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3) num 
reservatório cuja vazão é de 20 L/s. No mesmo 
reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro 
tubo com vazão de 10L/s. A mistura homogênea 
formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma 
área de 30 cm
2
. Determinar a massa específica da 
mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma. 
 
33
1 20 20 10
mL
s s
Q   
; 
33
2 10 10 10
mL
s s
Q   
 
mQ Q
 
33
1 2 3 3 20 10 30 30 10
mL
s s
Q Q Q Q        
 
1 2 3 1 2 3m m m a o mQ Q Q Q Q Q       
31000 0,02 800 0,01 0,03 933,33
kg
m m m
       
3933,33
kg
m m
 
 
3
4
30 10
10
30 10
m m
m m m m s
Q
Q Av v v
A



     

 
10 mm sv 
 
2. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área 
da maior seção do tubo a área vale 25 cm
2
, a densidade 
1,2 kg/m
3
 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor 
seção a área vale 5 cm
2
, a densidade 0,8 kg/m
3
. 
Determine na menor seção a velocidade e as vazões em 
massa, volume e em peso. 
v 
 
 
(1) (2) 
1 2
1 1 1
1 1 1 2 2 2 2
2 2
m m
Av
Q Q Av A v v
A
      
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
3 
2 2
1,2 25 10
75
0,8 5
m
s
v v
 
  

 
34
2 2 2 2 25 10 75 0.0375
m
s
Q A v Q Q      
 
2 2 2 2 20.8 0.0375 0.03
kg
m m m s
Q Q Q Q      
2 2 2 29.81 0.03 0.29
N
g m g g s
Q gQ Q Q     
 
 Equação da energia para fluido real 
Nesse item será retirada a hipótese de fluido 
ideal; logo, serão considerados os atritos internos no 
escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de 
regime permanente, fluido incompressível, propriedades 
uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta 
última significa que não existe uma troca de calor 
provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar 
os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar 
que haverá uma perda de calor do fluido para o 
ambiente causada pêlos próprios atritos. Como será 
visto a seguir, a construção da equação da energia pode 
ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda 
de calor. 
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido 
fosse perfeito.H1 = H2 . 
 
Se, no entanto, houver atritos no transporte do 
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da 
energia, de forma que H1 > H2. 
Querendo restabelecer a igualdade, será 
necessário somar no segundo membro a energia dissi-
pada no transporte. 
121 2 p
H H H 
 
12p
H
: energia perdida entre (l) e (2) por unidade 
de peso do fluido. 
Como 
12 1 2p
H H H 
 e como H1 E H2 são 
chamados cargas totais, 
12p
H
 é denominado 'perda de 
carga'. 
Se for considerada também a presença de uma 
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará: 
 
 
 
 
 
 
121 2M p
H H H H  
 
12
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
M p
v p v p
z H z H
g g
      
 
 
Da equação deve-se notar que, no escoamento de 
um fluido real entre duas seções onde não existe 
máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do 
escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre 
maior que a de jusante, desde que não haja máquina 
entre as duas. 
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente 
calculável raciocinando da mesma maneira que para o 
cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou 
perdida por atrito poderá ser calculada por: 
12diss p
N Q H    
 
Equação de Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gh p gh
      
 
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
p v p v
h h H H
g g       
 
h 
 
 h2 (2) 
 H2( p2,
2v

,h2) 
 
 
 M 
 
 H1( p1,
1v

,h1) 
 
 h1 (1) 
 
 
121 2M p
H H H H   
 Números Adimensionais 
 Número de Reynolds 
 Expressa a relação entre a força de inércia e a 
força de atrito. 
R
v
N
 


 
g
g

    
 
g

    
 
R R
v v
N N
g
g
   
  
 
 
 
Quanto maior o número de Reynolds, tanto maior 
a influência das forças de inércia e a sua diminuição 
corresponde um aumento das forças de viscosidade. 
 Número de Froude 
 Expressa a relação entre a força de inércia e a 
força de gravidade: 
2V
L
 
 

 
2V
L g
 

 
 Número de Weber 
 Relaciona a força devida a pressão e a força de 
inércia: 
2eu
p
E
V

 
 Número de Mach 
 Expressa a relação entre a raiz quadrada da 
força de inércia e a raiz quadrada da força relativa da 
compressibilidade do fluido: 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
4 
2
2ma
V
LM
V
C



 
ma
V
M
C

 
 C: velocidade do som. 
 Regimes de escoamento 
De acordo com o valor do número de 
Reynolds, o escoamento de um líquido pode ser 
classificado em 3 tipos, conforme mostra a experiência 
de Reynolds-Hagens. 
Na experiência, Reynolds-Hagens utilizaram 
um reservatório com água mantido à nível constante, 
alimentando um tubo transparente com uma válvula. 
Um líquido corante foi introduzido no tubo, vindo de 
um reservatório. 
Abrindo-se gradualmente a válvula, 
primeiramente a velocidade é baixa e o líquido corante 
se mantém em faixas, com a perda de carga sendo 
proporcional à velocidade (Δh α V). 
Nessas condições tem-se o regime laminar 
que se dá teoricamente para Re ≤ 2.000. 
Com o aumento da velocidade a perda de carga 
é proporcional ao quadrado da velocidade (Δh α V2) e o 
líquido corante começa a se ramificar, estabelecendo-se 
o regime dito de transição ou estado crítico que ocorre 
para: 
2.000 < Re ≤ 4.000 . 
Para velocidade altas o líquido corante mistura-
se completamente com a água, devido ao aumento da 
turbulência e a perda de carga é proporcional ao 
quadrado da velocidade (Δh α V2), estabelecendo o 
regime turbulento para Re > 4.000. 
 
 Fórmula fundamental para perda de carga 
 
A figura mostra um regime de escoamento 
permanente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli: 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
y y h
g g
      
 
 
1 2v v
 
1 2
2 1
p p
h y y

   

 
Para efeitos práticos, supõe-se que a energia 
consumida para vencer as resistências, que se opõem ao 
movimento é uma conseqüência do atrito do líquido 
contra as paredes do conduto. Admitindo-se que o 
líquido se deslize como um êmbolo dentro da tubulação, 
verifica-se que a perda de carga será proporcional à 
rugosidade das paredes do conduto. 
Considerando-se o prisma líquido entre as 
seções 1 e 2 , com seção transversal constante e igual a 
A e comprimento L, sobre ele estão agindo a gravidade e 
as pressões p1 e p2, nas referidas seções, sendo 
equilibradas pela resistência oferecida pela parede. 
Para se obter a equação geral da perda de carga, 
que é uma energia perdida por unidade de peso, basta 
escrever a equação de equilíbrio das forças que agem no 
prisma líquido. 
1 2
1 2
p p R X L
h y y
A
   
      
    
 
R: Tensão de atrito (N/m
2
). 
X: perímetro. 
A: área. 
L: comprimento. 
Verificou-se que a relação R/ é função da 
velocidade. Assim: 
2R b v 

 
B: coeficiente experimental que depende da 
rugosidade e tem origem no atrito. Também se constatou 
que: 
8
f
b
g

 
 f: coeficiente de atrito. 
 Assim: 
2
8
R X L f v X L
h
A g A
    
  
    
 
A relação entre a área molhada de um conduto 
e o seu perímetro é conhecida como raio hidráulico 
(Rh). Assim para um conduto forçado e circular, tem-se: 
h
A
R
P

 
4
hR


 
 A: área molhada; P : perímetro molhado. 
 : diâmetro hidráulico. 
 Assim: 
2 4
8
f v L
h
g
  
 
  
 Assim: 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
5 
2
2
L v
h f
g
   

 
,Rf f N
K
 
  
 
 
O valor do coeficiente de atrito f , nas fórmulas 
de perda de carga, é dado por expressões que o 
relacionam com a rugosidade da parede, com as 
propriedades do líquido e as dimensões do conduto, 
através do número de Reynolds. 
Para a determinação do coeficiente de atrito, 
podem ser utilizadas as fórmulas de: Prandtl; Blasius; 
Moody; Coolebrook e Nikuradse. 
Rugosidade ou aspereza, da parede interna de 
conduto, pode ser determinada através de um aparelho 
denominado rugosímetro, que mede a altura média das 
asperezas da parede interna do tubo, representada pela 
letra ― e ‖. 
 Experiência de Nikuradse: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
g
g

    
 
R
v
N
g
  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nikuradse realizou uma experiência que visou 
determinar como a função f variava para condutos com 
rugosidade uniforme. Fixou valores de , L DH,  e  no 
dispositivo indicado e, para diversas aberturas da válvula 
(diferentes velocidades) encontrou os valores de p1 e p2 
indicados. 
 Efetuada a experiência, construiu um gráfico de 
f em função do número de Reynolds e da razão: 
HD
K



 
,Rf f N
K
 
  
 Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
A fórmula geral da perda de carga foi deduzida, 
supondo que o prisma líquido se deslocasse no interior 
do conduto, com velocidade v, atritando com as paredes 
do mesmo. Essa hipótese não é verdadeira, porque junto 
à parede do conduto forma-se uma película aderente e 
imóvel de líquido. Assim o líquido que está em 
movimento, não está em contato direto com a parede do 
conduto, mas com uma camada de líquido estacionária, 
que é denominada camada limite ou laminar ou 
lamelar ou de Prandtl. 
Dessa maneira, os esforços tangenciais se 
originam pelo atrito entre duas camadas de líquido, uma 
estacionária e aderente a parede do conduto e outra em 
movimento. Segundo Prandtl, a espessura da camada 
limite, δ é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32.8
RN f

 

 
 
 Classificação dos condutos segundo a 
camada limite: 
Comparando a rugosidade e com a 
espessura da camada limite δ, um conduto pode ser 
classificado em: liso, de transição ou rugoso. Portanto 
um mesmo conduto, dependendo das condições de 
escoamento, pode ser classificado como liso, de 
transição ou rugoso. 
 
 Cálculo do coeficiente de atrito f para: 
 
A espessura da camada limite é tal, que a 
rugosidade do tubo não tem influência na determinação 
do coeficiente de atrito, que passa a ser função do 
número de Reynolds. 
3
e


 
 Condutos lisos: 
 
 Fórmula de Blasius 
100000RN 
 
0.250.316 Rf N
 
 
 Fórmula de Prandtl 
 1 2 log 0.8RN f
f
   
 
 Fórmula de Nikuradse 
0.2370.0032 0.0021 Rf N
  
 
 
 Condutos de transição 
A espessura da camada limite é tal, que o 
coeficiente de atrito é função da rugosidade e donúmero 
de Reynolds. 
 8
3
e

  
 
 Fórmula de Moody 
1
6 320000 10
0.0055 1
R
e
f
N
 
         
 
 Fórmula de Coolebrook 
1 2 18.7
1.74 2 log
R
e
f N f
 
       
 
 
 Condutos rugosos 
A espessura da camada limite é tal, que o 
coeficiente de atrito é função somente da rugosidade 
relativa. 
 
 8e  
 
 
 Fórmula de Nikuradse 
2
1
2
1.74 2 ln
f
e

 
  
 
 
 
 Fórmulas para cálculo da perda de carga 
 
 Perda de carga distribuída: Δhd 
A perda de carga distribuída é a que ocorre ao longo 
do escoamento, na extensão do tubo. 
 
 Regime laminar: 
2000RN 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
7 
O regime laminar ou de Poiseuille, é 
característico de escoamento com baixa velocidade, 
pequenos diâmetros e líquidos muito densos. 
Segundo Poiseuille: 
2
32
d
v L
h
 
 
 
 
2
2
64
2
d
v L
h
g
  
 
  
 
264
d
R
L v
h
N g
   

 
64
R
f
N

 
2
d
L v
h f
g
   

 
 Regime turbulento:
 4000RN 
 
O regime turbulento ou hidráulico é característico 
de escoamento com velocidades médias e altas, grandes 
diâmetros e líquidos com baixa viscosidade. É o tipo de 
escoamento que mais ocorre. 
 Fórmula geral para perda de carga 
hv C R J  
 
J: perda de carga unitária (m/m). 
C: coeficiente de perda de carga. 
v: velocidade (m/s). 
Rh: raio hidráulico (m). 
 Fórmula universal: 
2
d
L v
h f
g
   

 
 Fórmula de Darcy 
Válida para tubulação de FoFo (Ferro Fundido) e 
0,05m ≤  ≤ 0,50m. 
24 b v
J
 


 
b

 

 
Tubos Novos Usados 
 0,0002535 
 
0,000507 
 
 0,00000647 
 
0,00001294 
 
 
 Fórmula de Flamant 
A fórmula de Flamant foi muito utilizada, 
devido a sua praticidade. Atualmente é utilizada para o 
cálculo de condutos de pequeno diâmetro (φ ≤ 100 mm), 
principalmente para tubos de PVC em instalações 
domiciliares. 
1.75 1.95
1 21.25 4.75
v Q
J b J b    
 
 
J: Perda de carga unitária (m/m). 
Q: vazão (m³/s). 
v: velocidade (m/s). 
: diâmetro da tubulação (m). 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de 
condutos 
b1 b2 
Ferro Fundido 
ou aço 
galvanizado em 
uso 
0,00092 0,0014 
Chumbo 0,00056 a 0,00062 0,00086 a 0,00095 
Ferro Fundido 
ou aço 
galvanizado 
novos 
0,00074 0,00113 
 
 Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao 
Utilizada para cálculo de condutos de pequeno 
diâmetro, nas instalações domiciliares (φ ≤ 50 mm). 
Para tubos de aço ou ferro galvanizado, 
conduzindo água fria: 
1.88
4.88
0.002021
Q
J 

 
Para tubos de cobre ou latão: 
2.71 0.5755.934Q J  
 
(água fria) 
2.71 0.5763.281Q J  
 
(água quente) 
 
 Fórmula de Hazen-Williams 
Válida para tubulações com φ ≥ 50 mm. 
0.63 0.540.355v C J   
 
1.852 1.852 4.8710.643J Q C    
 
2.63 0.540.2785Q J  
 φ: diâmetro da tubulação (m) 
v: velocidade de escoamento (m/s) 
Q: vazão (m
3
/s) 
J: perda de carga unitária (m/m) 
C: coeficiente de Hazen-Williams; tabelado em 
função do tipo e do estado da tubulação 
 
 Perda de carga localizada ou acidental: hL 
 
Ocorre perda de carga localizada ou acidental, 
devido à peças especiais, que são introduzidas nas 
instalações hidráulicas, com os seguintes objetivos: 
- mudança de direção de escoamento (curva ou 
cotovelo) 
- derivações (tê) 
- cruzamentos de tubulações (cruzetas) 
- mudanças de diâmetro (ampliação ou redução) 
- entrada e saída de reservatório 
- bloqueio e ou controle de vazão (válvula) 
- outras 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
8 
A perda de carga localizada pode ser calculada por 
dois métodos: 
 Fórmula geral da perda de carga localizada 
 As perdas de carga singulares ocorrem quando 
há perturbações bruscas (válvulas, cotovelos, etc.) no 
escoamento do fluido e são calculadas por expressões 
que envolvem análise dimensional, dadas por: 
2
2
L s
v
h K
g
  
 
 ΔhL: perda de carga localizada (m). 
Ks: coeficiente de perda de carga localizada 
(tabelado em função da geometria da peça). 
v: velocidade de escoamento (m/s). 
g: aceleração da gravidade (9,81 m/s
2
). 
 
Singularidade Esquema Ks 
 
 
Alargamento 
 
 
1
2
1
A
A

 
 
 
Caso limite 
 
 
1
 
 
 
Estreitamento 
 
 
 
1
2
A
A

 
 
 
 
 
 
Caso Limite 
 
 
0.5
 
 
 
Cotovelo a 90° 
 
 
0.9
 
 
 
Válvula de 
gaveta 
 
 
0.2
 
Totalmente aberta 
 
 
Válvula tipo 
globo 
 
 
10
 
Totalmente aberta 
 
Válvula de 
retenção 
 
 
0.5
 
 
 Rugosidade dos tubos 
Material Tubos novos e(m) Tubos usados 
e(m) 
Aço galvanizado 0,00015 à 0,00020 0,0046 
Aço rebitado 0,0010 à 0,0030 0,0060 
Aço revestido 0,0004 0,0005 à 0,0012 
Aço soldado 0,00004 à 0,00006 0,0024 
Concreto bem 
acabado 
0,0003 à 0,0010 - 
Concreto ordinário 0,0010 à 0,0020 - 
Ferro fundido 0,00025 à 0,00050 0,003 à 0,0050 
Ferro fundido com 
revestimento 
asfáltico 
0,00012 0,0021 
 
Fonte: Manual de Hidráulica, Azevedo Netto 
Tabela - Valores aproximados do coeficiente K de perda localizada 
 
Peça K Peça K 
Ampliação 
gradual 
0,30 (*) Junção 0,40Bocais 2,75 Medidor 
Venturi 
2,50 (**) 
Comporta 
aberta 
1,00 Redução 
gradual 
0,15 (*) 
Controlador de 
vazão 
2,50 Válvula de 
ângulo aberta 
5,00 
Cotovelo 90º 0,90 Válvula globo 
aberta 
10,00 
Cotovelo 45º 0,40 Saída de 
canalização 
1,00 
Crivo 0,75 Tê passagem 
direta 
0,60 
Curva 90º 0,40 Tê saída lateral 1,30 
Curva 45º 0,20 Tê saída 
bilateral 
1,80 
Curva 22 1/2º 0,10 Válvula de pé 1,75 
Entrada normal 
em canalização 
0,50 Válvula de 
retenção 
2,50 
Entrada de 
borda 
1,00 Válvula gaveta 
aberta 
0,20 
Existência de 
pequena 
derivação 
0,03 
* Com base na velocidade maior (menor diâmetro) 
** Relativa à velocidade na canalização 
Fonte: Manual de Hidráulica, Azevedo Netto 
 
 Detalhes das válvulas 
 
 Válvula Gaveta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Válvula Globo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Válvula de retenção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
9 
 
 
 Método do comprimento equivalente ou virtual: 
Leq 
 
Consiste em transformar uma peça inserida em uma 
instalação hidráulica, para efeito de cálculo, em um 
comprimento de tubulação retilínea de mesmo diâmetro 
e material da peça, de tal maneira que provoque a 
mesma perda de carga que a peça provoca. Esse 
comprimento é denominado comprimento equivalente 
(Leq) e é tabelado em função do diâmetro, do material e 
da peça. Obtém-se o comprimento equivalente da 
seguinte maneira: 
2
2
L s
v
h K
g
  
 
2
2
eq
L
L v
h f
g
   

 
s
eq
K
L
f


 
 
 
 
 
Peça 
Comprimentos 
equivalentes 
expressos em 
número de 
diâmetro 
Ampliação gradual 12 
Cotovelo 90º 45 
Cotovelo 45º 20 
Curva 90º 30 
Curva 45º 15 
Entrada normal 17 
Entrada de borda 35 
Junção 30 
Redução gradual 6 
Válvula gaveta aberta 8 
Válvula globo aberta 350 
Válvula ângulo aberta 170 
Saída de canalização 35 
Tê passagem direta 20 
Tê saída lateral 50 
Tê saída bilateral 65 
Válvula de pé e crivo 250 
Válvula de retenção 100 
 
Fonte: Manual de Hidráulica, Azevedo Netto 
 
 Perda de carga total 
 A perda de carga total será a soma das perdas 
de cargas distribuídas e localizadas: 
T d Lh h h  
 
 Instalações de racalque 
É o conjunto de equipamentos que permite o 
transporte e o controle do fluido. Compreende, em 
geral, um reservatório, tubos, singularidades, máquina e 
um reservatório de descarga. 
A tubulação vai desde o reservatório de tomada 
até a maquina é denominada tubulação de sucção. 
Geralmente contém uma válvula de pé com crivo na 
entrada (válvula de retenção com filtro), objetivando 
obstruir detritos na máquina e não permitindo o retorno 
do fluido ao desligar a bomba. 
 A tubulação que liga o reservatório de descarga 
chama-se tubulação de recalque e contém uma válvula 
de retenção e um registro para o controle da vazão. 
 O objetivo dessas instalações é a seleção e a 
determinação da potência da máquina hidráulica 
instalada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
10 
 
Diâmetro 
(mm) 
Cotovelo 
90° RL 
Cotovelo 
90° RM 
Cotovelo 
90° RC 
Cotovelo 
45° 
Curva 
90° 
RD = 1 1/2 
Curva 
90° 
RD = 1 
Curva 
45° 
 
Entrada 
Normal 
Entrada 
de borda 
Válvula 
Gaveta 
aberta 
13 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,4 0,1 
19 0,4 0,6 0,7 0,3 0,3 0,4 0,2 0,2 0,5 0,1 
25 0,5 0,7 0,8 0,4 0,3 0,5 0,2 0,3 0,7 0,2 
32 0,7 0,9 1,1 0,5 0,4 0,6 0,3 0,4 0,9 0,2 
38 0,9 1,1 1,3 0,6 0,5 0,7 0,3 0,5 1,0 0,3 
50 1,1 1,4 1,7 0,8 0,6 0,9 0,4 0,7 1,5 0,4 
63 1,3 1,7 2,0 0,9 0,8 1,0 0,5 0,9 1,9 0,4 
75 1,6 2,1 2,5 1,2 1,0 1,3 0,6 1,1 2,2 0,5 
100 2,1 2,8 3,4 1,5 1,3 1,6 0,7 1,6 3,2 0,7 
125 2,7 3,7 4,2 1,9 1,6 2,1 0,9 2,0 4,0 0,9 
150 3,4 4,3 4,9 2,3 1,9 2,5 1,1 2,5 5,0 1,1 
200 4,3 5,5 6,4 3,0 2,4 3,3 1,5 3,5 6,0 1,4 
250 5,5 6,7 7,9 3,8 3,0 4,1 1,8 4,5 7,5 1,7 
300 6,1 7,9 9,5 4,6 3,6 4,8 2,2 5,5 9,0 2,1 
350 7,3 9,5 10,5 5,3 4,4 5,4 2,5 6,2 11,0 2,4 
 
Diâmetro 
(mm) 
Válvula 
Globo 
aberta 
Válvula 
ângulo 
aberta 
Tê 
passagem 
direta 
Tê saída 
lateral 
Tê saída 
bilateral 
Válvula 
de pé e 
crivo 
Saída da 
canalização 
Válvula 
de 
retenção 
tipo leve 
Válvula 
de 
retenção 
tipo 
pesado 
13 4,9 2,6 0,3 1,0 1,0 3,6 0,4 1,1 1,6 
19 6,7 3,6 0,4 1,4 1,4 5,6 0,5 1,6 2,4 
25 8,2 4,6 0,5 1,7 1,7 7,3 0,7 2,1 3,2 
32 11,3 5,6 0,7 2,3 2,3 10,0 0,9 2,7 4,0 
38 13,4 6,7 0,9 2,8 2,8 11,6 1,0 3,2 4,8 
50 17,4 8,5 1,1 3,5 3,5 14,0 1,5 4,2 6,4 
63 21,0 10,0 1,3 4,3 4,3 17,0 1,9 5,2 8,1 
75 26,0 13,0 1,6 5,2 5,2 20,0 2,2 6,3 9,7 
100 34,0 17,0 2,1 6,7 6,7 23,0 3,2 8,4 12,9 
125 43,0 21,0 2,7 8,4 8,4 30,0 4,0 10,4 16,1 
150 51,0 26,0 3,4 10,0 10,0 39,0 5,0 12,5 19,3 
200 67,0 34,0 4,3 13,0 13,0 52,0 6,0 16,0 25,0 
250 85,0 43,0 5,5 16,0 16,0 65,0 7,5 20,0 32,0 
300 102,0 51,0 6,1 19,0 19,0 78,0 9,0 24,0 38,0 
350 120,0 60,0 7,3 22,0 22,0 90,0 11,0 28,0 45,0 
Fonte: Hidráulica Geral, Paschoal Silvestre;Obs.: RL = Raio Longo RM = Raio Médio RC = Raio Curto 
Diâmet
ro mm 
Joelho 
90º 
Joelho 
45º 
Curva 
90º 
Curva 
45º 
Tê 90º 
passagem 
direta 
Tê 90º 
saída 
lateral 
Tê 90º 
saída 
bilateral 
Entrada 
normal 
Entrada 
de 
borda 
Saída da 
canalizaçã
o 
20 1,1 0,4 0,4 0,2 0,7 2,3 2,3 0,3 0,9 0,8 
25 1,2 0,5 0,5 0,3 0,8 2,4 2,4 0,4 1,0 0,9 
32 1,5 0,7 0,6 0,4 0,9 3,1 3,1 0,5 1,2 1,3 
40 2,0 1,0 0,7 0,5 1,5 4,6 4,6 0,6 1,8 1,4 
50 3,2 1,3 1,2 0,6 2,2 7,3 7,3 1,0 2,3 3,2 
60 3,4 1,5 1,3 0,7 2,3 7,6 7,6 1,5 2,8 3,3 
75 3,7 1,7 1,4 0,8 2,4 7,8 7,8 1,6 3,3 3,5 
85 3,9 1,8 1,5 0,9 2,5 8,0 8,0 2,0 3,7 3,7 
110 4,3 1,9 1,6 1,0 2,6 8,3 8,3 2,2 4,0 3,9 
140 4,9 2,4 1,9 1,1 3,3 10,0 10,0 2,5 5,0 4,9 
160 5,4 2,6 2,1 1,2 3,8 11,1 11,1 2,8 5,6 5,6 
Fonte: Hidráulica Geral, Paschoal Silvestre 
Diâmetro 
externo mm 
Válvula de pé e 
crivo 
Válvula de 
retenção tipo 
leve 
Válvula de 
retenção tipo 
pesado 
Válvula globo 
aberta 
Válvula gaveta 
aberta 
Válvula ângulo 
aberta 
20 8,1 2,6 3,6 11,1 0,1 5,9 
25 9,5 2,7 4,1 11,4 0,2 6,1 
32 13,3 3,8 5,8 15,0 0,3 8,4 
40 15,5 4,9 7,4 22,0 0,4 10,5 
50 18,3 6,8 9,1 35,8 0,7 17,0 
60 23,7 7,1 10,8 37,9 0,8 18,5 
75 26,0 8,2 12,5 39,0 0,9 19,0 
85 26,8 9,3 14,2 40,0 0,9 20,0 
110 28,6 10,4 16,0 42,3 1,0 22,1 
140 37,4 12,5 19,2 50,9 1,1 26,2 
160 43,4 13,9 21,4 56,7 1,2 28,9 
Fonte: Hidráulica Geral, Paschoal Silvestre 
 
 
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
11 
 Exemplos: 
l. Na instalação da figura, verificar se a máquina 
é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua 
potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se 
que a pressão indicada por um manômetro instalado na 
seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção 
dos tubos é l0 cm
2
 e a perda de carga entre as seções (l) 
e (4) é 2 m. 
Não é dado o sentido do escoamento, 
2
4 310H O N m 
; g = 10 m/s2
. 
 
 Solução 
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o 
nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna 
do tubo, já que nesta não se conhece a pressão. 
Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido 
das cargas decrescentes, num trecho onde não existe 
máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as 
cargas nas seções (l) e (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 1
1 1 0 0 24 24
2
v p
H z m
g
      

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 
3
2 4
10 10
10
10 10
Q
v m s
A



  

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 2 6
2 4
10 0,16 10
4 25
2 10 10
H m

   

 
 Como H2> H1, conclui-se que o escoamento 
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, 
sendo a máquina, portanto, uma bomba. 
Aplicando-se a equação da energia entre as seções 
(4) e (1), que compreendem a bomba. 
Lembrar que a equação deve ser escrita 
no sentido do escoamento. 
144 1B p
H H H H  
 
2
4 4
4 4
2
v p
H z
g
  

 
1 24H m
 
4 0H 
14
2pH 
 
141 4
24 0 2 26B pH H H H      
 
4 310 10 10 26
3470 3,47
0,75B
B
ot
B
QH
P W kW
   
   

 
2. No escoamento lamelar de um fluido em 
condutos circulares, o diagrama de velocidades é 
representado pela equação: 
 
2
max 1
r
v r v
R
  
    
   
 
onde vmax é a velocidade no eixo do conduto, R é 
o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual a 
velocidade v é genérica. Sendo vm a velocidade média: 
 
0
1
2
R
mv v r dA dA r dr
A
     
A figura mostra a variação de v(r) com r. 
 
 
 
 
 
 (a) Encontre a velocidade média:  
A
A
v r dA
v
dA



 
 (b) Mostre que: 
max
1
2
mv
v

 
3. No escoamento turbulento de um fluido em 
condutos circulares, o diagrama de velocidades é dado 
pela equação: 
 
1 7
max 1
r
v r v
R
 
   
 
 
Mostre que: 
max
49
60
mv
v

 
4. Na instalação da figura, a máquina é uma 
bomba e o fluido é água. A bomba tem uma potência de 
5 kW e seu rendimento é 80 %. A água é descarregada à 
atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja 
área de seção é 10 cm
2
 Determinar a perda de carga do 
fluido entre (1) e (1) e a potência dissipada ao longo da 
tubulação. Dados: H2O=10
4
N/m
3
; g = 10m/s
2
. 
 
 
 (1) 
 
 
5m 
 (2) 
 B 
 
 
 Solução: 
121 2B p
H H H H  
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
12 
2
1 1
1 1 10 0 5 5
2
v p
H z H m
g
       

2 2
2 2
2 2
5
0 0
2 2 10
v p
H z
g
     
 
 
2 1.25H m
 
B
B
B
Q H
P
  

 
B B B B
B B
P P
H Q v A H
Q v A
   
     
    
3
4 4
0.8 5 10
10 5 10 10
BH 
 

   
80BH m
 
121 2B p
H H H H  
 
12 1 2p B
H H H H  
 
12
5 1.25 80pH   
 
12
83.75pH m
 
1,2diss p
P Q H  
 
410 5 10 83.75dissP    
 
4190dissP W
 
4.19dissP kW
 
 
5. A equação de Bernoulli, quando há uma 
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do 
fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da forma, 
considerando que há uma perda de carga Hp12 (Energia 
perdida por unidade de peso) de 3m : 
 
h 
 
 h2 (2) 
 H2( p2,
2v

,h2) 
 
 
 M 
 
 H1( p1,
1v
 ,h1) 
 
 h1 (1) 
 
 
 
 
121 2M p
H H H H  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se HM > 0  Bomba 
 
otP 
 
 
 
 
Bot
P
 
 
 
 
 Potência da Bomba e rendimento: 
B
ot
ot B B
ot
P
P QH
P
   
 
Se HM < 0  turbina 
 
otP 
 
 
 
 
 
Tot
P
 
 
 
 Potência da Turbina e rendimento: 
Tot
ot B T
ot
P
P QH
P
   
 
Considere que não há perda de carga (Hp12=0) 
na figura abaixo: 
 (1) (2) 
 
 
 24 m 
 5 m 
 
 
 Considere o reservatório grande fornecendo 
água para o tanque a 10L/s. Verifique se a máquina 
instalada é bomba ou turbina e determine sua potência, 
se o seu rendimento é de 75%. Supor fluido ideal. 
Dados: Atubos = 10 cm
2
; g = 10m/s
2
; a=10
4
N/m
3
. 
 
6. Na instalação da figura, verificar se a máquina 
é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua 
potência, sabendo que seu rendimento é 70%. Sabe-se 
que a pressão indicada por um manômetro instalado na 
seção (2) é 0,17 MPa, a vazão é l2 L/s, a área da seção 
dos tubos é l0 cm
2
 e a perda de carga entre as seções (l) 
e (4) é 2 m. 
Não é dado o sentido do escoamento: 
2
4 310H O N m 
; g = 10 m/s
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
13 
 Solução: 
2
1 1
1 1 0 0 24 24
2
v p
H z m
g
      

 
3
2 4
12 10
12
10 10
Q
v m s
A



  

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 2 6
2 4
12 0,17 10
4 27.2
2 10 10
H m

   

 
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá 
o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a 
máquina, portanto, uma bomba. 
Aplicando-se a equação da energia entre as seções 
(4) e (1), que compreendem a bomba. 
Lembrar que a equação deve ser escrita 
no sentido do escoamento. 
144 1B p
H H H H  
 
2
4 4
4 4
2
v p
H z
g
  

 
1 24H m
 
4 0H 
14
2pH 
 
141 4
24 0 2 26B pH H H H      
 
4 310 12 10 26
4457.14 4.457
0,70B
B
ot
B
QH
P W kW
   
   

 
7. Quais são as vazões de óleo em massa e em peso 
do tubo convergente da figura, para elevar uma coluna 
de 20 cm de óleo no ponto (0)? 
 
 80 mm 40 mm 
 
 20 cm 
 
 
 
 
 
 
(0) (1) 
 Solução: 
2 2
0 0 1 1
0 1
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
0 0.2
p


 
22
0 01
2 2
v pv
g g
 

 
2 2
1 0 0.2 20v v  
 
2 2
1 0 4v v 
 
0 0 1 1A v A v  
 
2 2
0 1
0 1
4 4
D D
v v
 
  
 
2 2
0 1 1 0
80 40
4
4 4
v v v v
 
    
 
2 2
0 0 016 4 0.52
m
v v v
s
   
 
2
0 0
4
Q D v

 
 
20.08 0.52
4
Q

 
 
3
0.0026 2.6
m l
Q Q
s s
  
 
mQ Q
 
mQ Q
g

 
 
8000
0.0026
10
mQ  
 
2.1m
kg
Q
s

 
g mQ g Q 
 
21gQ N s
 
 
8. Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, 
acha-se instalado um bocal que lança um jato de água na 
atmosfera comdiâmetro de 2 cm. O manômetro 
metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobe 
no tubo de Pitot até a altura de 2.5 m. Nessas condições, 
determinar: 
(a) A vazão em peso do escoamento. 
(b) O diâmetro D do tubo admitindo escoamento 
permanente e sem atrito. a = 10 N/L 
 
 
 
 
 D 
 (1) (2) 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
(a) 
2
2
2 22 7.07
2
m
s
v
h v g h v
g
      
 
2
2 2
4
gQ D v

   
 
4 210 0.02 7.07
4
gQ

  
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
14 
22.2g
N
Q
s

 
(b) 2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
2 2
1 2 1
2 2
v v p
g g
 
 
2 2 3
1
14
7.07 20 10
3.16
2 2 10 10
m
s
v
v
g

   

 
2 2
1 2
1 2
4 4
D D
v v
 
  
 
2
1 2
1
v
D D
v
 
 
1 3D cm
 
 
9. Um dos métodos para se produzir vácuo numa 
câmara é descarregar água por um tubo convergente-
divergente, como é mostrado na figura. Qual deve ser a 
vazão em massa de água pelo convergente-divergente 
para produzir uma depressão de 22 cm de mercúrio na 
câmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga. 
2
4
3
10H O
N
m
 
; 
5
3
1.36 10Hg
N
m
  
 
2
10
m
g
s

 
1 72D mm 2 36D mm
 
 Câmara 
patm 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) (2) 
 
 
 Solução: 
5
2 2 1.36 10 0.22Hgp h p      
 
2 29920p Pa 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
 
2 2 2
2 1 2
p
v v g  

 
2 2
2 1 4
29920
20
10
v v

  
 
2 2
2 1 59.84v v 
 
1 1 2 2A v A v  
 
2 2
1 2
1 2
4 4
D D
v v
 
  
 
2 14v v
 
1 2
m
s
v 
 
mQ Q
g

 
 
1 1mQ A v
g

  
 
2
1
1
4
m
D
Q v
g

  
 
4 210 0.072
2
10 4
mQ

  
 
8.14
kg
m s
Q 
 
 
10. Desprezando os atritos do pistão da figura, 
determinar: 
 
(a) a potência da bomba em kW se seu rendimento 
for 80%. 
 (b) a força que o pistão pode equilibrar a haste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H2O 
 
 Dados: A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 10 cm
2
 
 AG = 8 cm
2
; Ap = 20 cm
2
; AH = 10 cm
2
 
 Hp1,2 = Hp1,4 = 0.5 m; Hp4,5 = 0. 
 
 Solução: 
(a) 
1,6
22
6 61 1
1 6
2 2
B p
v pv p
z H z H
g g
      
 
 
1,6
2
6
1
2
B p
v
z H H
g
  
 
1,6
2
6
1
2
B p
v
H H z
g
  
 
210
2 4
20
BH   
 
3BH m
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
15 
6 6Q A v 
 
410 10 10Q   
 
3
0.01
m
Q
s

 
B
B
B
Q H
P
  


 
410 0.01 3
0.80
BP
 

 
375BP W
 
(b) 
 4 p G p Hp A p A A F    
 
 4 p G p HF p A p A A    
 
4,6
22
6 64 4
4 6
2 2
p
v pv p
z z H
g g
     
 
 
4,6 4,6
4
4p p
p
H p H    

 
4 4
4 410 1 10p p Pa   
 
22
4 4
4
2 2
G G
G
v pv p
z z
g g
    
 
 
2 2
44
2
G Gp v vp
g

 
 
 
 
G G G
G
Q
Q A v v
A
   
 
4
0.01
8 10
Gv  
 
12.5G
m
v
s

 
2 2
44
2
G Gp v vp
g

 
 
 
4 2 2
4 4
10 10 12.5
10 10 20
Gp  
 
41.81 10Gp Pa  
 
 4 p G p HF p A p A A    
 
   4 4 4 4 410 20 10 1.81 10 20 10 10 10F            
38.1F N
 
 
11. Sabendo que a potência da bomba é 3 kW, seu 
rendimento é 75 % e que o escoamento é de (1) para (2), 
determinar: 
 (a) a vazão. 
 (b) a carga manométrica da bomba. 
 (c) a pressão do gás. 
 Dados: 
 3A5 = A4 = 100 cm
2
 
 Hp1,2 = Hp5,6 = 1.5 m; Hp1,4 = 0.7m. 
2
4
3
10H O
N
m
 
 
 
 Gás 
 (6) 
 4m 
 (2) (3) (4) (5) 
 
 B 
 2m 
 h = 0.8m 
 (1) 
 F =1.2.10
5N/m3 
 
  
 (H2O) 
 
 
 Solução: 
(a) 
22
5 54 4
4 5
2 2
v pv p
z z
g g
    
 
 
2 2 4 5
5 4 2
p p
v v g

 

 
Equação manométrica: 
 4 5 Fp p h    
 
 5 44 5 1.2 10 10 0.8p p    
 
4
4 5 8.8 10p p Pa  
 
4
2 2
5 4 4
8.8 10
2 10
10
v v

  
 
2 2
5 4 176v v 
 
4 4 5 5A v A v  
 
5 4 5 53 A v A v   
 
5 43v v 
 
 
2 2 2 2
4 4 4 43 176 9 176v v v v    
 
4 4
176
4.7
8
m
v v
s
  
 
4
4 4 4 4 100 10 4.7Q A v Q
     
 
3
4 0.047
m
Q
s

 
 (b) 
B
B
B
Q H
P
  


 
B B
B
P
H
Q


  
3
4
3 10 0.75
10 0.047
BH
 


 
4.8BH m
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
16 
 (c) 
1,6
22
6 61 1
1 6
2 2
B p
v pv p
z H z H
g g
      
 
 
1,6 1,6
6 6
6 6B p B p
p p
H z H H z H      
 
 
1,6 1,6
6 6
6 6B p B p
p p
H z H H z H      
 
 
1,66 6B p
p H z H   
 
1,6 1,2 3,4 5,6p p p p
H H H H  
 
1,6
1.5 1.5 0.7pH   
 
1,6
3.7pH m
 
 46 10 4.8 6 3.7p    
 
4
6 4.9 10p Pa  
 
4
6 4.9 10p Pa  
 
6 49p kPa
 
12. Dado o dispositivo, calcule a vazão de 
escoamento de água no conduto. 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
2 2
1 2 2 1
2
p p v v
g
 


 
 1 2 mp p h     
 
 4 41 2 6 10 1 10 0.2p p     
 
2
1 2 1 10p p Pa  
 
2 2
1 2 2 1
2
p p v v
g
 


 
1p h
   
 
4
1 3.8 10p Pa
  
 
2
1 2 1 10p p Pa   
2 20p kPa
 
3 2
1 20 10 1 10p     
1 20100p Pa 
1
2 p
v



 
1 1 2 2A v A v   
 
13. Determinar a perda de carga por km de 
comprimento de uma tubulação de aço de seção circular 
de diâmetro 45 cm. O fluido é óleo com viscosidade 
cinemática  = 1.06.10-5 m²/s e a vazão é 190 L/s. 
 
 Solução: 
 
Tubulação de aço: k = 4.6.10
-5
m. 
D = DH = 0.45m 
Q
Q A v v
A
   
 
3
2
4 4 190 10
0.45
Q
v
D
 
 
 
 
1.19
m
v
s

 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
R
v
N
g
  

 
H
R
v D
N


 
5
1.19 0.45
1.06 10
RN 



 
45 10RN  
 
2
2
f
H
L v
h f
D g
  
 
 Tubulação de aço: 
K = 4.6.10
-5
m
 
 450.45104.6 10K K
 
  

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
4 45 10 , 10Rf f N
K
 
    
 
 
0.021f 
 
21000 1.19
0.021
0.45 2 10
fh   

 
3.3fh m
 
 14. Calcular a vazão num conduto de ferro 
fundido, sendo dados D = 10 cm,  = 0.7.10-6 m²/s e 
sabendo que os dois manômetros instalados a uma 
distância de 10m indicam, respectivamente, 0.15MPa e 
0.145 MPa. Dado: a = 10
4
N/m³. 
 p1 p2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) L = 10 m (2) 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
17 
 Solução: 
1 2
1,2
p p
h

 

 
  6
1,2 1,24
0.15 0.145 10
0.5
10
h h m
 
   
 
2
2
L
H
L v
h f
D g
   
 
2 L Hg h Dv
f L
  

 
2
2 L Hg h Df
v L
  


 
 Nota-se que o valor de f é função de: 
, HR
D
f f N f
K
 
  
 
 
Calculando: 
RN f
 
H
R
v D
N



 
2
2H L H
R
v D g h D
N f
v L
   
 
 
2H L H
R
D g h D
N f
L
  


 
6
0.1 2 10 0.5 0.1
0.7 10 10
RN f 
  


 
44.5 10RN f  
 
4
0.1
385
2.59 10
H H HD D D
K 
   
  
 
44.5 10 , 385HR
D
f f N f
K
 
    
 
 
44.5 10 , 385 0.027HR
D
f f N f
K
 
     
 
 
2 L Hg h Dv
f L
  


 
2 10 0.5 0.1
1.92
0.027 10
m
v v
s
  
  

 
 Note que podemos azer: 
H R
R
H
v D N
N v
D
 
  
 
5 62.8 10 0.7 10
1.96
0.1
m
v v
s
  
  
 
 O primeiro resultado é de maior confiabilidade, 
pois a leitura de f é mais precisa, pela escala utilizada. 
 Assim: 
2
4
D
Q A v Q v

    
 
20.1
1.92
4
Q

 
 
3
21.51 10
m
Q
s
 
 
15.1
L
Q
s

 
 15. Calcular o diâmetro de um tubo de aço que 
deverá transportar uma vazão de 19L/s de querosene 
(viscosidade cinemática:  = 3.10-6 m²/s) a uma 
distância de 600 m, com uma perda de carga de 3m. 
 Solução: 
2
2
L
H
L v
h f
D g
   
 
2
2 5 2
4 8
L
Q L Q
v h f
D D g

     
  
2
5
2
8
L
f L Q
D
h g
  

   
 1
a
 tentativa: Adotando-se f1 = 0.02 
2
1
5
1 2
8
L
f L Q
D
h g
  

   
 
2
3
5
1 2
8 0.02 600 19 10
3 10
D
   

 
 
1 0.164D m
 
3
1 1 12 2
1
4 4 19 10
0.9
0.164
Q m
v v v
D s
 
    
 
 
1 1 1
41
6
0.9 0.164
4.92 10
3 10
R R R
v D
N N N

 
     
 
1
5
0.164
3.56
4.6 10
HD D

  
  
 
2
a
 tentativa: Adotando-se f2 = 0.023 
2
2
5
2 2
8
L
f L Q
D
h g
  

   
 
2
3
5
2 2
8 0.023 600 19 10
3 10
D
   

 
 
2 0.165D m
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
18 
 Veja que não há variação significativa no 
número de Reynolds e na razão D/ diâmetro com 
mudanças no diâmetro. Assim: 
0.165D m
 
 
 16. Na instalação da figura, a bomba B recalca 
a água do reservatório R1 para o reservatório R2, ambos 
em nível constante. Desprezando as perdas de carga 
singulares, calcule: 
 (a) A vazão da tubulação. 
 (b) A potência na bomba em kW quando o 
rendimento é 75%. 
 (2) R2 
 
 
 10 m 
 R1 
 (1) 
 
 
 
 
 B 
 
 Solução: 
(a) Como as perdas singulares são 
desprezíveis: 
2
2
L
H
L v
h f
D g
   
 
2 L Hg h Dv
f L
  


 
2H L H
R
D g h D
N f
L
  


 
2 2
6
10 10 2 10 10 10 4
1 10 50
RN f
 

    


 
44 10RN f  
 
2
4
10 10
400
2.5 10
H HD D



  
  
 
 Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
44 10 , 400 0.025HR
D
f f N f
K
 
     
 
 
2 L Hg h Dv
f L
  


 
22 10 10 10 4
2.55
0.025 50
m
v v
s
   
  

 
2
4
D
Q A v Q v

    
 
 210 10
2.55
4
Q
 
 
 
3
320 10
m
Q
s
 
 
20
L
Q
s

 
 (b) Montando a equação da energia entre (1) e 
(2) teremos: 
1,21 2B p
H H H H  
 
1,22 1B p
H H H H  
 
2 1
2 1 2 1
p p
H H z z

   

 
2 1 2 1H H z z  
 
2 1 10H H m 
 
1,2
2
2
p L
H
L v
H h f
D g
    
 
1,2
250 2.55
0.025
0.1 2 10
p LH h    

 
1,2
250 2.55
0.025 4.064
0.1 2 10
p LH h m     

 
1,22 1B p
H z z H  
 
10 4 14BH m  
 
4 310 20 10 14
0.73e e
B
B B
B
Q H
P P
     
  

 
3.8
eB
P kW
 
 17. Dada a tubulação na figura, cuja seção (2) 
está aberta à atmosfera, calcular: 
 (a) a perda de carga entre as seções (1) e (2). 
 (b) a vazão em volume. 
 Sabe-se que o escoamento é laminar. 
 Dados:  = 9.103N/m³;  = 0.5.10-³m²/s; 
L12 = 30m; D = 15 cm; p1 = 32.8 kPa. 
 p1 
 
 
 
 
 
 D 
 
 
 (1) L12 (2) 
 
 Solução: 
 
1,21 2 p
H H H 
 
1 2
1 2 1 2
p p
H H z z

   

 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
19 
12
1
1 2p
p
H H H  

 
12 12
3
1 2
32.8 10
3.64
9000
p pH H H H m

    
 
1,2
2
2
p L
H
L v
H h f
D g
    
 
Como o escoamento é laminar: 
 
64
R
f
N

 
1,2
264
2
p L
R H
L v
H h
N D g
    
 
1,2
264
2
p L
H H
L v
H h
v D D g

    

 
1,2 2
64
2
p L
H
v L
H h
g D
 
  

 
22
64
L Hh g Dv
L
  


 
42
256
L Hh g DQ A v Q
L
  
    

 
30.1
L
Q
s

 
18. No trecho (1) – (5) de uma instalação 
existem: uma válvula de gaveta (2), uma válvula tipo 
globo (3) e um cotovelo (4). Sendo a tubulação de aço 
de diâmetro 2‖ (5cm), determinar a perda de carga entre 
(1) e (5) sabendo que a vazão é 2L/s e que o 
comprimento da tubulação entre (1) e (5) é 30 m. 
Dado:  = 10-6m²/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
O comprimento das singularidades é 
desprezado e supõe-se que a perda de carga 
distribuída seja devida a 30 m de tubulação. 
 Assim: 
1,5 1,5 2 3 4p f s s s
H h h h h   
 
Da tabela de um fabricante, obtém-se: 
Válvula gaveta (2‖): Leq2 = 0.335m 
Válvula tipo globo (2‖): Leq3 = 17.61 m 
Cotovelo (2‖): Leq4 = 3.01 m. 
 Tudo se passa como se a tubulação tivesse um 
comprimento de: 
(2) (3) (4)real eq eq eq
L L L L L   
 
30 0.335 17.61 3.01L   
 
51L m
 
2
2
f
H
L v
h f
D g
 

 
 A velocidade será: 
2
2
4
4
H
H
D Q
Q A v Q v v
D
 
     

 
 
3
2
2
4 2 10
1
5 10
m
v v
s


 
  
 
 
2
6
1 5 10
10
H
R R
v D
N N


  
  

 
45 10RN  
 
Para aço:
 
54.6 10k m 
 
2
5
5 10
1090
4.6 10
H H HD D D
k



   
  
 
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
45 10 , 1090 0.025HR
D
f f N
k
 
     
 
 
2
2
51 1
0.025
5 10 2 10
fh   
 
1.28fh m
 
 
 19. Sendo a pressão p8 mantida igual a 532 kPa 
constante, determinar a potência da bomba de 
rendimento 0.7 e a pressão de entrada dela se a vazão for 
40 L/s. Dados: 
Tubos de ferro galvanizado: 
 K = 0.15.10
-3
m; 
 ks1 = 15; ks2 = ks6 = 10; ks7 = 1; ks4 = 0.5; 
 pvH2O = 1.96 kPa (abs.); 
  = 104 N/m²;  = 10-6 m²/s; 
 patm = 101 kPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
Nota-se que os diâmetros da sucção e do 
recalque são diferentes. Portanto, o cálculo das perdas 
deverá ser feito separadamente. Se os diâmetros fossem 
os mesmos, poderíamos efetuar o cálculo diretamente 
entre as seções (0) e (8). 
0,80 8B p
H H H H  
 
 Assumindo o PHR no nível (0), tem-se H0 = 0. 
0,8 0,8
2 3
8 8
8 8 4
532 10
0 7.5
2 10
p p
v p
H k z H
g

      
 
0,8
60.7pH m
 
0,8 S R S Rp f f s s
H h h h h    
 
 Sucção: 
2
2
4
4
H
S S S
H
D Q
Q A v Q v v
D
 
      

 
 
3
2
2
4 40 10
2.26
15 10
m
v v
s


 
  
 
 
2
6
2.26 15 10
10
H
R R
v D
N N


  
  

 
53.4 10RN  
 
 Perda distribuída: 
2
3
15 10
1000
0.15 10
H H HD D D
k



   
  
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
43.4 10 , 1000 0.021HS R
D
f f N
k
 
     
 
 
2
2S
S
S S
f S
H
L v
h f
D g
  

 
2
2
12 2.26
0.021
15 10 2 10S
fh   
 
0.43
Sf
h m
 
 Perda singular: 
 
1 2 3
2 2 2
2 2 2S
S S S
s s s s
v v v
h k k k
g g g
     
  
 
 
1 2 3
2
2S
S
s s s s
v
h k k k
g
   

 
 
22.26
15 0.9 10
2 10S
sh    

 
6.61
Ss
h m
 
0.43 6.61 7.04
e f Sp s s
h h h m    
 
 Recalque: 
2 2
15
2.26
10
S
R S R
R
D
v v v
D
   
       
  
 
5.1R
m
v
s

 
 Perda distribuída: 
 
2
6
5.1 10 10
10
H
R R
v D
N N


  
  

 
55.1 10RN  
 
2
3
10 10
666
0.15 10
H H HD D D
k



   
  
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
55.1 10 , 666 0.023HR R
D
f f N
k
 
     
 
 
2
2R
R
R R
f R
H
L v
h f
D g
  

 
2
2
36 5.1
0.023
10 10 2 10R
fh   
 
10.8
Rf
h m
 
Perda singular: 
 
4 5 6 7
2 2 2 2
2 2 2 2R
R R R R
s s s s s
v v v v
h k k k k
g g g g
       
   
 
 
4 5 6 7
2
2R
R
s s s s s
v
h k k k k
g
    

 
 
25.1
0.5 10 0.9 1
2 10R
sh     

 
16.1
Rs
h m
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
21 
5,8
10.8 16.1 26.9
R Rp s s
H h h m    
 
 
 
 A perda total na instalação será: 
0,8 0, 5,8
7 26.9 33.9
ep p p
H H H m    
 
0,80 8B p
H H H H  
 
0,88 0B p
H H H H  
 
60.7 33.9 0BH   
 
94.6BH m
 
 A potência da bomba será: 
B
B
Q H
P
  


 
4 310 40 10 94.6
0.7
BP
  

 
54BP kW
 
 Pressão na entrada: 
 Aplicando a equação da energia entre (0) e (e): 
0,0 eM e p
H H H H  
 
0,
0 0
ee p
H H  
 
0,
2
0
2 e
e e
e p
v p
z H
g
   

 
0,
2
2 e
e
e e p
v
p z H
g
 
     
 
 
2
4 2.2610 0.5 7
2 10
ep
 
     
 
 
77.5ep kPa
 
77.5 101
abs abse e atm e
p p p p kPa kPa     
 
23.5
abse
p kPa
 
23.5 1.96
abse v
p kPa p kPa  
 
 Logo, a tubulação está bem dimensionada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
22 
 Exemplos resolvidos 
1. Determinar a vazão de água no tubo 
Venturi, mostrado na figura abaixo, sabendo-se que a 
diferença de pressão entre os pontos A e B é igual a 
5.286kgf/m². 
Resp.: Q = 172 L/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
A BH H
 
2 2
2 2
A A B B
A B
v p v p
y y
g g
    
 
 
A A B BA v A v   
2 2
4 4
A B
A Bv v
 
   
2
2
B
A B
A
v v

 

 
2
2
150
300
A Bv v  
1
4
4
A B B Av v v v   
 
2 2
2 2
A A B B
A B
v p v p
y y
g g
    
 
 
2 2
2
A B B A
B A
p p v v
y y
g
 
  

 
 
2 2
4
45286 10
0.75
10 2 9.81
A Av v  

 
2 216
5.286 0.75
19.62
A Av v 
 
219.62 5.286 19.62 0.75 15 Av   
 
2103.711 14.715 15 Av 
 
2 103.711 14.715 88.996
15 15
A Av v

  
 
2.436A
m
v
s

 
A AQ A v 
 
2
4
A
AQ v

 
 
20.3
2.436
4
Q

 
 
3
0.1722
m
Q
s

 
1000
0.1722
L
Q
s

 
172.2
L
Q
s

 
2. Calcular a pressão relativa no início do duto 
de 250mm de diâmetro e a altura ―h‖ de água, sabendo-
se que a vazão é de 105 L/s e descarrega na atmosfera. 
Resp.: p1 = 0,350 kgf/cm2 h = 3,73 m 
 
 
(A) 
 
 
 (C) (B) 
 
 
 
 Solução: 
2 2
2 2
A A B B
A B
v p v p
y y
g g
    
 
 
220 0 0
0 2
2 2
B
B
v
h v g h
g g
        
 
 
2 2
2 2
C C B B
C B
v p v p
y y
g g
    
 
 
3
105 0.105C C B B
L m
A v A v
s s
    
 
2 2
4 4
C B
C Bv v
 
  
 
2
2
B
C B
C
v v

 

 
2
2
125
250
C Bv v 
 
1
4
4
C B B Cv v v v     
2 2
4
4
C C
C C
Q Q
v v

  
 
 
2
4 0.105
2.139
0.250
C C
m
v v
s

  

 
4 4 2.139 8.556B C B B
m
v v v v
s
      
 
2 2 0
0 0
2 2
C C B
v p v
g g
    
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
23 
2 2
4
2.139 8.556 0
0 0
2 9.81 10 2 9.81
Cp    
  
 
4
0.233196 3.731148
10
Cp 
 
4
3.731148 0.233196
10
Cp  
 
34979.53Cp Pa
 
2 4 2
1
1 1
9.81 10
N kgf
Pa
m cm
  
2
0.35C
kgf
p
cm

 
2
2
2
B
B
v
v g h h
g
    

 
28.556
2 9.81
h 
 
3.7311h m
 3. Sabe-se que, no sistema abaixo, as pressões 
relativas nos pontos ―A‖ e ―B‖ são respectivamente 1,5 
e -0,35 kgf/cm
2
 e a vazão de água é igual a Q = 0,21 
m
3
/s. Determinar a potência real da turbina, para 
rendimento de 60%. 
Resp.: PrT = 33,5 cv 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução:
 
2
3 4 3
2 3 3
9.81 10 10 10H O
N N kgf
m m m
    
 
A B TH H H 
 
2 2
2 2
A A B B
A B T
v p v p
y y H
g g
     
  
A A B BA v A v   
2 2
0.21
4 4
A B
A BQ v v
 
    
 
2 2300 600
4
4 4
A B A Bv v v v
 
    
 
4
2 2
1 9.81 10
kgf N
cm m
 
 
2 20.3 0.6
0.21
4 4
A Bv v
 
   
 
2
4 0.21
2.97
0.3
A A
m
v v
s

  
 
2.97
0.743
4 4
A
B B B
v m
v v v
s
    
 
2 2
2 2
A A B B
A B T
v p v p
y y H
g g
     
  
  42 4 2
3 3
0.35 9.81 102.97 1.5 9.81 10 0.743
1
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
TH
  
    
   
0.44959 15 1 0.028137 3.5 TH    
 
16.44959 3.471863 TH 
 
19.921453TH m
 
T T TP Q H     
 
30.6 9.81 10 0.21 19.921453TP     
 
24624.11TP W
 
1 735 1 1.014cv W HP CV  
 
24624.11
33.5
735
T TP W P cv  
 
4. Calcular a potência real da turbina (ηT = 
70%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2, do sistema 
mostrado na figura abaixo. 
Resp.: PrT = 38 cv p1 = 2,99 kgf/cm
2
 p2 = 0,481 kgf/cm
2
 
 
 Solução:
 2
3 4
3
9.81 10 10H O
N
m
   
 
2 2 3 3Q A v A v   
 
22
32
2 3
4 4
v v

  
 
2 2
3
2 3 22 2
2
150
9.15
250
v v v

    

 
2 3.294
m
v
s

 
2 3H H
 
22
3 32 2
2 3
2 2
v pv p
y y
g g
    
  
2 2 4
2
3 3
3.294 9.15 0.5 9.81 10
0 6.1
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
p   
    
   
2
3
0.553029 4.2672 5 6.1
9.81 10
p
   

2
3
5.3672 0.553029
9.81 10
p
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
24 
 
2 2
4814.17
kgf
p
m

 
1 2
2 2 1 1 2 1 3.294
m
Q A v A v v v
s
 
      
0 1H H
 
2 2
0 0 1 1
0 1
2 2
v p v p
y y
g g
    
 
 
2 2
1
3
0 0 3.394
30.5 0
2 2 9.81 9.81 10
p
g
    
  
1
3
30.5 0.58711
9.81 10
p
 
 
  31 30.5 0.58711 9.81 10p    
 
1 293445.4509p Pa
 
1 4 2
1
293445.4509
9.81 10
kgf
p
cm


 
1 2
2.99
kgf
p
cm

 
1 2TH H H 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
T
v p v p
y H y
g g
     
 
 
2 2
2 2 1 1
2 1
2 2
T
v p v p
H y y
g g
 
      
  
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
T
v p v p
H y y
g g
     
 
 
1 2
T
p p
H



 
3
293445.4509 47227.007
9.81 10
TH



 
25.1328TH m
 
T T TP Q H     
 
3 3Q A v 
 
2
3
3
4
Q v

 
 
20.15
9.15
4
Q

 
 
3
0.16169
m
Q
s

 
30.7 9.81 10 0.16169 25.13TP     
 
27902.47TP W
 
1 735 1 1.014cv W HP CV  
 
27902.47
37.96
735
T TP W P cv  
 
 
5. Calcular a potência teórica da bomba, no 
sistema mostrado na figura abaixo, sabendo-se que as 
pressões relativas nos pontos 1, 2 e 3 são 
respectivamente: -2.290 kgf/m²; 15.000 kgf/m² e 11.220 
kgf/m². 
Resp.: PtB = 7,9 cv 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2 2 1 1 3 3Q A v A v A v     
 
22 2
31 2
1 2 3
4 4 4
v v v
 
    
 
2 2
1
2 1 2 1 2 12 2
2
300
4
150
v v v v v v

       
 
2 2
1
3 1 3 1 3 12 2
3
300
18.367
70
v v v v v v

       

 
2 3H H 
22
3 32 2
2 3
2 2
v pv p
y y
g g
    
  
   
2 2
1 1
3 3
4 18.36715000 9.81 11220 9.81
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
v v 
  
   
2 2
1 10.81549 15 17.194 11.22v v   
2 2
1 115 11.22 17.194 0.81549v v   
2
1 1
3.78
16.37853 3.78
16.37853
v v   
1 0.4804
m
v
s
 
2 1 2 24 4 0.4804 1.9216
m
v v v v
s
       
3 1 318.367 18.367 0.4804v v v     
3 8.8235
m
v
s
 
1 2BH H H 
 
2 2
2 2 1 1
2 1
2 2
B
v p v p
H y y
g g
 
      
  
 
2 2
2 1 2 1
2
B
v v p p
H
g
 
 

 
 2 2
3
15000 2290 9.811.9216 0.481675
2 9.81 9.81 10
BH
      
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
25 
0.17637 17.29BH  
 
17.46637BH m
 
B BP Q H   
 
2
1
1
4
B BP v H

    
 
2
3 0.39.81 10 0.4804 17.46637
4
BP

    
 
5818.446BP W
 
1
1
735
W cv
 
5818.446
735
BP cv
 
7.91BP cv
 
 
6. Calcular a vazão de água no sistema abaixo, 
sabendo-se que a potência teórica da bomba é de 11,8 
cv e a tubulação tem diâmetro constante. 
Resp.: Q = 0,203 m
3
/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
1 735cv W 
11.8 735BP W 
 
8673BP W
 
B BP Q H    
1 2BH H H  
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
B
v p v p
y H y
g g
     
 
 
2 2
2 1
2 1
2 2
B
p pv v
H y y
g g

    

 
2 1
2 1B
p p
H y y

  

 
  4
3
1.035 2.1 9.81 10
15
9.81 10
BH
  
 

 
4.35BH m
 
B BP Q H    
B
B
P
Q
H

 
 
3
8673
9.81 10 4.35
Q 
 
 
3
0.203
m
Q
s

 
 
 7. Calcular a potência teórica da turbina, no 
sistema abaixo, sabendo-se que a água sai na atmosfera 
no final do tubo de diâmetro 75 mm. 
Resp.: PrT = 13.7 cv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
2
4
Q A v v

   
 
2 30.075
9 0.03976
4
m
Q Q
s

   
 
0 3TH H H  
2 2
0 0 3 3
0 3
2 2
T
v p v p
y H y
g g
     
 
 
2 20 0 9 0
30 0
2 2 9.81
TH
g
     
  
 
30 4.128 25.872T TH H m   
 
T TP Q H   
 
39.81 10 0.03976 25.872TP    
 
10091.088TP W
 
1
1
735
W cv
 
10091.088
735
TP cv
 
13.729TP cv
 
 
8. No sistema abaixo, a velocidade no ponto ―C‖ 
é igual a 3.66 m/s, onde a água sai na atmosfera. A 
pressão relativa no ponto ―A‖ é igual a – 0.35 kgf/cm2. 
A perda de carga entre os pontos ―A‖ e ―C‖ é igual a Δh 
= 3.05m. A potência real da bomba é igual a 20 cv, com 
rendimento de 70%. Até que altura ―H‖ , a bomba 
poderá elevar água, sabendo-se que o sistema tem 
diâmetro constante e igual a 150 mm? 
Resp.: H = 7,8 m 
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
e
B
B
B
Q H
P
  


 
eB B
B
P
H
Q


 
 
C CQ A v 
 
2
4
C
CQ v

 
 
20.15
3.66
4
Q

 
 
3
0.064677
m
Q
s

 
3
20 735 0.7
9.81 10 0.064677
BH
 

  
16.2179BH m
 
ACA B C pH H H H   
22
2 2 AC
C CA A
A B C p
v pv p
y H y H
g g
      
 
 
2 24
3
0.35 9.81 10 0
0 16.2179 1.8 3.05
2 9.81 10 2
A Av v H
g g
  
       
 
3.5 16.2179 1.8 3.05H     
12.7179 4.85 12.7179 4.85H H    
 
7.8679H m
 
9. Determinar a potência real da bomba (ηB = 
80%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2 , no 
sistema abaixo, sabendo-se que: a vazão de água é de 40 
L/s, a perda de carga entre os pontos A e 1 é 3 vezes a 
carga cinética do ponto 1 e a perda de carga entre os 
pontos 2 e B é 20 vezes a carga cinética do ponto 2. 
Resp.: PrB = 66 cv p1 = 0,496 kgf/cm
2
 p2 = 10,408 
kgf/cm
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
e
Bomba
B
B
Q H
P
  


 
,1 1
3
AP c
H E 
 
,1
2
13
2A
P
v
H
g
 
 
2, 2
20
BP c
H E 
 
2,
2
220
2B
P
v
H
g
 
 
3
1 1 2 2 40 0.04
L m
Q A v A v
s s
     
 
2 2 22 2 2
2 2
0.04 0.16 0.16
0.1
4
v v v    
  
 
2 5.0929
m
v
s

 
1 1 12 2 2
1 1
0.04 0.16 0.16
0.15
4
v v v    
  
 
1 2.2635
m
v
s

 
,11 AA p
H H H  
2 2 2
1 1 1
1 3
2 2 2
A A
A
v p v p v
y y
g g g
      
 
 
2 2
1
3
0 0 2.2635 2.2635
0 6 3
2 2 10 2
p
g g g g
      
 
 
1
3
0 0.261133 6 0.7833994
9.81 10
p
   

 
3
1 4.9554675 9.81 10p   
 
1 48613,1369p Pa
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
27 
1 4 2
1
48613,1369
9.81 10
kgf
p
cm
 

 
1 2
0.495546
kgf
p
cm

 
2,2 BB p
H H H  
2 2 2
2 2 2
2 20
2 2 2
B B
B
v p v p v
y y
g g g
      
 
 
2 2 2
25.0929 0 0 5.09296 73 20
2 2 2
p
g g g
      
 
2
3
1.289033 6 73 26.43999
9.81 10
p
   

 
3
2 98.15095 9.81 10p   
 
2 962860.89p Pa
 
2 4 2
1
962860.89
9.81 10
kgf
p
cm
 

 
2 2
9.815
kgf
p
cm

 
1 2BombaH H H  
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
Bomba
v p v p
y H y
g g
     
 
 
2 2
3 3
2.2635 48613,1369 5.0929 962860.89
6 6
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
BombaH     
   
 
0.261133 4.955467 1.289 98.150957BombaH   
 
5.2165 99.43BombaH 
 
94.2135BombaH m
 
e
Bomba
B
B
Q H
P
  


 
39.81 10 0.04 94.2135
0.8e
BP
  

 
46211.72
eB
P W
 
45896.28
735e
BP cv
 
63
eB
P cv
 
 
10. Supondo que no sistema do exercício nº 9, 
os dois reservatórios estejam fechados (pA e pB ≠ 0) e 
sabendo-se que as pressões relativas nos pontos 1 
e 2 são respectivamente 0,2 kgf/cm
2
 e 9,5 kgf/cm
2
 . 
Calcular as pressões nos pontos ―A‖ e ―B‖ e potência 
real da bomba (ηB = 80%), para essa nova situação. 
Obs.: utilizar as mesmas perdas de carga do exercício nº 
9. 
Resp.: PrB = 63 cv pA = - 0,296 kgf/cm
2
 pB = - 0,912 
kgf/cm
2
 
 
11. Óleo de viscosidade dinâmica μ = 0,01 
kgf.s/m² e peso específico γ = 850 kgf/m³ , escoa em 
regime permanente e com vazão Q = 50,0 L/s, através de 
3.000,0 m de comprimento de tubo de Ferro Fundido 
(FºFº), com diâmetro φ = 300,0 mm. Pede-se calcular a 
perda de carga distribuída através da fórmula Universal 
de perda de carga. 
Resp.: Δhd ≅ 8,9 m 
R X L
h
A
 
 
 
 
 X: Perímetro. 
 L: comprimento 
 R: Tensão de atrito em kgf/cm
2
. 
 
 Solução: 
R X L
h
A
 
 
 
 
R dv
R
dv dy
dy
     
 
v
R
y



 
Q
Q A v v
A
   
 
 Q A Q
R R
y A y

   
 
 
X L
h R
A

  
 
 
Q X L
h
A y A
 
  
  
 
2
Q X L
h y
A
  
  
 
 
2
2
4
Q X L
h y
  
  
 
  
 
 
2 4
16 Q X L
h y
  
  
  
 
3
2 4
16 0.01 50 10 3000
850 0.3
h y
X
    

  
0.35
h y
m
X
 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
 Experiência de Nikuradse: 
,Rf f N
K
 
  
  
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
4
4
Q Q
Q A v v v

     
 
 
3
2
4 50 10
0.7074
0.3
m
v v
s
 
  

 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
g
g

    
 
R
v
N
g
  


 
850 0.7074 0.3
9.81 0.01
RN
 


 
1838.8RN  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ferro Fundido: K = 3.75.10
-4
m
 
 40.3 8003.75 10K K
 
  

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
1838.8, 1158.3Rf f N
K
 
   
 
 
0.0195f  
2
2
f
L v
h f
g
  

 
23000 0.7074
0.0195
0.3 2 9.81
fh   
 
4.97fh m 
Ou 
Como NRe é<2000: 
Re
64
f
N
 
64
0.0348
1838.8
f f   
2
2
f
L v
h f
g
  

 
23000 0.7074
0.0348
0.3 2 9.81
fh   
 
8.87fh m
 
12. Calcular a perda de carga distribuída em 
uma tubulação de aço revestido nova, com 900,0 m de 
comprimento e 100,0 mm de diâmetro, devido ao 
escoamento de 378.500,0 L/dia de óleo combustível à 
temperatura de 20ºC ( γ = 855,0 kgf/m³ , ν = 3,94x10-6 
m²/s), em regime permanente. 
Resp.: Δhd = 4,93 m 
 Solução: 
3 3 3
310375000 375000 4.34 10
24 3600
L m m
Q Q
dia s s

    

 
3
2
4.34 10
0.5529
0.1
4
m
Q A v v v
s

     

 

    

 
g
g

     
g

  
 
6 8553.94 10
g
g
    
 
3
2
3.3687 10
N s
m
   
 
 
 
 
Sistemas II – Bombas, Turbinas e Perda de carga 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br 
 
 
29 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
R
v
N
g
  

 
3
855 0.5529 0.1
3.3687 10
R
g
N
g 
  

 
 
14032.99RN 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
 Tubulação de aço: 
K = 4.6.10
-5
m
 
 50.1 2173.94.6 10K K
 
  

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
14032.99, 2173.9Rf f N
K
 
   
 
 
0.03f 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
2900 0.5529
0.03
0.1 2 9.81
fh   

 
4.2fh m
 
13. Calcular a perda de carga distribuída em 
uma tubulação de aço soldado nova, com 3.200,0 m de 
comprimento e 300,0 mm de diâmetro, devido ao 
escoamento de 10.6x10
6 
L/dia de gasolina à temperatura 
de 25ºC ( γ = 720,0 kgf/m³ , ν = 6,21x10-6 m²/s), em 
regime permanente. 
Resp.: Δhd ≅ 23,82 m 
 Solução: 
3 3 3
6 6 1010.6 10 10.6 10 0.122685
24 3600
L m m
Q Q
dia s s

     

2
0.122685
1.7356
0.3
4
m
Q A v v v
s
     

 
Aço: L = 3200m 
R = 4.6.10
-5
m 
5
0.3
6521.7
4.6 10K K
 
  

 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
g
g

    
 
g

    
 
R R
v v
N N
g
g
   
  
 
 
 
6
1.7356 0.3