EXERCICIOS CÁLCULO I AULA 6-7-8-9-10

Prévia do material em texto

EXERCICIOS CÁLCULO I AULA 6
		1.
		Entre 0 oC e 20 o C, o volume ( em centímetros cúbicos) de 1 000 centímetros cúbicos de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula V = 999 - 0,064 T + 0,0085 T2 - 0,000067 T3. Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima. ( densidade= massa/ volume ). 
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	3,96
	
	
	2
		2.
		Uma função real de variável real y, cuja derivada primeira é dada pela função y' = x² - 7x + 12, possui a propriedade:
	
	
	
	É crescente para x > 0 e decrescente para x < 0
	
	
	y tem valor mínimo para x = 2.
	
	
	y possui um valor máximo em x = 3.
	
	
	É sempre crescente.
	
	
	É sempre decrescente.
		3.
		A derivada da função F(x)=3x2-5xy+y2=5 é:
	
	
	
	y'(x)=6x-2y5x-2y
	
	
	y'(x)=5x-6y5x-2y
	
	
	y'(x)=6x-5y5x-2y
	
	
	y'(x)=6x+5y5x-2y
	
	
	y'(x)=5x-2y5x-y
		4.
		Uma cervejaria quer produzir suas próprias latinhas para isso solicitou uma análise para determinar as dimensões da latinha fabricada de forma que a quantidade de matéria prima para a fabricação fosse mínima. Para isso foneceu as seguintes informações: 
· A lata deve ter formato cicídrico (sem tampa) 
· Tem volume de 5 centímetros cúbicos 
Quais as dimensões encontradas ?
	
	
	
	raio é aproximadamente 1 cm e altura aproximadamente 2 cm
	
	
	raio é aproximadamente 2,50 cm e altura aproximadamente 3 cm
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	raio é aproximadamente 2 cm e altura aproximadamente 2 cm
	
	
	raio é aproximadamente 1,17 cm e altura aproximadamente 1,7 cm
		5.
		Um  psiculturista  tem  120m  de rede para cercar  um criadouro de peixes em cativeiro de base retangular que está na margem de um rio reto, com 100m de largura . A margem será um dos lados do criadouro, não sendo necessário colocar rede ao longo desta margem e pretende-se que o criadouro tenha a maior área possível.
Marque a alternativa com as dimensões da base retangular do criadouro que satisfaz a condição acima.
	
	
	
	30mx60m,  sendo utilizados  30m  da margem do rio como um lados do criadouro. 
	
	
	20mx50m,  não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro. 
	
	
	30mx60m,  não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro. 
	
	
	35mx50m,  sendo utilizados  50m  da margem do rio como um lados do criadouro. 
	
	
	30mx60m,  sendo utilizados  60m  da margem do rio como um lados do criadouro. 
		6.
		Seja f(x)=x³. Podemos afirmar que: 
	
	
	
	f não tem pontos críticos
	
	
	0 é ponto de máximo local
	
	
	f tende a zero quando x tende a infinito
	
	
	0 é ponto de inflexão
	
	
	0 é ponto de mínimo local
		7.
		Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = x3 -3x2 + 1 para x pertencente ao intervalo fechado [-1/2, 4]
	
	
	
	máximo absoluto é f(5) = 17 e valor mínimo absoluto f(3) = -5
	
	
	máximo absoluto é f(2) = 17 e valor mínimo absoluto f(1) = -3
	
	
	máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3
	
	
	máximo absoluto é f(1) = 20 e valor mínimo absoluto f(3) = -3
	
	
	máximo absoluto é f(4) = 20 e valor mínimo absoluto f(2) = -1
		8.
		Use diferenciação implícita para a função x3 - 3 x2y4  - 3 y4 = x + 1.
Encontre dydx.
	
	
	
	dydx = (-1 + x2 ) / (2xy3+ y3) 
	
	
	dydx = 0 
	
	
	dydx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 
	
	
	dydx = (-1 + 3x2 - 6xy4 )/(12x2 y3+ 12 y3) 
	
	
	dydx = -1 + 3x2 - 6xy4  
	
EXERCICIOS CÁLCULO I AULA 7
		1.
		Utilizando as técnicas de limite adequadas, determine o 
limx→0(sen5x3x)
 
	
	
	
	o limite encontrado é 5 / 3
	
	
	o limite encontrado é 0
	
	
	o limite encontrado é 8
	
	
	o limite encontrado é 1
	
	
	o limite encontrado é 2
		2.
		Uma fábrica produz sapatos para mulheres e estima que o custo total C(x) em dolares por fabricar x pares de sapatos é dado pela equação: 
C(x) = 200 + 3x + (x2/ 30)
Em uma semana o rendimento total R(x) em dolares é dado pela equação:
 R(x) = 24 x + (x 2 /250), onde x é o número de pares de sapatos vendidos. Determine o Lucro máximo semanal. Lembre-se Lucro total é a diferença entre a receita total e o custo total.
 
	
	
	
	$ 1000,00
	
	
	$1500,00
	
	
	$ 4025,00
	
	
	$ 2000,00
	
	
	$ 7000,00
		3.
		          Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t segundos e S (trajetória em metros). Encontre para qualquer instante t a velocidade da pedra.
	
	
	
	160 - 32t m/seg 
	
	
	160 + 32t m/seg 
	
	
	10 - 32t m/seg 
	
	
	- 32t m/seg 
	
	
	160 - t m/seg 
	
		4.
		Esboce o gráfico da função x3-3x
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		5.
		Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a lei de movimento s=f(t). Determine a velocidade e a aceleração para a função f(t) = t3 + 2t2
	
	
	
	aceleração = 2 velocidade = 4
	
	
	velocidade = 4
aceleração = 6 t + 4
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	velocidade = 3t2 +4t
aceleração = 6 t + 4
	
	
	velocidade = +4t
aceleração = 4
		6.
		Sabendo que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a equação do movimento S = 4t3+ 3t2 + 2t + 1, sendo S a distância em metros e t o tempo em segundos. É correto afirmar que: 
	
	
	
	para t = 1 s temos a velocidade instantânea de 24m/s.
	
	
	para t = 2 s temos a velocidade instantânea de 60 m/s.
	
	
	a aceleração média dessa partícula é definida por A = 24t + 8.
	
	
	para t = 1 s temos a aceleração instantânea de 30 m/s2 . 
	
	
	a velocidade média dessa partícula é definida por V = 12t2 + 6t.
		7.
		Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t² após t segundos e S (trajetória em metros). Encontre para qualquer instante t a velocidade instantânea da pedra.
	
	
	
	10 - 32t m/seg
	
	
	160 - 32t m/seg
	
	
	- 32t m/seg
	
	
	160 + 32t m/seg
	
	
	160 - t m/seg
		8.
		Determine o valor do limite
  
	
	
	
	0
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	6
EXERCICIOS CALCULO I AULA 8
		1.
		Seja R(x) = -100x² + 1500x. a função que define a receita de um produto e tomando por base o conceito de analise marginal, obtenha a receita marginal da função  R(x).
	
	
	
	-200x.
	
	
	1500. 
	
	
	-100x.
	
	
	-200x + 1500.
	
	
	-100x + 1500.
		2.
		Para estudar o metabolismo do cálcio em um animal (taxa que o corpo assimila e usa o cálcio), injetamos uma quantidade de cálcio controlada na corrente sanguínea do animal e medimos a velocidade que este cálcio é removido do corpo do animal. Se t dias após injetar cálcio, a quantidade de cálcio controlado C que fica no sangue é dada por C(t) = t -3/2 ,  (t >= 0,5), qual é a quantidade de cálcio que é removido do corpo do animal, após t = 1 dias ? 
	
	
	
	2
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	1
	
	
	5
	
	
	-3/2
		3.
		Seja L = 0,0002x3 + 10x. Determine o lucro marginal para um nível de produçao de 50 unidadedes 
	
	
	
	60
	
	
	50
	
	
	11,5
	
	
	10
	
	
	40
		4.
		Seja R a função receita total na venda de x unidades de um produto. A função receita total é dada por R(x) = -16x2 + 2000x. Obtenha a receita marginal.  
	
	
	
	Receita marginal = 16 x 2+2000x 
	
	
	60
	
	
	40
	
	
	Receita Marginal= 32x+1000 
	
	
	Receita Marginal = -32x+2000
		5.
		A posição da partícula é dada pela equação s = f(t) = t3 - 5 t2 + 3t, onde t é medido em segundas e s em metros. Determine a função da aceleração.
	
	
	
	a = 6t 2
	
	
	a = 0
	
	
	a = 6t
	
	
	a = 6 t - 10
	
	
	a = 16t 2
		6.
		Considerando-se uma função f(x), utiliza-se o conceito de função marginal para se avaliar o efeito causado em f(x) por conta de uma pequena variação de x. Assim, se considerarmos R(q) como a função receita quando q unidades de um certo produto são vendidas, então a Receita Marginal,quando q=q1, é dada pela derivada R´(q1), caso esta exista. A função R é chamada Função Receita Marginal e fpodemos dizer que ela é uma boa aproximação da receita quando se vende uma unidade adicional. Note que que R´(q1) pode ser interpretada como a taxa de variação da receita total quando q1 unidades são vendidas. Assim, considerando R(x)=-2x2+1000x, a função receita de vendas de x unidades de um produto, determine a função receita marginal.
	
	
	
	R´(x)=-1000x 
	
	
	R´(x)=4x-1000 
	
	
	R´(x)=-4x+1000 
	
	
	R´(x)=-4x 
	
	
	R´(x)=4x+1000
		7.
		No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, e que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 minutos.
	
	
	
	  
81,1 
	
	
	50
	
	
	100/3
	
	
	-80
	
	
	100
		8.
		Tomando por base que a função custo marginal de f(x) é a função derivada de f(x), ou seja a função receita marginal é a derivada da função receita, a função custo marginal é a derivada da função custo e assim por diante, obtenha a receita marginal da função receita dada pela expressão R(x) = -100x2 + 1500x. 
	
	
	
	-100x.
	
	
	1500.
	
	
	-200x.
	
	
	-100x + 1500.
	
	
	-200x + 1500.
EXERCICIOS CALCULO I AULA-9
		1.
		Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como conseqüência de ter sido aquecido. Calcule  a taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 3 para 3,01cm
	
	
	
	27,0901
	
	
	27
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	28
	
	
	2
		2.
		Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 40m/s, num local em que g = 10 m/s2, tem posição s em função do tempo t dada pela função horária s(t) = 40t - 5t2 com t pertencente ao intervalo [0, 8]. Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima em relação ao solo?
	
	
	
	3 seg
	
	
	8 seg
	
	
	4 seg
	
	
	5 seg
	
	
	2 seg
		3.
		Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm ? Lembre-se volume da esféra é (4/3) pi r2
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	cresce a taxa de 20 cm/s
	
	
	cresce a taxa de 2 cm/s
	
	
	cresce a taxa 1/(25 pi) cm/s
	
	
	Cresce a taxa de 1 cm/s
		4.
		Sabendo que a derivada pode ser usada para o processo de  aproximação linear. Usando o processo da aproximação linear para aproximar (1/ 1,03). Qual das demonstrações abaixo estaria correta ?
	
	
	
	É possível demonstrar da seguinte forma (1/ 1,03) = f(1,03) ~~ F(1) + f ´(1) (1,03 - 1)
	
	
	A aproximação daria zero
	
	
	Não podemos fazer tal aproximação usando derivada.
	
	
	A aproximação daria 2
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
		5.
		Determine dydx de f(x)= (senx)cosx, indicando a única resposta correta.
	
	
	
	(cosx)senx(cosxcotx +senxln(senx)) 
	
	
	(senx)cosx(cosxcotx +senxln(senx))
	
	
	(cosx)senx(cosxcotx -senxln(senx)) 
	
	
	(senx)cosx(cosxcotx-senxln(senx))
	
	
	cosxsenx(cosxcotx+senxln(senx))
		6.
		Conhecendo as derivadas das funções   f  e  g  , podemos usá-las para encontrar a derivada da composição  fog , através de um teorema denominado
	
	
	
	Regra de L'Hôpital 
	
	
	Regra da Cadeia
	
	
	Teorema Fundamental do Cálculo
	
	
	Derivação Implícita
	
	
	Teorema do Valor Médio
		7.
		Seja f(x) = x3/4 - 4x1/4 + 1 em [0, 16]. Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas . 
	
	
	
	Todas as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas.
	
	
	f(x) não é continua a esquerda de 1 portanto satisfaz a continuidade no ponto 1.
	
	
	f(x) não é continua a direita de 2 portanto podemos afirmar que é continua em 2.
	
	
	f(x) não é continua a direita de 2 portanto f é derivável no ponto 2.
	
	
	f(x) não é continua a direita de 2 portanto satisfaz hipótese de ser derivada no ponto 2.
		8.
		Determine dy/dx x3/y +2x=6
	
	
	
	dy/dx=(3x2y-2y2)/x3
	
	
	dy/dx=3x2y-2x/y2
	
	
	dy/dx=6
	
	
	dy/dx=3x2y-2x
	
	
	dy/dx=6x2 -3x
EXERCICIOS CALCULO I AULA 10
		1.
		Calcule através da Regra de L´Hopital o lim_(x->0) (senx - x)/(cosx - ex)
	
	
	
	1 
	
	
	1/3 
	
	
	0
	
	
	1/2 
	
	
	2 
		2.
		No cálculo de limites nos defrontamos diversas vezes com alguns limites que exigem tecnicas especiais para resolução. Utilizando as tecnicas aprendidas analise o limite  .
	
	
	
	O limite da função será 1/2
	
	
	O limite da função será 4
	
	
	O limite da função será 1
	
	
	O limite da função será 
	
	
	O limite da função será 3/2
		3.
		Sobre a função f: R→ R(x), onde f(x)=x², podemos afirmar:
	
	
	
	f não tem ponto de mínimo 
	
	
	0 é ponto de mínimo da função 
	
	
	f é limitada, ou seja, existe um valor real M tal que |f(x)|<="" td=""> 
	
	
	f é uma função ímpar
	
	
	A função assume valores negativos quando x<0
		4.
		Em um experimento a particula pecorreu uma curva definida pela função .O professor pediu para que o aluno determinasse a reta tangente  desta função no ponto (1,3). O aluno fez corretamente e apresentou ao professor a seguinte resposta:
	
	
	
	reta tangente encontrada : y = 2x +  5
	
	
	reta tangente encontrada : y = 3x + 9
	
	
	reta tangente encontrada : y = 3x + 3
	
	
	reta tangente encontrada : y = 5x + 2
	
	
	reta tangente encontrada : y = 3x
		5.
		A derivada de f(x)=sen(x)+cos(x) é igual a:
	
	
	
	f '(x) = -cos(x)+sen(x)
	
	
	f '(x) = cos(x)-sen(x)
	
	
	f '(x) = tan(x)
	
	
	f '(x) = cos(x)+sen(x)
	
	
	f '(x) = -cos(x)-sen(x)
		6.
		A potência dissipada por um resistor puro obedece à lei P=U.I, em que U representa a tensão e I a corrente aplicada sobre os terminais do referido resistor. Sabe-se, em um dado circuito, que U reduz-se à medida que a bateria descarrega, e que I aumenta à medida que o resistor esquenta. A variação da potência, dados U = 20V , I = 10A, dU/dt= - 0,1V/s e dI/dt = 0,2A/s, é:.
	
	
	
	3 w/s
	
	
	-2 w/s
	
	
	1 w/s
	
	
	2 w/s
	
	
	-1 w/s
		8.
		Em um problema para se encontrar máximos e/ou mínimos devemos primeiro definir os pontos críticos e analisa-los para depois podermos concluir quais destes  podem ser classificados de ponto máximo relativo ou ponto mínimo relativo. Seja a função f(x) = x3 -  7x + 6, utilize o procedimento correto para encontrar os pontos críticos desta função.
	
	
	
	Os pontos críticos de f são
	
	
	Os pontos críticos desta função são x1 = 1 e x2  = 2/3
	
	
	Os pontos critícos desta função são x1 = 2  e x2 = 5
	
	
	Os pontos críticos desta função são x1 = 1/2 e x2 = 3
	
	
	Os pontos críticos desta função são x1 = 1/2 e x2 = 3/2
		7.
		Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmara de televisão montada no nível do chão. A medida que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que a câmara faz com o chão. Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s. Quando o balão estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmara?
	
	
	
	2/3
	
	
	18/5
	
	
	7
	
	
	35
	
	
	8