10V Eixos

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MECÂNICOS 1
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PROJETO E 
DIMENSIONAMENTO 
DE 
EIXOS
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O Tipos de Eixos
Eixos são elementos básicos e 
fundamentais em conjuntos 
mecânicos, sendo responsáveis pela 
ligação e transmissão de movimento 
entre diversos componentes.
Eixo é um elemento rotativo ou 
estacionário que não está sujeito à 
esforços de torção.
Eixo árvore é um elemento rotativo ou estacionário que tem montado sobre si 
outros componentes como polias, mancais, engrenagens, volantes, etc. e estão 
sujeitos à tensões de tração, compressão, flexão e torção atuando isoladamente 
ou de maneira combinada. Quando estas tensões atuam isoladamente, cálculos 
convencionais da mecânica dos sólidos podem ser usados no seu projeto. 
Quando as tensões atuam de forma combinada, deve-se considerar resistência 
à fadiga e a cargas estáticas como aspectos importantes de projeto.
Eixo Árvore 
Maciço 
Roscado e 
Chavetado
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O Tipos de Eixos
Os eixos e árvores, geralmente tem 
seu formato com seção transversal 
circular, contando com variações 
dimensionais, entalhes, ressaltos, 
chanfros e arredondamentos de forma 
a acomodar os elementos por eles 
suportados.
Quanto ao tipo, podem ser:
• Maciço: são a maioria devido à facilidade de obtenção e fabricação;
• Vazado: utilizados quando o peso é fator decisivo como em eixos de aviões;
• Estriado: garantem boa concentricidade e transmitem torque com aplicações 
em barras de direção automotiva, por exemplo;
• Ranhurado: úteis quando é necessária a transmissão de grandes torques;
• Roscado: torna-o um elemento de transmissão ou eixo prolongador;
• Cônico: garante boa concentricidade e auxilia no suporte a cargas axiais;
• Flexível: suporta altas velocidades e cargas baixas (cabo de velocímetro).
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O Exemplos de Eixos Vazados
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O Material de fabricação
Os eixos e árvores são fabricados em 
aço ou ligas de aço devido às melhores 
propriedades mecânicas destes 
materiais em relação aos demais.
• Eixos com baixa solicitação 
mecânica são fabricados em aço 
carbono (ABNT 1030 e 1045)
• Eixos-árvore de máquinas e 
automóveis são fabricados em aço Ni-
Mo (ABNT 4640) ou Ni-Cr-Mo (ABNT 
8640)
• Eixos-árvore para altas rotações ou 
em bombas e turbinas são fabricados 
em aço Cr-Ni (ABNT 3140 e 3150)
• Eixos de locomotivas são fabricados 
em aço ao Manganês.
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O Configurações Geométricas Típicas
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O Configurações Geométricas Típicas
Ressaltos
Linhas de Forças
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Concentração de tensão em eixos com rasgos de chaveta
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O Projeto e Dimensionamento
Os eixos-árvores podem ter seu projeto baseado em dois pontos de vista 
baseado em dois pontos de vista:
• Deflexão e rigidez
a) Deflexão flexional
b) Deflexão torcional
c) Inclinação em mancais e em elementos suportados do eixo
d) Deflexão de cisalhamento decorrente de carregamento transversal de 
eixos curtos
• Tensão e resistência
a) Resistência estática
b) Resistência de fadiga
c) Confiabilidade
Quando elementos montados no eixo requerem limites estreitos de deflexão 
o eixo deve ser dimensionado com base na deflexão. Nestes casos, a árvore 
será rígida o suficiente para manter as tensões abaixo dos limites aceitáveis.
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O Projeto e Dimensionamento – Carregamento Estático 
ou Quase Estático – Avaliação das Tensões
O carregamento estático ou quase estático pode ocorrer em algumas aplicações 
ou ainda ser utilizado como primeira avaliação de dimensionamento de eixos.
A tensão em um elemento localizado na superfície de um eixo sólido e 
redondo, de diâmetro d, sujeito à flexão, carregamento axial e torção, é:
Com o uso do Círculo de Mohr é possível obter as tensões principais
Estas podem ser combinadas para obter a tensão de von Mises
Ou para obter a máxima tensão de cisalhamento
23
432
d
F
d
M
x

 
3
16
d
T
xy

 
2
2
22
, xy
xx
BA 

 






2222 3' xyxBBAA  
  22 4
2
xyx
BA
máx 

 


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O Projeto e Dimensionamento – Carregamento Estático 
ou Quase Estático – Avaliação das Tensões
Fazendo as devidas substituições nas equações anteriores é possível obter as 
seguintes relações:
Considerando um coeficiente de segurança n as equações acima ficam:
Considerando que a força de tração F é desprezível e incluindo os fatores de 
concentração de tensão das tabelas de Peterson, as equações ficam:
  22
3
488
4
' TFdM
d


   22
3
648
2
TFdM
d
máx 


 3 22 488
4
TFdM
S
n
d
y


 3 22 648
4
TFdM
S
n
d
sy


   3 22 34
16
TKMK
S
n
d tst
y


   3 22
16
TKMK
S
n
d tst
sy


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Projeto e Dimensionamento - Carregamento Cíclico -
Avaliação das Tensões
A análise de eixos sob ação de fadiga é realizada utilizando basicamente 
dois modelos de falha, os quais são os mais representativos em relação aos 
resultados obtidos em ensaios com eixos:
• DE-Gerber: utiliza o modelo de falha da Energia de Distorção com a curva 
parabólica de falha por fadiga de Gerber, juntamente com a curva de Langer.
• DE-Elíptico: utiliza o modelo de falha da Energia de Distorção com a curva 
elíptica de falha por fadiga da ASME, juntamente com a curva de Langer.
Tipicamente, eixos árvores rotativos estão sujeitos à ação de momentos 
fletores e torção estacionários. Neste caso, o eixo será tensionado em flexão 
completamente inversa e com tensões devido à torção, constantes.
Expressando a componente média como a tensão normal de von Mises fica: 
3
32
d
M a
a

 
3
16
d
Tm
xym

 
xaa  ' 3' xymm  
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Projeto e Dimensionamento – Critério DE-Gerber
O critério de falha por fadiga de Gerber é definido por:
Fazendo as devidas substituições, incluindo os coeficientes de concentração 
de tensão de fadiga e resolvendo para d e para n, fica:
1
''
22

















ut
m
e
a
ut
m
e
a
S
n
S
n
S
S
S
S 
3
2
311
16



















utaf
emfs
e
af
SMK
STK
S
MnK
d




















2
3
311
161
utaf
emfs
e
af
SMK
STK
Sd
MK
n 
mfs
af
m
a
TK
MK
r
3
2
'
'



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Projeto e Dimensionamento – Critério DE-elíptico ASME
O critério de falha por fadiga elíptico da ASME é definido por:
Fazendo as devidas substituições, incluindo os coeficientes de concentração 
de tensão de fadiga e resolvendo para d e para n, fica:
1
''
2222


































y
m
e
a
y
m
e
a
S
n
S
n
S
S
S
S 
3
22
34
16

















y
mfs
e
af
S
TK
S
MKn
d

22
3
34
161

















y
mfs
e
af
S
TK
S
MK
dn 
mfs
af
m
a
TK
MK
r
3
2
'
'



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Projeto e Dimensionamento - Avaliação das Deformações
Em corpos materiais, a distorção é inevitável sob carga. Busca-se 
controlá-la de modo a evitar comprometer a funcionalidade:
• Máximas inclinações admissíveis (q)
• Mancal de rolos cilíndricos: 0,001 rad
• Mancal de rolos cônicos: 0,0005 rad
• Mancal de esferas: 0,0087 rad
• Engrenagens de dentes retos: 0,0005 rad
• Máximas deflexões admissíveis (y)
• Engrenagens de precisão: 0,13 mm
O projetista dispõe de uma escolha entre projetar 
para resistência e verificar a distorção, ou projetar para 
distorção e verificar para resistência.
Deflexões
Inclinações
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Projeto e Dimensionamento - Avaliação das Deformações
Considerando como exemplo o carregamento do eixo abaixo ilustrado, com 
dois mancais de extremidade e uma força transversal, é possível utilizar a teoria 
da equação da linha elástica para determinar as deflexões e inclinações ao longo 
do eixo, ou recorrer a tabelas e ao método da superposição:
Chamando de V, o plano vertical e de H, o plano horizontal e considerando 
que várias forças podem atuar ao mesmo tempo ao longo do eixo, é possível 
reescrever as equações acima segundo o método da superposição.
 222
6
Lbx
EIL
xbF
y i
ii
AB 
 22
6
Lb
EIL
bF
i
ii
A q
Fi
ai bi
L
x
       2122222222
6 V
iiiHiiiAB
LbxbFLbxbF
EIL
x
y  
       21222222
6
1
ViiiHiiiA
LbbFLbbF
EIL
 q
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Projeto e Dimensionamento - Avaliação das Deformações
Desta forma, é possível determinar a deflexão e a inclinação do eixo em 
vários pontos ao longo do seu comprimento. Se, ao examinar as deflexões ou 
inclinações for verificado que seu valor ultrapassou o limite admissível para 
determinado elemento montado numa posição do eixo, o diâmetro do eixo pode 
ser corrigido para atender a exigência de acordo com as equações abaixo:
Sendo:
dnew o diâmetro corrigido
dold, yold, qold, respectivamente o diâmetro, deflexão e inclinação originais
yadm, qadm, respectivamente a deflexão e inclinação admissíveis para o eixo, 
de acordo com as especificações dos elementos montados sobre ele.
4
.
adm
old
oldnew
y
yn
dd  4
.
adm
old
oldnew
n
dd
q
q

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Projeto e Dimensionamento – Velocidade Crítica
Uma última verificação do eixo projetado fica por conta do cálculo da sua 
velocidade crítica de ressonância. Orienta-se que esta velocidade fique acima 
de duas vezes a máxima velocidade de trabalho.
O peso próprio de um eixo horizontal em rotação define um primeiro valor de 
rotação máxima a ser considerado.
Sendo:
w1 = velocidade crítica fundamental (rad/s)
l = comprimento do eixo (m)
E = módulo de elasticidade do material do eixo (Pa)
I = momento de inércia da seção transversal do eixo (m4)
m = massa por unidade de comprimento do eixo (kg/m)
g = aceleração da gravidade (m/s2)
A = área da seção transversal do eixo (m2)
g = peso específico do material do eixo (N/m3)
g

w
A
gEI
lm
EI
l
22
1 












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Projeto e Dimensionamento – Velocidade Crítica
Para um conjunto de acessórios montados sobre o eixo, o método de 
Rayleigh para massas discretizadas fornece a seguinte equação para a obtenção 
da velocidade crítica fundamental
Sendo:
w1 = velocidade crítica fundamental (rad/s)
wi = módulo do peso (ou força transversal) na i-ésima localidade do eixo (N)
yi = módulo da deflexão da i-ésima localidade do eixo (m)
g = aceleração da gravidade (m/s2)



21
ii
ii
yw
ywg
w
w1
w2
w3
y3
y1
y2
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Projeto e Dimensionamento
Considerando a deflexão como sendo o critério de falha, siga os passos abaixo:
1. Encontrar um diâmetro uniforme para o eixo de forma que os limites de 
deflexão não sejam excedidos. Esta etapa pode ser realizada com base no 
equacionamento ou tabelas de vigas sob carregamento transversal. Se a 
deflexão limitante for torcional proceder com os cálculos de torção.
2. Considerar os elementos de transmissão de potência para definir os 
diâmetros e comprimentos de ressaltos, orifícios e rasgos.
3. Tomando as novas dimensões, proceder uma nova análise de deflexão e 
inclinação incluindo um fator de segurança n e baseando-se no resultado do 
item 1 de acordo com as equações abaixo:
4. Realizar a análise de resistência empregando as teorias recomendadas de 
fadiga para eixos: DE-Gerber e DE-elíptica. Analise toda a extensão do eixo 
em busca de pontos críticos, com concentração de tensões (ou faça uma 
análise por elementos finitos). O material deve ser escolhido visando um 
nível de resistência e performance suficiente com o menor custo possível.
5. Finalmente, calcule a velocidade crítica do eixo e verifique se ela é pelo 
menos 2 vezes maior que a máxima velocidade de trabalho.
4
.
adm
old
oldnew
y
yn
dd  4
.
adm
old
oldnew
n
dd
q
q

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Projeto e Dimensionamento
Considerando a tensão como sendo o critério de falha, siga os passos abaixo:
1. Encontrar um diâmetro uniforme para o eixo de forma que os limites de 
tensão não sejam excedidos. Uma análise estática pode servir de ponto de 
partida para o dimensionamento prévio.
2. Considerar os elementos de transmissão de potência para definir os 
diâmetros e comprimentos de ressaltos, orifícios e rasgos.
3. Tomando as novas dimensões, realizar a análise de resistência empregando 
as teorias recomendadas de fadiga para eixos: DE-Gerber e DE-elíptica. 
Analise toda a extensão do eixo em busca de pontos críticos, com 
concentração de tensões (ou faça uma análise por elementos finitos). O 
material deve ser escolhido visando um nível de resistência e performance 
suficiente com o menor custo possível.
4. Calcule as deformações transversais (dy) e inclinações (q) e verifique se 
estão dentro de um valor aceitável para o bom funcionamento do eixo e 
componentes ligados à eles.
5. Finalmente, calcule a velocidade crítica do eixo e verifique se ela é pelo 
menos 2 vezes maior que a máxima velocidade de trabalho.
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Referências
KLEBANOV, Boris M., BARLAM, David M., NYSTROM, Frederic E.,
“Machine Elements – Life and Design”. CRC Press. 2007.
SHIGLEY, Joseph E., et.all., “Projeto de Engenharia Mecânica”. Editora
Bookman. 7ª edição. 2005.
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