01V Mec Solidos

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MEC0287 – PROJETO DE SISTEMAS 
MECÂNICOS 1
Prof. Me. Eng. Mec. Vagner Grison
M
E
C
Â
N
IC
A
 D
O
S
 S
Ó
L
ID
O
S
Mecânica dos Sólidos - REVISÃO
Os esforços podem ser classificados em EXTERNOS e INTERNOS:
Esforços EXTERNOS (Solicitações):
• Ativos: são cargas externas aplicadas ao elemento tais como carga distribuída, 
carga concentrada e momento estático de forças;
• Reativos: são as reações de apoio em mancais ou vínculos.
Esforços INTERNOS:
Os esforços internos são produzidos no elemento devido as solicitações 
externas e podem ser classificados em:
• Força Normal - devido a componente axial da carga externa;
• Força Cortante - devido a componente tangencial da carga externa;
• Momento Fletor - devido ao momento estático da carga externa;
• Momento de Torção - devido a aplicação de um conjugado externo.
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Resistência
➢Para o dimensionamento é necessário sabermos até que valor de tensão um 
determinado material resiste.
➢Os valores de resistência são determinados em laboratório através de 
ensaios.
➢O ensaio de tração é o mais utilizado para determinação das características 
dos materiais.
Diagrama tensão / deformação:
➢O ensaio de tração consiste em aplicar a um corpo de prova uma força axial 
que vai aumentando de valor, deformando-o até a sua ruptura. 
➢O ensaio é realizado em uma máquina, conforme a figura a seguir, que 
consiste basicamente de uma prensa hidráulica.
➢Durante o ensaio ao aumentar a força aumenta também a deformação e 
dividindo-se a força aplicada pela área da seção do corpo de prova tem-se a 
tensão.
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S
1o
2o
3o
3
s
S
S
y
adm 
yS
utS
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Lei de Hooke
Pelo enunciado descrito as deformações são diretamente proporcionais 
as tensões que as produzem então podemos escrever:
σ = ε × fator de proporcionalidade
Este fator é o Módulo de elasticidade (E):
σ = ε · E
O valor do módulo de elasticidade depende do material e sua unidade é 
a mesma da tensão (força/área).
Observe que:
O módulo de elasticidade do material é obtido do resultado do ensaio 
bastando para isto dividir qualquer par de valores (σ, ε ) do gráfico 
tensão deformação desde que este par seja do trecho onde é válida a 
Lei de Hooke.
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Solicitação de Tração:
A solicitação de tração simples acontece quando a resultante das forças 
externas que atuam sobre uma dada seção do corpo, está orientada segundo 
seu eixo e tende a provocar um alongamento.
A
N

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Ó
L
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Solicitação de Compressão:
A solicitação de compressão simples acontece quando a resultante das forças 
externas que atuam sobre uma dada seção do corpo, está orientada segundo 
seu eixo, como na tração, porém tendendo a provocar um encurtamento.
A
N

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Flambagem:
Uma coluna sob ação de carregamento de compressão pode ser dimensionada 
de forma que o valor σ = N/A fique abaixo da tensão admissível para o material 
utilizado. No entanto, se a sua dimensão longitudinal for consideravelmente 
maior que a transversal poderá ocorrer um desvio súbito na forma do eixo, a 
qual é conhecida como flambagem.
P
A
B
L
P
A
B
(a) (b)
2
2
L
EI
Pcr


2
2
)/( rL
E
cr

 
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Flambagem: Condições de Extremidade
2
2
e
cr
L
EI
P


2
2
)/( rL
E
e
cr

 
P
A
A’
(a) Livre-
engastada
P’
BLe = 2L
P
A
B
Le = 0,7L
(b) Articulada-
engastada
(c) Biengastada
P
A
B
Le = 0,5L
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Flambagem: Carregamento Excêntrico
2
2
e
cr
L
EI
P









crP
P
r
ec
A
P
2
sec1
2max


A
B
P
L
P’
e
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Flambagem:
50
100
150
200
250
300
50 100 150 200
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
Curva de Euler E = 200 GPa
e = 250 MPa
Le / r

(MPa)
1
2

r
ec
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Solicitação de Flexão:
A solicitação de flexão simples acontece quando um binário ou momento 
externo tende a modificar o eixo do corpo.
W
M
I
cM ff



M
M – esforço externo
Mf – esforço interno
M
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Solicitação de Cisalhamento Transversal:
A solicitação de cisalhamento acontece quando duas seções de um corpo 
tendem a escorregar uma em relação a outra devido a forças externas.
tI
QV



V
F – esforço externo
Mf – momento fletor
V – força cortante
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Solicitação de Cisalhamento Transversal:
A solicitação de cisalhamento acontece quando duas seções de um corpo 
tendem a escorregar uma em relação a outra devido a forças externas.
A
V
média 
V
F – esforço externo
V – força cortante (esforço interno)
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Solicitação de Torção:
A solicitação de torção acontece quando duas seções de um corpo tendem a 
girar, uma em relação a outra, devido a um momento gerado por forças externas
J
cT 

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Solicitação de Torção: 
Relação Torque x Potência
J
cT 

n
HH
T 55,9

H = potência, W
T = Torque, N.m
 = velocidade angular, rad/s
n = velocidade angular, rpm

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Solicitação de Torção: 
Seções transversais não-circulares
•Baseia-se na teoria de membranas de Timoshenko – Teoria da Elasticidade
2
1 .. bac
T
máx 
T
a/b c1
1,0 0,208
1,2 0,219
1,5 0,231
2,0 0,246
2,5 0,258
3,0 0,267
4,0 0,282
5,0 0,291
10,0 0,312
∞ 0,333
T
a
b
* A máxima tensão sempre ocorre sobre a face maior
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S
Solicitação de Torção: 
Tubos de paredes finas (r >10.t)
tA
T
m2

Am= área incluída pela linha 
média da seção
T
Am
t
r
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L
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Solicitação de Torção: Seções abertas de 
paredes finas
2
3
bL
T
m
 Lm= comprimento da linha 
mediana
T
Lm
b
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Cilindros de parede grossa pressurizados: 









2
2
22
2
1
r
r
rr
pr o
io
ii
t 








2
2
22
2
1
r
r
rr
pr o
io
ii
r
ro
ri
pi
po=0
t
ro
ri
pi
po=0
r
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S
Concentração de Tensões
O equacionamento básico detensões considera que não há qualquer 
irregularidade geométrica ocorrendo nos membros considerados.
É mais comum, na prática, a ocorrência de peças com variações 
geométricas nas seções transversais, tais como furos, ressaltos, 
rebaixos, etc.
máx
nominal
nomtmáx K  
Kt = fator de concentração 
de tensão teórico 
(tabelado)
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Tensões de contato: Contato Esférico
   
3
21
2
2
2
1
2
1
11
11
8
3
dd
EEF
a






z
y
2a
F
F
d2
d1
22
3
a
F
pmáx


 
 

















 
22
1
/12
1
1
/
1
tan1
azaza
z
pmáxyx 
2
2
1
a
z
pmáx
zmáx



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Tensões de contato: Contato Cilíndrico
   
21
2
2
2
1
2
1
11
11
.
2
dd
EE
l
F
b







z
y
2b
F
F
d2
d1 bl
F
pmáx

2

22 /1 bz
pmáx
z



l









b
z
b
z
pmáxx 2
2
12
















b
z
b
z
b
z
pmáxy 2
1
21
2
2
2
2

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Ó
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ID
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S
Estado Plano de Tensões
Casos mais gerais de carregamentos podem gerar combinações entre 
tensões normais de tração e compressão, bem como tensões de 
cisalhamento.
Nestes casos, um cubo elementar sofre tensões em 4 das suas faces e 
tem duas faces isentas de tensões.
Esta situação ocorre em placas finas, vasos de pressão ou na superfície 
livre de elementos estruturais sob ação de carregamentos.
x
y yx
xy
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Estado Plano de Tensões
x’y’
x’
R
D
E
B A
C
M
máximo
x’
mínimo
médio
x’y’
máximo
O
(a)
2q
x’y’
x’
R
C
Nmédio
x’y’
x’
O
(b)
2q




Sentido Horário - Acima



Sentido Anti-Horário - Abaixo
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 S
Ó
L
ID
O
S
Estado Plano de Tensões
2
2
minmax,
22
xy
yxyx


 






 



x’y’
x’
R
D
E
B A
C
M
máximo
x’
mínimo
médio
x’y’
máximo
O
(a)
2q
x’y’
x’
R
C
Nmédio
x’y’
x’
O
(b)
2q
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Estado Plano de Tensões
2
2
2
xy
yx


 




 

2
yx
médio




x’y’
x’
R
D
E
B A
C
M
máximo
x’
mínimo
médio
x’y’
máximo
O
(a)
2q
x’y’
x’
R
C
Nmédio
x’y’
x’
O
(b)
2q
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Tensão Geral Tridimensional
A
B
D
E
F1
F2
F3
F4
F5
K
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Tensão Geral Tridimensional
A
B
F1 K
y
x
z
My
Vy
Mz
T
P
Vz
C
yz
zy
xy
zx
xz
yx
y
x
z
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S
 S
Ó
L
ID
O
S
Deformação Elástica
Estado de tensão
Deformações 
Principais
Tensões Principais
Uniaxial
E
1
1

 
11 . E
E
1
2

  02 
03 E
1
3

 
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Ó
L
ID
O
S
Deformação Elástica
Estado de tensão
Deformações 
Principais
Tensões Principais
Biaxial
EE
21
1



   
2
21
1
1
..






E
EE
21
2

 
03 EE
21
3



 
 
2
21
2
1
..






E
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Deformação Elástica
Estado de 
tensão
Deformações 
Principais
Tensões Principais
Triaxial
EEE
321
1

 
   
2
321
1
21
1






EE
EEE
321
2

 
EEE
321
3

 
   
2
312
2
21
1






EE
   
2
213
3
21
1






EE
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ID
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S
Teorias de Falha Estática:
Os materiais são classificados tipicamente como dúcteis ou frágeis. 
Cada material pode reagir diferentemente aos carregamentos externos e 
apresentar mecanismos de falha distintos.
Com isso, várias hipóteses foram estudadas ao longo dos anos, 
levando às práticas aceitas atualmente.
Abaixo estão relacionadas as teorias geralmente aceitas
•Materiais Dúcteis (critérios de escoamento)
•Máxima tensão de cisalhamento (MSS)
•Energia de distorção (DE)
•Coulomb-Mohr dúctil (DCM)
•Materiais Frágeis (critérios de ruptura)
•Máxima tensão normal (MNS)
•Coulomb-Mohg frágil (BCM)
•Modificações da teoria de Mohr
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 S
Ó
L
ID
O
S
Máxima tensão de cisalhamento (MSS)
a
b
e
e
e
e
O
eba
ba



 0
eb
ea
ba
ba








0
0
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S
Energia de Distorção (DE)
a
b
e
e
e
e
O
a
b
e
e
e
e
O  222 ebbaa  
34
MEC0287 – PROJETO DE SISTEMAS 
MECÂNICOS 1
Prof. Me. Eng. Mec. Vagner Grison
M
E
C
Â
N
IC
A
 D
O
S
 S
Ó
L
ID
O
S
Coulomb-Mohr dúctil (DCM)
a
b
t
t
c
c
O
1
0


c
b
t
a
ba





cb
ta
ba
ba








0
0
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M
E
C
Â
N
IC
A
 D
O
S
 S
Ó
L
ID
O
S
Máxima Tensão Normal (MNS)
b
at
t
c
c
O
tbc
tac
e




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M
E
C
Â
N
IC
A
 D
O
S
 S
Ó
L
ID
O
S
Coulomb-Mohr Frágil (BCM)
a
b
t
t
c
c
O
1
0


c
b
t
a
ba





cb
ta
ba
ba








0
0
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M
E
C
Â
N
IC
A
 D
O
S
 S
Ó
L
ID
O
S
Teoria de Mohr modificada I(M1M)
a
b
t
t
c
c
O
t
t
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N
IC
A
 D
O
S
 S
Ó
L
ID
O
S
Referências Bibliográficas
BEER, Ferdinand P. e JOHNSTON, Elwood Russell Jr.; Resistência 
dos Materiais, 3ª edição, Makron books, 1995.
SHIGLEY, Joseph E., et alli, Projeto de Engenharia Mecânica, 7ª 
edição, Bookman, 2004.
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