Aula 2 1 - Derivadas - definição

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Cálculo: limites de 
funções de uma 
variável e derivadas
Cristiane da Silva 
Derivadas: definição
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir derivada de uma função como o limite de uma razão 
incremental.
 � Analisar geometricamente o conceito de derivada.
 � Determinar a equação da reta tangente a partir do conceito de 
derivada.
Introdução
Pensando na função de uma variável, temos a abscissa (x) e a função 
f(x) ou y, cujo valor depende da variável x. Por definição, o incremento 
da variável x é dado por x – a, e o incremento da função f(x) é dado por 
f(x) – f(a). Portanto, a razão incremental é . O estudo se dá por 
meio de representações gráficas e exemplos detalhados, ou seja, você 
acompanhará uma noção mais intuitiva e, em seguida, a formalização 
em rigor matemático.
Veremos como as retas secantes tendem para a reta tangente, 
a inclinação da reta tangente, além das interpretações de derivada. 
As derivadas são bastante utilizadas na otimização de problemas – por 
exemplo, quando se tem interesse em obter a maximização ou minimiza-
ção de um determinado fenômeno – e em aplicações na física, biologia 
e administração.
Neste capítulo, você estudará o limite como uma razão incremental – 
a saber, incremento em linguagem matemática significa variação. Análises 
geométricas são propostas com as devidas interpretações e exemplifi-
cações. Além disso, chama-se atenção para as diferentes notações com 
as quais você pode se deparar.
Derivada de uma função
Para iniciarmos o estudo da derivada, convém recordar a definição de reta 
tangente a um gráfico e calcular a sua inclinação, como mostramos na Figura 1. 
Reta secante é qualquer reta que passa por dois pontos de uma curva ou um 
gráfico, cuja inclinação pode ser calculada supondo dois pontos P e Q do 
gráfico de y = f(x). Observe a Figura 1. Se P = (a, f(a)) e Q = (x, f(x)) com x ≠ a, 
temos a inclinação da reta secante por P e Q = , em que 
∆f = f(x) – f(a) e ∆x = x – a. A razão incremental é dada pela expressão 
(ROGAWSKI, 2008).
Figura 1. Inclinação das retas secante e tangente.
Fonte: Rogawski (2008, p. 97).
As representações gráficas da Figura 2, a seguir, mostram o que acontece 
com o ponto Q quando tende a P, ou quando x tende a a. 
Derivadas: definição2
Figura 2. As retas secantes tendem para a reta tangente quando Q tende a P.
Fonte: Rogawski (2008, p.98).
(a) (b)
(c) (d)
Note que as retas secantes tendem a ficar cada vez mais próximas da reta 
tangente. Suponha que Q está se movendo em direção a P, então parece que 
as retas secantes giram para a reta tangente, como demonstrado na Figura 2d. 
Podemos, então, esperar que as inclinações das retas secantes tendam à incli-
nação da reta tangente. Sendo assim, a derivada f′(a) pode ser definida como 
o limite f′(a) = (ROGAWSKI, 2008).
3Derivadas: definição
Outra forma de escrever a razão incremental é usando a variável h:
h = x – a
Temos x = a + h e x ≠ a, conforme a Figura 3:
Figura 3. Reta secante e razão incremental em termos de h.
Fonte: Rogawski (2008, p. 98).
A variável h tende a 0 quando x → a. Portanto, podemos reescrever a derivada como:
Fonte: Rogawski (2008, p. 98).
Derivadas: definição4
Rogawski (2008, p. 98) define formalmente a derivada como: a derivada 
de uma função f em x = a é o limite (se existir) das razões incrementais:
Quando existir o limite, dizemos que f é derivável em x = a ou, então, que 
é diferenciável e x = a. Uma definição equivalente é:
Exemplo
Encontre a derivada da função y = 2x pela definição de limite.
f (́a) = 2
Na próxima seção, intensificaremos o estudo da derivada por meio da 
análise geométrica de seu conceito, com exemplos detalhados para elucidar 
o conteúdo.
5Derivadas: definição
Análise geométrica de derivada
Anton, Bivens e Davis (2014) utilizam uma notação muito semelhante à 
que acabamos de estudar para analisar geometricamente o conceito de deri-
vada. Os autores definem a reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto 
P(x0, f(x0)) da curva, como mostra a seguinte Figura 4.
Figura 4. A reta secante tende para a reta tangente quando 
Q tende a P.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 132).
Nesse caso, considere um ponto Q(x, f(x)) na curva que seja distinto de P e 
verifique a inclinação mPQ da reta secante por P e Q: mPQ = . Quando 
x tende a x0, então o ponto Q aproxima-se do ponto P. Se a inclinação mPQ da 
reta secante por P e Q tender a um limite quando x → x0, consideramos esse 
limite como a inclinação mtg da reta tangente em P. Então, suponha que x0 seja 
um ponto no domínio da função f. A reta tangente à curva y = f(x) no ponto 
P(x0, f(x0)) é a de equação y – f(x0) = mtg(x – x0), em que 
sempre que existir o limite (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Derivadas: definição6
Exemplo 1
Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1).
Exemplo 2
Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2,1) (Figura 5).
7Derivadas: definição
Figura 5. Inclinação da reta tangente à curva .
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 133).
Exemplo 3
Encontre as inclinações das retas tangentes à curva em x0 = 1, x0 = 4 
e x0 = 9.
Para tornar a busca mais eficiente, encontraremos a inclinação para um 
valor arbitrário de x0 e, depois, substituiremos os valores numéricos específicos.
Racionalizando a expressão para ajudar a eliminar a forma indeterminada 
do limite:
Derivadas: definição8
Agora, as inclinações em x0 = 1, x0 = 4 e x0 = 9 podem ser obtidas substi-
tuindo esses valores na fórmula geral de mtg (Figura 6):
Inclinação em 
Inclinação em 
Inclinação em 
Figura 6. Inclinações das retas tangentes à curva y = em x0 
= 1, x0 = 4 e x0 = 9.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 133).
9Derivadas: definição
Note que, à medida que x se aproxima de zero pela direita, o gráfico vai 
ficando mais vertical, tanto que a tangente ao gráfico em x = 0 é uma reta 
vertical, e o eixo y é uma assíntota vertical para a função anterior. Isso ocorre 
porque:
Ou seja, quanto mais perto de zero, mais a inclinação aumenta e tende ao 
infinito, uma vez que uma reta vertical faz 90° com a horizontal e, nesse caso, 
não é possível obter o valor da inclinação. 
Por outro lado, na medida em que x aumenta, isto é, x → +∞, o gráfico vai 
ficando mais horizontal. Isso acontece porque a inclinação vai se aproximando 
de zero, que é a inclinação do eixo horizontal (eixo x).
Nem todas as funções contêm derivadas em todos os pontos. É possível que 
o limite que define a derivada de uma função f não exista em certos pontos do 
domínio de f. Por exemplo, vimos que a função não possui derivada 
em x = 0. Nesses pontos, a derivada não está definida.
Braga (2012, p. 92) destaca duas interpretações de derivada:
 � a derivada f′ de uma função f é a função cujo valor em x é a inclinação 
da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x;
 � a derivada f′ de uma função f é a função cujo valor em x é a taxa de 
variação instantânea de y = f(x) em relação x no ponto x.
Na próxima seção, veremos como determinar a equação da reta tangente 
a partir do conceito de derivada.
Equação da reta tangente
Nesta seção, você aprenderá como encontrar uma equação de uma reta tan-
gente usando a derivada. Além disso, verá representações gráficas, conceitos 
e notações, usualmente utilizados em derivadas.
Derivadas: definição10
Rogawski (2008) destaca que, na forma ponto-inclinação, a equação da reta 
tangente por P = (a, b) de inclinação m é dada por y – b = m(x – a). E também 
define uma reta tangente da seguinte maneira: 
“Suponha que f(x) seja derivável em x = a. A reta tangente ao gráfico de 
y = f(x) em P = (a, f(a)) é a reta por P de inclinação f′(a). Uma equação da reta 
tangente é y – f(a) = f′(a)(x – a)” (ROGAWSKI, 2008, p. 99).
Exemplo 1
Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 em x = 5.
Precisamos calcular f′(5). Isso pode ser feito a partir da equação 
.
Em seguida, aplicamosa equação y – f(a)(x – a) com a = 5. Como f(5) = 25, 
uma equação da reta tangente é y – 25 = 10(x – 5) ou, na forma inclinação-
-corte, y = 10x – 25, como mostrado na Figura 7, a seguir.
Figura 7. Reta tangente a y = x2 em x = 5.
Fonte: Rogawski (2008, p. 99).
11Derivadas: definição
Rogawski (2008) afirma que também convém ver a derivada como uma 
função f′(x) em que o valor em um ponto x = a particular é f′(a). A função f′(x) 
ainda é definida como um limite, mas o número a é substituído pela variável 
x. Sendo assim:
Se y = f(x), também costumamos escrever y′ ou y′(x) em vez de f′(x). São 
apenas notações diferentes para expressar o mesmo conceito. Cabe destacar 
que o domínio de f′(x) consiste em todos os valores de x do domínio de f(x) 
para os quais existe o limite. Pode-se afirmar que f(x) é derivável em (a, b) 
ou, então, que é diferenciável em (a, b), se existir f′(x) para cada x em (a, b). 
Quando dizemos que f′(x) é derivável (ou diferenciável) sem especificar um 
intervalo, queremos indicar que f′(x) existe para todo x no domínio de f(x), 
inclusive nas extremidades, quando houver (ROGAWSKI, 2008).
Exemplo 2
Prove que f(x) = x3 – 12x é derivável. Calcule f′(x) e encontre uma equação da 
reta tangente em x = – 3.
Para calcular f′(x) (Figura 8), seguiremos três passos.
1. Escrever por extenso o numerador da razão incremental:
f(x + h) – f(x) = ((x + h)3 – 12(x + h)) – (x3 – 12x)
f(x + h) – f(x) = (x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – 12x –12h) – (x3 – 12x)
f(x + h) – f(x) = 3x2h + 3xh2 + h3 – 12h
f(x + h) – f(x) = h(3x2 + 3xh + h2 – 12)
2. Dividir por h e simplificar a razão incremental:
Derivadas: definição12
3. Calcular a derivada tomando o limite:
Nesse limite, x é tratado como uma constante, pois não varia quando 
h → 0. Vemos que o limite existe para todo x, portanto f(x) é derivável e 
f′(x) = 3x2 – 12. Agora, calcula-se:
f(–3) = (–3)3 – 12(–3) = 9 f′(–3) = 3(–3)2 – 12 = 15
Uma equação da reta tangente em x – 3 é y – 9 = 15(x + 3). Ou seja: 
y = 15x + 45 + 9
y = 15x + 54
Figura 8. Gráfico de f(x) = x3 – 12x.
Fonte: Rogawski (2008, p. 108).
13Derivadas: definição
Exemplo 3
Prove que y = x–2 é derivável e calcule y′.
O domínio de y = x–2 é {x:x ≠ 0}. Portanto, supomos que x ≠ 0. Calculamos 
diretamente f′(x), sem fazer a separação dos três passos do exemplo anterior:
Cancelando h
O limite existe para todo x ≠ 0. Portanto, y é derivável e y = –2x–3.
Notação de Leibniz
A notação “linha” y′ e f′(x) foi introduzida pelo matemático francês Joseph Louis La-
grange (1736 – 1813). Há outra notação-padrão para a derivada, introduzida por Leibniz:
Derivadas: definição14
No Exemplo 2, mostramos que a derivada de y = x–2 é y′ = –2x–3. Na notação de 
Leibniz, esse resultado é escrito como: 
Para especificar o valor da derivada num valor fixado de x, digamos, x = 4, escrevemos:
A notação não deve ser entendida como quociente (dy dividido por dx), pois as 
expressões dy e dx são denominadas diferenciais, aqui, tratadas simplesmente como 
símbolos sem significado independente.
Fonte: Rogawski (2008, p. 108–109).
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
BRAGA, R. O. Cálculo I: estudo da derivada. São Leopoldo: Unisinos, 2012. 190 p.
ROGAWSKI, J. Cálculo, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2008. 624 p.
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