Lista funções e limites - cálculo I

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Lista de Exercícios de SMA353-Cálculo I-Parte 1
Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V)
ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as idéias
de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo:
( ) Cada ponto da reta R pode ser representado por uma dízima periódica.
( ) Se x ≥ 0 e x ≤ 0, então x = 0.
( ) Se z ∈ N e x < y, então x z < y z.
( ) Se z ∈ R e x ≤ y, então x z ≤ y z.
( )
√
x2 = x para todo x ∈ R.
( ) Se x > y, então |x− y| = x− y.
( ) Para quaisquer x, y ∈ R, temos que |x+ y| = |x|+ |y|.
( ) Se a e b são números irracionais então a+b também será um número irracional.
( ) Se a e b são números irracionais então a · b também será um número irracional.
( ) Se a e b são números racionais então a+ b também será um número racional.
( ) Se a e b são números racionais então a · b também será um número racional.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional então a+b é um número
irracional.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional então a · b é um número
racional.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional então a · b é um número
irracional.
( ) Se (a , b) são as coordenadas cartesianas de um ponto que pertence a uma reta
que tem coeficiente angular
3
2
, então o ponto (a + 2 , b + 3) também pertencerá a esta
reta.
( ) Se duas retas são perpendiculares e nenhuma delas é paralela ao eixo Oy, então
o produto de seus coeficientes angulares é −1.
( ) A reta que contém os pontos (1 ,−1) e (2 , 2) é paralela à reta de equação x−3 y = 7.
( ) A representação geométrica do gráfico da função y = x2+1 é simétrico em relação
ao eixo dos Ox.
( ) A representação geométrica do gráfico da equação x2 − y2 = 1 é simétrico em
relação à reta y = x.
( ) A representação geométrica do gráfico da função y = x2 + 1 é uma parábola.
( ) O maior diâmetro da elipse 2 x2 + y2 = 2 ocorre na direção horizontal.
( ) O vértice da parábola y = 2− x2 é ponto (0 , 2).
( ) O domínio da função f, cuja lei de associação é f(x) =
√
x
2− x
, é o intervalo
[0 , 2).
( ) A imagem da função f : R → R, dada por f(x) = 4 − x2, para x ∈ R, é o intervalo
(−∞ , 4].
( ) O subconjunto do plano
{
(x , y) ∈ R2 ; , x2 + y2 = 1 , com y ≥ 0
}
é a representação
geométrica do gráfico de uma função da variável x.
1
( ) A imagem da função f :
(
−π
2
,
π
2
)→ R, dada por f(x) = sen(x)
cos(x)
, para x ∈
(
−π
2
,
π
2
)
é toda a reta R.
( ) A equação sen(2 x) = 2, para x ∈ R, é satisfeita para infinitos valores distintos de
x.
( ) A equação [ sen(x) + cos(x)]2 − 1 = sen(2 x) é válida para todo x ∈ R.
( )
√
4 = ±2.
( )
√
9+ 16 =
√
9+
√
16.
( )
A.B
C
=
A
C
.
B
C
( )
A
B+ C
=
A
B
+
A
C
Exercício 2 O número x =
1+
√
2
1−
√
2
+ 2
√
2 é racional ou irracional? Justifique sua resposta.
Exercício 3 A divisão áurea de um segmento de comprimento l é a divisão deste em duas
partes na qual a menor está para a maior assim como a maior está para o todo. Se l é racional,
deduza que as partes (da divisão áurea) são irracionais. Se l é irracional, é possível deduzir
algo? Sugestão: Fórmula de Báskara.
Exercício 4 (a) Se x ≥ 0 e x ≤ y, mostre que x2 ≤ y2.
(b) Mostre que a afirmação anterior é falsa se considerarmos x, y quaisquer números reais.
(c) Se 0 ≤ x ≤ y, justifique se
√
x ≤ √y.
Exercício 5 Mostre que quaisquer que sejam os números reais x e y, temos que
x3 < y3 se e somente se x < y.
Exercício 6 Seja a ∈ (0, 1). Determine r > 0 de modo que (a− r, a+ r) ⊂ (0, 1).
Exercício 7 Sabemos que para todo a, b real tem-se |a+ b| ≤ |a|+ |b|. Como consequência
deste fato mostre que ||a|− |b|| ≤ |a− b| e que | |a|− |b| | ≥ |a|− |b|.
Exercício 8 Dê exemplo de números reais a e b tais que |a + b| < |a| + |b|. O que se pode
dizer a respeito dos sinais desses números?
Exercício 9 O número x =
1+
√
2
1−
√
2
+ 2
√
2 é racional ou irracional? Justifique sua resposta.
Exercício 10 A divisão áurea de um segmento de comprimento l é a divisão deste em duas
partes na qual a menor está para a maior assim como a maior está para o todo. Se l é racional,
deduza que as partes (da divisão áurea) são irracionais. Se l é irracional, é possível deduzir
algo? Sugestão: Fórmula de Báskara.
2
Exercício 11 Encontre o conjunto solução, fornecendo suas respostas na forma de
intervalos, para as seguintes desigualdades:
a) |1− 3 x| < 5 b)
∣∣x2 + 3∣∣ > 3 c) x2 < 9
d) x2 > −1 5) x2 < 6x− 5 e) x3 > 27
f)
x− 6
x+ 2
≥ 0 g) (x+ 2) (x− 3)
x
(
x2 + 1
) < 0 h) 8
x
< x− 2
i)
3
x− 2
<
1
2 x+ 1
j)
x2
x− 2
− 1 ≥ x
2 + 3
x2 − 4
k) x2 + 2 x+ 2 > 0
l) Forneça uma função cujo domínio seja a resposta da letra e)
Exercício 12 Determine a equação geral das retas do plano xOy:
a) que possua coeficiente angular −2 e que contém o ponto (3 ,−1).
b) perpendicular à reta do plano xOy, que tem equação geral dada por 5 x − 2 y = 2 e
que contém o ponto (−2 , 3).
c) tangente a circunferência que tem centro no ponto (0 , 0) e raio 1, no ponto
(√
2
2
,
√
2
2
)
.
Exercício 13
a) Encontre a distância do ponto (1 ,−2) à reta do plano xOy, que tem equação geral
dada por 3 x− 2 y = 0.
b) Mostre que o segmento de reta ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo
qualquer é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do comprimento deste.
Exercício 14 Encontre a representação geométrica do gráfico de cada um dos conjuntos
soluções das seguintes equações ou inequações:
a) x2 + y2 − 6 x+ 8 y = 0 b) x2 + y2 − 10 y+ 25 = 0 c) x2 + y2 < 1
d) x2 + y2 ≥ 1 e) x = −
√
1− y2 f) x2 + y2 < −1
Exercício 15 Um canhão é colocado na origem de um sistema de coordenadas xOy.
Suponha que as coordenadas de um projétil atirado pelo canhão satisfaz as seguintes
equações x = 50 t metros e y = 50 t − t2 metros, depois de t segundos do lançamento.
Mostre que a trajetória do projétil é uma parábola. A que distância do canhão o projétil
vai atingir o chão? Qual a altura máxima que o projétil atingirá após o disparo do
canhão?
Exercício 16 Determine os vértices e o eixo de cada uma das parábolas abaixo e en-
contre as respectivas representações geométricas (gráficos):
a) y2 = x b) y = −x2 c) y2 − 4 x− 4 y = 0
3
Exercício 17 Classifique as funções abaixo em constante, afim, polinomial, racional, qualquer:
a) f(x) = x5 + x4 − 3 x2 , para x ∈ R b) f(x) = x−3 , para x ∈ R c) f(x) = 3 x
2 + 3
x2 + 1
, para x ∈ R
d) f(x) = 3− 2x , para x ∈ R e) f(x) = c , para x ∈ R f) f(x) = sen(x)
x2
, para x ∈ R \ {0}
Exercício 18
a) Existe alguma simetria na representação geométrica do gráfico de uma função par?
Qual? e da representação do gráfico de uma função ímpar?
b) Mostre que dada uma funcão f : R → R, podemos encontrar uma função g : R → R,
que é uma função par, e uma função h : R → R, que é uma função ímpar, tal que
f(x) = g(x) + h(x), para x ∈ R.
c) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
a) f(x) = x3 , para x ∈ R b) f(x) = |x| , para x ∈ R c) f(x) = x
(
x3 − x
)
, para x ∈ R
d) f(x) = x4 + x2 , para x ∈ R e) f(x) = x
3 + x
x2 + 1
, x ∈ R f) f(x) = tg(x) , para x ∈
(
−
π
2
,
π
2
)
Exercício 19 Consideremos as funções [x] = maior inteiro menor ou igual a x e {x} =
distância de x ao inteiro mais próximo. Encontre a representação geométrica do gráfico
das seguintes funções:
a) f(x) = {x} , para x ∈ R b) f(x) = [x] , para x ∈ R
c) f(x) = x− [x] , para x ∈ R d) f(x) = 1
4
{4 x} , para x ∈ R \ {0}
Exercício 20 Verifique quais das funções abaixo são periódicas e nos casos em que
forem periódicas encontrar o seu período fundamental:
a) f(x) = sen(2 x) , para x ∈ R b) f(x) = sen(x) + sen(πx) , para x ∈ R
c) f(x) = [x] , para x ∈ R d) f(x) = 3 cos(x+ 2) , para x ∈ R
Exercício 21
1) Converta de graus para radianos:
a) 15o b) 105o c) 135o d) 630o
2) Converta de radianos para graus:
a)
5 π
3
b)
7 π
15
c)
25 π
3
d)
π
5
Exercício 22 Um ponto se move de tal modo que a razão de suas distâncias a dois
pontos fixos é uma constante c 6= 1. Mostre que o lugar geométrico desses pontos é
uma circunferência.
4
Exercício 23
a) Calcule a área da regiãolimitadado plano xOy, delimitada pelas representações
geométricas dos gráficos das curvas y = 3 x, x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 4 e y = 0.
b) Se h 6= 0, calcule o valor do quociente f(x+ h) − f(x)
h
para as seguintes funções:
i) f(x) = x2 + x , para x ∈ R ii) f(x) = 3 x+ 5 , para x ∈ R
iii) f(x) = sen(x) , para x ∈ R iv) f(x) = x3 , para x ∈ R
Exercício 24
a) Quando uma função é injetora? Como caraterizar a injetividade de uma função
analisando a representação geométrica do seu gráfico?
b) Quando uma função é sobrejetora? Como caraterizar a sobrejetividade de uma
função analisando a representação geométrica do seu gráfico?
c) Quando uma função é bijetora? Como caraterizar a bijetividade de uma função
analisando a representação geométrica do seu gráfico?
Exercício 25 Em cada um dos itens abaixo diga se a função é injetora , sobrejetora,
bijetora:
a) f : R→ R , dada por f(x) = 5 x+ 1 , para x ∈ R
b) f : R→ R , dada por f(x) = x2 + 4 , para x ∈ R
c) f :
[
0 ,
3π
2
]→ [−1 , 1] , dada por f(x) = cos(x) , para x ∈ [0 , 3π
2
)
d) f : [0,∞)→ [4 ,∞) , dada por f(x) = x2 + 4 , para x ∈ R
e) f :
(
−
π
2
,
π
2
)→ R , dada por f(x) = tg(x) , para x ∈ (−π
2
,
π
2
)
g) f : [0 ,∞)→ R , dada por f(x) = x2 + 4 , para x ∈ R
Exercício 26
a) Seja f : A ⊆ R→ B ⊆ R uma função que admite função inversa. Então f−1 é igual a
1
f
? justifique sua resposta.
b) Quais as funções do Exercício 25. admitem função inversa? quando admitir, en-
contrar a lei de associação da função inversa.
Exercício 27 Determine os vértices e o eixo de cada uma das parábolas abaixo e en-
contre as respectivas representações geométricas (gráficos):
a) y2 = x b) y = −x2 c) y2 − 4 x− 4 y = 0
Exercício 28 Retirado/repetido.
Exercício 29 Retirado/repetido.
Exercício 30 Retirado/repetido.
5
Exercício 31 Retirado/repetido.
Exercício 32 Retirado/repetido.
Exercício 33 Durante uma noite um homem de 1, 80 metros de altura estava parado, ao
nível da rua, perto de um poste de iluminação de 4, 50 metros que está aceso. Exprima
o comprimento de sua sombra como função da distância que ele está do poste.
Exercício 34 Dois homens saem, no mesmo instante, numa caminhada do mesmo
ponto por caminhos retilíneos e perpendiculares. Um anda a velocidade de 2 km/h
e o outro a 3 km/h. Exprima a distância entre eles como função do tempo que eles
caminharam.
Exercício 35 Um reservatório contém um líquido, não homogêneo, em equilíbrio, e
cuja densidade aumenta linearmente com a profundidade, h, valendo ρo na superfície
e ρ1 no fundo do reservatório. Encontre a função que descreve a densidade do líquido
ρ, em função da profundidade h (isto é, ρ = ρ(h)).
Exercício 36 Um objeto é lançado, verticalmente, e sabe-se que no instante t segundos,
sua altura é dada por h(t) = 4 t− t2 quilómetros, para t ∈ [0 , 4].
a) encontre a representação geométrica do gráfico da função h = h(t).
b) Qual a altura máxima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura é atingida?
Exercício 37
Na figura ao lado, OPQR é um trapézio tal que
OP = 10 cm, PQ = QR = 5 cm. A partir de
um ponto S, pertencente ao lado OP, traça-se
uma perpencicular a esse lado. Sendo OS = x,
a área A da região sobreada na figua ao lado
pode ser obtida como uma função de x, isto é,
A = A(x). Encontre essa função. SO
R Q
P
x
� -
�
�
�
�
�
��
Exercício 38 Entre os retângulos de perímetro (isto é, soma dos lados) 2p qual terá
maior área?
Exercício 39 Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços,
um dois quais será torcido de modo a formar um quadrado, e o outro , a formar uma
circunferência. De que modo deverá ser cortado o fio para que a soma das áreas das
regiões limitadas pelo quadrado e pela circunferência acima seja a maior possível?
6
Exercício 40
Na figura ao lado, OPQ úm triângulo isóce-
les cuja base, OP, mede 10 cm e cuja altura,
relativa à base OP, também mede 10 cm. A
partir de um ponto S, pertencente ao lado OP,
traça-se uma perpendicular a esse lado. Sendo
OS = x, a área da região sobreada ao lado pode
ser descrita como uma função de x, isto é,
A = A(x). Encontre a função A = A(x).
x
Q
P
S
O
� -
Exercício 41
Na figura ao lado está
representada uma semi-
circunferência cujo diâmetro,
OB, tem valor igual à b > 0.
A cada valor do ângulo θ
(como na figura) corresponde
um, e somente um, triân-
gulo retângulo inscrito na
semi-circunferência. Encotre
a função A = A(θ) que nos
fornece a área do triângulo
obtido quando o ângulo é θ.
BO
θ
Exercício 42 Em cada um dos itens abaixo determine os domínios máximos de f e g.
Determine também as imagens de f e g. Verifique se a imagem de f está contida no
domínio de g e, neste caso, encontre h = g ◦ f. Encontre também a imagem de h.
(a) g(x) = 3x+ 1 e f(x) = x+ 2
(c) g(x) =
1
x
e f(x) =
1
x+ 1
(e) g(x) = 1− x2 e f(x) = sin x
(g) g(x) = ln(x) e f(x) = 1− x2
(b) g(x) = 2+ x2 e f(x) =
√
x
(d) g(x) =
1
x2 + 1
e f(x) =
√
x
(f) g(x) = x3 e f(x) =
√
x
(g) g(x) = ex e f(x) =
√
1− x2
Exercício 43 Se f, g : R −→ R são ambas pares, verifique que f ◦ g e g ◦ f são funções
pares. Mostre também que, se f e g são ambas ímpares, então f ◦ g e g ◦ f são ímpares.
O que se pode dizer das composições f ◦ g e g ◦ f se f for par e g for ímpar?
Exercício 44 Para cada uma das funções g dadas abaixo, encontre f tal que f(g(x)) = x,
para todo x ∈ Dg.
7
(a) g(x) =
1
x
e Dg = {x ∈ R; x 6= 0}
(b) g(x) = 2+
3
x+ 1
e Dg = {x ∈ R; x 6= −1}
(c) g(x) =
x+ 2
x+ 1
e Dg = {x ∈ R; x 6= −1}
(d) g(x) = x2 − 2x e Dg = {x ∈ R; x ≥ 1}
(e) g(x) = x2 − 4x+ 3 e Dg = {x ∈ R; x ≥ 2}
Exercício 45 Faça o gráfico das funções f(x) =
1
x
e g(x) = 1+
4
x
, juntos para identificar
os valores de x para os quais
3
x− 1
<
2
x+ 1
e confirme algebricamente.
Exercício 46 Expresse a área e o perímetro de um triângulo equilátero em função do
comprimento x do triângulo.
Exercício 47 Expresse o comprimento da aresta de um cubo em função do comprimento
da diagonal d. Depois, expresse a área da superfície e o volume do cubo em função do
comprimento da diagonal.
Exercício 48 Para que uma curva seja simétrica em relação ao eixo x, o ponto (x, y)
deverá estar na curva se, e somente se, o ponto (x,−y) também estiver na curva.
Explique por que uma curva simétrica em relação ao eixe x não é o gráfico de uma
função a não ser que a funçaõ seja y = 0.
Limite de uma função e Propriedades dos limites
Exercício 49 Se f(1) = 5 , lim
x→1 f(x) deve existir? Em caso afirmativo, deve ser limx→1 f(x) =
5? Podemos concluir algo sobre lim
x→1 f(x)? Explique e faça um desenho.
Exercício 50 Determine os seguintes limites.
(a) lim
t→−1
t2 + 3t+ 2
t2 − t− 2
(b) lim
x→0
1
x− 1
+
1
x+ 1
x
8
Exercício 51 Suponha que lim
x→c f(x) = 5 e limx→c g(x) = −2. Determine.
(a) lim
x→c f(x)g(x)
(b) lim
x→c 2f(x)g(x)
(c) lim
x→c(f(x) + g(x))
(d) lim
x→c(f(x) + 3g(x))
(e) lim
x→c
f(x)
f(x) − g(x)
(f) lim
x→c
f(x)
g(x)
Exercício 52 Explique por que o limite não existe: lim
x→1
1
x− 1
Teorema do Confronto
Exercício 53 Seja f uma função definida em R tal que para todo x 6= 1,
−x2 + 3x ≤ f(x) < x
2 − 1
x− 1
Calcule lim
x→1 f(x) e justifique.
Exercício 54 Sejam f e g funções com mesmo domínio A tais que lim
x→p f(x) = 0 e |g(x)| ≤
M para todo x em A, onde M > 0 é um número real fixo. Prove que
lim
x→p f(x)g(x) = 0
Exercício 55 Calcule, caso exista lim
x→0
f(x) − f(0)
x− 0
, onde f é dada por
(a) f(x) =
{
x2 sen( 1
x
) se x 6= 0
0 se x = 0
(b) f(x) =
{
x sen( 1
x
) se x 6= 0
0 se x = 0
Item (a) é teoria do confronto.
Exercício 56 Prove que:
(a) lim
x→a f(x) = 0⇔ limx→a |f(x)| = 0. (b) limh→0 f(h)h = 0⇔ limh→0 f(h)|h| = 0
9
Exercício 57 Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que
lim
x→0
√
x3 + x2 sen
π
x
= 0
Ilustre, fazendo os gráficos das funções f, g e h (como no Teorema do Confronto) na
mesma tela.
Exercício 58 Se 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4 f(x).
Limite Fundamental e Limites Trigonométricos
Exercício 59 Calcule.
(a) lim
x→0
tan(2x)
sen(3x)
(b) lim
x→0(1− x) tan(
πx
2
)
(c) lim
x→0
x−xcos(x)
sen2(2x)
(d) Retirado/repetido.
(e) Retirado/repetido.
(f) lim
x→0
x+ senx
x2 − senx
Exercício 60 Determine os limites nos seguintes exercícios.
(a) lim
θ→0
sen
√
2θ√
2θ
(b) lim
y→∞ seny
(c) lim
x→0
x2 − x+ senx
2x
(d) lim
θ→0
1− cos θ
sen2θ
(e) lim
θ→0 θ cos θ
Definição formal de limite
Exercício 61 Mostre, pela definição (usando ε’s e δ’s), que:
(a) lim
x→2 x2 = 4 (b) limx→−2(4x+ 1) = −7;
Exercício 62 Mostre, pela definição (usando ε’s e δ’s), que a função dada é contínua
no ponto dado:
(a) f(x) = −3x em p = 1 (b) f(x) =
√
x em p = 4
Limites e indeterminações
10
Exercício 63 Limites do tipo limx→a f(x)g(x) com o numerador e o denominador se apro-
ximando de zero são chamados de indeterminações do tipo 0/0. Eles são delicados
porque não podemos aplicar a regra do quociente. Se f e g são polinômios, então
f(a) = g(a) = 0, e portanto x = a é uma raiz do numerador e do denominador. Deste
modo, podemos fatorá-los na forma (x − a)p(x), com p sendo um polinômio de grau
menor. Em alguns casos, isso permite eliminar a indeterminação, como no exemplo
abaixo
lim
x→3
x2 − 4x+ 3
6− 2x
= lim
x→3
(x− 3)(x− 1)
−2(x− 3)
= lim
x→3
x− 1
−2
=
2
−2
.
(Observe que o limite é só na última passagem.) Utilize a ideia acima para calcular
os limites a seguir.
(a) lim
z→0
z2 + 2z
z
(b) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x
(c) lim
t→1
t− 1
t3 − 1
Exercício 64 O limite trigonométrico fundamental nos diz que limx→0 sen (x)x = 1. Use
esta informação para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(6x)
2x
(b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
(c) lim
x→0
cos(x) − 1
x
Dica: para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por (cos(x) + 1)
Exercício 65 Suponha que lim
x→0
f(x)
x
= 1 . Calcule:
(a) lim
x→0
f(3x)
x
(b) lim
x→0
f(x2)
x
(c) lim
x→1
f(x2 − 1)
x− 1
Exercício 66 Calcule:
(a) lim
x→0
tan(x)
x
. (b) lim
x→0
x
sen (x)
. (c) lim
x→π
sen (x)
x− π
.
Exercício 67 Calcule:
11
(a) lim
x→0
tan 2x
x
(b) lim
x→0
7x
6sen x
(c) lim
x→π
2
cos (x)
x−
π
2
(d) lim
x→π
4
cos(x) − sen(x)
tan(x) − 1
(e) lim
x→2
tan(πx)
x− 2
(f) Retirado/repetido.
(g) lim
x→p
tan(x− p)
x2 − p2
, p 6= 0 (h) lim
x→0
sen
(
x2 +
1
x
)
− sen
(
1
x
)
x
(i) lim
x→p
sen(x) − sen(p)
x− p
(j) lim
x→p
tan(x) − tan(p)
x− p
(k) lim
x→0
13x − 8x
x
(l) lim
x→0
x− sen(x)
x2
(m) lim
x→∞ artg(x2 − x4) (n) limx→1
4
√
x− 1
5
√
x− 1
Item (k) usa segundo limite fundamental ou derivada de exponencial no x = 0 (ver exer-
cício 96 (d)).
Note que itens (i) e (j) são derivadas pois são velocidades instantâneas (ver exercício
84 (d)).
Exercício 68 Algumas indeterminações do tipo 0/0 podem ser resolvidas usando-se o
artifício de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de um deles,
conforme o exemplo abaixo
lim
x→4
√
x− 2
x− 4
= lim
x→4
(
√
x− 2)
(x− 4)
(
√
x+ 2)
(
√
x+ 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(
√
x+ 2)
= lim
x→4
1√
x+ 2
=
1
4
.
(Observe que o limite é só na última passagem.) Utilize a ideia acima para calcular
os limites a seguir.
(a) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9
(b) lim
x→7
5−
√
4+ 3x
7− x
(c) lim
x→0
1− cos(x)
x2
Exercício 69 Calcule cada um dos limites abaixo.
(a) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x3 − x2 + x− 1
(b) lim
x→a
√
x−
√
a
x− a
(c) lim
x→0−
xsen(x)
1− cos(x)
(d) lim
x→0 xsen
(
1
x
)
(e) lim
x→1
√
x− 1
√
2x+ 3−
√
5
(f) lim
x→π
sen(x− π)
x− π
(h) lim
x→a
xn − an
x− a
(i) lim
x→a
3
√
x− 3
√
a
x− a
Dica: nos dois últimos, use a identidade (xn−yn) = (x−y)(xn−1+xn−2y+· · ·+xyn−2+yn−1),
para n ∈ N
(g) Quando você aprender o limite de derivada, responda quais destes limites acima
são derivadas de alguma função f(x). E quem é f(x) em cada caso em que isso aconte-
cer?
12
Exercício 70 Calcule lim
h→0
f(p+ h) − f(p)
h
, em cada um dos casos:
(a) f(x) = x2 (b) f(x) = 3x+ 1
Exercício 71 Calcule lim
x→p
f(x) − f(p)
x− p
, em cada um dos casos:
(a) f(x) =
1
x
(b) f(x) =
1
x2
c) Por que os limites lim
h→0
f(p+ h) − f(p)
h
, e lim
x→p
f(x) − f(p)
x− p
, possuem os mesmos re-
sultados? Comprove esse fato para o exemplo em que f(x) = x2. Justifique porque tem
que dar igual de forma geral, independente da função. Qual a mudança de variável
para se convencer disto?
d) Você sabe o que estes limites do item (c) tem a ver com derivada? (Eles são
limites de taxa de variação média e darão taxa de variação instântanea, justifique isso
quando você tiver aprendido este fato.)
Exercício 72 Sejam f, g : R→ R, com g(x) 6= 0, ∀ x. Prove que, se
lim
x→p
f(x)
g(x)
= 0 ,
então existe δ > 0 tal que
0 < |x− p | < δ =⇒ |f(x)| < |g(x)| .
Exercício 73 Prove que
(a) lim
x→p f(x) = L ⇐⇒ limx→p(f(x) − L) = 0 ⇐⇒ limx→p |f(x) − L| = 0
(b) lim
x→p f(x) = L =⇒ limx→p |f(x)| = |L|
e que não vale a volta se L 6= 0. Faça desenhos para pensar. Dica: use Exercício 7.
(c) lim
x→p f(x) = 0 ⇐⇒ limx→p |f(x)| = 0
Faça desenhos para pensar.
13
Exercício 74 (Teoria do Confronto) Calcule lim
x→0
g(x)
x
sabendo que g : R→ R é tal que
|g(x)| ≤ x4, ∀ x ∈ R.
Exercício 75 (Teoria do Confronto) Sejam f , g : R→ R tais que
[g(x)]4 + [f(x)]4 = 4 , ∀ x ∈ R.
Calcule e justifique
(a) lim
x→0 x5g(x) (b) limx→3 f(x)
√
x3 − 27
Exercício 76 (Teoria do Confronto) Sejam a, b, c ∈ R e suponha que
|ax2 + bx+ c| ≤ |x|3, ∀ x ∈ R.
Prove que devemos ter a = b = c = 0 necessariamente.
Exercício 77 Mostre e verifique graficamente que
(a) não existe lim
x→0 sen
(
1
x
)
(b) existe lim
x→0 x sen
(
1
x
)
= 0
Exercício 78 Dê um exemplo de uma função f de maneira que lim
x→p |f(x)| exista, mas
lim
x→p f(x) não exista.
Exercício 79 A afirmação
lim
x→p+ f(x) = limx→p− f(x) =⇒ f é contínua em p
é verdadeira? Justifique.
Exercício 80 (limites no infinito) Calcule:
(a) lim
x→+∞
5x4 − 2x+ 1
4x4 + 3x+ 2
; (b) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x+ 3
;
(c) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x+ 2
; (d) lim
x→−∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
;
(e) lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x
x2 + 3
; (f) lim
x→+∞
(√
x+ 1−
√
x+ 3
)
;
14
Exercício 81 Todos os itens aqui são similares ao Exercício 84. Portanto, você deve
fazer os itens do exerc. 81 ou do exerc. 84. Isso é suficiente. Em qualquer caso,
responda sempre o item (j). Calcule:
(a) lim
x→−∞
5− x
3+ 2x
; (b) lim
x→+∞
(
2x−
√
x2 + 3
)
;
(c) lim
x→+∞
(√
x+
√
x−
√
x− 1
)
; (d) lim
x→−1+
2x+ 1
x2 + x
;
(e) lim
x→0+
2x+ 1
x2 + x
; (f) lim
x→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
;
(g) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x+ 4
; (h) lim
x→−1+
3x2 − 4
1− x2
;
(i) lim
x→0
sen (x)
x3 − x2
.
(j) Quais as assíntotas horizontais ou verticais de cada item? Dê as equações de
tais assíntotas.
Exercício 82 (limites no infinito) Calcule:
(a) lim
x→+∞ 2−
1
x
; (b) lim
x→+∞ 4x4 − 3x+ 2; (c) limx→+∞ 3
√
5+
2
x
.
Exercício 83 (limites no infinito) Calcule:
(a) lim
x→+∞
2x6 − 7x+ 3
4x6 + x+ 5
(b) lim
x→−∞
7x4 + 1
x5 + 6x+ 1
(c) lim
x→+∞
√
x2 + 5
6x+ 1
(d) lim
x→−∞
4
√
x4 + 6x− 1√
3x2 + 4x+ 1
(e) lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x
x2 + 7
(f) lim
x→+∞
(√
x+ 2−
√
x+ 5
)
(g) Quais as assíntotas horizontais de cada item? Dê as equações de tais assíntotas.
Exercício 84 Calcule:
(a) lim
x→−∞
3− x
5+ 3x
(b) lim
x→−∞
(
3x−
√
x2 + 3
)
(c) lim
x→+∞
(√
x+
√
x−
√
x− 2
)
(d) lim
x→−1+
3x+ 2
x2 + x
(e) lim
x→0+
x+ 4
x2 + x
(f) lim
x→1+
3x− 6
x2 + 4x− 5
(g) lim
x→3+
x2 − 9
x2 − 6x+ 9
(h) lim
x→−1+
7x2 − 5
1− x2
(i) lim
x→0+
sen2x
x4 − x3
(j) Quais as assíntotas horizontais ou verticais de cada item? Dê as equações de
tais assíntotas.
15
Exercício 85 Seja n um inteiro positivo. Prove que lim
x→+∞ n
√
x = +∞ pela definição.
Exercício 86 (limites no infinito) Calcule:
(a) lim
x→∞ x− 3
√
2+ 3x3 (b) lim
x→∞
x+
√
x+ 3
2x− 1
Mostre que (c) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x
é diferente de (d) lim
x→∞
√
x2 + 4
x
.
Exercício 87 Considere f(x) = cos(x) e g(x) = xsen
(
1
x
)
. Calcule lim
x→0+ f(x) e limx→0+ g(x). O
que podemos dizer sobre lim
x→0+
f(x)
g(x)
.
Exercício 88 Calcule:
(a) lim
x→3+
|x− 3|
x− 3
; (b) lim
x→3−
|x− 3|
x− 3
; (c) lim
x→3
|x− 3|
x− 3
; (d) lim
x→3+
x2 − 6x+ 9
x− 3
.
Exercício 89
(a) Calcule lim
x→+∞
2x+ 5
2x3 + 4x− 1
.
(b) Mostreque existe r > 0 tal que
x > r⇒ 0 < 2x+ 5
2x3 + 4x− 1
<
1
2
.
Exercício 90 Seja n um inteiro positivo. Prove que lim
x→+∞ n
√
x = +∞ pela definição.
Exercício 91 (IME) Sendo n ∈ Z+, seja P(n) =
(
1+
1
n2
)(
1+
2
n2
)
...
(
1+
n− 1
n2
)
.
Mostre que se n→∞, P(n) admite um limite e calcule esse limite.
16
Exercício 92 Calcule os seguintes limites:
(a) Retirado/repetido. (b) lim
x→∞
(
x−
√
x2 + 1
)
(c) lim
x→∞ x
[
ln
(
1+
2
x
)]
(d) lim
x→1
[
(1− x) tg
(πx
2
)]
(e) Retirado/repetido. (f) lim
x→∞
(
x2 −
√
x4 + 7
)
(g) lim
x→∞ x2
[
ln
(
1+
3
x2
)]
(h) Retirado/repetido. (i) lim
x→∞ tg
(
πx4
(2x4 + 3x+ 2)
)
(j) lim
x→∞
(
1+
2
x
+
1
x2
)x
(k) lim
x→∞ sec
(
πx3 + 213
(x3 + 10x+ 1)
)
.
Exercício 93 Sabendo-se que lim
x→1
f(x)
1− x3
= 6 e lim
x→1
g(x)
1− x
= −10, é correto afirmar que:
(a) Nada se pode afirmar sobre lim
x→1 f(x)cos
(
1
x− 1
)
e lim
x→1
g(x)
1− x2
.
(b) lim
x→1 g(x)sen
(
1
x− 1
)
= 0 e lim
x→1
f(x)
g(x)
= −3/5.
(c) Nada se pode afirmar sobre lim
x→1 g(x)sen
(
1
x− 1
)
e lim
x→1
f(x)
g(x)
.
(d) lim
x→1 f(x)sen
(
1
x− 1
)
= 0 e lim
x→1
f(x)
g(x)
= −9/5.
(e) Todas as outras alternativas são falsas.
Exercício 94 (IME) Dada a função racional: f(x) =
x3 + ax2 + bx+ c
mx2 + nx+ p
e sabendo que
a, b, c, m, n, p ∈ Z e que:
(a) f(2) = 0
(b) para x = −1 tem-se uma indeterminação do tipo
0
0
(c) lim
x→−1 f(x) = −6
(d) x = 1 é raiz do polinômio mx2 + nx+ p
(e) f(3) =
1
f(4)
,
determine os coeficientes a, b, c, m, n, p.
17
Exercício 95 Mostre os itens abaixo usando o teorema do Confronto:
(a) Se f é limitada em uma vizinhança do ponto a e lim
x→ag(x) = 0, então
lim
x→a f(x)g(x) = 0
(b) cos(x) é função contínua.
Exercício 96 a) Relembre como mostrar que lim
x→0
ln(x+ 1)
x
= 1 pelo teorema do con-
fronto. (Isto foi feito usando áreas, pois lembre que a função ln(x) foi definida como
área.)
b) Relembre a mudança de variável para fazer a resolução do limite lim
x→0
ex − 1
x
usar o
limite do item (a).
c) O limite do item (b) é velocidade instantânea e portanto derivada de ex em x = 0.
Explique.
d) Usando a mesma ideia do item (b) resolva lim
x→0
ax − 1
x
com a > 0 e a 6= 1. (Lembre
que loga(x) =
ln(x)
ln(a)
.)
e) O limite do item (d) é velocidade instantânea e portanto derivada de ax em x = 0.
Explique.
Exercício 97 Dê exemplo de funções f e g tais que
lim
x→p+ f(x) = L, L 6= 0 e limx→p+ g(x) = 0,
mas o limite abaixo não dá ∞ e nem −∞
lim
x→p+
f(x)
g(x)
.
Exercício 98 A resolução abaixo está incorreta. Indique onde os erros ocorrem e então
calcule o limite corretamente.
lim
x→∞
√
x2 + x− x = lim
x→∞
√
x2
(
1+
1
x
)
− x
= lim
x→∞ x
(√
1+
1
x︸︷︷︸→0 − 1
)
︸ ︷︷ ︸→0
= lim
x→∞ x.0 = 0
18
Exercício 99 Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justifi-
cando ou apresentando um contra-exemplo.
(a) Se f, g : R→ R são funções tais que f é limitada e positiva e lim
x→∞g(x) =∞, então
tem-se que lim
x→∞ f(x)g(x) =∞.
(b) Se f, g : R→ R são funções tais que f é limitada e lim
x→∞g(x) =∞, então tem-se que
lim
x→∞ f(x) + g(x) =∞.
(c) Se f, g : R→ R são funções tais que lim
x→∞
f(x)
g(x)
=∞, então lim
x→∞ f(x) − g(x) =∞.
Exercício 100 Dê exemplos de funções f e g tais que:
(a) lim
x→∞ f(x) =∞, limx→∞g(x) =∞ e limx→∞ f(x)g(x) = 0;
(b) lim
x→0 f(x) =∞, limx→0 g(x) =∞ e limx→0 f(x) − g(x) = 1;
(c) lim
x→0 f(x) − g(x) = 0 e limx→0
f(x)
g(x)
6= 1;
(d) lim
x→0
f(x)
g(x)
= 1 e lim
x→0 f(x) − g(x) 6= 0.
Exercício 101 Em cada item abaixo, determine o maior conjunto onde a função f em
questão é contínua.
a) f(x) =
3x− 5
2x2 − x− 3
b) f(x) =
x2 − 9
x− 3
c) f(x) =
√
2x− 3+ x2
d) f(x) =
x− 1√
x2 − 1
e) f(x) =
x
x2 + 1
f) f(x) =
√
9− x√
x− 6
Exercício 102 Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
a) f(x) =

√
x−1
x2−1
, se x 6= ±1
√
2
2
, se x = 1
0 , se x = −1
b) f(x) =
{
2−x
2−|x|
, se x 6= 2
1 , se x = 2
(1)
Exercício 103 Sejam f, g : R→ R funções contínuas em R tais que f(3) = g(3). Pergunta-
se: a função h(x) =
{
f(x) , se x ≤ 3
g(x) , se x > 3
é contínua em R? Justifique sua resposta.
19
Exercício 104 Determine as constantes A, B de modo que a função
f(x) =

3x , se x ≤ 2
Ax+ B , se 2 < x < 5
−6x , se x ≥ 5
seja contínua em R.
Exercício 105 Encontre exemplos de funções tais que:
a) f+ g é contínua em x0 mas f e g não são.
b) f ◦ g é contínua em x0 mas g é descontínua em x0 e f é descontínua em g(x0).
c) f é contínua em g(x0), g não é contínua em x0 mas f ◦ g é contínua em x0.
Exercício 106 Considere a função
g(x) =

x, x ≥ 2
x2
2
, x < 2.
Calcule:
(a) lim
x→2−
g(x) − g(2)
x− 2
;
(b) lim
x→2+
g(x) − g(2)
x− 2
;
(c) lim
x→2
g(x) − g(2)
x− 2
(ou seja, a derivada de g(x) em x=2, existe?);
(d) A função f(x) =
g(x) − g(2)
x− 2
é contínua em 2? Por que?
Exercício 107 Calcule:
a) lim
x→0 cos
(
x
sen(x) − 2x
)
b) lim
x→0 sen
(
cos(π
2
− 3x)
x
)
Exercício 108 Considere f(x) =
x2 − 4
x− 2
e h(y) =
{
1 , se y ≥ 6
g(y) , se y < 6
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou não.
a) lim
x→2h(f(x)) = h(limx→2 f(x)) b) limy→2 f(h(y)) = f(limy→2h(y))
20
Exercício 109 Esboce as curvas transladadas e conclua sobre o limite.
(a) y = 2x − 1 e y = 2−x − 1;
(b) lim
x→∞(2x − 1)
(c) y = 1− ex e y = 1− e−x;
(d) lim
x→ −∞(1− e−x)
Exercício 110 Faça o gráfico das funções abaixo e verifique se possuem assíntotas jus-
tificando com os limites apropriados.
(a) y = e|x|; (b) y = e−|x|; (c) y = ex−3.
Exercício 111 Responda:
(a) lim
x→ 0+ ln(x)
(b) lim
x→ ∞ ln(x)
(c) lim
x→ ∞(ln(x) − 5)
(d) lim
x→ ∞ ln(x− 3)
(e) lim
x→ 3+ ln(x− 3)
(f) lim
x→ 3+ 1+ ln(x− 3)
Exercício 112 Encontre o domínio de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) =
1
2+ ex
;
(b) f(x) = cos(e−x);
(c) f(x) =
3
1− e2x
;
(d) f(x) =
1− ex
2
1− e1−x2
;
(e) f(x) =
1+ x
ecos x
;
Exercício 113 Use as propriedades dos logaritmos para simplificar as expressões.
(a) ln sen(θ) − ln
(
senθ
5
)
;
(b) ln(3x2 − 9x) + ln
(
1
3x
)
;
(c) ln sec(θ) + ln cos(θ);
(d) ln(8x+ 4) − 2 ln 2.
Exercício 114 Resolva em k:
(a) e2k = 4;
(b) 100e10k = 200;
(c) e
k
1000 = a;
(d) e5k =
1
4
;
(e) 80ek = 1;
(f) e(ln 0,8)k = 0, 8.
21
Exercício 115 Resolva em t:
(a) ekt =
1
10
; (b) e−0,01t = 1000;
Exercício 116 Se
ln x
x
=
ln 2
2
, é necessário que x = 2? Justifique sua resposta.
Exercício 117 Enuncie os seguintes teoremas:
(a) O Teorema do Anulamento;
(b) O Teorema do Valor Intermediário;
(c) O Teorema de Weierstrass.
Exercício 118 a) Mostre que existe um número real x0 tal que x50 − 4x0 + 1 = 7, 21.
b) Considere f, g : [a, b] → R funções contínuas tais que f(a) < g(a) e g(b) < f(b).
Mostre que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c).
Exercício 119 a) Se f(x) = x3−5x2+7x−9, mostre que existe x0 ∈ R tal que f(x0) = 100.
b) Mostre que a equação x5 − 3x4 − 2x3 − x + 1 = 0 tem, pelo menos, uma raiz no
intervalo [0, 1].
Exercício 120 Dada a função f : [−2, 7]→ R, definida por f(x) = { 4− x22 , se − 2 ≤ x < 4
2 , se 4 ≤ x ≤ 7
,
pergunta-se: f tem máximo e mínimo no intervalo [−2, 7]? Justifique sua resposta. No
caso da resposta a questão acima ser negativa, pergunta-se: isto contradiz o Teorema
do Valor Extremo? Justifique sua resposta.
Exercício 121 Mostre que a equação
x3 −
1
1+ x4
= 0
admite pelo menos uma raiz real.
22
Exercício 122 Seja f : [−1, 1]→ R definida por
f(x) =
x2 + x
1+ x2
.
(a) Prove que o valor máximo de f é f(1).
(b) Mostre que existe x1 ∈ ] − 1, 0[ onde f(x1) é o valor mínimo de f.
Exercício 123 Seja f : I ⊂ R → R contínua, onde I é um intervalo qualquer. Então
mostre que a imagem de f é um intervalo (observe que {a} = [a,a]).
Exercício 124 Seja f : [a, b] ⊂ R→ R contínua com f(a) < f(b). Suponha que
∀ s, t ∈ [a, b], s 6= t =⇒ f(s) 6= f(t).
Prove que f é estritamente crescente (i.e., ∀ s, t ∈ [a, b], s < t =⇒ f(s) < f(t)).
Exercício 125 Seja f uma função definida por
f(x) = 2x3 −
√
x2 + 3x .
(a) Determine o domínio de f.
(b) Verifique que f é contínua em [0,+∞[.
(c)Mostre que a única raiz de f em ]1,+∞[ é o número real 1, e que f(2) > 0 e
f
(
1
2
)
< 0.
(d) Verifique ainda que f(x) > 0 em ]1,+∞[ e que f(x) < 0 em ]0, 1[.
Exercício 126 Um corredor parte do repouso e corre numa pista circular em uma único
sentido. Ele para quando chega ao ponto de partida. Mostre que, pelo menos, uma vez
durante esta volta, ele deve ter desenvolvido a mesma velocidade em pontos diametral-
mente opostos.
Exercício 127 Um alpinista começa a escalar uma montanha às 8:00 horas do sábado
e chega ao topo às 16:00 horas do mesmo dia. Acampa no topo e desce às 8:00 horas
do domingo, chegando no ponto original de saída às 16:00 horas. Mostre que em algum
horário no domingo ele estava à mesma altura em que esteve no mesmo horário no
sábado.
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Exercício 128 Recordando: (a) Quais limites definem reta assíntota vertical? Qual a
equação da reta assíntota vertical?
(b) Quais limites definem reta assíntota horizontal?
Isso tem a ver com o exercício 91 (a) ? Qual a equação da reta assíntota horizontal?
(c) Use limite e distância e defina reta assíntota inclinada da forma y = ax+ b. Essa
definição serve também para o caso (a) ou (b)?
(d) Por que lim
x→∞ f(x) =∞ não indica existência de assíntotas para y = f(x)?
Exercício 129 Calcule os seguintes limites: (use o segundo limite fundamental)
a) lim
x→+∞
(
1+
1
x
) x
3
b) lim
x→+∞
(
1+
1
x
)x−3
c) lim
x→+∞
(
1−
2
x
)3x
d) lim
x→0 (1+ 4x)
1
x e) lim
x→+∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
f) lim
x→+∞
(
2x+ 3
2x+ 1
)x
g) lim
x→+∞
(
1+
2
x+ 3
)x
h) lim
x→0
ln(1+ 2x)
3x
i) lim
x→0
log2(x+ 1)
x
j) lim
x→∞
(
1−
1
x2
)x
Esses limites definem assíntotas verticais ou horizontais? Quais as equações destas
assíntotas?
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