AV1 Trabalho 1 - Cálculo Diferencial e Integral III - Noite

Prévia do material em texto

Questão 1 – Determine: 
i. O domínio das funções; 
ii. A imagem das funções; 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 9𝑦 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 
(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
(d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑥 + 𝑦 ) 
 
Questão 2 – Calcule: 
(a) lim
( , )→( , )
(𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 4) 
(b) lim
( , )→( , )
 
 
Questão 3 – Calcule os limites envolvendo indeterminações: 
(a) lim
( , )→( , )
 
(b) lim
( , )→( , )
 
 
Questão 4 – Mostrar que os limites seguintes não existem: 
(a) lim
( , )→( , )
 
(b) lim
( , )→( , )
 
 
 
Curso: Matemática e Engenharia Civil Valor da avaliação: 5,0 pontos 
IEN004-20 – Cálculo Diferencial e Integral III ( X ) AV1 ( )AV2 ( )AVS ( ) 2ª Ch. AVS 
Professor: Jhoab Pessoa de Negreiros Data de postagem: 20 / 09 / 2020 
Atividade deverá ser realizada pelos times de aprendizagens 
Data de entrega até: 30/09/2020 no BlackBoard 
 
Questão 4 – Calcule as derivadas parciais: 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥. cos (𝑦 − 𝑥) 
(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 4 
(d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
 
Questão 5 – Calcule dois modos: 
(i) Usando a regra da cadeia; 
(ii) Determinando a função composta 𝑧(𝑡) e derivando em relação a 𝑡. 
𝑧 = 𝑦𝑒 + 𝑥𝑒 , 𝑥 = cos (𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
 
Questão 6 – Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem: 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 4 
(b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑒 ( √ ) 
 
Questão 7 – Mostre que a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑥 + 𝑦 ), satisfaz à respectiva equação de Laplace: 
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
= 0 
Comentário: Uma função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. 
 
Questão 8 – Mostre que a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑒 , satisfaze a equação da difusão do calor: 
𝑢 − 𝛼𝑢 = 0 
 
 
Questão 9 – Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 ; 𝑃(1, −1) 
(b) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧; 𝑃(1, 2, 3) 
 
 
 
Questão 10 – Encontre a derivada direcional no ponto 𝑃 na direção do vetor 𝑣. 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 , 𝑣 = (1,3), 𝑃(2, −5) 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + cos (𝑦𝑧), 𝑣 = (−1,2,2), 𝑃(1,0, −1) 
 
Questão 11 – Encontre as direções nas quais a função 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒 + 𝑧 cresce e decresce mais rapidamente a 
partir do ponto 1, 𝑙𝑛2, . Depois encontre as derivadas direcionais da função nessas direções. 
 
Questão 12 – A derivada de f(x, y) em 𝑃 = (1,2) na direção (1, 1) é 2√2 e na direção de (0, -2) é -3. Qual é a derivada de 
f na direção de (-1, -2)? Justifique sua resposta. 
 
Questão 13 – Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções nos pontos indicados: 
(a) 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑃 (0,0,0) e 𝑃 (1,1,1) 
(b) 𝑧 = 1−𝑥 − 𝑦 𝑃 (0,0,1) e 𝑃 , , √ 
 
Questão 14 – Calcular a diferencial das funções dadas nos pontos indicados: 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 cos(y) ; 𝑃(1, 𝜋 4⁄ ) 
(b) 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦 ) ; 𝑃(1,1) 
 
Questão 15 – Calcular 𝑑𝑓(1,1) e ∆𝑓(1,1) da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 considerando ∆𝑥 = 0,01 e ∆𝑦 = 1 . 
Comparar os resultados obtidos. 
 
Questão 16 – Vamos considerar uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio igual a 2cm e altura igual 
a 5cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm². Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 
10% no raio e 2% na altura, pergunta-se: 
(a) Qual o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa? 
(b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa?