logica 2

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LÓGICA II
Meu nome é Luís Fernando Crespo. Sou doutorando 
em Filosofia pela Pontifícia Universidade Católica de 
Campinas, possuo graduação em Filosofia 
(Bacharelado) e mestrado em Filosofia (Ética) por 
essa mesma universidade. Tenho experiência na 
área de Filosofia, com ênfase em Ética, atuando 
principalmente nos seguintes temas: Lógica, Ética, 
Estética, Sociedade e Ciência. Tenho experiência, 
também, na Educação Presencial e a Distância (além 
de vasta experiência no ensino de Filosofia para Ensinos Fundamental e Médio).
Meu nome é Renato Rodrigues Kinouchi. Sou bacharel 
em Psicologia e Psicólogo pela Universidade Federal de 
São Carlos, doutor em Filosofia também pela Universidade 
Federal de São Carlos e pós-doutorando em Filosofia da 
Ciência pela Universidade de São Paulo. Atualmente, sou 
professor adjunto da Universidade Federal do ABC. Tenho 
experiência nas áreas de Filosofia da Ciência, Epistemologia e 
Ensino de Ciências. Dentre os temas de pesquisa, incluem-
se: Ciência e Valores, Pragmatismo, Filosofia e História da 
Psicologia, Vieses Cognitivos. Também sou colunista da seção "Lógica" na Revista 
Discutindo Filosofia, que é vendida em bancas de jornal.
E-mail: rekinouchi@yahoo.com.br
Claretiano – Centro Universitário
Rua Dom Bosco, 466 - Bairro: Castelo – Batatais SP – CEP 14.300-000
cead@claretiano.edu.br
Fone: (16) 3660-1777 – Fax: (16) 3660-1780 – 0800 941 0006
www.claretianobt.com.br
Meu nome é Ricardo Matheus Benedicto. Sou graduado 
e mestre em Filosofia pela Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo e doutorando em Educação 
pela Universidade de São Paulo. Além de lecionar no 
Claretiano – Centro Universitário, sou professor da rede 
pública, lecionando para Ensinos Fundamental e Médio.
E-mail: ricardobenedicto@claretiano.edu.br
O Claretiano – Centro Universitário agradece ao Prof. 
Juan Antonio Acha, graduado em Licenciatura em 
Filosofia pelo Claretiano e especialista em Gestão 
e Filosofia, pelo apoio na elaboração de Questões 
Autoavaliativas explicativas desta obra.
Luis Fernando Crespo
Renato Rodrigues Kinouchi
Ricardo Matheus Benedicto
Batatais
Claretiano
2016
LÓGICA II
© Ação Educacional Claretiana, 2012 – Batatais (SP)
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CORPO TÉCNICO EDITORIAL DO MATERIAL DIDÁTICO MEDIACIONAL
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Preparação: Aline de Fátima Guedes • Camila Maria Nardi Matos • Carolina de Andrade Baviera • Cátia 
Aparecida Ribeiro • Dandara Louise Vieira Matavelli • Elaine Aparecida de Lima Moraes • Josiane Marchiori 
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Rodrigues de Oliveira
Revisão: Cecília Beatriz Alves Teixeira • Eduardo Henrique Marinheiro • Felipe Aleixo • Filipi Andrade de Deus 
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Cardoso
Bibliotecária: Ana Carolina Guimarães – CRB7: 64/11
DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
 
 160 C94L 
 
Crespo, Luis Fernando 
 Lógica II / Luis Fernando Crespo, Renato Rodrigues Kinouchi, Ricardo Matheus 
Benedicto – Batatais, SP : Claretiano, 2016. 
 163 p. 
 
 ISBN: 978-85-8377-481-5 
 1. Cálculo proporcional. 2. Método dedutivo. 3. Provas formais. 4. Cálculo de predicados. 
 I. Kinouchi, Renato Rodrigues. II. Benedicto, Ricardo Matheus. III. Lógica II. 
 
 
 
 
 
 CDD 160 
INFORMAÇÕES GERAIS
Cursos: Graduação
Título: Lógica II 
Versão: ago./2016
Formato: 15x21 cm
Páginas: 163 páginas
SUMÁRIO
CONTEÚDO INTRODUTÓRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9
2. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO ......................................................................... 11
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 35
Unidade  1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 37
2. CONTEÚDOS ...................................................................................................... 37
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................... 37
4. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 41
5. PROPOSIÇÕES .................................................................................................... 42
6. CONECTIVOS E TABELAS DE VERDADE .............................................................. 45
7. TEXTOS COMPLEMENTARES .............................................................................. 52
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................... 53
9. CONSIDERAÇÕES ............................................................................................... 64
10. e-ReFeRÊnCiaS ................................................................................................. 65
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 65
Unidade  2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 67
2. CONTEÚDOS ...................................................................................................... 67
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................... 68
4. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 68
5. TABELA DE VERDADE ......................................................................................... 69
6. PROVA DE VALIDADE ......................................................................................... 72
7. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊNCIAS, IMPLICAÇÃO E 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA ..................................................................................... 75
8. DEDUÇÃO NATURAL .......................................................................................... 80
9. TEXTOS COMPLEMENTARES .............................................................................. 87
10. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................... 89
11. CONSIDERAÇÕES ............................................................................................... 94
12. e-ReFeRÊnCiaS ................................................................................................. 95
13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .........................................................................95
Unidade  3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 97
2. CONTEÚDOS ...................................................................................................... 97
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................... 97
4. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 99
5. A LINGUAGEM DO CÁLCULO DE PREDICADOS .................................................. 100
6. QUANTIFICADORES ........................................................................................... 103
7. TEXTO COMPLEMENTAR ................................................................................... 105
8. QUESTÕES AUTOVALIATIVAS ............................................................................. 108
9. CONSIDERAÇÕES ............................................................................................... 110
10. e-ReFeRÊnCiaS ................................................................................................. 111
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 111
Unidade  4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 113
2. CONTEÚDOS ...................................................................................................... 113
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................... 113
4. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 119
5. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ............................................................................ 119
6. PROBLEMA ONTOLÓGICO ................................................................................. 122
7. TEXTOS COMPLEMENTARES .............................................................................. 127
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................... 131
9. CONSIDERAÇÕES ............................................................................................... 134
10. e-ReFeRÊnCia ................................................................................................... 134
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 135
Unidade  5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
1. OBJETIVO ........................................................................................................... 137
2. CONTEÚDOS ...................................................................................................... 137
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................... 137
4. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 139
5. REGRAS PARA QUANTIFICADORES .................................................................... 139
6. TEXTO COMPLEMENTAR ................................................................................... 145
7. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................... 155
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 161
9. e-ReFeRÊnCia ................................................................................................... 162
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 162
9
CADERNO DE REFERÊNCIA DE 
CONTEÚDO
Conteúdo –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Cálculo Proposicional: proposições e conectivos, análise de proposições 
compostas, operações com proposições, tabelas de verdade, teste de validade. 
Método dedutivo e Provas Formais. Cálculo de Predicados: tradução para a 
língua do cálculo, quantificadores, o Problema Ontológico e provas formais.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
 
1. INTRODUÇÃO
Seja bem-vindo a Lógica II!
Provavelmente você já estudou sobre os princípios da Ló-
gica Formal, como o que são premissas e seus indicadores, como 
se organizam os argumentos (categórico, hipotético e dedutivo). 
Estudou, também, sobre a Lógica Formal Clássica e a oposição 
de proposições categóricas, bem como as noções de indução e 
dedução. Esses estudos capacitaram você para dar prossegui-
mento ao estudo da Lógica Simbólica. Trata-se de um dos ramos 
da Filosofia que mais se desenvolveu a partir do século 19. Com 
esta obra, você entrará no terreno da Lógica Simbólica, conteúdo 
imprescindível na sua formação acadêmico-filosófica, pois con-
tribuirá para a formação do pensar dos futuros educandos.
10 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
O que você vai aprender
O conteúdo programático foi dividido em cinco unidades:
Na Unidade 1, você conhecerá o tópico referente às ques-
tões preliminares sobre a Lógica Simbólica, em que você vai co-
nhecer as noções básicas relacionadas à lógica, como os Princí-
pios da Não Contradição e do Terceiro Excluído, os Valores da 
Verdade, as proposições simples e compostas, os conectivos e 
Tabelas de Verdade.
Na Unidade 2, trataremos da validade de argumentos, e 
você aprenderá a utilizar as Tabelas de Verdade para demonstrar 
a validade ou invalidade de argumentos. Para isso, você aprende-
rá os princípios de Tautologia, Contradição e Contingência.
Na Unidade 3, você estudará a sintaxe do Cálculo de Predi-
cados, que é o cerne da Lógica Clássica. Procuraremos, também, 
traduzir proposições de linguagem ordinária para a linguagem 
do Cálculo de Predicados. Teremos a oportunidade de conhecer 
e aprofundar as constantes individuais e de predicados, as variá-
veis individuais e os quantificadores.
Na Unidade 4, trataremos das proposições categóricas na 
linguagem do Cálculo de Predicados, procurando traduzir essas 
proposições para a linguagem do Cálculo de Predicados. Alguns 
temas serão objeto de nossa reflexão, tais como: quadro tradi-
cional de oposição, Problema Ontológico e a resposta de 
Russel a essa questão e às novas relações do quadro tradicional 
de oposição.
Na Unidade 5, vamos procurar demonstrar a validade no 
Cálculo de Predicados. Vamos estudar e aplicar as regras de in-
ferência, a introdução e a eliminação do universal, bem como a 
introdução e a eliminação do existencial.
11© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Esperamos que você atinja os objetivos propostos e, me-
diante pesquisa e estudo da bibliografia indicada, vá além e 
aprofunde mais os seus conhecimentos de Lógica Simbólica, pro-
curando, sobretudo, aplicá-los na prática de seu dia a dia e no 
exercício profissional.
2. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO
Abordagem Geral
Prof. Ms. Luís Fernando Crespo
Neste tópico, apresenta-se uma visão geral do que será 
estudado nesta obra. Aqui você entrará em contato com os as-
suntos principais deste conteúdo de forma breve e geral e terá a 
oportunidade de aprofundar essas questões no estudo de cada 
unidade. Desse modo, essa Abordagem Geral visa fornecer-lhe 
o conhecimento básico necessário a partir do qual você possa 
construir um referencial teórico com base sólida – científica e 
cultural – para que, no futuro exercício de sua profissão, você 
a exerça com competência cognitiva, ética e responsabilidade 
social. Vamos começar nossa aventura pela apresentação das 
ideias e dos princípios básicos que fundamentam esta obra.
Para apresentar esta obra, que não é nenhum bicho de 
sete cabeças, é preciso retomar alguns dos conceitos importan-
tes estudados anteriormente. Desse modo, é importante relem-
brar que um dos objetivos da Lógica consiste em saber avaliar a 
validade de argumentos. Assim, faz-se necessário recordar que 
argumento pode ser entendido como sinônimode raciocínio e se 
define como um conjunto de proposições em que encontramos 
premissas e conclusão. Recordemos, também, que premissas são 
12 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
justificativas que apresentamos para uma determinada conclu-
são, e que um argumento não é verdadeiro ou falso, mas válido 
ou inválido. Verdade e falsidade são atributos das proposições.
A Lógica, que tem sua origem na Filosofia, com Aristóte-
les, passou a fazer parte de várias outras áreas do conhecimen-
to devido à sua grande importância. Assim, cada ramo acabou 
acrescentando noções, regras e maneiras de trabalhar com os 
exercícios lógicos.
Neste estudo, trataremos de uma disciplina da Filosofia 
chamada de "Lógica Simbólica", também conhecida como "Lógi-
ca Matemática". Para quem acreditava que a Teoria do Silogismo 
se assemelha muito mais à Matemática que à Filosofia, verá que, 
agora sim, nossos estudos parecerão mais matemáticos ainda, 
principalmente por sua exatidão.
Dentro da Lógica Simbólica, veremos, de maneira especial, 
o Cálculo Proposicional.
Aqui encontraremos um tipo de raciocínio iniciado por 
George Boole, que aplica os métodos algébricos (Matemática) à 
Lógica do Discurso.
Assim, trataremos de argumentos e proposições a partir 
do Cálculo Algébrico.
Trataremos de uma Lógica que trabalha com símbolos. Daí 
você pode questionar a necessidade de se trabalhar com símbo-
los – será que existe mesmo tal necessidade?
Convidamos você a enxergar a dificuldade que existe no 
trabalho com argumentos na linguagem usual, não simbólica. 
Imagine, a partir das grandes diferenças linguísticas, como seria 
difícil tratar de um mesmo argumento em português, depois em 
inglês, alemão, japonês etc. Pense como seria calcular (pois é 
13© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
isso o que faremos) a validade de um argumento com tais dife-
renças linguísticas. Daí a utilidade dos símbolos.
Um simples exemplo é ver a diferença de dificuldades: um 
filósofo e um matemático, brasileiros, que devem resolver pro-
blemas em suas áreas, sendo que tudo está em alemão.
Was heisst denken?
4x4-3x2.√-x = -√7-13
Como o matemático se utiliza de linguagem simbólica, será 
mais fácil para ele entender o que se passa.
A linguagem pelos símbolos é muito mais simples. Temos 
tal linguagem como a superação de obstáculos.
Para este estudo, é muito importante que você já tenha as 
noções básicas de Lógica, por exemplo:
1) Argumento.
2) Premissas.
3) Conclusão.
4) Proposições Categóricas.
O que é um argumento? Como identificar as premissas e 
conclusão? Quais são as proposições categóricas e que relações 
existem entre elas?
Mesmo que voltemos aqui a ver algumas definições, é im-
portante que se tenha em mente o conteúdo inicial de Lógica.
O objetivo principal deste estudo é dar condições de ava-
liar um argumento, se ele é válido ou não. Lembre-se de que ra-
ciocinar corretamente significa construir raciocínios válidos. Na 
verdade, você terá condições de construir as chamadas "provas 
formais de validade".
14 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Para falar diretamente, então, do conteúdo deste nosso es-
tudo, tenhamos em mente o argumento. Você se lembra o que é 
ele? Argumento é uma série de proposições; uma delas é a con-
clusão (tese defendida), e as outras são as evidências (premissas) 
oferecidas em apoio à conclusão.
Mas o que são as proposições? São sentenças que podem 
ser descritas (com sentido) como verdadeiras (V) ou falsas (F) – e 
apenas um destes, ou seja, é sempre um predicado que é atribuí-
do a um sujeito – e ele pode ser verdadeiro ou falso.
Veja, agora, um argumento apenas para que você o obser-
ve, pois trataremos dele a seguir. O argumento é o seguinte:
1) Existe mal no mundo.
2) Se existe mal no mundo, Deus não pode evitar o mal 
ou Deus não quer evitar o mal.
3) Se Deus não pode evitar o mal, Deus não é onipotente.
4) Se Deus não quer evitar o mal, Deus não é benevolente.
5) Portanto, Deus não é onipotente ou Deus não é 
benevolente.
Por agora, apenas pense sobre ele, pois tentaremos mos-
trar algumas atividades lógicas por meio desse argumento. Mas, 
você acha que ele é válido ou não?
Você não deve se desesperar, pois nesta Abordagem Geral, 
apenas falaremos brevemente de toda a conceituação e do Cál-
culo de Proposições, somente para mostrar quais são os conteú-
dos; você terá tempo para entender calmamente.
Quando falamos do argumento, dizemos que ele pode ser 
válido ou contraválido (inválido ou não válido). Diferentemente, 
de uma proposição apenas podemos dizer que ela é verdadeira 
15© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
ou falsa. O que significa isso? Uma proposição é verdadeira se 
aquilo que ela afirma ocorre de fato; se ela não é verdadeira, ela 
é falsa (você se lembra do Princípio do Terceiro Excluído?).
Mas, e o argumento válido, o que é? Podemos responder 
de várias maneiras. Ele é válido:
• Se suas premissas sustentam plenamente sua conclusão.
• Se a verdade da conclusão segue da verdade das 
premissas.
• Se não podemos afirmar de premissas verdadeiras uma 
conclusão falsa.
Preste atenção, agora, em algo muito simples e muito im-
portante: o argumento apenas será contraválido quando suas 
premissas forem verdadeiras e sua conclusão for falsa.
A seguir, temos um simples quadro de dedução:
PREMISSAS V F F V
CONCLUSÃO V F V F
Só podemos ter essas combinações de valores entre pre-
missas e conclusão de um argumento, lembrando que a última 
combinação (V/F) indica um argumento contraválido.
E qualquer proposição (seja premissa ou conclusão) será 
atômica, quando apresentar um enunciado simples, ou molecu-
lar, quando apresentar um enunciado composto. Por exemplo:
• Proposição Atômica: "chove".
• Proposição Molecular: "chove e fico resfriado".
Com esses tipos de proposição é que trabalharemos neste 
estudo.
16 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Mas, até agora, tudo o que falamos serviu apenas como 
introdução, pois ainda não vimos nada de simbólico. A partir da-
qui, ficará mais claro o que se explica. Vejamos alguns exemplos 
de símbolos: p, q, r, s... P, Q, R, S...
Os símbolos que usamos para as proposições são sempre 
letras, e normalmente partimos das seguintes letras: p, q, r, s... 
Letras minúsculas designam sempre proposições atômicas, en-
quanto as maiúsculas designam proposições moleculares.
A proposição "chove" é uma proposição atômica, vamos 
chamá-la de p; a proposição "fico resfriado" é uma proposição 
atômica, que chamaremos de q. Mas, se eu juntar essas duas, 
teremos uma proposição molecular: a proposição "chove e fico 
resfriado" chamaremos de R.
Assim, toda proposição pode ser transformada simbolica-
mente; apenas é preciso prestar muita atenção para fazer a tra-
dução simbólica corretamente.
• Chove (p).
• Fico resfriado (p).
• Chove e fico resfriado (R).
Observe que, quando juntamos as duas, usamos um co-
nectivo entre elas. A proposição é "chove e fico resfriado", por-
tanto é preciso que também essa conexão seja simbolizada. Daí, 
temos, também, símbolos para os conectivos; por exemplo, para 
o conectivo e, temos este símbolo .
• Conectivo: e = .
Então, veja como fica a proposição "chove e fico resfriado":
p q
Assim, temos a proposição escrita simbolicamente.
17© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Você entendeu bem até aqui? Para prosseguir, você já deve 
até ter suposto que teremos, então, um símbolo para cada co-
nectivo; observem:
1) Chove (p). – Não chove (~p).
2) Fico resfriado (q). – Não fico resfriado (~q).
3) Chove e fico resfriado (p q).
4) Chove ou fico resfriado (p q).
5) Se chove, então fico resfriado (p q).
6) Se, e somente se, chove, fico resfriado (p q).
7) Se não chove, não fico resfriado (~p ~q).
Você se acostumará, no decorrer dos estudos, com os 
vários símbolos; lembre-se de que somente a prática levará à 
assimilação.
Agora voltemos ao exemplo anterior; preste atenção, pois, 
para cada proposição, atribuiremos um símbolo:
1)Existe mal no mundo (p).
2) Se existe mal no mundo (p), Deus não pode evitar o 
mal (~q) ou Deus não quer evitar o mal (~r).
3) Se Deus não pode evitar o mal (~q), Deus não é onipo-
tente (~s).
4) Se Deus não quer evitar o mal (~r), Deus não é bene-
volente (~t).
5) Portanto, Deus não é onipotente (~s) ou Deus não é 
benevolente (~t).
Tendo atribuído os símbolos para proposições, faremos o 
mesmo agora para os conectivos.
18 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
1) Existe mal no mundo (p).
2) Se existe mal no mundo, Deus não pode evitar o mal 
ou Deus não quer evitar o mal (p (~q ~r)).
3) Se Deus não pode evitar o mal, Deus não é onipotente 
(~q ~s).
4) Se Deus não quer evitar o mal, Deus não é benevolente 
(~r ~t).
5) Portanto, Deus não é onipotente ou Deus não é bene-
volente (~s ~t).
Como ficou, então, nosso argumento em linguagem sim-
bólica? Veja:
p
p (~q ~r)
~q ~s
~r ~t
~s ~t
Até aqui, mostramos o que é a linguagem simbólica e como 
traduzir um argumento para tal linguagem. Não se esqueça de 
que cada letra simboliza uma proposição. A seguir, veremos a 
construção de Tabelas de Verdade e o que significam as provas 
formais de validade. Vamos lá?
De início, precisamos aprender a construir um diagrama e 
uma Tabela de Verdade. Você deve se lembrar de que uma pro-
posição só pode ter um único valor de verdade: ou ela é verda-
deira (V) ou é falsa (F). Assim, para uma proposição p, temos duas 
únicas possibilidades. Teremos, portanto, o seguinte diagrama:
19© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Figura 1 Diagrama 1.
Mas, imagine que tenhamos um argumento com duas pro-
posições: p e q. O que vai acontecer? Simplesmente teremos, 
também, duas possibilidades de valores para a proposição q, e 
isso acontecerá para cada valor de p.
Quando a proposição p for V, a proposição q poderá ser 
V ou F, e quando a proposição p for F, a proposição q também 
poderá ser V ou F. Essas possibilidades podem aparecem repre-
sentado pela a Figura 2 a seguir, observe:
Figura 2 Diagrama 2.
20 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Mas, e se tivermos um argumento com três proposições: 
p, q e r? Observe: para cada valor de q, teremos r, que poderá 
ser V ou F. Agora tente construir o diagrama para as três pro-
posições. Quando você terminar de construir o diagrama, verifi-
que quantas combinações de valores são possíveis com aquelas 
proposições.
Você poderá fazer isso com quantas proposições forem 
necessárias: o diagrama apenas vai aumentar de tamanho, mas 
você continua a construí-lo da mesma maneira.
Preste atenção! Quantas proposições tínhamos para a 
construção do diagrama? Eram 3. E chegamos a 8 combinações 
diferentes. Isso pode ser obtido por uma fórmula, que é 2n, sen-
do que n é o número de proposições. Dessa maneira, com 3 pro-
posições, tínhamos 23, que é igual a 8.
No entanto, o que mais utilizamos não é o diagrama, e sim 
a chamada "Tabela de Verdade". Para sua construção, começa-
mos da mesma maneira que o diagrama: temos 3 proposições; 
assim, fazendo 2n, teremos 8 linhas na tabela.
Vejamos como esboçar as mesmas relações que traçamos 
no diagrama na Tabela de Verdade. Em primeiro lugar, apenas 
lançaremos os valores de p. Dividimos a coluna pela metade, co-
locando o valor V na primeira parte e o valor F na segunda, como 
representado a seguir:
p q
V
V
F
F
21© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Em seguida, faremos o mesmo com a coluna q. Cada uma 
das partes anteriores será dividida pela metade, e serão atribuí-
dos valores V e F. O resultado é o que aparece a seguir:
p q
V V
V F
F V
F F
Assim, temos nossa tabela completa, com os valores em 
todas as combinações possíveis.
Observe que as combinações são as mesmas obtidas pelo 
diagrama. É muito importante treinar essas construções; prati-
que sempre mais, para que adquira habilidade nessa atividade.
Você se lembra de que, quando simbolizamos as proposi-
ções, também o fizemos com os conectivos? A questão é: como 
trabalhar com os conectivos nas Tabelas de Verdade? Aqui, co-
meçamos o Cálculo Proposicional.
Para cada conectivo, teremos uma tabela diferente. Você 
não conhecerá todos aqui; é importante, apenas, que você en-
tenda o que está acontecendo.
Tomemos duas proposições ao mesmo tempo:
1) Chove.
2) Não chove.
Você deve concordar que as duas não podem ter o mesmo 
valor, se forem tomadas juntas: "Chove e não chove". Assim, se 
1 é verdadeira, 2 tem de ser falsa; e, se 1 for falsa, 2 tem de ser 
verdadeira. Como representamos isso simbolicamente? Veja:
22 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
p ~p
V F
F V
Vejamos agora, como se relacionam juntas outras duas 
proposições:
1) Viajamos para a praia.
2) Viajamos para o sítio.
E construímos uma proposição molecular: "viajamos para 
a praia ou para o sítio"; (simbolicamente: p q). Estamos afir-
mando que podemos ter ido para a praia ou para o sítio, mas não 
aos dois ao mesmo tempo.
Então perguntamos: quando essa proposição molecular 
será totalmente falsa? Somente quando não formos para ne-
nhum dos dois lugares ou quando dissermos que fomos para a 
praia e para o sítio ao mesmo tempo, ou seja: quando as duas 
forem verdadeiras, ou quando as duas forem falsas. Vejam como 
montamos a Tabela de Verdade:
Primeiro, construímos a tabela, apenas com as proposi-
ções atômicas, como vimos agora há pouco:
p q
V V
V F
F V
F F
Depois, acrescentamos uma coluna para a proposição mo-
lecular e calculamos os valores conforme dissemos agora:
23© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Outro exemplo: alguém diz "eu tenho um carro e uma 
moto". Um outro alguém pode dizer: "isso é verdade, pois você 
tem os dois". Outra pessoa diz: "isto é falso, pois você só tem 
uma moto". Outro ainda diz: "isso é falso, pois você só tem um 
carro". E mais uma pessoa diz: "isso é falso, pois você não tem 
nenhum dos dois".
Desse exemplo, podemos construir mais uma tabela dife-
rente. "Eu tenho um carro" será a proposição p, e "eu tenho uma 
moto" será a proposição q. Assim, simbolizando a proposição "eu 
tenho um carro e uma moto", teremos: p q. Vamos construir a 
tabela da mesma maneira como a anterior:
p q
V V
V F
F V
F F
E, agora, acrescentamos a proposição molecular p q:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
24 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Você só precisa treinar para entender bem como fazer esse 
cálculo, pois ele é simples. Por isso, faça cada atividade proposta 
e procure sempre por exercícios extras; só assim você alcançará 
o sucesso.
Aqui visualizamos apenas as tabelas de proposições atômi-
cas e moleculares. O mais importante será tratar dos argumen-
tos com as Tabelas de Verdade, agora que você já sabe o que é 
uma tabela e o que ela significa.
Se, em algum momento, você não se lembrar dos valores 
de uma tabela, substitua os símbolos pelas proposições e tente 
raciocinar a partir delas – sempre tendo em mente que a lingua-
gem simbólica é mais simples, e por isso simplifica a atividade, 
tornando sua resolução mais rápida.
Vamos analisar a validade de um argumento para você ver 
que não é algo tão complicado quanto parece. Antes de qualquer 
coisa, perguntamos: quando um argumento é contraválido? 
Você se lembra? Disto você não pode esquecer: um argumento é 
contraválido sempre que apresenta premissas verdadeiras e con-
clusão falsa. Considere, então, o argumento:
• Ele viajou para a praia ou para o sítio.
• Ele não viajou para a praia.
• Portanto, ele viajou para o sítio.
Em linguagem simbólica, temos as duas premissas e a 
conclusão:
p q
~p
 q
25© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Vamos, agora, construir a Tabela de Verdade: primeira-
mente, colocamos as proposições atômicas (p, q, ~p) e, na última 
coluna, colocamos a proposição molecular (p q). Em seguida, 
completamos com os valores da maneira como foi colocado an-
teriormente, e depois calculamos os valores necessários:
p q ~p p qV V F F
V F F V
F V V V
F F V F
Note que as premissas são as duas últimas colunas, en-
quanto a conclusão é a segunda coluna. Como avaliamos, então, 
se o argumento é válido? É simples: em alguma das linhas da 
tabela, aparecem as premissas verdadeiras e a conclusão falsa? 
Não. Portanto, o argumento é válido.
No entanto, imagine se você tiver que verificar a validade 
de um argumento que tenha cinco proposições – como é o caso 
daquele exemplo dado anteriormente sobre a "existência do mal 
no mundo": seria uma tabela bem grande, que poderia até nos 
confundir. Ainda bem que temos algumas regrinhas que facilita-
rão nosso trabalho: são as regras de inferência.
Regras de inferência são modelos de argumentos que são 
sempre válidos, não havendo a necessidade de comprovar com 
a Tabela de Verdade.
Com tais regras, é possível construir as chamadas "provas 
formais de validade". Essas provas formais são simplesmente a 
utilização das várias regras de inferência para mostrar que das 
premissas é possível – ou não – chegar à conclusão. E sem a ne-
26 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
cessidade de construção de tabela! É importante que você me-
morize as regras no momento em que as estudar e saiba que, 
quando estiver praticando nas atividades, já terá mudado a pró-
pria maneira de raciocinar.
Por exemplo, tomemos novamente este vltimo exemplo de 
argumento:
p q
~p
 q
Nem precisaríamos construir a tabela, pois esse argumen-
to é uma regra de inferência chamada "Silogismo Disjuntivo"; já 
saberíamos que ele é válido, e o demonstraríamos assim:
SILOGISMO DISJUNTIVO
1. p q
2. ~p
3. q
A primeira premissa, que vamos chamar de linha 1, é (p 
q) e a segunda premissa é (~p), e vamos chamar de linha 2, e (q) 
é a conclusão – linha 3.
Indicamos, então, que, aplicando a regra do Silogismo Dis-
juntivo (SD) com as linhas 1 e 2, chegaremos à conclusão (q). E, 
assim construímos uma prova formal de validade.
1. p q
2. ~p
3. q (1,2 SD)
27© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Enfim, em linhas gerais, mostramos o que esperamos que 
você consiga fazer depois deste estudo. Certamente, não é a coi-
sa mais fácil estudar Lógica; aqui foi diferente, pois utilizamos 
exemplos simples e não tratamos de todas as regras.
Será preciso que você se dedique muito, e saiba que esse 
conteúdo é muito importante para sua formação intelectual e 
que os frutos desses estudos se estenderão a toda sua vida, pois 
afetarão diretamente sua maneira de raciocinar.
Esta breve apresentação da Lógica Simbólica deve ser 
encarada como uma introdução a seus estudos, para esclareci-
mento dos principais conteúdos que o aguardam. E, lembre-se 
de que, para aprender a linguagem e fixar a regras estudadas, 
é importante que você faça os exercícios propostos nesta obra. 
Esperamos que os estudos desses conteúdos o ajudem a organi-
zar os seus estudos de Lógica, que é uma disciplina fundamental 
para os estudantes de Filosofia. Bons ventos!
Glossário de Conceitos
O Glossário de Conceitos permite a você uma consulta rá-
pida e precisa das definições conceituais, possibilitando-lhe um 
bom domínio dos termos técnico-científicos utilizados na área 
de conhecimento dos temas tratados em Lógica II. Veja, a seguir, 
a definição dos principais conceitos:
1) Cálculo Proposicional: consiste em um sistema formal, 
no qual as fórmulas representam proposições que po-
dem ser formadas pela combinação de proposições 
atômicas, usando conectivos lógicos e um sistema de 
regras de inferência, que permite que certas fórmu-
las sejam estabelecidas como teoremas do sistema 
formal.
28 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
2) Cálculo de Predicados: sistema lógico que estende a 
Lógica Proposicional. Para tanto, utiliza-se do quanti-
ficador universal e do quantificador existencial. O Cál-
culo de Predicados também é conhecido como "Lógica 
de Primeira Ordem".
3) Contradição: proposição falsa, independentemente 
dos valores de verdade atribuídos aos componentes 
mais elementares.
4) Contingência: aquela proposição que depende do va-
lor de verdade das suas partes mais elementares.
5) Princípio de Identidade: todo objeto é idêntico a si 
mesmo.
6) Princípio de Não Contradição: dadas duas proposições 
contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é 
falsa.
7) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou 
é verdadeira ou é falsa, e não há um terceiro caso 
possível.
8) Problema Ontológico: consiste no problema filosófi-
co de investigar e determinar quais tipos de entidades 
existem.
9) Lógica Clássica: compreende, de um modo geral, o Cál-
culo Proposicional e o Cálculo de Predicados e aceita 
como válidos o Princípio de Identidade, de Não Con-
tradição e do Terceiro Excluído.
10) Lógicas Não Clássicas: podem ampliar o escopo da Ló-
gica Clássica ou revogar alguns de seus princípios. As 
Lógicas Complementares, ou Lógicas Ampliadas, con-
sideram que a Lógica Clássica está correta dentro dos 
seus limites. Já as Lógicas Alternativas, também cha-
29© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
madas de "heterodoxas", partem do princípio de que 
a Lógica Clássica está errada e precisa ser substituída.
11) Tabela de Verdade: é uma tabela matemática, utiliza-
da para verificar se uma fórmula é verdadeira ou falsa 
e para verificar se os argumentos expressos no Cálculo 
Proposicional são válidos ou inválidos.
12) Tautologia: proposição verdadeira, independentemen-
te dos valores de verdade atribuídos aos seus compo-
nentes mais elementares.
Esquema dos conceitos-chave
Para que você tenha uma visão geral dos conceitos mais 
importantes deste estudo, apresentamos, a seguir (Figura 1), um 
Esquema dos Conceitos-chave. O mais aconselhável é que você 
mesmo faça o seu esquema de conceitos-chave ou até mesmo o 
seu mapa mental. Esse exercício é uma forma de você construir 
o seu conhecimento, ressignificando as informações a partir de 
suas próprias percepções.
É importante ressaltar que o propósito desse Esquema dos 
Conceitos-chave é representar, de maneira gráfica, as relações 
entre os conceitos por meio de palavras-chave, partindo dos 
mais complexos para os mais simples. Esse recurso pode auxiliar 
você na ordenação e na sequenciação hierarquizada dos conteú-
dos de ensino.
Com base na teoria de aprendizagem significativa, enten-
de-se que, por meio da organização das ideias e dos princípios 
em esquemas e mapas mentais, o indivíduo pode construir o 
seu conhecimento de maneira mais produtiva e obter, assim, 
ganhos pedagógicos significativos no seu processo de ensino e 
aprendizagem.
30 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Aplicado a diversas áreas do ensino e da aprendizagem 
escolar (tais como planejamentos de currículo, sistemas e pes-
quisas em Educação), o Esquema dos Conceitos-chave baseia-se, 
ainda, na ideia fundamental da Psicologia Cognitiva de Ausubel, 
que estabelece que a aprendizagem ocorre pela assimilação de 
novos conceitos e de proposições na estrutura cognitiva do alu-
no. Assim, novas ideias e informações são aprendidas, uma vez 
que existem pontos de ancoragem.
Tem-se de destacar que "aprendizagem" não significa, ape-
nas, realizar acréscimos na estrutura cognitiva do aluno; é preci-
so, sobretudo, estabelecer modificações para que ela se configu-
re como uma aprendizagem significativa. Para isso, é importante 
considerar as entradas de conhecimento e organizar bem os ma-
teriais de aprendizagem. Além disso, as novas ideias e os novos 
conceitos devem ser potencialmente significativos para o aluno, 
uma vez que, ao fixar esses conceitos nas suas já existentes es-
truturas cognitivas, outros serão também relembrados.
Nessa perspectiva, partindo-se do pressuposto de que é 
você o principal agente da construção do próprio conhecimen-
to, por meio de sua predisposição afetiva e de suas motivações 
internas e externas, o Esquema dos Conceitos-chave tem por 
objetivo tornar significativa a sua aprendizagem, transformando 
o seu conhecimento sistematizadoem conteúdo curricular, ou 
seja, estabelecendo uma relação entre aquilo que você acabou 
de conhecer com o que já fazia parte do seu conhecimento de 
mundo (adaptado do site disponível em: <http://penta2.ufrgs.
br/edutools/mapasconceituais/utilizamapasconceituais.html>. 
Acesso em: 11 mar. 2010).
31© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Figura 1 Esquema de Conceitos-chave de Lógica II.
Como pode observar, esse Esquema oferece a você, como 
dissemos anteriormente, uma visão geral dos conceitos mais im-
portantes desse estudo. Ao segui-lo, será possível transitar entre 
os principais conceitos desta obra e descobrir o caminho para 
construir o seu processo de ensino-aprendizagem. Por exemplo, 
o Cálculo Proposicional e o Cálculo de Predicados são parte da 
Lógica Clássica, pois respeitam os Princípios de Identidade, de 
Não Contradição e do Terceiro Excluído.
32 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
O Esquema dos Conceitos-chave é mais um dos recursos 
de aprendizagem que vem se somar àqueles disponíveis no am-
biente virtual, por meio de suas ferramentas interativas, bem 
como àqueles relacionados às atividades didático-pedagógicas 
realizadas presencialmente no polo. Lembre-se de que você, alu-
no EaD, deve valer-se da sua autonomia na construção de seu 
próprio conhecimento.
Questões Autoavaliativas
No final de cada unidade, você encontrará algumas ques-
tões autoavaliativas sobre os conteúdos ali tratados, as quais 
podem ser de múltipla escolha, abertas objetivas ou abertas 
dissertativas.
Responder, discutir e comentar essas questões, bem como 
relacioná-las com a prática do ensino de Filosofia pode ser uma 
forma de você avaliar o seu conhecimento. Assim, mediante a 
resolução de questões pertinentes ao assunto tratado, você es-
tará se preparando para a avaliação final, que será dissertativa. 
Além disso, essa é uma maneira privilegiada de você testar seus 
conhecimentos e adquirir uma formação sólida para a sua práti-
ca profissional.
Você encontrará, ainda, no final de cada unidade, um 
gabarito, que lhe permitirá conferir as suas respostas sobre as 
questões autoavaliativas de múltipla escolha.
33© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
As questões de múltipla escolha são as que têm como res-
posta apenas uma alternativa correta. Por sua vez, entendem-se 
por questões abertas objetivas as que se referem aos conteú-
dos matemáticos ou àqueles que exigem uma resposta determi-
nada, inalterada. Já as questões abertas dissertativas obtêm 
por resposta uma interpretação pessoal sobre o tema tratado; 
por isso, normalmente, não há nada relacionado a elas no item 
Gabarito. Você pode comentar suas respostas com o seu tutor 
ou com seus colegas de turma.
Bibliografia Básica
É fundamental que você use a Bibliografia Básica em seus 
estudos, mas não se prenda só a ela. Consulte, também, as bi-
bliografias apresentadas no Plano de Ensino e no item Orienta-
ções para o estudo da unidade.
Figuras (ilustrações, quadros...)
Neste material instrucional, as ilustrações fazem parte in-
tegrante dos conteúdos, ou seja, elas não são meramente ilus-
trativas, pois esquematizam e resumem conteúdos explicitados 
no texto. Não deixe de observar a relação dessas figuras com os 
conteúdos da obra, pois relacionar aquilo que está no campo vi-
sual com o conceitual faz parte de uma boa formação intelectual.
Dicas (motivacionais)
O estudo desta obra convida você a olhar, de forma mais 
apurada, a Educação como processo de emancipação do ser hu-
mano. É importante que você se atente às explicações teóricas, 
práticas e científicas que estão presentes nos meios de comunica-
34 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
ção, bem como partilhe suas descobertas com seus colegas, pois, 
ao compartilhar com outras pessoas aquilo que você observa, 
permite-se descobrir algo que ainda não se conhece, aprenden-
do a ver e a notar o que não havia sido percebido antes. Obser-
var é, portanto, uma capacidade que nos impele à maturidade.
Você, como aluno do curso de Graduação na modalidade 
EaD, necessita de uma formação conceitual sólida e consistente. 
Para isso, você contará com a ajuda do tutor a distância, do tutor 
presencial e, sobretudo, da interação com seus colegas. Sugeri-
mos, pois, que organize bem o seu tempo e realize as atividades 
nas datas estipuladas.
É importante, ainda, que você anote as suas reflexões em 
seu caderno ou no Bloco de Anotações, pois, no futuro, elas po-
derão ser utilizadas na elaboração de sua monografia ou de pro-
duções científicas.
Leia os livros da bibliografia indicada, para que você am-
plie seus horizontes teóricos. Coteje-os com o material didático, 
discuta a unidade com seus colegas e com o tutor e assista às 
videoaulas.
No final de cada unidade, você encontrará algumas ques-
tões autoavaliativas, que são importantes para a sua análise 
sobre os conteúdos desenvolvidos e para saber se estes foram 
significativos para sua formação. Indague, reflita, conteste e 
construa resenhas, pois esses procedimentos serão importantes 
para o seu amadurecimento intelectual.
Lembre-se de que o segredo do sucesso em um curso na 
modalidade a distância é participar, ou seja, interagir, procuran-
do sempre cooperar e colaborar com seus colegas e tutores.
35© LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
Caso precise de auxílio sobre algum assunto relacionado a 
este estudo, entre em contato com seu tutor. Ele estará pronto 
para ajudar você.
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRANQUINHO, J.; MURCHO, D. Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. Lisboa: 
Grádiva, 2001.
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
36 © LÓGICA II
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
37
UNIDADE 1
QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A 
LÓGICA SIMBÓLICA
1. OBJETIVOS
• Conhecer as noções básicas envolvidas numa aborda-
gem formal à Lógica.
• Conhecer e familiarizar-se com os símbolos lógicos utili-
zados na Lógica Simbólica.
2. CONTEÚDOS
• Proposição.
• Princípios da Não Contradição e Terceiro Excluído.
• Valores de Verdade, Proposições Simples e Compostas.
• Conectivos.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
1) Tenha sempre à mão o significado dos conceitos expli-
citados no Glossário e suas ligações pelo Esquema de 
Conceitos-chave para o estudo de todas as unidades 
desta obra. Isso poderá facilitar sua aprendizagem e 
desempenho.
38 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
2) Para atingir os objetivos propostos desta unidade, 
atente para o papel dos conectivos na Lógica Simbóli-
ca. Eles foram desenvolvidos para eliminar a ambigui-
dade da linguagem corrente e, dessa forma, permitir 
que essa linguagem seja formalizada. Ao observar es-
ses conectivos, todos compreendem o seu significado, 
que está expresso na Tabela de Verdade. Não é preciso 
decorar essas tabelas. O importante é compreender o 
processo que levou à simbolização de linguagem. Com 
o desenvolvimento dos exercícios, o significado desses 
conectivos será assimilado de forma natural. Atente, 
também, para os princípios da Lógica Clássica: Identi-
dade, Não Contradição e Terceiro Excluído. Eles podem 
ser expressos em linguagem simbólica.
3) Leia os livros da bibliografia indicada para que você 
amplie seus horizontes teóricos. Coteje-os com esta 
obra e discuta a unidade com seus colegas e com seu 
tutor.
4) Para compreender ainda mais esse conteúdo, pesqui-
se, em livros, revistas e na internet, sobre a Lógica Ma-
temática. Não se limite somente aos conteúdos aqui 
abordados.
5) Antes de iniciar os estudos desta unidade, é interes-
sante que você conheça um pouco da biografia dos 
pensadores, cujo pensamento norteia nosso estudo. 
Para saber mais, acesse os sites indicados:
39© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
George Boole
Matemático, lógico, professor e autor inglês, nascido em 
Lincoln, Lincolnshire, cujos estudos deu início a um processoque conduziria a importantes aplicações tecnológicas, 
tais como os computadores eletrônicos baseados em 
dígitos binários. De uma família sem muitos recursos, foi 
praticamente um autodidata, inicialmente se dedicando ao 
estudo de latim e grego, tornando-se professor para seu 
sustento (1831) e fundando sua própria escola (1835). 
Paralelamente se interessou por matemática, estudou obras 
de Newton, de Laplace e de Lagrange e começou a publicar suas idéias sobre 
o assunto tornando-se, então, autor de importantes textos sobre equações 
diferenciais e transformação linear, com ênfase no conceito de invariância. Foi, 
então, condecorado com uma medalha da Royal Society por suas contribuições 
ao desenvolvimento da análise matemática (1844). Depois divulgou uma de 
suas mais originais contribuições em The mathematical analysis of logic (1847), 
com os princípios da moderna lógica simbólica, mostrando que a esta deveria 
ser associada à matemática e acabando com a controvérsia sobre lógica criada 
entre William Hamilton e De Morgan e conseguindo com esta publicação, o 
cargo de professor de matemática no recém-fundado Quenns College, da 
cidade irlandesa de Cork (1849), apesar de não possuir grau universitário. O 
desenvolvimento de suas idéias deu origem à chamada álgebra de Boole ou 
álgebra booliana, base da lógica simbólica e das probabilidades e sua principal 
obra, apresentada no livro An Investigation into the Laws of Thought, on Which 
Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (1854), 
considerada um clássico na história da matemática. Com este trabalho ganhou 
o grau honorário da Universidade de Dublin. Faleceu em Ballintemple, County 
Cork, Irlanda e é considerado o pai da lógica matemática moderna por introduzir 
o uso de símbolos matemáticos para expressar processos lógicos de forma 
que estes possam ser lidos com o mesmo rigor de uma equação algébrica. 
Sua obra foi continuada por De Morgan e Benjamin Pierce (Imagem disponível 
em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/George_Boole>. Acesso em: 14 set. 2015. 
Texto disponível em: <http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GeoreBoo.html>. 
Acesso em: 14 set. 2015.
40 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Friedrich Ludwig Gottlob Frege
 
Gottlob Frege nasceu a 8 de Novembro de 1848 em Wis-
mar, Merklenberg Schwerin (actualmente Alemanha). 
Estudou na Universidade de Jena (1869-1871) e na 
Universidade de Gottingen (1871-1873), dedicando-se à 
Matemática, à Física e à Química. Ensinou na Universi-
dade de Jena no departamento de Matemática onde per-
maneceu o resto da sua vida profissional. Inicialmente 
ensinava qualquer ramo da matemática mas as suas pu-
blicações eram fundamentalmente no campo da lógica. 
Os seus estudos em Filosofia da Lógica, Filosofia da Ma-
temática e Filosofia da Linguagem fazem de Frege um 
dos maiores matemáticos, lógicos e filósofos de sempre. Frege queria mostrar 
que a aritmética era idêntica à lógica e pode-se dizer que recriou a disciplina 
da lógica ao construir o primeiro «cálculo de predicados». Um cálculo de pre-
dicados é um sistema formal constituído por duas componentes: a linguagem 
formal e a lógica.
Tal como Leibniz (1646-1716), pensava que a característica específica da Ma-
temática era a construção de cálculos que poderiam ser interpretados sem 
referência a números ou quantidades. Contudo, como consideram Marta e 
Kneale, Frege "foi mais longe do que qualquer dos seus predecessores na sua 
exigência de rigor formal dentro da lógica, e a teoria dedutiva ou cálculo que 
elaborou é a maior realização alguma vez alcançada na história da lógica". 
Confrontado com a ambiguidade da linguagem usual e com a inadequação dos 
sistemas lógicos existentes, Frege inventou inúmeras notações simbólicas, 
tais como "quantificadores e variáveis, que pudessem fornecer fundamentos 
para a lógica matemática moderna. E, na tentativa de concretizar as ideias de 
Leibniz de uma linguagem universal adequada de um cálculo racional, Frege 
desenvolveu uma ideografia – Begriffsschrift. No entanto, o seu trabalho não 
foi muito bem recebido. Aliás, pode mesmo dizer-se que, inicialmente, foi igno-
rado, mas teve grande influência em Bertrand Russell, como podemos ver atra-
vés da carta que Russel enviou a Frege. Frege faleceu a 26 de Julho de 1925 
em Bad Kleinen, Alemanha (Imagem disponível em: <http://www.iep.utm.edu/
frege/>. Acesso em: 14 set. 2015. Texto disponível em: <http://www.academia.
edu/8778814/Friedrich_Ludwig_Gottlob_Frege>. Acesso em: 14 set. 2015).
41© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
4. INTRODUÇÃO
Ao iniciar os estudos desta obra, acreditamos que você 
já tenha aprendido sobre a Teoria do Silogismo de Aristóteles 
e como julgar a validade de argumentos. A Lógica Aristotélica 
foi predominante até o século 19, o que levou pensadores como 
Kant a afirmar que não havia mais como desenvolver a Lógica.
A previsão de Kant foi equivocada, pois, poucos anos de-
pois, o inglês George Boole apresentou um cálculo lógico que 
foi precursor do que hoje conhecemos por Lógica Simbólica. No 
entanto, é com o filósofo e matemático Johann Gottlob Frege 
que a lógica contemporânea avançou de maneira decisiva. Como 
coloca Cezar Mortari:
Ao contrário de Aristóteles, e mesmo de Boole, que procura-
vam identificar as formas válidas de argumento, a preocupação 
básica de Frege era a sistematização do raciocínio matemático, 
ou, dito de outra maneira, encontrar uma caracterização pre-
cisa do que é uma demonstração matemática. Você sabe que, 
na matemática, para mostrar que uma proposição é verdadeira 
(um teorema) não se recorre à experiência ou à observação, 
como em várias outras ciências. Na matemática – para colocar 
as coisas de um modo simples –, a verdade de uma proposição 
é estabelecida por meio da demonstração dela, isto é uma se-
quência argumentativa (dedutiva) mostrando que ela se segue 
logicamente de outras proposições aceitas (ou já mostradas 
verdadeiras). Ora, Frege havia notado que os matemáticos da 
época frequentemente cometiam erros em suas demonstra-
ções, supondo assim que certos teoremas estavam demonstra-
dos, quando na verdade não estavam. Para corrigir isso, Frege 
procurou formalizar as regras da demonstração, iniciando com 
regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicação não 
houvesse dúvidas. O resultado, que revolucionou a lógica, foi a 
criação do cálculo de predicados (MORTARI, 2001, p. 29).
42 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Como podemos depreender das palavras do professor 
Mortari, a Lógica teve um importante desenvolvimento. E é essa 
nova maneira de conceber a Lógica que apresentaremos em Ló-
gica II.
5. PROPOSIÇÕES
Para iniciar nosso estudo, precisamos definir o que é uma 
proposição, pois esta é o elemento básico do raciocínio em Ló-
gica Simbólica. De acordo com Alencar Filho (2002, p. 11), uma 
proposição é todo conjunto de palavras ou símbolos que expri-
mem um pensamento de sentido completo.
Como exemplos de proposições, temos:
1) Sergio foi ao mercado.
2) Sergio foi ao cinema ou ao mercado.
3) Se Paula foi ao mercado, então fez compras.
4) Todo político é desonesto.
Porém, para operar logicamente com proposições como 
as mencionadas anteriormente, temos que adicionar dois Princí-
pios Metodológicos:
• Princípio da Não Contradição: uma proposição não 
pode ser ao mesmo tempo falsa e verdadeira.
• Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, e não há um terceiro caso possível.
Em função dessas duas regras, o que muda no estudo da 
Lógica Simbólica?
43© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Em virtude desses dois princípios, a Lógica Simbólica é uma 
Lógica Bivalente, isto é, apenas dois valores podem ser atribuí-
dos às proposições: Verdadeiro (V) ou Falso (F).
O Princípio da Não Contradição exclui a possibilidade de 
que uma proposição seja julgada como contendoalgum tipo de 
meia verdade.
Já o Princípio do Terceiro Excluído generaliza essa situação 
para todas as proposições que são objeto da Lógica.
Alguns sistemas lógicos contemporâneos procuram escapar das 
limitações impostas pelos Princípios da Não Contradição e do 
Terceiro Excluído, surgindo, então, os sistemas de Lógica Po-
livalente.
Valores de verdade
Com base nas regras de Não Contradição e do Terceiro Ex-
cluído, como podemos definir o que é valor de verdade? Como 
podemos formalizar as proposições e atribuir-lhes os valores 
como Verdade ou Falsidade? Como são os termos utilizados para 
a formalização?
Denomina-se valor de verdade de uma proposição a atri-
buição de ela ser verdadeira ou falsa. Abreviadamente, se uma 
proposição é verdadeira, assinalamos o valor de verdade V; se 
ela for falsa, assinalamos o valor F. De acordo com os Princípios 
de Não Contradição e do Terceiro Excluído, obtém-se, então, que 
toda proposição tem um, e somente um, dos valores V ou F".
44 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Proposições simples e compostas
Após verificarmos como são classificadas as proposições, 
surge a questão: qual nome iremos dar a um determinado tipo 
de proposição? Quais os critérios para classificação?
As proposições podem ser classificadas como simples (ou 
atômicas) ou como compostas (ou moleculares).
Elas são simples quando não contêm dentro de si nenhu-
ma outra proposição, e compostas (ou moleculares) quando são 
a combinação de duas ou mais proposições.
Por exemplo, a proposição "José foi ao teatro" é uma pro-
posição simples.
Já a proposição "José foi ao teatro e ao restaurante" é uma 
proposição composta, que poderia ser subdividida em:
• José foi ao teatro.
• José foi ao restaurante.
Para facilitar a manipulação das proposições, os lógicos 
costumam denominá-las por símbolos simples. Dessa forma, 
qualquer proposição atômica pode ser assinalada por qualquer 
letra minúscula (por exemplo: p, q, r, s etc.). Já as proposições 
moleculares são assinaladas por letras maiúsculas (P, Q, R, S 
etc.). Quando se deseja assinalar que determinada proposição 
molecular X é composta por proposições atômicas w, y e z, es-
creve-se: X (w, y, z), querendo dizer que X é o conjunto formado 
por w, y e z.
Essa organização dos símbolos simples não nos recorda a 
teoria dos conjuntos, conteúdo das aulas de Matemática, a qual 
nos demonstra que determinados objetos de utilidade parecida 
45© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
(bolas, carrinhos, bonecas etc.) podem entrar em grupo específi-
co, chamado "grupo dos brinquedos"?
Agora que você já sabe como transformar as proposições 
atômicas e moleculares em linguagem simbólica, está apto a 
compreender como os conectivos que ligam essas proposições 
umas às outras em um argumento são simbolizados pela Lógica 
Simbólica. Vamos lá?
6. CONECTIVOS E TABELAS DE VERDADE
O que são conectivos? Quais são eles? Como são utilizados?
Os conectivos são palavras utilizadas para formar novas 
proposições a partir de outras. O mais importante é notar que 
eles são formas de operação sobre proposições. Os conectivos 
mais utilizados são: e", "ou", "não", "se... então", "se, e somen-
te se". Como exemplo de proposições compostas formadas por 
proposições atômicas ligadas por conectivos, temos:
P O número 7 é ímpar e é primo.
Q Ou você está gripado ou você está com dengue.
R Hoje não está chovendo.
S Se você estudar, então você é um bom aluno.
T Você vai ser aprovado se, e somente se, estudar a apostila.
Depois de conhecer como se utilizam os conectivos em 
conjunto com os valores de verdade, vamos conhecer o funcio-
namento da Tabela de Verdade.
46 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Conjunção
O enunciado conjuntivo é caracterizado pela combinação 
de duas proposições pela conjunção e. Assim, o enunciado com-
posto "Carla foi ao clube e à ópera é uma conjunção cujos con-
juntivos são Carla foi ao clube" e "Carla foi à ópera".
Para formalizarmos em outras palavras: se colocarmos 
em símbolos esse tipo de proposição, recorremos à seguinte 
notação:
a) Cada enunciado será representado por uma única letra 
minúscula.
b) A conjunção e será representada pelo símbolo .
Logo, o enunciado anterior, em nossa notação, pode ser 
escrito da seguinte forma:
p q
Relembramos, anteriormente, que todo enunciado ou 
proposição possui um valor de verdade, ou seja, deve ser 
verdadeiro ou falso. Desse modo, dados quaisquer enunciados p 
e q, temos quatro combinações possíveis de valores de verdade 
que podemos atribuir, a saber:
1) Se p é verdadeiro e q e verdadeiro, p q é verdadeiro.
2) Se p é verdadeiro e q é falso, p q é falso.
3) Se p é falso e q é verdadeiro, p q é falso.
4) Se p é falso e q é falso, p q é falso.
Observando as combinações anteriores, podemos dizer 
que uma conjunção é verdadeira apenas quando ambos os 
conjuntivos são verdadeiros e disso decorre a seguinte Tabela 
de Verdade:
47© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Com essa Tabela de Verdade, conseguimos definir o sím-
bolo , visto que a tabela abrange todos os valores de verdade 
possíveis que podem ser assumidos por p e q.
Disjunção
Temos um enunciado disjuntivo quando a palavra ou está 
entre enunciados compostos. O conectivo ou possui dois senti-
dos diferentes: um inclusivo e outro exclusivo.
O sentido inclusivo é aquele de e/ou, ou seja, podemos ter 
uma possibilidade, outra possibilidade ou, ainda, ambas. A título 
de exemplo, podemos dizer que "Paulo é advogado ou filósofo". 
Desse modo, temos que Paulo pode ser advogado, filósofo ou os 
dois.
Já o sentido exclusivo do ou pode ser entendido como uma 
possibilidade ou outra. Por exemplo, "Margarete será eleita pre-
sidente do Brasil ou Neusa será eleita presidente do Brasil". Nesse 
caso, é óbvio que ambas as possibilidades não podem acontecer.
Assim, temos duas funções de verdade para a disjunção, 
porém, no Cálculo Proposicional Clássico, costuma-se represen-
tar, por meio do símbolo , a disjunção inclusiva, que é a única 
utilizada nesse cálculo.
Como na conjunção, temos quatro combinações possíveis 
de valores de verdade, a saber:
48 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
1) Se p é verdadeiro e q e verdadeiro, p q é verdadeiro.
2) Se p é verdadeiro e q é falso, p q é verdadeiro.
3) Se p é falso e q é verdadeiro, p q é verdadeiro.
4) Se p é falso e q é falso, p q é falso.
Pela combinação anterior, temos que a disjunção só é falsa 
quando ambos os enunciados são falsos, o que nos dá a Tabela 
de Verdade a seguir:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Já a Tabela de Verdade para disjunção exclusiva seria a 
seguinte:
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
É conveniente observar que, pela definição da disjunção 
inclusiva, a proposição "O São Paulo foi o campeão da Liberta-
dores de 2005 ou A lua é feita de queijo" é uma disjunção verda-
deira, mesmo não havendo nenhuma relação entre os disjuntos.
49© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Negação
De um modo geral, podemos expressar a negação de um 
enunciado inserindo nele a palavra não. Utilizaremos o símbolo ~ 
para expressar essa palavra. Desse modo, se p simboliza a propo-
sição "Silvia é uma excelente aluna", ~p simboliza a proposição 
"Silvia não é uma excelente aluna".
Temos, então, que, se uma determinada proposição p é 
verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Podemos ex-
pressar esse fato por meio da seguinte Tabela de Verdade:
p ~p
V F
F V
Podemos considerar a tabela anterior como a definição do 
símbolo de negação.
Implicação Material
A tradução da frase se..., então, que caracteriza a implica-
ção material para linguagem simbólica, não é uma tarefa fácil. 
Isso porque, na linguagem comum, existem vários significados 
possíveis para essa expressão. Porém, os lógicos concordamque 
há, pelos menos, uma coisa em comum entre as diferentes pro-
posições: todos concordam que, se o antecedente de uma impli-
cação for verdadeiro e o consequente for falso, então, a impli-
cação deve ser falsa. Logo, na proposição: se você não estudar, 
então não será aprovado, o antecedente é se você não estudar, 
e o consequente é então não será aprovado".
Assim os lógicos, procurando atender às necessidades da 
matemática, optaram pela seguinte Tabela de Verdade:
50 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Essa situação é um tanto estranha, pois essa definição tor-
na verdadeiro o seguinte argumento: "Se os homens têm quatro 
pernas, então o Brasil é heptacampeão mundial de futebol", vis-
to que, por nossa tabela, quando o antecedente é falso, a impli-
cação é verdadeira.
Existem objeções a essa caracterização tradicional da implica-
ção material formulada pelos criadores da Lógica Modal e da Ló-
gica Relevante. Para mais informações sobre essas lógicas, leia 
o livro: MORTARI, C. Introdução à Lógica. São Paulo: Unesp, 
2001. Veremos mais sobre esse assunto na Unidade 4 desta 
obra.
Bi-implicação
As dificuldades que encontramos para caracterizar os con-
dicionais também se aplicam na análise dos bicondicionais.
Para facilitar nosso trabalho, basta entender que uma bi-
-implicação consiste em uma implicação nas duas direções, ou 
seja: p q, que é o mesmo que (p q) (q p).
Assim, fazendo os cálculos, nossa Tabela de Verdade será 
a seguinte:
51© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Podemos entender, também, o bicondicional como uma 
equivalência. Desse modo, para proposições com valores de 
verdade iguais, segue-se que a bi-implicação é verdadeira; caso 
contrário, esta será falsa.
Pontuação
Antes de passarmos às atividades, devemos fazer referên-
cia à pontuação na Lógica Simbólica. Para enunciados compos-
tos, assim como na Matemática, devemos efetuar corretamente 
a pontuação, a fim de evitar ambiguidades. Por exemplo, a ex-
pressão 4 X 7 + 9 pode ter seu resultado alterado se os parênte-
ses forem ordenados da seguinte forma: 4 X (7 + 9) ou (4 X 7) + 
9. Assim, se não pontuada corretamente, a expressão p q r 
pode significar tanto (p q) r quanto p (q r).
No caso de expressões similares a ~ p q, para evitar o 
número de parênteses, convenciona-se que a negação se aplica 
somente à proposição p, diferenciando-se, assim, da expressão 
~ (p q).
52 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
7. TEXTOS COMPLEMENTARES
O Estabelecimento da Semântica Científica –––––––––––––
O excerto pertence ao artigo "O Estabelecimento da Semântica Cientifica" do 
lógico polonês Alfred Tarski e se encontra no livro A concepção semântica da 
verdade. Textos clássicos de Tarski, organizado por Cezar A. Mortari e Luiz 
Henrique de Araújo Dutra e publicado pela Editora Unesp em 2006.
Diante da possível ocorrência de antinomias, o problema de especificar a es-
trutura formal e o vocabulário de uma linguagem na qual a definição dos con-
ceitos semânticos serão dadas torna-se especialmente sério. Voltamos agora 
para esse problema.
Há certas condições gerais sob as quais se considera que a estrutura de uma 
linguagem está exatamente especificada. Assim, para especificar a estrutu-
ra de uma linguagem, devemos caracterizar sem ambigüidade a classe de 
palavras e expressões que serão consideradas significativas. Em particular, 
devemos indicar todas as palavras que decidimos usar sem definição, e que 
são chamadas ‘termos não-definidos (ou primitivos)’, e apresentar as chama-
das regras de definição para introduzir termos definidos ou novos. Além dis-
so, devemos estabelecer os critérios para distinguir, na classe de expressões, 
aquelas que denominaremos ‘sentenças’. Finalmente, devemos formular as 
condições sobre as quais uma sentença pode ser afirmada; em particular, de-
vemos indicar todos os axiomas (ou sentenças primitivas), isto é, as sentenças 
que decidimos afirmar sem prova. E devemos fornecer as chamadas regras de 
inferência (ou regras de demonstração) por meio das quais podemos deduzir 
novas sentenças, afirmadas a partir de outras sentenças previamente afirma-
das. Os axiomas, assim como as sentenças deles deduzidas por meio das 
regras de inferência, são chamados ‘teoremas’ ou ‘sentenças demonstráveis’.
Se, ao especificar a estrutura de uma linguagem, referimo-nos exclusivamente 
à forma das expressões envolvidas, a linguagem é dita formalizada. Em tal 
linguagem, os teoremas são as únicas sentenças que podem ser afirmadas.
No momento presente, as únicas linguagens com uma estrutura especificada 
são as linguagens formalizadas de vários sistemas de lógica dedutiva, possi-
velmente enriquecidas pela introdução de certos termos não-lógicos. Contudo, 
o campo de aplicação dessas linguagens é bastante abrangente. Somos capa-
zes, teoricamente, de desenvolver neles vários ramos da ciência, por exemplo, 
a matemática e a física teórica (TARSKI, 2006, p. 165-166, grifos do autor).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
53© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Sobre a história da Lógica, a Lógica Clássica e o 
surgimento das lógicas não clássicas –––––––––––––––––
Devemos mencionar, entre os precursores da lógica contemporânea: Boole 
(1847) e De Morgan (1847 e 1860) em álgebra da lógica; Peirce, precursor 
da pesquisa moderna, que introduziu a definição de ordem simples, o primei-
ro tratamento do cálculo proposicional como um cálculo com dois valores de 
verdade e a definição de igualdade, tendo iniciado em 1881 o tratamento dos 
fundamentos da aritmética; Schröder; e McColl que, em 1877, construiu o pri-
meiro cálculo de proposições.
Os primeiros cálculos da lógica, introduzidos por esses autores, não chegaram 
a constituir sistemas no sentido da lógica moderna, mas cálculos num sentido 
menos rigoroso.
Apesar do trabalho precursor de Leibniz, Boole, de Morgan e Peirce, que já se 
contrapunham à posição de Kant, o verdadeiro fundador da lógica moderna 
foi Gottlöb Frege. O pensamento de Frege, praticamente desconhecido, foi 
descoberto por Bertrand Russel.
Os passos essenciais para a introdução do método logístico foram dados em 
1879, no Begriffsschrift (Frege 1977). O livro contém, pela primeira vez, o cál-
culo proposicional em sua forma logística moderna, a noção de função pro-
posicional, o uso de quantificadores e a análise lógica de prova por indução 
matemática.
O Begriffsschrift de Frege só é comparável, na história da lógica, aos Analytica 
Priora de Aristóteles.
Frege foi um dos precursores da distinção entre linguagem e meta-linguagem. 
Em 1884, Frege adota a tese – logicismo – de que a aritmética é um ramo da 
lógica, no sentido de que todos os termos da aritmética podem ser definidos 
com o auxílio apenas de termos lógicos e todos os teoremas da aritmética po-
dem ser provados a partir dos axiomas lógicos. Essa posição é rigorosamente 
apresentada por Frege em 1893 (D’OTTAVIANO; FEITOSA, 2003, p. 6).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Sugerimos que você procure responder, discutir e comen-
tar as questões a seguir, que tratam da temática desenvolvida 
nesta unidade.
54 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para 
você testar seu desempenho. Se você encontrar dificuldades em 
responder a essas questões, procure revisar os conteúdos es-
tudados para sanar suas dúvidas. Esse é o momento ideal para 
que você faça uma revisão desta unidade. Lembre-se de que, 
na Educação a Distância, a construção do conhecimento ocorre 
de forma cooperativa e colaborativa; compartilhe, portanto, as 
suas descobertas com os seus colegas. Confira, a seguir, as ques-
tões propostas para verificar o seu desempenho no estudo desta 
unidade:
1)Quais dos seguintes enunciados são verdadeiros?
a) Getúlio Vargas se suicidou Jânio Quadros renunciou.
b) ~(Getúlio Vargas suicidou-se Jânio Quadros renunciou).
c) ~(Getúlio Vargas suicidou-se) ~(Jânio Quadros renunciou).
d) [Getúlio Vargas suicidou-se ~(Jânio Quadros renunciou Getúlio 
Vargas suicidou-se)].
e) ~(Getúlio Vargas suicidou-se Jânio Quadros renunciou).
f) [(Getúlio Vargas suicidou-se Jânio Quadros renunciou) Getúlio 
Vargas suicidou-se]. 
2) Para realizar o seguinte exercício considere que p, q e r são verdadeiros e 
s, t e u são falsos. Quais enunciados, dentre os seguintes, são falsos?
a) (r u) (t q).
b) (p q) (t q).
c) [p q) r].
d) [p q) u].
e) [((s t) q) u].
f) ~(r u) ~(t ~q).
g) (~s t) (t q).
h) [u (t q) ~((p q) ~r)].
55© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
3) Neste exercício, você irá exercitar seu raciocínio lógico.
a) Quatro senhoras "gordinhas" entram num elevador que tem como car-
ga máxima 380 kg. Para que não dispare a alarme de excesso de peso 
e, consequentemente, pare o equipamento, o porteiro do prédio deve 
calcular o peso das quatro senhoras, mas quanto pesa cada uma?
Maria é a mais pesada; se cada uma das outras senhoras pesar tan-
to quanto ela, o alarme dispararia e deteria o elevador. Cida é a mais 
magra, o elevador tem condições de levar até cinco como ela. Renata 
pesa 14 kg a menos que Maria, e só 6 kg a menos que Leila. Leila pesa 
17 kg a mais do que Cida. Os pesos de Maria e de Cida são múltiplos 
de cinco.
b) Preencha o quadro a seguir, levando em consideração as seguintes 
informações:
1) 3, 6, 8, estão na horizontal superior.
2) 5, 7, 9, estão na horizontal inferior.
3) 1, 2, 3, 6, 7, 9, não estão na vertical esquerda.
4) 1, 3, 4, 5, 8, 9, não estão na vertical direita.
Gabarito
1) Para realizar estes exercícios, vamos raciocinar juntos!
"Quais dos seguintes enunciados são verdadeiros?"
Para responder, primeiramente é preciso transcrever a proposição que 
está na linguagem natural para a linguagem simbólica; em seguida, deve-
-se estabelecer (por meio dos conhecimentos históricos) se o fato referido 
é falso ou verdadeiro; por último, é preciso aplicar a Tabela de Verdade 
correspondente. Certo até aqui? Vamos lá!
Você sabe se Getúlio Vargas se suicidou? Sim; então, essa proposição é 
verdadeira e a vamos designá-la com a letra p. E Jânio Quadros renunciou? 
56 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Sim, em 25 de agosto de 1961; portanto, essa proposição também é ver-
dadeira e vamos designá-la com a letra q.
a) Getúlio Vargas se suicidou Jânio Quadros renunciou.
Resposta: é uma proposição composta formada por duas proposições 
simples, com o conectivo lógico , que significa "e". Sua forma propo-
sicional é: (p q).
b) ~(Getúlio Vargas suicidou-se Jânio Quadros renunciou).
Resposta: é uma proposição composta, formada por duas proposições 
simples, com o conectivo lógico , que significa "ou", e uma negação 
~, que, por estar fora do parêntese, altera todo o resultado.
Ficou assim: ~(p q) = não é verdade que Getúlio Vargas suicidou-se 
ou Jânio Quadros renunciou.
c) ~(Getúlio Vargas suicidou-se) ~(Jânio Quadros renunciou).
Resposta: é uma proposição composta formada por duas proposições 
simples negativas, com o conectivo lógico , que significa "e".
Ficou assim: (~p ~q) = Getúlio Vargas não se suicidou e Jânio Qua-
dros não renunciou.
d) Getúlio Vargas suicidou-se ~(Jânio Quadros renunciou Getúlio Var-
gas suicidou-se).
Resposta: é uma proposição composta, formada por duas proposições 
simples, com o conectivo lógico , que significa "ou, e mais uma pro-
posição composta com o conectivo lógico que significa e, com uma 
negação ~, que altera seu valor lógico.
Ficou assim: [p ~(q p)] = Getúlio Vargas suicidou-se ou não é ver-
dade que Jânio Quadros renunciou e Getúlio Vargas suicidou-se.
57© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
e) ~(Getúlio Vargas suicidou-se Jânio Quadros renunciou).
Resposta: é uma proposição composta, formada por duas proposições 
simples, com o conectivo lógico , que significa "e", e uma negação ~ 
que a antecede.
Ficou assim: ~(p q) = não é verdade que Getúlio Vargas suicidou-se e 
Jânio Quadros renunciou.
f) (Getúlio Vargas suicidou-se Jânio Quadros renunciou) Getúlio 
Vargas suicidou-se.
Resposta: é uma proposição composta, formada por outra proposição 
composta com o conectivo lógico , que significa "e, e mais uma pro-
posição simples unida pelo conectivo que significa se... então".
Ficou assim: [(p q) p] = se Getúlio Vargas suicidou-se e Jânio Qua-
dros renunciou, então Getúlio Vargas suicidou-se.
Terminando de traduzir as proposições da linguagem natural para a sim-
bólica, por fim, estamos em condições de estabelecer o valor de verdade 
de cada uma das proposições precedentes a partir da Tabela de Verdade 
correspondente a cada conectivo.
Como já estudamos, a Tabela de Verdade é onde consta o valor de verdade 
de cada proposição atômica, a partir do qual podemos calcular o valor de 
verdade da proposição molecular:
Negação
p ~p
V F
F V
58 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Conjunção
Antecedente Consequente a c
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção
Antecedente Consequente a c
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
Antecedente Consequente a c
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional
Antecedente Consequente a c
V V V
V F F
F V F
F F V
59© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Respostas
a) (V).
b) (F).
c) (F).
d) (V).
e) (F).
f) (V).
2) Enquanto, no exercício anterior, era preciso realizar a tradução da lingua-
gem natural para a simbólica e descobrir se a proposição simples era ou 
não verdadeira, no exercício 2 já existem os valores de verdade para cada 
uma das proposições simples e estas também estão indicadas com as le-
tras proposicionais: p, q, r, s, t e u.
As proposições simples p, q, r são verdadeiras e as proposições simples s, 
t, u são falsas.
Para resolver o que se está pedindo – quais enunciados, dentre os seguin-
tes, são falsos? –, vamos precisar utilizar as Tabelas de Verdade de cada 
conectivo.
Como foi visto anteriormente, cada conectivo lógico que participa da 
construção da proposição composta tem sua própria Tabela de Verdade. 
Na continuação, encontraremos as diferentes tabelas:
Negação
p ~p
V F
F V
Conjunção
Antecedente Consequente a c
V V V
V F F
F V F
F F F
60 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Disjunção
Antecedente Consequente a c
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
Antecedente Consequente a c
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional
Antecedente Consequente a c
V V V
V F F
F V F
F F V
Observando as tabelas de (Disjunção) e (Conjunção), temos a possibi-
lidade de completar a Tabela de Verdade da proposição a.
A seguir, iremos resolver por completo três dos exercícios propostos. Esco-
lhemos os exercícios a", "e" e "h. Vamos lá?
a) (r u) (t q).
Precisamos começar a resolução pela parte mais simples, que é estipular 
o valor das proposições simples. Segundo o enunciado:
61© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
• r = verdadeira;
• u = falsa;
• t = falsa;
• q = verdadeira.
Após estabelecer o valor de verdade das proposições simples, resolvemos 
(r u), se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, a proposi-
ção composta , Disjunção (observe a segunda linha da Tabela Verdade), 
é verdadeira.
1º resultado = (r u) verdadeira
Em seguida, resolveremos (t q): se o antecedente é falso e o consequen-
te é verdadeiro, a proposição composta , Conjunção (observe a Conjun-
ção terceira linha da Tabela Verdade), é falsa.
2º resultado = (t q) falsa
Agora que temos os valores de verdade das proposições compostas, resol-
veremos por último = (V) (F).
(r u) (t q)
(V) (F)
(V) (F) é uma conjunção (observea segunda linha Conjunção na Tabela 
Verdade); se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, a propo-
sição composta (conjuntiva) é:
Antecedente Consequente V F
V F F
Sendo assim, a proposição composta (r u) (t q) é falsa!
b) [((s t) q) u].
Para resolver o exercício, o primeiro passo é estabelecermos os valores 
das proposições simples, ok?
62 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
1º passo:
• s = F;
• t = F;
• q = V;
• u = F.
2º passo: resolvemos (s t).
3º passo: com o resultado de (s t), que denominamos "resultado 1", 
resolveremos: [((resultado 1 ) q)]. 
4º passo: com esse resultado que acabamos de denominar resultado 2, 
resolveremos: [(resultado 2) ] u.
Tudo entendido até aqui? Vamos lá!
Se s é falsa e t é falsa (segundo o enunciado do exercício), a condicional 
(s t) é = ? (observe a quarta linha da Condicional na Tabela de Ver-
dade). Se o antecedente é falso e consequente é falso, a condicional é: 
verdadeira!
Temos o resultado de (s t), que é . esse resultado se converte no 
antecedente de q.
Se o antecedente (s t) é verdadeiro e consequente q é verdadeiro, as-
sim, a condicional é ? (observe a primeira linha da Tabela Verdade). Se o 
antecedente é verdadeiro e o consequente é verdadeiro, a condicional é 
verdadeira, correto?
Agora sabemos que [((s t) q)] é verdadeira.
Para finalizar resolvemos: ( ) u. Lembrando que já sabemos que u é 
falsa, segundo o enunciado do exercício.
Observe a segunda linha da tabela da condicional:
Antecedente Consequente (V) u
V F F
Logo, [((s t) q)] u] é falsa!
63© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
Percebeu que é preciso resolver o exercício baseado nos valores definidos 
para cada letra e sempre consultar a Tabela de Verdade?
Portanto, para resolver o exercício, sempre inicie do simples para o 
complexo:
1º (s t) = verdadeiro.
2º [(V) q] = falsa.
3º [(V)] u = falsa.
Vamos resolver outro exercício, para elucidar qualquer dúvida!
c) [u (t q) ~((p q) ~r)].
1º passo: estabelecer o valor das letras, considerando que temos r e ~r, 
que possuem valores diferentes: 
u =
t = 
q =
p =
r =
~r =
2º passo: resolver com a Tabela de Verdade da Conjunção (t q).
3º passo: com esse valor, resolver u (t q).
4º passo: resolveremos a próxima proposição (p q) e com esse valor 
resolver ~r).
Agora vejamos o valor, porque existe uma negação antes da proposição 
composta: ~[(p q) ~r].
Importante: quando a negação está fora, como nesse exemplo, altera-se o 
valor de toda a proposição composta ~(...). Assim, primeiro calculamos o 
valor de verdade e depois aplicamos a regra da negação que altera tudo. 
Observando a tabela de Negação: V passa para F e F passa para V.
64 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
5º passo: por último, quando já temos calculado o valor de verdade de:
A = [u (t q) = ( )
B = ~((p q) ~r)] = ( )
Resolvemos: A B observando a tabela da Bicondicional.
Respostas
a) (F).
b) (V).
c) (V).
d) (F).
e) (F).
f) (F).
g) (F).
h) (F).
3) 
a) Considerando que Maria pesa mais de 95 kg, e Cida não pode pesar 
mais de que 76 kg e, além do mais, os pesos de Maria e de Cida são 
múltiplos de 5, temos que Maria pesa 100 kg, Cida, 75 kg, Renata, 86 
kg e Leila, 92 kg.
b) 
8 3 6
4 1 2
5 9 7
9. CONSIDERAÇÕES
Nesta unidade, aprendemos sobre proposições, conec-
tivos, Tabela de Verdade e os princípios da Lógica Matemática, 
que é uma das lógicas clássicas, bivalente. Esses conceitos são 
fundamentais para a compreensão do Cálculo Proposicional que 
estudaremos na próxima unidade.
65© LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
É importante ressaltarmos que, na Tabela Verdade, figu-
ram todos os possíveis valores de verdade que uma proposição 
pode ter. Como essa lógica é uma lógica clássica, ou seja, está ba-
seada no princípio de terceiro excluído", as proposições podem 
ter somente dois valores de verdade: (V) ou (F).
Na próxima unidade, você terá oportunidade de estudar 
outros métodos, além da Tabela de Verdade, para determinar a 
validade de um argumento. Também terá oportunidade de clas-
sificar as proposições em evidentemente verdadeira (Tautolo-
gia), evidentemente falsa (Contradição) ou contingências, quan-
do, na Tabela Verdade, aparecem os valores de (V) e (F) de forma 
alternada.
10. E-REFERÊNCIAS
D’OTTAVIANO, Í. M. L.; FEITOSA, H. A. Sobre a história da Lógica, a Lógica Clássica e 
o surgimento das lógicas não clássicas. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA, 5., 2003, Rio Claro. Anais... 2003. Disponível em: <ftp://ftp.cle.unicamp.
br/pub/arquivos/educacional/ArtGT.pdf>. Acesso em: 16 set. 2015.
KENNY, A. A lógica e os fundamentos da matemática. 2009. Disponível em: <http://
criticanarede.com/html/logicismo.html>. Acesso em: 17 set. 2015.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Editora Nobel, 2002.
AZEREDO, V. D. Introdução à Lógica. Ijuí: Unijuí, 2000.
BOCHENSKI, M. Historia de la Lógica Formal. Madrid: Editorial Gredos, 1966.
BRANQUINHO, J.; MURCHO, D. Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. Lisboa: 
Grádiva, 2001.
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
DAGHLIAN, J. Lógica e Álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1995.
66 © LÓGICA II
UNIDADE 1 – QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA
FREGE, G. Sobre a justificação científica de uma conceitografia. São Paulo: Abril 
Cultural, 1980. (Coleção os Pensadores).
HAACK, S. Filosofia das lógicas. São Paulo: Unesp, 2002.
HAIGHT, M. A serpente e a raposa: uma introdução à Lógica. São Paulo: Loyola, 2003.
HEGENBERG, L. Lógica, simbolização e dedução. São Paulo: Edusp, 1975.
______. O cálculo sentencial. São Paulo: Edusp, 1973.
KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da Lógica. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 
1991.
MATES, B. Lógica elementar. São Paulo: Nacional; Edusp, 1967.
MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
NEWTON-SMITH, W. Lógica: um curso introdutório. Lisboa: Gradiva, 1988.
PRIEST, G. Lógica. Lisboa: Temas e Debates, 2002.
PINTO, P. R. M. Introdução à Lógica Simbólica. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2006.
SALMON, W. C. Lógica. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
TARSKI, A. A concepção semântica da verdade. São Paulo: Unesp, 2006.
67
VALIDADE DE ARGUMENTOS
1. OBJETIVOS
• Discernir e explicar o que são argumentos válidos e 
inválidos.
• Utilizar a Tabela de Verdade para demonstrar a validade 
ou invalidade de argumentos.
• Expor o método da dedução para demonstrar a validade 
dos argumentos.
2. CONTEÚDOS
• Tabela de Verdade.
• Dedução Natural.
• Tautologias.
• Contradições.
• Contingência.
• Equivalência lógica.
• Implicação lógica.
UNIDADE 2
68 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, leia as orientações 
a seguir:
1) Para atingir os objetivos propostos nesta unidade, 
é preciso entender o que é uma Tabela de Verdade 
e como ela é construída. As Tabelas de Verdade nos 
permitem combinar todos os Valores de Verdade das 
proposições que serão analisadas e, assim, descobrir-
mos se são Tautológicas, Contraditórias ou Contingen-
tes. A Tabela de Verdade também é importante porque 
podemos determinar, com o seu auxílio, se um argu-
mento é válido ou inválido. Como você já deve ter es-
tudado anteriormente, determinar a validade de um 
argumento é uma das tarefas essenciais da Lógica. A 
Lógica Simbólica é uma disciplina técnica, apesar de 
sua vinculação com a tradição filosófica. Desse modo, 
para que seu aprendizado seja qualificado, é funda-
mental a realização dos exercícios para que as dúvidas 
surgidas durante a sua execução sejam dirimidas.
2) Surgiram algumas dúvidas em como assimilar a Tabela 
de Verdade? Entre em contato com seu tutor, ele esta-
rá apto a eliminar todas as suas dúvidas! 
4. INTRODUÇÃO
Nesta unidade, aprenderemos a distinguirum argumento 
válido de um inválido utilizando o método da Tabela de Verdade 
e o método da dedução. Recapitulando o que foi estudado an-
teriormente, um argumento é válido se a verdade das premissas 
implica a verdade da conclusão. Dito de outro modo, dizer que 
69© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
um argumento é válido significa que não pode haver nenhuma 
situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão, 
não.
Na unidade anterior, estudamos as Tabelas de Verdades 
dos conectivos funcionais de verdade – "e", "ou", "se..., então" 
e "se, e somente se...". De posse desse instrumental, vejamos 
primeiro como construir Tabelas de Verdade para, em seguida, 
avaliarmos a validade dos argumentos.
5. TABELA DE VERDADE
Prof. Dr. Renato Kinouchi
O estudo da Tabela de Verdade será realizado passo a passo, 
para que não restem dúvidas em relação aos conteúdos estuda-
dos. Em caso de dúvida, recorra a seu tutor!
Quais são as contribuições da Tabela de Verdade para a Ló-
gica Simbólica? Como são construídas as Tabelas de Verdade?
Como já dissemos na Unidade 1, por causa do Princípio do 
Terceiro Excluído, as proposições só podem assumir um de dois 
valores (V ou F). O mais interessante é que, de posse dos pos-
síveis valores de verdade das proposições atômicas, podemos 
construir tabelas que expressam os valores de verdade de pro-
posições compostas. Ou, em outros termos, o valor de verdade 
das proposições compostas é determinado univocamente pelos 
valores de verdade das proposições atômicas componentes.
Para fazer essa operação de composição de proposições 
compostas, utilizamos um dispositivo chamado "Tabela de Ver-
70 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
dade", que rastreia todos os valores de verdade possíveis para 
proposições quaisquer. Para o caso mais simples, o de duas pro-
posições atômicas p e q, temos a seguinte Tabela de Verdade que 
as proposições podem assumir.
A proposição p pode assumir V ou F. Quando p é V, q pode 
ser V ou F. Já quando p é F, q também pode assumir V ou F. Des-
sa forma, existem quatro possibilidades assim expressas:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Observe-se que cada uma das proposições, podendo assu-
mir um de dois estados possíveis, faz com que as possibilidades 
de combinação sejam 2 elevado a n (2n), sendo n o número de 
proposições. Assim, uma Tabela de Verdade para duas propo-
sições será 2² (dois ao quadrado), terá quatro linhas; para três 
proposições, será 2³ (dois ao cubo), ou oito linhas; para quatro 
proposições, será 2⁴ (dois elevado a quarta potência), ou trinta e 
duas linhas, e assim por diante.
De fato, as Tabelas de Verdade não são muito apropriadas 
para proposições compostas por mais de três proposições atô-
micas, pois é bastante trabalhoso montar tabelas com tantas li-
nhas. Uma Tabela de Verdade para três proposições atômicas (p, 
q e r) é montada da seguinte forma:
71© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
É bom salientar que existe uma técnica para organizar bem 
uma Tabela de Verdade. O que queremos representar são todas 
as combinações possíveis entre os valores das proposições.
Para montar uma tabela para duas proposições atômicas, 
os valores V da primeira proposição variam de dois em dois, en-
quanto os valores da segunda proposição alternam-se de um em 
um. Para o caso de três proposições, os valores da primeira va-
riam de quatro em quatro, os valores da segunda de dois em dois 
e os da terceira alternam-se de um em um. Esse procedimento 
garante que todas as combinações sejam satisfeitas.
Como forma de apreender melhor o modo como são apre-
sentadas as possibilidades de montagem de uma Tabela de Ver-
dade, veja, a seguir, um diagrama mostrando todas as possíveis 
combinações entre os valores de verdade de p, q e r. Observe a 
figura a seguir:
72 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Figura 1 Diagrama de valores de verdade.
6. PROVA DE VALIDADE
Agora que já aprendemos a construir uma Tabela de Verda-
de, vejamos como podemos determinar a validade de um argu-
mento utilizando esse método. Observe o Argumento 1:
Argumento 1
Ricardo estudou Filosofia ou Direito.
Ricardo não estudou Filosofia.
Logo, Ricardo estudou Direito.
73© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
O argumento anterior pode ser simbolizado da seguinte 
forma:
p q
~p
 q
Como o argumento possui duas variáveis distintas no 
enunciado, a Tabela de Verdade deve ter duas colunas iniciais e 
exigirá quatro linhas para enumerar todas as substituições pos-
síveis. Além dessas colunas iniciais, duas colunas adicionais para 
as premissas são requeridas. Nesse caso, não é necessária a co-
luna da conclusão, pois ela é uma das variáveis. Teremos, então, 
a seguinte Tabela de Verdade: 
p q p q ~p
V V V F
V F V F
F V V V
F F F V
Só existe um caso na tabela anterior – linha 3 – em que 
as premissas p q e ~p são verdadeiras. Como a conclusão q 
também é verdadeira segue-se que o argumento é válido, pois 
(na Tabela de Verdade) não existe caso onde as premissas sejam 
verdadeiras e a conclusão, falsa.
Vejamos outro argumento:
74 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Argumento 2
Se Valmir foi ao jogo do São Paulo, então o São Paulo ganhou.
Se Ronaldo foi ao jogo do São Paulo, então o São Paulo ganhou.
Logo, se Valmir foi ao jogo do São Paulo, então Ronaldo foi ao 
jogo do São Paulo.
O Argumento 2 pode ser simbolizado da seguinte forma:
p q
r q
 p r
Como temos três variáveis distintas, teremos uma tabela 
com oito linhas, pois, pela regra estudada, temos oito combina-
ções diferentes de valores de verdade (23 = 8). As três primeiras 
colunas, como na tabela anterior, são destinadas às proposições 
simples, e as três últimas são destinadas às premissas e à conclu-
são. Assim, temos a seguinte tabela:
p q r p q r q p r
1 V V V V V V
2 V V F V V F
3 V F V F F V
4 V F F F V F
5 F V V V V V
6 F V F V V V
7 F F V V F V
8 F F F V V V
A segunda linha da tabela anterior mostra-nos que as pre-
missas p q e r q são verdadeiras e a conclusão p r é falsa. 
75© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Essa linha mostra-nos que a definição de validade foi violada e, 
desse modo, o argumento anterior é inválido. Não importa que 
as linhas 1, 5, 6 e 8 apresentem premissas e conclusão verdadei-
ra. Se existir, pelo menos, um caso em que as premissas sejam 
verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento será inválido.
De posse desses conhecimentos básicos sobre a Tabela de 
Verdade, no tópico a seguir, você verá como as tautologias, con-
tradições, contingências, implicação e equivalência lógica ficam 
representadas em uma Tabela de Verdade. Vamos lá?
7. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊN-
CIAS, IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Iniciamos nosso tópico com o estudo da tautologia, aque-
le tipo de proposição que, independentemente dos valores de 
verdade que são atribuídos aos seus elementos constituintes, é 
sempre verdadeiro. Vejamos!
Tautologias
Podemos definir tautologia como um enunciado que é ver-
dadeiro independentemente dos valores de verdade atribuídos a 
seus componentes mais elementares. Assim, o enunciado "João 
é médico ou João não é médico", simbolizado por p ~p, é tau-
tológico, pois sua Tabela de Verdade será a seguinte:
p ~ p p ~p
V F V
F V V
76 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
A fórmula p ~p é verdadeira quaisquer que sejam os va-
lores de verdade atribuídos a p ou ~p.
A seguir, veremos o caso em que a proposição é contradi-
tória, ou seja, em que é sempre falsa, independentemente da 
verdade de seus elementos constituintes. Acompanhe!
Contradição
Os enunciados que são falsos, independentemente dos va-
lores de verdade atribuídos às partes mais elementares do enun-
ciado, serão definidos como contraditórios. Assim, o enunciado 
"Laura é psicóloga e Laura não é psicóloga", simbolizado por p 
~p, é contraditório, pois qualquerque seja o valor de verdade 
atribuído a p e ~p, a fórmula p ~p será sempre falsa. Veja na 
tabela a seguir:
p ~p p ~p
V F F
F V F
Depois de analisar a contradição, conheceremos a contin-
gência, que está presente nas proposições cujo valor de verdade 
demanda recorrermos à experiência para estabelecer.
Contingência
Os enunciados contingentes são aqueles que dependem 
do valor de verdade das suas partes mais elementares. Por exem-
plo, o enunciado "Silvia joga futebol e basquete", simbolizado 
pela fórmula p q, terá a seguinte tabela:
77© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
A análise lógica não nos diz se a fórmula é verdadeira ou 
falsa. É preciso saber os valores de verdade de p e q ou, dito de 
outra forma, saber se Silvia de fato joga futebol e basquete para 
sabermos se o enunciado é verdadeiro ou falso. A análise lógica 
não é suficiente. Temos de recorrer à experiência.
Implicação
Ao dizermos a frase: "Estamos em crise econômica, logo os 
salários sobem abaixo do custo de vida", na linguagem corrente, 
estamos admitindo uma relação de causa e efeito entre a crise 
econômica e o aumento dos salários.
Do ponto de vista matemático, essa frase é uma implica-
ção: "Se estamos em crise econômica, então (implica que) os 
salários sobem abaixo do custo de vida". Mas devemos tomar 
muito cuidado! Na lógica matemática, não nos preocupamos 
com qualquer relação de causa e efeito entre o antecedente e o 
consequente de uma implicação semântica.
A implicação é um tipo de relação apenas centrado nos va-
lores de verdade das proposições.
Definição
A proposição p implica a proposição q quando a condicio-
nal (p q) for uma tautologia.
78 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
O símbolo " " representa uma operação lógico-matemá-
tica entre proposições.
O símbolo "⇒" indica que existe implicação entre as propo-
sições. Observe a seguir:
p = Michi é um gato.
q = Michi é um animal.
A proposição p implica a proposição q.
Se p é verdadeira, então q também tem que ser verdadei-
ra, porque a informação obtida em q está também incluída em p.
De igual modo, se q é falsa, p também deve ser falsa para 
que haja uma relação de implicação.
Resumindo, a proposição p implica a proposição q, quando 
a condicional p q for uma tautologia.
A implicação é muito importante na linguagem matemáti-
ca, porque aparece sistematicamente nos teoremas que consti-
tuem as teorias matemáticas.
O símbolo p ⇒ q significa (p implica q) e representa a im-
plicação lógica.
Diferenciação dos símbolos e ⇒
O símbolo " " representa uma operação matemática en-
tre as proposições p e q que tem como resultado a proposição 
p q.
Vamos analisar, aplicando a Tabela Verdade da condicional, 
a proposição: (p q) (p q).
79© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
p q (p q) (p q) (p q) (p q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
Portanto, (p q) (p q) é uma tautologia e, por isso, 
podemos firmar que existe uma relação de implicação: (p q) ⇒ 
(p q).
Diz-se que uma proposição p implica a proposição q se, e 
somente se, a Tabela de Verdade de p q for uma tautologia.
Equivalência
Há equivalência entre as proposições p e q somente quan-
do a bicondicional p q for uma tautologia ou quando p e q 
tiverem os mesmos valores na Tabela Verdade e a proposição (p 
 q) for uma tautologia.
p ⇔ q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a 
equivalência lógica.
Diferenciação dos símbolos e ⇔
Vejamos a tabela da bicondicional ~(p q) (~p ~q):
p q ~p ~q ~(p q) (~p ~q) ~(p q) (~p ~q)
V V F F F F V
V F F V F F V
F V V F F F V
F F V V V V V
80 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Portanto, ~(p q) ↔ (~p ~q) é uma tautologia; por isso, 
podemos firmar que existe uma relação de equivalência lógica 
~(p q) ⇔ (~p ~q).
Para finalizar esse tópico, é interessante observar que, em-
bora a Tabela de Verdade nos permita distinguir com segurança 
argumentos válidos de inválidos, ela possui uma limitação, a sa-
ber: como manipular uma tabela com, digamos, dez variáveis? 
Essa tabela teria 1024 linhas, o que tornaria impraticável o seu 
uso para determinar a validade desse argumento.
Para escapar dessa dificuldade, estudaremos, no tópico a 
seguir, o método de dedução.
8. DEDUÇÃO NATURAL
O método de dedução permite-nos testar a validade dos 
argumentos recorrendo somente a uma sequência de raciocínios 
válidos, que são conhecidos como regras de inferência. Antes de 
examinarmos passo a passo o processo de dedução, é necessário 
que conheçamos algumas dessas regras. Vamos lá!
Regras de inferência
A validade das regras de inferência a seguir pode ser esta-
belecida por meio de Tabelas de Verdade. A título de exercício, 
faça a verificação.
MODUS PONENS (MP)
p q
p
 q
81© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
p q
q r
 p r
DILEMA CONSTRUTIVO (DC)
(p q) (r s)
p r
 q s
SIMPLIFICAÇÃO
p q
 p
ADIÇÃO
p
p q
MODUS TOLLENS (MT)
p q
~q
 ~p
82 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
SILOGISMO DISJUNTIVO (SD)
p q
~p
 q
ABSORÇÃO (ABS.)
p q
∴ p (q p)
CONJUNÇÃO
p
q
 p q
Agora que já conhecemos as regras de inferência, pode-
mos aprender como se faz uma prova formal de validade, que é 
definida por Copi (1978, p. 260-261) como segue:
Definimos a prova formal de validade de um argumento dado 
como uma sequência de enunciados, cada uma das quais tam-
bém é uma premissa desse argumento ou decorre de enuncia-
dos precedentes, mediante um argumento elementar válido, e 
de modo tal que o último enunciado na sequência é a conclu-
são do argumento, cuja validade estamos demonstrando.
Suponha o seguinte argumento:
83© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
p q
q r
r s
~s
p t
 t
Nesse sentido, temos de saber se a conclusão t segue das 
cinco premissas. Faremos isso nos baseando em nossas regras de 
inferência. Por meio destas, construiremos raciocínios interme-
diários que nos permitirão saber se a proposição t pode ser deri-
vada das premissas. Assim, nossa prova será do seguinte modo:
1) p q.
2) q r.
3) r s.
4) ~s.
5) p t /∴ t.
6) p r (1,2 SH).
7) p s (6,3 SH).
8) ~p (7,4 MT).
9) t (5,8 SD).
A linha 6 é construída usando a regra dos Silogismo Hipo-
tético nas linhas 1 e 2.
A linha 7 é formada pela aplicação, novamente, da regra 
do Silogismo Hipotético nas linhas 3 e 6.
A linha 8 é formada pela aplicação da regra Modus Tollens 
nas linhas 4 e 7.
84 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Por fim, concluímos t a partir das linhas 5 e 8, utilizando a 
regra do Silogismo Disjuntivo, e demonstramos que nosso argu-
mento é válido.
Podemos dizer que, em forma de uma equação, o argu-
mento fica representado da seguinte forma:
(1)
(2)
(6)
(3)
(7)
(4) ~
(8) ~
(5)
(9)
p q
q r
p r
r s
p s
s
p
p t
t
→
→
→
→
→
∨
Vamos aprimorar essa nova técnica que você acaba de 
conhecer?
Aprimorando a dedução
Existem alguns argumentos cuja validade não pode ser de-
monstrada usando apenas as nove regras de inferências men-
cionadas na seção anterior. Assim, não conseguimos demonstrar 
o seguinte argumento válido sem o auxílio de regras adicionais:
p q
r ~q
∴ p ~r
85© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Essas regras são conhecidas como "equivalências lógicas" 
e as expressões equivalentes podem se substituir mutuamente 
onde quer que ocorram. Vejamos, a seguir, essas regras.
Equivalências lógicas
Em uma dedução, também são válidas as seguintes regras:
DE MORGAN
~(p q) (~p ~q)
~(p q) (~p ~q)
ASSOCIAÇÃO
[p (q r)] [(p q) r]
[p (q r)] [(p q) r]
COMUTAÇÃO
(p q) (q p)
(p q) ~(q p)
DISTRIBUIÇÃO
[p (q r)] [(p q) (p r)]
[p (q r)] [(p q) (p r)]
DUPLA NEGAÇÃO
p ~~p
86 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
IMPLICAÇÃO MATERIAL
(p q) (~p q)
TRANSPOSIÇÃO
(p q) (~q ~p)
EQUIVALÊNCIA MATERIAL
(p q) [(p q) (q p)]
(p q) [(p q) (~p~q)]
TAUTOLOGIA
p (p p)
p (p p)
EXPORTAÇÃO
[(p q) r] [p (q r)]
Com essas regras adicionais, ficamos mais bem preparados 
para demonstrar a validade formal dos argumentos semelhantes 
ao apresentado anteriormente.
Podemos mostrar a validade dessas regras por meio da Ta-
bela de Verdade ou da Dedução Natural. No entanto, deixaremos 
essa tarefa para você. Escolher qual dos métodos utilizar nem 
sempre é uma tarefa fácil. De acordo com Copi (1978, p. 268):
Embora uma prova formal de validade seja efetiva no sentido 
de que pode decidir-se mecanicamente, para qualquer sequên-
cia de enunciados se aquela é ou não uma prova, a constru-
ção dessa prova formal não é em si mesma, um procedimento 
87© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
eficaz. A este respeito as provas formais diferem das tabelas 
de verdade. O uso das tabelas de verdade é completamente 
mecânico: dado qualquer argumento do gênero daqueles que 
estamos agora interessados, poderemos sempre construir uma 
tabela de verdade para testar a sua validade de acordo com as 
simples regras de procedimento, estabelecida no capítulo pre-
cedente. Mas não dispomos de regras efetivas ou mecânicas 
para a construção de provas formais. Neste caso, devemos pen-
sar ou imaginar por onde se deve começar e como prosseguir.
Com a apresentação das regras complementares, termina-
mos a apresentação do Cálculo Proposicional. Nas próximas uni-
dades, começaremos o estudo do Cálculo de Predicados.
9. TEXTOS COMPLEMENTARES
Demonstrações Versus Derivações ––––––––––––––––––––
O excerto a seguir pertence ao artigo do livro Gödel Escher Bach: um entrela-
çamento de gênios brilhantes, de Douglas R. Hofstadter.
O cálculo proposicional é muito semelhante ao raciocínio, de diversas manei-
ras, mas suas regras não devem ser equiparadas às regras do pensamen-
to humano. Uma demonstração é algo informal, ou, em outras palavras, um 
produto do pensamento normal, escrito em linguagem humana para consumo 
humano. Todos os tipos de aspectos complexos do pensamento podem ser 
empregados em demonstrações e, embora eles possam "parecer corretos", 
pode-se sempre cogitar se eles podem ser defendidos logicamente. É para 
isso, na verdade, que a formalização existe. Uma derivação é uma contrapar-
tida artificial de uma demonstração e seu propósito é o de alcançar o mesmo 
objetivo, mas por meio de uma estrutura lógica cujos métodos são não só 
totalmente explícitos, mas também muito simples.
Se – como normalmente acontece – uma derivação formal for extremamente 
longa em comparação com a demonstração "natural" correspondente, paciên-
cia. É o preço a pagar para que cada passo seja tão "simples" em sentidos 
complementares da palavra. A demonstração é simples na medida em que 
cada passo "parece correto", embora não se saiba exatamente por quê; a de-
rivação é simples na medida em que cada um de seus milhares de passos é 
considerado tão trivial que fica acima de reparos, e uma vez que a derivação 
como um todo consiste exclusivamente em tais passos triviais ela é suposta-
88 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
mente livre de erros. No entanto, cada tipo de simplicidade traz consigo um 
tipo característico de complexidade. No caso das demonstrações, é a com-
plexidade do sistema subjacente cujo fundamento, por sua vez, é a linguagem 
humana; e no caso das derivações, é seu tamanho astronômico, que torna 
quase impossível dominá-las.
Assim, o cálculo proposicional deve ser visto como parte de um método geral 
de sintetização de estruturas artificiais semelhantes a demonstrações. Contu-
do, ele não tem demasiada flexibilidade ou generalidade. Ele se destina a ser 
empregado apenas com relação a conceitos matemáticos – os quais são, por 
si só, bastante rígidos (HOFSTADTER, 2001, p. 213).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Regras de dedução natural ––––––––––––––––––––––––––
A dedução natural é um método de demonstração introduzido independen-
temente por Gerhard Gentzen em 1935 e Stanislaw Jaskowski em 1934. Os 
sistemas de dedução natural caracterizam-se, entre outros aspectos, por não 
apresentarem um conjunto de axiomas e regras de inferências, mas apenas 
um conjunto de regras. Neste artigo apresentaremos um conjunto de regras 
primitivas de dedução natural, reservando para o final algumas considerações 
sobre as vantagens deste sistema, que hoje em dia suplantou já, nos meios fi-
losóficos, os sistemas axiomáticos. Os vários sistemas hoje existentes diferem 
ligeiramente em algumas das regras mais subtis. [...] 
Um dos aspectos mais interessantes dos sistemas de dedução natural resulta 
do facto de exigirem que as derivações exibam, em cada passo, as premissas 
das quais esse passo depende. Esta exigência não existe nos sistemas axio-
máticos. A seu tempo, veremos uma importante consequência lógico-filosófica 
desta exigência. Para já, é útil dar uma ideia de como ela funciona.
Uma demonstração é constituída por 4 colunas. Na coluna 1 – a coluna das 
dependências – exibem-se as dependências lógicas. Se o passo em causa for 
uma premissa escreve-se Prem, se for uma suposição escreve-se Sup. Caso 
contrário teremos de escrever o número da premissa ou suposição da qual o 
nosso passo depende (caso dependa de alguma). A coluna 1 é também conhe-
cida como coluna do cálculo do conjunto de premissas.
A diferença entre premissas e suposições é a seguinte: muitas vezes, no decur-
so de uma derivação, queremos introduzir fórmulas a título hipotético, as quais 
serão, a seu tempo, eliminadas. Chamamos «suposições» a estas fórmulas.
Na coluna 2 limitamo-nos a numerar os passos da nossa derivação. É a coluna 
da numeração.
89© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Na coluna 3 efetuamos o cálculo propriamente dito: é nesta coluna que apre-
sentamos as fórmulas que estamos a manipular. É a coluna do cálculo.
Na coluna 4 justificamos a inferência apresentada na coluna 3. É a coluna da 
justificação. Nesta coluna afirmamos que o nosso passo resulta, por exemplo, 
do passo (4), por uma aplicação da regra da eliminação da conjunção.
O estudante tem tendência para confundir o papel da coluna da justificação 
com a coluna das dependências. Afinal, se justificamos um resultado apelando 
para o passo (4), para retomar o nosso exemplo, parece óbvio que na coluna 
das dependências terá de surgir o número 4. Um dos resultados do estudo da 
lógica é a tomada de consciência de que nem tudo o que parece óbvio é ver-
dade e este é um desses casos. Se o passo (4) do nosso exemplo não for uma 
premissa nem uma suposição, o número que devemos inscrever na coluna das 
dependências não é 4. Isto acontece porque o que nos interessa é registrar as 
premissas das quais o nosso resultado depende (MURCHO, 2001). 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Sugerimos que você procure responder, discutir e comen-
tar as questões a seguir, que tratam da temática desenvolvida 
nesta unidade, ou seja, da verificação da validade dos argumen-
tos por meio da Tabela de Verdade e da Dedução Natural.
10. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Neste momento, convidamos você a fazer uma autoava-
liação de sua aprendizagem sobre os conteúdos estudados na 
Unidade 2. Para tanto, questione-se:
Consigo apontar e analisar as proposições na linguagem do 
Cálculo Proposicional? Sei traduzir as proposições categóricas da 
linguagem ordinária para a linguagem do Cálculo Proposicional? 
Tenho condições de elaborar uma Tabela de Verdade e avaliar a 
validade dos argumentos? Ainda tenho dúvidas em relação aos 
conteúdos abordados? Quais procedimentos posso utilizar para 
eliminá-las?
90 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para 
você testar o seu desempenho. Se você encontrar dificuldades 
em responder a essas questões, procure revisar os conteúdos es-
tudados para sanar as suas dúvidas. Esse é o momento ideal para 
que você faça uma revisão desta unidade. Lembre-se de que, na 
Educação a Distância, a construçãodo conhecimento ocorre de 
forma cooperativa e colaborativa; compartilhe, portanto, as suas 
descobertas com os seus colegas.
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade:
1) Avalie as expressões a seguir, resolva a Tabela de Verdade, indicando quais 
proposições moleculares são: tautologia, contingência e contradição.
a) [((p q) r) ↔ (p (q r))].
b) [(p q) ~(p q)].
c) ~[(p q) ~(p q)].
d) (p q) ~(p q).
e) (p q) (q p).
f) (p q) p.
g) A negação de uma tautologia é sempre uma ________.
h) Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e fal-
sa é sempre ________, portanto, a fórmula (p ~p) é uma ________.
2) Considerando que existe equivalência lógica (↔) entre duas proposições 
p e q quando as Tabelas de Verdade de ambas são idênticas, podemos 
afirmar que existe implicação lógica ou relação de Implicação (⇒) entre 
duas proposições p e q quando a Proposição condicional p q é uma 
tautologia. Assim, responda as questões a seguir:
a) Existe equivalência entre estas duas proposições: [(p q) r ⇔ p 
(q r)]?
b) As proposições a seguir são equivalentes?
c) Sairei de viagem a não ser que precise realizar a prova sub.
d) Sairei de viagem se e só se não precisar fazer a prova sub.
91© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
e) Existe implicação ou equivalência entre estas duas proposições: (p ↔ 
q) ↔ (p q) (q p)?
f) Está correta a afirmação a seguir: "p ⇒ q só se p q" é uma tautologia?
g) Explique com suas palavras a lei de Modus Ponens: [(p q) p] q, 
e demonstre se a mesma configura implicação lógica.
h) Explique com suas palavras a lei de Modus Tollens: [(p q) ~q] 
~p, e demonstre se a mesma configura Implicação Lógica.
i) Dada a proposição ~(p q) ~p, existe Implicação Lógica?
3) Demonstre a validade das seguintes regras de inferência utilizando o mé-
todo da Tabela de Verdade.
a) Silogismos disjuntivos:
1) [~P (P Q)] ⇒ Q.
1) [P (~P ~Q)] ⇒ ~Q.
b) Silogismos hipotéticos:
2) [(P Q) (Q R)] ⇒ (P R).
3) [(P Q) (Q R)] ⇒ (P R).
4) Verifique, na Tabela de Verdade, as Primeiras Leis de de Morgan – ma-
temático inglês Augustus De Morgan (1806 –1871) – para comprovar as 
seguintes afirmações:
a) ~(p q) ⇔ (~p ~q), que, na linguagem natural, equivale a: "Negar 
que se realizam em simultâneo dois acontecimentos é afirmar que não 
se realiza pelo menos um deles. Negar a simultaneidade de p e q é 
afirmar pelo menos não p ou não q".
b) ~(p q) ⇔ (~p ~q), que na linguagem natural equivale a: "Negar que 
se realiza pelo menos um de dois acontecimentos é afirmar que não se 
realiza nem um nem outro. Negar a ocorrência de pelo menos p ou q 
é afirmar nem p nem q".
c) As seis regras de inferência apresentadas são formas válidas de infe-
rência? Ou seja, a conclusão é decorrência lógica das premissas?
5) Sobre a Dedução natural, responda as seguintes questões:
a) Para que serve?
b) Para que não serve?
c) Quantas regras básicas se utilizam?
92 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
6) Observe o exemplo a seguir, siga o mesmo raciocínio e comprove se é vá-
lido o raciocínio com a seguinte estrutura:
1) P1: Se alguém desliga o interruptor então a sala fica escura.
2) P2: Alguém desliga o interruptor.
3) Logo: A sala fica escura.
Forma simbólica:
p q
p
_________
q
Equivale ao Modus ponens!
Na Tabela de Verdade, temos o seguinte:
p q p q
V V
V (nesta linha é 
verdadeira)
V F F
F V V
F F V
Resposta: é uma forma válida de argumento!
Agora é sua vez de resolver o exercício utilizando a fórmula Modus Tollens:
1) P1: Se alguém desliga o interruptor, então a sala fica escura.
2) P2: A sala não fica escura.
3) Logo: Não desligaram a interruptor.
Você deve realizar a:
a) Forma simbólica.
b) Tabela de Verdade.
c) Uma conclusão.
93© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
Gabarito
1) 
a) Tautologia.
b) Contradição.
c) Contingência.
d) Tautologia.
e) Contingência.
f) Contingência.
g) Contradição.
h) Contradição/contradição.
2) 
a) Sim, existe equivalência lógica entre as duas proposições.
b) Sim, são equivalentes, porque sempre que uma for verdadeira, a outra 
também será verdadeira.
c) Como a Tabela de Verdade de A é idêntica à Tabela de Verdade de B, 
existe equivalência lógica, A ⇔ B.
d) Sim, está correta.
e) Dado um condicional e afirmando (Ponens) o antecedente, pode-se 
afirmar (Ponens) o consequente. Portanto, sim, configura implicação 
lógica.
f) Dado um condicional e negando (Tollens) o consequente, pode-se ne-
gar (Tollens) o antecedente. Portanto, sim, configura implicação lógica.
g) Sim, existe implicação.
3) Silogismos disjuntivos, Silogismos Hipotéticos e as duas leis de De Morgan 
são raciocínios válidos. Um raciocínio válido pode sempre ser reduzido a 
uma tautologia.
4) 
a) Configura uma tautologia.
b) Configura uma tautologia.
c) Sim, as seis regras de inferência são formas válidas.
94 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
5) 
a) A dedução natural serve para tentar demonstrar que um raciocínio é 
correto, "para comprovar a validade de um sequente".
b) Não serve para demonstrar a invalidade de uma suposição.
c) As regras que se utilizam na dedução natural são nove.
6) 
a) 
p q
~p
_______
~p
b) 
p q ~p ~q P q
V V F F V (se p q, ~q ~p)
V F F V F
F V V F V
F F V V V
Conclusão: é uma forma válida de argumento.
11. CONSIDERAÇÕES
Nesta unidade, aprendemos sobre a validade de argumen-
tos no Cálculo Proposicional. Estudamos que as operações de 
dedução se efetuam com um conjunto de símbolos e regras que 
possibilitam criar fórmulas.
No entanto, essas técnicas, associadas aos conetivos, mui-
tas vezes são insuficientes para poder decidir sob a verdade ou 
falsidade de argumentos, porque não há recursos para simboli-
95© LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
zar verbos e predicados. O Cálculo Proposicional é apenas uma 
parte da Lógica Clássica.
Nas próximas unidades, começaremos o estudo do Cálcu-
lo de Predicados, que entra na estrutura lógica das proposições 
atômicas distinguindo indivíduos de predicativos.
Bons estudos!
12. E-REFERÊNCIAS
KENNY, A. A Lógica e os fundamentos da Matemática. 2009. Disponível em: <http://
criticanarede.com/html/logicismo.html>. Acesso em: 22 set. 2015.
MURCHO, D. Regras de dedução natural. 2001. Disponível em: <http://criticanarede.
com/html/fil_regras.html>. Acesso em: 22 set. 2015.
13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Editora Nobel, 2002.
AZEREDO, V. D. Introdução à Lógica. Ijuí: Unijuí, 2000.
BOCHENSKI, M; Historia de la Lógica Formal. Madrid: Editorial Gredos, 1966.
BRANQUINHO, J.; MURCHO, D. Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. Lisboa: 
Gradiva, 2001.
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
DAGHLIAN, J. Lógica e Álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1995.
FREGE, G. Sobre a justificação científica de uma conceitografia. São Paulo: Abril 
Cultural, 1980. (Coleção Os Pensadores).
HAACK, S. Filosofia das lógicas. São Paulo: Unesp, 2002.
HAIGHT, M. A serpente e a raposa: uma introdução à Lógica. São Paulo: Loyola, 2003.
HEGENBERG, L. Lógica, simbolização e dedução. São Paulo: Edusp, 1975.
______. O cálculo sentencial. São Paulo: Edusp, 1973.
96 © LÓGICA II
UNIDADE 2 – VALIDADE DE ARGUMENTOS
HOFSTADTER, D. R. Gödel Escher Bach: um entrelaçamento de gênios brilhantes. São 
Paulo: Imprensa Oficial do Estado/Editora Universidade de Brasília, 2001.
KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da Lógica. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 
1991.
MATES, B. Lógica elementar. São Paulo: Nacional/Edusp, 1967.
MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
NEWTON-SMITH, W. Lógica: um curso introdutório. Lisboa: Gradiva, 1988.
PINTO, P. R. M. Introdução à Lógica Simbólica. Belo Horizonte: UFMG, 2006.
PRIEST, G. Lógica. Lisboa: Temas e Debates, 2002.
SALMON, W. C. Lógica. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
97
UNIDADE 3
SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
1. OBJETIVOS
• Reconhecera linguagem do Cálculo de Predicados (CP).
• Traduzir proposições da linguagem ordinária para a lin-
guagem do Cálculo de Predicados.
2. CONTEÚDOS
• Constantes individuais.
• Constantes de predicados.
• Variáveis individuais.
• Quantificadores.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) Para atingir os objetivos propostos para esta unidade, 
atente-se para o papel dos quantificadores no Cálcu-
lo de Predicados. Eles foram desenvolvidos porque os 
argumentos expressos na forma sujeito e predicado 
não podem ser expressos na linguagem proposicional. 
Assim, continuaremos a formalizar a linguagem ordi-
98 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
nária. Os quantificadores apresentam um significado 
preciso, o que ajuda a eliminar a ambiguidade da lin-
guagem corrente e, dessa forma, permite que essa lin-
guagem seja simbolizada. Ao observar esses quantifi-
cadores, todos compreendem o seu significado. Como 
sustentamos anteriormente, não é preciso decorar os 
símbolos. O importante é compreender o processo 
que levou à simbolização de linguagem. Com o desen-
volvimento dos exercícios, o significado desses conec-
tivos será assimilado de forma natural.
2) Participe ativamente do estudo, procure estabele-
cer contato com o material por meio de tantos meios 
quantos forem possíveis: leia o texto, depois faça uma 
revisão, preferencialmente em voz alta, a fim de orga-
nizar seus pensamentos; após compreender o texto, 
estabeleça conexões entre os temas e sua realidade; 
faça a síntese dos textos usando técnicas de redação, 
como resumos, resenhas, mapas conceituais etc., pro-
cure enriquecer as anotações com sua contribuição 
pessoal.
3) Aprofunde seus conhecimentos sobre o tema que es-
tamos estudando. Para tanto, sugerimos que acesse o 
site de busca de sua preferência, e pesquise utilizan-
do a expressão "linguagem do cálculo de predicados" 
como palavra-chave para sua busca.
4) Amplie seus conhecimentos sobre a sintaxe do Cálculo 
de Predicados. Para tanto, pesquise as obras referen-
ciadas no final desta unidade!
99© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
4. INTRODUÇÃO
Nas unidades anteriores, aprendemos a formalizar algu-
mas proposições e determinados argumentos da linguagem cor-
rente. Por exemplo, a proposição "Paulo foi ao médico e ao tea-
tro" pode ser simbolizada por p q, ao passo que o argumento:
Paulo foi ao cinema ou ao teatro.
Paulo não foi ao teatr o.
Logo, Paulo foi ao cinema.
Pode ser formalizado da seguinte maneira:
p q
~p
 q
Porém, com o recurso da Lógica Proposicional, teríamos 
alguns problemas em formalizar o seguinte argumento:
Todo paulista é brasileiro.
Lúcia é brasileira.
Portanto, Lúcia é paulista.
Isso porque a formalização, na linguagem do Cálculo Pro-
posicional, teria a seguinte forma:
b
l
 p
Com essa simbolização, o argumento parece inválido, já 
que é fácil ver que, tomando b como exemplo, um único símbo-
100 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
lo não formaliza adequadamente a proposição "Todo paulista é 
brasileiro".
Observe que a dificuldade em formalizar esse tipo de argu-
mento ocorre porque os argumentos que estudamos nas unidades 
anteriores eram formados por enunciados compostos, o que não 
ocorre com esse argumento. Uma análise gramatical do enunciado 
"Lúcia é brasileira" classificaria "Lúcia" como sujeito da oração e 
"brasileira" como predicado. Nesse sentido, o sujeito denota um 
indivíduo particular; já o predicado designa a propriedade atribuí-
da ao indivíduo.
Então, temos de aprimorar as técnicas lógicas que apren-
demos para avaliar satisfatoriamente a validade desse tipo de 
argumento. Como os enunciados que compõem os argumentos 
que estudaremos nesta unidade possuem a estrutura "sujeito e 
predicado", costuma-se chamar essa parte da lógica de Cálculo 
de Predicados. Assim, procederemos agora ao estudo dessa par-
te importante da Lógica Clássica. Acompanhe!
5. A LINGUAGEM DO CÁLCULO DE PREDICADOS
Antes de definirmos nossa linguagem, devemos ressaltar 
que o Cálculo de Predicados é o cerne da Lógica Clássica. Esta, 
por sua vez, não deve ser confundida com a Lógica Aristotélica, 
que, muitas vezes, é chamada de "Lógica Tradicional".
A Lógica Clássica caracteriza-se por respeitar os três princí-
pios tradicionais: Princípio de Identidade, Princípio de Não Con-
tradição e Princípio do Terceiro Excluído.
Feita essa breve digressão, vamos voltar à linguagem do 
Cálculo de Predicados.
101© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
Assim como a linguagem ordinária, a linguagem formal 
também possui um alfabeto próprio, ou um conjunto de símbo-
los essenciais. Possui, também, uma gramática para que possa-
mos distinguir as expressões bem formadas das malformadas. 
Por exemplo, "+ = (9 X 6)" e "(9 X 6) + 3 = 57" são expressões da 
linguagem da aritmética; porém, só a segunda é uma expressão 
bem formada.
Dissemos, na introdução, que o sujeito denota um indi-
víduo particular. Não devemos concluir disso que o termo "in-
divíduo" se refira apenas a pessoas. No enunciado "Este livro é 
excelente", o sujeito do enunciado é "este livro" e, também, o 
"indivíduo" que o sujeito denota.
Esclarecido esse ponto, passemos às definições das expres-
sões básicas de nossa linguagem. Usaremos letras minúsculas 
de "a" até "w" para designar indivíduos. Chamaremos esses 
símbolos de constantes individuais.
É uma prática comum designar um indivíduo pela primeira 
letra de seu nome. Desse modo, os indivíduos "Carlos", "mesa", 
"livro" e "Sergipe", podem ser representados, respectivamente, 
pelas letras c, m, l e s.
Podemos dizer, então, que as constantes individuais fun-
cionam como nomes. Elas podem substituir nomes próprios, 
como "Maria", "Paulo" e "Simone", assim como descrições defi-
nidas, por exemplo, "o atual presidente do Brasil".
Vamos à simbolização dos predicados?
Dissemos anteriormente que um predicado designa a 
propriedade que se atribui ao indivíduo. Empregaremos letras 
maiúsculas de "A" até "W" para designar propriedades. Chama-
remos esses símbolos de constantes de predicado, e seguiremos 
102 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
esse princípio adotado no uso dessas constantes. Assim, os pre-
dicados de ser "feliz", "gentil" e "honesto" podem ser represen-
tados, respectivamente, por F, G e H.
Suponha que desejemos traduzir, para a linguagem de Cál-
culo de Predicados – "CP" de agora em diante –, o enunciado 
"Fausto é médico". Teríamos, então, a seguinte formalização: Mf. 
Note que, na linguagem do CP, o símbolo de predicado é escri-
to antes da constante individual. Essa prática, porém, é apenas 
convencional. Nada nos impede de fazermos ao contrário. É pre-
ciso, claro, usar a notação de forma homogênea. Como é usual 
escrevermos as constantes de predicado antes das constantes 
individuais, adotaremos essa prática nesta obra.
A segunda premissa do argumento, apresentado na intro-
dução ("Lúcia é brasileira"), será simbolizada da seguinte manei-
ra: Bl.
Já vimos como funcionam as constantes individuais e de 
predicados. Os enunciados formados na linguagem do CP, que 
usam essas constantes, podem ser verdadeiros ou falsos. O 
enunciado "Rex é um cachorro", por exemplo, pode ser formali-
zado da seguinte forma: Cr.
Ele pode ser verdadeiro ou falso. O que podemos dizer, 
no entanto, a respeito do enunciado "x é um cachorro"? Como 
esse indivíduo não está especificado, não podemos dizer se a ex-
pressão é verdadeira ou falsa. Para escrevermos expressões des-
se tipo na linguagem do CP, utilizaremos variáveis individuais, 
que serão simbolizadas pelas letras minúsculas x, y e z. Assim, o 
enunciado "x é uma roupa" será simbolizado da seguinte forma: 
Rx. Não é verdadeiro nem falso, ao passo que o enunciado "Blu-
sa de lã é uma roupa" (Rb) pode ser verdadeiro ou falso.
103© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULODE PREDICADOS
As variáveis individuais, assim como as constantes, funcio-
nam como nomes. A diferença entre ambas é que as variáveis 
não denotam um sujeito específico.
Com as definições apresentadas, podemos traduzir uma 
parte da linguagem ordinária que se utiliza da estrutura sujeito e 
predicado. Mas, como traduzir enunciados gerais do tipo "Todo 
paulista é brasileiro"? Você aprenderá a fazer tal tradução a se-
guir, quando estudarmos os quantificadores.
6. QUANTIFICADORES
Até agora, o que aprendemos da linguagem do CP nos per-
mite tratar de proposições singulares; isso porque as constantes 
individuais designam indivíduos particulares. Como representa-
mos, então, as proposições gerais?
A proposição "Todos são inteligentes" é uma proposição 
que não se refere apenas a um ser em particular, mas a todos 
eles. Para representarmos esse tipo de proposição, utilizaremos 
o símbolo ∀, que procura simbolizar as locuções para todo, qual-
quer que seja, todos, e assim por diante. Com essa notação, po-
demos formalizar essa proposição da seguinte forma: ∀x(Ix), e 
lemos: Para todo x, x é inteligente.
O símbolo ∀ é conhecido como quantificador universal, 
visto que ele procura simbolizar proposições universais, ou seja, 
proposições referentes a todos os membros da classe designada 
pelo seu termo sujeito. O quantificador universal será sempre 
seguido de uma variável. Ele estende uma determinada proprie-
dade a todos os indivíduos de uma classe. Assim, temos que a 
proposição ∀x(Px) pode ser lida: A propriedade P vale para todo 
x.
104 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
Costumamos chamar o símbolo $ de quantificador exis-
tencial e este corresponde, em português, além da expressão já 
citada, aos termos algum, alguns, alguém etc. Sobre os quantifi-
cadores, Susan Haack afirma:
Frege, que inventou a teoria da quantificação deu grande ênfa-
se à importância de deslocar a atenção da distinção sujeito-pre-
dicado para a distinção função-argumento. Uma conseqüência, 
essencial à adequação do formalismo para representar o argu-
mento matemático, é admitir relações, uma vez que se podem 
ter funções de mais de um argumento. Uma outra, que é mais 
relevante para nossos propósitos atuais, é admitir funções de 
segundo nível, a categoria dos quantificadores. Por exemplo, 
dizer que existem cães de três pernas, de acordo com Frege, 
é dizer que o conceito cão de três pernas não é vazio (HAACK, 
2002, p. 72).
Cabe lembrar que o quantificador existencial vem sempre 
seguido de uma variável, da mesma forma que o quantificador 
universal.
Existe, ainda, outra forma de proposição geral, a saber: "al-
guém é professor". Essa proposição é considerada geral, porque 
não sabemos a que indivíduo a proposição se refere. Embora 
a proposição se refira a um indivíduo particular, este não está 
determinado. Outra forma de escrever a proposição anterior é: 
"existe um x tal que x é professor". Utilizaremos o símbolo $ para 
simbolizar a frase "existe um x tal que", e assim, a nossa propo-
sição pode ser simbolizada da seguinte maneira: $x(Px), onde 
lemos: Existe um x tal que x é professor.
Com a introdução dos quantificadores, completamos a 
linguagem do CP. Essa linguagem permite-nos simbolizar frases 
com sujeito e predicado da linguagem corrente. Na próxima uni-
dade, estudaremos, com o recurso dessa linguagem, as proposi-
ções categóricas que você já estudou anteriormente.
105© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
7. TEXTO COMPLEMENTAR
A Lógica e os fundamentos da Matemática –––––––––––––
A lógica de Frege
O acontecimento mais importante na história da filosofia do século XIX foi a 
invenção da lógica matemática. Não se tratou apenas de fundar de novo a pró-
pria ciência da lógica; foi algo que teve igualmente consequências importan-
tes para a filosofia da matemática, para a filosofia da linguagem e, em última 
análise, para a compreensão que os filósofos têm sobre a natureza da própria 
filosofia.
O principal fundador da lógica matemática foi Gottlob Frege. Nascido na costa 
báltica alemã em 1848, Frege (1848-1925) doutorou-se em Filosofia em 
Göttingen e ensinou na Universidade de Jena de 1874 até se reformar, em 
1918. Excepto no que respeita à actividade intelectual, a vida de Frege foi 
rotineira e isolada; o seu trabalho foi pouco lido enquanto viveu, e mesmo de-
pois da sua morte só exerceu influência por intermédio dos escritos de outros 
filósofos. Mas gradualmente foi-se reconhecendo que Frege foi o maior de 
todos os filósofos da matemática e que, como filósofo da lógica, foi comparável 
a Aristóteles. A sua invenção da lógica matemática foi uma das maiores contri-
buições para os desenvolvimentos, em diversas disciplinas, que estiveram na 
origem da invenção dos computadores. Dessa forma, Frege afectou as vidas 
de todos nós.
A produtiva carreira de Frege começou em 1879 com a publicação de um opús-
culo intitulado Begriffschrift, ou Escrita Conceptual. A escrita conceptual que 
deu o título ao livro consistia num novo simbolismo concebido com o fim de 
exibir claramente as relações lógicas escondidas na linguagem comum. A no-
tação de Frege, logicamente elegante mas tipograficamente incómoda, já não 
é usada em lógica simbólica; mas o cálculo por ele formulado constitui desde 
então a base da lógica moderna.
Em vez de fazer da silogística aristotélica a primeira parte da lógica, Frege 
atribuiu esse lugar a um cálculo inicialmente explorado pelos estóicos: o cál-
culo proposicional, ou seja, o ramo da lógica que trata das inferências que 
assentam na negação, conjunção, disjunção, etc., quando aplicadas a frases 
declarativas no seu todo. O seu princípio fundamental – que remonta igual-
mente aos estóicos – consiste em considerar que os valores de verdade (isto 
é, verdadeiro ou falso) das frases declarativas que contêm conectivos como 
"e", "se", "ou", são determinados apenas pelos valores de verdade das frases 
ligadas pelos conectivos – da mesma forma que o valor de verdade da frase 
"João é gordo e Maria é magra" depende apenas dos valores de verdade de 
"João é gordo" e de "Maria é magra". As frases compostas, no sentido técnico 
106 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
dos lógicos, são tratadas como funções de verdade das frases simples que 
entram na sua composição. O Begriffschrift de Frege contém a primeira formu-
lação sistemática do cálculo proposicional; este é apresentado sob uma forma 
axiomática, na qual todas as leis da lógica são derivadas, por meio de regras 
de inferência, a partir de um certo número de princípios primitivos.
A maior contribuição de Frege para a lógica foi a sua invenção da teoria da 
quantificação; isto é: um método para simbolizar e exibir rigorosamente as 
inferências cuja validade depende de expressões como "todos" ou "alguns", 
"qualquer" ou "cada um", "nada" ou "nenhum". Este novo método permitiu-lhe, 
entre outras coisas, reformular a silogística tradicional.
Existe uma analogia entre a inferência
Todos os homens são mortais.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
e a inferência
Se Sócrates é um homem, Sócrates é mortal.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
A segunda é uma inferência válida no cálculo proposicional (se p, então q; 
dado que p, segue-se que q). Mas nem sempre pode ser considerada uma 
tradução da primeira inferência, uma vez que a sua primeira premissa parece 
afirmar algo acerca de Sócrates em particular, ao passo que se "Todos os 
homens são mortais" for verdadeira, então
Se x é um homem, x é mortal.
será verdadeira independentemente do nome que substituir a variável x. De 
facto, esta frase continuará a ser verdadeira mesmo que x seja substituída 
por um nome que não designe homem algum, uma vez que nesse caso a 
antecedente é falsa e, de acordo com as regras verofuncionais para frases 
declarativas condicionais, a frase na sua totalidade será verdadeira. Assim, 
podemos exprimir a proposição tradicional
Todos os homens são mortais.
destaforma:
Para todo o x, se x é um homem, x é mortal.
Esta reformulação constitui a base da teoria da quantificação de Frege; para 
vermos como isso acontece, temos que explicar de que forma Frege concebeu 
cada um dos elementos que contribuem para formar uma frase complexa.
107© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
Frege introduziu a terminologia da álgebra na lógica. Pode dizer-se que 
uma expressão algébrica como x/2 + 1 representa uma função de x; o valor 
do número representado pela expressão na sua globalidade dependerá da 
substituição que se fizer para a variável x, ou, em terminologia técnica, do 
argumento que tomarmos para a função. Assim, o valor da função é 3 se o 
argumento for 4, e é 4 se o argumento for 6. Frege aplicou esta terminologia 
(argumento, função, valor) tanto a expressões da linguagem comum como 
a expressões em notação matemática. Substituiu as noções gramaticais de 
sujeito e de predicado pelas noções matemáticas de argumento e de função e, 
a par dos números, introduziu os valores de verdade como valores possíveis 
de expressões. Assim, "x é um homem" representa uma função que toma o 
valor verdadeiro para o argumento "Sócrates" e o valor falso para o argumento 
"Vénus". A expressão "para todo o x", que introduz a frase anterior, diz, em 
termos fregianos, que o que se lhe segue ("se x é um homem, x é mortal") é 
uma função verdadeira para qualquer argumento. A uma expressão deste tipo 
chama-se "quantificador".
Além de "para todo o x", o quantificador universal, existe também o quantificador 
particular "para algum x", que diz que o que se lhe segue é verdadeiro para pelo 
menos um argumento. Então, "alguns cisnes são pretos" pode representar-se 
num dialecto fregiano como "para algum x, x é um cisne e x é preto". Pode 
considerar-se que esta frase é equivalente a "existem coisas que são cisnes 
pretos"; e, na verdade, Frege usou o quantificador particular para representar 
a existência. Assim, "Deus existe" ou "há um Deus" é representada no seu 
sistema por "para algum x, x é Deus".
O uso da sua nova notação para a quantificação permitiu a Frege apresentar 
um cálculo que formalizou a teoria da inferência de uma forma mais rigorosa 
e mais geral do que a tradicional silogística aristotélica, a qual, até à época 
de Kant, fora considerada o supra-sumo da lógica. Depois de Frege, a lógica 
formal podia, pela primeira vez, lidar com argumentos que envolviam frases 
com quantificação múltipla, frases que eram, por assim dizer, quantificadas em 
ambos os extremos, tais como "ninguém conhece toda a gente" e "qualquer 
criança em idade escolar pode dominar qualquer língua" (KENNY, 2009).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para compreender melhor os quantificadores, é importan-
te que você faça os exercícios propostos no tópico a seguir.
108 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
8. QUESTÕES AUTOVALIATIVAS
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade:
1) Como estudamos, na linguagem CP, os nomes são simbolizados com le-
tras minúsculas: a, b, c, n... E, para os predicados, são utilizadas as letras 
maiúsculas: F, G, R... Observe o exemplo a seguir:
• Patrícia é mulher = Mp, sendo que p representa Patrícia e M represen-
ta mulher.
• William é médico = Gb, em que b representa William e G representa 
médico (as letras não precisam coincidir com as iniciais das palavras).
• Lula é aposentado e Dilma é presidente = Rd Hc.
A seguir, transforme as proposições na linguagem natural para a lingua-
gem CP:
a) Dilma é presidente.
b) Lula é aposentado.
c) Brasília é grande e moderna.
2) Neste exercício, vamos empregar as "variáveis individuais". Expressões 
como "x é um mamífero" são denominadas "função proposicional" por te-
rem um componente "indeterminado", e são simbolizadas com as últimas 
letras do alfabeto: x, y, z. Observe o exemplo a seguir e resolva os demais 
exercícios, transformando as proposições para a linguagem CP:
• x é um homem americano = Fx
a) x não é um número par.
b) x é perigoso e nocivo.
c) Se o dia está caloroso, então x não está trabalhando.
3) Uma função proposicional expressa simbolicamente a forma de uma pro-
posição individual. Para significar mais indivíduos, é preciso usar "quanti-
ficadores". Veja os exemplos a seguir:
• Com um indivíduo: Jx (x é jornalista).
• Com vários indivíduos: $x(Jx) (alguns x são jornalistas) e ∀x(Jx) (todos 
os x são jornalistas).
109© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
Agora, transcreva as proposições seguintes para a linguagem de CP, se-
guindo os exemplos anteriores:
a) Todos são estudantes.
b) Nenhum é estudante.
c) Algum é estudante.
d) Algum não é estudante.
e) Não é certo que ninguém é estudante.
f) Não é certo que alguém é estudante.
4) Neste exercício, você irá exercitar seu raciocínio lógico. Leia o texto a se-
guir e preencha a lacuna ao final, da forma mais lógica possível:
De três prisioneiros que estavam num certo cárcere, um tinha visão nor-
mal, o segundo era caolho e o terceiro, totalmente cego. Os três eram, 
pelo menos, de inteligência média.
O carcereiro disse aos prisioneiros que, de um jogo de três chapéus bran-
cos e dois vermelhos, escolheria três e colocá-los-ia em suas cabeças. 
Cada um deles estava proibido de ver a cor do chapéu que tinha em sua 
própria cabeça.
Reunindo-os, o carcereiro ofereceu a liberdade ao prisioneiro com visão 
normal, se este fosse capaz de dizer a cor do chapéu que tinha na cabeça. 
O prisioneiro confessou que não podia dizer. A seguir, o carcereiro ofere-
ceu a liberdade ao prisioneiro que tinha um só olho, na condição de que 
dissesse a cor de seu chapéu. O caolho confessou que também não sabia 
dizê-lo. O carcereiro não se deu ao trabalho de fazer idêntica proposta ao 
prisioneiro cego, mas à insistência deste, concordou em dar-lhe a mesma 
oportunidade. O prisioneiro cego abriu, então, um amplo sorriso e disse: 
"Não necessito da minha vista. Por aquilo que meus amigos com olhos 
disseram, vejo claramente, que o meu chapéu é da cor ________!".
Se necessário, entre em contato com o seu tutor e/ou colegas e discutam 
o porquê de tal escolha.
110 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
Gabarito
1) 
a) Hc.
b) Rd.
c) Fa Ga.
2) 
a) ~Gx.
b) Px Nx.
c) Cd Tx.
3) 
a) ∀x (Ex).
b) ∀x ~(Ex).
c) ∀x (Ex).
d) ∀x ~(Jx).
e) ~∀x ~(Ex).
f) ~$x ~(Ex).
9. CONSIDERAÇÕES
Nesta unidade, pudemos perceber o principal problema da 
Lógica Proposicional: sua limitada capacidade para expressar co-
nhecimento. Muitas vezes, as sentenças complexas perdem seu 
significado quando são representadas na Lógica Proposicional. 
Por isso surge a Lógica de Predicados, capaz de representar es-
sas sentenças de forma mais real.
Para os lógicos, é fundamental poder representar, nas sen-
tenças, as relações entre objetos (sejam pessoas, objetos físicos 
ou conceitos), e também seus atributos e qualidades. Diferente 
111© LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
das proposições, nos predicados, o valor de verdade ou veracida-
de depende de seus termos. Um predicado pode ser verdadeiro 
para um conjunto de termos e falso para outro.
Pudemos também ter contato com a linguagem de Cálculo 
de Predicados, a qual é o cerne da Lógica. Portanto, esse contato 
que tivemos com a linguagem de Cálculo de Predicado levou-nos 
a adquirir uma base que nos permitirá seguir em frente em nos-
so estudo de Lógica.
Em busca dos objetivos para os quais nos propomos nes-
ta obra, na Unidade 4, você será convidado a estudar a Lógica 
Clássica e o Problema ontológico.
10. E-REFERÊNCIAS
DA COSTA, N. C. A.; KRAUSE, D. Notas de Lógica. Disponível em: <www.cfh.ufsc.
br/~dkrause/LivroLogica/Prefacio.pdf>. Acesso em: 7 maio 2012.
KENNY, A. A Lógica e os fundamentos da Matemática. 2009. Disponível em: <http://
criticanarede.com/html/logicismo.html>. Acesso em: 24 set. 2015.
PRIEST, G. Designadores e quantificadores: será que o nada é algo?2009. Disponível 
em: <http://criticanarede.com/html/quantificadores.html>. Acesso em: 24 set. 2015.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1981.
COSTA, N. Ensaio sobre os fundamentos da Lógica. São Paulo: Hucitec, 1994.
HAACK, S. Filosofia das lógicas. São Paulo: Unesp, 2002.
HAIGHT, M. A serpente e a raposa: uma introdução à Lógica. São Paulo: Loyola, 2003.
KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da Lógica. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 
1991.
MATES, B. Lógica elementar. São Paulo: Nacional/Edusp, 1967.
MORTARI, C. A. Introdução à lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
112 © LÓGICA II
UNIDADE 3 – SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS
QUINE, W. V. O. Existência e quantificação. São Paulo: Abril Cultural, 1975. (Coleção 
Os Pensadores).
______. Sobre o que há. São Paulo: Abril Cultural, 1975. (Coleção Os Pensadores).
RUSSELL, B. Da denotação. São Paulo: Abril Cultural, 1974. (Coleção Os Pensadores).
SIMPSON, T. M. Linguagem, realidade e significado. Trad. Paulo Alcoforado São Paulo: 
Livraria Francisco Alves/Edusp, 1976.
113
LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA 
ONTOLÓGICO
1. OBJETIVOS
• Apontar e analisar as proposições categóricas na lingua-
gem do CP.
• Traduzir proposições categóricas da linguagem ordiná-
ria para a linguagem do Cálculo de Predicados.
2. CONTEÚDOS
• Quadro tradicional de oposição.
• Problema Ontológico.
• Resposta de Russell ao Problema Ontológico.
• Novas relações do quadro tradicional de oposição.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) Para atingir os objetivos propostos para esta unidade, 
é preciso que você se recorde do quadro tradicional 
de oposição, estudado anteriormente. Essa revisão 
UNIDADE 4
114 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
permitirá a você compreender melhor o Problema On-
tológico, que é um dos temas mais intrigantes da Fi-
losofia, já que trata do problema da existência. Como 
toda questão filosófica, o Problema Ontológico tem 
uma história que precisa ser conhecida. Esse problema 
remonta a Parmênides, passa pela Filosofia Medieval 
e, desde Meinong, assume uma característica incon-
tornável. É nesse contexto que a solução de Bertrand 
Russell – que é apresentada nesta unidade – se insere.
2) Como nesta unidade iremos estudar a resposta de 
Russell ao Problema Ontológico, sugerimos que você 
leia o artigo indicado a seguir, para aprofundar seus 
conhecimentos a respeito do assunto:
• PORTELA FILHO, R.; PORTELA, C. A. Aspectos do 
atomismo lógico de Russell. Cadernos de Pesquisa, São 
Luís, v. 11, n. 1, p. 9-28, jan./jun. 2000. Disponível em: 
<http://www.pppg.ufma.br/cadernosdepesquisa/
uploads/files/Artigo%201%2814%29.pdf>. Acesso 
em: 24 set. 2015.
3) É muito importante que esses conhecimentos sejam 
redimensionados por pesquisa e leitura dos livros cita-
dos na bibliografia e consulta de sites confiáveis. É im-
portante, também, que você entre na SAV e, em con-
tato com os colegas e tutor, por meio de ferramentas 
disponibilizadas, tais como a Lista e o Fórum, elimine 
suas dúvidas. Estamos o tempo todo à sua disposição!
4) Como você já sabe, a simples memorização dos tex-
tos não contribuirá muito para seu aprendizado. Dessa 
forma, quanto mais se concentrar, mais facilidade terá 
para aprender. Sabemos que isso varia, naturalmente, 
de uma pessoa para outra; por exemplo, uns conse-
115© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
guem se concentrar durante um longo período, outros 
podem se concentrar melhor em intervalos mais cur-
tos. Sugerimos, portanto, que você procure monito-
rar sua capacidade de atenção durante os estudos e 
realize intervalos oportunos de acordo com ela. Você 
perceberá que seu rendimento será cada vez melhor. 
Pense nisso!
5) Antes de iniciar os estudos desta unidade, sugerimos 
que conheça um pouco da biografia dos pensadores, 
cujo pensamento norteia o estudo desta obra. Para sa-
ber mais, acesse os sites indicados.
Bertrand Russell
Nasceu a 18 de maio de 1872, em Ravenscroft, 
Monmouthshire, Inglaterra. Foi o mais novo dos três 
filhos do Visconde de Amberley, filho de Lorde John 
Russell, e de Kate Stanley, filha do Barão Stanley de 
Alderley.
A sua existência no novo lar era confortável, mas muito 
fechada. Russell tornou-se um rapazinho tímido e soli-
tário, dominado por uma educação espartana (embora 
afectuosa) imposta pela sua puritana avó. A sua reserva 
foi sem dúvida acentuada pelo mistério tecido à volta 
da vida dos seus pais e da sua morte prematura. Esse 
mistério iria Russell desvendá-lo anos mais tarde, ao 
consultar os seus documentos pessoais. Russell procurava consolo para a 
sua solidão escrevendo e, no que escrevia, discutia atitudes e convicções fir-
madas. Já nos princípios da sua adolescência começou a mostrar-se céptico 
acerca dos dogmas religiosos, convencido de que a felicidade terrena era o fim 
essencial da vida.
Em 1890 começa a frequentar o Trinity College onde se concentra na Matemá-
tica e na Filosofia. Aí, em companhia de amigos brilhantes que partilhavam a 
sua intensa curiosidade intelectual, confirmou-se o seu gênio. Transformou-se 
numa pessoa com um extraordinário poder de expressão e muito expansiva. 
Após três anos doutora-se com a tese An Essay on the Foundations of 
116 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
Geometry. O trabalho de Russell sobre os fundamentos da Matemática impul-
sionou a filosofia inglesa numa outra direcção.
Em 1900, "o mais importante ano na minha vida intelectual", Russell foi com 
Whitehead ao Congresso Internacional de Filosofia em Paris, onde ouviu Pe-
ano a apresentar as suas descobertas na lógica simbólica. Esta experiência 
impele-o a fazer prolongadas investigações que tiveram como fruto The 
Principles of Mathematics (1903).
O trabalho realizado é verdadeiramente extraordinário constituindo um instru-
mento de grande fecundidade para a solução de numerosos problemas de 
filosofia da ciência. Esse trabalho contribuiu decisivamente para chamar a 
atenção mundial sobre os seus autores. Depois, em colaboração com Alfredo 
North Whitehead, dedica-se a desenvolver esse trabalho que publica em três 
volumes, entre 1910 e 1913, com o título de Principia Mathematica.
Depois de um curto período de actividade política, Russell é convidado pela 
Universidade Americana de Harvard, onde pronuncia uma série de lições e 
publica um novo trabalho sobre Our Knowledge of the External World as a Field 
for Scientific Method in Philosophy (1914).
O desencadeamento da Primeira Grande Guerra Mundial decide-o a iniciar um 
grande movimento pacifista, de acordo com as suas convicções. É por essa al-
tura que escreve Principles of Social Reconstruction (1916), Justice in War 
Time (1916), Political Ideals (1916) e Roads to Freedom: Socialism, Anarchism 
and Syndicalism (1918).
Russell mostra-se sempre um paladino dos perseguidos e um crente na supre-
macia do indivíduo. Em 1916, quando seis indivíduos se recusaram a combater 
por motivos de consciência e foram presos por andarem a distribuir panfletos 
pacifistas, Russell declarou ser o autor dos panfletos, incitando as autoridades 
a voltarem-se contra ele. O resultado foi um julgamento que ficou célebre pela 
defesa que Russell apresentou. Foi multado em cem libras e depois sumaria-
mente demitido do cargo que desempenhava no Trinity College.
A guerra despertou uma profunda consciência social no pensamento de 
Russell. Não só aumentou a sua compaixão pelo sofrimento alheio como tam-
bém as privações próprias, incluindo alguns meses de cadeia, lhe deram a 
conhecer – em primeira mão – os poderes repressivos do estado contra os 
quais os indivíduos estão indefesos.
Em 1918 esteve preso vários meses porque escreveu um panfleto acusando o 
Exército Americano de intimidar as suas tropas impedindo-as de irem a casa. 
Durante os quatro meses que passou na prisão escreveu An Introductionto 
Mathematical Philosophy, publicada pela primeira vez em 1919. O livro foi um 
fardo pesado para o Governador da Prisão que, apesar de incapaz de o com-
117© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
preender, foi obrigado a ler o manuscrito, pois podia conter possíveis tendên-
cias revoltosas.
Depois da guerra, em 1920, Russell foi passar alguns meses à União Soviética 
com uma delegação Trabalhista. Falou com Lénine, Trotsky e Gorky e procu-
rou conhecer a estrutura do novo regime social ali instalado. A sua reacção 
em presença do caos que reinava nesses primeiros tempos no novo estado 
soviético era ambivalente: considerava a transformação como bem-vinda, mas 
sentia-se perturbado pela miséria e sofrimento que observou. Tendo previa-
mente rejeitado o capitalismo, era levado a acreditar que não havia, na altura, 
nenhuma alternativa adequada. No regresso, e apesar da sua simpatia pelas 
finalidades mais ousadas do socialismo, confessou-se desiludido com o que 
viu e proclamou-o francamente na obra que a seguir publicou: The Practice 
and the Theory of Bolshevism (1920).
Regressou a Inglaterra em 1944 e foi nomeado para leccionar cinco anos no 
Trinity College, de Cambridge, ao mesmo tempo que foi eleito Membro Vitalício 
do mesmo colégio universitário.
Depois do lançamento das bombas atômicas sobre as cidades japonesas fez 
um dos seus raros discursos na Câmara dos Lordes, predizendo o apareci-
mento da bomba de hidrogênio e prevenindo a Humanidade contra o perigo 
que ela representava. Quando a guerra terminou, intensificou a sua acção para 
a paz no mundo, convencido que esta só se poderia alcançar pelo desarma-
mento nuclear geral.
A 10 de Novembro de 1950 foi anunciado que Bertrand Russell tinha ganho o 
Premio Nobel da Literatura respeitante a esse ano, «em reconhecimento de 
numerosos trabalhos da sua autoria em que se defendem os ideais mais ele-
vados». Quando um mês mais tarde recebe, em Estocolmo, a quantia de trinta 
mil dólares, o secretário da Academia Sueca referindo-se ao laureado, procla-
ma-o um dos mais brilhantes protagonistas dos ideais humanos e campeão da 
liberdade de expressão do mundo ocidental. Com a sua crescente dedicação 
à causa do pacifismo o seu nome tornou-se sinônimo da campanha pela paz. 
A sua casa foi literalmente inundada por cartas vindas dos quatro cantos do 
mundo. A resposta a essas cartas sobrecarregou ainda mais o seu programa 
diário, já muito pesado. Em 1954 as experiências com a bomba de hidrogénio 
realizadas no atol de Bikini acentuaram a urgência da sua tarefa.
Os signatários desse documento formaram o núcleo da I Conferência 
Pugwash realizada na Nova Escócia, em 1957. Nela participaram cientistas 
tanto de Leste como do Ocidente. Russell foi eleito presidente desta conferên-
cia e das que lhe seguiram. No entanto, não se contentou com o facto do 
Movimento Pugwash poder ter influência decisiva no desarmamento e pro-
curou outros métodos com afinco. Escreveu a governantes de todo o mundo 
sobre os problemas de maior acuidade na altura.
118 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
Não contente com a reação obtida até aí, enveredou com inesgotável energia 
pelo campo oferecido pela possibilidade de evitar a guerra por meio de mani-
festações em massa. O ano de 1958 viu nascer a campanha pelo Desarma-
mento Nuclear, tendo Russell como presidente.
Em 1963 as suas múltiplas tarefas atingiram tais proporções que se organizou 
a Fundação Bertrand Russell para a Paz destinada a aliviar um pouco o tra-
balho pessoal de Russell e a afirmar o apoio que recebia dos mais variados 
sectores. A fundação ocupava-se especialmente de problemas internacionais, 
em particular das aspirações do povo em nações do chamado ‘terceiro mundo’. 
Começa então a dedicar grande parte da sua atenção à Guerra do Vietname, 
censurando asperamente a intervenção dos americanos.
Retirou-se do Partido Trabalhista Inglês em 1965, por não concordar com o 
apoio dado pelo governo do seu país à política seguida pelos americanos em 
vários campos. Um ano mais tarde discursou na reunião preparatória do Tri-
bunal Internacional dos Crimes de Guerra, instituição fundada para investigar 
acções criminosas cometidas pelos americanos no Vietname. Russell foi eleito 
presidente do Tribunal, que mandou publicar os factos averiguados em 1967, 
ano em que Russell publicou o seu livro War Crimes in Vietnam.
No seu octogésimo aniversário, Russell ofereceu um conselho típico de longe-
vidade. Recomendou ‘um hábito hilariante de controvérsias olímpicas’, que nos 
mantivesse ocupados e que evitássemos todos os tipos de excessos – excepto 
fumar ("Até à idade de quarenta e dois anos fui um abstêmio. Mas, nos últimos 
sessenta anos tenho fumado incessantemente, parando somente para comer 
e dormir") (Imagem e texto disponíveis em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/
opombo/seminario/russell/>. Acesso em: 7 maio 2012).
Willard Van Orman Quine
O filósofo americano mais influente da segunda 
metade do século XX. A atenção de Quine 
começou por incidir sobre a lógica matemática, 
donde resultaram as obras A System of Logistic 
(1943), Mathematical Logic (1940) e Methods of 
Logic (1950). Foi com a publicação do conjunto de 
ensaios que formam o livro From a Logical Point 
of View (1953) que a sua importância filosófica 
se tornou largamente reconhecida. O seu célebre 
ataque à distinção analítico/sintético anunciou 
uma mudança profunda nas maneiras de encarar 
a linguagem provenientes do positivismo lógico e uma reapreciação das 
119© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
dificuldades em fornecer uma base empírica sólida para as teses sobre a 
convenção, o significado e a sinonímia. A sua reputação consolidou-se 
com Word and Object (1960), no qual a indeterminação da tradução radical 
assume pela primeira vez o papel principal. Na teoria do conhecimento, Quine 
está associado à perspectiva holista da verificação, concebendo um corpo 
de conhecimento em termos de uma teia que na periferia está em contacto 
com a experiência, mas em que cada ponto está conectado a outros pontos 
por uma rede de relações. Quine é também conhecido pela perspectiva 
segundo a qual a epistemologia devia ser naturalizada, ou conduzida segundo 
um espírito científico, sendo o objecto da investigação a relação existente 
nos seres humanos entre os dados de entrada (inputs) da experiência 
e os dados de saída (outputs) da crença. Além das obras já citadas, a sua 
bibliografia inclui The Ways of Paradox and Other Essays (1966), Ontological 
Relativity and Other Essays (1969), Philosophy of Logic (1970), The Roots of 
Reference (1974) e The Time of My Life: An Autobiography (1985) […] (Imagem 
disponível em: <http://philosophy.wlu.edu/gregoryp/class/old/winter03/255/
RQQuine2Dogs.htm>. Acesso em: 25 set. 2015. Texto disponível em: 
<http://debatadesvendeedivulgue.com/blog/?page_id=2325#WOQuine>. 
Acesso em: 21 ago. 2015).
4. INTRODUÇÃO
Na unidade anterior, tivemos a oportunidade de conhecer 
a linguagem do Cálculo de Predicados e aprender a traduzir as 
proposições da linguagem ordinária para essa linguagem.
Prosseguindo, nesta unidade, estudaremos as proposições 
categóricas e o quadro tradicional de oposição, por meio da lin-
guagem do CP. Antes disso, vamos recordar alguns conteúdos já 
estudados.
Bons estudos!
5. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Como já é de nosso conhecimento, existem quatro tipos de 
proposições categóricas, a saber:
120 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
1) Todos os brasileiros são felizes.
2) Nenhum brasileiro é feliz.
3) Algum brasileiro é feliz.
4) Algum brasileiro não é feliz.
Como também já sabemos, essas proposições são classifica-
das, respectivamente, em universal afirmativa, universal negativa, 
particular afirmativa e particular negativa.
Na unidade anterior, no estudo dos quantificadores, per-
cebemos que essas proposições são semelhantes às que estuda-
mos. Vamos rever comopodemos simbolizá-las com a linguagem 
do CP. Podemos reescrever a primeira proposição da seguinte 
forma: Para todo x, se x é brasileiro, então x é feliz.
Para escrever a locução "para todo", na linguagem do CP, 
utilizamos o símbolo ∀. A expressão "x é brasileiro" é simboliza-
da por Bx. Lembre-se de que, na Unidade 1, aprendemos que a 
frase "se... então" é simbolizada por → e, finalmente a expres-
são "x é feliz" é simbolizada por Fx. Assim, temos a seguinte 
formalização:
∀x(Bx Fx)
Se quisermos traduzir a primeira premissa do argumento 
apresentado na introdução da unidade anterior "todo paulista é 
brasileiro", teremos a seguinte formalização:
∀x(Px Bx)
Vejamos agora a tradução da proposição universal nega-
tiva. Podemos reescrevê-la da seguinte maneira: "para todo x, 
se x é brasileiro, então x não é feliz". Utilizando os recursos da 
linguagem do CP e da Lógica Proposicional, temos a seguinte 
simbolização:
121© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
∀x(Bx ~Fx)
Passemos, agora, às proposições particulares, começan-
do com a particular afirmativa. Outra forma de escrever "algum 
brasileiro é feliz" é: "Existe, pelo menos, um x tal que x é brasilei-
ro e x é feliz".
Para escrever "existe pelo menos um", na linguagem do CP, 
utilizamos o símbolo $. A expressão "x é brasileiro", como já vi-
mos, é simbolizada por Bx. Já aprendemos que uma conjunção é 
simbolizada por e, como também já sabemos, a expressão "x é 
feliz" é simbolizada por Fx. Assim, temos a seguinte formalização:
$x(Bx Fx)
Por fim, a proposição particular negativa pode ser reescrita 
como: "Existe, pelo menos, um x tal que x é brasileiro e x não é 
feliz". A formalização do enunciado é:
$x(Bx ~Fx)
O que vimos até agora pode ser resumido no seguinte 
quadro:
Todo A é B ∀x(Ax Bx)
Nenhum A é B ∀x(Ax ~Bx)
Algum A é B $x(Ax Bx)
Algum A não é B $x(Ax ~Bx)
Com a formalização das proposições categóricas, podemos 
perceber que a Lógica Aristotélica está contida na Lógica Clássica. 
A Lógica Clássica e a Lógica Aristotélica, no entanto, pressupõem 
a existência das entidades a que se referem. Tal pressuposição, 
entretanto, apresenta alguns problemas, que veremos a seguir.
122 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
6. PROBLEMA ONTOLÓGICO
As proposições categóricas, base da Lógica Aristotélica, 
pressupõem a existência de objetos, ou seja, uma ontologia. Se 
afirmarmos, por exemplo, "alguma mulher é bonita", estamos 
supondo que existe, pelo menos, uma mulher e que a proprie-
dade de ser bonita pode ser atribuída a ela. Parece claro que a 
proposição que analisamos nos compromete com a existência 
de, pelo menos, uma mulher.
À primeira vista, tal pressuposição parece inofensiva. To-
davia, vejamos a seguinte proposição: "algum unicórnio é bran-
co". Essa proposição nos compromete com a existência de uni-
córnios? Lembre-se de que, na linguagem do CP, tal proposição 
pode ser parafraseada: "existe, pelo menos, um x tal que x é uni-
córnio e x é branco".
A Lógica Clássica apresenta essa dificuldade, que filósofos 
e lógicos, ao longo da História, procuraram resolver. Esse proble-
ma – de saber que entidades existem – a tradição filosófica cha-
ma de "Problema Ontológico". Ele pode ser formulado, como 
sustenta Quine (1975), em três monossílabos: "o que há?" – esse 
é o clássico problema metafísico.
Costuma-se investigar: que tipos de coisas admitiremos 
que existem? Somente objetos espaçotemporais? Ou admitire-
mos, em nossa ontologia, a existência de entidades, tais como 
"Cebolinha", "Centauro", "números" ou "o atual rei do Brasil"?
Pode parecer, à primeira vista, absurdo sustentar a exis-
tência do Cebolinha (personagem de histórias em quadrinhos). 
Porém, considere o enunciado "o Cebolinha não existe". Se esse 
enunciado não possui referente, como conseguimos compreen-
123© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
dê-lo? Se um enunciado é significante, podemos concluir que 
existe, pelo menos em certo sentido, o sujeito do enunciado?
Tomas Moro Simpson, em seu livro Linguagem, realidade 
e significado, apresenta o raciocínio que, de um modo geral, nos 
leva a acreditar na existência das entidades mencionadas ante-
riormente. Seja Q a sentença "o atual do rei do Brasil não existe". 
A sentença Q pode ser analisada da seguinte maneira:
1) "O atual rei do Brasil" é o sujeito gramatical da sen-
tença Q.
2) Q é significativa.
3) Se as exigências 1 e 2 são satisfeitas, então Q é sobre o 
atual rei do Brasil.
4) Se Q é sobre o atual rei do Brasil, então atual rei do 
Brasil existe.
5) O rei do Brasil existe.
Esse raciocínio é ainda mais intrigante, pois, se ele estiver 
correto, significa que todas as expressões da forma "x não existe" 
serão sempre falsas. Recorrendo ao raciocínio anterior, podemos 
verificar esse corolário mais claramente.
1) "O atual rei do Brasil" é o sujeito gramatical da sen-
tença Q.
2) Q é significativa.
3) Se as exigências 1 e 2 são satisfeitas, então Q é sobre o 
atual rei do Brasil.
4) Se Q é sobre o atual rei do Brasil, então o atual rei do 
Brasil existe.
5) Se o rei do Brasil existe, então Q é falsa.
6) Q é falsa.
124 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
Bertrand Russell (1872–1970), em seu artigo de 1905, cha-
mado Da Denotação, procura resolver esse problema.
Russell afirma que a forma gramatical de enunciados como 
"algum unicórnio é branco" ou "o atual rei da França é careca" 
– para usar um exemplo próprio do autor – é enganosa. Para 
Russel, o enunciado "o atual rei da França" não é nome de uma 
entidade, mas o que chamava de descrição definida. É um erro, 
segundo Russel, pensar que tais expressões têm a forma sujeito 
e predicado. A expressão "o atual rei da França" pode ser o su-
jeito gramatical da frase, porém não é o sujeito lógico da mesma.
Assim, frases que contêm expressões como "o atual rei do 
Brasil" devem ser parafraseadas de modo que as referências de-
signativas desapareçam. Em outras palavras, a forma lógica do 
enunciado "o atual rei do Brasil é jovem" consiste – de acordo 
com Russell – na conjunção de três proposições:
1) Existe, pelo menos, um indivíduo que é rei do Brasil.
2) Existe, no máximo, um indivíduo que é rei do Brasil.
3) Se alguém é rei do Brasil, então é jovem.
Observe que, nessa formulação, o sujeito gramatical "o 
atual rei do Brasil" desapareceu. As novas proposições contêm 
o predicado "é rei do Brasil". Desse modo, Russell acredita ter 
demonstrado que o sujeito gramatical desse tipo de proposição 
não coincide com o seu sujeito lógico. Russell procura, com essa 
estratégia, rejeitar a premissa 3 do esquema anterior e, assim, 
não se comprometer com a existência de entidades, tais como 
"o atual rei do Brasil".
Se podemos parafrasear as expressões da forma "o tal e 
tal", como Russell sugere, então os enunciados que não possuem 
referentes se tornam simplesmente falsos, visto que, para a pro-
125© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
posição "o atual rei do Brasil é jovem" ser verdadeira, é preciso 
que as três proposições que enumeramos sejam verdadeiras. 
Como a primeira proposição é falsa, segue-se que a proposição 
"o atual rei do Brasil é jovem" é falsa.
Com sua teoria das descrições, Russell transforma todos 
os nomes em descrições definidas. Estas não têm sentido por 
si mesmas, mas unicamente dentro de um contexto. Uma des-
crição definida não é, portanto, um nome, algo que denota di-
retamente um objeto. Com esse procedimento, Russell escapa 
de nomear entidades inexistentes como Meinong, a quem ele 
critica em seu texto.
Essa posição, no entanto, nem sempre foi assumida 
por Russell. Em uma obra anterior a Da Denotação, o filósofo 
argumenta:
Ser de então – é aquilo que pertence a todo termo concebível, 
a cada possível objeto de pensamento; em resumo, a tudo que 
pode aparecer em qualquer proposição, verdadeira ou falsa, e 
a todas essas proposições mesmas. O serpertencente a tudo 
que pode ser levado em consideração. Se A é qualquer termo 
que pode ser considerado como uno, é obvio que A é algo e, 
por isso, que A é. "A não é" deve ser sempre falso, ou carente 
de sentido. Posto que, se A não fosse nada, não seria possível 
dizer que não é, "A não é" implica que há um termo A cujo ser 
se nega, e, portanto, A é. Assim, a menos que "A não é" seja 
um mero som, deve ser falso, pois, seja A o que for, A é. Os nú-
meros, os deuses homéricos, as relações, quimeras e espaços 
quadrimensionais têm de ser, porque se não fossem entidades 
de alguma espécie, não poderíamos formular proposições so-
bre elas. Assim, o ser é um atributo geral de qualquer objeto, 
e mencionar algo é mostrar que é (RUSSELL apud SIMPSON, 
1976, p. 88).
126 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
De que forma o Problema Ontológico mexe com o nosso 
quadro de oposição (representado na Figura 1)? Imagine a se-
guinte proposição: "todos os habitantes de Mercúrio são inteli-
gentes". Pelo nosso quadro de oposição, a proposição "algum 
habitante de Mercúrio é inteligente" é a subalterna da propo-
sição "A" citada. Porém, se não existirem "mercurianos", não é 
possível sustentar que essas proposições sejam contraditórias, 
já que ambas seriam (e são) falsas. Esse é um dos motivos pelo 
qual a Lógica Clássica pressupõe a existência de objetos. Sem 
essa pressuposição, a relação do quadro de oposição deveria ser 
modificada.
Como ficam as inferências de nosso quadro de oposição? 
As proposições A e O e E e I continuam contraditórias. As propo-
sições A e E e I e O continuam contrárias e subcontrárias respec-
tivamente. Já as proposições A e I e E e O não apresentam rela-
ção de subalternação como no quadro tradicional. Isso porque 
é possível uma universal afirmativa ser verdadeira e a particular 
afirmativa ser falsa, assim como é possível uma universal negati-
va ser verdadeira e a particular negativa ser falsa.
Por exemplo, a proposição "todos os unicórnios são bran-
cos" pode ser parafraseada como "para todo x, se x é unicórnio, 
então x é branco". E, na linguagem do CP, temos ∀x(Ux Bx). 
Como não existem unicórnios, segue-se que Ux – o antecedente 
da implicação – é falso, o que torna a implicação verdadeira e, 
por consequência, a universal afirmativa verdadeira.
Já a particular afirmativa "Algum unicórnio é branco" pode 
ser parafraseada como "existe, pelo menos, um x tal que x é uni-
córnio e x é branco" e, na linguagem do CP: $x(Ux Bx). Como 
não existem unicórnios, segue-se que Ux é falsa e como, para a 
conjunção ser verdadeira, os dois conjuntos devem ser verda-
127© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
deiros, segue-se que a proposição é falsa. Esse raciocínio mostra 
que uma A pode ser verdadeira e uma I, falsa. O mesmo raciocí-
nio pode ser aplicado para uma E e O apenas efetuando as de-
vidas substituições. O nosso quadro será como representado na 
figura a seguir:
Figura 1 Representação do quadro de oposição.
Com essas reflexões sobre o Problema Ontológico e o qua-
dro tradicional de oposição, encerramos esta unidade. Aprende-
remos, na próxima unidade, a demonstrar a validade dos argu-
mentos do CP.
7. TEXTOS COMPLEMENTARES
Sobre o que há –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
[...] Esse é o velho enigma do platônico do não-ser. O não-ser deve em algum 
sentido ser, caso contrário o que seria aquilo, que não é? Essa doutrina ema-
ranhada pode ser apelidada de a barba de Platão; historicamente provou-se 
obstinada tirando frequentemente o fio da navalha de Occam.
É uma tal linha de pensamento que conduz filósofos como McX a atribuir ser 
onde, de outro modo, se contentariam em reconhecer que não há nada. Assim, 
tomemos Pégaso. Se Pégaso não fosse, argumenta McX, não estaríamos fa-
128 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
lando de nada quando usamos essa palavra; portanto, não teria sentido dizer 
nem mesmo que Pégaso não é. Acreditando ter assim mostrado que a nega-
ção de Pégaso não pode ser coerentemente mantida, conclui que Pégaso é.
McX não pode, na verdade, persuadir-se de todo de que alguma região do 
espaço-tempo, próxima ou remota, contenha um cavalo alado de carne e osso. 
Instado a fornecer mais pormenores acerca de Pégaso, diz então que é uma 
idéia na mente dos homens. Aqui, entretanto, começa a se tornar evidente 
uma confusão. Podemos, para argumentar, conceder que haja uma entidade, 
e mesmo uma única entidade (embora de fato isso seja pouco plausível), que 
seria a idéia-mental-Pégaso; mas não é dessa entidade mental que se está 
falando quando se nega Pégaso.
McX nunca confunde o Partenon com a idéia-Partenon. O Partenon é físico; a 
idéia-Partenon é mental (ao menos de acordo com a versão de McX a respeito 
de idéias, e não tenho nenhuma melhor para oferecer). O Partenon é visível; a 
idéia-Partenon é invisível. Dificilmente poderíamos imaginar duas coisas mais 
diferentes e menos propensas a serem confundidas do que o Partenon e a 
idéia-Partenon. Mas quando passamos do Partenon para Pégaso, a confusão 
instala-se – pela simples razão de que McX se deixaria tapear pela fraude mais 
grosseira e evidente antes de conceder o não-ser de Pégaso.
Vimos como a idéia de que Pégaso deva ser, porque, caso contrário, não teria 
sentido dizer nem mesmo que Pégaso não é, levou McX a uma confusão ele-
mentar. Mentes mais sutis tomando do mesmo preceito como ponto de parti-
da, aparecem com teorias sobre Pégaso cujos defeitos são proporcionalmente 
mais difíceis de erradicar. Uma dessas mentes mais sutis chama-se, digamos, 
Sr. Y. Pégaso, afirma o Sr. Y, possui ser na qualidade de possível não reali-
zado. Quando falamos de Pégaso e dizemos que não há tal coisa, estamos 
dizendo, mais precisamente, que Pégaso não possui o atributo específico da 
realidade. Dizer que Pégaso não é real é algo logicamente análogo a dizer 
que o Partenon não é vermelho; em ambos os casos afirmamos algo de uma 
entidade cujo ser não se questiona (QUINE, 1975, p. 224-225).
Quine e o compromisso ontológico –––––––––––––––––––
Existem unicórnios? Eu não penso que sim, mas meu amigo, que acredita na 
existência de unicórnios, diz que minha negativa leva a uma contradição. De 
acordo com ele, dizer que unicórnios não existem é dizer que x é um unicórnio 
e que x não existe. Deste modo, eu sou acusado de dizer tanto que unicórnios 
existem como que não existem. Meu amigo pensa que eu devo reconhecer a 
existência de unicórnios a fim de negá-la. Assim, unicórnios devem existir, uma 
vez que a negativa de sua existência seria incoerente. Uma vez que pode-
mos nomear unicórnios (por exemplo, dizendo ‘unicórnio’), e uma vez que este 
129© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
nome é significativo (estamos falando de cavalos brancos com um único chifre 
na testa, e não de um outro animal, como um tigre), então unicórnios devem 
existir. Obviamente, meu amigo conclui, unicórnios existem, ou nem mesmo 
poderíamos ter elaborado este argumento!
Podemos esclarecer este debate com a ajuda da teoria das descrições de 
Quine e Russell. Usando a teoria de Russell, posso transformar a sentença 
"O Presidente dos Estados Unidos é um fraco" em "Algo é o Presidente dos 
Estados Unidos e este algo é um fraco e nada mais é o Presidente dos Estados 
Unidos e é um fraco". Aquilo que aparece como um nome na primeira sentença 
(o Presidente dos Estados Unidos) torna-se uma descrição na segunda sen-
tença, no mesmo sentido que ‘fraco’ é uma descrição. Note que o significado 
da primeira sentença é mantido na segunda; entretanto, a frase que demanda 
referência objetiva na primeira é "O Presidente dos Estados Unidos", enquanto 
que a palavra que demanda referência objetiva na segunda é "algo". "Algo" é 
um exemplo do que é conhecido como uma variável ligada; "nada" e "tudo" 
são outros exemplos. Variáveis ligadas "não tencionam ser nomes; referem-
-se a entidades de modo geral, com uma espécie deambigüidade que lhes é 
peculiar" (Quine, em "Sobre o que há"; as demais citações também se referem 
a este artigo). Variáveis ligadas são significativas, mas não se segue que se 
refiram a algum objeto existente.
Assim, armado da teoria das descrições de Russell, coloco o seguinte argu-
mento: "Algo é um unicórnio e é um cavalo branco e tem um único chifre na 
testa". Posso então dizer que esta declaração é falsa sem medo de que meu 
amigo faça alguma objeção. Meu amigo está simplesmente confundindo no-
mear e significar; "unicórnio" tem um significado, mas não é um nome, porque 
não tem referência objetiva.
Agora meu amigo está furioso: eu interferi na sua crença. Ele ainda acredita 
que unicórnios existem, mas ele não me pode fazer acreditar nisso. As coisas 
começam a ficar piores. "Tudo bem, Sr. Esperto", ele diz. "O azul existe?". Ele 
sabe muito bem que o azul é minha cor favorita. "Meus olhos são azuis, o céu 
é azul e sua camiseta é azul", eu digo, "mas se você está me perguntando se 
‘azul’ existe, eu devo dizer que não. ‘Azul’ não existe tanto quanto unicórnios 
não existem. Dizer que meus olhos, o céu ou sua camiseta são azuis não me 
compromete com a existência de qualquer coisa além dos meus olhos, do céu 
e de sua camiseta e não implica a existência de qualquer entidade, mesmo de 
uma entidade abstrata; afirmar que esses itens têm alguma coisa em comum é 
um modo de falar usual e equivocado".
Meu amigo lembra nossa discussão acerca de unicórnios, assim ele sabe que 
eu não aceito me comprometer com a existência do azul simplesmente por 
usar este termo. "Você negaria que a palavra ‘azul’ tem significado?", ele per-
gunta com desdém. "De fato, meu bom amigo Quine e eu negamos totalmente 
130 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
a existência de significados", eu respondo. Quine distingue entre uma decla-
ração ter significado (having meaning) e ser significativa (being meaningful). 
De acordo com Quine, o significação (meaningfulness) pode ser explicada 
comportamentalmente (behaviorally) quando, por exemplo, meu amigo e eu 
concordamos em identificar objetos azuis; Quine refere-se a este aspecto da 
significação como significância (significance). Sinonímia, o outro aspecto da 
significância, envolve substituição ou intercâmbio. Quine diz que a sinonímia 
é o que ocorre quando tencionamos dar significado a um termo. Como com a 
significância, a sinonímia é evidenciada pelo comportamento, i.e., por como os 
termos são usados. Quine prefere que "falemos diretamente de declarações 
como significantes ou não significantes, e sinônimas ou heterônimas umas 
com as outras [...]. Mas o valor explanatório de entidades intermediárias espe-
ciais ou irredutíveis chamadas significados é seguramente ilusória".
Meu amigo está desesperado. Eu sustentei não somente que unicórnios não 
existem, mas também que universais e significados não existem. Ele pega 
algumas moedas de sua carteira. "Olhe aqui", diz. "Algumas moedas brilham 
mais do que as outras, ou você negaria isso?". Eu disse a ele que preferiria di-
zer que "Algumas de nossas sensações visuais de moedas parecem mais cla-
ras e ofuscantes do que outras sensações". Sendo algo empirista, eu desejo 
reduzir minhas declarações a relatos sobre experiências sensórias específicas 
tanto quanto possível; minha reformulação é uma declaração muito mais pre-
cisa. A declaração de meu amigo compromete-o com uma ontologia que inclui 
moedas e brilho; a minha compromete-me com uma ontologia de sensações. 
A declaração de meu amigo implica a existência de uma entidade ‘brilho’, uma 
entidade que eu enfaticamente nego (mesmo que eu fale dela); além do mais, 
o uso de um termo relativo (brilhante) requer comparação de duas entidades 
não existentes. A declaração de meu amigo toma uma forma categórica, e eu 
não vejo evidência suficiente para suportar uma declaração tão forte. A minha 
versão provê condições mais concretas para testar e confirmar ou não a de-
claração. A minha declaração envolve "o mais simples esquema conceitual 
no qual os fragmentos desordenados da experiência bruta pode ser olhada e 
trabalhada".
O meu amigo não pode mais agüentar. Ele sai-se com essa: "Eu lhe mostrarei. 
Vou encontrar um unicórnio e provar que você está repleto de sem-sentidos". 
Eu falo depois dele: "Traga também alguns universais ou significados que en-
contrar pelo caminho". Sou então deixado só para refletir sobre a questão do 
compromisso ontológico. Na visão de Quine, nada que digamos nos compro-
mete com assumir universais ou outras entidades; somente a invocação de 
variáveis ligadas compromete-nos com a existência de uma entidade. Pode-
mos dizer que há algo em comum com meus olhos, o céu e a camiseta de meu 
amigo, e que, portanto, coloca a existência de uma entidade. Mas eu posso 
131© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
recusar a fazer uma tal declaração. Quine diz que "Ser assumida como uma 
entidade é, pura e simplesmente, ser contada como o valor de uma variável". 
Por exemplo, dizer que alguns de meus amigos são estúpidos não me compro-
mete com a existência de amizade ou de estupidez; a declaração simplesmen-
te diz que algumas coisas que são meus amigos são estúpidas. Para tornar a 
declaração verdadeira, devo unicamente apresentar um amigo estúpido, que 
então representa o valor de uma variável ligada.
Elaborar declarações com variáveis ligadas não determina o que há, mas uni-
camente o que eu estou disposto a dizer que há; desde que os debates onto-
lógicos tomam lugar em níveis lingüísticos e semânticos, a identificação dos 
comprometimentos ontológicos é crucial para o entendimento dos esquemas 
conceituais subjacentes ao debate. Quine aponta dois esquemas conceituais 
úteis no desenvolvimento de uma ontologia: o fisicalista e o fenomenalista. Um 
esquema fisicalista é útil para organizar a experiência sensória, e Quine reco-
nhece a prioridade epistemológica para com o esquema fenomenalista. Como 
ele diz, "a questão de qual ontologia adotar está ainda em aberto, e o óbvio 
conselho é a tolerância e o espírito experimental". Quine não acredita que 
os esquemas fisicalista e fenomenalista sejam incompatíveis, apesar de que 
cada um pode ser útil para propósitos particulares; os esquemas se fertilizam 
um ao outro. O objetivo é desenvolver estratégias para lidar com uma ampla 
variedade possível de situações. Quine é, em uma análise final, um pragmático 
(NICHOLAS, 2012). 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Sugerimos que você procure responder, discutir e comentar 
as questões a seguir, que tratam da temática desenvolvida nesta 
unidade.
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Neste momento, convidamos você a fazer uma autoavaliação 
de sua aprendizagem sobre os conteúdos estudados na Unidade 
4. Para tanto, questione-se sobre:
Consigo apontar e analisar as proposições categóricas na 
linguagem do CP? Sei traduzir as proposições categóricas da lin-
guagem ordinária para a linguagem do Cálculo de Predicados? 
132 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
Ainda tenho dúvidas em relação aos conteúdos abordados? Que 
procedimentos posso utilizar para eliminá-las?
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade:
1) Traduza as proposições a seguir para a linguagem do CP. Siga o modelo, 
use a notação sugerida. Observe os exemplos:
• Todas as formigas são insetos.
(para todo x, se x é formiga, então x é inseto).
(∀x)(Hx Ix).
• Há animais herbívoros.
(existe ao menos um x, tal que x é animal e x é herbívoro).
($x)(Ax Hx).
Transforme as seguintes proposições para a linguagem do CP:
a) Se alguns livros são cansativos, então são pesados.
b) Alguns livros são cansativos e não são confusos.
c) Toda moral depende do contexto cultural (para todo x, se x é moral, 
então depende do contexto cultural).
d) Alguns pilotos de Fórmula 1 são brasileiros (existe ao menos um x tal 
que x é piloto de F1 e x é brasileiro).2) Explique o que é o Problema Ontológico.
3) De que maneira Russell procura responder o Problema Ontológico?
Gabarito
1) 
a) ($ (x) (Cx Px)).
b) ($ (x) (Cx ~Px)).
c) ∀x (Mx Cx).
d) $ (x) (Px Bx).
133© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
2) A Ontologia é uma parte da Metafísica que estuda de forma geral o ser, a 
existência e a realidade. Muitas perguntas tradicionais da Filosofia podem 
ser classificadas como perguntas de Ontologia: existe Deus? Existem enti-
dades mentais, como ideias e pensamentos? Existem entidades abstratas, 
como os números? Existem os universais ou tudo não passa de um nome 
sem relação com o ser da coisa?
O Problema Ontológico vem de Quine, Willard von Orman, mas é 
Husserl, com sua Filosofia Analítica, que tenta aproximar a Ontologia à 
Lógica. O filósofo norte-americano Quine se pergunta: "O que há?" e con-
clui: "Tudo!".
3) O que é paradoxo? Dê um exemplo de paradoxo.
O termo “paradoxo" deriva do vocábulo latino paradoxo, sendo seu plural 
“paradoxon", que significa literalmente “oposto à opinião", é uma declara-
ção que conduz a uma situação contra o sentido comum. 
Na história de Zenão de Eléia (490-425 a.C.), que é conhecido por causa de 
seus paradoxos, o mais conhecido é o de Aquiles e a tartaruga, que trata 
da divisão do tempo.
Quando falamos de paradoxo também lembramos de Bertrand Russell 
(1872–1970). O paradoxo mais conhecido deste matemático e lógico é o 
paradoxo do barbeiro, formulado para criticar a teoria dos conjuntos:
“O barbeiro da cidade, que SÓ faz a barba de todos os homens que não se 
barbeiam a si mesmos, se barbeia a si mesmo?".
Se não se barbeia a si mesmo está contido no conjunto das pessoas da 
cidade que não se barbeiam a si mesmas e, sendo assim, se deveria bar-
bear, passando a ser uma das pessoas que se barbeiam a si mesmas, não 
devendo, portanto, se barbear. 
Temos também o “paradoxo do mentiroso", que é um dos que desvela 
aos lógicos: 
“Um mentiroso diz que está mentindo, diz a verdade ou mente?".
134 © LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
Se o paradoxo interessou você, sugerimos que leia o paradoxo 
do economista William Stanley Jevons, formulado em 1886, a 
respeito da energia.
JEVONS, W. S. Os economistas. Tradução de Cláudia 
Laversveiler de Morais. Disponível em: <http://www.soniabarro-
so.pro.br/graduacao/jevons.pdf>. Acesso em: 12 nov. 2015.
9. CONSIDERAÇÕES
Na Unidade 4, estudamos as proposições categóricas na 
linguagem do CP e, também, aprendemos a traduzi-las da lin-
guagem ordinária para a linguagem do Cálculo de Predicados. 
Além disso, tivemos contato com problemas ontológicos, ques-
tionamentos metafísicos sobre a existência de determinados ob-
jetos. Esse problema é da Lógica Clássica e da Lógica Aristotélica, 
porque ambas pressupõem a existência das entidades a que se 
referem as proposições categóricas.
No exemplo "alguma mulher é bonita", estamos supondo 
que existe pelo menos uma mulher e que a propriedade de ser 
bonita pode ser atribuída a ela. Como estudamos nesta unidade, 
pudemos analisar as proposições categóricas e aprender a trans-
formar essas propriedades em linguagem do CP.
É importante que você continue atento e motivado, pois, 
na Unidade 5, estudaremos as provas formais de validade. Até lá!
10. E-REFERÊNCIA
NICHOLAS, N. Quine e o compromisso ontológico. Disponível em: <http://www.cfh.
ufsc.br/~dkrause/QuineOntol.doc>. Acesso em: 7 maio 2012.
135© LÓGICA II
UNIDADE 4 – LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
COSTA, N. Ensaio sobre os fundamentos da Lógica. São Paulo: Hucitec, 1994.
HAACK, S. Filosofia das lógicas. São Paulo: Unesp, 2002.
HAIGHT, M. A serpente e a raposa: uma introdução à Lógica. São Paulo: Loyola, 2003.
KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da Lógica. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 
1991.
MATES, B. Lógica elementar. São Paulo: Nacional/Edusp, 1967.
MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
QUINE, W. V. O. Existência e quantificação. São Paulo: Abril Cultural, 1975. (Coleção 
Os Pensadores).
______. Sobre o que há. São Paulo: Abril Cultural, 1975. (Coleção Os Pensadores).
RUSSELL, B. Da denotação. São Paulo: Abril Cultural, 1974. (Coleção Os Pensadores).
SIMPSON, T. M. Linguagem, realidade e significado. Trad. Paulo Alcoforado. São Paulo: 
Livraria Francisco Alves/Edusp, 1976.
© LÓGICA II
137
PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
1. OBJETIVO
• Demonstrar a validade no Cálculo de Predicados (CP).
2. CONTEÚDOS
• Regras de Inferência.
• Introdução do Universal.
• Eliminação do Universal.
• Introdução do Existencial.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) Para atingir os objetivos propostos para esta unidade, 
é preciso relembrar o que é uma prova formal de va-
lidade. Assim, ficará mais fácil compreender as regras 
de inferência para quantificadores, que permitirão 
avaliar a validade dos argumentos expressos no Cálcu-
lo de Predicados. Desse modo, para que seu aprendi-
zado seja qualificado, é fundamental a realização dos 
UNIDADE 5
138 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
exercícios para que as dúvidas surgidas durante a sua 
execução sejam dirimidas.
2) Ao iniciar seus estudos, procure ter à mão todos os re-
cursos de que irá necessitar, tais como: dicionário, ca-
derno para anotações, canetas, lápis, obras etc. Desse 
modo, você poderá evitar as interrupções e aprovei-
tar seu tempo para ampliar sua compreensão. Pense 
nisso.
3) O Paradoxo do barbeiro, produzido por Bertrand 
Russell em 1901, é situado num reino onde só uma 
pessoa praticava o ofício de barbeiro. Para solucionar o 
problema da falta de barbeiros, o rei determinou que o 
barbeiro só poderia barbear as pessoas que não pudes-
sem se barbear sozinhas. O barbeiro pensou: "Como 
barbeiro não posso barbear o barbeiro do reino que 
sou eu, porque posso barbear-me a mim mesmo, mas 
outro barbeiro pode barbear-me, só que sou o único 
barbeiro do lugar, então não posso me barbear?".
4) Percebeu que, segundo Russel, o barbeiro não pode 
se barbear e não pode não se barbear? Para satisfazer 
sua curiosidade, sugerimos dois links, a seguir, que tra-
tam sobre este e outros paradoxos:
• WIKIPÉDIA. Lista de paradoxos. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_paradoxos>. 
Acesso em: 28 set. 2015.
• ______. Paradoxo do barbeiro. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_ 
barbeiro>. Acesso em: 28 set. 2015.
139© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
4. INTRODUÇÃO
Na unidade anterior, você teve a oportunidade de conhe-
cer a Lógica Clássica e o Problema Ontológico, e de analisar as 
proposições categóricas na linguagem do CP, ou seja, aprende-
mos a traduzi-las da linguagem ordinária para a linguagem do 
Cálculo de Predicados.
Prosseguindo, nesta unidade, estudaremos as provas for-
mais de validade e conheceremos mais algumas regras de Cálcu-
lo Proposicional.
Bons estudos!
5. REGRAS PARA QUANTIFICADORES
Eliminação do Universal ( )
Iniciaremos esta unidade apresentando as regras de in-
ferência do quantificador universal. A primeira dessas regras 
chama-se Eliminação do Universal ( ). Ela sustenta que, se 
uma determinada propriedade vale para todos os indivíduos, en-
tão vale para um indivíduo particular qualquer. Vejamos como 
funciona.
O clássico argumento: "Todo homem é mortal. Sócrates é 
homem. Sócrates é mortal" se torna, na linguagem do CP:
∀x (Hx Mx)
Hs
Ms
140 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Passemos à prova de validade:
Premissa 1. ∀x (Hx Mx) 
Premissa 2. Hs 
Conclusão Ms
Atenção na regra a seguir:
1. 3. Hs Ms
2,3. MP 4. Ms
Se é verdade que todo homem é mortal – como afirma a 
premissa da linha 1, que pode ser parafraseada na linguagem 
do CP como: "Para todo x, se x é homem, então x é mortal"–, 
segue-se, por EU, que, se Sócrates é homem, então Sócrates é 
mortal (Hs Ms) – linha 3. Como a linha 2 afirma que Sócrates 
é homem, podemos concluir, por modus ponens, com base nas 
linhas 2 e 3, que Sócrates é mortal – linha 4.
Introdução do Universal (I )
A primeira regra que trata do quantificador universal não 
apresenta grandes problemas. Vejamos, agora, a regra que cha-
mamos de "Introdução do Universal", a qual garante que, se de-
monstrarmos que um indivíduo qualquer possui uma determi-
nada propriedade, então estaremos autorizados a concluir que a 
propriedade em questão vale para todos os indivíduos.
Na regra de Introdução do Universal, não faremos qualquer 
suposição especial sobre o indivíduo. Nesse sentido, o argumen-
to: "todo paulista é brasileiro, nenhum brasileiro é americano, 
portanto, nenhum paulista é americano" pode ser formalizado 
com as representações simbólicas a seguir:
141© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
∀x (Px Bx)
∀x (Bx ~Ax)
∀x (Px ~Ax)
Como você pôde observar, a prova de validade é a seguinte:
Premissa 1. ∀x (Px Bx)
Premissa 2. ∀x (Bx ~Ax)
Conclusão ∀x (Px ~Ax)
1. E 3. Pr Br
 2. E 4. Br ~Ar
3,4 SH 5. Pr ~Ar
Até o momento, mostramos que, para um paulista qual-
quer, digamos Ricardo, "se Ricardo é paulista, então ele é bra-
sileiro": linha 3 por E . Como nenhum brasileiro é americano 
– premissa 2 –, segue-se que, "se Ricardo é brasileiro, então não 
é americano": linha 4. Das linhas 3 e 4 podemos concluir, por si-
logismo hipotético, que, "se Ricardo é paulista, então não é ame-
ricano": linha 5.
Podemos fazer essa demonstração para qualquer paulista, 
por exemplo, Paula, Simone, Carlos e Walter, e ela permanecerá 
válida. Assim, como essa dedução tem um caráter geral, estamos 
autorizados a dar o seguinte passo na linha 6:
142 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Premissa 1. ∀x (Px Bx)
Premissa 2. ∀x (Bx ~Ax)
Conclusão ∀x (Px ~Ax)
1. E 3. Pr Br
 2. E 4. Br ~Ar
3,4 SH 5. Pr ~Ar
5. I 6. ∀x (Px ~Ax)
Contudo, há uma restrição para a regra da Introdução do 
Universal: a constante que usarmos na demonstração não pode 
aparecer nas premissas, pois, do contrário, poderíamos validar o 
seguinte raciocínio: "Milena é paulista, logo todos são paulistas". 
A formalização desse argumento inválido seria:
Premissa 1. Pm
1. I 2. ∀xPx
Observe que a constante "m" aparece na premissa, o que 
invalida o argumento.
Introdução do Existencial (I$)
As próximas duas regras que estudaremos dizem respei-
to ao quantificador existencial. Analisaremos a regra conhecida 
por Introdução do Existencial (I$), que garante que, se algum 
indivíduo tem uma determinada propriedade, então estamos 
autorizados a concluir que existe alguém que é o portador dessa 
propriedade.
143© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Essa regra funciona da seguinte maneira: suponha que 
Walter é médico. Podemos inferir, então, que existe alguém com 
a propriedade de ser médico.
A formalização do argumento é a que se segue:
Premissa 1. Mw
1. I$ 2. $xMx
Note que o Problema Ontológico reaparece por meio des-
sa regra. Quando afirmamos que o "Minotauro é feio", podemos 
inferir que existe alguém com a propriedade de ser feio. A infe-
rência é válida, pois, na Lógica Clássica, os nomes, ou constantes, 
denotam indivíduos existentes.
Eliminação do Existencial (E$)
A última regra para o uso dos quantificadores é a Elimina-
ção do Existencial (E$), a qual permite que derivemos de uma 
proposição existencial, por exemplo, "alguém é casado e feliz" – 
$x (Cx Fx) – que um indivíduo particular é casado e feliz.
A questão que se coloca é: que indivíduo escolher? Como 
não sabemos qual indivíduo está em questão, devemos introdu-
zir uma constante nova, por hipótese, assim que eliminarmos o 
quantificador existencial, e essa nova constante denotará o indi-
víduo que procuramos.
Suponha o seguinte argumento: "Existem árvores bonitas; 
portanto existem árvores". Nossa demonstração, então, é a que 
segue:
144 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Premissa 1. $x (Ax Bx)
Hipótese (para E$) 2. Am Bm
2. Simplificação 3. Am
3. I$ 4. $xAx
1,2,3,4. E$ 5. $xAx
Introduzimos a constante "m" em nossa hipótese para a 
eliminação do existencial, linha 2, e obtemos Am Bm, que pode 
ser lida como: "macieira é uma árvore bonita". Pela regra da sim-
plificação, aplicada à linha 2, obtemos Am que, seguindo nossa 
tradução, pode ser lida como "macieira é uma árvore". Pela re-
gra I$, aplicada à linha 3, podemos concluir que existem árvores 
e, como nossa constante – introduzida por hipótese – desapare-
ceu, podemos ratificar nossa conclusão, linha 5, por meio de E$.
Entretanto, há uma restrição para a regra da eliminação do 
existencial: a constante que usarmos na demonstração não pode 
aparecer nas premissas, pois, caso contrário, poderíamos validar 
o seguinte raciocínio: "algumas aranhas são venenosas, algumas 
cobras são venenosas, logo algumas aranhas são cobras". A for-
malização desse inválido argumento seria:
145© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Premissa 1. $x (Ax Vx)
Premissa 2. $x (Cx Vx)
Conclusão 3. $x (Ax Cx)
1. E$ 4. Ax Vx 
2. E$ 5. Cx Vx 
4. Simplificação 6. Ax
5. Simplificação 7. Ax
6,7. Conjunção 8. Ax Cx
8. E$ 9. $x (Ax Cx)
Como você pode perceber, a regra não foi respeitada na 
linha 5, pois já tínhamos usado a constante x na linha 4.
Com as regras de inferência para quantificadores, termi-
namos de apresentar como demonstramos a validade dos argu-
mentos da linguagem do Cálculo de Predicados. Vamos fazer al-
guns exercícios para consolidarmos o aprendizado dessas regras. 
Mas, antes dos exercícios, leia os extratos de textos que indica-
mos no tópico a seguir.
6. TEXTO COMPLEMENTAR
A noção de demonstração –––––––––––––––––––––––––––
[...] Como é bem sabido, o método axiomático foi aplicado no desenvolvimento 
da Geometria nos Elementos de Euclides, cerca de 300 a.C. Depois disso, foi 
aplicado por mais de dois mil anos praticamente sem sofrer alterações, nem 
em seus princípios básicos (os quais diga-se de passagem, não foram nem 
mesmo explicitamente formulados por um longo tempo), nem na abordagem 
geral com respeito ao assunto. Todavia, nos séculos XIX e XX, o conceito de 
método axiomático sofreu uma profunda evolução. As características dessa 
evolução que dizem respeito à noção de verdade são particularmente significa-
146 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
tivas para nossa discussão. Até os últimos anos do século XIX, a noção de de-
monstração era, primordialmente de caráter psicológico. Uma demonstração 
era uma atividade intelectual que objetivava convencer o próprio indivíduo e 
outras pessoas da verdade da sentença em discussão. Mais especificamente, 
demonstrações eram usadas no desenvolvimento de uma teoria matemática 
para convencer o próprio indivíduo e outros de que a sentença em discussão 
deveria ser aceita como verdadeira, uma vez que certas outras sentenças ha-
viam sido previamente aceitas como tal. Não havia restrições com respeito aos 
argumentos usados na demonstração, exceto que eles deveriam ser intuiti-
vamente convincentes. Numa certa época, entretanto, começou-se a sentir a 
necessidade de submeter a noção de demonstração a uma análise mais pro-
funda, a qual acarretaria uma restrição, nesse contexto, do recurso à evidên-
cia intuitiva. Isso provavelmente relacionou-se com alguns desenvolvimentos 
específicos na matemática; com a descoberta das geometrias não-euclidianas, 
em particular. A análise foi feita por lógicos, a começar pelo lógico alemão 
Gottlob Frege, levando à introdução de uma nova noção – a de demonstração 
formal – que se mostrou um substituto adequado e uma melhoria essencial 
sobre a antiga noção psicológica. O primeiro passo em direção a suplementar 
uma teoria matemática com a noção de demonstração formal é a formalização 
da linguagem da teoria, no sentido previamente discutido, quando abordamos 
adefinição de verdade. Assim, são fornecidas regras sintáticas formais que 
permitem, em particular, distinguir uma sentença de uma expressão que não é 
uma sentença pelo simples exame da forma de expressão. O passo seguinte 
consiste em formular umas poucas regras de outra natureza, as chamadas 
regras de demonstração (ou inferência). Por meio delas, uma sentença é con-
siderada diretamente derivável de outras sentenças dadas se, de modo geral, 
sua forma relaciona-se de uma maneira prescrita com as formas das senten-
ças dadas. O número de regra de demonstração é pequeno e seu conteúdo, 
simples (TRASKI, 2006, p. 224-225).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Lógica e sistemas lógicos –––––––––––––––––––––––––––
Comumente consideram-se dois aspectos somo sendo fundamentais para a 
caracterização de uma disciplina: o escopo, objetivo ou objeto o qual esta dis-
ciplina pretende estudar, e a maneira ou método através do qual ela visa atingir 
tal objetivo. Vimos que a lógica enquanto disciplina possui dois objetivos bá-
sicos: o de estudar as inferências válidas e o de prover maneiras adequadas 
de representar enunciados. Assim a lógica pode ser vista como uma teoria da 
inferência ou como uma teoria da representação. Mas qual seria então o mé-
todo, por assim dizer, através do qual a lógica tenciona atingir tais objetivos?
147© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Para respondermos esta pergunta temos que falar sobre um aspecto bastante 
peculiar da lógica contemporânea: a sua estreita relação com a matemática, a 
tal ponto de a disciplina que hoje chamamos de lógica ser, em um sentido muito 
forte, equivalente ao que se convencionou chamar de lógica matemática. Pri-
meiro de tudo deve-se mencionar que muito da motivação para o surgimento 
do que chamamos de lógica moderna foi o desejo, por parte de alguns filósofos 
e matemáticos, de melhor compreender o raciocínio por trás da argumentação 
matemática. É neste sentido então que a expressão "lógica matemática" pode 
ser vista como significando a lógica da matemática.
Tal visão, no entanto, reflete apenas um aspecto das coisas, e na verdade 
pode ser enganadora, visto que, como vimos, o objetivo da lógica em geral 
e da lógica moderna em particular é o estudo das inferências em um sentido 
lato, não se restringindo a nenhum tipo particular de argumento. Outra maneira 
de ler a expressão "lógica matemática", que neste caso sim, não só reflete 
com exatidão a disciplina a qual ela tenta dar nome, mas também releva um 
aspecto essencial sobre ela, é entendendo-a como o estudo matemático da 
lógica, ou em outras palavras, o estudo dos argumentos válidos e de maneiras 
adequadas de representar enunciados utilizando-se do que podemos chamar 
de método matemático. Ou dizendo de outra forma, seria a tentativa de de-
senvolver uma teoria da inferência e da representação utilizando metodologia 
semelhante à usada pelos matemáticos no desenvolvimento de suas teorias. 
Isso se dá, grosso modo, através do desenvolvimento de sistemas matemá-
tico-formais, não por acaso chamados de sistemas lógicos. Se tomarmos 
a lógica enquanto teoria da inferência, a análise ou tentativa de identificar a 
classe dos argumentos válidos tomará, como um todo, a forma de um sistema 
matemático, de modo que a resposta à pergunta "quando um argumento é 
válido?" será algo como que um subproduto inevitável do sistema lógico.
Apesar de que uma compreensão satisfatória do que estamos chamando de 
o método da lógica somente poder ser obtida através de um estudo pormeno-
rizado dos sistemas lógicos, tentaremos aqui dar uma idéia básica de o que 
são tais sistemas e como eles tentam atingir o objetivo da lógica de identificar 
a classe de argumentos válidos. Comecemos lembrando que validade em um 
argumento é basicamente uma relação lógica entre um conjunto de enuncia-
dos (as premissas) e um enunciado (a conclusão). Em matemática, relações 
são entidades passíveis de serem construídas e analisadas matematicamente. 
Um exemplo é a relação "maior que", geralmente representada pelo símbolo 
>. Primeiramente, essa relação vale entre duas entidades do mesmo tipo, a 
saber, números. Temos assim que o número 12 se relaciona com o número 7 
de acordo a relação "maior que", caso este representado por 12 > 7. Diferen-
temente de >, a relação de pertença vale entre entidades de tipos diferentes, 
no caso um objeto e um conjunto desses objetos. Temos assim que o objeto 1 
148 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
pertence ao conjunto de números naturais, em símbolos 1 ∈ N. Já o número 
0,5 não se relaciona com N de acordo com a relação de pertença. Três pontos 
valem a pena serem mencionados aqui sobre relações matemáticas. Primeiro, 
para realmente sabermos de que relação nós estamos falando, temos que fixar 
os dois conjuntos cujos elementos vão ou não se relacionar de acordo com a 
relação em questão. Por exemplo, para falarmos de uma relação "maior que", 
temos que dizer a que conjunto de entidades essa relação vai ser "aplicada", 
se ao conjunto de números naturais, inteiros, racionais etc. De um ponto de vis-
ta estritamente rigoroso, a relação > que relaciona elementos do conjunto dos 
números naturais é diferente da relação > que relaciona elementos do conjunto 
dos números inteiros, apesar de o símbolo que usamos para as duas relações 
ser o mesmo. No caso da primeira dizemos que > é uma relação do tipo N x N 
(o que representamos também por >: N x N), ou seja, uma relação que "une" 
ou associa dois elementos do conjunto dos números naturais N, e no caso da 
segunda relação, dizemos que > é do tipo Z x Z, ou seja, uma relação que 
associa dois elementos pertencentes ao conjunto dos números inteiros.
O segundo ponto, que apesar de por demais óbvio vale a pena ser menciona-
do, é que dada uma relação matemática qualquer R: D x G e dois elementos 
a∈D e b∈G, R nos dirá se a se relaciona ou não com b de acordo com R. Por 
exemplo, dada a relação "maior que" aplicada aos naturais, >: N x N e dois 
números x, y ∈ N, > nos diz se x é ou não maior que y. Em outras palavras, > 
é capaz de nos dizer, para todo e qualquer par de números x, y pertencentes 
ao conjunto dos naturais, se x é ou não maior que y.
O terceiro ponto é que uma relação matemática geralmente possui proprieda-
des formais de fundamental importância para a sua diferenciação enquanto 
relação. Por exemplo, a relação >: N x N é tal que, dados x, y, z ∈ N, se x > 
y e y > z, então x > z. Se uma relação R é tal que se aRb e bRc então aRc, 
onde aRb é uma abreviação para "o objeto a se relaciona com o objeto b de 
acordo com a relação R", nós dizemos que esta relação é transitiva. Assim, > 
é transitiva. Outras propriedades interessantes são a reflexividade e a sime-
tria: uma relação é reflexiva se, e somente se, aRa para todo a, e simétrica se, 
e somente se, se aRb então bRa. Enquanto, no entanto, > é transitiva, ela não 
é nem reflexiva nem simétrica: não é o caso que para todo número x, x > x, 
nem que para todo número x e y, se x > y então y > x. Já a relação de igual-
dade definida para os naturais (=: N x N), por exemplo, é reflexiva, simétrica 
e transitiva: a = a para todo a ∈ N, para todo a, b ∈ N, se a = b então b = a, e 
para todo a, b, c ∈, se a = b e b = c então a = c.
Mas o que é que isso tudo tem a ver com lógica? Talvez muito, já que, como 
dissemos, um argumento é válido em virtude da relação inferencial, chamada 
por nós de relação de dedução ou relação de conseqüência lógica, que há en-
149© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
tre premissas e conclusões. Suponha então que, à semelhança do que é feito 
em matemática, usemos um símbolo especial para referenciarmos tal relação, 
digamos o símbolo "├". Invocando o primeiro ponto acima, para caracterizar-
mos precisamente ├ precisamos identificar os tipos de elementos que se rela-
cionarão através de ├, ou equivalentemente, os dois conjuntos aos quais tais 
elementos pertencem. Essa não parece ser umatarefa das mais difíceis, visto 
que, como sabemos, a relação de dedução associa ou relaciona um conjunto 
de enunciados (que chamamos de premissas) de um lado, com um enuncia-
do (a conclusão) do outro. Mas enunciados são entidades lingüísticas, que 
em certo sentido podem ser vistas como pertencentes a línguas específicas. 
Assim, para falarmos sobre os dois conjuntos aos quais os elementos que ├ 
relacionará pertencem, teremos que falar sobre a língua, ou, adotando a no-
menclatura padrão em lógica, a linguagem a qual os enunciados em questão 
pertencem.
Se chamarmos essa linguagem de L, teremos que a nossa relação ├ será 
definida como associando duas entidades, a saber, conjuntos de enunciados 
pertencentes a L e enunciados também pertencentes a L. Para bem compre-
endermos esse tipo de definição, no entanto, temos que ver a linguagem L 
como sendo nada mais do que um conjunto, na verdade um conjunto enorme, 
contendo todos os enunciados que podem ser construídos naquela linguagem. 
Por exemplo, se quiséssemos caracterizar a língua portuguesa dessa manei-
ra, diríamos que a língua, ou a linguagem portuguesa, é o conjunto de todas 
as sentenças, significavas neste caso, que podem ser escritas em português. 
Como então ├ associa conjuntos de enunciados pertencentes a L e enun-
ciados também pertencentes a L, temos então que podemos escrever coisas 
como G ├ a, onde G é um conjunto de enunciados pertencentes a L, ou em 
outras palavras, um subconjunto de L (em símbolos: a∈L) e a é um enunciado 
pertencente a L (em símbolos: a ∈ L). Como G é um subconjunto de L, tam-
bém podemos dizer que G pertence ao conjunto de todos os subconjuntos 
de L, comumente chamado de conjunto das partes de L, que aqui representa-
remos por ⊆ (L). Assim, dada uma linguagem L qualquer, podemos dizer que 
├ é da forma: (L) x L, ou seja, uma relação que associa elementos de (L), 
ou seja, subconjuntos de L, que são obviamente conjuntos de enunciados, e 
elementos de L, ou seja, enunciados.
Segundo, dado uma linguagem L específica e a relação de dedução aplicada à 
L, e dados um enunciado qualquer a ∈ L e um conjunto de enunciados G ⊆ L, 
através de ├ saberemos se a é deduzido ou não a partir de A. Tomando os ele-
mentos de G como sendo as premissas e a como sendo a conclusão, ├ nos 
dirá se o argumento < G, a > é ou não um argumento válido. Em caso positivo 
escrevemos G├ a; em caso negativo G ┤a. Ou em outras palavras, G ├ a é 
150 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
nada mais do uma representação do fato de que o argumento composto pelas 
premissas G e conclusão a é válido. Esse ponto deve ser bem compreendido, 
pois ele contém na verdade o propósito da lógica enquanto teoria da inferência. 
Se dispomos de uma relação ├ do tipo (L) x L e se dizemos que ela carac-
teriza a relação de validade dedutiva de forma que G├ a significa que a pode 
ser deduzido a partir de G, ou que o par < G, a > é um argumento válido, então 
o nosso trabalho estará terminado. Já teremos em mãos uma caracterização 
da classe de argumentos válidos, pelo menos, dos argumentos válidos que 
podem ser construídos usando uma linguagem específica, a saber, L.
Terceiro, enquanto relação matemática, ├ deve possuir propriedades formais 
através das quais podemos entender melhor as características disso que es-
tamos chamando de conseqüência lógica. Por exemplo, se a ∈ G, então G ├ 
a, ou seja, se a conclusão de um argumento aparece entre suas premissas, 
tal argumento será trivialmente válido. A esta propriedade nós damos o nome 
de a reflexividade de ├. ├ também possui um tipo de transitividade: se G├ b 
e {b} ├ j, então G ├ j, isto é, se b é concluído a partir de G e j é concluído a 
partir de b, então j deve poder ser concluído a partir de G. Também temos que 
se G├ a, então para toda fórmula b ∈ L, G ∪ {b} ├ a. Isso significa que se a 
é uma conclusão do conjunto de premissas G, ela continuará sendo mesmo se 
adicionarmos mais premissas a G (que é o que é feito quando consideramos 
o conjunto G ∪ {b}). A esta propriedade damos o nome de monotonicidade.
Existem também propriedades que correlacionam ├ com conectivos lógicos 
específicos. Por exemplo, temos que se G ∪ {b}├ a então G ├ b a, sendo 
o inverso também válido: se G├ b a então G ∪ {b} ├ a. A tal propriedade 
damos o nome de teorema da dedução. Eis outro exemplo: G├ a ¬ a. Isso 
significa que para todo e qualquer enunciado a ∈ L, a ¬ a pode ser deduzi-
do a partir de qualquer conjunto G ⊆ L, ou falando de outra forma, que a ¬ 
a é um princípio lógico válido universalmente. Tal princípio, que chamamos de 
princípio do terceiro excluído, significa basicamente que, para todo enuncia-
do a ∈ L, a é verdade ou sua negação é verdade. Um exemplo semelhante é 
o seguinte: G ├ ¬ (a ¬ a), que é nada mais do que a validade do que cha-
mamos de princípio da não contradição (para todo enunciado a, não pode 
ser o caso que tanto a como sua negação são verdade) sendo estabelecida 
em termos de relação de dedução. Temos também que métodos clássicos de 
argumentação podem ser representados através de propriedades de ├, como 
é o caso da chamada redução ao absurdo: se G ∪ {a} ├ b e G ∪ {a} ├ ¬ b, 
então G ├ ¬ a. Isso significa que se, em adição aos pressupostos contidos em 
G, supormos a verdade de a e a partir disso pudermos chegar a um absurdo do 
151© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
tipo b e ¬ b, podemos concluir que a é falso. Intimamente associados a estes 
dois últimos princípios temos o chamado princípio da explosão: G ∪ {b,¬ b} 
├ a, para todo e qualquer a ∈ L, isto é, que de uma contradição do tipo {b,¬ 
b} podemos concluir toda e qualquer fórmula.
Obviamente que esta relação ├ deve ser rigorosamente definida ou construída 
através de estipulações conceituais. A descrição das propriedades que fize-
mos acima pressupõe tal definição, e na verdade deve seguir como uma con-
seqüência desta definição. Por exemplo, apesar de sabermos intuitivamente 
onde aplicar a relação > de forma a dizer se, dados dois números naturais 
quaisquer x e y, x > y, em termos matemáticos temos que definir formalmente 
essa relação. Isso pode ser feito da seguinte forma:
1. Seja x ∈ N um número natural qualquer tal que x ≠ 0. x > 0;
2. Não existe x ∈ N tal que 0 > x;
3. Sejam x, y ∈ N dois números naturais quaisquer. x > y se e somente se 
(x – 1) > (y – 1).
E toda e qualquer propriedade de >, tal como sua transitividade, deve seguir, e 
conseqüentemente poder ser demonstrada, a partir da definição acima.
Assim, um sistema lógico, principalmente se entendido como uma teoria da 
inferência, pode ser visto como uma série de definições, em um certo senti-
do mais complexas do que a definição acima, que juntas teriam o papel de 
‘construir’ a relação de dedução ├, de forma semelhante a como a relação > é 
construída na definição acima. Ou em outras palavras, um sistema lógico nada 
mais é do que uma definição rigorosa da relação de conseqüência lógica ├. E, 
conforme já falamos, todas as propriedades de ├ devem seguir estritamente 
desta definição, sendo um dos principais trabalhos do lógico demonstrar que 
tais propriedades realmente valem no seu sistema lógico.
Um ponto importante é que até agora temos falado como se houvesse apenas 
uma relação de dedução ou noção de validade dedutiva. Falamos, por exem-
plo, que é tarefa da lógica distinguir argumentos válidos de argumentos inváli-
dos, o que pressupõe obviamente que haja uma maneira única de fazer tal dis-
tinção e, portanto, uma relação única de conseqüência lógica. Lembremos, no 
entanto, que para realmente identificarmos univocamente ├ temos que dizer 
qual a linguagem a qual os enunciados que ├ associará pertencem. Assim, da 
mesma forma que a relação "maior que" aplicada a conjuntos diferentes resulta 
em relações diferentes, também ├ usada em conjunto com linguagens diferen-
tes resultará em relações de inferência diferentes. Assim, para realmente dizer-
mos que relação de inferência ├ designa temos que mencionar tambémqual a 
linguagem sobre a qual ├ é definida. (É claro que, como para definirmos uma 
relação de dedução específica ├ temos que definir previamente a linguagem 
152 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
sobre a qual a relação operará, podemos dizer que a linguagem L associada a 
├ já está, pelo menos implicitamente, contida em ├.) Por conta disso, tradicio-
nalmente identifica-se um sistema lógico como sendo caracterizado não só por 
uma relação de inferência, mas também por uma linguagem lógica. Em outras 
palavras, um sistema lógico S pode ser identificado como um par < L, ├ >, 
onde L é uma linguagem e ├ é uma relação entre subconjuntos de L e elemen-
tos de L chamada relação de relação de inferência lógica. Vale a pena obser-
var que o que chamamos de aspecto representacional e aspecto inferencial da 
lógica se encontram explícitos na própria caracterização de um sistema lógico.
A implicação óbvia disso é que muito provavelmente haverá uma multiplicidade 
de sistemas lógicos. A linguagem natural é extremamente variada no que se 
refere à estrutura de seus enunciados, de forma que se quisermos tratar tal 
variedade estrutural de forma especializada, isto é, abordando cada aspec-
to separadamente, teremos inevitavelmente uma pluralidade de linguagens 
lógicas, e conseqüentemente uma pluralidade de relações de inferências e 
sistemas lógicos. Por exemplo, se decidirmos tratar enunciados como entida-
des indivisíveis, não analisando os seus componentes constituintes, mais ou 
menos como fizemos na análise dos argumentos (12) e (13), teremos a cha-
mada linguagem proposicional, que é a linguagem lógica de um dos siste-
mas lógicos mais conhecidos: a chamada Lógica Proposicional. Se por outro 
lado decidirmos detalhar os componentes de um enunciado, tais como seu 
sujeito e predicado bem como seu aspecto universal (quando houver), mais 
ou menos como fizemos nos argumentos (11) e (14), teremos uma linguagem 
de primeira ordem, que é a linguagem usada pelo sistema lógico conhecido 
como Lógica de Primeira Ordem. Similarmente, se decidirmos tratar modali-
dades como "é necessário que", "é moralmente obrigatório que" e "será o caso 
que", por exemplo, teremos linguagens lógicas diferentes que darão origem a 
sistemas lógicos capazes de lidar com enunciados contendo tais construções 
lingüísticas, nos casos mencionados a Lógica Modal Alética, a Lógica Deôntica 
e a Lógica Temporal.
Algo digno de nota é que pode acontecer de dois sistemas lógicos S1 = < L1, ├1 
> e S1 = < L2, ├2 > serem tais que L1 é diferente de L2 (e conseqüentemente, sob 
um ponto de vista rigoroso, ├1 é diferente de ├2) mas ainda assim, em um sen-
tido muito importante, ├1 ser igual a ├2, pois ambos compartilham propriedades 
formais independentes dos aspectos específicos que tornam L1 e L2 diferentes 
uma da outra. Tome a Lógica Proposicional Sp e a Lógica de Primeira Ordem 
S1° como exemplo. Apesar de as linguagens destes dois sistemas serem di-
ferentes, suas relações de inferência satisfazem todas aquelas propriedades 
consideradas importantes na caracterização de uma relação de inferência, en-
tre elas as mencionadas alguns parágrafos acima. Assim, podemos dizer que 
Sp e S1° possuem a mesma relação de inferência, porém linguagens diferentes, 
153© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
o que podemos representar por Sp = < Lp, ├c > e S1° = < L1°, ├c >, onde Lp e 
L1° são as linguagens de Sp e S1, respectivamente, e ├c é o que chamamos 
de relação de inferência clássica, que seria a relação de inferência de ambos 
os sistemas Sp e S1. O mesmo se aplica a muitos outros sistemas lógicos tais 
como a Lógica Modal, a Lógica Deôntica e a Lógica Temporal, que possuem 
linguagens diferentes da linguagem proposicional e da linguagem de primeira 
ordem, mas cujas relações de inferência possuem as mesmas características 
de ├c.
Mas obviamente não é só em relação à linguagem lógica que dois sistemas 
lógicos podem diferir um do outro. Mais especificamente, se um sistema lógico 
S é caracterizado como um par < L, ├ > então dois sistemas lógicos S1 = < L1, 
├1 > e S2 = < L2, ├2 > podem diferir um do outro em no mínimo três aspectos 
fundamentais: pode ser que (1) ├1 seja igual a ├2 mas L1 seja diferente de L2, 
que foi o caso visto até agora; pode ser que (2) L1 seja igual a L2 mas ├1 seja 
diferente de ├2; e, finalmente, pode ser que (3) tanto L1 seja diferente de L2 
como ├1 seja diferente de ├2. Podemos chamar a classe de sistemas que inclui 
a Lógica Proposicional e todos os sistemas lógicos que diferem dela de acordo 
com (1) de Lógica Clássica ou Lógicas Clássicas. À classe dos que diferem 
da Lógica Proposicional de acordo com (2) ou (3) podemos dar o nome de 
Lógicas Não-Clássicas. Equivalentemente, tomando a relação de inferência 
clássica ├c como parâmetro, dizemos que a Lógica Clássica é a classe de to-
dos os sistemas lógicos da forma S = < L, ├c>, e as Lógicas Não-Clássicas são 
os sistemas lógicos da forma S = < L, ├nc>, onde ├nc é diferente de ├c. (Algu-
mas pessoas alternativamente usam o termo "Lógica Clássica" para designar 
apenas as Lógicas Proposicional e de Primeira Ordem, e o termo "Lógicas 
Não-Clássicas" para referenciar todos os demais sistemas lógicos).
Exemplos de lógicas não-clássicas são os sistemas lógicos, por exemplo, onde 
o princípio do terceiro excluído não é válido. Em tais lógicas, geralmente cha-
madas de lógicas paracompletas, não é o caso que G ├ a ¬ a, onde ├ é a 
relação de inferência de tais sistemas. Outro exemplo é as lógicas paracon-
sistentes, onde o princípio da explosão não é valido. Em outras palavras, não 
é o caso nestas lógicas que G ∪ {b, ¬ b} ├ a, para todo a ∈ L, isto é, pode 
haver enunciados da linguagem lógica que não são deduzidos a partir de uma 
contradição. Nestas lógicas também não vale o princípio da redução ao absur-
do (se G ∪ {a} ├ b e G ∪ {a} ├ ¬ b, então G ├ ¬ a) e em muitas delas também 
o princípio da não-contradição (G ├ ¬ (a Λ ¬ a)) não é satisfeito.
Dois pontos devem ser mencionados antes de terminarmos este artigo. Primei-
ro um esclarecimento em relação ao uso da palavra "lógica". Conforme o leitor 
deve ter observado, também usamos este termo nesta seção para designar um 
sistema lógico específico ou uma classe de sistemas lógicos. Assim falamos, 
por exemplo, em Lógica Proposicional ou Lógica de Primeira Ordem para de-
154 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
signar um sistema lógico específico, e em Lógica Modal ou Lógica Clássica, 
para designar uma classe de sistemas lógicos. Assim temos o termo "lógica" 
se referindo tanto à disciplina incumbida de desenvolver e estudar sistemas 
lógicos, como aos próprios sistemas lógicos.
Segundo, existem grosso modo duas maneiras distintas de se definir a rela-
ção de inferência de um sistema lógico: semanticamente ou sintaticamente. 
Grosso modo, a distinção é que, enquanto a definição semântica faz uso de 
conceitos semânticos como o conceito de verdade e em última instância atenta 
para o significado dos símbolos, em uma abordagem sintática nenhuma consi-
deração é feita sobre o significado dos termos, enfocando-se exclusivamente a 
forma lógica dos enunciados. Por fazer referência ao significado dos símbolos, 
uma definição semântica é mais intuitiva, no sentido de que o fato de tal defi-
nição ser ou não uma construção do que entendemos como sendo a relação 
de conseqüência lógica ser mais facilmente identificável. Por outro lado, no 
uso efetivo da relação de inferência na avaliação de argumentos, uma defini-
ção sintática é mais eficiente. Assim, tradicionalmente a relação de inferência 
de um sistema lógico é definida tanto sintática como semanticamente. E para 
distinguir uma da outra, usa-se tanto uma nomenclatura como uma simbologia 
especial. Para a relação de inferência definida sintaticamente reservamos o 
termo "relação de dedução", sendo o símbolo ├ usado agora exclusivamente 
para designar tal relação. Para a relação de inferência definida semantica-
mentereservamos o termo "relação de conseqüência lógica", sendo usado um 
novo símbolo para designar tal relação: ╞.
Dado isso, uma maneira mais correta de caracterizar um sistema lógico seria 
identificá-lo como um tripla < L, ├, ╞ >, onde L é sua linguagem lógica, ├ sua 
relação de inferência definida sintaticamente e ╞ a mesma relação definida se-
manticamente. A parte do sistema incumbida em definir ├ nós chamamos de o 
cálculo do sistema. É assim que falamos, por exemplo, no cálculo proposicio-
nal e no cálculo de primeira ordem, significando com isto a definição sintática 
da relação de inferência da Lógica Proposicional e da Lógica de Primeira Or-
dem, respectivamente. Há maneiras diferentes de definir sintaticamente uma 
relação de inferência. Pode-se ter, por exemplo, um cálculo axiomático, isto 
é, um cálculo que é definido de acordo com o chamado método axiomático, um 
cálculo de dedução natural ou um cálculo de seqüente. A parte incumbida 
de definir ╞ nós chamamos simplesmente de a semântica da lógica. Mas po-
deríamos perguntar: como saber se ├ e ╞ definem realmente a mesma coisa? 
Para isso, as nossas duas relações de inferência devem possuir as seguintes 
propriedades: dado um conjunto de fórmulas G ∈ L e uma fórmula a ∈ L, (1) se 
G ├ a então G ╞ a, e (2) se G ╞ a então G ├ a. Em outras palavras, deve ser 
o caso que se < L, a> é um argumento válido de acordo com a relação de infe-
rência sintática ├, ele também deve ser de acordo com a relação semântica ╞, 
155© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
e se < L, a > é um argumento válido de acordo com ├, ele também deve ser de 
acordo com ╞. Chamamos (1) de a corretude do sistema lógico em questão, 
e (2) de sua completude (SILVESTRE, 2008, p. 9-15).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Sugerimos que você procure responder, discutir e comen-
tar as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida 
nesta unidade.
7. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Os temas abordados em Lógica II estão muito presentes 
nas provas de concursos públicos, como também no Exame de 
Desempenho dos Estudantes (Enade), um dos instrumentos de 
avaliação do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Supe-
rior, do MEC.
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
raciocínio nos temas aqui estudados, por intermédio de regras e 
técnicas que possibilitam determinar se um argumento é válido 
ou não.
1) Enade (2011). Considere as tabelas I e II a seguir.
Tabela I. Tabela de verdade.
P Q P Q
V V V
V F V
F V V
F F F
156 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Tabela II. Tabela de verdade
P Q P Q
V V V
V F F
F V F
F F F
A partir das tabelas, analise as afirmações abaixo.
I - Será verdadeira a disjunção que tem os dois membros verdadeiros.
II - Em uma disjunção falsa, os disjuntos podem assumir valores lógicos 
diferentes.
III - Basta que um conjunto seja verdadeiro para que a conjunção seja 
verdadeira.
IV - As duas tabelas de verdade assumem os mesmos valores em todas as 
possibilidades lógicas.
É correto apenas o que se afirma em:
a) I.
b) II.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
2) Enade (2011). "Com efeito, que nos diz a experiência? Ela nos mostra que 
a vida da alma ou, se se quiser, a vida da consciência, está ligada à vida do 
corpo, que há solidariedade entre eles e nada mais. Mas este ponto jamais 
foi contestado, e há uma grande distância entre isto e a afirmação de que 
o cerebral é o equivalente do mental, que poderíamos ler no cérebro tudo 
o que se passa na consciência correspondente. A consciência está incon-
testavelmente acoplada a um cérebro, mas não resulta de nenhum modo 
disto que o cérebro desenhe todos os detalhes da consciência, nem que a 
consciência seja uma função do cérebro" (BERGSON, H. A alma e o corpo. 
In: Coleção Os pensadores. São Paulo: Abril Cultural, 1979, p. 86-7).
De acordo com o pensamento de Henri Bergson, a relação existente entre 
a alma e o corpo é a de equivalência porque há mais atividade na consci-
ência humana que no cérebro correspondente.
157© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Acerca dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma 
proposição falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma propo-
sição verdadeira.
e) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
3) Enade (2008). "Princípio dos seres [...] ele disse (que era) o ilimitado [...] 
Pois donde a geração é para os seres, é para onde também a corrupção se 
gera segundo o necessário; pois concedem eles mesmos justiça e deferên-
cia uns aos outros pela injustiça, segundo a ordenação do tempo" (Simplí-
cio. In: Physicam 24, 17: Anaximandro DK12A9. Coleção Os Pensadores).
Tendo como referência esse texto, analise as asserções abaixo.
Para os seres, a corrupção se gera para o ilimitado segundo o necessá-
rio, porque os seres concedem justiça e deferência uns aos outros pela 
injustiça.
Acerca dessas asserções, assinale a opção correta.
a) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é 
uma justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é uma 
proposição falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
e) Ambas as asserções são proposições falsas.
4) Enade (2008). Considere que "~", " ", " " e " " são, respectivamente, 
símbolos para a negação ("não"), conjunção ("e"), disjunção ("e/ou") e 
para o condicional material ("se..., então...") e que "∀" e "∃" são, respec-
tivamente, o quantificador universal e o quantificador existencial. Consi-
dere, ainda que "Px", "Qx", "Rx" e "Sx" são predicados monádicos (ou de 
aridade 1) e que as fórmulas "∀x[Px (Qx Rx)]" e "∀x~(Qx Rx)" são 
158 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
premissas de um argumento. As conclusões dedutíveis dessas premissas 
estão contidas nas fómulas:
I. ∀x(Px ~Sx).
II. ~$x ~Px.
III. $x(Qx Qx).
IV. ∀x~(Px Sx).
V. $x(Rx Rx).
Estão certos apenas os itens
a) I e III.
b) I e IV.
c) II e IV.
d) II e V.
e) III e V.
5) Enade (2008). Considere que "~", " " e " " são, respectivamente, sím-
bolos para a negação ("não"), conjunção ("e") e condicional material 
("se..., então...") e que "p" e "q" são variáveis proposicionais. Ao se em-
pregar os procedimentos das tabelas veritativas e, em seguida, do cálculo 
proposicional, pode-se concluir que a fórmula "(p q) ~ (p ~q)".
I - é uma contingência.
II - é uma contradição.
III - é uma tautologia.
IV - é um teorema.
V - não é um teorema.
Estão certos apenas os itens
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e V.
d) III e IV.
e) III e V.
159© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Teorema: é toda proposição que é garantida por uma prova. As-
sim, um teorema é qualquer fórmula que aparece em alguma 
demonstração. A fórmula (p q) é um teorema, chama-se p de 
hipótese e q de conclusão do teorema).
6) (FGV). Considere o seguinte argumento:
"Se a companhia K. Bide for capaz de comprar matéria-prima a um pre-
ço favorável, ou se as vendas aumentarem, então a K. Bide não sofrerá 
perdas. Se houver falta de material, a K. Bide não será capaz de comprar 
matéria-prima a um preço favorável. No momento, não há falta de mate-
riais. Logo, a K. Bide não sofrerá perdas".
a) Trata-se de um argumento válido, apesar da existência de uma premis-
sa discutível.
b) Trata-se de um argumento válido, com todas as premissas verdadeiras.
c) Trata-se de um argumento não válido.
d) Nenhuma das alternativas.
7) (FGV, adaptado). Considere o seguinte argumento:
Se os métodos de trabalho forem antieconômicos, então elesnão serão 
socialmente desejáveis. Se os métodos forem enfadonhos, então serão 
prejudiciais à iniciativa. Se forem prejudiciais à iniciativa, então serão an-
tieconômicos. Se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, 
então serão enfadonhos. Portanto, se os métodos de trabalho forem me-
ramente mecânicos, então não serão socialmente desejáveis.
a) Trata-se de um argumento válido.
b) Trata-se de um argumento não válido, em razão da existência de pre-
missas falsas.
c) Trata-se de um argumento não válido, em razão da falsidade da 
conclusão.
d) Nenhuma das alternativas.
160 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Gabarito
1) e.
2) d.
3) a.
4) b.
5) d.
6) 
A: A companhia K. Bide é capaz de comprar matéria-prima a um preço 
favorável.
B: As vendas aumentam.
C: A companhia sofrerá perdas.
D: Haverá falta de material.
(A B) ~C; D ~A ~; D f ~C
Na última premissa, negou-se a condição suficiente, ou seja, ~D... Sabe-se 
que, se D, então ~A, mas, como se nega a condição suficiente, nada se 
pode afirmar sobre a negação ou não da necessária. Argumento inválido.
7) 
A: Métodos de trabalho antieconômicos.
B: Métodos de trabalho socialmente desejáveis.
C: Métodos de trabalho enfadonhos.
D: Métodos de trabalho prejudiciais à iniciativa.
E: Métodos de trabalho meramente mecânicos.
A ~B; C D; D A; E C f E ~B
161© LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
Analisando por diagramas, que é o método mais rápido, e ordenando as 
premissas em uma ordem melhor:
Se E, então C.
Se C, então D.
Se D, então A.
Se A, então ~B.
Ora, é E, logo é ~B.
A conclusão deriva das premissas; é argumento válido. Afirmou-se a con-
dição suficiente, afirma-se tudo.
Se realizarmos um diagrama, podemos comprovar que E está contida em 
C, que está contida em D, que está contida em A, que está contida em ~B.
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, estudamos as regras de inferência, a Intro-
dução do Universal, a Eliminação do Universal, a Introdução do 
Existencial e a Eliminação do Existencial.
É válido salientar que os conhecimentos aqui construídos 
nos ajudarão a compreender melhor o Cálculo de Predicados, 
que é um dos objetivos que propusemos alcançar no início da 
obra.
Desse modo, chegamos ao fim do estudo proposto aqui. 
Acrescentamos em nosso estudo o método de análise de argu-
mentos em forma de símbolos lógicos por meio da Tabela de Ver-
dade, do Cálculo Proposicional e do Cálculo de Predicados, o que 
contribui para o exercício do raciocínio humano.
Além disso, conhecemos os conectivos lógicos, suas regras 
para averiguação na Tabela de Verdade e no Cálculo Proposicio-
162 © LÓGICA II
UNIDADE 5 – PROVAS FORMAIS DE VALIDADE
nal, os quantificadores e suas regras de inferência, e as etapas 
para formalizá-las.
Ao longo do estudo desta disciplina, você pôde verificar 
que a Lógica é um instrumento para o desenvolvimento de um 
raciocínio correto. Exemplo disso é a Lógica Simbólica, extrema-
mente importante por desenvolver a capacidade de abstração, e 
a capacidade de discernir as formas gerais dos argumentos quan-
to à sua validade ou invalidade. Portanto, o estudante de Lógica 
tem a oportunidade de apropriar-se de uma atitude crítica e, ao 
mesmo tempo, autocrítica a respeito do discurso, uma atitude 
fundamental para o pensamento filosófico.
Esperamos que o estudo da Lógica Simbólica tenha ofere-
cido subsídios para o exercício da abstração. Insistimos para que 
você não se limite ao material didático e, desse modo, busque 
outras informações referentes à Lógica Simbólica Matemática e 
amplie seus conhecimentos.
9. E-REFERÊNCIA
SILVESTRE, R. S. Lógica e sistemas lógicos. Crítica, 2008. Disponível em: <http://
criticanarede.com/docs/sistemaslogicos.pdf>. Acesso em: 29 set. 2015.
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da Lógica. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 
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MATES, B. Lógica elementar. São Paulo: Nacional/Edusp, 1967.
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SIMPSON, T. M. Linguagem, realidade e significado. Trad. Paulo Alcoforado. São 
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______. A Concepção Semântica da Verdade. São Paulo: Unesp, 2006.