IM(lista1-2009)00

Prévia do material em texto

Lista complementar de exerćıcios de Introdução à Matemática
Primeiro semestre de 2009-Terceira Etapa do
Vestibular-DM-CCEN-UFPE
Prof. Antonio C. R. Monteiro
Recife, 19 de fevereiro de 2009
1 Números naturais e o Prinćıpio de Indução Finita
1. Prove que 2n > n3 para n ≥ 10. Prove que 2n > n4 para n ≥ 17.
2. Faça uma tabela dos valores de n! e 3n, para n ≤ 10, pelo menos. Faça um conjectura sobre qual
dos dois, n! ou 3n, é o maior. Prove sua conjectura usando indução.
3. Mostre que 4n + 15n− 1 é diviśıvel por 9.
4. Mostre que
1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + n.(n + 3) =
n(n + 1)(n + 5)
3
5. Mostre que 8n − 1 é diviśıvel por 7.
6. Mostre que
51.1 + 52.2 + 53.3 + ... + 5n.n =
5
16
[(4n− 1).5n + 1].
7. Mostre que
13 + 23 + 33 + ... + n3 >
n4 + 2n3
4
8. Prove que
14 + 24 + 34 + ... + n4 =
n5
5
+
n4
2
+
n3
3
− n
30
.
9. Prove que 2n ≥ n2 − 1 para todo natural n. Para que naturais n ocorre a igualdade?
10. Prove que, para todo natural n, 10n deixa resto 1, ao ser dividido por 9.
11. Mostre que
1.3.5.....(2n− 1)
2.4.6.....(2n)
<
1√
3n + 1
12. Prove que se a1, a2, ..., an são reais positivos então
(a1 + a2 + ... + an)(
1
a1
+
1
a2
+ ...
1
an
) ≥ n2.
13. Mostre que 2|(n2 + n), 6|(n3 − n), 64|(9n − 8n− 1), 9|(4n + 6n− 1)
(a) Encontre uma fórmula para
13 + 33 + 53 + ... + (2n− 1)3.
(b) Prove sua fórmula usando o PIF.
14. Sejam a e b reais positivos, com a < b.
1
(a) Mostre que 0 < an < bn, para n natural não nulo.
(b) Mostre que abn + ban < an+1 + bn+1 para n natural não nulo.
(c) Se n ≥ 2 mostre que
(
a + b
2
)n <
an + bn
2
15. Mostre que n!2 ≥ nn, para todo natural n ≥ 1.
16. A média aritmética dos reais positivos a1, a2, a3, ..., an é dada por MA = (a1 + a2 + a3 + ...+ an)/n
e a média geométrica é MG = n
√
a1.a2.a3.....an.
(a) Mostre que as médias aritmética e geométrica são reais com valor entre o menor e o maior dos
a1, a2, a3, ..., an.
(b) Mostre que (a1 + a2)/2 ≥ √a1.a2 e que a igualdade ocorre precisamente quando a1 = a2.
(c) Usando o item anterior, mostre que (a1 + a2 + a3 + a4)/4 ≥ 4√a1.a2.a3.a4, com igualdade
precisamente quando a1 = a2 = a3 = a4.
(d) Usando o item anterior, mostre que (a1 + a2 + a3)/3 ≥ 3√a1.a2.a3, com igualdade exatamente
quando a1 = a2 = a3. Sugestão: use o resultado anterior para a1, a2, a3 e a4 = (a1+a2+a3)/3.
(e) Usando indução em m, mostre que (a1 + a2 + a3 + ... + a2m)/2m ≥ 2m√a1.a2.a3.....a2m , ou
seja, que a MA é maior ou igual à MG se o número de termos é uma potência de 2 (n = 2m).
Quando ocorre a igualdade?
(f) Deduza a desigualdade entre MA e MG para qualquer n, usando o item anterior. Sugestão:
existe m e 2m−1 < n ≤ 2m, considere os 2m reais a1, a2, a3, ..., an, a, ..., a com os 2m−n últimos
termos iguais a a = (a1 + a2 + a3 + ... + an)/n, a média aritmética entre a1, a2, a3, ..., an−1 e
an.
(g) Mostre que
n
1
a1
+ 1a2 +
1
a3
+ ... + 1an
≤ n√a1.a2.a3.....an
(h) Usando o item (b), determine, dentre os retângulos de peŕımetro p, as dimensões do que tem
área máxima. Faça o mesmo para os triângulos.
17. Para quais naturais temos 3n > n3? Faça uma conjectura e demonstre-a usando o PIF.
18. (Problema das moedas) São dadas m moedas, de aparência semelhante, mas com uma delas de
peso inferior ao peso das demais; o problema é descobrir qual a moeda de peso diferente fazendo
pesagens em uma balança de dois pratos.
(a) Mostre, usando indução em m, que, se temos n = 2m moedas, pode-se descobrir a moeda de
peso diferente com m pesagens.
(b) Mostre que todo natural n ≥ 1 se expressa como soma de potências de dois distintas: n =
2m1 +2m2 +2m3 + ...+2mr com m1 > m2 > m3 > ... > mr. Sugestão: suponha que existe um
natural que não se expressa desta maneira e considere o menor deles, M ; observe que M > 1 e
considere a potência de dois, 2m1 , mais próxima de M ; o que se pode afirmar sobre M − 2m1 ,
que é positivo e < M? Conclua.
(c) Mostre que se n = 2m1 + 2m2 + 2m3 + ... + 2mr , com m1 > m2 > m3 > ... > mr então o
problema das n moedas se resolve com m1 pesagens.
19. (Binômio de Newton) O objetivo deste exerćıcio é obter a expansão de (x + y)n.
(a) Defina Cmk =
k!
m!(k−m)! , o número de combinações de k objetos distintos tomados m a m e
prove que Cmk+1 = C
m
k + C
m−1
k . Sugestão: faça as contas no lado direito da igualdade.
(b) Usando indução em n, prove que
(x + y)n = xn + C1nx
n−1y + ... + Cmn x
n−mym + ... + Cn−1n xy
n−1 + yn
(c) Faça a expansão, com todos os termos, de (x + y)n, para n = 2, 3, 4, 5 e 6.
2
20. Mostre que 1/12 + 1/22 + 1/32 + ... + 1/n2 < 2− 1/n, para todo natural n ≥ 2.
21. Dados os naturais m,n, p e q, eles podem ser adicionados, mantendo a ordem, de cinco maneiras
diferentes: [(m + n) + p] + q, [m + (n + p)] + q, (m + n) + (p + q),m + [(n + p) + q],m + [n + (p + q)].
Mostre, usando a associatividade da adição de naturais, que estes resultados são todos iguais(e
definem m + n + p + q). E se temos cinco naturais m,n, p, q e r?
22. Mostre que 2n + 1 e 9n + 4 são primos entre si.
23. Mostre que a fração (12n + 1)/(30n + 2) é irredut́ıvel.
24. Mostre que um número com representação decimal abba, com a e b d́ıgitos e a 6= 0, não pode ser
primo.
25. Mostre que se n é ı́mpar então n12 − n8 − n4 + 1 é diviśıvel por 29 = 512. Existe uma potência de
2 maior que 29 que divide todos estes números?
26. Mostre que n2(n4 − 1) é diviśıvel por 60 e que n(n6 − 1) é diviśıvel por 42.
27. Mostre que um quadrado pode ser decomposto em n quadrados, não necessariamente congruentes,
para n = 4, 6, 7, 8, 9, ....
28. Mostre que se x + 1/x é inteiro então xk + 1/xk também é inteiro.
29. Mostre que se um natural se escreve na forma 3n + 5 e também na forma 8m + 7 então ele deve ser
da forma 24k + 23 (n,m e k naturais). Vale a rećıproca?
30. O número 2008 se escreve na forma 2n(23n−1−5), para um natural n. Qual o menor natural, maior
que 2008, que também se expressa da mesma forma?
2 Divisibilidade, primos, o Teorema Fundamental da Aritmética
e exemplos de irracionais
1. Mostre que o menor divisor maior que 1 de um número natural n > 1 é primo.
2. Usando o TFA, mostre que m
√
p, p primo, é irracional. Generalize este resultado para números que
não são m-ésimas potências perfeitas.
3. Mostre que os n > 1 números a seguir são compostos
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1).
4. Mostre que a soma de n ı́mpares consecutivos não pode ser um número primo.
5. Encontre os primos p tais que p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 sejam todos primos.
6. Considere o polinômio E(n) = n2 + n + 41.
(a) Mostre que P (0), P (1), P (2), ..., P (39) são primos.
(b) Mostre que P (40) é composto.
(c) Mostre que existem infinitos valores de n tais que P (n) é diviśıvel por 43.
7. Encontre os valores naturais de n para os quais n2 + 2n− 3 é primo.
8. Mostre que n5 + n4 + 1 = (n2 + n + 1)(n3−n + 1). Encontre os valores naturais de n para os quais
n5 + n4 + 1 é primo.
9. Tome um primo p > 3. Divida p2 por 24. Qual o resto da divisão?
10. Sabendo que 1002004008016032 tem um fator primo > 250000, encontre este fator. Sugestão:
escreva o número dado como (103)5 + (103)4.2 + (103)3.22 + (103)2.23 + 103.24 + 25 e escreva
a = 103, b = 2, etc.
3
11. Mostre que 100|(1110 − 1).
12. Mostre que
√
6,
√
2 +
√
3,
√
2 +
√
3 +
√
6,
√
2 + 3
√
2 e 3
√
2 + 3
√
3 são irracionais. E 3
√
7 + 5
√
2 +
3
√
7− 5√2?
13. Qual natural não pode ser resto, na divisão por oito, de uma soma de três quadrados de inteiros?
3 Revisão sobre quadrados, cubos, ráızes e a desigualdade entre
a média aritmética e a geométrica
1. Se a, b e c são números reais com a + b = 2c, qual das implicações a seguir é incorreta:
a + b = 2c ⇒ a2 − b2 = 2ac− 2bc ⇒ a2 − 2ac + c2 = b2 − 2bc + c2 ⇒ (a− c)2 = (b− c)2 ⇒ a− c =
b− c ⇒ a = b.
2. Para três números reais positivos, x, y e z, três das quatro afirmações seguintes são verdadeiras e a
quarta é falsa. Qual a falsa?
y < x, z< y, x < z, x =
√
y.z
3. Para quais reais a e b, temos 3
√
a+ 3
√
b = 3
√
a + b? E, se a e b são não-negativos, quando 4
√
a+ 4
√
b =
4
√
a + b. Generalize para ráızes n-ésimas.
4. Seja x = 0, 999...9, com 2009 d́ıgitos iguais a 9. Compare x e
√
x. Explicite os primeiros dois mil e
nove d́ıgitos decimais de
√
x.
5. Os preços de uma mercearia são todos dados por um centavo a menos de um número inteiro de
reais, ou seja, são dados por R$ 0,99, R$ 1,99, R$ 2,99 e assim por diante. Se um cliente paga um
total de R$ 108,88, quantos itens ele comprou?
6. Se a, b, c e d são reais com b, d e b + d são nulos, encontre uma igualdade equivalente a
a
b
+
c
d
=
a + c
b + d
7. Mostre que se a, b, c, são inteiros positivos então
(
√
a +
√
b +
√
c)(−√a +
√
b +
√
c)(
√
a−
√
b +
√
c)(
√
a +
√
b−√c)
é inteiro.
8. Mostre que o produto de somas de dois quadrados é uma soma de dois quadrados:
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac− bd)2 + (ad + bc)2.
Escreva 449 · 629 como uma soma de dois quadrados de inteiros.
9. Calcule
√
57 + 40
√
2−
√
57− 40√2, sabendo que é um número natural.
10. Fatore a128 − b128.
11. Mostre que se a, b, c são positivos e a + b > c então
√
a +
√
b >
√
c.
12. Mostre que se 1 < x < 2 então
1√
x + 2
√
x− 1
+
1√
x− 2√x− 1
=
2
2− x.
13. Mostre que se a, b, c são não negativos então
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
4
14. Mostre que se a, b, c, d são reais e a2 +b2 +c2 +d2 = ab+bc+cd+da então a = b = c = d. Sugestão:
complete quadrados.
15. Se os valores de a, b, c, d são 1, 2, 3, 4, mas não necessariamente nesta ordem, qual o valor máximo
de ab + bc + cd + da? Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
16. Mostre que se a, b, c são reais nã negativos então
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc
Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
17. A soma de dois números positivos é s. Qual o maior produto posśıvel destes dois números? Sugestão:
use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
18. Mostre que se a, b, c são positivos então
a
b
+
b
c
+
c
a
≥ 3.
Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
19. (a) Prove que se 0 ≤ x ≥ 1 então x− x2 ≥ 1/4.
(b) Prove que se 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1 então pelo menos um dos produtos a seguir
a(1− b), b(1− c), c(1− d), d(1− a)
é ≤ 1/4.
20. Se a soma de dois números é s e o produto é p, calcule a soma dos cubos destes números.
21. Mostre que se n ≥ 2 é natural então o número
n3 + (n + 2)3
4
é um natural composto.
22. Qual o maior inteiro positivo n tal que (n + 10)|(n3 + 100)?Sugestão: Expresse n3 + 100 como um
polinômio em n + 10, escrevendo n3 + 100 = ((n + 10)− 10)3 + 100 e desenvolva o cubo.
23. (a) Mostre que (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Sugestão: use a soma e a
diferença de dois cubos.
(b) Mostre que se a, b, c, d são números e a + b + c + d = a3 + b3 + c3 + d3 = 0 então existem pelo
menos dois dentre a, b, c cuja soma é nula.
24. Mostre que
(a + b)5 − a5 − b5 = 5ab(a + b)(a2 + ab + b2)
e que
(a + b)7 − a7 − b7 = 7ab(a + b)(a2 + ab + b2)2.
25. Mostre que se n é natural então
2903n − 803n − 464n + 261n
é diviśıvel por 1897. Sugestão: observe que 2903n− 803n é diviśıvel por 2903− 803 = 2100 = 7.300
e que 464n− 261n é diviśıvel por 464− 261 = 203 = 7.29, portanto o número dado é divśıvel por 7.
Agora é com você.
26. Dentre os paraleleṕıpedos retos, com base quadrada e volume V , encontre o lado da base e a altura
do que tem área total da superf́ıcie mı́nima.
5
27. Mostre as igualdades seguintes:
123 = (9 +
√
5)3 + (9 − √5)3 ;
√
3 +
√
5 +
√
3−√5 = √10 ;
√
4 +
√
7 +
√
4−√7 = √14 ;√
5 +
√
21+
√
5−√21 = √14 e generalize para
√√
a +
√
b+
√√
a−
√
b, com a e b reais positivos
e a > b.
28. Sejam m e n inteiros não nulos.
(a) Mostre que |m2 − 2n2| ≥ 1. Sugestão: use que √2 é irracional.
(b) Suponha que |m| < 106 e que |n| < 106. Mostre que |m − n√2| > 4.10−7 e que |mn −
√
2| >
4.10−13. Ou seja, se queremos um racional m/n para aproximar
√
2 a menos de 4.10−13, m e
n têm que ser maiores que um milhão.
29. O dono de uma mercearia diminui o preço de um artigo de x% e depois aumenta o novo preço de
y%. Se o preço final do produto, após o aumento, é igual ao preço de antes do desconto, qual o
valor de 1/x− 1/y?
30. Uma empresa decidiu aumentar em 2% os salários dos funcionários, mas, para compensar, diminuirá
10% da parte do salário que ultrapassar 1.230 reais. Explique porque quem ganha mais de 1.500
reais é contrário ao aumento.
31. Encontre um polinômio cúbico tendo 3
√
a + 3
√
a2, com a real, como raiz.
6